圆内极点与极线性质简证

圆内极点与极线性质简证

原题 如图，过定点P 作定⊙O 两条动割线P AB 与PCD ，连结AD 与BC ，交于点Q ．求证：动点Q 在一条定直线上．

问题1 如图，过点P 作⊙O 两条割线P AB 与PCD ，连结AD 与BC ，交于点Q ，直线PQ 交⊙O 于点E 、F ，点M 为弦EF 的中点．求证：PM PQ PF PE ⋅=⋅．

注：要证明的结论等价于

FQ

PF

EQ PE =，即“内分比＝外分比”，也即点P ，E ，Q ，F 构成调和分割。

证法一：在射线PF 上取点M ，使PQ ·PM ＝P A ·PB ＝PC ·PD ＝PE ·PF ， 则A ，Q ，M ，B 四点共圆，Q ，C ，D ，M 四点共圆． 因此 ∠BMF ＝∠BAD ，∠DMF ＝∠DCB ，

因此 ∠BMF ＝∠FMD ，从而∠BOD ＝∠BMD ， 因此O ，M ，B ，D 四点共圆． 因此 ∠OMD ＝∠OBD ，

又 BOD FMD ∠=

∠2

1

，OB ＝OD ，因此 ∠FMD ＋∠OMD ＝90° 即OM ⊥MF （另法：将∠OMF 视为圆周角，则其所对的弧由两部分组成一个半圆） 因此 点M 为弦EF 的中点．

证法二：在射线PF 上取点M ，使PQ ·PM ＝P A ·PB ＝PC ·PD ，延长DM 交⊙O 于点N ．连结OM ，BM ，BN ，EN ．

由于 C ，Q ，M ，D 四点共圆，Q ，A ，B ，M 四点共圆． 因此 ∠BQF ＝∠NDC ＝∠NBC 因此 NB ∥EF 因此 NE ＝BF ，∠NEF ＝∠BFE

又 ∠NME ＝∠BCD ＝∠BAD ＝∠BMF 因此 △NME ≌△BMF （AAS ） 因此 EM ＝FM ，下略．

证法三：这题可以用“面积正弦法”解决，你可以随便找三角形来构成正弦比．

QA PA

DE BE QA PA QAE PAE S S EQ PE QAE PAE ⋅=⋅∠∠==∆∆sin sin QA

PA

DF BF QA PA QAF PAF S S FQ PF QAF PAF ⋅=⋅∠∠==∆∆sin sin 因此只要证明

DF

BF

DE BE =

，这可以由下面的推导得到： DF

BF

AE CE CD AB AE CE QC QA AE CE DPE BPE DE PE PE BE DE BE =⋅=⋅=⋅∠∠=⋅=sin sin （由∠BAD ＝∠BCD 得∠P AQ ＝∠PCQ ） 从而得证．

证法四：设直线PQ 为x 轴，直线AB ，CD ，AD ，BC 方程为0),(1=y x f ，0),(2=y x f ，

0),(3=y x f ，0),(4=y x f ；P (p ，0)，Q (q ，0)，E (e ，0)，F (f ，0).

(f ,0)

P (

则圆O 可表为0),(),(),(),(4321=⋅⋅+⋅⋅y x f y x f y x f y x f μλ.其中λ,μ是待定参数. 令y = 0，得到0)0,()0,()0,()0,(4321=⋅⋅+⋅⋅x f x f x f x f μλ(*) 两根为e ，f ， 注意到一次方程0)0,(1=x f ，0)0,(2=x f 的解均为x = p ， 故2

121)()0,()0,(p x k x f x f -=⋅ (1k 为待定系数).

同理2

243)()0,()0,(q x k x f x f -=⋅ (2k 为待定系数).

(*)可变为0)()(2

221=-⋅⋅+-⋅⋅q x k p x k μλ.

将x ＝ e ，f 带入上式，消去待定系数，得到2

2

22)

()()()(q f p f q e p e --=-- 故

FQ

FP

EQ EP =. 上述证明本质上证明了射影几何中的Desargues 对合定理，但是并没有动用射影几何的概念，仅仅用了高中平面解析几何的二次曲线系和初中二次函数两点式理论，可以说是初等的.

推广：

如图，点P 在⊙O 外，P AB 、PCD 、PEF 为⊙O 的三条割线，A 、B 、C 、D 、E 、F 为割线与⊙O 的交点，割线PEF 交AD 、BC 于点S 、T ．求证：

PT

PS PF PE 1111+=+．

N

证法一：分别过点A 、C 作割线PEF 的平行线，交⊙O 于点L 、N ，连结AN 、CL ，分别交PF 于X 、Y ．取EF 的中点M ，连结OM ，则OM ⊥PF ．

∵ ∠B ＝∠L ＝∠PXA ∴ A 、B 、X 、T 四点共圆

∴ PX ·PT ＝P A ·PB ＝PE ·PF ∴ PX

PF

PE PT ⋅= 同理，∠PYC ＝∠LCN ＝∠D ∴ C 、D 、Y 、S 四点共圆

∴ PY ·PS ＝PC ·PD ＝PE ·PF ∴ PY

PF

PE PS ⋅=

∴ PF

PE PF PE PF PE PF PE PM PF PE PY PX PT PS 11211+

=⋅+=⋅=⋅+=+ 注：当点S 与点T 重合为点Q 时，点X 与点Y 则重合为中点M ．

证法二：设割线PEF 为x 轴，直线AB ，CD ，AD ，BC 方程为0),(1=y x f ，0),(2=y x f ，

0),(3=y x f ，0),(4=y x f ；P (p ，0)，E (e ，0)，F (f ，0) ，S (s ，0) ，T (t ，0).

P (p (f ,0)

则圆O 可表为0),(),(),(),(4321=⋅⋅+⋅⋅y x f y x f y x f y x f μλ.其中λ,μ是待定参数. 令y = 0，得到0)0,()0,()0,()0,(4321=⋅⋅+⋅⋅x f x f x f x f μλ(*) 两根为e ，f ， 注意到一次方程0)0,(1=x f ，0)0,(2=x f 的解均为x = p ， 故2

121)()0,()0,(p x k x f x f -=⋅ (1k 为待定系数).

而一次方程0)0,(3=x f ，0)0,(4=x f 的解分别为x = s 与x = t ． 故))(()0,()0,(243t x s x k x f x f --=⋅ (2k 为待定系数). (*)可变为0))(()(22

1=--⋅⋅+-⋅⋅t x s x k p x k μλ.

将x ＝ e ，f 带入上式，消去待定系数，得到))(()

)(()

()(2

2t f s f t e s e p f p e ----=--