判别式的八种应用

判别式的八种应用

一、求方程(组)的解及解的取值范围

例1若x2＋2x＋y2－6y＋10＝0，x，y为实数．求x，y．

解：将方程看成是关于x的一元二次方程，由于x，y为实数．

∴ Δ＝22－4(y2－6y＋10)＝－4(y－3)2≥0．

即(y－3)2≤0，于是y＝3，进而得x＝－1．

例2已知a，b，c为实数，满足a＋b＋c＝0，abc＝8，求c的取值范围．(第一届“希望杯”全国数学竞赛题)

解：∵a＋b＋c＝0，abc＝8，

例3已知实数x，y，z满足x＝6－y，z2＝xy－9，求x，y的值．

证明：∵x+y＝6，xy=z2+9则x，y是一元二次方程a2－6a＋z2＋9＝0的两个实数根，

则有Δ＝36－4(z2＋9)＝－4z2≥0，即z2≤0．

因z为实数，∴z＝0，从而Δ＝0，

故上述关于a的方程有相等实根，即x＝y＝3．

二、判断三角形形状

例4若三角形的三边a，b，c满足a(a－b)＋b(b－c)＋c(c－a)＝0．试判断三角形形状．

证明：将原式变形为b2－(a＋c)b＋a2＋c3－ac＝0，由于a，b，c为实数，关于b的一元二次方程有实根，

∴Δ＝(a＋c)2－4(a2＋c2－ac)≥0．

整理得－3(a－c)2≥0，

即(a－c)2≤0，故a＝c，

把a＝c代入原式，得b＝c，从而有a＝b＝c，

所以三角形为等边三角形．

三、求某些字母的值．

例5 k为何值时，(x＋1)(x＋3)(x＋5)(x＋7)＋k是一完全平方式．

解：原式＝(x2＋8x＋7)(x2＋8x＋7＋8)＋k

＝(x2＋8x＋7)2＋8(x2＋8x＋7)＋k

令(x2＋8x＋7)2＋8(x2＋8x＋7)＋k＝0，因原式是完全平方式，则其根的判别式，

Δ＝82－4k＝0，即k＝16．

例6如果x2－y2＋mx＋5y－6能分解成两个一次因式的积，试求m的值．解：令x2＋mx－(y2－5y＋6)＝0，则关于x的方程的根的判别式Δ＝4y2－20y ＋m2＋24．

欲使原式能分解成两个一次因式乘积，必须“Δ”是一完全平方式，

从而有4y2－20y＋m2＋24＝0的根的判别式

∴m2＝1，即m＝±1．

例7a为有理数，问：b为何值时，方程x2－4ax＋4x＋3a2－2a＋4b＝0的根是有理数．

解：方程整理为x2＋4(1－a)x＋(3a2－2a＋4b)＝0．

它的判别式Δ＝4(a2－6a－4b＋4)，由于4(a2－6a－4b＋4)是有理数a的二次三项式．

即4(a2－6a－4b＋4)＝0的根的判别式

四、证明不等式

令y＝(a2＋b2＋c2)x2－2(a＋b＋c)x＋3，

易知y＝(ax－1)2＋(bx－1)2＋(cx－1)2≥0．

因为a2＋b2＋c2＞0，且对任意的x值y≥0，

故有Δ＝4(a＋b＋c)2－4×3(a2＋b2＋c2)≤0，

所以(a＋b＋c)2≤3(a2＋b2＋c2)．

五、求函数的最大值最小值

解：令x2-x+1=0，它的判别式Δ=-3＜0，可见x为一切实数时，有x2-x+1＞0，∴原式变形为(1－y)x2＋(y－5)x＋(1－y)＝0，要使x为实数，则有Δ＝(y－5)2－4(1－y)2≥0．

六、证明实数存在性问题

例10若ab＝2(c＋d)，a，b，c，d均为实数，求证方程x2＋ax＋c＝0和x2

＋bx＋d＝0至少有一个方程有实根．

证明：假设方程x2＋ax＋c＝0和x2＋bx＋d＝0都没有实根．

从而有a2＋b2＜2ab，即(a－b)2＜0，与(a－b)2≥0矛盾，因此假设不成立，原

题得证．

七、在解三角形中的应用

例11在ΔABC中，AC＝1，AB＝2，求∠B的范围．

解：设BC＝x，由余弦定理得．

1＝x2＋22－2·2xcosB，即x2－4cosB·x＋3＝0．

八、在平面几何中的应用

例12如图1,已知：△ABC中，D为BC边上任意一点，DE∥BC，DE与AC交于E,

的面积S△的一半．(1989年沈阳市中考试题)

设△ADE的面积为S1，△EHC的面积为S2，