静电场电势C

rr
Ñ E dl =0
对任意一组固定电荷所激发的静电场，场强
沿任意闭合路径的线积分为零，静电场是势场（
保守力场）。
——静电场的环路定理
circuital theorem of electrostatic field
参照重力势能定义静电势能。
规定：静电力所做的功=静电势能增量的负值 用Wa、Wb表示试验电荷q0在起点a和终点b所具 有的静电势能，则：
E U
即：
U Ex x
EY
U y
EZ
U z
例4 证明电偶极子任一点电场强度为
E
1
4 0r 3
p
3
p
rˆrˆ
由电势求电场强度
解：
电势分布：
U
4 0 (x2
pz y2
z2
3
)2
Ex
U x
pz
4 0
(x2
3x y2
z2)52
p 3xz
4 0
r5
Ey
U y
p
4 0
3 yz r5
b r F
a
r dl
b r r q0 E dl
a
q0Q
4 0
1 ra
1 rb
试验电荷q0在点电荷Q所激发的电场中沿任
意闭合曲线移动一圈，电场力对q0做功等于零。
rr
rr
rr
Ñ q0E dl q0E dl q0E dl
ACB r r BC'A r r
q0E dl q0E dl
电势分布
U Q
4 0R
Q U
4 0r
r< R 等势体
r> R 与电量集中在球心的
点电荷的电势分布相同
U
0R
r
例3.平行板电容器两板间的电势差
解：
E
平行板电容器内部的场强为 两板间的电势差
U E dl Edl
E
0
d
E dl
dl
E, dl
方向一致
均匀场
U Ed
(2) 在静电场中，电力线与等势面正交。
rr
A q0U q0E dl q0E cosdl 0
等势面满足方程: U x, y, z C
当常量C取等间隔数值时，可以得到一
U1
系列的等势面。
U2
等势面密的地方场强大，稀的地方场
强小。
U3 n
U12 U23
U En
E lim U U n0 n n
等势面的疏密反 映了场的强弱.
E总是指向电势减少的方向，即E与Δn方向相反。
(3)电力线指向电势降的方向 r E U
(三)电场强度与电势梯度
即电场强度在l 方向的分量值
静电场是保守场,对单位电荷，有：El
U l
等于电势在 l方向的方向导数
在直角坐标系中
E
梯度算符:
i
j
k
l 方向
El
x y z
Wa q0
r r E dl
a
电势也是标量，单位：伏特V。
br r
a、b两点之间的电势差：Ua Ub E dl
electric potential ifference
a
电势量纲
式：U
W Q
F TI
L
ML2T
3
I
1
讨论 电势零点的选择(参考点) 任意, 视分析问题方便而定 参考点不同电势不同
Po
均匀带电球面电场的分布为
R
r<R E 0
r>R
E
Q
4 0r 2
^r
r
若场点在球内 即 r< R 如图
U
E dl
P
R
odl
Q
r
R 4 0r 2
dr
R r
odl
R
Q
4 0r 2
dr
Q
4 0 R
场点在球面外 即 r> R
Q
Po
R
Pr
Q
U r 4 0r2 dr
Q
4 0r
解：
在球面上任取一电荷元 dq
dq Q oR
则电荷元在球心的电势为 dU dq
由电势叠加原理
40 R
球面上电荷在球心的总电势
U dU
dq
Q
思考：
Q
Q 40 R 40 R 电量分布均匀？
圆环、圆弧？
等势面: 电势相等的点组成的面称为等势面.
(1)在静电场中，沿着等势面移动电荷时，电场力 所作的功为零。
§4 静电场的环路定理 电势
1.静电力所做的功
固定点电荷Q激发的电场中, 试验电荷q0在电场中从a→b, rb 选择任意路径acb,
r dl
r E
q0
rr
dA q0E dl
q0Q
4 0 r 2
r rˆ dl
q0Q dr
4 0 r 2
ra
或Er
r dl
E
cos
dl
q0Q
dr
4 0 r 2
A
ACB
AC ' B
0
rr
Ñ E dl =0
任意n个固定点电荷Q1、…… Qn激发的电场
根据电场的叠加原理
rr r
r
E E1 E2 ...... En
静电力（合力）所做的功
蜒 q0
r E
r dl
=
q0
r E1
r dl
+L
L
+? q0
r En
r dl
0
即：试验电荷在任何静电场中移动时，电场力 所做的功只与试验电荷的电量及其起点、终点 的位置有关，而与路径无关；试验电荷沿闭合 路径移动一周，电场力做功的总和为零。
电势的叠加原理
任意带电体都可看成是点电荷组，他们在空 间产生的电势分布也可用叠加原理求得。
P0 r r P0
U E dl
r Ei
r dl
P0 r r Ei dl
P
P i
i P
U Ui
i
U dU Q
已知电偶极子中两电荷±q之间的距离为l,求距 电偶极子相当远的地方任意点的电势。
U U U
q
4 0
1 r
1 r
r l
r
r
l 2
c os
r
r
l 2
c os
x
r
q
r l
P
r
z
0 q
y
r r l cos
rr r 2
U
q
4
0
1 r
1 r
q
4 0
r r r r
ql cos 4 0r 2
p
ql
将 cos z 代入
r
U
4
0(x2
pz y2
z 2 ) 32
例2 计算电量为Q 的带电球面球心的电势
理论计算: 有限带电体电势时选无限远为参考点 实际应用: 研究电路问题时取大地、仪器外壳等
例1.求点电荷场的电势
UP E dl
P
r r
E dl
rP
Q
rP 40r2 dr
Q
dr
rP 40r 2
dl dr
UP
Q
4 0rP
球对称 标量
正负
例1 计算均匀带电球面的电势 如图
Q
解：
r
E dE=
dq rˆ，
(Q)
(Q) 40r2
U dU dq
(Q)
(Q) 40r
r
E
dsr
i
qi内
ÒS
0
P(0)
U E dl
(P)
E U
4. 强调两点
典型场： 点电荷
均匀带电球面 无限长的带电线 (柱) 无限大的带电面 (板)
叠加原理
b r r
Aab F dl Wa Wb a
a
点电 势能
b
点电 势能
b E
q
a
规定：∞远处的电势能为零。
定义a点的电势能：
r r
Wa q0 E dl
a
电势能是标量，单位：焦耳J。
和电势能都
比值 Wa q0 与试验电荷无关，是表征电场中a点 物理性质的量，称为a点的电势。
定义电势： Ua
U
p 1 3z2
Ez z 4 0 ( r3 r5 )
E Exi Ey j Ezk
r E
1
40r
3
pr
3
pr
பைடு நூலகம்
rr
rr
真空中静电场小结
1. 两个物理量：E U
2.两个基本方程
高斯定理： 环路定理：
r
E
dsr
i
qi内
ÒS r r
0
ÑL E dl 0
3.计算场强、电势的方法
r