第九章 第二节 第1课时 系统知识——圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系

第二节圆与方程

[考纲要求]

1．掌握确定圆的几何要素．

2．掌握圆的标准方程与一般方程．

3．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系．

4．能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．

5．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．

6．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．

第1课时系统知识——圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系

圆的方程

1．圆的定义及方程

定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆

标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心：(a，b) 半径：r

一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2

＋E2－4F＞0)

圆心：⎝⎛⎭⎫

－

D

2，－

E

2

半径：r＝

D2＋E2－4F

2

点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.

理论依据点到圆心的距离与半径的大小关系

三种情况(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔点在圆外(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔点在圆内

[提醒]不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆．

[谨记常用结论]

若x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆，则有：(1)当F ＝0时，圆过原点.

(2)当D ＝0，E ≠0时，圆心在y 轴上；当D ≠0，E ＝0时，圆心在x 轴上.

(3)当D ＝F ＝0，E ≠0时，圆与x 轴相切于原点；E ＝F ＝0，D ≠0时，圆与y 轴相切于原点.(4)当D 2＝E 2＝4F 时，圆与两坐标轴相切.

[小题练通]

1.[人教A 版教材P124A 组T4]圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A (－1，1)和B (1,3)，则圆C 的方程为____________．

答案：(x －2)2＋y 2＝10

2.[教材改编题]经过点(1,0)，且圆心是两直线x ＝1与x ＋y ＝2的交点的圆的方程为________________．

答案：(x －1)2＋(y －1)2＝1

3.[教材改编题]圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是________． 答案：(x －1)2＋(y －1)2＝2

4.[易错题]已知圆的方程为x 2＋y 2＋ax ＋2y ＋a 2＝0，一定点为A (1,2)，要使过定点A 的圆的切线有两条，则a 的取值范围是________．

答案：⎝⎛⎭⎫－

233

，233

5．若坐标原点在圆(x －m )2＋(y ＋m )2＝4的内部，则实数m 的取值范围是________． 答案：(－2，2)

6．在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________________． 答案：x 2＋y 2－2x ＝0

直线与圆的位置关系

1．直线与圆的位置关系(半径r ，圆心到直线的距离为d ) 相离

相切

相交

图形

量

化 方程观点

Δ＜0 Δ＝0 Δ＞0 几何观点

d ＞r

d ＝r

d ＜r

2．圆的切线

(1)过圆上一点的圆的切线

①过圆x 2＋y 2＝r 2上一点M (x 0，y 0)的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.

②过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点M (x 0，y 0)的切线方程是(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.

(2)过圆外一点的圆的切线

过圆外一点M (x 0，y 0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k ，从而得切线方程；若求出的k 值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x ＝x 0.

(3)切线长

①从圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)外一点M (x 0，y 0)引圆的两条切线，切线长为

x 20＋y 2

0＋Dx 0＋Ey 0＋F .

②两切点弦长：利用等面积法，切线长a 与半径r 的积的2倍等于点M 与圆心的距离d 与两切点弦长b 的积，即b ＝2ar

d .

[提醒] 过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数． 3．圆的弦问题

直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法：

(1)几何法：因为半弦长L

2、弦心距d 、半径r 构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝

2r 2－d 2.

(2)代数法：若直线y ＝kx ＋b 与圆有两交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有： |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋1

k

2|y 1－y 2|. [谨记常用结论]

过直线Ax ＋By ＋C ＝0和圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)交点的圆系方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＋λ(Ax ＋By ＋C )＝0.,

[小题练通]

1.[教材改编题]若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )

A ．[－3，－1]

B ．[－1,3]

C ．[－3,1]

D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)

答案：C

2.[教材改编题]直线y ＝ax ＋1与圆x 2＋y 2－2x －3＝0的位置关系是( ) A ．相切

B ．相交