高三数学圆锥曲线的应用

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圆锥曲线在高考数学中的应用

圆锥曲线在高考数学中的应用圆锥曲线在高考数学中的应用是一个广为人知的话题。

圆锥曲线是数学中非常重要的一个概念，它在几何、代数、物理等多个领域中都有着广泛的应用，同时也是高中数学中的重要知识点之一。

在高考中，圆锥曲线不仅是数学选择题中常出现的题型，而且在解析几何中也有重要的应用和指导意义。

一、圆锥曲线的定义和分类在空间直角坐标系中，对于任意给定的两个定点 F1 和 F2 ，以及一个正实数 e（离心率），设点 P(x, y，z) 在平面 F1PF2 上，且点 P 到 F1、F2 两点的距离之比为 e，则称 P(x, y，z) 所在的曲线为椭圆，当 e=1 时，称为双曲线。

以直角坐标系中的 x 轴为对称轴，离心率为 e 的曲线称为扁平椭圆，离心率为 1 的曲线称为各向同性圆；以直角坐标系中的 y 轴为对称轴，离心率为 e 的曲线称为长圆，离心率为 1 的曲线称为抛物线；直角坐标系中过 y 轴的某一条直线称为对称轴，离心率为 e 的曲线称为双曲线，当 e=1 时，曲线即为平行于对称轴的两条渐进线的双曲线。

二、圆锥曲线在高考中的应用1. 选择题中的圆锥曲线圆锥曲线作为数学中重要的知识点之一，也是高考数学试卷中出现频率较高的题型之一。

在选择题中，考生通常需要根据所给出的条件来确定所求函数方程的类型，根据曲线的性质推算出符合条件的答案。

例如：已知点 A(2,0)、B(0,1) 和抛物线 C:y=mx^2+mx-1 的顶点在直线AB 上，且交点为 D。

则一个满足 D(-2,-3) 的曲线方程式为(A)双曲线(B)椭圆(C)抛物线(D)圆这道问题主要考察考生对于曲线类型的判断能力和对于直线方程、抛物线特征等知识点的掌握能力。

2. 解析几何中的圆锥曲线在解析几何中，圆锥曲线是几何学中不可或缺的内容之一。

其中，椭圆、双曲线和抛物线最为常见，它们的数学模型、特征方程以及轨迹方程等知识点在高考中都有一定的出现概率。

例如：已知椭圆的中心在坐标原点，长轴为 10，短轴为 6，曲线经过点（8，0）和（-8，0），则该椭圆的方程是：(A)x^2/25+y^2/9=1(B)x^2/100+y^2/36=1(C)x^2/36+y^2/100=1(D)x^2 /9+y^2/25=1这个问题主要考察考生通过已知条件推导出椭圆的方程的能力，需要对于椭圆的中心、坐标轴长度等特征有较为准确的掌握。

高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案2 圆锥曲线的综合应用

第二课时圆锥曲线的综合应用考点一最值范围问题|(2015·高考浙江卷)已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．[解] (1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1mx ＋b .由⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b ，消去y ，得⎝⎛⎭⎫12＋1m 2x 2－2bmx ＋b 2－1＝0. 因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m 2>0，①设M 为AB 的中点，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mb m 2＋2，m 2b m 2＋2，代入直线方程y ＝mx ＋12解得b ＝－m 2＋22m 2.②由①②得m <－63或m >63. (2)令t ＝1m ∈⎝⎛⎭⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎫0，62，则|AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12，且O 到直线AB 的距离d ＝t 2＋12t 2＋1.设△AOB 的面积为S (t )，所以 S (t )＝12|AB |·d ＝12－2⎝⎛⎭⎫t 2－122＋2≤22，当且仅当t 2＝12时，等号成立．故△AOB 面积的最大值为22.(1)最值问题的求解方法：①建立函数模型，利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用导数法求最值． ②建立不等式模型，利用基本不等式求最值． ③数形结合，利用相切、相交的几何性质求最值． (2)求参数范围的常用方法：①函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解． ②不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数范围． ③判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式Δ求参数的范围． ④数形结合法：研究该参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解．1.(2016·宁波模拟)如图，抛物线C 的顶点为O (0,0)，焦点在y 轴上，抛物线上的点(x 0,1)到焦点的距离为2.(1)求抛物线C 的标准方程；(2)过直线l ：y ＝x －2上的动点P (除(2,0))作抛物线C 的两条切线，切抛物线于A ，B 两点．①求证：直线AB 过定点Q ，并求出点Q 的坐标；②若直线OA ，OB 分别交直线l 于M ，N 两点，求△QMN 的面积S 的取值范围．解：(1)由已知条件得1－⎝⎛⎭⎫－p 2＝1＋p2＝2， ∴p ＝2，∴抛物线的标准方程为x 2＝4y . (2)①证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，y ′＝x2，A 处切线方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，又∵4y 1＝x 21，∴y ＝x 12x －x 214，a同理B 处切线方程为y ＝x 22x －x 224，bab 联立可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x22，y ＝x 1x 24，即P ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，x 1x 24.直线AB 的斜率显然存在，设直线AB ：y ＝kx ＋m ，⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m ，x 2＝4y ，可得x 2－4kx －4m ＝0， ⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4m ，即P (2k ，－m )， ∵P 在直线l ：y ＝x －2上， ∴m ＝－2k ＋2，即AB 直线为y ＝k (x －2)＋2， ∴直线AB 过定点Q (2,2)． ②∵O 不会与A ，B 重合．定点Q (2,2)到直线l ：y ＝x －2的距离h ＝ 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 1x 1x ，y ＝x －2，⇒x M ＝2x 1x 1－y 1＝84－x 1，同理得x N ＝2x 2x 2－y 2＝84－x 2.∴|MN |＝2|x M －x N |＝82⎪⎪⎪⎪⎪⎪14－x 1－14－x 2＝82⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－x 2(4－x 1)(4－x 2)＝82⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－x 216－4(x 1＋x 2)＋x 1x 2＝82⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪16k 2＋16m －4m －16k ＋16. ∵m ＝－2k ＋2，∴|MN |＝42·(k －1)2＋1|k －1|＝4 21＋1(k －1)2.∴S △QMN ＝12|MN |·h ＝41＋1(k －1)2∈(4，＋∞)．考点二定点最值问题|已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F (1,0)，O 为坐标原点，A ，B 是抛物线C上异于O 的两点．(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线OA ，OB 的斜率之积为－12，求证：直线AB 过x 轴上一定点．[解] (1)因为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为(1,0)，所以p2＝1，所以p ＝2.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明：①当直线AB 的斜率不存在时，设A ⎝⎛⎭⎫t 24，t ，B ⎝⎛⎭⎫t24，－t . 因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以t t 24·－t t 24＝－12，化简得t 2＝32.所以A (8，t )，B (8，－t )，此时直线AB 的方程为x ＝8.②当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋b ，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋b ，化简得ky 2－4y ＋4b ＝0. 根据根与系数的关系得y A y B ＝4b k ，因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以y A x A ·y Bx B＝－12，即x A x B ＋2y A y B ＝0.即y 2A 4·y 2B4＋2y A y B ＝0，解得y A y B ＝0(舍去)或y A y B ＝－32. 所以y A y B ＝4bk ＝－32，即b ＝－8k ，所以y ＝kx －8k ，y ＝k (x －8)．综上所述，直线AB 过定点(8,0)．(1)解决定点问题的关键就是建立直线系或者曲线系方程，要注意选用合适的参数表达直线系或者曲线系方程，如果是双参数，要注意这两个参数之间的相互关系．(2)解决圆锥曲线中的定值问题的基本思路很明确，即定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，其不受变化的量所影响的一个值就是要求的定值．解决这类问题的关键就是引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1(－1,0)，长轴长与短轴长的比是2∶ 3.(1)求椭圆的方程；(2)过F 1作两直线m ，n 交椭圆于A ，B ，C ，D 四点，若m ⊥n ，求证：1|AB |＋1|CD |为定值．解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2a ∶2b ＝2∶3，c ＝1，a 2＝b 2＋c 2.解得a ＝2，b ＝ 3.故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：由已知F 1(－1,0)，当直线m 不垂直于坐标轴时，可设直线m 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0. 由于Δ>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有 x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2， |AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 23＋4k 22－4×4k 2－123＋4k 2 ＝12(1＋k 2)3＋4k 2.同理|CD |＝12(1＋k 2)3k 2＋4.所以1|AB |＋1|CD |＝3＋4k 212(1＋k 2)＋3k 2＋412(1＋k 2)＝7(1＋k 2)12(1＋k 2)＝712.当直线m 垂直于坐标轴时，此时|AB |＝3，|CD |＝4；或|AB |＝4，|CD |＝3，1|AB |＋1|CD |＝13＋14＝712. 综上，1|AB |＋1|CD |为定值712. 考点三探索存在性与证明问题|(2015·高考北京卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点P (0,1)和点A (m ，n )(m ≠0)都在椭圆C 上，直线P A 交x 轴于点M .(1)求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标(用m ，n 表示)；(2)设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N .问：y 轴上是否存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．[解] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2.解得a 2＝2.故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.设M (x M,0)．因为m ≠0，所以－1<n <1. 直线P A 的方程为y －1＝n －1m x ，所以x M ＝m1－n，即M ⎝⎛⎭⎫m 1－n ，0.(2)因为点B 与点A 关于x 轴对称，所以B (m ，－n )．设N (x N,0)，则x N ＝m1＋n.“存在点Q (0，y Q )使得∠OQM ＝∠ONQ ”等价于“存在点Q (0，y Q )使得|OM ||OQ |＝|OQ ||ON |”，即y Q 满足y 2Q ＝|x M ||x N |.因为x M ＝m 1－n ，x N ＝m 1＋n ，m 22＋n 2＝1，所以y 2Q ＝|x M ||x N |＝m 21－n 2＝2. 所以y Q ＝2或y Q ＝－ 2.故在y 轴上存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ .且点Q 的坐标为(0，2)或(0，－2)．解决存在性问题注意事项存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论．(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径．3．(2015·高考安徽卷)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510. (1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB . 解：(1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫23a ，13b ，又k OM ＝510，从而b 2a ＝510. 进而a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.(2)证明：由N 是线段AC 的中点知，点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，－b2，可得NM →＝⎝⎛⎭⎫a 6，5b 6.又AB →＝(－a ，b )，从而有AB →·NM →＝－16a 2＋56b 2＝16(5b 2－a 2)．由(1)可知a 2＝5b 2，所以AB →·NM →＝0，故MN ⊥AB .A 组考点能力演练1.如图，已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，焦点为F ，过点G (p,0)作直线l 交抛物线C 于A ，M 两点，设A (x 1，y 1)，M (x 2，y 2)．(1)若y 1y 2＝－8，求抛物线C 的方程；(2)若直线AF 与x 轴不垂直，直线AF 交抛物线C 于另一点B ，直线BG 交抛物线C 于另一点N .求证：直线AB 与直线MN 斜率之比为定值．解：(1)设直线AM 的方程为x ＝my ＋p ，代入y 2＝2px 得y 2－2mpy －2p 2＝0，则y 1y 2＝－2p 2＝－8，得p ＝2. ∴抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)设B (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)．由(1)可知y 3y 4＝－2p 2，y 1y 3＝－p 2. 又直线AB 的斜率k AB ＝y 3－y 1x 3－x 1＝2py 1＋y 3，直线MN 的斜率k MN ＝y 4－y 2x 4－x 2＝2py 2＋y 4，∴k AB k MN ＝y 2＋y 4y 1＋y 3＝－2p 2y 1＋－2p 2y 3y 1＋y 3＝－2p 2y 1y 3(y 1＋y 3)y 1＋y 3＝2. 2．设F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，直线l 为其左准线，直线l 与x 轴交于点P ，线段MN 为椭圆的长轴，已知|MN |＝8，且|PM |＝2|MF |.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点P 的直线与椭圆相交于不同两点A ，B ，求证：∠AFM ＝∠BFN ； (3)求三角形ABF 面积的最大值．解：(1)∵|MN |＝8，∴a ＝4，又∵|PM |＝2|MF |得a 2c －a ＝2(a －c )，即2e 2－3e ＋1＝0⇒e ＝12或e ＝1(舍去)．∴c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝12， ∴椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1.(2)当AB 的斜率为0时，显然∠AFM ＝∠BFN ＝0.满足题意．当AB 的斜率不为0时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， AB 方程为x ＝my －8，代入椭圆方程整理得： (3m 2＋4)y 2－48my ＋144＝0，则Δ＝(48m )2－4×144(3m 2＋4)，y 1＋y 2＝48m 3m 2＋4，y 1·y 2＝1443m 2＋4. ∴k AF ＋k BF ＝y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝y 1my 1－6＋y 2my 2－6＝2my 1y 2－6(y 1＋y 2)(my 1－6)(my 2－6)＝0，∴k AF ＋k BF ＝0，从而∠AFM ＝∠BFN . 综上可知：恒有∠AFM ＝∠BFN .(3)S△ABF ＝S△PBF －S△P AF＝12|PF |·|y 2－y 1|＝72m 2－43m 2＋4＝72m 2－43(m 2－4)＋16＝723m 2－4＋16m 2－4≤7223·16＝3 3. 当且仅当3m 2－4＝16m 2－4即m 2＝283(此时适合Δ>0的条件)取得等号．三角形ABF 面积的最大值是3 3.3．已知点A ，B ，C 是抛物线L ：y 2＝2px (p >0)上的不同的三点，O 为坐标原点，直线OA ∥BC ，且抛物线L 的准线方程为x ＝－1.(1)求抛物线L 的方程；(2)若三角形ABC 的重心在直线x ＝2上，求三角形ABC 的面积的取值范围．解：(1)抛物线L 的方程为y 2＝4x .(2)设直线OA ，BC 的方程分别为y ＝kx 和y ＝kx ＋b (k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝4x联立消去y 得k 2x 2＝4x ，解得点A 的坐标为A ⎝⎛⎭⎫4k 2，4k . 设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝4x ，消去y 得k 2x 2＋(2kb －4)x ＋b 2＝0.Δ＝(2kb －4)2－4k 2b 2＝16－16kb >0，即kb <1. 又由韦达定理可得x 1＋x 2＝4－2kb k 2，∴三角形ABC 的重心的横坐标为4k 2＋4－2kb k 23＝8－2kb 3k 2＝2，化简得b ＝4－3k 2k ，代入kb <1可得k 2>1.又三角形ABC 的面积为 S ＝12×k 2＋1×16－16kbk 2×|b |1＋k 2＝|2b |1－kb k 2＝2|4－3k 2|k 2|k |×3k 2－3＝2⎪⎪⎪⎪4k 2－3 3－3k2. 令t ＝1k2，则S ＝23×(4t －3)2(1－t )，t ∈(0,1)．考虑函数f (t )＝(4t －3)2(1－t )，t ∈(0,1)，则易得函数f (t )在⎝⎛⎭⎫0，34和⎝⎛⎭⎫1112，1上单调递减，在⎝⎛⎭⎫34，1112上单调递增，且f (0)＝9，f ⎝⎛⎭⎫34＝0，f ⎝⎛⎭⎫1112＝127， ∴△ABC 的面积的取值范围是(0,63)．B 组高考题型专练1．(2015·高考全国卷Ⅱ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点(2，2)在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．解：(1)由题意有a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4.所以C 的方程为x 28＋y 24＝1. (2)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 24＝1得 (2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0.故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b ＝b 2k 2＋1. 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－12k，即k OM ·k ＝－12. 所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．2．(2015·高考山东卷)平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率为32，且点⎝⎛⎭⎫3，12在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .a ．求|OQ ||OP |的值；b ．求△ABQ 面积的最大值．解：(1)由题意知3a 2＋14b 2＝1，又a 2－b 2a ＝32，解得a 2＝4，b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)由(1)知，椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1. a ．设P (x 0，y 0)，|OQ ||OP |＝λ，由题意知Q (－λx 0，－λy 0)．因为x 204＋y 20＝1，又(－λx 0)216＋(－λy 0)24＝1，即λ24⎝⎛⎭⎫x 204＋y 20＝1，所以λ＝2，即|OQ ||OP |＝2. b ．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0，由Δ>0，可得m 2<4＋16k 2.①则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k 2. 所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m 21＋4k 2. 因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )，所以△OAB 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k 2＝2(16k 2＋4－m 2)m 21＋4k 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m 21＋4k 2m 21＋4k 2. 设m 21＋4k 2＝t ，将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，由Δ≥0，可得m2≤1＋4k2.②由①②可知0<t≤1，因此S＝2(4－t)t＝2－t2＋4t，故S≤23，当且仅当t＝1，即m2＝1＋4k2时，S取得最大值23，由a知，△ABQ的面积为3S，所以△ABQ面积的最大值为6 3.。

圆锥曲线定义的应用

圆锥曲线定义的应用圆锥曲线是数学中一个的重要的几何概念，它是由一个平面和一个圆锥相交而得到的一类曲线。

圆锥曲线通常包含了三种不同类型的曲线：椭圆、抛物线和双曲线。

每一种曲线都有其独特的数学特性和应用场景。

椭圆椭圆是一种圆锥曲线，它由一个平面和一个圆锥相交而得到。

在平面上，椭圆通常被定义为到两个焦点之和的距离等于到两个焦点之差的距离的所有点的集合。

椭圆具有许多非常重要的数学性质和应用。

例如：椭圆的几何特性•椭圆的中心：与两个焦点重合的点。

•椭圆的长半轴和短半轴：分别为两个焦点之间的距离和椭圆中心到椭圆边缘的距离。

•椭圆的离心率：代表两个焦点之间距离与椭圆长轴长度之比。

椭圆的应用椭圆在自然界和工程领域中有广泛的应用，包括但不限于：•天体运动：椭圆是描述行星、卫星、彗星等天体运动的理想模型。

•工程设计：椭圆管道和椭圆轨道在工程中可以达到和圆形相同的效果，同时又具有更大的面积和更好的稳定性。

•电子工程：椭圆滤波器在电子信号处理上具有重要的作用，它可以实现比标准低通滤波器更陡峭的滤波特性。

抛物线抛物线是一种圆锥曲线，它由一个平面和一个横截面角为90度的圆锥相交而得到。

在平面上，抛物线通常被定义为到其焦点距离等于到其直线准线的距离的所有点的集合。

抛物线也有很多应用场景，例如：抛物线的几何特性•抛物线的焦点和直线准线：分别为抛物线上的一个点和与对称轴平行的一条直线。

•抛物线的顶点：在对称轴上，也是抛物线的最高点。

•抛物线的离心率：为1。

抛物线的应用抛物线在现实生活中也有很多应用，包括但不限于：•建筑设计：抛物线在设计拱形结构、拱桥等建筑上非常常见。

•物理学：抛物线是自由体运动的最基本模型之一。

在物体自由落下、抛体运动等方面都有广泛应用。

•导弹技术：抛物线导弹具有更大的射程、更好的稳定性和更高的准确性。

双曲线双曲线是由一个平面和一个截面角小于90度的圆锥相交而得到的一种曲线。

在平面上，双曲线通常被定义为到两个焦点之差的距离等于到直线准线的距离的所有点的集合。

解析高考数学中的圆锥曲线及应用

解析高考数学中的圆锥曲线及应用近年来，高考数学中的圆锥曲线部分一直是考生们的重点之一，也是不少学生难以攻克的难点。

在这篇文章中，我们将对圆锥曲线进行较为全面的解析，并探讨其在实际应用中的具体意义。

一、圆锥曲线的概念和基本形态圆锥曲线，是指在平面直角坐标系中，由一个固定点F（焦点）与一条固定直线l（准线）所确定的点P的轨迹。

这个点P与焦点的距离PF与P到直线l的距离PL之比始终相等，该比值称为偏心率，用字母e表示。

具体而言，圆锥曲线可以分为四类：椭圆、双曲线、抛物线和直线。

1. 椭圆椭圆是由一个固定点F1（焦点）和另外一个固定点F2（F2≠F1）到平面上的所有点P距离之和为定值的轨迹。

该定值等于两焦点距离之和的一半，用字母2a表示。

对于一个椭圆来说，它的中心点是两焦点的中点O，偏心距离e=OF1/OF2，长轴长度为2a，短轴长度为2b。

2. 双曲线双曲线是由一个固定点F1（焦点）和另外一个固定点F2（F2≠F1）到平面上的所有点P距离之差为定值的轨迹。

该定值等于两焦点距离之差的绝对值，用字母2a表示。

对于一个双曲线来说，它的中心点是两焦点的中点O，偏心距离e=OF1/OF2，距离焦点较远的那一部分曲线称为“远焦双曲线”，距离焦点较近的那一部分曲线称为“近焦双曲线”。

3. 抛物线抛物线是由一个固定点（焦点）F和一条固定直线（准线）l到平面上所有点P的距离之比为定值的轨迹。

该定值等于距离焦点F最近的点到准线l的距离，用字母p表示。

对于一个抛物线来说，它的中心点是准线l上的中点O，焦距f=2p。

4. 直线直线可以看作是一个非常特殊的圆锥曲线，它的两个焦点在无穷远点，准线可以看作是无穷远处的一条直线。

因此，直线的偏心率为0。

二、圆锥曲线的方程及参数表示圆锥曲线可以用不同的方程和参数表示，常用的有标准方程、参数方程和极坐标方程。

1. 椭圆的方程和参数表示椭圆的标准方程为：(x/a)^2+(y/b)^2=1。

高三数学圆锥曲线的应用

说明：本题的关键是确定P点的位置，另外还要求学生掌握方位角的基本概念。
例 3：
根据我国汽车制造的现实情况，一般卡车高 3m，宽1.6m。现要设计横断面为抛物线型的双向二车道的公路隧道，为保障双向行驶安全，交通管理规定汽车进入隧道后必须保持中线0.4m的距离行驶。已知拱口AB宽恰好是拱高 OC的4倍，若拱宽为am，求能使卡车安全通过的a的最小整数值。（图见教材P133页例3）
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什么啊？这不是说去就马上能去了的事情！这边咱们这饭店怎么处理？那边盘店铺是否顺利？还有，要联手做这个丝绸生意一共需要投入多少银子？怎么经营？这都得好好考虑啊！”李老乡赞许地点点头，笑着说：“我就说这侄女儿是女中豪杰嘛！小侄子，你姐姐说得对，咱们联手做这个丝绸生意，真还有很多事情需要好好地商量着考虑呢！”说着话吃完了饭。耿直帮着姐姐收拾饭桌，将盘碟碗筷等端到厨房洗刷去了。耿正和李老乡继续商谈这事儿。一会儿，耿直送来一壶热茶，俩人一边喝茶一边聊。一直聊到双方都认为在所有方方面面的问题中，凡是该商谈考虑的都已经商谈考虑到了，耿正这才说：“咱们联手做这个丝绸生意我基本上是同意的，只是在做最后的决定之前，我还得和妹妹好好商量一番呢！这样吧，我先送您去后面歇息。这饭店后面是个小院儿，我们就住在那里。挺宽敞的，能住得下！”李老乡说：“你们忙，我还是去客栈住吧！再说还有骡子呢，那里有草料伺候。”李老乡一边说着话，一边从衣袋里拿出几个大铜板放在饭桌上。耿正见了赶快伸手去拦，说：“李叔叔您这是做什么啊！”李老乡笑着说：“这只是我点的饭钱，必须要留的！至于你们三个敬叔叔的酒和请叔叔吃的菜，叔叔就全都承受了啊！”见李老乡如此诚恳，耿正也就不再说什么了。而李老乡看到耿正不再夸张客气地推辞饭钱，就看出来他确实不是一个虚情假意的年青人，心里也就更踏实了许多。他略微沉吟一下，轻轻地说：“我理解，改行去和我一起做丝绸生意，这对于你们来说是一件大事情，你和妹妹一定要好好商量一下！不过，我希望你们能早点儿做出决定，因为今儿个‘正大百货铺’掌柜的说了，他们最近还要一车丝绸，我已经和他说好了，下月初就给他们送来。如果你们愿意去杭州，到时候，咱们就一起乘坐我的这挂骡车去。咱说干就干！我这次尽快赶回去以后，也好早点儿看看，有没有人在好一些的地段儿上转让适合的店面，并且还得再做一些其他的准备！”看李老乡如此说，耿正心里已经基本上有底了。他肯定地点点头说：“李叔叔您放心，赶明儿个上午您再过来，我们一定会给您一个确定的答复！”李老乡高兴地说：“好，那我这就去客栈了！对了，这附近有客栈吗？”耿正说：“有啊，就这条街上，往东往西都有客栈，条件都挺不错。”李老乡说：“那我就继续往西走吧，顺便转转，以前没有来过这条街呢！”耿正说：“我弟弟妹妹都在厨房忙活呢，不便出来送您了！”看到已经有个把早到的客人进饭店来了，李老乡抱歉地说：“哎呀，光顾了说话，这倒耽误你们的生意了！我走了，你也别出来，快招呼客人去吧！”说着，硬是推着耿正不让他出饭店门来送他。耿正也不再客气，赶快进厨房去换

解析几何《圆锥曲线的综合应用》

解析几何【8】圆锥曲线的综合应用1、定值、最值、取值范围问题（1）在圆锥曲线中，还有一类曲线方程，对其变量取不同值时，曲线本身的性质不变；或形态发生某些变化，但其某些固有的共同性质始终保持着，这就是定值问题．（2）当变量取不同值时，相关几何量达到最大或最小，这就是最值问题．通常有两类：一类是有关长度和面积的最值问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值问题，曲线遵循某种条件时，变量有相应的允许取值范围，即取值范围问题．求解时有两种方法：①代数法：引入新的变量，通过圆锥曲线的性质、韦达定理、方程思想等，用新的变量表示（计算）最值、范围问题，再用函数思想、不等式方法得到最值、范围．②几何法：若问题的条件和结论能明显地体现曲线几何特征，则利用图形性质来解决最值与取值范围问题．2、对称、存在性问题、圆锥曲线有关的证明问题涉及线段相等，角相等，直线平行、垂直的证明方法，及定点、定值问题的判断方法等．3、实际应用解决的关键是建立坐标系，合理选择曲线模型，然后转化为相应的数学问题，作出定量或定性分析与判断，解题的一般思想是【温馨点睛】1、圆锥曲线经常和函数、三角函数、平面向量、不等式等结合，还有解析思想的应用，这些问题有较高的能力要求，这是每年高考必考的一道解答题，平时加强训练，认真审题，挖掘题目的隐含条件作为解题的突破口．2、利用函数思想，讨论有关最值时，特别要注意圆锥曲线自身范围的限定条件．3、涉及弦长的问题时，在熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；涉及垂直关系往往也是利用根与系数的关系设而不求简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑利用圆锥曲线的定义求解．4、圆锥曲线综合问题要四重视；①定义；②平面几何知识；③根与系数的关系；④曲线的几何特征与方程的代数特征．【例1】设1F 、2F 是椭圆22:12x C y 的左、右焦点，P 为椭圆C 上任意一点．（1）求12PF PF 的取值范围；（2）设过点1F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆C 于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围.设点1F C 上任意一点，且12PF PF （1）（2）满足AD BD ，【例2】如图，已知抛物线2:4C x y ，过点 0,2M 任作一直线与C 相交于A 、B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D （O 为坐标原点）．（1）证明：动点D 在定直线上；（2）作C 的任意一条切线l （不含x 轴）与直线2y 相交于点1N ，与（1）中的定直线相交于点2N ，证明：2221MN MN 为定值，并求此定值．（1）（2）C 、D 两点（A 、【例3】已知抛物线2y x 上的动点 00,M x y ，过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x t 于A 、B 两点．（1）若点M ，求M 与焦点的距离；（2）若1t ， 1,1P ， 1,1Q ，求证：A B y y 为常数；（3）是否存在t ，使得1A B y y 且P Q y y 为常数？若存在，求t 的所有可能值；若不存在，请说明理由．x ．（1）（2）（3）使得PM PN 为【例4】为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km 的A 、B 两点各建一个考察基地．视冰川面为平面形，以过A 、B 两点的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系（如图）．在直线2x 的右侧，考察范围为到点B 的距离不超过5km 的区域；在直线2x 的左侧，考察范围为到A 、B两点的距离之和不超过km 的区域．（1）求考察区域边界曲线的方程；（2）如图，设线段12PP 、23P P 是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km ，以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间．【同类变式】某市为改善市民出行，大力发展轨道交通建设，规划中的轨道交通s号线线路示意图如图，已知M、N是东西方向主干道边两个景点，P、Q是南北方向主干道边两个景点，四个景点距离城市中心O均为km，线路AB段上的任意一点到景点N的距离比到景点M的距离都多10km，线路BC段上的任意一点到O的距离都相等，线路CD段上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多10km，以O为原点建立平面直角坐标系xOy.（1）求轨道交通s号线线路示意图所在曲线的方程；（2）规划中的线路AB段上需建一站点G到景点Q的距离最近，问如何设置站点G的位置？【真题自测】1.设A 、B 是椭圆22:13x y C m长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足120AMB ，则m 的取值范围是（）.A 0,19, ；.B 9, ；.C 0,14, ；.D 4, ．2.① ②P .A 13.②若 111,P x y 、 222,P x y 为曲线C 上任意两点，则有12120x x ．下列判断正确的是（）.A ①和②均为真命题；.B ①和②均为假命题；.C ①为真命题，②为假命题；.D ①为假命题，②为真命题．4.设圆C 位于抛物线22y x 与直线3x 所围成的封闭区域（包含边界）内，则圆C 的半径能取到的最大值为．5.114c ，则c6.Q 使得AP AQ 07.如图，已知椭圆2221x y ，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A 、B 和C 、D ，记AOC 的面积为S ．（1）设 11,A x y ， 22,C x y ，用A 、C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明122112S x y x y ；（2）设1:l y kx ，若,33C ，13S ，求k 的值．（3）设1l 与2l 的斜率之积为m ，求m 的值，使得无论1l 和2l 如何变动，面积S 保持不变．。

高三第二轮专题复习课案例分析——圆锥曲线定义的应用

２通过问题探究，掌握解决与圆锥曲线定义相．２关问题的基本方法求动点轨迹，如果出现两定点或一条定直线，
可以通过图形的几何性质，如线段中垂线、角平分线、切线长等性质，应用平面几何思想，把问题转化为应用圆锥曲线的定义来求轨迹，也是解决此类问题的通法．
切线方程为Ｙ＝２一２ｔ．ｐ
Ｍ（Ｙ）因为９＝ＡＡ，由定比分点坐标公式得ｘ，则Ｑ
高三第二轮专题复习课案例分析
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圆锥曲线定义的应用
肖
骁
福建省厦门外国语学校（６０２３１１）构，重应试训练，导致我省基础教育大大落后．注 ”
一
３。Ｙ）＋＝４外切的动圆圆心Ｐ轨迹方程．
段为直径的圆，与以双曲线实轴为直径的圆相
２１０２年第３期
福建中学数学
１７
切．（证法与例２相似）（）连结抛物线上任一点与其中一个焦点的线２段为直径的圆，与Ｙ轴相切．
ａ— Ｄ
Ｐ作
方程．
的平分线上的垂线于Ｇ，求点Ｇ的轨迹
探究３已知ＡＢＡＣ的内切圆边ＢＣ于Ｄ，且
ＢＤ＝８，Ｃ＝２，求点的轨迹方程．Ｄ
探究４中心在原点，焦点在Ｘ的双曲线的两轴
焦点，ｃ，是双曲线右支上任意一点，则
关的通性问题．这样不仅可以提高综合解题能力，同时可以激发学生的兴趣和热情，从而提升学生的数学素养．例３求证连结椭圆上任一点与其中一个焦点的

高三数学解题教学的若干思考——以圆锥曲线为例

高三数学解题教学的若干思考———以圆锥曲线为例祝敏君（福建师范大学数学与信息学院，３５０１１７）高三是高考复习备考的重要阶段，有别于新授课的解题教学是高三数学复习的重要环节．高考是通过数学题来考学生，“工欲善其事，必先利其器”，想要成为解题高手自然需要解题训练．许多教师将数学复习课的重心放在解题教学上，这样的选择自然无可厚非．可是大量的事实表明，教师不辞辛劳地加班加点，学生在题海中苦苦挣扎，并没有带来正比的收益．要如何提高高三数学解题教学的效率，是数学教师需要考虑的问题．圆锥曲线是高考数学重要的考查内容，也是教学中典型的低效复习内容．本文以圆锥曲线内容为例，对解题教学中存在的问题进行思考，希望能够得出一些有价值的结论．１　数学解题教学是要题量还是要精讲高中数学学习内容多、时间跨度大，高考考查的知识点分布广，题型灵活多变．在实践中，大多数学校采用“两年新课，一年复习”的教学方式，普遍进行三轮的高三数学复习．由于高考数学题的难度普遍高于课本中的习题，学生对已经学过的知识有大量的遗忘，教师希望通过高强度的解题训练，力求覆盖所有的高考题型．数学学习心理学的研究表明，大量的机械训练对数学学习的操作性技能的掌握有促进的作用，但是对数学学习的心智性技能是不利的．大量的模式化训练对应试教育有一定的效果，学生通过模仿习得，可以获得对基础知识技能的覆盖和熟悉题型的解题经验．尤其在解析几何的解题教学中，一节课讲解十几道题目，通常只能蜻蜓点水似地给出解题的思路，具体计算过程就此略过．学生普遍感觉不求甚解，老师一讲就会，自己一做就错．解析几何是几何与代数融合的产物，是几何代数化和代数几何化思维的交汇点，着重考查学生直观想象、逻辑推理和数学运算的素养．解题过程不仅涉及比较复杂的代数式化简计算，还需要通过几何直观与代数运算的随时转化，才能够真正解决问题，这就要求学生具备较高层次的数学思维．也对教师提出了挑战，不仅要讲清解题思路，还要讲清算法算理，更重要的是要进一步讲清思想方法．教师在面对内容与时间安排的矛盾时，不妨考虑将重心从题量转向精讲，少讲一点，讲精一点．让学生有足够的时间模仿、沉淀、内化与理解，这才是提高课堂效率的着力点．２　数学解题教学是要通法还是要技巧在我国，应试教育的思想深入人心，同时数学这门学科在高考中的重要作用不言而喻．历经恢复高考以来几十年的沉淀及数学试题命制技术的发展，精妙的数学试题层出不穷，同时也有人总结出了许多题型的“秒杀”技巧．以２０１７年数学高考全国理科Ⅰ卷第１０题为例．题１　（２０１７全国Ⅰ理１０）已知Ｆ为抛物线Ｃ：ｙ２＝４ｘ的焦点，过Ｆ作两条互相垂直的直线ｌ１，ｌ２，直线ｌ１与Ｃ交于Ａ、Ｂ两点，直线ｌ２与Ｃ交于Ｄ、Ｅ两点，则｜ＡＢ｜＋｜ＤＥ｜的最小值为（　）（Ａ）１６（Ｂ）１４（Ｃ）１２（Ｄ）１０解析：｜ＡＢ｜＋｜ＣＤ｜＝２ｐｓｉｎ２θ＋２ｐｓｉｎ２θ＋π()２＝２ｐ（ｓｉｎ２θ＋ｃｏｓ２θ）ｓｉｎ２θ·ｃｏｓ２θ＝１６ｓｉｎ２２θ≤１６．本解法只是利用了抛物线的焦点弦公式，绕开解析法计算的过程，利用三角函数的最值来解决问题．若教师在课堂上给出这种“秒杀”的解法，足以让学生佩服并纷纷效仿．殊不知这只是圆锥曲线问题众多的二级结论之一，而所有的二级结论都有其特定的使用范围，需要学生通过大量时间进行记忆才能保证不混淆．在功利主义和实用主义思想的驱使下，许多人将这样的解题技巧奉为秘籍，仿佛掌握了技巧便可以轻松解决数学题．可是这种解法是否真的比通法更简单呢？解析（通法）：设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），Ｄ（ｘ３，·１１·ｙ３），Ｅ（ｘ４，ｙ４），易知ｌ１垂直于ｘ轴不符合题意．设ｌ１，ｌ２的斜率分别为ｋ１，ｋ２，则有ｋ１·ｋ２＝－１，直线ｌ１方程为ｙ＝ｋ１（ｘ－１），联立方程ｙ２＝４ｘ，ｙ＝ｋ１（ｘ－１{）得ｋ２１ｘ２－２ｋ２１ｘ－４ｘ＋ｋ２１＝０．∴ｘ１＋ｘ２＝－－２ｋ２１－４ｋ２１＝２ｋ２１＋４ｋ２１．同理得ｘ３＋ｘ４＝２ｋ２２＋４ｋ２２．由抛物线定义可知：｜ＡＢ｜＋｜ＣＤ｜＝２ｋ２１＋４ｋ２１＋２ｋ２２＋４ｋ２２＋４＝４ｋ２１＋４ｋ２２＋８≥２１６ｋ２１ｋ槡２２＋８＝１６．当且仅当ｋ１＝－ｋ２＝１（或－１）时，取得等号．以上解法利用的是抛物线的定义以及联立方程组解题的方法，通过几何代数化的思维转化为代数式求最值的问题．利用两条直线间的垂直关系，建立代数计算形式上的关系．从现有知识出发，易于使学生理解与内化，有助于逐级提高学生的思维水平．从有效教学的角度来看，通法更适合作为解题教学的课堂教学内容．３　数学解题教学是要过程还是要结果现代教学理念强调教学的过程性与课堂的生成性，解题教学也不例外．数学课堂不同形式的课型应当都只有一个目的，即为学生理解而教．题２　已知点Ｐ是双曲线ｘ２８－ｙ２４＝１上的动点，Ｆ１，Ｆ２分别是双曲线的左右焦点，Ｏ为坐标原点，则｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜｜ＯＰ｜的取值范围是（　）（Ａ）［０，６］（Ｂ）（２，槡６］（Ｃ）１２，槡６(]２（Ｄ）０，槡６[]２本题是以双曲线为背景的值域问题，根据图象的对称性，可以考虑点Ｐ在双曲线右支上的情形．不妨设Ｐ（ｘ，ｙ），其中ｘ２≥８，根据双曲线的焦半径公式可得：｜ＰＦ１｜＝ｅｘ＋ａ，｜ＰＦ２｜＝ｅｘ－ａ，则有｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜＝２ｅｘ，故｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜｜ＯＰ｜＝槡６ｘｘ２＋ｙ槡２．代入消元，可得｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜｜ＯＰ｜＝槡６３２－４ｘ槡２∈（２，槡６］，即得出答案．甚至可以根据“极端法”判断，当Ｐ点是双曲线右支的顶点时，｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜｜ＯＰ｜槡＝６，就可以选择出答案（Ｂ）．若用解题教学仅以得到结果为目的，教学环节戛然而止，本题的教学意义只是一道训练题，根本谈不上教学的有效性．上述解法用到双曲线的焦半径公式，推证是要通过圆锥曲线的第二定义进行，这又是一个教材中没有学习过的内容．根据双曲线定义知｜ＰＦ１｜－｜ＰＦ２｜＝２ａ，则｜ＰＦ１｜＝２ａ＋｜ＰＦ２｜．所以｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜＝２ａ＋２｜ＰＦ２｜槡＝４２＋２（ｘ槡－２３）２＋ｙ槡２槡槡＝４２＋２（３槡ｘ－４）槡２槡＝６ｘ．可见，使用最普通的消元方式，通过代数式化简，同样能够不太费力地得到焦半径公式的结果．从熟悉的情境中入手解题，可以最大限度地避免学生的认知冲突，有利于调动学生高层次的数学思维．学生在运用代数运算的同时，也调动了几何的直观能力．在教学过程中，许多学生提出可以利用｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜｜ＯＰ｜的几何意义来思考，可以简化解答的过程，减少计算量．所以｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜｜ＯＰ｜＝槡６ｘ｜ＯＰ｜槡＝６ｃｏｓ∠ＰＯＦ２∈（２，槡６］，其中ｃｏｓ∠ＰＯＦ２∈１，２槡[)６．注重过程性的解题教学，可以充分调动学生的积极性，增加教师与学生的交流时间，往往会碰撞出许多新的解答思路．对提高学生数学思维的灵敏度，扩大数学思维的广度都有积极的作用，最终指向的还是课堂教学的有效性．４　数学解题教学是教做法还是教解法数学解题教学离不开数学试题，不论例题还是习题都是教学的素材和内容，以考试为目的的解题教学自然离不开试题解答过程的教学．在信息发达的今天，（下转第１５页）·２１·本图形是了解的，所以从研究什么及为什么要研究作为探究路径创设情境，先引导学生通过实例了解几何图形的背景，如，通过行星运行轨道、抛物运动轨迹等，使学生了解圆锥曲线的背景与应用．再围绕研究方法引导，通过观察实验，动手操作，引发思考等环节，充分发挥学生的主动性，给学生话语权，并引导学生开展深层次的交流．４．２　依据学情分析，真实探究教学中，教师、学生及教学内容建立了较为复杂的三个联系．其中，教师处于核心地位，教师的行为最终决定了课堂中会发生什么？教师在课堂中可以关注到学生的思维与教学内容的进展，但更困难的是如何有效、及时的对学生与教学内容的动态过程进行调控．而数学是简捷的，必须通过语言、文字、符号、图形等形式呈现出来，形成数学模型．本节课所涉及的三种曲线，分别采用分组、独立、课后三种形式完成探究，就是让学生“把看见的画出来，把发现的说出来，把理解的写出来”，学生体会每一个数学概念的出现，新知识、新方法的产生，都是自然而成的，促使学生养成仔细观察、潜心探索、主动概括、自觉交流、精确表达的习惯．４．３　融入数学文化，反思探究《普通高中数学课程标准（２０１７年版）》中明确指出，数学文化融入课程内容．数学是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具，同时数学在形成人的理性思维、科学精神和促进智力发展的过程中发挥着独特的、不可替代的作用．课堂中适当的渗透数学文化，不仅要重视数学学科本身的文化价值，还应注重学生的数学认知特点，充分挖掘教材所蕴含的数学文化内容，让学生潜移默化地感受、了解数学的发展，从而以更广阔的视角透视数学、领悟数学的文化意义，更好地理解、把握数学的本质，同时了解过程也是对探究的再次反思与校正，有效的提升数学抽象能力与逻辑推理能力．要使学生真正成为主动的探究者，真实地经历探究的过程，教师必须重视学情分析，深入学生的生活，了解学生的特点．关注教材设计和学生已有认知，充分挖掘教材和生活资源，创设具有创新价值和人文情怀的问题情境，为探究教学奠定基础，让学生通过各种形式的探究活动，建构知识，形成技能檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸．（上接第１２页）　学生可以通过不同的方式直接得到标准答案，每道试题的标准答案都有详细的解答过程，有的还提供不同的解法．学生自己能看明白的不需要教师教，而教试题的解法，不外乎是将解答过程完整地呈现一遍．因此，课堂教学最应该教的是学生自己看不明白的部分．数学解题教学应该教给学生什么？众所周知，许多标准答案只是形式上的完美答案，无法体现解题的思维过程．教师最应该在课堂上呈现的是做法，把如何思考的全过程呈现在学生的面前，可以沿着一系列问题逐步深入，例如看到这道试题我是如何想的？能够有几种不同的思路？哪些方向是可行的？为什么可以这么想？……等等．课堂中将真实的做题过程示范给学生看，有助于学生模仿习得，构建灵动的课堂，在无形之中还能够增强学生学习数学的自信．５　总结随着以“立德树人”为根本任务，以核心素养为导向的课程改革的推进，高考的考查内容也有新的要求．具体体现为减少单纯死记硬背的知识性考查，着重考查学生独立思考和运用所学知识分析问题、解决问题的能力．为了破解僵化的应试教育困局，针对高三复习模式化严重的问题，２０１９年高考数学的考查上体现出“去模式化”的决心，旨在引领高中育人方式的改革．数学学习再不能只追求解题技巧，而应当努力提高运用知识的能力，发现与提出问题的能力，分析和解决问题的能力，切实提升数学核心素养．以高考为目标的高三数学解题教学应该有所改变，建议教学中尽力做好以下几点：（１）用有意义的教学代替大量的模式化训练，把教师和学生从题海中解放出来．（２）强调解题通法的教学，弱化解题技巧．在教授解题技巧时，必须要讲清该技巧的来龙去脉和适用范围，同时尽量减少记忆性知识的讲授．（３）重视解题教学的过程性，不能单纯追求结果的达成．要有“过程做好了，结果自然不会太差”的自信．（４）解题教学的课堂多讲做法，切实提高学生的运用知识解决问题的能力．参考文献：［１］连春兴，孙泰．对数学高考复习效率问题的思考及对策［Ｊ］．中国数学教育，２０１８，１９２（１２）：４９－５３．［２］鲍建生，周超．数学学习的心理基础与过程［Ｍ］．上海：上海教育出版社，２０１６：１５１．［３］祝敏君，陈清华．规避模式缩小差距明确导向弘扬文化———对２０１９年高考数学卷全国卷Ⅰ的研究［Ｊ］．福建教育，２０１９．２７：４０－４２．·５１·。

2023届高三数学一轮复习专题直线与圆锥曲线的综合运用讲义 (解析版)

直线与圆锥曲线的综合运用一、知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ>0①直线与圆锥曲线相交；①Δ＝0①直线与圆锥曲线相切；①Δ<0①直线与圆锥曲线相离．(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点．①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；①若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则AB＝1＋k2|x2－x1|＝1＋1k2|y2－y1|.3.过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．二、课前预习1.若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，则m 的取值范围是____．2.斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为____．3.直线mx ＋ny ＝4与①O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是____个．4.已知A 1，A 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右顶点，P 是椭圆C 上异于A 1，A 2的任意一点，若直线P A 1，P A 2的斜率的乘积为－49，则椭圆C 的离心率为____．5.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点)23,1(P ，离心率为12.(1) 求椭圆C 的方程． (2) 若斜率为32的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试探究OA 2＋OB 2是否为定值？若为定值，求出此定值；若不是定值，请说明理由．三、典型例题题型一. 直线与圆锥曲线的位置关系例1已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．变式在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上． (1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．例2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知焦点在x 轴上，离心率为12的椭圆E 的左顶点为A ，点A 到右准线的距离为6．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点A 且斜率为32的直线与椭圆E 交于点B ，过点B 与右焦点F 的直线交椭圆E 于M 点，求M 点的坐标．题型二弦长问题例3 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) 的离心率e ＝22，右焦点F 到左准线l 的距离为3．(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC =2AB ，求直线AB 的方程．变式如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD .当直线AB 斜率为0时，AB ＝4. (1)求椭圆的方程；(2)若|AB |＋|CD |＝487，求直线AB 的方程．BAOxy lP C题型三定点问题例4 如图，在平面直角坐标系xOy中，离心率为2的椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于,P Q 两点，直线,PA QA 分别与y 轴交于,M N 两点．若直线PQ斜率为2时，PQ = （1）求椭圆C 的标准方程；（2）试问以MN 为直径的圆是否经过定点（与直线PQ 的斜率无关）？请证明你的结论．例5 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a ＞1)的上顶点为A ，右焦点为F ，直线AF 与圆M ：x 2＋y 2－6x －2y ＋7＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)若不过点A 的动直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，且AP →·AQ →＝0，求证：直线l 过定点，并求出该定点N 的坐标．变式1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点1P (1,1)，2P (0,1)，)23,1(3 P ，)23,1(4P 中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．变式2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，椭圆上动点P 到一个焦点的距离的最小值为3(2－1)．(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 已知过点M (0，－1)的动直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试判断以线段AB 为直径的圆是否恒过定点，并说明理由．题型四定值问题例6 已知椭圆)(:012222>>=+b a by a x C 的离心率为23，且过点),(12-P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点Q 在椭圆C 上，且PQ 与x 轴平行，过P 点作两条直线分别交椭圆C 于),(11y x A),(22y x B 两点，若直线PQ 平分APB ∠，求证：直线AB 的斜率是定值，并求出这个定值．变式在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2，离心率为22，椭圆的右顶点为A . （1）求该椭圆的方程；（2）过点(2,2)D -作直线PQ 交椭圆于两个不同点,P Q ，求证：直线,AP AQ 的斜率之和为定值.例7 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>，焦点到相应准线的距离为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为椭圆上的一点，过点O 作OP 的垂线交直线y =于点Q ，求2211OP OQ +的值．变式在平面直角坐标系xOy 中，已知圆222:O x y b +=经过椭圆222:14x y E b +=(02)b <<的焦点.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设直线:l y kx m =+交椭圆E 于,P Q 两点，T 为弦PQ 的中点，(1,0),(1,0)M N -，记直线,TM TN 的斜率分别为12,k k ，当22221m k -=时，求12k k ⋅的值.题型五最值、范围问题例8 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F (－1，0)，左准线方程为x ＝－2.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若椭圆C 上有A ，B 两点，满足OA ①OB (O 为坐标原点)，求①AOB 面积的取值范围．例9 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，点B 是椭圆C 上异于左、右顶点的任一点，P 是AB 的中点，过点B 且与AB 垂直的直线与直线OP 交于点Q ，已知椭圆C 的离心率为12，点A 到右准线的距离为6。

圆锥曲线参数方程在高中数学解题中的应用

圆锥曲线参数方程在高中数学解题中的应用摘要：应用参数方程解答高中数学圆锥曲线类型的问题，能简化解题步骤，提高解题效率，因此教学中应为学生认真、细致地讲解各类圆锥曲线的参数方程，同时做好相关问题类型的总结，为其讲解参数方程在解题中的具体应用，使学生感受参数方程的应用过程，积累相关的应用方法与技巧，不断提高学生的解题能力.关键词：高中数学;圆锥曲线;参数方程;应用高中数学教学中，为使学生能够灵活运用圆锥曲线参数方程解答相关的数学习题，应加强训练学生，使其苦练基本功，打牢基础，能够实现圆锥曲线标准方程与参数方程之间的互化.同时注重提高学生应用参数方程解答数学习题的意识，在解题中能够快速找到相关的解题突破口.一、用于求解参数范围求解参数的取值范围是高中数学常见的习题类型.部分习题和圆锥曲线知识点结合起来，对学生的分析、解题能力要求较高.解答该类习题要么运用圆锥曲线参数的取值范围，构建不等式关系进行求解，要么使用圆锥曲线的参数方程进行解答.其中运用参数方程求解不仅易于理解，而且解题过程简单.教学中为使学生掌握参数方程法求解参数范围问题，应注重围绕具体的例题为学生展示具体的解题过程，使其带来解题的启发.例1已知椭圆方程为其内接矩形的最大面积取值范围为[3b2，4b2]，则椭圆的离心率取值范围为( ).该题目如采用常规解法不易找到解题思路，而且求解的过程较为繁琐，因此，可考虑使用椭圆的参数方法，化繁为简，巧妙突破.解析设矩形在第一象限的顶点为P.由椭圆的参数方程易得P的坐标为(a cosθ，b sinθ).则矩形的面积S=4ab cosθ·sinθ=2ab sin2θ≤2ab.又因为矩形的最大面积取值范围为[3b2，4b2]，则3b2≤2ab≤4b2，即则正确选项为B.二、用于解答定值问题定值问题在圆锥曲线中出现频率较高.很多学生由于思维定势，常运用传统的解法，不仅花费大量的时间，而且稍有不慎就会出错.为避免这一情况的发生，提高学生的解题正确率，既要注重为学生讲解运用参数方程求解定值问题的相关思路，又要设计相关的问题对学生进行训练，使学生亲身感受参数方程的应用过程，通过不断的出错改错，逐渐深化对圆锥曲线参数方程的理解，提高参数方程在解题中的应用灵活度.如遇到圆锥曲线动点相关的定值问题时，应首先考虑运用参数方程法进行求解.例2已知双曲线方程为x2-y2=2a2，点P为双曲线上的任意一点.设点P 到两条渐进线的距离分别为d1，d2，则d1·d2的值为( ).A.1B.a2C.b2D.c2该题目为双曲线的动点问题，解题中应注重运用双曲线的参数方程设出点P的坐标，然后运用点到直线的距离进行分析、解答.解析根据题意不难设出点P的坐标为同时，双曲线的渐进线方程为y=±x，由点到直线的距离可得则d1·d2=a2|sec2θ-tan2θ|=a2.正确答案为B.三、用于解答最值问题学生对求解圆锥曲线中的最值问题并不陌生.相关的解题方法也是多种多样.教学中应注重启发学生相互交流解题经验，通过对比、分析，亲身感受参数方程在解题中的便利之处.同时，围绕学生所学为学生布置求解最值问题的作业，要求其应用参数方程法解答.通过做作业能够认识到运用参数方程解答圆锥曲线问题中的不足，逐渐积累运用参数方程解题的经验与技巧，促进其解题水平的进一步提升.例3已知抛物线方程y2=2x，在其上存在异于顶点O的两点A，B，满足OA⊥OB，则△AOB面积的最小值为( ).A.2B.3C.4D.5该题如采取常规做法需求出OA,OB的长度，表示出三角形的面积，采用函数知识进行求解，计算繁琐，容易出错.如使用抛物线的参数方程，可取得事半功倍的解题效果.解析由抛物线的标准方程，可分别求出A，B两点的坐标，即A(2t12，2t1)，B(2t22，2t2)(t1≠t2，且t1·t2=0)，则不难求出则t1·t2=-1.所以当且仅当t1=-t2时取等号，即△AOB面积的最小值为4.正确选项为C.四、用于解答综合问题圆锥曲线的一些综合问题直接考查学生运用参数方程解答问题的能力.教学中为使学生尽快找到解题思路，得出正确的解题结果，既要注重筛选、精讲相关例题，又要鼓励学生多进行训练，尤其应做好训练后的反思与总结，并将解题心得记录在错题本中.平时用好错题本，定期翻阅，时刻提醒避免犯下类似错误.例4在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，l的极坐标方程为ρ(cosθ+2sinθ)=10，C的参数方程为为参数，θ∈R).(1)写出直线l和C的普通方程.(2)在C上求点M，使点M到l的距离最小，并求出最小值.该题目考查了极坐标方程、参数方程向普通方程的转化，以及参数方程求最值.解析 (1)由ρ(cosθ+2sinθ)=10，结合所学不难得出x=ρcosθ，y=ρsinθ，则l的方程为x+2y-10=0；由C的参数方程将θ消去可得(2)设M的坐标为(3cosα，2sinα)，则由点到直线的距离可得此时，当α=α0时d的值最小，最小值为则点M的坐标为运用参数方程解答圆锥曲线问题是一种很好的思路.为使学生熟练掌握、灵活应用，教学中既要注重灌输参数方程基础知识，又要引导学生进行推导，使其搞清楚参数方程的来龙去脉、相关参数表示的含义等.同时，在课堂上为学生演示如何应用参数方程解答圆锥曲线问题，使学生掌握相关的应用细节，使其真正做到融会贯通，举一反三.。

圆锥曲线的性质在实际问题中的应用

圆锥曲线的性质在实际问题中的应用圆锥曲线是解析几何中的重要概念，由平面和圆锥交成的曲线形态多样，包括圆、椭圆、抛物线和双曲线。

这些曲线在数学和应用数学领域具有广泛的应用，尤其是在实际问题的建模与解决中。

本文将探讨圆锥曲线的性质以及它们在实际问题中的应用。

一、圆锥曲线的性质1. 圆的性质圆是其中最基本的圆锥曲线之一，它有以下重要性质：- 圆是由一个平面和一个与其垂直的圆锥面相交而形成的曲线。

- 圆上的所有点到圆心的距离相等，这个距离称为半径。

- 圆的直径是通过圆心的一条线段，它等于圆的半径的两倍。

2. 椭圆的性质椭圆是由一个平面与圆锥面的非垂直截面相交而形成的曲线，它具有以下性质：- 椭圆上的每一点到两个焦点的距离之和是一个常数，这个常数称为椭圆的长轴。

- 椭圆的长轴与短轴垂直，并通过椭圆的中心。

- 椭圆的离心率描述了椭圆形状的瘦胖程度，它是焦距与椭圆的长轴之比。

3. 抛物线的性质抛物线是由一个平面与圆锥面的平行截面相交而形成的曲线，它具有以下性质：- 抛物线上的每一点到焦点的距离等于该点到准线的距离。

- 抛物线是对称的，焦点和准线的垂线的交点称为抛物线的顶点。

- 抛物线的形状由焦点和准线的距离决定，距离越小，抛物线越瘦长。

4. 双曲线的性质双曲线是由一个平面与圆锥面的交线相交而形成的曲线，它具有以下性质：- 双曲线上的每一点到两个焦点的距离之差是一个常数，这个常数称为双曲线的焦距。

- 双曲线的两个分支对称，焦点和两个分支的交点称为双曲线的顶点。

- 双曲线的形状由焦距和两个分支的夹角决定。

二、圆锥曲线在实际问题中的应用1. 轨迹分析圆锥曲线可以用来描述物体在运动过程中的轨迹，如行星绕太阳的椭圆轨道、炮弹的抛物线轨迹等。

通过对圆锥曲线的研究和分析，可以帮助我们理解和预测物体的运动轨迹，进而为工程设计、空间探索等领域提供参考。

2. 光学设计在光学设计中，圆锥曲线被广泛应用于透镜的设计和制造。

椭圆曲线透镜可以使光线经过折射后汇聚到焦点上，从而实现光的聚焦。

圆锥曲线的应用

圆锥曲线的应用摘要：圆锥曲线是高中学习中一章最为重要的内容，也是高考的主要考查知识点。

本文主要介绍了圆锥曲线在实际中的一些应用，并通过这些应用来激发学生探索知识的欲望，培养学生学习知识的兴趣和动力。

关键词：圆锥曲线；椭圆；双曲线；抛物线；圆；应用一、引言圆锥曲线包括椭圆、抛物线、双曲线和圆，学生在实际生活中接触最多的是圆，对于椭圆、抛物线和双曲线的应用接触较少，这在很大程度上影响了学生学习数学的兴趣。

《数学课程标准》指出，数学是人类文化的重要组成部分，数学教学应当反映数学的历史、应用和发展趋势，要让学生了解数学的应用价值和人文价值。

我们现阶段的教育教学只重视了知识的传授，更多地忽略了知识本身的灵活应用，很少想到用我们所学过的知识来处理生产生活中所遇到的一些问题。

本课题主要通过介绍数学中所学过的圆锥曲线中的相关内容，从实际生产生活中运用它来处理相关问题，让学生具体的感知体会数学在生活中的“美”。

二、圆锥曲线的应用1.圆锥曲线在天体中的应用我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的椭圆轨迹上运行，太阳就在地球运行的一个焦点上。

同理，地球和我们发射的航天器在天体中的运动轨迹也是一个椭圆。

为了帮助学生更好的理解，选择了一道和椭圆有关的高考题来帮助学生理解。

例1.(2004年春季北京-文18)2003年10月15日9时，“神舟”五号载人飞船发射升空，于9时9分50秒准确进入预定轨道，开始巡天飞行。

该轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆。

选取坐标系如图所示，椭圆中心在原点.近地点A距地面200 km，远地点B距地面350 km.已知地球半径R=6371 km.(如下图)(1)求飞船飞行的椭圆轨道的方程；(2)飞船绕地球飞行了十四圈后，于16日5时59分返回舱与推进舱分离，结束巡天飞行，飞船共巡天飞行了约6×105 km，问飞船巡天飞行的平均速度是多少?(结果精确到1 km/s)(注：km/s即千米/秒)解：(1)设椭圆的方程为+=1.由题设条件得a－c=|OA|－|OF2|=|F2A|=6371+200=6571，a+c=|OB|+|OF2|=|F2B|=6371+350=6721.解得a=6646，c=75，所以a2=44169316，b2=a2－c2=(a+c)(a－c)=6721×6571=44163691.∴所求椭圆的方程为+=1.(2)略2.在实际生活中的应用生活中很多地方都有圆锥曲线应用实例，下面就圆锥曲线中双曲线和抛物线在实际生活中的应用做简单的介绍。

圆锥曲线的应用

芯衣州星海市涌泉学校1087圆锥曲线的应用〔1〕一、知识要点：1．相关点法〔代入法〕：对于两个动点00(,),(,)P x y Q x y ，点P 在曲线上运动导致点Q 运动形成轨迹时，只需根据条件找到这两个点的坐标之间的等量关系并化为00(,)(,)x f x y y g x y =⎧⎨=⎩然后将其代入曲线的方程即得到点Q 的轨迹方程． 2．参数法〔交规法〕：当动点P 的坐标,x y 之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中间变量t ，并用t 表示动点P 的坐标,x y ，从而动点轨迹的参数方程()()x f t y g t =⎧⎨=⎩消去参数t ，便可得到动点P 的的轨迹的普通方程，但要注意方程的等价性，即有t 的范围确定出,x y 的范围．二、根底训练1．椭圆1162522=+y x 的右焦点为F ，Q 、P 分别为椭圆上和椭圆外一点，且点Q 分FP 的比为2:1，那么点P 的轨迹方程为〔〕2．设动点P 在直线01=-x 上，O 为坐标原点，以OP 为直角边，点O 为直角顶点作等腰直角三角形OPQ ，那么动点Q 的轨迹是〔〕()A ()B 两条平行直线 ()C 抛物线 ()D 双曲线3．点(,)P x y 在以原点为圆心的单位圆上运动，那么点(,)Q x y xy +的轨迹是〔〕()A 圆 ()B 抛物线 ()C 椭圆()D 双曲线 4．双曲线22143x y -=关于直线20x y -+=对称的曲线方程是 5．倾斜角为4π的直线交椭圆1422=+y x 于B A ,两点，那么线段AB 中点的轨迹方程是三、例题分析例1．动圆22:(1)1C x y -+=，过原点O 作圆的任一弦，求弦的中点的轨迹方程．例2．求过点(1,2)A ，离心率为12，且以x 轴为准线的椭圆的下方的顶点轨迹方程．例3．设椭圆方程为1422=+y x ，过点M 〔0，1〕的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 满足1()2OP OA OB =+，点N 的坐标为)21,21(，当l 绕点M 旋转时，求：〔1〕动点P 的轨迹方程；〔2〕||NP 的最小值与最大值.四、作业同步练习1087圆锥曲线的应用〔1〕。

高中数学圆锥曲线的应用案例

高中数学圆锥曲线的应用案例.txt 高中数学圆锥曲线的应用案例简介本文档将介绍一些高中数学中圆锥曲线的应用案例。

圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线，它们在现实世界中有着广泛的应用。

椭圆的应用椭圆是数学中常见的一种圆锥曲线，在现实世界中有许多应用案例。

卫星轨道在航天技术中，人造卫星常常采用椭圆形轨道。

椭圆形轨道使卫星在不同的高度上运行，从而实现不同的任务，比如通信、气象预报和地球观测等。

椭圆形跑道在田径运动中，椭圆形跑道是常见的比赛场地。

椭圆形的设计可以确保不同起点的跑道长度相同，保证比赛公平性。

双曲线的应用双曲线是另一种常见的圆锥曲线，也有着一些实际应用。

抛物面天线在通信领域中，抛物面天线常用于卫星通信和无线网络传输。

抛物面天线的形状可以将入射的电磁波聚焦到一个点上，提高信号强度和传输效率。

光学透镜在光学领域中，抛物面镜是一种常用的透镜类型。

抛物面镜将入射的光线聚焦到一个焦点上，用于望远镜、摄影机以及激光聚焦等应用。

抛物线的应用抛物线是圆锥曲线中的一种，也在现实生活中得到广泛应用。

桥梁设计在桥梁设计中，抛物线形状的拱桥可以提供最佳的承载能力和结构稳定性。

许多著名的桥梁，如巴黎的埃菲尔铁塔桥和纽约的布鲁克林大桥，都采用了抛物线形状的设计。

炮弹轨迹在物理学中，抛物线经常用来描述炮弹的轨迹。

通过计算抛物线的参数，可以预测炮弹的飞行轨迹和射程，为军事作战和火箭工程提供重要参考。

总结圆锥曲线在现实生活中有着广泛的应用。

椭圆、双曲线和抛物线分别应用于航天技术、田径运动、通信领域、光学应用、桥梁设计和物理学等领域。

通过深入理解圆锥曲线的性质和应用案例，我们可以更好地理解数学在实际生活中的重要性。

注：本文所述应用案例基于一般性原则，具体应用情况可能存在差异，需参考专业资料进行进一步确认。

高考数学中的圆锥曲线性质分析及应用

高考数学中的圆锥曲线性质分析及应用随着高考的临近，不少考生和家长都开始关注数学试卷中的圆锥曲线部分。

作为数学考试中的一大难点，圆锥曲线不仅涉及到需要熟练运用的公式和性质，还需要考生具备较强的数学思维和分析能力。

本文将从圆锥曲线基本性质、曲线方程、焦点和直线方程分析及应用等几个方面，深入探讨高考数学中的圆锥曲线。

圆锥曲线基本性质圆锥曲线一般分为椭圆、双曲线和抛物线三种类型。

它们都具有一些共同的基本性质，如曲线上任意一点P到两个定点F1，F2的距离之和等于常数2a（a为椭圆和抛物线的长半轴，双曲线的距离之差），即PF1+PF2=2a。

这一性质被称为焦距定理，是圆锥曲线研究的重要基础。

此外，圆锥曲线还有一个重要性质——离心率。

离心率是用来描述圆锥曲线形状的一个参数，其值范围为0到1，反映了椭圆、双曲线和抛物线三种曲线的独特性质。

由于篇幅有限，在此不再详细介绍。

曲线方程圆锥曲线方程是圆锥曲线研究的重要内容之一。

不同类型的曲线方程不同，但都具有一些基本的特征。

例如，椭圆和抛物线的方程是二次方程，可以用解方程的方法求得，而双曲线的方程则是由两个分开的二次方程相减得到的。

在解题过程中，了解不同类型的曲线方程及其性质，是解题的关键。

同时，要注意掌握方程图像的一些特征，如中心对称性、对称轴、渐近线等。

焦点和直线方程分析及应用焦点是圆锥曲线中一个重要的概念，它不仅可以帮助我们确定曲线方程，还可以通过与直线距离定理来求解一些相关的问题，如求点到直线的距离、求点线间垂直等。

圆锥曲线和直线之间的关系也是数学考试中常见的类型之一。

通过掌握直线的方程和圆锥曲线的方程，我们可以求出它们之间的交点，进而解决与交点相关的几何问题，如求直线在圆上的切线、直线穿过椭圆的判别等。

总之，圆锥曲线作为高考数学中的重要考点，不仅需要我们对基本概念和性质有较深的理解，也需要我们具备较强的分析能力和解题技巧。

只有不断积累、勤加练习，才能在高考中游刃有余地应对这一难点。

高考数学复习点拨例谈圆锥曲线的应用.doc

例谈圆锥曲线的应用圆锥曲线在生产和日常生活中有许多重要的应用．为了解决与椭圆、双曲线、抛物线有关的实际问题，首先要把实际问题数学化；其次，利用已有的知识，选择适当的数学方法，求出数学模型的解答；最后利用现实问题的各种信息检验所得到的实际问题的解答，以确认解答的正确性和数学建模的准确性．那么，如何对实际问题进行数学抽象，如何通过选择适当的方法使问题变得简单，请关注本文例题的讲解．1．椭圆型例 1 小河上有一座悬吊在半椭圆形钢拱上的小桥，其侧面如图1所示．地面上两点A B ，是椭圆长轴的端点，与地面平行的桥面CD 长为9．42米，CG DH ，是两根高为1米且与地面垂直的支柱，引桥CE 的坡度为15°，且 3.44BE =米．求此椭圆形钢拱的跨度AB 及拱的最高点到地平面的距离．（精确到0．1米）解：以AB 及拱的最高点到地平面的距离．（精确到0．1米）解：以AB 中点为原点，拱桥的对称轴所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．由题意知t a n 5233.73GE ==≈°， 3.73 3.440.29GB ≈-=，9.420.29210.0AB ≈+⨯=（米）．设钢拱所在的椭圆标准方程为2221(0)25x y b b+=>，将(4.711)C ，带入，解得 3.0b ≈（米）．所以钢拱的跨度约为10．0米，其最高点到地平面的距离约为3．0米．评注：解决本题的关键是能够根据提供的数据信息挖掘出图形当中的数量关系，求出椭圆的方程．2．双曲线型例2 如图2，Ｂ地在Ａ地的正东方向４km 处，Ｃ地在Ｂ地的北偏30°方向2km 处，河流的沿岸PQ （曲线）上任意一点到A 的距离比到B 的距离远2km ．现要在曲线PQ 上选一处Ｍ建一座码头，向Ｂ，Ｃ两地转运货物．经测算，从Ｍ到Ｂ，C 修建公路的费用分别是a 万元/km ，2a 万元/km ，求修建这两条公路的最低总费用．解：以AB 所在直线为x 轴，AB 垂直平分线为y 轴，建立坐标系，则(20)(20)A B -，，，，据题意知PQ 为双曲线的一支，由2MA MB -=，可得双曲线方程为2213y x -=，其中212c c a b e a=====，，．正好修MB 费用为a 万元／千米，修MC 为2a 万元／千米，过C 作准线的垂线，垂足为D ，此时CD 最短，即CM MD +最小，也即12CM MB +最小，故所求费用最低为5a 万元．评注：本题关键是根据所给情景材料辨认出相应的几何模型，进而根据曲线的性质和平几知识求最值．3．抛物线型例 3 在我国的古运河上建有许多形状相同的抛物线型拱桥n A （从上游到下游标记，012n =，，，），经测量知，相邻两座桥之间的距离n a 近似满足800150(12)n a n n =+=，，，这些拱桥当水面距拱顶5米时，拱洞水面宽为8米，每年汛期，船公都要考虑拱桥的通行问题，一只装有防汛器材的船，露出水面部分的高为0．75米，宽为４米．（1）要使该船能顺利通过拱桥，试问水面距拱顶的高度必须达到几米？（2）已知河水每小时上涨0．15米，船在静水中的速度为0．4米/秒，水流速度为15米/分，若船从0A 桥起锚顺水航行时，河水开153.9147.8159.8==）解：（1）取抛物线型拱桥的拱顶为坐标原点，拱桥的对称轴所在直线为y 轴，建立直角坐标系．设当水面涨到与抛物线拱顶相距h 米时，船不能通行．设抛物线的方程为22(0)x py p =->．(45)A -，∵在此抛物线上，1.6P =∴，抛物线的方程为2 3.2x y =-．当船不能通行时，设船宽等于BB '，点B 横坐标为2，问题转化为求抛物线2 3.2x y =-上B 点的纵坐标1y ，然后求h ．将2x =带入方程得154y =-，10.752h y =+=∴．因此，水面距拱顶至少2米，船才能顺利通过桥．（2）河水水面由距离拱顶5米上升到2米需52200.15-=小时，0A 桥到n A 桥的距离21()(950800150)7587522n n a a n n S n n +++===+．船顺水航行速度14409002340v =+=米／小时，在这段时间内，船航行的路程23402046800d =⨯=米．由46800n S =，解得19.8n ≈，故取19n =时，此时19204370047350S d S =<<=，∴船在20A 桥受阻．评注：本题是以抛物线为背景，考查了曲线与方程、数列等有关知识．本质是对生活语言的理解、抽象和转化为数学语言的能力．。

高三数学-圆锥曲线的定义及应用-圆锥曲线的综合应用

高三数学圆锥曲线的定义及应用圆锥曲线的综合应用一、圆锥曲线的定义1. 椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。

即：{P| |PF1|+|PF2|=2a, (2a>|F1F2|)}。

2. 双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。

即{P|||PF1|-|PF2||=2a, (2a<|F1F2|)}。

3. 圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。

当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。

二、圆锥曲线的方程。

1.椭圆：+=1（a>b>0）或+=1（a>b>0）（其中，a2=b2+c2）2.双曲线：-=1（a>0, b>0）或-=1（a>0, b>0）（其中，c2=a2+b2）3.抛物线：y2=±2px（p>0），x2=±2py（p>0）三、圆锥曲线的性质1.椭圆：+=1（a>b>0）（1）范围：|x|≤a，|y|≤b（2）顶点：(±a,0)，(0,±b)（3）焦点：(±c,0)（4）离心率：e=∈(0,1)（5）准线：x=±2.双曲线：-=1（a>0, b>0）（1）范围：|x|≥a, y∈R（2）顶点：(±a,0)（3）焦点：(±c,0)（4）离心率：e=∈(1,+∞) （5）准线：x=±（6）渐近线：y=±x3.抛物线：y2=2px(p>0)（1）范围：x≥0, y∈R（2）顶点：（0,0）（3）焦点：（,0）（4）离心率：e=1（5）准线：x=-四、例题选讲：例1.椭圆短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆中心到准线的距离是__________。

高中数学圆锥曲线的参数方程解析及应用实例

高中数学圆锥曲线的参数方程解析及应用实例圆锥曲线是高中数学中的重要内容，它包括椭圆、双曲线和抛物线三种类型。

在解析几何中，我们通常使用直角坐标系来描述这些曲线，但是在某些情况下，参数方程的使用会更加方便和有效。

本文将介绍圆锥曲线的参数方程解析方法，并举例说明其应用。

一、椭圆的参数方程解析椭圆是圆锥曲线中的一种，其参数方程的形式为：x = a*cosθy = b*sinθ其中，a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴，θ为参数。

通过改变参数θ的取值范围，我们可以得到椭圆上的所有点。

例如，给定一个椭圆，长半轴为3，短半轴为2，我们可以通过参数方程来求解椭圆上的点。

当θ取值从0到2π时，我们可以得到以下一组点的坐标：(3, 0), (0, 2), (-3, 0), (0, -2)这些点恰好构成了一个椭圆。

椭圆的参数方程在实际问题中有着广泛的应用。

例如，在天文学中，行星的轨道通常可以近似为椭圆。

通过求解椭圆的参数方程，我们可以计算出行星在不同时间点的位置坐标，从而预测其轨道和运动状态。

二、双曲线的参数方程解析双曲线也是圆锥曲线中的一种，其参数方程的形式为：x = a*coshθy = b*sinhθ其中，a和b分别为双曲线的长半轴和短半轴，θ为参数。

与椭圆类似，通过改变参数θ的取值范围，我们可以得到双曲线上的所有点。

例如，给定一个双曲线，长半轴为3，短半轴为2，我们可以通过参数方程来求解双曲线上的点。

当θ取值从0到2π时，我们可以得到以下一组点的坐标：(3, 0), (3.6, 1.6), (3, 3.5), (2.4, 4.8)这些点恰好构成了一个双曲线。

双曲线的参数方程在物理学和工程学中有着重要的应用。

例如，在电磁学中，双曲线可以用来描述电场和磁场的分布。

通过求解双曲线的参数方程，我们可以计算出电场和磁场在空间中的分布情况，从而研究电磁场的性质和应用。

三、抛物线的参数方程解析抛物线是圆锥曲线中的一种，其参数方程的形式为：x = a*t^2y = 2*a*t其中，a为抛物线的参数，t为参数。

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