三角形 梯形的中位线精典例题

三角形梯形的中位线精典例题

10.三角形、梯形的中位线

知识考点：

掌握三角形、梯形的中位线定理，并会用它们进行有关的论证和计算。

精典例题：

【例1】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，M是腰AB的中点，且AD＋BC＝DC。求证：MD⊥MC。

分析：遇到腰上中点的问题构造梯形中位线可证明，也可以因为腰上有中点，延长DM与CB的延长线交于E点进行证明。

ADACDMNQPEGFBCBDMC例1图 AB

例2图问题图

【例2】如图，△ABC的三边长分别为AB＝14，BC＝16，AC＝26，P为∠A的平分线AD上一点，且BP⊥AD，M为BC 的中点，求PM的长。

分析：∠A的平分线与BP边上的垂线互相重合，通过作辅助线延长BP交AC于点Q，△ABP≌△AQP知AB＝AQ＝14，又知M是BC的中点，所以PM是△BQC的中位线，于是本题得以解决。

答案：PM＝6 探索与创新：

【问题一】 E、F为凸四边形ABCD的一组对边AD、BC 的中点，若EF＝

1(AB?CD)，2问：ABCD为什么四边形？请说明理。

分析与结论：如图，利用三角形和梯形的中位线定理，连结AC，取AC的中点G，连EG、FG，则EG∥

111CD，FG∥AB，∴EG＋FG＝(AB?CD)，即EG＋FG＝EF，则222G点在EF上，EF∥CD，EF∥AB，故AB∥CD。

若AD∥BC，则凸四边形ABCD为平行四边形；若AD不平行于BC，则凸四边形ABCD为梯形。

评注：利用中位线构造出

11CD、AB，其关键是连AC，并取其中点G。 22跟踪训练：

一、填空题：

1、三角形各边长为5、9、12，则连结各边中点所构成的三角形的周长是。

2、一个等腰梯形的周长为100cm，如果它的中位线与腰长相等，它的高为20cm，那么这个

梯形的面积是。

3、若梯形中位线被它的两条对角线分成三等分，则梯形的两底之比为。

4、直角梯形的中位线长为a，一腰长为b，且此腰与底所成的角为600，则这个梯形的面积为。

5、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形的中位线，G是BC上任意一点，如果

S?GEF?22cm2，那么梯形ABCD的面积是。

ADANDFAGEQPBDCEFEFMCBGCB

第5题图

第6题图

第7题图

6、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝300，∠C＝600，E、F、M、N分别为AB、

CD、BC、DA的中点，已知BC＝7，MN＝3，则EF＝。

7、如图，D、E、F分别为△ABC三边上的中点，G为AE 的中点，BE与DF、DG分别交于P、Q两点，则PQ∶BE＝。 AD8、如图，直角梯形ABCD的中位线EF＝a，垂直于底的腰AB＝b，则图中阴影部分的面积是。

9、在梯形ABCD中，AD∥BC，BD是对角线，EF为中位线，若S?ABD∶

EFS?BDC＝1∶2，则S梯形AEFD∶S?EBCF＝。

BC填空第8题图二、选择题：

1、等腰梯形的两条对角线互相垂直，中位线长为8cm，则它的高为

A、4 cm

B、42cm

C、8cm

D、82cm 2、已知等腰梯形ABCD中，BC∥AD，它的中位线长为28cm，周长为104cm，AD比AB少6cm，则AD∶AB∶BC＝

A、8∶12∶5

B、2∶3∶5

C、8∶12∶20

D、9∶12∶19

3、如图，已知△ABC的周长为1，连结△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，依此类推，第2004个三角形的周长为A、 1111B、C、2003D、2004 2003200422AAHDGAMNOCDETBCBFBC

选择第3题图

选择第4题图

解答第1题图

4、如图，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，又AB＝DC，下列结论：①EFGH为矩形；②FH平分EG于T；

③EG⊥FH；④HF平分∠EHG。其中正确的是A、①和②

B、②和③

C、①②④

D、②③④三、解答题：

1、如图，在矩形ABCD中，BC＝8cm，AC与BD交于O，M、N分别为OA、OD的中点。

求证：四边形BCNM是等腰梯形；求这个等腰梯形的中位线长。

2、如图，在四边形ABCD中，AB＞CD，E、F分别是对角线BD、AC的中点，求证：EF＞

1(AB?CD) 2ADEFDCEBCFBA解答第2题图

解答第3题图

3、如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝600，AC平分∠DAB，E、F是对角线AC、BD的中点，且EF＝a，求梯形ABCD的面积。

跟踪训练参考答案

一、填空题：

1、13；

2、500cm2；

3、1∶2；

4、

13

ab；5、82；6、4；7、1∶4；8、ab；

22

9、5∶7

二、选择题：CDCD 三、解答题：

1、证MN∥BC且MN≠BC；6cm。

2、取BC的中点构造三角形的中位线。

3、解：设上底为x，下底为y，高为h，题意知EF＝

1(y?x)，即y?x?2a，2h?3(y?x)?3a，y?x?23h?23?3a?6a，所以： 2梯形ABCD的面积为：

1?6a?3a?33a2 2