约束优化问题的极值条件
多元函数极值与约束条件优化问题研究
多元函数极值与约束条件优化问题研究在数学中，多元函数极值与约束条件优化问题是研究最大化或最小化多元函数在给定约束条件下的极值问题。
它在应用数学、经济学、工程学和物理学等领域中具有重要的意义。
多元函数极值问题的目标是找到函数的极值点，即达到最大或最小值的点。
这些极值点可能是在给定约束条件下的局部最大值或最小值。
解决这类问题的关键是确定所谓的临界点，即函数的导数为零或不存在的点。
在这些临界点中找出真正的极值点是需要进行进一步分析和计算的过程。
通过对函数的导数进行求导和二次导数的分析，可以判断极值点的性质，从而确定最终的极值解。
当涉及到约束条件时，问题更复杂。
约束条件可以是函数的等式或不等式形式，如线性等式、非线性等式或不等式。
优化问题就是在给定这些约束条件下求解多元函数的最优解。
这类问题在实际应用中非常常见，例如在工程项目中要在给定预算下获得最佳设计，或者在生产过程中要满足一定的约束条件以最大化利润。
为了求解这些问题，需要使用特定的优化算法和技术。
在解决多元函数极值与约束条件优化问题时，有一些常用的方法和技术。
其中一个重要的工具是拉格朗日乘数法，它是处理约束条件的一种常用方法。
拉格朗日乘数法将约束条件转化为一个等式，通过引入拉格朗日乘数来求解。
这个方法能够将多元函数极值与约束条件优化的问题转化为无约束极值问题，从而简化了计算过程。
另一个常用的方法是KKT条件（Karush-Kuhn-Tucker条件），它是非线性规划问题最优解的必要条件。
这个条件结合了函数极值条件和约束条件，通过确定拉格朗日函数的最优解，找到多元函数的约束极值点。
在实际问题中，选择适合的优化算法和技术是非常重要的。
常用的优化算法包括梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法和遗传算法等。
这些算法都有各自的特点和适用范围，根据具体问题的特点选择合适的算法可以提高求解效率和精度。
总的来说，多元函数极值与约束条件优化问题是数学中的一个重要研究领域。
它涉及到多元函数的极值性质和约束条件下的最优解。
约束极值问题 二阶充分条件
约束极值问题二阶充分条件
二阶充分条件是约束极值问题的重要工具。
在求解约束极值问题时，我们经常会遇到需要判断某个点是否为极值点的情况。
这时，二阶充分条件可以帮助我们判断一个点是否为极值点。
首先，假设我们要求解的问题是一个二元函数的极值问题，即有两个自变量。
我们需要找到这个函数的所有偏导数，并计算它们的值。
然后，我们可以通过二阶偏导数来判断这个点是否为极值点。
二阶充分条件的核心思想是利用二阶偏导数的性质来判断极值点的类型。
如果一个点满足以下两个条件，则可以判断该点为极值点：
1. 一阶偏导数为零：在二元函数中，首先要计算函数关于两个自变量的一阶偏导数，然后令它们等于零。
这将得到一组方程，解方程可以得到极值点的自变量取值。
2. 二阶偏导数的符号：在找到极值点的自变量取值后，计算这些点的二阶偏导数。
如果二阶偏导数是正定（即二阶偏导数的主子式为正），则该点为局部极小值点；如果二阶偏导数是负定（即二阶偏导数的主子式为负），则该点为局部极大值点；如果二阶偏导数无法确定正负，那么该点不是极值点。
需要注意的是，这种方法只适用于二元函数的极值问题。
对于多元函数的极值问题，我们需要利用更复杂的方法进行求解。
总结起来，二阶充分条件是解决约束极值问题时的一个重要工具。
通过计算一阶和二阶偏导数，我们可以判断一个点是否为极值点，并进一步确定该点的类型。
这种方法在实际问题中具有广泛的应用，帮助我们求解各种复杂的优化问题。
机械优化设计复习总结
1.优化设计问题的求解方法:解析解法和数值近似解法。
解析解法是指优化对象用数学方程（数学模型）描述,用数学解析方法的求解方法.解析法的局限性：数学描述复杂，不便于或不可能用解析方法求解。
数值解法：优化对象无法用数学方程描述，只能通过大量的试验数据或拟合方法构造近似函数式，求其优化解；以数学原理为指导，通过试验逐步改进得到优化解。
数值解法可用于复杂函数的优化解，也可用于没有数学解析表达式的优化问题.但不能把所有设计参数都完全考虑并表达，只是一个近似的数学描述。
数值解法的基本思路:先确定极小点所在的搜索区间,然后根据区间消去原理不断缩小此区间，从而获得极小点的数值近似解。
2.优化的数学模型包含的三个基本要素：设计变量、约束条件（等式约束和不等式约束）、目标函数（一般使得目标函数达到极小值）。
3.机械优化设计中，两类设计方法：优化准则法和数学规划法。
优化准则法：(为一对角矩阵）数学规划法:（分别为适当步长\某一搜索方向——数学规划法的核心）4.机械优化设计问题一般是非线性规划问题,实质上是多元非线性函数的极小化问题。
重点知识点：等式约束优化问题的极值问题和不等式约束优化问题的极值条件.5.对于二元以上的函数，方向导数为某一方向的偏导数。
函数沿某一方向的方向导数等于函数在该点处的梯度与这一方向单位向量的内积。
梯度方向是函数值变化最快的方向（最速上升方向），建议用单位向量表示，而梯度的模是函数变化率的最大值。
6.多元函数的泰勒展开。
海赛矩阵：=（对称方阵）7.极值条件是指目标函数取得极小值时极值点应满足的条件.某点取得极值，在此点函数的一阶导数为零，极值点的必要条件：极值点必在驻点处取得.用函数的二阶倒数来检验驻点是否为极值点。
二阶倒数大于零,取得极小值。
二阶导数等于零时，判断开始不为零的导数阶数如果是偶次,则为极值点，奇次则为拐点。
二元函数在某点取得极值的充分条件是在该点出的海赛矩阵正定。
极值点反映函数在某点附近的局部性质。
拉格朗日约束条件求极值
拉格朗日约束条件求极值一、引言拉格朗日约束条件求极值是一种常用的优化方法，可以用于解决在一定约束条件下的极值问题。
其核心思想是通过引入拉格朗日乘子，将原始约束条件转化为一个无约束问题，进而求解极值点。
二、基本概念在讨论拉格朗日约束条件求极值之前，我们首先需要了解一些基本概念：1. 极值点极值点是函数在某一区间内取得最大值或最小值的点。
对于一个函数 f(x) ，如果存在一个点 x0 ，使得在其附近的任意点 x ，都有f(x0) ≥ f(x) 或f(x0) ≤ f(x) 成立，则称 x0 是函数 f(x) 的一个极大值点或极小值点。
2. 无约束极值问题无约束极值问题是指在没有任何附加条件下，求一个函数的最大值或最小值。
对于一个函数 f(x) ，如果它在整个定义域上有最大值或最小值，则称该问题为无约束极值问题。
3. 约束条件约束条件是指在求解极值问题时，对变量的取值范围做出的限制。
在拉格朗日约束条件求极值中，约束条件通常是一组等式和不等式。
三、拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法是一种常用的优化方法，可以用于解决在一定约束条件下的极值问题。
它的基本思想是通过引入拉格朗日乘子，将原始约束条件转化为一个无约束问题，从而求解极值点。
1. 拉格朗日函数设有函数f(x1, x2, …, xn) 和约束条件g(x1, x2, …, xn) = 0 ，则拉格朗日函数定义为：L(x1, x2, …, xn, λ) = f(x1, x2, …, xn) + λ · g(x1, x2, …, xn)其中，λ 是拉格朗日乘子。
2. 极值的必要条件通过对拉格朗日函数求偏导数并令其等于零，可以得到极值的必要条件。
对于一个有 n 个自变量的问题，我们需要求解 n+1 个方程，即：∂L/∂x1 = 0 ∂L/∂x2 = 0 … ∂L/∂xn = 0 g(x1, x2, …, xn) = 0这个问题可以通过求解方程组的方法得到。
3. 极值的充分条件在满足一定条件下，求得的极值点能够确保是极大值或极小值。
数理经济学第10章具有约束方程的最优化
第10章 具有约束方程的最优化 10.1 基本约束优化问题 10.2 一阶必要条件 10.3 二阶充分条件10.4 最优解的比较静态分析 10.5 Lagrange 乘子的数学含义 10.6 目标函数最优值的比较静态分析10.1 基本约束优化问题 一般标准的极大化问题：12max (,,,)n f x x x 或者：max ()f x 12..(,,,)j n j s t g x x x b ≤ ..()s t g x b ≤12(,,,)i n i h x x x a = ()h x a =一般标准的极小化问题：12min (,,,)n f x x x 或者：min ()f x 12..(,,,)j n j s t g x x x b ≥ ..()s t g x b ≥12(,,,)i n i h x x x a = ()h x a =10.2+10.3：一阶必要条件和二阶充分条件 1、等式约束优化问题（1）两个变量一个等式约束的情形极大化问题： max (,)f x y..(,)s t h x y c = 例：消费者的效用最大化问题 12max (,)U x x1122..s t p x p x I += 构造拉格朗日函数：(,,)(,)[(,)]L x y f x y h x y c λλ=-- (,)[(,)]f x y c h x y λ=+-一阶必要条件：(,)0L c h x y λ=-= 0x x x L f h λ=-= 0y y y L f h λ=-=注：通过将L 视为三个选择变量的自由函数，将约束优化转化为了无约束优化。
拉格朗日乘数的解释：λ*是Z*（最优值）对约束变化敏感性的度量。
特别的，c 增加（预算增加）的影响表明约束条件的放宽如何影响最优解。
设：根据一阶必要条件得到的最优解为λ*，*x ，*y ，则λ*，*x ，*y 满足：(*,*)0L c h x y λ=-=(*,*)*(*,*)0x x x L f x y h x y λ=-= (*,*)*(*,*)0y y y L f x y h x y λ=-= 最优值为：*(*,*)*[(*,*)]L f x y c h x y λ=+-由三个必要条件，可以确定：**()x x c =，**()y y c = 因此，L*对c 的导数：****[(*,*)]***(1)x y x y dL dx dy d f f c h x y dc dc dc dc dx dy h h dc dc λλ=++-+-- **(*)(*)x x y y dx dy f h f h dc dc λλ=-+- *[(*,*)]*d c h x y dcλλ+-+ =λ*结论：拉格朗日乘数的解值是由参数c 引起的约束条件变化对目标函数最优值影响的度量。
拉格朗日两个约束条件求极值
拉格朗日两个约束条件求极值在数学中，拉格朗日方程指的是由拉格朗日于1840年发现的此类问题的常用的方法，可用来求解因限定最大或最小化数据而导致的约束条件下的优化问题。
拉格朗日方程由两个核心组件组成：一个目标函数和一系列的约束函数。
目标函数是一个数学函数，表明你要最大化，或者最小化（即优化）的数据。
约束函数是一系列限定性函数，表明希望你保持在特定范围之内，否则优化会失去效用，或者没有意义。
为了使用拉格朗日方程，我们首先要写出我们想要最大化或最小化的目标函数，这不是一个死板死板的步骤，但最重要的是，目标函数是要求极值的，例如，我们可以有：\begin{align}\text{目标函数}= x+y\end{align}接着，需要定义一些约束条件，这可以将函数空间缩小到一定的范围，以求极值。
定义约束条件时，需要注意确保每个约束只能确定其中一个变量，一般而言，这些约束会用一系列不等式来表示，比如：\begin{align}2x + y &\leq 6 \\-x + 3y &\geq 3\end{align}拉格朗日方程的核心含义就在于要在上述最大或最小化的条件下解析约束条件，求得此问题唯一的极值：把我们的目标函数与每个约束展开，将它们组合在一起，好让它们满足约束加以最大或最小化，结果就是一个拉格朗日方程。
它的形式如下：\begin{align}\text{拉格朗日方程}= c_0 + c_1x + c_2y + \lambda_1 (2x + y - 6) +\lambda_2 (-x + 3y - 3)\end{align}其中，$c_0, \ c_1, \ c_2$ 表示原目标函数中的常数系数，而$\lambda_1,\ \lambda_2$ 表示对应变量的拉格朗日系数，且拉格朗日系数正负代表此变量约束的号数，以及是否应当被最大或最小化。
解拉格朗日方程的方式有多种，一般可将它归结于求解多元函数的偏导等式来进行求解，这里，我们采取逐步求解的方式。
第四章约束问题的最优化方法
当limr(k) 0 k
则(x, r(k) ) f (x) , xk * x *
例： 用内点法求
min
f
(x)
x2 1
x2 2
s.t. g( x) 1 x1 0 的约束最优解。
解:
首先构造内点惩罚函数: (
x,
r)
x2 1
x2 2
rk
ln(x1
1)
用解析法求函数的极小值，运用极值条件：
二. 直接解法：
基本思想：合理选择初始点，确定搜索方向，以迭代公式 x(k+1)= x(k)+α(k)S(k)在可行域中寻优，经过若干次迭代，收敛至最优点。 适用范围：只能求解不等式约束优化问题的最优解。
基本要点：选取初始点、确定搜索方向及适当步长。
搜索原则：每次产生的迭代点必须满足可行性与适用性两个条件。 可行性：迭代点必须在约束条件所限制的可行域内，即满足
1
u1 gu (x)
② .(x, r(k) )
m
f (x) r(k)
1
u1 gu (x)
③ .(x, r (k) )
f (x)
m
r (k) u u 1
1 gu (x)
其中：gu (x) 0,u 1,2,...m
其中：gu (x) 0,u 1,2,...m
gu(x)0, u=1,2,…,p
适用性：当前迭代点的目标函数值较前一点是下降的，即满足 F(xk+1)<F(xk)
收敛条件：
• 边界点的收敛条件应该符合 K-T 条件；
• 内点的收敛条件为： xk1 xk 1
和
约束条件下的极值
在数学优化问题中，当我们寻找某个函数在满足一定约束条件下的极值（最大值或最小值）时，我们通常面对的是带有约束条件的优化问题。
这个问题可以通过拉格朗日乘数法（Lagrange Multiplier Method）或者KKT条件（Karush-Kuhn-Tucker Conditions，对于非线性优化问题中的约束条件）等方法来解决。
例如，设有函数f(x, y)要在区域D内找极值，区域D由g(x, y)=c这样的一组或几组约束条件定义，这里的c是一个常数。
拉格朗日乘数法的基本思想是构造拉格朗日函数L(x, y, λ) = f(x, y) - λ(g(x, y) - c)，其中λ是拉格朗日乘子。
接下来需要求解L(x, y, λ)的偏导数，并令它们等于零，得到一组方程组，解这个方程组就可以找到可能的极值点。
对于KKT条件，它扩展了拉格朗日乘数法，适用于更广泛的优化问题，包括不等式约束。
在满足KKT条件的情况下，优化问题的解有可能是最优解。
具体步骤如下：
1.构造拉格朗日函数（若有不等式约束，需要构造广义拉格朗日函数）。
2.对目标函数和所有的约束函数分别求偏导数，并令它们等于零，得到必要条
件。
3.检验求得的点是否满足KKT条件，包括互补松弛条件、梯度条件以及可行
性条件（即该点必须位于可行域内）。
4.对于可能的极值点，还需进行二阶条件检验（如海森矩阵判别法）来判断是
局部极大值、局部极小值还是鞍点。
通过这些方法，我们可以在给定约束条件下寻找到函数的极值点。
约束问题最优化方法
且 对 满 足 下 述 (9-7) 、(9-8) 、(9-9) 三 条 件 的 任 意 非 零 向 量 z 有 (9-10) 成 立 ， 则 x* 是 问 题 (9-1) 的 严 格 局 部 极 小 点 ．
(1)
H ，定义集合
I ( x (1) ) {i g i ( x (1) ) 0,1 i l}
(1) x 为 点所有起作用约束的下标的集合．
可行下降方向的判定条件
g j ( x ) d 0 ( j I ( x ))
(1) T (1)
f ( x
(1)
) d 0
T
*
* j
必为零，在运用 K-T 条件求 K-T 点时，利用这一点可 以大大 地简化计算，另 外还要把约束条 件都加上．
2．求满足Kuhn-Tucker条件的点
例 9-1 求下列非线性规划问题的 Kuhn-Tucker 点．
min f ( x) 2x 2x1x2 x 10x1 10x2
线性无关．
若
* x* 是 (9-1) 的局部最优解，则比存在 * (1* , 2 ,, l* )T 和向量
* * T * (1* , 2 ,, m ) ，使下述条件成 立：
l m * * * * * f ( x ) j g j ( x ) i hi ( x ) 0 j 1 i 1 * * j g j ( x ) 0, j 1, 2, , l * j 0, i 1, 2, , l
2 1 2 2
函数的极值与最值的求解方法
函数的极值与最值的求解方法在数学中，函数的极值与最值是我们经常遇到的问题。
极值是指函数在某一区间内达到的最大值或最小值，而最值则是函数在整个定义域内的最大值或最小值。
正确地求解函数的极值与最值对于解决实际问题和优化算法具有重要意义。
本文将介绍一些常见的函数极值与最值的求解方法。
一、导数法求函数极值导数法是求解函数极值的常用方法之一。
对于一元函数，我们可以通过求取其导数来确定函数的极值点。
具体步骤如下：1. 求取函数的导数。
根据函数的表达式，求取其一阶导数。
对于高阶导数存在的情况，可以继续求取导数直到找到导数不存在的点。
2. 解方程求取导数为零的点。
导数为零的点对应着函数的极值点。
将导数等于零的方程进行求解，找到函数的极值点。
3. 判断极值类型。
在找到导数为零的点后，可以通过二阶导数或借助函数图像来判断该点处的极值类型。
若二阶导数大于零，则为极小值；若二阶导数小于零，则为极大值。
二、边界法求函数最值边界法是求解函数最值的一种有效方法。
当函数在闭区间上连续且有界时，最值一定是在该闭区间的端点处取得的。
具体步骤如下：1. 确定函数定义域的闭区间。
根据函数表达式或实际问题，找到函数定义域所对应的闭区间。
2. 计算函数在端点处的取值。
将函数在闭区间的端点处依次带入函数表达式，计算函数的取值。
3. 比较函数取值找到最值。
对于最大值，选取函数取值最大的端点；对于最小值，选取函数取值最小的端点。
三、拉格朗日乘数法求函数约束条件下的极值当函数需要满足一定的约束条件时，可以使用拉格朗日乘数法来求解函数的极值。
该方法适用于带有约束条件的最优化问题，具体步骤如下：1. 设置拉格朗日函数。
将原函数与约束条件构建为一个拉格朗日函数，其中拉格朗日乘子为未知数。
2. 求取拉格朗日函数的偏导数。
对拉格朗日函数进行偏导数运算，得到一组方程。
3. 解方程求取极值点。
将得到的偏导数方程组求解，找到满足约束条件的极值点。
4. 判断极值类型。
约束问题的最优化方法
m
⑤ .Φ ( x, r ) = f ( x) − r ∑ ln[− g u ( x)]
(k )
其中：惩罚（加权）因子 降低系数 c：
r ( 0 ) > r (1) > ....r ( k )
0< c <1
r ( k −1) ⋅ c = r ( k )
xk * → x *
当lim r ( k ) → 0
x ∈ D ⊂ Rn s.t. g u ( x ) ≥ 0, u = 1,2,..., p hv ( x ) = 0, v = 1,2,..., q min F ( x )
一. 约束优化问题解法分类： 约束优化方法按求解原理的不同可以分为直接法和间接法两类。
直接解法：随机方向搜索法、复合形法、可行方向法
其中：g u ( x) ≥ 0, u = 1,2,...m
③ .Φ ( x, r ) = f ( x) − ∑ ru ( k )
(k ) u =1
m
1 g u ( x)
④ .Φ ( x, r ) = f ( x) + r
(k )
(k )
(k )
1 ∑ 2 u =1 [ g u ( x )]
m u =1
k →∞
则Φ ( x, r ( k ) ) → f ( x) ,
) x12 + x22 例： 用内点法求 min f ( x=
s.t. g ( x ) = 1 − x1 ≤ 0
的约束最优解。
2 解: 首先构造内点惩罚函数:φ ( x , r ) = x12 + x2 − r k ln( x1 − 1)
(k ) u =1 m
lim r2 H [hv ( x ( k ) )] = 0
约束优化问题的极值条件
等式约束优化问题的极值条件求解等式约束优化问题 )(min x f ..t s ()0=x h k ()m k ,,2,1⋅⋅⋅= 需要导出极值存在的条件，对这一问题有两种处理方法：消元法和拉格朗日乘子法（升维法） 一、消元法（降维法）1.对于二元函数 ),(m in 21x x f ..t s ()0,21=x x h ，根据等式约束条件，将一个变量1x 表示成另一个变量2x 的函数关系()21x x ϕ=，然后将这一函数关系代入到目标函数()21,x x f 中消去1x 变成一元函数()2x F 2.对于n 维情况 ()n x x x f ,,,m in 21⋅⋅⋅ ..t s ()0,,,21=⋅⋅⋅n k x x x h ),,2,1(l k ⋅⋅⋅= 由l 个约束方程将n 个变量中的前l 个变量用其余的l n -个变量表示：()n l l x x x x ,,,2111⋅⋅⋅=++ϕ ()n l l x x x x ,,,2122⋅⋅⋅=++ϕ...()n l l l l x x x x ,,,21⋅⋅⋅=++ϕ将这些函数关系代入到目标函数中，得到()n l l x x x F ,,,21⋅⋅⋅++ 二、拉格朗日乘子法（升维法）设T n x x x x ),,,(21⋅⋅⋅=，目标函数是()x f ，约束条件()0=x h k ),,2,1(l k ⋅⋅⋅=的l 个等式约束方程。
为了求出()x f 的可能极值点T n x x x x ),,,(**2*1*⋅⋅⋅=，引入拉格朗日乘子k λ),,2,1(l k ⋅⋅⋅=，并构成一个新的目标函数 ()()x h x f x F lk k k ∑=+=1),(λλ把()λ,x F 作为新的无约束条件的目标函数来求解它的极值点，满足约束条件()0=x h k ),,2,1(l k ⋅⋅⋅=的原目标函数()x f 的极值点。
()λ,x F 具有极值的必要条件),,2,1(0n i x F i ⋅⋅⋅==∂∂ ，),,2,1(0l k Fk⋅⋅⋅==∂∂λ可得n l +个方程，从而解得T n x x x x ),,,(21⋅⋅⋅=和k λ),,2,1(l k ⋅⋅⋅=共有n l +个未知变量的值。
条件极值问题
条件极值问题条件极值问题（ConstrainedExtremumProblem）优化分析中一个重要的问题，它涉及优化函数（通常称之为目标函数）以最大或最小值来求解约束关系（约束条件）的问题，它体现了一类技术问题的结构特点。
条件极值问题的数学模型是如下的：最优化问题：$min f(x_1，x_2，…，x_n)s.t. g_1(x_1，x_2，…，x_n)le 0g_2(x_1，x_2，…，x_n)le 0vdotsg_m(x_1，x_2，…，x_n)le 0$其中，f(x_1，x_2，…，x_n)是一个最小或最大等式，决定一组变量$x_1，x_2，…，x_n$的最优结果；约束条件$g_1(x_1，x_2，…，x_n)le 0，g_2(x_1，x_2，…，x_n)le 0，…，g_m(x_1，x_2，…，x_n)le 0$存在某种性质的约束，在确定最优值的同时，需要满足这些约束条件。
下面我们将详细介绍条件极值问题的定义及其特点，以及它的数学分析方法。
一、定义在经济学、工程学等多学科领域，条件极值问题都是指有约束条件的最优化问题。
特别是在经营管理中，对于生产、营销、财务以及组织等方面的活动，通常都存在许多约束条件，比如预算限制、市场限制、原料限制、生产能力限制等，这些所有限制令管理者仅能在有限的条件内进行有效决策，最终实现更大的效益最大化。
二、特点1、有限条件。
条件极值问题的最大特点是在确定最优解的同时，要满足一系列约束条件，这些条件是有限的。
2、多变量。
条件极值问题的解有时可能需要多个变量，这就要求模型中所有变量都要满足约束条件，而且变量间可能还要相互交互作用，综合起来十分复杂。
3、抗干扰能力强。
条件极值问题的模型具有良好的抗干扰能力，即对于环境因素的变化，其解的变化不会太大，使模型具有一定的稳定性。
三、数学分析方法条件极值问题的数学分析方法一般是求解方程组的方法，分析的过程往往由数学模型的构造、数学解法和有效的计算方法三部分组成。
拉格朗日约束条件求极值
拉格朗日约束条件求极值拉格朗日乘数法是一种求解约束问题的方法，它通过添加一个拉格朗日乘数来将约束条件转化为限制条件，从而得到极值问题的一组等价的条件和方程。
具体来讲，我们设要求解的函数为f(x)，经过变换后它的约束条件为g(x)=0。
此时，我们可以将约束条件转化为一个限制条件，即加入拉格朗日乘数k来把f(x)和g(x)结合起来，即构造一个新函数L(x,k)=f(x)+k*g(x)。
接下来我们利用这个新函数的极值条件来求解x的最优解，从而实现优化求解。
根据拉格朗日乘数法的理论，我们需要先对L(x,k)分别对x和k求偏导，然后将偏导数等于零，解出x和k的值，从而获得最优解。
具体来讲，我们有以下步骤：1. 构造新函数L(x,k)=f(x)+k*g(x)2. 对L(x,k)分别对x和k求偏导数，得到以下的两个方程组：∂L/∂x=∂f/∂x+k*∂g/∂x=0∂L/∂k=g(x)=03. 解方程组，得到x和k的取值：∂f/∂x+k*∂g/∂x=0k=-∂f/∂g/∂x4. 将解出的x和k代入原函数f(x)，求得函数的最优值。
需要注意的是，用拉格朗日乘数法求解约束问题时，一定要确认约束条件的充分性条件是否满足。
如果约束条件不满足，或者充分条件不满足，则拉格朗日乘数法会出现不可行解或无界解等问题。
因此在实际应用中，我们需要严格考虑约束条件是否满足，并使用其他方法来进行调整和特化，以保证求解的正确性和高效性。
总之，拉格朗日乘数法是一种非常有用的约束问题求解方法，它能够通过加入拉格朗日乘数来将约束条件转化为限制条件，从而实现高效的求解和优化。
在实际应用中，我们需要综合考虑问题的约束条件、充分性条件和求解方法，从而进行权衡和调整，以得到最优的求解结果。
运筹学第15讲 约束最优化方法 (1)
⎛1 ⎞ (2) = ⎜ ⎜ 2 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠
第六章
6.1 Kuhn-Tucker 条件
二、不等式约束问题的Khun-Tucker条件： （续）
m ⎧ ⎪ ∇ f ( x ) − ∑ u i∇ g i ( x ) = 0 i ⎪ u i ≥ 0 , i = 1,2 ,L , m → ⎨ ⎪ u ig i( x ) = 0 ⎪ ⎩
< 寻找下降可行方向： 定理 1：设 其中 x 是可行解，在
1 2
6.2 可行方向法
一、解线性约束问题的可行方向法 （续）
d x 处有 A 1 x = b 1,A
2
x > b2,
⎛ A A = ⎜ ⎜A ⎝
⎞ ⎛ b1 ⎟ ⎜ ， b = ⎟ ⎜b ⎠ ⎝ 2
⎞ ⎟ ⎟ 。则非零向量 ⎠
d 为 x 处的下降可行
g3=0 x2 2 1 1
▽g2(x*)
第六章
例
-▽f(x*) (3,2)T
x* 2 3 g1=0
▽g1(x*)
4
g4=0 x1 g2=0
6.1 Kuhn-Tucker 条件 二、不等式约束问题的Khun-Tucker条件： （续）
在 x *点 ⎧ g 1 ( x1 , x 2 ) = 0 ⎨ ⎩ g 2 ( x1 , x 2 ) = 0
∗ ∗ ∗பைடு நூலகம்
第六章
6.1 Kuhn-Tucker 条件
三、一般约束问题的Kuhn-Tucker 条件 (续)
如果 x ∗ − l .opt .那么 ∃ u i∗ ≥ 0 , i ∈ I , v ∗j ∈ R , j = 1, 2 , L , l ∇f (x ) −
∗
∑u
优化问题的经典解法
第4章优化问题的经典解法Chapter 4 Classical Optimization 4-1 优化问题的最优解（Optimum solution）4-1-1 无约束最优解、约束最优解所谓优化问题的最优解→变量的最优点{}Tnxxx**2*1,, + 函数的最优值()*X f（Optimum point + Optimum value）。
根据优化问题是否存在约束，有无约束最优解及有约束最优解之分。
1)无约束最优解使函数取得最小Minima（最大Maxima）值的解称之，见图4-1。
图4-12)约束最优解使函数取得最小（最大）值的可行解称之。
情况要比无约束问题复杂，见二维问题的示意图4-2。
约束不起作用一个起作用约束二个起作用约束线性规划问题图4-24-1-2 局部最优解解和全局最优解 （Relative or local & Absolute or global minimum ）以一维问题为例，对于无约束优化问题，当目标函数不是单峰函数时，会出现多个极值点 ,,,*3*2*1x x x ，对应的函数值为 ),(),(),(*3*2*1x f x f x f 。
每一个极值点在数学上称为局部最优点，它们中间的最小者才是全局最优点。
对于约束优化问题，情况就要更复杂一些，目标函数、约束函数的特性都会使得可行域内出现二个以上的局部极小点，其中函数值最小者，称为全局最优点。
P16 Fig3.2 , P30 图2-10清华本课程中讲述的所有优化方法目前只能求出局部最优解，而优化设计的目的是要追求全局最优解。
因此，除了凸规划问题以外，要进行局部最优解之间的比较，选择出问题的全局最优解来。
P124-2 凸集、凸函数与凸规划4-2-1 凸集 （Convex set ）函数的凸集表现为其单峰性（Unimodal ）。
对于具有凸性的函数而言，其极值点只有一个，该点即是局部极值点，也是全局最优点。
为了研究函数的凸性，首先引入凸集的概念。
函数的极值条件
函数的极值条件前言我们处理的各种优化问题可以大致分为两类：有约束的优化问题和无约束的优化问题。
工程优化问题往往都是有约束的，但经过适当的处理可以用无约束的优化方法加以解决。
因此无约束极值点存在的条件是优化理论的基本问题。
关键字：无约束有约束优化求解无约束优化问题的实质是求解目标函数f(x)在n维空间R n中的极值。
我们先来看看一元函数的极值条件。
1.无约束优化问题的极值条件1.1一元函数的极值条件由高等数学可知，任何一个单值、连续、可微的一元函数f(x)在给定区间内某点x=x∗有极值的必要条件，是它在该点处的一阶导数为零，即：f′(x∗)=0即函数的极值必须在驻点处取得。
此条件是必要的，但不是充分的，也就是说驻点不一定就是极值点。
如图1.1-1所示，x=0是驻点，但a b图1.1-1其中图a中的x∗点是极小值点，而图b中的x∗并不是极值点。
驻点是否为极值点，还需要函数在该点的二阶导数来判断。
驻点为极小值点的充分条件是，x∗满足不等式：f′′(x∗)>0驻点为极大值点的充分条件是，x∗满足不等式：f′′(x∗)<0若：f′′(x∗)=0则x∗是否为极值点，还需要逐次检验其更高阶导数的符号。
开始不为零的导数阶数为偶数，则为极值点；若为奇次，则为拐点，而不是极值点。
1.2二元函数的极值条件对于二维无约束优化问题，即对二元函数f(x)=f(x1，x2)来说，若在X∗（x1∗，x2∗）处取得极值，其必要条件是：ðf(x1，x2)ðx1=df(x1，x2∗)dx1|x1=x1∗=0ðf(x1，x2)ðx2=df(x1∗，x2)dx2|x2=x2∗=0写成梯度形式可得：∇f(x)=[ðf(x1，x2)ðx1，ðf(x1，x2)ðx2]T=0为推得二元函数极值存在的充分条件，将二元函数f(x)在驻点x∗=[x1∗，x2∗]T作泰勒二次近似展开，得到近似表达式为：f(x)=f(x∗)+[∇f(x∗)]T(x−x∗)+12(x−x∗)T∇2f(x∗)(x−x∗)因为驻点满足∇f(x∗)=0，故由上式可得：f(x)−f(x∗)=12(x−x∗)T∇2f(x∗)(x−x∗)当f(x)−f(x∗)>0，则由上式可知，应有：12(x−x∗)T∇2f(x∗)(x−x∗)>0此时，x∗为极小值。
拉格朗日乘子法求不等式约束条件下函数极值举例
拉格朗日乘子法求不等式约束条件下函数极值举例一、引言在数学中，函数极值问题是一个经典的优化问题。
当我们需要求解一个函数在一定约束条件下的最大值或最小值时，我们可以使用拉格朗日乘子法来解决这个问题。
本文将详细介绍拉格朗日乘子法在不等式约束条件下求解函数极值的过程，并且通过一个具体的例子来进行说明。
二、拉格朗日乘子法1. 拉格朗日乘子法概述拉格朗日乘子法是一种求解约束条件下函数极值的方法。
其基本思想是将约束条件转化为目标函数中的一个新变量，通过构造拉格朗日函数来实现。
具体而言，假设我们要求解如下形式的优化问题：max f(x)s.t. g(x) <= 0其中f(x)表示目标函数，g(x)表示约束条件。
我们可以将其转化为如下形式：max L(x, λ) = f(x) + λg(x)其中L(x, λ)称为拉格朗日函数，λ称为拉格朗日乘子。
2. 拉格朗日乘子法求解步骤（1）构造拉格朗日函数根据上述公式，我们可以首先构造出拉格朗日函数L(x, λ) = f(x) + λg(x)，其中x是自变量，λ是拉格朗日乘子。
（2）对拉格朗日函数求导对拉格朗日函数L(x, λ)分别对x和λ求偏导数，得到如下方程组：∂L(x, λ)/∂x = ∂f(x)/∂x + λ∂g(x)/∂x = 0∂L(x, λ)/∂λ = g(x) <= 0（3）解方程组将上述方程组联立起来，解出x和λ的值。
这些值即为目标函数在约束条件下的极值点。
三、举例说明现在我们来通过一个具体的例子来说明拉格朗日乘子法在不等式约束条件下求解函数极值的过程。
假设我们要求解如下形式的优化问题：max f(x) = x1^2 + 4x2^2s.t. g(x) = x1 + x2 - 3 <= 0其中f(x)表示目标函数，g(x)表示约束条件。
我们可以将其转化为如下形式：max L(x, λ) = f(x) + λg(x)= x1^2 + 4x2^2 + λ(x1 + x2 - 3)根据上述公式，我们可以首先构造出拉格朗日函数L(x, λ)，其中x是自变量，λ是拉格朗日乘子。
第五章约束问题的最优化方法
g1 ( x) [ 1 , 1 ]T
g2 ( x) x1 ,
g2 ( x) [ 1 , 0 ]T 。
g3 ( x) x2 ,
g3 ( x) [ 0 , 1 ]T 。
18
由K T条件得
x1 3 1 1 0 x 3 1 1 2 0 3 1 0 2
第七讲 约束非线性规划
约束极值及最优性条件
等式约束 不等式约束 一般约束问题
约束极值问题的算法
外点法 内点法 乘子法
1
一 、约束极值问题的最优性条件
1、约束极值问题的表示 min f ( x ) hi ( x ) 0 i 1 , 2 ,, m s .t . g j ( x ) 0 j 1 , 2 , , l
8
2 g3 ( x ) 0。 2
I ( x ) { 1 , 2 }。
x2 g2 ( x ) 0
g3 ( x ) 0
O
g1 ( x ) 0
x
x1
②如何判断一个方向是可行方向?
9
定理1:
给 定 点x Q , 记 点 x 的 积 极 约 束 指 标 集 为 I ( x )。 给 定 向 量 d ， 如果对任意的 i I ( x ) 有 gi ( x )T d 0 , 则 d 是 点 x 的 可 行 方 向 。
则 向 量d 是 点 x 处 的 可 行 下 降 方 向 。
证略
③极值点的必要条件: 定理3:
设 x* Q， I ( x*)是其积极约束指标集。
f ( x) 和 gi ( x) (i I ( x*)) 在点x * 处可微，
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等式约束优化问题的极值条件
求解等式约束优化问题 )(min x f ..t s ()0=x h k ()m k ,,2,1⋅⋅⋅= 需要导出极值存在的条件，对这一问题有两种处理方法：消元法和拉格朗日乘子法（升维法） 一、消元法（降维法）
1.对于二元函数 ),(m in 21x x f ..t s ()0,21=x x h ，
根据等式约束条件，将一个变量1x 表示成另一个变量2x 的函数关系()21x x ϕ=，然后将这一函数关系代入到目标函数()21,x x f 中消去1x 变成一元函数()2x F 2.对于n 维情况 ()n x x x f ,,,m in 21⋅⋅⋅ ..t s ()0,,,21=⋅⋅⋅n k x x x h ),,2,1(l k ⋅⋅⋅= 由l 个约束方程将n 个变量中的前l 个变量用其余的l n -个变量表示：
()n l l x x x x ,,,2111⋅⋅⋅=++ϕ ()n l l x x x x ,,,2122⋅⋅⋅=++ϕ
...
()n l l l l x x x x ,,,21⋅⋅⋅=++ϕ
将这些函数关系代入到目标函数中，得到()n l l x x x F ,,,21⋅⋅⋅++ 二、拉格朗日乘子法（升维法）
设T n x x x x ),,,(21⋅⋅⋅=，目标函数是()x f ，约束条件()0=x h k ),,2,1(l k ⋅⋅⋅=的l 个等式约束方程。
为了求出()x f 的可能极值点T n x x x x ),,,(**2*1*⋅⋅⋅=，引入拉格朗日乘子k λ),,2,1(l k ⋅⋅⋅=，并构成一个新的目标函数 ()()x h x f x F l
k k k ∑=+=1),(λλ
把()λ,x F 作为新的无约束条件的目标函数来求解它的极值点，满足约束条件
()0=x h k ),,2,1(l k ⋅⋅⋅=的原目标函数()x f 的极值点。
()λ,x F 具有极值的必要条件
),,2,1(0n i x F i ⋅⋅⋅==∂∂ ，),,2,1(0l k F
k
⋅⋅⋅==∂∂λ可得n l +
个方程，从而解得T n x x x x ),,,(21⋅⋅⋅=和k λ),,2,1(l k ⋅⋅⋅=共有n l +个未知变量的值。
即T n x x x x ),,,(**2*1*⋅⋅⋅=是函数()x f 的极值点的坐标值。
不等式约束优化问题的极值条件
一、一元函数在给定区间上的极值条件
对于一元函数)(min x f ..t s ()01≤-=x a x g ()02≤-=b x x g
极值条件可以表示成：⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧≥≥===++0,00,002122112211μμμμμμg g dx dg dx dg dx df
引入作用下标集合()(){}
2,1,0===j x g j x J j 则可将上式改写成：
()⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧∈≥∈==+∑∈J
j J j x g dx dg dx df
j
j j J j j
,0,00μμ即只考虑起作用的约束及其对应的拉格朗日乘子。
二、库恩塔克条件
1、对于多元函数)(min x f ..t s ()0≤x g j ),,2,1(m j ⋅⋅⋅=
通过引入m 个松弛变量，是不等式约束变成等式约束，组成相应的拉格朗日函数
()
()()
∑=+++=m
j j n j j x x g x f x x F 1
2)(,,μμ
对应一元函数的极值条件可以推导出多元函数的极值条件为：
()
()
()
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧=≥====∂∂+∂∂∑=m j m j x g n i x x g x x f j j j m j i j j i ,...,2,1,0,...,2,1,0,...,2,1,0*
1*
*μμμ
引入起作用的约束的下标集合可改写成：
()
()
()
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧∈≥∈===∂∂+∂∂∑∈J j J j x g n i x x g x x f j j J j i j j i ,0,0,...,2,1,0*
*
*μμ
将上式偏微分形式表示为梯度形式得：
()()
∑∈∇=∇-J
j j j x g x f **μ
几何意义：在约束极小值点*
x 处，函数)(x f 的负梯度一定能表示成所有起作用
的约束在该点梯度的非负线性组合。
2、同时具有等式和不等式约束的优化问题
)(min x f ..t s ()0≤x g j ),,2,1(m j ⋅⋅⋅=，()),...,2,1(0l k x h k ==极值条件可表示为：
()⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧∈≥∈===∂∂+∂∂+∂∂∑∑∈=J j J j x g n i x h x g x f j j J
j l k i k
k i j j i ,0,0,...,2,1,01μλμ。