三角函数(课时一)教师版

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.1

图

7.3图7

.2图7三角函数及其有关概念

[知识清单]

一、角的概念 1. 角

角是以一点为公共端点的两条射线组成的图形.公共端点叫做角的顶点, 两条射线叫做 角的边。

2.正角、负角、零角

正角与负角是由旋转的方向决定的，我们把按逆时针方向旋转所形成的角

叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角形成一个数值为0的角，我们把这个角叫做零角。

3．终边相同的角 具有相同的终边的角叫做终边相同的角，如图7.1中的边相同的角。 ①终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同； ②终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍，如：

α与360()k k Z α+∈

，β与360()k k Z β+∈ ，β与360()k k α+∈ Z 都是终边相同的角。 例 设176π

α=-

，则与α终边相同的最小正角是多少？ 解 1717777236066666

πππππα=-=--+=-⨯+

所以，与176

πα=-终边相同的最小正角是76π

。

例 设203π

α=，则与α终边相同的绝对值最小的负角是多少？

解 2020444

436033333

πππππα==+-=⨯- 所以，所求之角是43

π-。 4. 象限角 在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角，如αβ与个象限,我们称其为界限角。

例 900-

是第几象限的角？

解 9002360-=-⨯

，

所以900- 是第二象限的角。 例：-572。是（ ）象限的角。 5、角的度量

1）. 角度制 当射线绕端点逆时针方向旋转使终边与始边第一次重

合时所形成的角叫做周角，规定1周角为360º。1周角的1

360

为1度， 2）. 弧度制 等于半径长的圆弧所对的圆心角称为1弧度的角。用弧 度作单位来测量角的制度叫做弧度制。1弧度也记为1rad

2

o

y x

o

y x

o y

x

.5

图7sin ,csc αα

tan ,cot αα

cos ,sec αα

+

+

+

+++

---

--

-

规定正角的的弧度数为正数，负角的的弧度数为负数，零角的弧度数为零。

3）.角度与弧度的换算关系

2360π=

弧度, 360157.3057172π

'=

≈=

弧度, 10.017435180π=≈ 弧度弧度 几个常用的特殊角的角度与弧度的换算关系如下表：

例 150º是多少弧度？

6

弧度是多少角度

解 51501501806π

π=⨯=

（弧度）， 1111180

()33066

π⨯== 弧度 二、任意角的三角函数

1.

任意角的概念 锐角是大于0º 而小于90º的角，在直角坐标系中，顶点在原点，始边在x 轴正半轴，终边在任意象限中的角叫做任意角。

2. 任意角的三角函数 设直角坐标系中任一点(,)P x y 是角α终边上的任意一点，它与坐标原点的

距离为(0)r r >，则比值,,,y x y x

r r x y

分别叫做角α的正弦、余弦、正切、余切即：

sin ,cos ,tan ,cot ,y x

r r y x

x y

αααα====

(1)sin csc 1αα=

、(2)22sin cos 1αα+=、 3. 任意角的三角函数值的正负 任意角的三角函数值的正负由角的终边所在的象限决定，见图7.5

4. 特殊角的三角函数值

,++(,+-图7.4

3

例1：已知角a 的终边通过点p(3,4),则sina+cosa+tana=( ) 解：根据点P 知a 在第一象限，第一象限四个三角函数都为正 角a 的终边通过点P （3，4），边始默认为x 轴，那么tan a = 4 /3 ; 那么斜边为5 ;sin a = 4 /5 ; cos a = 3 / 5 ; 所以sina+cosa+tana 等于41/15

例 2与330度终边相同的角的集合为（{2330,}x x k k z π=+︒∈ ）。

例3 已知

cot 0sin α

α

>试确定α是第几象限的角 解 (1)cot 0,sin 0αα>>

由cot 0α> 知，α是第一或第三象限的角，由sin 0α> 知，α是第一或第二象限的

角，所以α 是第一象限的角 (2) cot 0,sin 0αα<<

由cot 0α< 知，α是第二或第四象限的角，由sin 0α< 知，α是第三或第四象限的角，所以α 是第四象限的角

所以，α是第一或第四象限的角

例 4 已知α是锐角且sin 0.8α=，求cos α、tan α

解 α是锐角且sin 0.8α=可得函数关系如图7.7，因此： 0.6c o s 0.61α==， 0.81t a n 10.63α==， 0.6c o t 0.750.8

α== .7

图7