三角函数(课时一)教师版
第1课时三角函数的图象和性质课件-2022-2023学年高一上学期数学苏教版(2019)必修第一册
5. 函数 f(x)＝4sinπ3－2x的单调减区间是______－__kπ_－__1_π2_，__－__k_π_＋__51_π2__(k_∈__Z_)_____． 【解析】 令 t＝π3－2x，它为减函数．当 y＝sint 单调递增时，t∈－π2＋2kπ，π2＋2kπ， k∈Z，所以令－π2＋2kπ≤π3－2x≤π2＋2kπ，k∈Z，解得－1π2－kπ≤x≤51π2－kπ，k∈Z，故 原函数的单调减区间为－1π2－kπ，51π2－kπ(k∈Z)．
(多选)对于函数 f(x)＝12(sin x＋cos x)－12|sin x－cos x|，下列说法中正确的是 ( BD )
A. f(x)的值域为[－1,1] B. 当且仅当 x＝2kπ＋π4(k∈Z)时，函数 f(x)取得最大值 C. 函数 f(x)的最小正周期是 π D. 当且仅当 x∈2kπ，2kπ＋π2(k∈Z)时，f(x)>0
【解析】对于函数 f(x)＝sin6x＋π4，令 x＝－2π4，可得 f(x)＝0，故函数 f(x)的图象关 于点－2π4，0对称，故 A 正确；令 x＝－π8，可得 f(x)＝－1，是最小值，故函数 f(x)的图 象关于直线 x＝－π8对称，故 B 正确；将函数 f(x)＝sin6x＋π4的图象沿 x 轴向右平移2π4个 单位长度，可得函数 y＝sin6x－6·2π4＋π4＝sin 6x 的图象，故 C 正确；当 x∈2π4，72π4时， 6x＋π4∈π2，2π，此时 f(x)不单调，故 D 错误．
3. (多选)下列函数中，最小正周期为 π 的有( ABD )
A. y＝sin2x＋π2 C. y＝tan2x
B. y＝cos2x＋π2 D. y＝|sinx＋cosx|
【解析】 由于函数 y＝sin2x＋π2＝cos2x，最小正周期为 π，故 A 正确；由于函数
三角函数的图象与性质(第1课时)教学设计与思考_朱荣峰
“三角函数的图象与性质（第1课时）”教学设计朱荣峰（江苏省吴江高级中学 江苏吴江 215200）1．教学内容的分析三角函数这一章学习是在学生完成必修1函数的第一阶段学习的基础上，进行第二阶段函数的学习。
主要的学习内容是三角函数的概念、图象与性质，以及函数模型的简单应用。
研究的方法主要是代数变形和图象分析。
三角函数是重要的数学模型之一，是研究自然界周期变化规律最强有力的数学工具，三角函数作为描述周期现象的重要数学模型，与其他学科（特别是物理、天文学）联系紧密。
《三角函数的图象与性质（第1课时）》这节课是是在已有函数基础知识和三角函数线知识的基础上，来研究正弦函数的图象与性质的，它是学习三角函数图象与性质的入门课，是今后研究余弦函数、正切函数的图象与性质、正弦型函数)sin(ϕ+=wx A y 的图象的知识基础和方法准备。
因此，本节的学习在全章中乃至整个函数的学习中具有极其重要的地位与作用。
2．教学目标2.1 知识与技能（1）能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象；（2）会用“五点法”画出正（余）弦函数的图象；（3）掌握用列表描点画出由正（余）弦函数经简单复合后的函数的草图；（4）通过组织学生观察、猜想、验证与归纳，培养学生的数学能力。
掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。
2.2 过程与方法借助单位圆，利用三角函数线，作出正弦函数图象；让学生通过类比，联系正弦函数的诱导公式，自主探究出余弦函数的诱导公式；能学以致用，尝试用五点作图法作出余弦函数的图像，并能结合图像分析得到余弦函数的性质。
2.3 情感、态度与价值观（1）通过作正弦函数和余弦函数图象，培养学生认真负责，一丝不苟的学习精神；（2）会用联系的观点看问题，培养学生的数形结合思想，渗透由抽象到具体思想，使学生理解动与静的辩证关系，激发学生的学习积极性；（3）培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途经；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。
1.1 锐角三角函数(1)(课时1)课件(浙教版九年级下册)
┌ C
例2 如图:在Rt△ABC中,∠C=900,CosA=0.75. 求∠ A、∠B的其他三角函数值.
B
A
┌ C
课内练习2 1、在Rt△ABC中，AC:BC=1:2，求tanB，SinB， CosB的值； 2、课文P7 T6.
小结
通过我们这一节课的探索与学习，你一定有好多的
收获，你能把这些知识点加以收集与总结吗？
注意：Sina、Cosa、tana都是一个完整的符号，单独Sin没有意 义，其中a前面∠一般省略不写
B
┌ C
统称为∠a的三角函数.
定义
2、在直角三角形中. ∠A是一个锐角 B
∠A的对边
斜边
sinA
c
斜边 ∠A 的 对 边
cosA tanA
∠A的邻边 斜边
a A ∠A的邻边 b C 锐角的三角函数的值都是正实数，并且
作业
1、作业本（1）
2、预习P7——9
通过课前预习、自学P4—5完成下列填空：
1、三角函数的概念 如图，在锐角∠a的一边上取一点B， 作BC⊥AC于点C，则有： BC BC 叫做∠a的 正弦 ，记作Sina= AB AB AC AC a 叫做∠a的 余弦 ，记作Cosa= AB AB A BC BC 叫做∠a的 正切 ，记作 tana= AC AC 锐角a的 正弦Sina、余弦Cosa、 正切tana
B
A
C
课内练习1
1、如图，已知∠a的一边上点B的 坐标是（4,3），则Sina= Cosa= tana=
O
y B
x
2、如图，在Rt△ABC中，∠A=Rt∠,AB=8cm， C BC=10cm,则：
SinC=
CosC= tanC=
高一数学《三角函数的诱导公式(第1课时)》教案示范三篇
高一数学《三角函数的诱导公式(第1课时)》教案示范三篇高一数学《三角函数的诱导公式(第1课时)》教案1教材分析：高一数学《三角函数的诱导公式(第1课时)》是一节基础性课程，课本中主要包含了三角函数诱导公式的定义、常见角度的三角函数值以及相应的推导方法等内容。
教师需要全面了解教材的内容，并对教材的组织结构、难易程度及与之相应的教学资源进行细致的分析和处理。
教学目标：通过本节课的教学，学生应该能够掌握诱导公式的基本概念、运用方法及其相关定理，能够熟练地计算一些常见角度的三角函数值，并能够对不同情况下的三角函数值进行求解。
教学重点：本节课教学的重点主要集中在诱导公式的定义及其相关定理的理解和运用上，同时也需要教师在教学过程中重点关注学生对于诱导公式的记忆和运用情况。
教学难点：本节课教学难点在于对于一些相对较为复杂的求解题目的讲解和理解，尤其是在涉及到三角函数值之间的相互替换问题时需要引导学生注重方法逻辑的分析和运用。
学情分析：本节课所涉及到的内容主要是在初中阶段所学习的三角函数知识的基础上进一步推广和延伸，对于新生来说可能需要花费一定的时间来加深对于三角函数概念的理解和记忆。
教学策略：教师可以通过引入案例以及图像的呈现等方式来促进学生对于三角函数概念以及诱导公式的理解和记忆，同时也需要关注学生在解题过程中的思维逻辑和分析方法的引导。
教学方法：本节课教学方法需要注重理论掌握和实践操作的结合，可以通过练习习题，讲解案例和互动讨论等方式来提高学生的思维能力和实际操作水平。
同时也可以通过个性化的辅导方式注重对于学生的学习经历和个体差异进行分析和处理。
高一数学《三角函数的诱导公式(第1课时)》教案2本节课的教学过程如下：一、导入环节（约5分钟）教学内容：复习三角函数的基本概念，介绍本节课的主题——三角函数的诱导公式。
教学活动：1.学生们通过手写练习纸，复习三角函数的基本公式和图像；2.老师引导学生们思考有哪些角的三角函数值已知，而另外一个角的三角函数值不易计算；3.通过引导，学生们提出了需要学习三角函数的诱导公式的需求；4.老师介绍三角函数的诱导公式的含义和作用，引发学生们兴趣。
《三角函数的应用(一)》示范课教学设计【高中数学人教】
第一课时 三角函数的应用（一）任务一、整体感知问题 1 你能列举一些生活中具有周期性现象的例子吗？前面已经用三角函数模型刻画过哪些周期性现象？答案：生活中周期性现象的例子大致有三种类型：（1）匀速圆周运动．如水流量稳定条件下的筒车运动，钟表指针的转动，摩天轮的运动等；（2）物理学中的周期性现象．如弹簧振子运动，交变电流等；（3）生活中的周期性现象．如潮汐变化，一天当中的气温变化，四季变化，生物钟，波浪，音乐等．已经用三角函数模型刻画过匀速圆周运动．例如筒车运动、摩天轮的运动、钟表指针的转动等．任务二、新知探究1．问题研究1——简谐运动问题 2 观看弹簧振子的运动视频，振子运动过程中有哪些周期性现象？可以利用哪些变量之间的函数关系来刻画振子运动过程中的周期性现象？弹簧振子的运动（如图1）．答案：振子离开中心位置的位移随着时间呈周期性变化；振子所受的回复力随着时间呈周期性变化．所以可以用振子离开中心位置的位移s 与时间t 之间的函数关系，也可以用振子所受的回复力F 与时间t 之间的函数关系来刻画其运动过程中周期性现象．例1 某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中，时间t （单位：s ）与位移y （单位：mm ）之间的对应数据如表1所示．试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式．图12．建模解模问题3 例1中没有给出振子的位移关于时间的函数模型，根据以往的数学建模经验，我们应该按照什么样的流程完成这个建模过程？答案：搜集数据，画散点图——观察散点图并进行函数拟合，选择函数模型——利用数据信息，求解函数模型．活动：教师或者学生画出散点图．问题4观察画出的散点图，你认为可以用怎样的函数模型进行刻画位移y 随时间t 的变化规律？答案：根据散点图（如图2），分析得出可以用y =A sin(ωt +φ)这个函数模型进行刻画． 问题5 由数据表和散点图，你将如何求出函数的解析式？答案： 依据数据表和散点图，可得A =20，T =60s ，求得ω=3π10，然后将点（0，－20）的坐标代入解析式y =20sin(3π10t +φ)，解得φ=－2π+2k π，k ∈Z ，所以函数的解析式为y =20sin(3π10t －2π)，t ∈[0，+∞)． 教师补充：现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆的摆动，水中浮标的上下浮动，琴弦的震动，等等．这些都是物体在某一中心位置附近循环往复的运动．在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．可以证明，在适当的坐标系下，简谐运动可以用函数y =A sin(ωx +φ)，x ∈[0，+∞)表示，其中A >0，ω>0．描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关：图2表1A 就是这个简谐运动的振幅，它是作简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离； 简谐运动的周期是2π=T ω，它是作简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间； 简谐运动的频率是π21ω==T f ，它是作简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数； ωx +φ称为相位；x =0时的相位φ称为初相.问题6 例1中简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？相位、初相分别是什么？答案：振幅A ＝20mm ，周期T ＝53s ，频率f ＝35次，相位为3π10t －2π，初相为－2π． 3．问题研究2——交变电流例2 如图3（1）所示的是某次实验测得的交变电流i （单位：A ）随时间t （单位：s ）变化的图象．将测得的图象放大，得到图3（2）．（1）求电流i 随时间t 变化的函数解析式；（2）当601,6007,1501,6001,0=t 时，求电流i ．4．建模解模问题7 观察图象，交变电流i 随时间t 的变化满足怎样的函数模型？其中每个参数的物理意义是什么？答案：由交变电流的产生原理可知，电流i 随时间t 的变化规律可以用i =A sin(ωt +φ)，t ∈[0，+∞)来刻画.其中A 为振幅，ωπ2为周期，ωt +φ为相位，φ为初相．问题8 根据图象3（2），你能说出电流的的最大值A ，周期T ，初始状态（t =0）的电流吗？由这些值，你能进一步完成例2的解答吗？答案：由图可知，A =5，T =501s ，初始状态的电流为4.33A ． 解：由图3（2）可知，电流最大为5A ，因此A =5；电流变化的周期T =501s ，即ωπ2=501s ，解得ω=100π；再由初始状态（t =0）的电流约为4.33A ，可得sin φ=0.866，因此φ约为3π．所图3（1） 图3（2）以电流i 随时间t 变化的函数解析式是 π5sin(100π)[0,)3i t t =+∈+∞，． 当0=t 时，235=i ； 当6001=t 时，5=i ； 当1501=t 时，0=i ； 当6007=t 时，5-=i ； 当601=t 时，0=i ． 练习1 如图4，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏．让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下铅锤面内做周期摆动．若线长l cm ，沙漏摆动时离开平衡位置的位移为s （单位：cm ）与时间t （单位：s ）的函数关系是).∞,0[∈),3cos(3++=t t l g s π （1）当l =25时，求沙漏的最大偏角（精确到0.0001rad ）；（2）已知g =9.8m/s 2，要使沙漏摆动的周期是1s ，线的长度应当是多少（精确到0.1cm ）?解：（1）∵)3cos(3π+=t l g s ，∴可得s 的最大值为3． 设偏角为θ，可得最大偏角满足sin θ=253．利用计算器计算可得θ=0.1203rad ． 答：当l =25时，沙漏的最大偏角为0.1203rad ．（2）沙漏摆动的周期为1π2==lgT ，解得2)π2(g l =，故cm 8.2)π2(8.92≈=l ． 图4答：要使沙漏摆动的周期是1s，线的长度l应当为24.8cm．任务三、归纳小结问题9 对于一个周期性现象，你该如何利用三角函数来刻画？在本节课中，涉及哪些数学思想？答案：利用三角函数刻画周期性现象，就是要找出这一现象中哪两个变量满足“当其中一个变量增加相同的常数时，另一个变量的值重复出现”，然后通过数学建模，求出这两个变量之间满足的三角函数关系．在本节课的学习中，涉及到数形结合思想和数学建模思想．。
第15至17课时三角函数专题教师用书
上，则 =▲．
8.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为 、 、 ，且 ，则角B的大小是▲．
解析:由余弦定理，得 ．则
，即 ．
所以B的大小是 或 ．
9．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且满足 ＝－ ．
（1）求角B的度数；（2）若b＝ ，a＋c＝5，求a和c的值．
考点13：同角三角函数的基本关系式
2.已知 ，则 的值_▲
【解析】∵ ，∴ ，∴ ， ．
∴ ＝
＝
考点14：正弦、余弦的诱导公式
3. (山东省博兴二中高三第三次月考)已知 ，则f( )的值等于▲
【解析】 ( )=
考点15：正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
4.函数 内的交点为P，它们在点P处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积为▲
（II）
又
变题：已知tan A与tan( －A)是方程x2+px+q=0的两根，若3tan A=2tan( －A)，求p与q的值．
解析：设t=tan A，则tan( 一A)= 由已知得3t=2 ，解得t= 或t=－2，
（1）当t= 时，tan( 一A)= ，此时p=－[tan A+tan( 一A)]= ，
所以d＝2×5sin ＝
5.若直线 是函数 图像的一条对称轴，则直线 的倾斜角为▲．120°
6. (2007盐城)已知函数 的值域是 ,设 的最大值为M,最小值为 ,则 =▲2 .
第16课时三角函数（二）
★高考趋势★
三角恒等变换主要考察运用各种公式特别是和差角及倍角公式进行恒等变形，也包括对 的问题处理。常以填空题形式出现.三角函数的解答题一般都要考察三角恒等变换,多是融图象与性质,正弦和余弦定理,平面向量等于一体的综合性较强的问题.
1.1锐角三角函数第1课时正切(教案)
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
-正切表的使用：学会查找和利用正切表解决实际问题，这是进行进一步三角函数学习的基础。
-正切函数性质的探索：了解正切函数的周期性、奇偶性等性质，为学习其他三角函数性质打下基础。
举例：通过具体的直角三角形图形，引导学生理解正切值是如何计算的，以及如何判断正切值的正负。
2.教学难点
-正切概念的内化：学生需要将正切概念从具体的直角三角形中抽象出来，内化为一般的数学定义。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了正切函数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对正切的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的课堂上，我们探讨了锐角三角函数中的正切概念。我发现学生们对于正切的定义和应用有着不错的理解和接受度，但在具体的计算和应用中，还存在一些困难。这让我意识到，在今后的教学中，我需要更加注重以下几个方面：
1.1锐角三角函数第1课时正切（教案）
一、教学内容
《人教版八年级下册数学》第十章“锐角三角函数”第1课时“正切”。本节课主要内容包括以下部分：
1.理解正切的概念：通过对直角三角形的观察，引导学生发现锐角与对边、邻边的比值关系，引出正切函数的定义。
人教版数学必修四：1.3.2三角函数的图象与性质(一)(教师版)
课题：§1.3.2三角函数的图象与性质（一） 总第____课时班级_______________ 姓名_______________ 【学习目标】1．能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象； 2．借助图象理解正弦函数、余弦函数的性质． 【重点难点】学习重点：正弦函数、余弦函数的图像和性质； 学习难点：借助正弦线画出正弦函数的图象． 【学习过程】一、自主学习与交流反馈：问题1：描点法作函数图象的基本步骤是什么？问题2：①如何精确的作出点C )3sin,3(ππ？②能否借用作点C )3sin,3(ππ的方法，作出[]π2,0,sin ∈=x x y 的图象呢？问题3 如何得到sin ,R y x x =∈的图象？问题4 如何更加快捷地画出正弦函数的图象呢？问题5 请同学们观察，在[]π2,0,sin ∈=x x y 的图象上，起关键作用的点有几个？二、知识建构与应用：1．课件演示：正弦函数图象的几何作图法：2．五点法作图：描出五个点，并用光滑的曲线连接起来，很自然得到函数的简图．小结作图步骤：1．列表． 2．描点． 3．连线．3.利用图象的平移可由正弦函数x y sin =的图象得到余弦函数x y cos =的图象.三、例题：例1 用“五点法”画出下列函数的简图：（1）x y cos 2=，R x ∈； （2）x y 2sin =，R x ∈.例2 求下列函数的最大值及取得最大值时的自变量x 的集合：（1）3cosxy =； （2）x y 2sin 2-= .例3： 求下列函数的定义域和值域.x y sin lg )1(=； x y 3cos 2)2(=.四、巩固练习1．画出下列函数的简图,并说明这些函数的图象与正弦函数图象的区别和联系： （1）1sin -=x y ； （2）)3cos(π+=x y .2．求下列函数的最小值及取得最小值时的自变量x 的集合： （1）x y sin 2-= ； （2）3cos 2x y -=.3．函数⎪⎭⎫⎝⎛≤≤=326sin ππx x y 的值域是 .4．求下列函数的单调区间： （1）)4sin(π+=x y ； （2）x y cos 3=.五、回顾反思：六、作业批改情况记录及分析。
1.1 锐角三角函数 第1课时(教案)-北师大版数学九下
第1节锐角三角函数第1课时正切1.经历探索直角三角形中边角之间关系的过程.2.理解锐角三角函数(正切、正弦、余弦)的意义,并能够举例说明.3.能够运用tan A,sin A,cos A表示直角三角形中两边的比.4.能够根据直角三角形中的边角关系进行简单的计算.1.经历三个锐角三角函数的探索过程,确信三角函数的合理性,体会数形结合的数学思想.2.在探索锐角三角函数的过程中,初步体验探索、讨论、验证对学习数学的重要性.1.通过锐角三角函数概念的建立,使学生经历从特殊到一般的认识过程.2.让学生在探索、分析、论证、总结获取新知识的过程中体验成功的喜悦,从解决实际问题中感悟数学的实用性,培养学生学习数学的兴趣.【重点】1.理解锐角三角函数的意义.2.能利用三角函数解三角形的边角关系.【难点】能根据直角三角形的边角关系进行简单的计算1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.2.能够用tan A表示直角三角形中两直角边的比,表示生活中物体的倾斜程度、坡度等,能够用正切进行简单的计算.3.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义,加强数学与生活的联系.1.体验数形之间的联系,逐步学习利用数形结合思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.2.体会解决问题的策略多样性,发展实践能力和创新精神.1.积极参与数学活动,对数学产生好奇心和求知欲.2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.【重点】1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义,加强数学与生活的联系.【难点】理解正切的意义,并用它来表示生活中物体的倾斜程度、坡度等.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】1.自制4个直角三角形纸板.2.复习直角三角形相似的判定和直角三角形的性质.导入一:课件出示:你知道图中建筑物的名字吗?是的,它就是意大利著名的比萨斜塔,是世界著名建筑奇观,位于意大利托斯卡纳省比萨城北面的奇迹广场上,是奇迹广场三大建筑之一,也是意大利著名的标志之一,它从建成之日起便由于土层松软而倾斜.【引入】应该如何来描述它的倾斜程度呢?学完本节课的知识我们就能解决这个问题了.[设计意图]创设新颖、有趣的问题情境,以比萨斜塔的倾斜程度激发学生的学习兴趣,从而自然引出课题,并且为学生探究梯子的倾斜程度埋下伏笔.导入二:课件出示:四个规模不同的滑梯A,B,C,D,它们的滑板长(平直的)分别为300cm,250cm,200cm,200cm;滑板与地面所成的角度分别为30°,45°,45°,60°.【问题】四个滑梯中哪个滑梯的高度最高[设计意图]利用学生所熟悉的滑梯进行引导,使学生有亲切感,滑梯与课本中引用梯子比较类似,学生的探究思路会比较顺畅.(一)探究新知请同学们看下图,并回答问题.探究一:问题1课件出示:在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?你有几种判断方法?小组讨论后展示结果:1组:梯子AB较陡.我们组是借助量角器量倾斜角,发现∠ABC>∠EFD,根据倾斜角越大,梯子就越陡,可以得到梯子AB较陡.师:哪组还有不同的判定方法?2组:我们也是认为梯子AB较陡.我们组是分别计算AC与BC的比,ED与FD的比,发现前者的比值大,根据铅直高度与水平宽度的比越大,梯子就越陡,可以得到梯子AB较陡.3组:我们组的方法和1组的大致相同,借助倾斜角来判断,不过不是测量,我们是过E作EG∥AB 交FD于G,就可以清晰比较∠ABC与∠EFD的大小了.4组:我们组发现这两架梯子的高度相同,水平宽度越小,梯子就越陡,所以我们也认为梯子AB较陡.探究二:问题2课件出示:在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?学生会类比问题1给出的四种判断方法,只要说得合理即可.问题3课件出示:在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎么判断的?多给学生思考和讨论的时间.代表发言:AB和EF的倾斜度一样.由于两个直角三角形的两直角边的比值相等,再加上夹角相等,可以判定两个直角三角形相似,根据相似三角形的对应角相等,可以证明两个倾斜角相等,所以AB和EF的倾斜度一样.教师引导:我们发现当直角三角形的两直角边的比值相等时,梯子的倾斜度一样,请大家判断一下在问题2与问题3中,两直角边的比值与倾斜度有什么关系?请继续探究下面的问题.问题4课件出示:在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?教师引导:我们观察上图直观判断梯子的倾斜程度,即哪一个更陡,可能就比较困难了.能不能从上面的探究中得到什么启示呢生讨论后得出:思路1:梯子EF较陡,因为∠EFD>∠ABC,根据倾斜角越大,梯子就越陡.思路2:梯子EF较陡,因为>,根据铅直高度与水平宽度的比越大,梯子就越陡.师生共同总结:在日常的生活中,我们判断哪个梯子更陡,应该从梯子AB 和EF 的倾斜角大小,或垂直高度和水平宽度的比的大小来判断.做一做:请通过计算说明梯子AB 和EF 哪一个更陡呢?生独立解答,代表展示:∵==,==,<,∴梯子EF 比梯子AB 更陡.[设计意图]通过探究逐层深入的问题,让学生经历由简单到复杂、由特殊到一般的探究过程,既对已学知识和生活经验进行了回味和运用,也让学生的思想逐步向本节课的中心“两直角边之比”靠近.[知识拓展]梯子的倾斜程度的判定方法:(1)梯子的倾斜程度和倾斜角有关系,倾斜角越大,梯子就越陡.(2)梯子的倾斜程度和铅直高度与水平宽度的比有关系,铅直高度与水平宽度的比越大,梯子就越陡.(二)再探新知课件出示:【想一想】如图所示,小明想通过测量B 1C 1及AC 1,算出它们的比,来说明梯子的倾斜程度;而小亮则认为,通过测量B 2C 2及AC 2,算出它们的比,也能说明梯子的倾斜程度.你同意小亮的看法吗?(1)直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2有什么关系生很容易得出两个三角形相似.由生说明理由:∵∠B 2AC 2=∠B 1AC 1,∠B 2C 2A =∠B 1C 1A =90°,∴Rt△AB 1C 1∽Rt△AB 2C 2.(2)和有什么关系?由于Rt△AB 1C 1∽Rt△AB 2C 2,所以有=.(3)如果改变B 2在梯子上的位置呢?由此你得出什么结论?生先独立思考后分组讨论.生得出结论:改变B 2在梯子上的位置,铅直高度与水平宽度的比始终相等.想一想:现在如果改变∠A 的大小,∠A 的对边与邻边的比值会改变吗?生讨论得出:∠A 的大小改变,∠A 的对边与邻边的比值会改变.∠A 的对边与邻边的比只与∠A 的大小有关系,而与它所在直角三角形的大小无关.【总结提升】由于直角三角形中的锐角A 确定以后,它的对边与邻边的比也随之确定,因此我们有如下定义:如图所示,在Rt△ABC 中,如果锐角A 确定,那么∠A 的对边与邻边之比便随之确定,这个比叫做∠A 的正切(tangent ),记作tan A ,即tan A =.当锐角A变化时,tan A的值也随之变化.能力提升:如果∠A+∠B=90°,那么tan A与tan B有什么关系?生讨论得出结论:tan A=,即任意锐角的正切值与它的余角的正切值互为倒数.【议一议】前面我们讨论了梯子的倾斜程度,在课本图1-3中,梯子的倾斜程度与tan A有关系吗?学生思考后,统一答案:tan A的值越大,梯子越陡.(反之,梯子越陡,tan A的值越大)[设计意图]此环节的设计是为了突出概念的形成过程,帮助学生理解概念.通过让学生参与、动手操作,让学生学会由特殊到一般、数形结合及函数的思想方法,提高学生分析问题和解决问题的能力.[知识拓展]正切的注意事项:(1)tan A是一个完整的符号,它表示∠A的正切,记号里习惯省去角的符号“∠”.(2)tan A没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中∠A的对边与邻边的比.(3)tan A不表示“tan”乘以“A”.(4)初中阶段,我们只学习直角三角形中锐角的正切.(教材例1)如图所示表示甲、乙两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?想一想:要判断哪个自动扶梯比较陡,只需求出什么即可?生思考后得出:比较甲、乙两个自动扶梯哪一个陡,只需分别求出tanα,tanβ的值进行比较大小即可,正切值越大,扶梯就越陡.要求学生独立解答,代表展示:解:甲梯中,tanα==.乙梯中,tanβ==.因为tanα>tanβ,所以甲梯更陡.[设计意图]通过对例题的解答让学生初步学会运用“正切”这一数学工具判断梯子的倾斜程度,同时规范学生的解题步骤,培养良好的解题习惯.课件出示:如图所示,有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m,那么山坡的坡度(即tanα)就是: i=tanα==.结论:坡面与水平面的夹角(α)称为坡角,坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度(或坡比),tanα=,即坡度等于坡角的正切.[设计意图]正切在日常生活中的应用很广泛,通过正切刻画梯子的倾斜程度及坡度的数学意义,密切数学与生活的联系,使学生明白学习数学就是为了更好地应用数学,为生活服务.[知识拓展]坡度与坡面的关系:坡度越大,坡面越陡.(1)正切的定义:tan A=.(2)梯子的倾斜程度与tan A的关系(∠A和tan A之间的关系):tan A的值越大,梯子越陡.(3)坡度(或坡比)的定义:i=tanα=.1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=12,则tan A等于()A.B. C. D.解析:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=12,∴BC=5,∴tan A=.故选B.2.如图所示,将∠AOB放置在5×5的正方形网格中,则tan∠AOB的值是()A.B.C.D.解析:认真读图,在以∠AOB的O为顶点的直角三角形里求tan∠AOB的值,由图可得tan∠AOB=.故选B.3.(2014·温州中考)如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=1,则tan A的值是.解析:tan A==.故填.4.河堤横断面如图所示,堤高BC=5m,迎水坡AB的坡度是1∶(坡度是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比),则AB的长是.解析:在Rt△ABC中,BC=5,tan A=1∶,∴AC=5,∴AB==10(m).故填10m.第1课时(1)正切的定义:tan A=.(2)梯子的倾斜程度与tan A的关系(∠A和tan A之间的关系):tan A的值越大,梯子越陡.(3)坡度(或坡比)的定义:i=tanα=.一、教材作业【必做题】1.教材第4页随堂练习第1,2题.2.教材第4页习题1.1第1,2题.【选做题】教材第4页习题1.1第3,4题.二、课后作业【基础巩固】1.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,则tan A的值为()A. B. C. D.2.小明沿着坡度为1∶2的山坡向上走了1000m,则他升高了()A.500mB.200mC.500mD.1000m3.已知斜坡的坡度为i=1∶5,如果这一斜坡的高度为2m,那么这一斜坡的水平距离为m.【能力提升】4.(2015·山西中考)如图所示,在网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,则∠ABC的正切值是()A.2B.C.D.5.如图所示,将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到△A'B'C',使点B'与C重合,连接A'B,则tan∠A'BC'的值为.6.如图所示,在锐角三角形ABC中,AB=10cm,BC=9cm,△ABC的面积为27cm2.求tan B的值.7.某商场为方便顾客使用购物车,准备将滚动电梯的坡面坡度由1∶1.8改为1∶2.4(如图所示).如果改动后电梯的坡面长为13m,求改动后电梯水平宽度增加部分BC的长.【拓展探究】8.如图所示,在△ABC中,AB=AC,BD是AC边上的中线,若AB=13,BC=10,试求tan∠DBC的值.【答案与解析】1.D(解析:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,∴tan A===.故选D.)2.B(解析:设铅直高度为x m,∵坡度为1∶2,∴水平宽度为2x m,由勾股定理得x2+(2x)2=10002,解得x=200.∴他升高了200m.故选B.)3.10(解析:∵斜坡的坡比是1∶5,∴=.∴=,∴斜坡的水平距离为=10m.故填10.)4.D(解析:如图所示,连接AC,由勾股定理,得AC=,AB=2,BC=,∴△ABC为直角三角形,∴tan B==.故选D.)5.(解析:如图所示,过A'作A'D⊥BC',垂足为D.在等腰直角三角形A'B'C'中,易知A'D是底边上的中线,∴A'D=B'D=.∵BC=B'C',∴tan∠A'BC'===.故填.)6.解:如图所示,过点A作AH⊥BC于H,∵S=27,∴×9×AH=27,∴AH=6.∵AB=10,∴BH===8,∴tan△ABCB===.7.解:在Rt△ADC中,AD∶DC=1∶2.4,AC=13,由AD2+DC2=AC2,得AD2+(2.4AD)2=132,∴AD=±5(负值不合题意,舍去),∴DC=12.在Rt△ABD中,∵AD∶BD=1∶1.8,∴BD=5×1.8=9,∴BC=DC-BD=12-9=3(m).答:改动后电梯水平宽度增加部分BC的长为3m.8.解:如图所示,过点A,D分别作AH⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为点H,F.∵BC=10,AH⊥BC,AB=AC,∴BH=5.∵AB=13,∴AH==12,在Rt△ACH中,AH=12,易知AH∥DF,且D为AC中点,∴DF=AH=6,∴BF=BC=,∴在Rt△DBF中,tan∠DBC==.本节课是三角函数部分的第一节概念教学,教学内容比较抽象,学生不易理解.为此结合初中学生身心发展的特点,运用实验教学、直观教学,唤起和加深学生对教学内容的体会和了解,并培养和发展学生的观察、思维能力,这是贯彻“从生动的直观到抽象的思维,并从抽象的思维到实践”的认识规律,能使学生学习数学的过程成为积极的、愉快的和富有想象的过程,使学习数学的过程不再是令人生畏的过程.概念教学由学生熟悉的实例入手,引导学生观察、分析、动手、动脑、动口多种感官参与,并组织学生积极参与小组成员间合作交流.通过由特殊到一般、具体到抽象的探索过程,紧紧围绕着函数概念,引出正切概念,再通过相应的典型题组练习巩固概念.并且在教学过程中,注重了阶段性的反思小结,使学生能够及时总结知识和方法.本节课的开放性还不够,探究梯子倾斜程度时,学生的一些奇思妙想没有给予展示机会.第一个环节内容设计多了一些,所以导致后面的教学处理上稍显仓促.对第一个环节的处理力求更加简洁,并大胆放手让学生去探索、去发现,真正让学生成为学习的主人.随堂练习(教材第4页)1.解:能.tan C====.2.解:根据题意,得AB=200,BC=55,则AC===5,所以山的坡度为=≈0.286.习题1.1(教材第4页)1.解:∵BC===12,∴tan A==,tan B==.2.解:∵tan A==,BC=3,∴AC=BC=.4.tan A=.学生学习时首先通过情境题了解本节课学习的主要任务,做到有的放矢,然后利用“由一般到特殊”的数学思想,通过三个探究活动逐步得出梯子的倾斜程度与tan A的关系(∠A和tan A之间的关系),在探究的过程中可以通过自主探究与合作交流的方式抓住重点,突破难点.学生在运用正切解决问题时,一定要注意其前提条件——在直角三角形中,找准直角是解题的关键.而有些题目需要作辅助线构造直角三角形,也可以通过角度的转化进行求解,同时还要注意数形结合思想的运用.如图所示,设计建造一条道路,路基的横断面为梯形ABCD,设路基高为h,两侧的坡角分别为α,β.已知h=2m,α=45°,tanβ=,CD=10m.求路基底部AB的宽.〔解析〕如图所示,过D,C分别作下底AB的垂线,垂足分别为E,F.在Rt△ADE和Rt△BCF中,可根据h的长以及坡角的度数或坡比的值,求出AE,BF的长,进而可求得AB的值.解:如图所示,过D作DE⊥AB于E,过C作CF⊥AB于F,∴DE∥CF.∵四边形ABCD为梯形,∴AB∥CD,∴EF=CD=10m.∴四边形DCFE为矩形.在Rt△ADE中,α=45°,DE=h=2m,∴CF=DE=h=2m.在Rt△BCF中,tanβ=,CF=2m,∴BF=2CF=4(m).故AB=AE+EF+BF=AE+CD+BF=2+10+4=16(m).答:路基底部AB的宽为16m.[解题策略]此题主要考查了坡度问题的应用,求坡度、坡角问题通常要转换为解直角三角形的问题,必要时应添加辅助线,构造出直角三角形.。
7.2.1 任意角的三角函数(第一课时)(课件)-2021-2022学年高一数学同步精品课件(苏教版
y＝ 23. 于是 sin α＝y＝ 23，cos α＝x＝12，tan α＝yx＝ 3.
谢 谢观看
中，|OP|＝1，∠POB＝π3，则|PB|＝ 23，|OB|＝12，则 P－12， 23.所以 sin 23π＝ 23，
cos 23π＝－12， 3
tan 23π＝－212＝－ 3.
规律方法 在单位圆中找到角的终边与单位圆的交点的坐标.然后利用定义，即 可得到特殊角的三角函数值.
【训练2】 对于表中的角α，计算sin α、cos α、tan α的值，并填写下表.
一、课堂小结 1.通过本节课的学习，重点提升数学抽象、直观想象素养. 2.正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或比值为函数值的
函数. 3.角α的三角函数值的符号只与角α所在象限有关，角α所在象限确定，则三角函
数值的符号一定确定，规律是“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.
二、课堂检测
规律方法 三角函数值符号的判断问题： (1)由三角函数的定义可知 sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx(r>0)可知三角函数值的符 号是由角的终边上一点(除原点)P(x，y)的坐标确定的，故准确确定角的终边位置 是判断该角三角函数值符号的关键. (2)由三角函数值的符号确定 α 角的终边所在象限问题，应首先依据题目中所有三 角函数值的符号来确定角 α 的终边所在的象限，则它们的公共象限即为所求. (3)已知正弦或余弦符号时，不要忘记终边可能在坐标轴上.
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不存
5.6 三角函数倍角公式 -(必修第一册) (教师版)
三角函数倍角公式(本专题仅为公式求值、公式变换等巩固练习，其应用在另一专题讲解)1 二倍角的正弦余弦正切公式①sin2α=2sinαcosα②cos2α=cos2α−sin2α=1−2sin2α=2cos2α−1③tαn2α= 2 tαnα1−tαn2α(由S(α±β)、C(α±β)、T(α±β)可推导出sin2α，cos2α，tan2α的公式)2 降幂公式cos2α=1+cos2α2sin2α=1−cos2α2(由余弦倍角公式可得) 3∗半角公式sin α2=±√1−cosα2,cosα2=±√1+cosα2,tanα2=±√1−cosα1+cosα(由降幂公式可得) 4∗万能公式sinα=tanα21+tan2α2，cosα=1−tan2α21+tan2α2,tanα=2tanα21−tan2α2(由倍角公式可得) 5∗积化和公式sinα∙cosβ=12[sin(α+β)+sin(α−β)]cosα∙cosβ=12[cos(α+β)+cos(α−β)]sinα∙sinβ=12[cos(α−β)−cos(α+β)](由和差公式可得) 6∗和化积公式sinα+sinβ=2sin α+β2cosα−β2sinα−sinβ=2cosα+β2sinα−β2cosα+cosβ=2cos α+β2cosα−β2cosα−cosβ=−2sinα+β2sinα−β2(由和差公式可得)【题型一】 倍角公式的运用 【典题1】 求值cos35°√1−sin20°= ．【解析】cos35°√1−sin20°=cos 210°−sin 210cos (45°−10°)(cos10°−sin10°) =cos10°+sin10°cos45°cos10°+sin45°sin10°=√22(cos10°+sin10°=√2.【典题2】计算4cos50°−tan40°= . 【解析】 4cos50°−tan40°=4cos50°−sin40°cos40°=4cos50°cos40°−sin40°cos40°=4sin40°cos40°−sin40°cos40°=2sin80°−sin40°cos40°=2cos10°−sin40°cos40°=2cos (40°−30°)−sin40°cos40°=√3cos40°cos40°=√3【点拨】 ① 正切化弦；② 注意角度之间的关系，比如互余(50°与40°、80°与10° )、倍数关系、角度相差值是特殊值(10°与40°相差30°).【典题3】如果1+tanα1−tanα=2013，那么1cos2α+tan2α= .【解析】1cos2α+tan2α=1cos2α+sin2αcos2α=1+sin2αcos2α(化切为弦) =(cosα+sinα)2(cosα+sinα)(cosα−sinα)=1+tanα1−tanα=2013 【点拨】① 本题的思路有二，一是先化简所求式子再利用已知条件，化二倍角为一倍角；二是由已知可求tanα，进而可得sinα,cosα，再求tan2α与cos2α得结果，但数值不好求. ② 化切为弦是常见思路，也可1cos2α+tan2α=cos 2α+sin 2αcos 2α−sin 2α+2tanα1−tan 2α=1+tan 2α1−tan 2α+2tanα1−tan 2α=(1+tanα)21−tan 2α=1+tanα1−tanα=2013．方法多样，多思考.【典题4】已知sin(π12−α2)=√33，则sin(2α+π6)的值为 . 【解析】∵sin(π12−α2)=√33， ∴cos (π6−α)=1−2sin 2(π12−α2)=13，∴sin (2α+π6)=cos (π3−2α)=2cos 2(π6−α)−1=2×(13)2−1=−79．【点拨】α2与2α是四倍关系，故可用借助α进行转化；解题中多用综合法与分析法求解.【典题5】 若α∈(0 ,π2)，且cos2α=√25sin(α+π4)，则tanα= ．【解析】 ∵α∈(0 ,π2)，且cos2α=√25sin(α+π4)，∴cos2α=√25×√22(sinα+cosα)=15(sinα+cosα)，∴cos 2α−sin 2α=(cosα−sinα)(sinα+cosα)=15(sinα+cosα)，∴cosα−sinα=15① ,∴①式两边平方可得：1−2sinαcosα=125，解得2sinαcosα=2425， ∴2sinαcosαsin 2α+cos 2α=2tanα1+tan 2α=2425，(巧用sin 2α+cos 2α=1，齐次化处理) 可得12tan 2α－25tanα+12=0，解得tanα=34或43． 由①可知cosα>sinα，即tanα<1，(注意对最后求值的取舍)4【点拨】本题的处理方法很多，平时要多注意一题多解，提高对公式灵活运用的能力. 比如凑角cos2α=√25sin (α+π4)⇒sin2(α+π4)=√25sin (α+π4)；得到cosα−sinα=15后能求出cosα和sinα等等.巩固练习1(★) 计算√3−tan12°(2cos 212°−1)sin12°= ． 【答案】 8【解析】原式=√3−sin12°cos12°cos24°sin12°=√3cos12°−sin12°cos24°sin12°cos12°=2sin(60°−12°)14sin48°=2sin48°14sin48°=8． 2(★) 已知θ∈(0 ,π2) ,sinθ=√55，则cos2θtanθ= .【答案】 65【解析】∵θ∈(0，π2)，sinθ=√55，∴cosθ=√1−sin 2θ=2√55，tanθ=sinθcosθ=12， 则cos2θtanθ=cos 2θ−sin 2θtanθ=2025−52512=65，3(★) 若tanα+1tanα=3，则cos4α= . 【答案】 19【解析】∵tanα+1tanα=sinαcosα+cosαsinα=2sin2α=3， ∴sin2α=23，∴cos4α=1－2sin 22α=19．4(★★) 设tanα=12，cos(π+β)=−45(β∈(0 ,π))，则tan(2α－β)的值为 . 【答案】724【解析】∵tanα=12，tan2α=2tanα1−tan 2α=11−(12)2=43， cos(π+β)=−cosβ=−45，β∈(0，π)， ∴cosβ=45，sinβ=35，tanβ=34，∴tan(2α−β)=tan2α−tanβ1+tan2αtanβ=724．5(★★) 已知α∈(0 ,π)，且3cos2α－8cosα=5，则sinα= . 【答案】√53【解析】由3cos2α－8cosα=5，得3(2cos 2α－1)－8cosα－5=0， 即3cos 2α－4cosα－4=0，解得cosα=2(舍去)，或cosα=−23． ∵α∈(0，π)，∴α∈(π2，π)， 则sinα=√1−cos 2α=√1−(−23)2=√53．6 (★★) 已知α∈(0 ,π2)，若sin2α－2cos2α=2，则sinα= . 【答案】2√55【解析】∵sin2α－2cos2α=2，∴sin2α=2(cos2α+1)=4cos 2α，可得sinαcosα=2cos 2α， ∵α∈(0，π2)，可得cosα≠0， ∴sinα=2cosα，∵sin 2α+cos 2α=sin 2α+14sin 2α=1， 解得sin 2α=45，可得sinα=2√55．7 (★★) 已知α∈(π2,π) ,tan2α=34,则sin2α+cos 2α= . 【答案】−12【解析】∵tan2α=2tanα1−tan 2α=34，α∈(π2，π)，∴tanα=－3或 13(舍去)， ∴sin2α+cos 2α=2sinαcosα+cos 2αsin 2α+cos 2α=2tanα+1tan 2α+1=−12． 8 (★★) 已知sinα=2sinβ ,tanα=3tanβ，则cos2α= . 【答案】 −14或1【解析】∵已知sinα=2sinβ，∴sinβ=12sinα ①．∵tanα=3tanβ，∴sinαcosα=3sinβcosβ，可得 cosβ=32cosα②，或sinα=0 ③．若②成立，则把①、②平方相加可得1=14sin2α+94cos2α=14+2cos2α，解得cos2α=38．可得：cos2α=2cos2α－1=−14，若③成立，则有cos2α=1．可得cos2α=2cos2α－1=1，综上可得，cos2α=−14，或cos2α=1．故答案为：−14或1．【题型二】降幂公式的运用【典题1】在∆ ABC中，若3 cos2A−B2+5sin2A+B2=4，求tαn A tαnB.【解析】在∆ ABC中，若3 cos2A−B2+5sin2A+B2=4∴ 3× 1+cos(A−B)2+5×1−cos (A+B)2=4即32 cos (A−B)−52cos (A+B)=0即3(cos A cos B+sin A sin B)=5(cos A cos B−sin A sin B)，即2 cos A cos B=8 sin A sin B ,∴ tαn A tαn B=14【点拨】式子中出现“平方”形式，想到降幂公式cos2α=1+cos2α2、sin2 α=1−cos2α2.巩固练习1(★★) 若cos2θ=14，则sin2θ+2cos2θ的值为.【答案】13 8【解析】∵cos2θ=1 4，∴sin2θ+2cos2θ=1−cos2θ2+1+cos2θ=32+12cos2θ=32+12×14=138．2(★★)已知tanθ是方程x2－6x+1=0的一根，则cos2(θ+π4)= .【答案】1 3【解析】∵tanθ是方程x2－6x+1=0的一根，∴tan2θ－6tanθ+1=0，则sin2θcos2θ−6sinθcosθ+1=0，可得sin2θ－6sinθcosθ+cos2θ=0，可得sinθcosθ=1 6，∴sin2θ=2sinθcosθ=13，∴cos2(θ+π4)=1+cos(2θ+π2)2=1−sin2θ2=1−132=13．3(★★) 已知cos2αsinα+cosα=√24，则cos2(34π+α)的值是.【答案】7 8【解析】∵cos2αsinα+cosα=(cosα+sinα)(cosα−sinα)sinα+cosα=cosα－sinα=√24，∴两边平方，可得1－sin2α=18，可得sin2α=78，∴cos2(34π+α)=cos(3π2+2α)=sin2α=78．【题型三】角的变换【典题1】若sin(θ+π8)=13，则sin(2θ−π4)=.【解析】∵2θ−π4=2(θ+π8)−π2，∴sin(2θ−π4)=sin[2(θ+π8)−π2]=−cos2(θ+π8)=−[1－2sin2(θ+π8)]=−79．【点拨】因为已知角θ+π8和所求角2θ−π4中θ的系数是2倍的关系，故想到2(θ+π8)与2θ−π4的差π2是特殊角为关键，则有2θ−π4=2(θ+π8)−π2.【典题2】已知sin(α+3π4)=45，cos(π4−β)=35，且−π4<α<π4,π4<β<3π4，求cos2(α－β)的值．【解析】由−π4<α<π4得，π2<α+34π<π，(注意角度的范围)所以cos(α+34π)=−√1−sin2(α+34π)=−35，由π4<β<34π得，−π2<π4−β<0，所以sin(π4−β)=−√1−cos2(π4−β)=−45，所以cos[(α+34π)+(π4−β)]=cos(α+34π)cos(π4−β)－sin(α+34π)sin(π4−β)=(−35)×35−45×(−45)=725即－cos(α－β)=725，所以cos2(α－β)=2cos 2(α－β)－1=2×(−725)2−1=−527625【点拨】本题关键在于发现两个已知角之和(α+34π)+(π4−β)=π+α－β与所求角2(α－β)之间差个特殊角π存在两倍的关系. 【总结】① 当已知角只有一个时，可已知角与所求角的和或差的值是否为一固定特殊角，或看已知角(所求角)的2倍与所求角(已知角)和或差的值是否为一固定特殊角；当已知角有两个时，主要看两个已知角的和或差形式与所求角的关系； 特殊角为0、π3、π4、π6、π等.② 常见的角变换有：α=2∙α2 ， α=(α+β)−β=β−(α+β)，π4+α=π2−(π4−α)， β=12[(α+β)−(α−β)]等.③ 在运用和差角公式和倍角公式时，要注意“整体思想”的运用. 巩固练习1(★★) 若cos(α+π12)=√23，则sin(π3−2α)的值为 ．【答案】 −59【解析】∵cos(α+π12)=√23，∴cos[2(α+π12)]＝2cos 2(α+π12)－1＝2×(√23)2－1=−59，即cos(2α+π6)=−59，即cos[π2−(π3−2α)]＝sin(π3−2α)=−59．2(★★) 已知cos(α+π6)=35，α∈(0，π2)，则cos(2α+7π12)= ． 【答案】 −31√250∴(α+π6)∈(0，π2)，(2α+π3)∈(0，π)．cos(2α+π3)=2cos2(α+π6)−1=2×(35)2−1=−725．∴sin(2α+π3)=√1−cos2(2α+π3)=2425．∴cos(2α+7π12)=cos(2α+π3+π4)=cos(2α+π3)cosπ4−sin(2α+π3)sinπ4=−725×√22−2425×√22=−31√225．3(★★) 已知cos(θ+π6)=−√33，则sin(π6−2θ)=．【答案】−1 3【解析】∵cos(θ+π6)=−√33，∴sin(π6−2θ)=cos[π2−(π6−2θ)]=cos(2θ+π3)=2cos2(θ+π6)−1 =2(−√33)2−1=−13．4(★★)已知cosα=2√55，cos(β－α)=3√1010，且0<α<β<π2，则β=．【答案】π4【解析】由于0<α<β<π2，故0<β−α<π2，cosα=2√55．所以sinα=√55．cos(β－α)=3√1010，所以sin(β−α)=√1010，所以cosβ=cos[(β－α)+α]=cos(β－α)cosα－sin(β－α)sinα=√22．所以β=π4．5(★★★) 已知π2<β<α<3π4，且cos(α－β)=1213，sin(α+β)=−35，求cos2α的值．【答案】 −3365【解析】∵π2<β<α<3π4，∴0<α－β<π2，π<α+β<3π2，∴sin(α－β)=√1−(1213)2=513，cos(α+β)=−√1−(−35)2=−45，则cos2α＝cos[(α－β)+(α+β)]＝cos(α－β)cos(α+β)－sin(α－β)sin(α+β)=1213×(−45)－(−35)×513=−3365．6(★★★)设0<x1<x2<π，若sin(2x1−π3)=sin (2x2−π3)=35，求cos(x1−x2).【答案】35【解析】设0<x1<x2<π，则−π3<2x1−π3<2x2−π3<5π3∵ sin (2x1−π3)=sin (2x2−π3)=35∴ 0<2x1−π3<π2,π2<2x2−π3<π∴π6<x1<5π12,5π12<x2<2π3∴−π2<x1−x2<0∴ cos (2x1−π3)=45,cos(2x2−π3)=−45∴ cos 2(x1−x2)=cos[(2 x1−π3)−(2 x2−π3)]=cos(2x1−π3)⋅ cos(2x2−π3)+sin(2x1−π3)⋅ sin(2x2−π3)=−1625+925=−725∴ cos2(x1−x2)=2 cos2(x1−x2)−1∴ cos2(x1−x2)=12(1−725)=925∴ cos(x1−x2)=35.【题型四】简单的三角恒等变换(选学内容)【典题1】若α∈(0 ,π)，且sinα+2cosα=2，则tan α2等于.【解析】∵α∈(0 ,π)，∴α2∈(0 ,π2)，设tan α2=x，x>0，∵sinα=2tanα21+tan2α2=2x1+x2，cosα=1−tan2α21+tan2α2=1−x21+x2，∴sinα+2cosα=2x1+x2+2⋅1−x21+x2=2x+2−2x21+x2=2，即x+1−x2=1+x2，解得x=1 2 .【点拨】本题利用万能公式，也可利用sinα+2cosα=2求出sinα,cosα，再求tanα得到tan α2 .【典题2】在△ABC中，B=π4，则sinAsinC的最大值是.【解析】方法一两角和差公式、二倍角公式sinAsinC=sinAsin(π−A−B)=sinAsin(3π4−A)=sinA(√22cosA+√22sinA) =√24sin2A−√24cos2A+√24=12sin(2A−π4)+√24∵0<A<3π4∴−π4<2A−π4<5π4∴当2A−π4=π2，即A=3π8时，sinAsinC取得最大值2+√24．方法二积化和差sinAsinC=12[cos(A−C)−cos(A+C)]=12[cos(A−C)−cos3π4]=12[cos(A−C)+√22]∵−1≤cos(A−C)≤1∴−2−√24≤12[cos(A−C)+√22]≤2+√24.当A−C=0，即A=C=3π8时，sinAsinC取得最大值2+√24．【点拨】掌握积化和差公式，对于处理含涉及sinAsinB,cosAcosB,sinAcosB的题目较为有利.巩固练习1(★★) sin220°+cos80°cos40°=．【答案】1 4【解析】sin220°+cos80°cos40°=sin220°+12(cos120°+cos40°) =sin220°+12cos40°−14=sin 220°+12(2cos 220°﹣1)−14 =1−12−14 =14．2(★★) sin(α+30°)−sin(α−30°)cosα的值为 ．【答案】 1【解析】sin(α+30°)−sin(α−30°)cosα=√32sinα+12cosα−√32sinα+12cosαcosα=cosαcosα=1 3(★★) 已知θ为第二象限角，25sin 2θ+sinθ−24=0，则sin θ2的值为 .【答案】 ±45【解析】∵θ为第二象限角，∴sinθ>0，则2kπ<θ<2kπ+π ,k ∈Z ，则kπ<θ2<kπ+π2，k ∈Z ， 当k 是偶数，设k =2n ，则2nπ<θ2<2nπ+π2，n ∈Z ，此时θ2为第一象限， 当k 是奇数，设k =2n +1，则2nπ+π<θ2<2nπ+3π2，n ∈Z ，此时θ2为第三象限， 则θ2为第一或第三象限， ∵25sin 2θ+sinθ﹣24=0，∴sinθ=−1(舍去)或sinθ=2425， ∴cosθ=−725，∴sin θ2=±√1−cosθ2=±√1625=±45， 4(★★) 若sinα=−35，α是第三象限角，则1−tan α21+tan α2= .【答案】 −2【解析】sinα=−35，α是第三象限角，∴cosα=−√1−sin 2α=−45，则1−tan α21+tan α2=cos α2−sin α2cos α2+sin α2=(cos α2−sin α2)2cos 2α2−sin 2α2=1−sinαcosα=1+35−45=−2， 5(★★) 已知cosα+cosβ=12，则cos α+β2cos α−β2的值为 .【答案】 14 【解析】∵cosα+cosβ=12，∴cosα+β2cos α−β2=12[cos (α+β2−α−β2)+cos (α+β2+α−β2)] =12(cosα+cosβ)=12×12=14． 6(★★★) 已知α ,β为锐角，且α−β=π6，那么sinαsinβ的取值范围是 ．【答案】 (0 ,√32)【解析】∵α−β=π6∴sinαsinβ=−12[cos (α+β)﹣cos(α﹣β)]=−12[cos (α+β)−√32] =−12[cos(2β+π6)−√32]∵β为锐角，即0<β<π3∴π6<2β+π6<5π6，∴−√32<cos(2β+π6)<√32∴0<−12[cos(2β+π6)−√32]<√32故答案为：(0 ,√32)7(★★★) cos π7+cos3π7+cos 5π7= ． 【答案】 12【解析】cos π7+cos 3π7+cos 5π7=1sin π7(sin π7cos π7+sin π7cos 3π7+sin π7cos 5π7) =12sin π7[sin 2π7+(sin 4π7−sin 2π7)+(sin 6π7−sin 4π7)]=1 2sinπ7sin6π7=12sinπ7×sin(π−π7)=12．。
7.3三角函数的图像和性质第一课时课高一上学期数学苏版(2019)必修第一册+
2.画出下列函数的简图，并说明这些函数的图象与正弦曲线的区别和联系：
(1) y=sinx-1 (x∈[-2π, 2π]) ；
(2) y=2sinx(x∈[-2π, 2π])．
3.课堂延展：请根据今天所学知识，预习并完成表格 “正余弦函数的图像和性质对比表”
例如：二次函数 y=x2+1
可以讨论：
3.想一想：正、余弦三角函数的图像应该是什么样的？
4.三角函数的周期性怎样运用？ 由于y =sin x是以2π为周期的周期函数，故只要画出在[0, 2 π] 上的图像，然后由周期性，就可以得到整个图像． (即为今天我们作图的基本思路)
三. 数学构建
（一）正弦函数y=sinx的图像
4.图形基本形状特征 y=sin x在一周期[0, 2π]上的图像为“睡S”形 y=cos x在一周期[0, 2π]上的图像为“沟渠”形
五.作业和课堂延伸
1.用“五点作图法”画出下列函数的简图. (1) y =2cosx (x∈[-2π, 2π])； (2)y =sin2x (x∈[-π, π]).
1.“五点作图法”画 y =cosx，x[0,2] 的图像
x y=cosx
π/ 0
2
1
0
3π
2π
π
/2
-1
0
1
2.平移法：
y cos x sin(x )
2
余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左平移π/2个长度单位而得到：
余弦曲线 y
1
正弦曲线
-2 -3/2 - -/2 O /2 3/2 2 x
1.1锐角三角函数第1课时正切(教案)
其次，在新课讲授环节，我发现学生在理解正切函数定义和计算公式时，还存在一定的困难。这说明对于基础概念和公式的讲解，还需要更加细致和生动。在今后的教学中，我可以尝试使用更多的教具和实物，帮助学生形象地理解正切函数的定义和计算方法。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调正切函数的定义和计算这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解，例如，通过不同角度的正切值计算，让学生看到正切值随角度变化的规律。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与正切函数相关的实际问题，如测量树的高度或建筑物的高度。
突破方法：总结记忆技巧，如“正切等于对边除邻边”，并通过大量练习巩固记忆。
（3）实际问题的解决：学生面对实际问题，不知如何运用正切函数建立数学模型。
突破方法：提供丰富的实际问题案例，引导学生学会分析问题、建立数学模型，并逐步解决问题。
（4）正切函数的性质：学生对正切函数随角度变化的规律理解不深，难以把握其性质。
1.1锐角三角函数第1课时正切（教案）
一、教学内容
本节课选自《数学》八年级上册第十一章“锐角三角函数”的第一课时，主要内容为正切函数的定义及应用。具体内容包括：
1.理解正切函数的概念：通过观察直角三角形的对边与邻边的比值，引出正切函数的定义。
2.掌握正切函数的表示方法：利用直角三角形的边长关系，推导出正切函数的计算公式，即tanα =对边/邻边。
任意角的三角函数,(第一课时)教案
第一章基本初等函数（Ⅱ）1．2 任意角的三角函数第一教案――――――――――――――――――――――――――――――――――――教材教案第1课时任意角的三角函数（一）【教学目标】1、知识目标（1）借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；（2）从任意角的三角函数的定义认识其定义域、函数值的符号；（3）根据定义理解公式一；2．能力目标能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题。
3、情感目标让学生积极参与知识的形成过程，经历知识的“发现”过程，获得“发现”的经验，培养合情猜测能力。
【重点难点】1、重点任意角的三角函数的定义。
2、难点用角的终边上的点刻画三角函数。
案例（一）教学过程教学过程1、观察投影片，思考问题：“我们已经学过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数的函数，你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗？”教师——请同学们把给定锐角α放在直角坐标系中，研究其正弦、余弦、正切，并给出投影，图1.2－1。
学生——观察图1.2－1，在锐角的终边上任取一点P （a,b ）,根据锐角三角函数的定义写出锐角三角函数的正弦、余弦、正切。
教师——提出探究性问题：锐角三角函数的这些坐标表示，形式上与点P 的坐标值有关，点P 的位置不同，表示式中的a,b 也就不同，但实际上，作为锐角三角函数的值与终边上点P 的位置选择有关吗？请同学交流、讨论。
学生——利用相似三角形知识，不难探究出αααtan ,cos ,sin 的值与点P 的位置选择无关的结论。
师生——由此，师生达成共识：为了表示角α的三角函数值，可在α的终边上取一个“比较好”的特殊点。
同学们认为哪个点比较好？（发表各自的观点，说明理由）最后得出，将α的终边与单位圆的交点作为这个特殊点来表示锐角三角函数的值比较好，形式简单！2、任意角的三角函数的定义。
教师——到目前为止，我们在角和函数方面做了两个方面的工作，一是推广了角的概念，一是给出了锐角三角函数的坐标表示，那么，将这两个工作成果结合起来，你能给任意角定义各三角函数吗？请交流讨论给出你们的关点。
人教版数学必修四：1.2.1任意角的三角函数(1)(教师版)
课题：§1.2.1任意角的三角函数(1)总第____课时班级_______________【学习目标】1．掌握任意角的正弦，余弦，正切的定义；2【重点难点】学习重点：任意角的正弦，余弦，正切的定义.学习难点：理解三角函数的定义,掌握三角函数的定义域和值域【学习过程】一、自主学习与交流反馈问题1：初中课本中是如何定义锐角三角函数的？问题2：如右图，点P是半径为R的圆O上一点，点P在圆O上运动，当点P从点A位置运动到点P位置时，∠AOP =α. 如果我们以O为坐标原点，OA为x轴正方向建立平面直角坐标系。
我们是不是可以用（r，α）来准确地表示点P的位置？点P的位置可以用它的坐标(x，y)来表示，你能找出（r，α）与(x，y)的关系吗？问题3：填表（课前先完成30°，45°，60°填空）：二、知识建构与应用：1．给出任意角三角函数的定义:如图： 在平面直角坐标系中， 设角α的终边上除原点外任意一点P 的坐标是),(y x ， 它与原点的距离是)0(22>+=y x r r 。
我们规定：αsin = ;αcos = ，αtan = .问题：点P 的位置不同，会不会改变三角函数值？2．三角函数的定义域3．由定义指出每个象限内的角对应的三角函数值的符号，总结规律.三、例题例1 已知α的终边经过点P(2,-3)，分别求α的正弦、余弦、正切值.变式⑴： 已知角α的终边经过P(4,-3),求2sin α+cos α的值.变式⑵： 已知角α的终边经过P(4a,-3a),(a ≠0) 求2sin α+cos α的值.例2 确定下列三角函数值的符号：（1）cos 7π12 ; (2)sin(-465°) ; (3) tan 11π3例3 （1）若0sin <α且0tan <α,试确定α为第几象限角. （2）使0cos sin <⋅αα成立的角α的集合.例4 确定下列三角函数的符号：（1）sin2 (2)cos(-3) (3) )108tan(310cos 0-四、巩固练习1．已知角α的终边经过点P ，求α的正弦、余弦、正切值。
九年级数学下册1锐角三角函数第1课时正切教案新版北师大版
正切教学目标【知识与技能】1.了解锐角三角函数的概念,能够正确应用tanA表示直角三角形中两边的比.2.理解坡度的概念,并能够计算坡面的坡度.【过程与方法】通过锐角三角函数的学习进一步认识函数,体会函数的变化与对应的思想,体会数学在解决实际问题中的应用.【情感、态度与价值观】1.通过学习培养学生的合作意识.2.通过探究提高学生学习数学的兴趣.重点难点【重点】锐角三角函数的概念,坡比的概念.【难点】锐角三角函数概念的理解.教学过程一、创设情境,导入新知师:高架桥的起始一段有倾斜的部分,这个坡面的坡度或者说倾斜程度是怎样度量的呢?学生思考.二、共同探究,获取新知1.正切的概念.教师多媒体课件出示:在下图中,有两个直角三角形,直角边AC与A1C1表示水平面,斜边AB与A1B1分别表示两个不同的坡面,坡面AB和A1B1哪个更陡?你是怎样判断的?生:A1B1更陡.师:你是怎样判断的呢?生甲:这两个中同样是100的一段,对应的高度A1B1上升得多.生乙:(2)倾斜得厉害.教师多媒体课件出示:师:这个图里,你能判断坡面AB和A1B1哪个更陡吗?学生观察后回答:A1B1更陡.师:为什么?生:……教师多媒体课件出示:如图,在锐角A的一边上任取一点B,自点B向另一边作垂线,垂足为C,得到Rt△ABC;再任取一点B1,自点B1向另一边作垂线,垂足为C1,得到另一个Rt△AB1C1……这样,我们可以得到无数个直角三角形,这些直角三角形都相似.在这些直角三角形中,锐角A的对边与邻边之比、、……究竟有怎样的关系?教师读题后学生思考.生:锐角A的这些对边与邻边之比都是相等的.师:对,在这些直角三角形中,当锐角A的大小确定后,无论直角三角形的大小怎样变化,∠A的对边与邻边的比值总是一个定值.教师边操作边讲解:在这个直角三角形ABC中,我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA,即tanA===.2.坡度、坡角的概念.教师边作图边讲解:正切经常用来描述坡面的坡度.坡面的铅直高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度(或坡比),记作i,即i=,坡度通常写成h∶l的形式.坡面与水平面的夹角叫做坡角(或称倾斜角),记作α,于是有i==tanα.你能得到坡度与坡角之间的关系吗?生:能.坡度越大,坡角越大,坡面就越陡.师:很好!三、举例应用,巩固新知教师多媒体课件出示:【例1】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,求tanA和tanB.tanA===.师:你能计算出∠A和∠B的正切吗?学生思考后回答:能.师:怎样计算?教师找一生回答.生:tanA==,tanB==师:你回答得很好!现在请同学们看课本第114页练习的第3题.学生读题后,教师找两生板演,其余同学在下面做,然后集体订正.解:AC===≈199.64,∴引桥的坡度为:tan∠BAC===≈0.06.四、练习新知1.师:下面让我们一起来看几道习题.教师板书习题:(1)为测量如图所示的上山坡道的倾斜度,小明测得数据如图所示,则该坡道倾斜角α的正切值是( )A. B.4 C. D.【答案】C(2)晓敏由地面沿坡度i=1∶2的坡面向上前进了10 m,此时她距离地面的高度为( )A.5 mB.4 mC.2 mD. m【答案】C(3)在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,AC=6,则tanA的值为 .【答案】(4)在△ABC中,∠C=90°,BC=6,tanA=,则AC的长是 .【答案】9五、课堂小结师:本节课你又学习了什么内容?学生回答.师 :你还有什么疑问?学生提问,教师解答.教学反思本节课采用问题引入法,从教材探究性问题梯子的倾斜度入手,让学生主动参与学习活动.用特殊值探究锐角的三角函数时,学生们表现得非常积极,从作图、找边角、计算各个方面进行探究,学生发现:特殊角的三角函数值可以用勾股定理求出,然后探究:三角函数与直角三角形的边、角有什么关系?三角函数与三角形的形状有关系吗?整节课都在紧张而愉快的气氛中进行.学生非常活跃,大部分人都能积极动脑、积极参与.教学中,我一直比较关注学生的情感态度,对那此积极动脑、热情参与的同学都给予了鼓励和表扬,促使学生的情感和兴趣始终保持最佳状态,从而保证教学活动的有效性.。
1三角函数(教师版)
（1） 与 （2） 与
例2：求证角θ为第三象限角的充分必要条件是
例3求下列三角函数的值
(1)sin1480°10′(2) （3） .
练习：
求值：sin(-1320°)cos1110°+cos(-1020°)sin750°+tg4950°
题型三：同角三角函数
例1：已知sinα= ,并且α是第二象限的角,求cosα,tanα的值。
练习3
（1）钟表经过十分钟，时针转了多少度？分针转了多少度？（2）若将钟表拨慢十分钟，则时针转了多少度？分针转了多少度？
考点二：三角函数弧度制
题型一：角度制与弧度制的互化
例1把下列各角的弧度数化为度数，度数化为弧度数并指明它们各自所在象限：
（1） （2） （3） （4）
题型二：用弧度制表示区间角问题
（2）求 、 、 的值．
17、化简：tanα（cosα－sinα）＋
2.
题型二：象限角与非象限角
例2.请写出一个象限的角与非象限角。象限，试确定 , 的终边所在象限.
练习2：
已知角 是第三象限，试确定 的终边所在象限.
题型四：任意角在实际生活中的应用
例4.将钟表上的时针作为角的始边，分针作为终边，那么当钟表上显示八点五分时，时针与分针构成的角度是多少？
第二象限角
第三象限角
第四象限角
终边在 轴上的角
终边在 轴上的角
终边在坐标轴上的角
知识点4：弧度制
我们规定，长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角； 用弧度来度量角的单位制叫做弧度制。在弧度制下，1弧度记做1rad.
①角度与弧度之间的转换：
1）将角度化为弧度：
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1
.1
图
7.3图7
.2图7三角函数及其有关概念
[知识清单]
一、角的概念 1. 角
角是以一点为公共端点的两条射线组成的图形.公共端点叫做角的顶点, 两条射线叫做 角的边。
2.正角、负角、零角
正角与负角是由旋转的方向决定的，我们把按逆时针方向旋转所形成的角
叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角形成一个数值为0的角，我们把这个角叫做零角。
3．终边相同的角 具有相同的终边的角叫做终边相同的角，如图7.1中的边相同的角。
①终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同； ②终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍，如：
α与360()k k Z α+∈
，β与360()k k Z β+∈ ，β与360()k k α+∈ Z 都是终边相同的角。
例 设176π
α=-
，则与α终边相同的最小正角是多少？ 解 1717777236066666
πππππα=-=--+=-⨯+
所以，与176
πα=-终边相同的最小正角是76π。
例 设203π
α=，则与α终边相同的绝对值最小的负角是多少？
解 2020444
436033333
πππππα==+-=⨯- 所以，所求之角是43
π-。
4. 象限角 在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角，如αβ与个象限,我们称其为界限角。
例 900-
是第几象限的角？
解 9002360-=-⨯
，
所以900- 是第二象限的角。
例：-572。
是（ ）象限的角。
5、角的度量
1）. 角度制 当射线绕端点逆时针方向旋转使终边与始边第一次重
合时所形成的角叫做周角，规定1周角为360º。
1周角的1
360
为1度， 2）. 弧度制 等于半径长的圆弧所对的圆心角称为1弧度的角。
用弧 度作单位来测量角的制度叫做弧度制。
1弧度也记为1rad
2
o
y x
o
y x
o y
x
.5
图7sin ,csc αα
tan ,cot αα
cos ,sec αα
+
+
+
+++
---
--
-
规定正角的的弧度数为正数，负角的的弧度数为负数，零角的弧度数为零。
3）.角度与弧度的换算关系
2360π=
弧度, 360157.3057172π
'=
≈=
弧度, 10.017435180π=≈ 弧度弧度 几个常用的特殊角的角度与弧度的换算关系如下表：
例 150º是多少弧度？
6
弧度是多少角度
解 51501501806π
π=⨯=
（弧度）， 1111180
()33066
π⨯== 弧度 二、任意角的三角函数
1.
任意角的概念 锐角是大于0º 而小于90º的角，在直角坐标系中，顶点在原点，始边在x 轴正半轴，终边在任意象限中的角叫做任意角。
2. 任意角的三角函数 设直角坐标系中任一点(,)P x y 是角α终边上的任意一点，它与坐标原点的
距离为(0)r r >，则比值,,,y x y x
r r x y
分别叫做角α的正弦、余弦、正切、余切即：
sin ,cos ,tan ,cot ,y x
r r y x
x y
αααα====
(1)sin csc 1αα=
、(2)22sin cos 1αα+=、 3. 任意角的三角函数值的正负 任意角的三角函数值的正负由角的终边所在的象限决定，见图7.5
4. 特殊角的三角函数值
,++(,+-图7.4
3
例1：已知角a 的终边通过点p(3,4),则sina+cosa+tana=( ) 解：根据点P 知a 在第一象限，第一象限四个三角函数都为正 角a 的终边通过点P （3，4），边始默认为x 轴，那么tan a = 4 /3 ; 那么斜边为5 ;sin a = 4 /5 ; cos a = 3 / 5 ; 所以sina+cosa+tana 等于41/15
例 2与330度终边相同的角的集合为（{2330,}x x k k z π=+︒∈ ）。
例3 已知
cot 0sin α
α
>试确定α是第几象限的角 解 (1)cot 0,sin 0αα>>
由cot 0α> 知，α是第一或第三象限的角，由sin 0α> 知，α是第一或第二象限的
角，所以α 是第一象限的角 (2) cot 0,sin 0αα<<
由cot 0α< 知，α是第二或第四象限的角，由sin 0α< 知，α是第三或第四象限的角，所以α 是第四象限的角
所以，α是第一或第四象限的角
例 4 已知α是锐角且sin 0.8α=，求cos α、tan α
解 α是锐角且sin 0.8α=可得函数关系如图7.7，因此： 0.6c o s 0.61α==， 0.81t a n 10.63α==， 0.6c o t 0.750.8
α== .7
图7。