第28届全国中学生物理竞赛决赛实验试题及参考解答

合集下载

第28届全国中学生物理竞赛预赛试卷参考解答与评分标准

第28届全国中学生物理竞赛预赛试卷参考解答与评分标准一、选择题．答案：1．C 2．C 3．BC 4．A 5．D评分标准：本题共5小题，每小题6分．全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分．二、填空题答案与评分标准：6．2.5m ( 6分）7．35s (10 分） 8．2lk C ke E E - ( 6分） 2.0×10-9 (2分） 9．9 ( 10 分）10．i ．如图所示．( 8分）（图错不给分，图不准确酌情评分．)ii ．并联电阻两端的电压U 0=2.3V (2分），通过电阻1的电流I 10＝1.2A (3分），通过电阻2的电流I 20= 2.2A ( 3分）（读数第一位必须正确，第二位与答案不同，可酌情评分．)iii ．2.5 W ( 2 分）, 4 .9W ( 2 分）11．参考解答：i ．设空间站离地面的高度为H, 因为同步卫星的周期和地球自转周期相同，根据开普勒第三定律以及题意有323200)()R H T R H T +=+（ (1) 即 2/300()()T H R H R T =+- (2) 代人数据得 H= 376km (3)卫星的高度 h =H 一l =356km (4)卫星在细绳的拉力 F 和地球引力作用下跟随空间站一起绕地球作周期为 T 的圆周运动，有222()()()Mm G F m R h R h Tπ-=++ (5) 式中G 为万有引力常量， M 为地球质量．空间站在地球引力作用下绕地球作周期为 T 的圆周运动故有 222()()()Mm G m R h R h Tπ''=++ (6) 式中m ’为空间站的质量．由（5）、（6）两式得2222()()()[1]()R H F m R h T R h π+=+-+ (7) 将（3）、（4）式及其他有关数据代人（7）式得 F=38.2N (8)ii ．细绳脱落后，卫星在地球引力作用下绕地球运动的轨道为一椭圆．在脱落的瞬间，卫星的速度垂直于卫星与地心的连线，所以脱落点必是远地点（或近地点），由( 4）式可知，此点到地面的高度h =356km (9) 设卫星在近地点（或远地点）的高度为h '，速度为v '，根据开普勒第二定律，有22()()R h v R h T π''+=+ (10) 根据机械能守恒，有222112()()22Mm Mm mv G m R h G R h T R hπ'-=+-'++ (11) 联立（10）、（11）两式并利用（6）式得433()2()()R h h R H R h +'=+-+ (12) 代人有关数据有 h ' = 238km(13 ) 由（9）、（13）两式可知，远地点到地面的高度为356km ，近地点到地面的高度为238km .设卫星的周期为T '，根据开普勒第三定律，卫星的周期3/22()22R h h T T R H'++'=+ (14) 代人数据T '= 90 . 4min (15) 评分标准：本题 17 分．第i 小题9分． ( l ）式2分， ( 5）式3分， ( 6）式2分， (8）式2分．第ii 小题8分． (9）、（10）式各l 分， (11）式 2 分， (12）、（13）、（14）、（15）式各1分．12．参考解答：解法一因为下坡时自行车匀速行驶，可知阻力大小f=mgsinθ (1)由题意，自行车沿斜坡匀速向上行驶时，轮盘的角速度2N tπω= (2) 设轮盘边缘的线速度为v 1，由线速度的定义有v 1=ωR 1 (3) 设飞轮边缘的线速度为v 2，后车轮边缘的线速度为v 3，因为轮盘与飞轮之间用链条连结，它们边缘上的线速度相同，即v 1=v 2 (4)因飞轮与后车轮的转动角速度相同，故有2233v R v R = (5) 因车轮与坡面接触处无滑动，在车后轮绕其中心轴转动一周的时间T 内，车后轮中心轴前进的路程32s R π∆= (6 )而 332R T v π= (7) 车后轮的中心轴前进的速度即自行车行驶速度的大小s V T∆= (8) 由以上有关各式得1322NR R V R tπ= (9) 人骑自行车上坡的功率为克服阻力f 的功率加上克服重力沿斜面分力的功率，即P=fV+mgVsin θ (10) 由（l ）、（9）、（10）式得1324sin mg NR R P R tπθ= (11) 评分标准：本题 17 分．( l ）式 3 分，求得（9 式共 8 分， (10）式5分， (11）式1分．解法二因下坡时自行车匀速行驶，若自行车出发点的高度为h ，则克服阻力所做的功W f 等于势能的减少，有W f =mgh (1) 用s 表示自行车行驶的路程，有h =s sin θ (2 )自行车沿斜坡匀速向上行驶时，骑车者所做的功W ，等于克服阻力的功W f 与势能增量mgh 之和，即W=W f +mgh (3) 设骑车者蹬踩踏板N 圈到达下坡时的出发点，因踏板转N 圈可使后轮转NR 1/R 2圈，所以自行车行驶的距离s 为122NR s R R π=⋅ (4) 由（1）到（4）式，得1324sin NR R W mg R tπθ=⋅ (5) 上式除以所用时间t ，即得骑车者功率 1324sin mg NR R W P t R t πθ== (6) 评分标准：本题17分．( I ）式3分， ( 2）式l 分， (3）式4分， (4）式6分， (5）式 l 分， (6）式 2 分．13．参考解答：当环的角速度到达ω0时，环的动能201()2k E m R ω= ( l ) 若在时刻t ，环转动的角速度为ω，则环上电荷所形成的等效电流 22qq I R R ωωππ== (2) 感应电动势 I k t tφε∆∆==∆∆ (3) 由（2）、（3）式得 2q k t ωεπ∆=∆ (4) 环加速转动时，要克服感应电动势做功，功率为P 1=εI (5) 因为是匀加速转动，所以ω和I 都随时间t 线性增加．若角速度从零开始增加到ω0经历的时间为t 0，则有00t tωω∆=∆ (6) 若与ω0对应的等效电流为I 0，则在整个过程中克服感到电动势做的总功10012W I t ε= (7) 由以上有关各式得220128q W k ωπ= (8) 外力所做的总功22201021()82k q W W E k m R ωωπ=+=+ (9) 评分标准：本题20分．(1）式3分，(2）式4分，(3）式2分，(5）式3分， (6）式2分， (7）式3分，(8) 式l 分，(9）式2 分14．参考解答：i ．由于子弹射人摆球至停留在球内经历的时间极短，可以认为在这过程中摆球仅获得速度但无位移．设摆球（包括停留在球内的子弹）向前（指垂直于图面向里）的速度为u ，由动量守恒定律有mv 0=2mu (l)摆球以速度u 开始向前摆动，木块亦发生运动．当摆球上升至最高时，摆球相对木块静止，设此时木块的速度为V ，摆球上升的高度为h ，因水平方向动量守恒以及机械能守恒有 2mu =(2m +M)V (2)221(2)22mu m M V mgh =++ (3) 解（l ）、（2）、（3）三式得208(2)Mv h g m m =+ (4) ii ．摆球升到最高后相对木块要反向摆动．因为在摆球从开始运动到摆线返回到竖直位置前的整个过程中，摆线作用于支架的拉力始终向斜前方，它使木块向前运动的速度不断增大；摆线经过竖直位置后，直到摆线再次回到竖直位置前，摆线作用于支架的拉力将向斜后方，它使木块速度减小，所以在摆线（第一次）返回到竖直位置的那一时刻，木块的速度最大，方向向前以V ’表示摆线位于竖直位置时木块的速率，u ’表示此时摆球的速度（相对桌面），当u' >0，表示其方向水平向前，反之，则水平向后．因水平方向动量守恒以及机械能守恒，故有22mu mu MV ''=+ (5)22212mu mu MV ''=+ (6) 解（1）、（5）、（6）三式可得摆线位于竖直位置时木块速度的大小0V '= (7)022mv V m M'=+ (8) (7）式对应于子弹刚射人摆球但木块尚未运动时木块的速度，它也是摆球在以后相对木块往复运动过程中摆线每次由后向前经过竖直位置时木块的速度；而题中要求的木块的最大速率为（8）式，它也是摆球在以后相对木块的往复运动过程中摆线每次由前向后经过竖直位置时木块的速度．iii ．在整个运动过程中，每当摆线处于竖直位置时，小球便位于最低处．当子弹刚射人摆球时，摆球位于最低处，设这时摆球的速度为u ，由（l ）式得 012u v = (9) 方向水平向前．当摆球第一次回到最低处时，木块速度最大，设这时摆球的速度为u'，由 (l ）、（5）、（6）三式和（8）式可得0122m M u v M m-'=+ (10)其方向向后．当摆球第二次回到最低处时，由（7）式木块速度减至0，设这时摆球的速度为u''，由（l ）、（5）、（6）式可得u''＝012u v = (11) 方向向前，开始重复初始的运动．评分标准：本题20分．第i 小题 8 分．(1) 式 1 分，(2）、（3）式各3分， (4）式l 分第ii 小题 7 分．(5)、(6）式各3分，(8）式 l 分第iii 小题 5 分． ( 9 )式l 分， (10）式3.分， (11）式l 分．15．参考解答：先设磁感应强度为B 的匀强磁场方向垂直xy 平面向里，且无边界．考察从粒子源发出的速率为v 、方向与x轴夹角为θ的粒子，在磁场的洛仑兹力作用下粒子做圆周运动，圆轨道经过坐标原点O ，且与速度方向相切，若圆轨道的半径为R ，有2v qvB mR= （1）得 mv R qB= (2) 圆轨道的圆心O ’在过坐标原点O 与速度方向垂直的直线上，至原点的距离为R ，如图1所示．通过圆心 O ’作平行于y 轴的直线与圆轨道交于P 点，粒子运动到P点时其速度方向恰好是沿x 轴正方向，故P 点就在磁场区域的边界上．对于不同人射方向的粒子，对应的P 点的位置不同，所有这些P 点的连线就是所求磁场区域的边界线．P 点的坐标为x ＝—Rsin θ (3 )y ＝一R + Rcos θ (4)这就是磁场区域边界的参数方程，消去参数θ，得x 2 +(y+R)2=R 2 (5)由（2）、（5）式得222222()mv m v x y qB q B ++= (6) 这是半径为R 圆心 O ’’的坐标为（0，一R ) 的圆，作为题所要求的磁场区域的边界线，应是如图 2 所示的半个圆周，故磁场区域的边界线的方程为222222()mv m v x y qB q B ++= 0x ≤0y ≤ (7)若磁场方向垂直于xy 面向外，则磁场的边界线为如图3示的半圆，磁场区域的边界线的方程为x 2 +(y —R)2=R 2 0x ≥ 0y ≥ （8 )或 222222()mv m v x y qB q B +-= 0x ≥ 0y ≥ （9）证明同前评分标准：本题20分．( l ）或（2）式 2 分， (3）、（4）式各 4 分， (7）式 3 分，图（图 2 ) 2分（只要半圆的位置正确就给2分）, (9）式3分，图（图 3 ) 2 分（只要半圆的位置正确就给2分）16．参考解答：以t =0时刻船A 所在的位置为坐标原点O ，作如图1所示平面直角坐标系O xy ，x 轴指向正东，y 轴指向正北．可以把船C 的速度分解成沿正东方向的分速度v x 和沿正北方向的分速度v y 两个分量．根据题意有v x ＝v y ＝2u (1)在t 时刻，三船的位置如图1所示．B 、C 二船在y 方向位移相等，两船的连线BC 与x 轴平行，两船间的距离2BC a ut =+ (2)BC 的中点到B 点的距离为12a ut +．中点M 的坐标分别为 1322M x a a ut a ut =++=+ （3） 2M y ut = （4）可见M 点沿x 方向的速度为u ，沿y 方向的速度为2u ，在t = 0时刻BC 的中点在x 轴上，其x 坐标为3a /2．在与M 点固连的参考系中考察，并建立以M 为原点的直角坐标系M x 'y' , x '轴与x 轴平行，y'轴与y 轴平行，则相对M ，船A 的速度只有沿负y'方向的分量，有u AM =u AM y'=—2u (5)在时刻t ，船A 在坐标系M x 'y'的坐标为32A x a '=- (6) A AM y u t '= (7)可以把A 船的速度分解为沿连线MA 方向的分量u AM1 和垂直于连线 MA 方向的分量u AM2两个分量，u AM1使连线MA 的长度增大，u AM2使连线 MA 的方向改变，如图2所示．若用R 表示t 时刻连线MA 的长度，则连线MA 绕M 点转动的角速度2AM u Rω= (8) 若MA 与x '轴的夹角为θ，则有2cos AM AM u u θ= (9) 而 cos A x Rθ'= （10）R =（11）由（5）到（10）各式得22212916aua u t ω=+（12）评分标准：本题20分．求得（5）式共6分， ( 6）、（7）式各l 分， (8）式6分， (9）式2分，(10）、 (11）式各l 分，( 12 ) 式2分。

第28届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答及评分标准

一、参考解答：解法一：取直角坐标系Oxy ，原点O 位于椭圆的中心，则哈雷彗星的椭圆轨道方程为22221x y a b += (1) a 、b 分别为椭圆的半长轴和半短轴，太阳S 位于椭圆的一个焦点处，如图1所示．以e T 表示地球绕太阳运动的周期，则e 1.00T =年；以e a 表示地球到太阳的距离(认为地球绕太阳作圆周运动)，则e 1.00AU a =，根据开普勒第三定律，有3232a T a T =e e(2)设c 为椭圆中心到焦点的距离，由几何关系得c a r =-0 (3)22c a b -= (4) 由图1可知，P 点的坐标cos P P x c r θ=+ (5) sin P P y r θ= (6) 把(5)、(6)式代入(1)式化简得()2222222222sin cos 2cos 0P P P P P ab r b cr bc a b θθθ+++-= (7)根据求根公式可得()22222cos sin cos P P P Pb ac r a b θθθ-=+ (8) 由(2)、(3)、(4)、(8)各式并代入有关数据得0.896AU P r = (9) 可以证明，彗星绕太阳作椭圆运动的机械能为 s2Gmm E =a-(10) 式中m 为彗星的质量．以P v 表示彗星在P 点时速度的大小，根据机械能守恒定律有2s s 122P P Gmm Gmm m r a ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭v (11) 得图1P=v(12)代入有关数据得414.3910m sP-⨯⋅v=(13)设P点速度方向与SP的夹角为ϕ(见图2)，根据开普勒第二定律[]sin2P P Prϕθσ-=v(14)其中σ为面积速度，并有πabTσ=(15)由(9)、(13)、(14)、(15)式并代入有关数据可得127ϕ=(16)解法二：取极坐标，极点位于太阳S所在的焦点处，由S引向近日点的射线为极轴，极角为θ，取逆时针为正向，用r、θ表示彗星的椭圆轨道方程为1cospreθ=+(1)其中，e为椭圆偏心率，p是过焦点的半正焦弦，若椭圆的半长轴为a，根据解析几何可知()21p a e=-(2)将(2)式代入(1)式可得()θcos112eear+-=(3)以eT表示地球绕太阳运动的周期，则e1.00T=年；以ea表示地球到太阳的距离(认为地球绕太阳作圆周运动)，则e1.00AUa=，根据开普勒第三定律，有3232a Ta T=e e(4)在近日点0=θ，由(3)式可得1rea=-0(5)将Pθ、a、e的数据代入(3)式即得0.895AUPr=(6) 可以证明，彗星绕太阳作椭圆运动的机械能s2GmmE=a-(7)式中m 为彗星的质量．以P v 表示彗星在P 点时速度的大小，根据机械能守恒定律有2s s 122P P Gmm Gmm m r a ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭v (8) 可得P =v (9) 代入有关数据得414.3910m s P -⨯⋅v = (10) 设P 点速度方向与极轴的夹角为ϕ，彗星在近日点的速度为0v ，再根据角动量守恒定律，有()sin P P P r r ϕθ-=v v 00 (11)根据(8)式，同理可得=0v (12) 由(6)、(10)、(11)、(12)式并代入其它有关数据127ϕ= (13) 评分标准：本题20分解法一：(2)式3分，(8)式4分，(9)式2分，(11)式3分，(13) 式2分,(14)式3分,(15)式1分，(16)式2分．解法二：(3)式2分，(4)式3分，(5)式2分，(6)式2分，(8)式3分，(10) 式2分,(11)式3分,(12)式1分，(13)式2分．二、参考解答：1．建立如图所示坐标系Oxy .两杆的受力情况如图：1f 为地面作用于杆AB 的摩擦力，1N 为地面对杆AB的支持力，2f 、2N 为杆AB 作用于杆CD 的摩擦力和支持力，3N 、4N 分别为墙对杆AB 和CD 的作用力，mg 为重力.取杆AB 和CD 构成的系统为研究对象，系统平衡时, 由平衡条件有4310N N f +-=(1) 120N mg -= (2)以及对A 点的力矩()3411sin sin sin cos cos cos 022mgl mg l l N l N l l CF θθαθθα⎛⎫+---+-= ⎪⎝⎭即()3431sin sin cos cos cos 022mgl mgl N l N l l CF θαθθα---+-= (3) 式中CF 待求.F 是过C 的竖直线与过B 的水平线的交点，E 为BF 与CD 的交点．由几何关系有sin cot CF l αθ= (4) 取杆CD 为研究对象，由平衡条件有422c o s s i n 0N N f θθ+-= (5)22sin cos 0N f mg θθ+-= (6) 以及对C 点的力矩41cos sin 02N l mgl αα-= (7) 解以上各式可得41t a n 2N m g α=(8) 331sin 1tan sin tan tan 22cos 2sin N mg αααθαθθ⎛⎫=--+⎪⎝⎭(9) 13tan sin 1tan sin 2cos 2sin f mg θαααθθ⎛⎫=-+⎪⎝⎭(10) 12N mg = (11)21sin tan cos 2N mg θαθ⎛⎫=-⎪⎝⎭ (12) 21cos tan sin 2f mg θαθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(13) CD 杆平衡的必要条件为22c f N μ≤ (14)由(12)、(13)、(14)式得()2sin cos tan cos sin C C μθθαμθθ-≤+ (15)AB 杆平衡的必要条件为11A f N μ≤ (16)由(10)、(11)、(16)式得tan sin 2sin 43tan sin cos A αααμθθθ-≤- (17)因此，使系统平衡，α应满足的条件为(15)式和(17)式．2．将题给的数据代入(15)式可得a r c t a n 0.38521α︒≤= (18) 将题给的数据代入(17)式，经数值计算可得19.5α≥︒ (19)因此，α的取值范围为19.521.1α≤≤ (20) 评分标准：本题20分第1问15分：(1)、(2)、(3)式共3分，(4)式1分，(5)、(6)、(7)式共3分，(9) 、(10) 式各1分,(12)到(17)式各1分．第2问5分：(18)式1分，(19)式3分，(20)式1分．三、参考解答：解法一： 1．设在时刻t ，小球和圆筒的运动状态如图1所示，小球位于P 点，绳与圆筒的切点为T ，P 到T 的距离即绳的拉直部分的长度为l ，圆筒的角速度为ω，小球的速度为v .小球的速度可以分解成沿着绳子方向的速度1v 和垂直于绳子方向的速度2v 两个分量.根据机械能守恒定律和角动量守恒定律有()()()()22222001211112222M R m R M R m ωωω+=++v v (1) 2220012+=++MR mR MR mR ml ωωωv v (2)因为绳子不可伸长，1v 与切点T 的速度相等，即ωR =1v (3) 解(1)、(2)、(3)式得()()02222ωωmlR m M ml R m M ++-+= (4) ()()022222ωmlR m M lR m M +++=v (5) 由(4)式可得l = (6)2'2．由(6)式，当0=ω得=L (7)这便是绳的总长度L .3．如图2所示，从时刻t 到t t +∆，切点T 跟随圆筒转过一角度1t ωθ∆=∆，由于绳子的拉直部分的长度增加了l ∆，切点相对圆筒又转过一角度2l Rθ∆=∆，到达T '处，所以在t ∆时间内，切点转过的角度12lt Rθθωθ∆∆=∆=+∆+∆ (8) 切点从T 变到T '也使切线方向改变了一个同样的角度θ∆，而切线方向的改变是小球具有垂直于绳子方向的速度2v 引起的，故有2tlθ∆∆=v (9) 由(1)、(2)、(3)式可得()20l ωω=+v (10) 由(8)、(9)、(10)三式得0l R t ω∆=∆ (11) (11)式表示l 随t 均匀增加，故l 由0增加到L 所需的时间为 0s L t R ω== (12) 解法二：1．撤去插销后两个小球的运动情况相同，故可取一个小球作为对象进行研究，先研究任何时刻小球的速度.在t 时刻，相对卫星系统质心参考系小球运动状态如图1所示，绳子的拉直部分与圆筒面的切点为T ，小球到切点T 的距离即绳的拉直部分的长度为l ，小球到转轴O 的距离为r ，圆筒的角速度为ω.由于圆筒的转动和小球相对圆筒的运动，绳将展开，切点位置和绳的拉直部分的长度都要改变.首先考察小球相对于圆筒的运动.在t 时刻，OT 与固定在圆筒上的半径0OP 的夹角为φ，如图2所示.由于小球相对圆筒的运动，经过时间t ∆，切点从圆筒上的T 点移到T '点，OT '与2m1()2t0OP 的夹角变为φφ+∆，绳的拉直部分的长度由l 变为l '，小球由P 运动到P '，PP '便是小球相对圆筒的位移.当t ∆很小时l l '≈，故PP l l φφ''=∆≈∆于是小球相对圆筒的速度大小为ll tφφφω∆==∆v (1) 方向垂直于TP ．φω是切点相对圆筒转动的角速度．再考察圆筒相对质心参考系的转动，即与圆筒固连在一起的转动参考系相对质心参考系的运动.当圆筒的角速度为ω时，位于转动参考系中的P 点(小球所在处)相对质心系的速度r ωω=v (2)方向垂直于OP ．可以把ωv 分解成沿着TP 方向的分量1ωv 和垂直TP 方向的分量2ωv ，如图3所示，即1R ωω=v (3)2l ωω=v (4) 小球相对质心系的速度v 是小球相对圆筒的速度和圆筒参考系中的P 点相对质心系速度的合成，由图3可得v 的大小=v (5)因l R φ= (6) 故有=v (7)因为系统不受外力作用，故系统的动能和角动量守恒，故有()()222220011112222M R mR M R m ωωω+=+v (8) ()2220012MR mR MR mR ml ωωφωωω+=+++v v v (9)由(7)、(8)两式有()22220mM mφωωωωφ=+++ (10)Pφvωv 1ωvωvv2φω+v由(1)、(3)、(4)、(6)、(9)各式得()20mM mφωωφωω=+++ (11)由(10)、(11)两式得φωωωω+=+0故有0ωωφ= (12)上式说明绳子与圆筒的切点相对圆筒转动的角速度等于卫星的初始角速度，是一个恒量，将(12)式代入(11)式得φ=(13) 由(6)、(13)两式得l = (14) 这便是在卫星角速度减至ω时绳的拉直部分的长度l ．2．由(14)式，当0=ω得绳总长度, 即L = (15) 3．因φω是一个恒量，φ随时间的t 的变化规律为t 0ωφ= (16)当0=ω时，由(13)式可得卫星停旋时的φs φ=(17) 设卫星停转所用的时间为s t ，由(16)、(17)式得0s s t φω== (18) 评分标准：本题25分．解法一：第1问12分．(1)、(2)式各3分，(3)式2分，(6)式4分；第2问3分．(7)式3分；第3问10分．(8)、(9)式各3分，(10)式2分，(11)、(12)式各1分．解法二：第1问18分．(1)式3分，(2)式2分，(7)式2分，(8)式3分，(9)式3分，(12)式2分，(14)式3分；第2问3分．(15)式3分；第3问4分．(16)式2分，(17)式1分，(18)式1分．四、参考解答：1．根据题意，粒子的初速度只有y 方向和z 方向的分量，设它们为0y v 和0z v .因为粒子在z 方向不受电场力和磁场力作用，故粒子在z 方向以初速度0z v 作匀速运动.粒子在Oxy 面内的运动可以看作由以下两部分运动的合成：可把粒子在y 方向的初速度表示为 001001y y y y =-++v v v v (1) 其中010y E B =-v (2) 沿y 负方向．与01y v 相关的磁场力010Bx y f q B =-v (3) 沿x 负方向.粒子受到的电场力0E Ex f f qE == (4) 沿x 正方向．由(2)、(3)、(4)式可知，粒子在x 方向受到的电场力和磁场力正好抵消，故粒子以大小为00E B 的速度沿y 负方向运动．除此之外，由(1)式可知，粒子还具有初速度 00200y y E B =+v v (5) 沿y 正方向，与02y v 相关的磁场力使粒子以速率02y v 在Oxy 面内作匀速圆周运动，以r 表示圆周运动的半径，有202020y y q B mr=v v (6)可得020y m r qB =v (7)由周期的定义和(7)式可得圆周运动的周期2mT =qB π (8) (8)式表明，粒子运动的周期与粒子在y 方向的初速度无关．经过时间T 或T 的整数倍所考察的粒子就能同时回到Oyz 平面.2．增加的电场2E对粒子在Oxy 平面内的运动无影响，但粒子在z 方向要受到此电场力作用．以z a 表示在此电场力作用下的加速度，有0cos z ma qE t ω= (9) 或c o s z qE a =t mω (10) 这是简谐运动的加速度，因而有2z a =z ω- (11)由(10)、(11)可得t mqE z ωωcos 102-= (12) 因未增加电场时，粒子在z 方向作初速度为0z v 的匀速运动，增加电场后，粒子在z 方向的运动是匀速运动与简谐运动的叠加，即有021cos z qE z t t mωω=-v (13) 粒子在Oxy 平面内的运动不受电场2E 的影响．设0ω为粒子在Oxy 平面内作圆周运动的角速度，则有 002πqB T mω==(14) 由图示可得与圆周运动相联系的粒子坐标随时间t 的变化关系()01cos x r t ω'=- (15)0sin y r t ω'= (16) 考虑到粒子在y 方向还具有速度为01y v 的匀速运动，并利用(2)、(5)、(7)、(14)以及己知条件，可得带电粒子的运动规律：000001cos y E qB m x t qB B m ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭v (17) 0000000siny E E qB m y t t B qB B m⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭v (18) 00020cos z mE qB z t t qB m=-v (19) 评分标准：本题20分．第1问12分．(2)、(3)、(4)式共5分，(5)、(6)、(7)式共4分，(8)式及相关说明共3分．第2问8分．(12)式2分，(14)式到(19)式各1分. 五、答案与评分标准本题15分．1．01TV V L I I e ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭ (2分)，L I (2分)，0ln 1L T I V I ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ (2分)， 01TVV L VI VI e ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭(1分)．22．0.62V (2分)；0.54V (2分)；49mW (2分)；6.0Ω (2分)．六、参考解答：在电加热器对A 室中气体加热的过程中，由于隔板N 是导热的，B 室中气体的温度要升高，活塞M 将向右移动.当加热停止时，活塞M 有可能刚移到气缸最右端，亦可能尚未移到气缸最右端. 当然亦可能活塞已移到气缸最右端但加热过程尚未停止.1. 设加热恰好能使活塞M 移到气缸的最右端，则B 室气体末态的体积02B V V = (1)根据题意，活塞M 向右移动过程中，B 中气体压强不变，用B T 表示B 室中气体末态的温度，有00BBV V T T = (2) 由(1)、(2)式得02B T T = (3)由于隔板N 是导热的，故A 室中气体末态的温度02A T T = (4) 下面计算此过程中的热量m Q .在加热过程中，A 室中气体经历的是等容过程，根据热力学第一定律，气体吸收的热量等于其内能的增加量，即05()2A A Q R T T =- (5) 由(4)、(5)两式得052A Q RT =(6) B 室中气体经历的是等压过程，在过程中B 室气体对外做功为00()B B W p V V =- (7)由(1)、(7)式及理想气体状态方程得0B W RT = (8) 内能改变为05()2B B U R T T ∆=- (9) 由(4)、(9)两式得052∆=B U RT (10) 根据热力学第一定律和(8)、(10)两式，B 室气体吸收的热量为072=∆+=B B B Q U W RT (11) 由(6)、(11) 两式可知电加热器提供的热量为06m A B Q Q Q RT =+= (12)若0m Q Q =，B 室中气体末态体积为02V ，A 室中气体的末态温度02T .2．若0m Q Q >，则当加热器供应的热量达到m Q 时，活塞刚好到达气缸最右端，但这时加热尚未停止，只是在以后的加热过程中气体的体积保持不变，故热量0m Q Q -是A 、B 中气体在等容升温过程中吸收的热量.由于等容过程中气体不做功，根据热力学第一定律，若A 室中气体末态的温度为AT '，有 00055(2)(2)22m AA Q Q R T T R T T ''-=-+- (13) 由(12)、(13)两式可求得00455AQ T T R '=+ (14) B 中气体的末态的体积02BV =V ' (15) 3. 若0m Q Q <，则隔板尚未移到气缸最右端，加热停止，故B 室中气体末态的体积BV ''小于02V ，即02B V V ''<．设A 、B 两室中气体末态的温度为AT ''，根据热力学第一定律，注意到A 室中气体经历的是等容过程，其吸收的热量05()2A AQ R T T ''=- (16) B 室中气体经历的是等压过程，吸收热量005()()2B A B Q R T T p V V ''''=-+- (17) 利用理想气体状态方程，上式变为 ()072B AQ R T T ''=- (18) 由上可知006()A B AQ Q Q R T T ''=+=- (19) 所以A 室中气体的末态温度06AQ T T R''=+ (20) B 室中气体的末态体积00000(1)6BAV QV T V T RT ''''==+ (21)评分标准：本题20分．得到0m Q Q =的条件下(1)、(4)式各1分；(12)式6分，得到0m Q Q >的条件下的(14)式4分，(15)式2分；得到0m Q Q <的条件下的(20)式4分，(21)式2分．七、答案与评分标准：本题20分．1． 3R (3分) 2． 6R (3分)1. 反应能()()332pn H He Q m m m m c ⎡⎤=+-+⎣⎦ (1) 式中c 为光速．代入数据得0.764MeV Q =- (2) 上式表明这是一吸能核反应．2．为了求入射质子阈能，反应前后各粒子都应沿同一直线运动．设质子的入射速度大小为p v ，反应后32He 的速度大小为3He v ，中子的速度大小为n v ，根据动量守恒和能量守恒有33p p n n He He m m m =+v v v (3) 33222p p n n He He 111222m m m Q =++v v v (4) 由(3)、(4)式可得3333322n n p p p n22He He n p n p He He He 220m m m m m m m m Q m m m ⎛⎫⎛⎫+--++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭v v v v (5) 令333332n nHe He p n pHe 2p p 2Hep He22m m m a m m m b m m m m c Qm ⎫+⎪=⎪⎪⎪=-⎬⎪⎪-⎪=+⎪⎭v v (6) 把(6)式代入(5)式得2n n 0a b c ++=v v (7)(7)式有解的条件是240b ac -≥ (8)由(6)式可知，c 可能大于零，亦可能小于零.若0c <，则(8)总成立，中子速度一定有解，反应一定能发生；若0c >，则由 (6)、(8)两式得33n 2He p p n pHe 12m m m Q m m m +≥+-v (9) 即只有当入射质子的动能满足(9)式时，中子速度才有解，反应才能发生，所以入射质子的阈能为3pn p He 1th m T Q m m m ⎛⎫=+⎪ ⎪+-⎝⎭(10) 利用(1)式，在忽略2Q 项的情况下，(10)式可简化为3pH1th m T Q m ⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭(11) 代入有关数据得1.02MeV th T = (12) 3．由动量守恒和能量守恒有33p p n n He He =+m m m v v v (13)33222p p n n He He 111222m m m Q =++v v v (14) 以θ表示反应中产生的中子速度方向与入射质子速度方向的夹角，如图所示，根据余弦定律有 ()()()33222n n p p n p n p He He 2cos m m m m m θ=+-v v v v v (15)令2p p p12T m =v (16) 2n n n 12T m =v (17)3332He He He 12=T m v (18)θp p m vn n v把(15)、(16)、(17)式代入(13)、(14)两式得3He Q T T T =--p n (19)33n n p p He He 222m T m T m T θ=+- (20)由(18)、(19)式，消去3He T 后，得()3333p p HeHe n nnHe He 0m m T Q m T m m θ---=+ (20)令3nHe S θ=，()333p p HeHe nHe m m T Q m R m m --=+ (22)得n 20T R -= (23)根据题给的入射质子的动能和第1问求得的反应能Q 的值，由(21)式可知0R >，故(22)式的符合物理意义的解为S = (24)将具体数据代入(21)、(23)式中，有n 0.132M e V T = (25) (如果得到 131.0=n T MeV ,也是对的.)第2问的其他解法解法一：为了研究阈能，只考虑碰撞前后各粒子都沿同一直线运动的情况．若碰撞后32He 和中子的速度相同，即粘在一起运动(完全非弹性碰撞)，则在碰撞过程中损失的机械能最多，若所损失的机械能正好等于反应能，则入射质子的动能最小，这最小动能便是阈能. 设质子的入射速度大小为p v ，反应后32He 和中子的速度大小为v ，根据动量守恒和能量守恒有3p p n He ()m m m =+v v (1) 322p p n He 11()22m m m Q =++v v (2) 由(1)、(2)式可得33n 2He p p n pHe 12m m m Q m m m +=+-v (3)所以阈能为3p n pHe 1th m T Q m m m ⎛⎫=+⎪ ⎪+-⎝⎭(4) 利用第1问中的(1)式，并注意到32H 1<<Q m c有333332n pHe H H 2H H 11111⎛⎫==- ⎪ ⎪+-⎛⎫⎝⎭+ ⎪ ⎪⎝⎭Q m m m m m c Q m m c 在忽略2Q 项的情况下，(4)式可简化为 3p H 1th m T Q m ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭(5) 代入有关数据得1.02MeV th T = (6)第2问8分：(1)、(2)式各3分，(4)式或(5)式1分，(6)式1分．解法二：在牛顿力学中可以证明，质点系的总动能可以表示为质点系的总质量以质心速度运动的动能即所谓质心动能与各质点相对质心运动的动能之和.若质点系不受外力作用，则质点系的动量守恒，质心速度不变，故质心动能亦恒定不变；如果质点系内部的相互作用导致质点系机械能的变化，则可变化的机械能只能是各质点相对质心运动的动能. 在本题中，如果质子p 与氚31H 发生反应后，生成的中子n 和氦32He 相对质心都静止，则质子p 与氚31H 相对质心运动的动能之和全部转化成反应能，反应后系统的动能只有质心的动能，在这请况下，转化成其他形式能量的机械能最多，入射质子的动能最小，这最小动能便是阈能.所以入射质子的阈能等于系统质心的动能与反应能之和.以p 'v 和3H 'v 分别表示质子p 和氚31H 相对质心的速度，有3322p p H H1122Q =m m ''+v v (1) 因系统质心的速度3p p c p H=+m m m v v (2)而33p H p p c p Hm m '=-=+v v v v m (3)33p pc H p H0m m '=-=-+v v v m (4)由(1)、(3)、(4)式得332H p pp H12m Q m m m =+v (5) 在牛顿力学中，系统的总质量是恒定不变的，这就导致系统质心的动能在反应前后恒定不变的结论，但在本题中，损失掉的机械能导致系统总质量的变化，使反应前系统的总质量与反应后系统的总质量不相等，即33p n H He +≠+m m m m ．如果仍沿用牛顿力学的结论，对一个孤立系统，其质心速度是不会改变的，故反应后质心的动能应为 ()()33222c n c p c c 2He H 111222=+=++Q E m m m m cv v v 而()33322p p p 2c 2222p H Hp HQ 1122m m Q QQ c c c m m m m m =⋅=⋅⋅++v v 由此可见，在忽略2Q 的条件下 ()()3322n p He H 1122c cm m m m +=+v v 而入射质子的阀能()32p H 12th c T m m Q =++v (6) 由(2)、(5)、(6)式得3p H 1th m T Q m ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭(7) 代入有关数据得1.02MeV th T = (8)第2问8分：(1)、(5) 、(6)式各2分， (7)式1分，(8)式1分.解法三：考虑反应前后各粒子都沿同一直线运动的情况，若入射质子与与静止的31H 发生完全非弹性碰撞，即反应后产生的中子和32He 以相同的速度运动，则入射质子的动能就是阈能.以10m 表示质子的静止质量，20m 表示31H 的静止质量，30m 表示中子的静止质量，40m 表示31He 的静止质量，设质子的入射速度大小为p v ，反应后32He 和中子的速度大小都为v ，根据动量守恒和能量守恒有1p m m m +=v (1)222120m m c m c m c++=(2)式中1m 是质子的动质量.由(1)、(2)两式得 1p 120+m m m v v = (3)把(3)式代入(1)式，经整理得()()2222221201p 3040+-=+m m c m m m c v (4)由1m =(5)可得221p221102-=m m m cv (6)若入射质子的阈能为th E ，有22110th m c m c E =+ (7)由(4)、(6)、(7)式可得()()2230401020202th m m m m E m +-+= (8)利用题给条件并引入反应能，得 333p n H HeH2th m m m m E Q m +++= (9)或有()3333p 2H p HH H22th Q+m m m m c E Q Q m m ++=≈ (10)代入有关数据得1.02MeV th T = (11)第2问8分：(1)、(2) 、(8)式各2分， (9)或(10)式1分， (11)式1分．。

第28届全国中学生物理竞赛预赛试题及其参考答案(自己做的答案含选择填空题)

选择填空题答案和解析：
1．C
2．C 解释：A选项没有考虑对外做功；B选项中酒精的沸点约为78度，D选项中，宏
观上理解为大气的重力，微观上是离子碰撞的冲力，不能重复计算。

3． BC 解释：插入玻璃板电容C 增大，串联电容器的电量相等，C 与U 成反比，故a 的
电压减小，能量CU 2/2，故b 的能量增大。

D 选项中遗漏了充放电流的焦耳热。

4． A 解释；能量守恒。

与400kev 的光子无关。

5． D 解释：返回过程速度较小，摩擦生热更少，故机械能损失量更少。

6． 2.5m 解释：先用玻马定律算出压强变为12.5m 水柱，故内外压力差等于高度差，等于
2，5m 。

7． 3s/5 解释：由折射定律得h=rd/2 ，h=i （s-d ）/2，i/r=1.5，解之得。

8． 9k cl ke
,210E E -⨯-。

解释：能量差等于势能之差2s ke E r ∆=，解之得。

9． 9 解释：动量和能量关系E t ∆s=pc ，动量定理 2p=N t ∆。

解之得。

第28届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答及评分标准

σ=
πab T
b
rP
S
由（9）、（13）、（14）、（15）式并代入有关数据可得
θP
P0
ϕ
x
a
O
ϕ = 127D
（16）图2
解法二取极坐标，极点位于太阳 S 所在的焦点处，由 S 引向近日点的射线为极轴，极角为 θ ，取逆时针为正向，用 r、 θ 表示彗星的椭圆轨道方程为
r=
p 1 + e cos θ
第 28 届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答及评分标准
一、参考解答：解法一取直角坐标系 Oxy，原点 O 位于椭圆的中心，则哈雷彗星的椭圆轨道方程为
x2 y 2 + =1 a 2 b2
a、b 分别为椭圆的半长轴和半短轴，太阳 S 位于椭圆的一个焦点处，如图 1 所示．
（1）
以 Te 表示地球绕太阳运动的周期，则 Te = 1.00年；以 ae 表示地球到太阳的距离（认为地球绕太阳作圆周运动），则 ae = 1.00AU ，根据开普勒第三定律，有
取杆 CD 为研究对象，由平衡条件有
（4）
N 4 + N 2 cos θ − f 2 sin θ = 0 N 2 sin θ + f 2 cos θ − mg = 0
以及对 C 点的力矩
（5）（6）
1 N 4l cos α − mgl sin α = 0 2
解以上各式可得
（7）
N4 =
1 mg tan α 2
T
v
v1
P
v2
1 1 1 1 2 2 2 2 M ( Rω0 ) + m ( Rω0 ) = M ( Rω ) + m ( v12 + v 2 ) 2 2 2 2

第28届全国中学生物理竞赛复赛试题(清晰扫描版)及参考解答

第28届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答及评分标准一、参考解答：解法一取直角坐标系Oxy ，原点O 位于椭圆的中心，则哈雷彗星的椭圆轨道方程为22221x y a b += （1） a 、b 分别为椭圆的半长轴和半短轴，太阳S 位于椭圆的一个焦点处，如图1所示．以e T 表示地球绕太阳运动的周期，则e 1.00T =年；以e a 表示地球到太阳的距离（认为地球绕太阳作圆周运动），则e 1.00AU a =，根据开普勒第三定律，有3232a T a T =e e（2）设c 为椭圆中心到焦点的距离，由几何关系得c a r =-0 （3）22c a b -= （4）由图1可知，P 点的坐标cos P P x c r θ=+ （5） sin P P y r θ= （6）把（5）、（6）式代入（1）式化简得()2222222222sin cos 2cos 0P P P P P ab r b cr bc a b θθθ+++-= （7）根据求根公式可得()22222cos sin cos P P P Pb ac r a b θθθ-=+ （8）由(2)、(3)、(4)、(8)各式并代入有关数据得0.896AU P r = (9) 可以证明，彗星绕太阳作椭圆运动的机械能为 s2Gmm E =a-(10) 式中m 为彗星的质量．以P v 表示彗星在P 点时速度的大小，根据机械能守恒定律有2s s 122P P Gmm Gmm m r a ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭v （11）得图1P=v（12）代入有关数据得414.3910m sP-⨯⋅v=(13)设P点速度方向与SP的夹角为ϕ(见图2)，根据开普勒第二定律[]sin2P P Prϕθσ-=v（14）其中σ为面积速度，并有πabTσ=（15）由（9）、（13）、（14）、（15）式并代入有关数据可得127ϕ= （16）解法二取极坐标，极点位于太阳S所在的焦点处，由S引向近日点的射线为极轴，极角为θ，取逆时针为正向，用r、θ表示彗星的椭圆轨道方程为1cospreθ=+（1）其中，e为椭圆偏心率，p是过焦点的半正焦弦，若椭圆的半长轴为a，根据解析几何可知()21p a e=-（2）将（2）式代入（1）式可得()θcos112eear+-=（3）以eT表示地球绕太阳运动的周期，则e1.00T=年；以ea表示地球到太阳的距离（认为地球绕太阳作圆周运动），则e1.00AUa=，根据开普勒第三定律，有3232a Ta T=e e（4）在近日点0=θ，由（3）式可得1rea=-0（5）将Pθ、a、e的数据代入（3）式即得0.895AUPr=（6）可以证明，彗星绕太阳作椭圆运动的机械能s2GmmE=a-(7)式中m为彗星的质量．以Pv表示彗星在P点时速度的大小，根据机械能守恒定律有2s s122PPGmm Gmmmr a⎛⎫+-=-⎪⎝⎭v（8）可得P=v（9）代入有关数据得414.3910m sP-⨯⋅v=(10)设P点速度方向与极轴的夹角为ϕ，彗星在近日点的速度为0v，再根据角动量守恒定律，有()sinP P Pr rϕθ-=v v00（11）根据（8）式，同理可得=v（12）由（6）、（10）、(11)、(12)式并代入其它有关数据127ϕ= (13)评分标准：本题20分解法一（2）式3分，（8）式4分，（9）式2分，（11）式3分，(13) 式2分,（14）式3分,（15）式1分，（16）式2分．解法二（3）式2分，（4）式3分，（5）式2分，（6）式2分，（8）式3分，(10) 式2分,（11）式3分,（12）式1分，（13）式2分．二、参考解答：1．建立如图所示坐标系Oxy.两杆的受力情况如图：1f为地面作用于杆AB的摩擦力，1N为地面对杆AB的支持力，2f、2N为杆AB作用于杆CD的摩擦力和支持力，3N、4N分别为墙对杆AB和CD的作用力，mg为重力.取杆AB和CD构成的系统为研究对象，系统平衡时, 由平衡条件有431N N f+-=（1）120N mg-=（2）以及对A点的力矩()3411sin sin sin cos cos cos022mgl mg l l N l N l l CFθθαθθα⎛⎫+---+-=⎪⎝⎭即()3431sin sin cos cos cos022mgl mgl N l N l l CFθαθθα---+-=（3）式中CF待求.F是过C的竖直线与过B的水平线的交点，E为BF与CD的交点．由几何关系有sin cot CF l αθ= （4）取杆CD 为研究对象，由平衡条件有422cos sin 0N N f θθ+-= （5） 22sin cos 0N f mg θθ+-= （6）以及对C 点的力矩41cos sin 02N l mgl αα-= （7）解以上各式可得41tan 2N mg α=（8） 331sin 1tan sin tan tan 22cos 2sin N mg αααθαθθ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ （9）13tan sin 1tan sin 2cos 2sin f mg θαααθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ （10）12N mg = （11）21sin tan cos 2N mg θαθ⎛⎫=-⎪⎝⎭ （12） 21cos tan sin 2f mg θαθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（13） CD 杆平衡的必要条件为22c f N μ≤ （14）由（12）、（13）、（14）式得()2sin cos tan cos sin C C μθθαμθθ-≤+ （15）AB 杆平衡的必要条件为11A f N μ≤ (16)由（10）、（11）、（16）式得tan sin 2sin 43tan sin cos A αααμθθθ-≤- （17）因此，使系统平衡，α应满足的条件为（15）式和（17）式．2．将题给的数据代入（15）式可得 arctan 0.38521.1α︒≤= (18) 将题给的数据代入（17）式，经数值计算可得19.5α≥︒ (19) 因此，α的取值范围为 19.521.1α≤≤(20)评分标准：本题20分第1问15分（1）、（2）、（3）式共3分，（4）式1分，（5）、（6）、（7）式共3分，(9) 、(10) 式各1分,(12)到（17）式各1分．第2问5分（18）式1分，（19）式3分，（20）式1分．三、参考解答：'解法一1．设在时刻t ，小球和圆筒的运动状态如图1所示，小球位于P 点，绳与圆筒的切点为T ，P 到T 的距离即绳的拉直部分的长度为l圆筒的角速度为ω，小球的速度为v .小球的速度可以分解成沿着绳子方向的速度1v 和垂直于绳子方向的速度2v 两个分量.根据机械能守恒定律和角动量守恒定律有()()()()22222001211112222M R m R M R m ωωω+=++v v (1) 2220012+=++MR mR MR mR ml ωωωv v (2)因为绳子不可伸长，1v 与切点T 的速度相等，即ωR =1v (3) 解(1)、(2)、(3)式得()()02222ωωml R m M ml R m M ++-+= (4) ()()022222ωmlR m M l R m M +++=v (5) 由(4)式可得l = (6)这便是在卫星角速度减至ω时绳的拉直部分的长度l ．2．由（6）式，当0=ω得=L （7）这便是绳的总长度L .3．如图2所示，从时刻t 到t t +∆，切点T 跟随圆筒转过一角度1t ωθ∆=∆，由于绳子的拉直部分的长度增加了l ∆，切点相对圆筒又转过一角度2lRθ∆=∆，到达T '处，所以在t ∆时间内，切点转过的角度12lt Rθθωθ∆∆=∆=+∆+∆ （8）切点从T 变到T '也使切线方向改变了一个同样的角度θ∆，而切线方向的改变是小球具有垂直于绳子方向的速度2v 引起的，故有2tlθ∆∆=v （9）由(1)、(2)、(3)式可得 ()20l ωω=+v （10）2()2t由(8)、（9）、（10）三式得0l R t ω∆=∆ （11）（11）式表示l 随t 均匀增加，故l 由0增加到L所需的时间为0s L t R ω== （12）解法二1．撤去插销后两个小球的运动情况相同，故可取一个小球作为对象进行研究，先研究任何时刻小球的速度.在t 时刻，相对卫星系统质心参考系小球运动状态如图1所示，绳子的拉直部分与圆筒面的切点为T ，小球到切点T 的距离即绳的拉直部分的长度为l ，小球到转轴O 的距离为r ，圆筒的角速度为ω.由于圆筒的转动和小球相对圆筒的运动，绳将展开，切点位置和绳的拉直部分的长度都要改变.首先考察小球相对于圆筒的运动.在t 时刻，OT 与固定在圆筒上的半径0OP 的夹角为φ，如图2所示.由于小球相对圆筒的运动，经过时间t ∆，切点从圆筒上的T 点移到T '点，OT '与0OP 的夹角变为φφ+∆，绳的拉直部分的长度由l 变为l '，小球由P 运动到P '，PP '便是小球相对圆筒的位移.当t ∆很小时l l '≈，故PP l l φφ''=∆≈∆于是小球相对圆筒的速度大小为ll tφφφω∆==∆v (1) 方向垂直于TP ．φω是切点相对圆筒转动的角速度．再考察圆筒相对质心参考系的转动，即与圆筒固连在一起的转动参考系相对质心参考系的运动.当圆筒的角速度为ω时，位于转动参考系中的P 点(小球所在处)相对质心系的速度r ωω=v (2)方向垂直于OP ．可以把ωv 分解成沿着TP 方向的分量1ωv 和垂直TP 方向的分量2ωv ，如图3所示，即1R ωω=v(3)2l ωω=v (4)小球相对质心系的速度 v 是小球相对圆筒的速度和圆筒参考系中的P 点相对质心系速度的合成，由图3可得v 的2m12φω+ v大小=v (5)因 l R φ= (6) 故有=v （7）因为系统不受外力作用，故系统的动能和角动量守恒，故有()()222220011112222M R mR M R m ωωω+=+v （8） ()2220012MR mR MR mR ml ωωφωωω+=+++v v v （9）由(7)、(8)两式有()22220mM mφωωωωφ=+++ （10）由(1)、(3)、(4)、(6)、(9)各式得()20mM mφωωφωω=+++ （11）由(10)、(11)两式得φωωωω+=+0 故有0ωωφ= （12）上式说明绳子与圆筒的切点相对圆筒转动的角速度等于卫星的初始角速度，是一个恒量，将(12）式代入（11）式得φ=（13）由(6)、(13)两式得l = （14）这便是在卫星角速度减至ω时绳的拉直部分的长度l ．2．由（14）式，当0=ω得绳总长度, 即L = （15） 3．因φω是一个恒量，φ随时间的t 的变化规律为t 0ωφ= （16）当0=ω时，由（13）式可得卫星停旋时的φs φ=（17）设卫星停转所用的时间为s t ，由（16）、（17）式得0s s t φω==（18）评分标准：本题25分．解法一第1问12分．（1）、（2）式各3分，（3）式2分，（6）式4分．第2问3分．（7）式3分．第3问10分．（8）、（9）式各3分，（10）式2分，（11）、（12）式各1分．解法二第1问18分．（1）式3分，（2）式2分，（7）式2分，（8）式3分，（9）式3分，（12）式2分，（14）式3分，第2问3分．（15）式3分．第3问4分．（16）式2分，（17）式1分，（18）式1分．四、参考解答：1．根据题意，粒子的初速度只有y 方向和z 方向的分量，设它们为0y v 和0z v .因为粒子在z 方向不受电场力和磁场力作用，故粒子在z 方向以初速度0z v 作匀速运动.粒子在Oxy 面内的运动可以看作由以下两部分运动的合成：可把粒子在y 方向的初速度表示为 001001y y y y =-++v v v v (1) 其中0010y E B =-v (2) 沿y 负方向．与01y v 相关的磁场力 010Bx y f q B =-v (3) 沿x 负方向.粒子受到的电场力0E Ex f f qE == (4)沿x 正方向．由(2)、(3)、(4)式可知，粒子在x 方向受到的电场力和磁场力正好抵消，故粒子以大小为E B 的速度沿y 负方向运动．除此之外，由（1）式可知，粒子还具有初速度00200y y E B =+v v (5) 沿y 正方向，与02y v 相关的磁场力使粒子以速率02y v 在Oxy 面内作匀速圆周运动，以r 表示圆周运动的半径，有202020y y q B mr=v v (6) 可得020y m r qB =v (7)由周期的定义和(7)式可得圆周运动的周期02mT =qB π (8) (8)式表明，粒子运动的周期与粒子在y 方向的初速度无关．经过时间T 或T 的整数倍所考察的粒子就能同时回到Oyz 平面.2．增加的电场2E对粒子在Oxy 平面内的运动无影响，但粒子在z 方向要受到此电场力作用．以z a 表示在此电场力作用下的加速度，有 0c o s z m a q E t ω= (9) 或0cos z qE a =t mω (10) 这是简谐运动的加速度，因而有 2z a =z ω- （11）由(10)、（11）可得t mqE z ωωcos 102-= (12) 因未增加电场时，粒子在z 方向作初速度为0z v 的匀速运动，增加电场后，粒子在z 方向的运动是匀速运动与简谐运动的叠加，即有0021cos z qE z t t mωω=-v （13）粒子在Oxy 平面内的运动不受电场2E的影响．设0ω为粒子在Oxy 平面内作圆周运动的角速度，则有202πqB T mω== (14) 由图示可得与圆周运动相联系的粒子坐标随时间t 的变化关系()01cos x r t ω'=- (15) 0sin y r t ω'= (16)考虑到粒子在y 方向还具有速度为01y v 的匀速运动，并利用(2)、(5)、(7)、(14)以及己知条件，可得带电粒子的运动规律：000001cos y E qB m x t qB B m ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭v (17) 0000000siny E E qB m y t t B qB B m⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭v (18) 00020cos z mE qB z t t qB m=-v (19)评分标准：本题20分．第1问12分．（2）、（3）、（4）式共5分，（5）、（6）、（7）式共4分，（8）式及相关说明共3分．第2问8分．（12）式2分，（14）式到（19）式各1分. 五、答案与评分标准本题15分．1．01TV V L I I e ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭ (2分），L I （2分），0ln 1L T I V I ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ （2分），01TVV L VI VI e ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭（1分）．2．0.62V （2分）；0.54V （2分）；49mW （2分）；6.0Ω （2分）．六、参考解答：在电加热器对A 室中气体加热的过程中，由于隔板N 是导热的，B 室中气体的温度要升高，活塞M 将向右移动.当加热停止时，活塞M 有可能刚移到气缸最右端，亦可能尚未移到气缸最右端. 当然亦可能活塞已移到气缸最右端但加热过程尚未停止.1. 设加热恰好能使活塞M 移到气缸的最右端，则B 室气体末态的体积02B V V = （1）根据题意，活塞M 向右移动过程中，B 中气体压强不变，用B T 表示B 室中气体末态的温度，有00BBV V T T =（2）由(1)、(2)式得02B T T = （3）由于隔板N 是导热的，故A 室中气体末态的温度02A T T = （4）下面计算此过程中的热量m Q .在加热过程中，A 室中气体经历的是等容过程，根据热力学第一定律，气体吸收的热量等于其内能的增加量，即 05()2A A Q R T T =- （5）由(4)、(5)两式得052A Q RT = （6）B 室中气体经历的是等压过程，在过程中B 室气体对外做功为00()B B W p V V =- （7）由(1)、(7)式及理想气体状态方程得 0B W R T = （8）内能改变为05()2B B U R T T ∆=- （9）由(4)、(9)两式得052∆=B U RT （10）根据热力学第一定律和(8)、(10)两式，B 室气体吸收的热量为 072=∆+=B B B Q U W RT (11) 由(6)、(11) 两式可知电加热器提供的热量为06m A B Q Q Q RT =+= （12）若0m Q Q =，B 室中气体末态体积为02V ，A 室中气体的末态温度02T .2．若0m Q Q >，则当加热器供应的热量达到m Q 时，活塞刚好到达气缸最右端，但这时加热尚未停止，只是在以后的加热过程中气体的体积保持不变，故热量0m Q Q -是A 、B 中气体在等容升温过程中吸收的热量.由于等容过程中气体不做功，根据热力学第一定律，若A 室中气体末态的温度为AT '，有 00055(2)(2)22m AA Q Q R T T R T T ''-=-+- （13）由(12)、(13)两式可求得00455AQ T T R '=+ （14） B 中气体的末态的体积02BV =V ' （15） 3. 若0m Q Q <，则隔板尚未移到气缸最右端，加热停止，故B 室中气体末态的体积BV ''小于02V ，即02BV V ''<．设A 、B 两室中气体末态的温度为A T ''，根据热力学第一定律，注意到A 室中气体经历的是等容过程，其吸收的热量05()2A AQ R T T ''=- （16） B 室中气体经历的是等压过程，吸收热量0005()()2B AB Q R T T p V V ''''=-+- （17）利用理想气体状态方程，上式变为()072B AQ R T T ''=- （18）由上可知006()A B AQ Q Q R T T ''=+=- （19）所以A 室中气体的末态温度 006AQ T T R''=+ （20） B 室中气体的末态体积 00000(1)6BA V QV T V T RT ''''==+ （21）评分标准：本题20分．得到0m Q Q =的条件下（1）、（4）式各1分；（12）式6分，得到0m Q Q >的条件下的（14）式4分，（15）式2分；得到0m Q Q <的条件下的（20）式4分，（21）式2分．七、答案与评分标准：本题20分．1． 3R (3分) 2． 6R (3分)第1第3空格各2分；其余3个空格全对3分，有一个错则不给这3分．八、参考解答：1. 反应能()()332p n H He Q m m m m c ⎡⎤=+-+⎣⎦（1）式中c 为光速．代入数据得0.764MeV Q =- （2）上式表明这是一吸能核反应．2．为了求入射质子阈能，反应前后各粒子都应沿同一直线运动．设质子的入射速度大小为p v ，反应后32He 的速度大小为3He v ，中子的速度大小为n v ，根据动量守恒和能量守恒有33p p n n He He m m m =+v v v (3)33222p p n n He He 111222m m m Q =++v v v （4）由（3）、（4）式可得3333322n n p p p n22He He n p n p He He He220m m m m m m m m Q m m m ⎛⎫⎛⎫+--++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭v v v v (5) 令333332n nHe He p n pHe 2p p 2Hep He22m m m a m m m b m m m m c Qm ⎫+⎪=⎪⎪⎪=-⎬⎪⎪-⎪=+⎪⎭v v (6) 把(6)式代入(5)式得2n n 0a b c ++=v v (7)(7)式有解的条件是240b ac -≥ (8)由(6)式可知，c 可能大于零，亦可能小于零.若0c <，则(8)总成立，中子速度一定有解，反应一定能发生；若0c >，则由 (6)、(8)两式得33n 2He p p n pHe 12m m m Q m m m +≥+-v (9) 即只有当入射质子的动能满足(9)式时，中子速度才有解，反应才能发生，所以入射质子的阈能为3pn p He 1th m T Q m m m ⎛⎫=+⎪ ⎪+-⎝⎭ (10) 利用(1)式，在忽略2Q 项的情况下，(10)式可简化为 3p H1th m T Q m ⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭(11) 代入有关数据得 1.02MeV th T = (12)3．由动量守恒和能量守恒有33p p n n He He =+m m m v v v (12)33222p p n n He He 111222m m m Q =++v v v (13) 以θ表示反应中产生的中子速度方向与入射质子速度方向的夹角，如图所示，根据余弦定律有 ()()()33222n n p p n p n p He He 2cos m m m m m θ=+-v v v v v (14)令2p p p 12T m =v (15) 2n n n 12T m =v (16) 3332He He He 12=T m v (17) 把(15)、(16)、(17)式代入(13)、(14)两式得3He Q T T T =--p n （18）p p m v33n n p p He He 222m T m T m T θ=+- （19）由（18）、（19）式，消去3He T 后，得()3333p p HeHe n nnHe He 0m m T Q m T m m θ---=+ （20）令3nHe S θ=，()333p p HeHe nHe m m T Q m R m m --=+ （21）得n 20T R -= （22）根据题给的入射质子的动能和第1问求得的反应能Q 的值，由(21)式可知0R >，故（22）式的符合物理意义的S = （23）将具体数据代入（21）、（23）式中，有n 0.132MeV T = (24) (如果得到 131.0=n T MeV ,也是对的.)第2问的其他解法解法一为了研究阈能，只考虑碰撞前后各粒子都沿同一直线运动的情况．若碰撞后32He 和中子的速度相同，即粘在一起运动(完全非弹性碰撞)，则在碰撞过程中损失的机械能最多，若所损失的机械能正好等于反应能，则入射质子的动能最小，这最小动能便是阈能. 设质子的入射速度大小为p v ，反应后32He 和中子的速度大小为v ，根据动量守恒和能量守恒有3p p n He ()m m m =+v v (1)322p p n He 11()22m m m Q =++v v (2) 由（1）、（2）式可得 33n 2He p p n pHe 12m m m Q m m m +=+-v (3) 所以阈能为3p n p He 1th m T Q m m m ⎛⎫=+⎪ ⎪+-⎝⎭(4) 利用第1问中的(1)式，并注意到32H 1<<Q m c有333332n pHe H H 2H H 11111⎛⎫==- ⎪ ⎪+-⎛⎫⎝⎭+⎪ ⎪⎝⎭Q m m m m m c Q m m c 在忽略2Q 项的情况下，(4)式可简化为 3p H 1th m T Q m ⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭(5) 代入有关数据得 1.02M e Vth T = (6)第2问8分(1)、(2)式各3分，(4)式或(5)式1分，(6)式1分．解法二在牛顿力学中可以证明，质点系的总动能可以表示为质点系的总质量以质心速度运动的动能即所谓质心动能与各质点相对质心运动的动能之和.若质点系不受外力作用，则质点系的动量守恒，质心速度不变，故质心动能亦恒定不变；如果质点系内部的相互作用导致质点系机械能的变化，则可变化的机械能只能是各质点相对质心运动的动能. 在本题中，如果质子p 与氚31H 发生反应后，生成的中子n 和氦32He 相对质心都静止，则质子p 与氚31H相对质心运动的动能之和全部转化成反应能，反应后系统的动能只有质心的动能，在这请况下，转化成其他形式能量的机械能最多，入射质子的动能最小，这最小动能便是阈能.所以入射质子的阈能等于系统质心的动能与反应能之和.以p 'v 和3H 'v 分别表示质子p 和氚31H 相对质心的速度，有3322p p H H 1122Q =m m ''+v v (1) 因系统质心的速度 3p p c p H=+m m m v v (2)而33p H p p c p Hm m '=-=+v v v v m (3) 33p p c Hp H0m m '=-=-+v v v m (4)由(1)、(3)、(4)式得 332H p pp H12m Q m m m =+v (5) 在牛顿力学中，系统的总质量是恒定不变的，这就导致系统质心的动能在反应前后恒定不变的结论，但在本题中，损失掉的机械能导致系统总质量的变化，使反应前系统的总质量与反应后系统的总质量不相等，即33p n H He +≠+m m m m ．如果仍沿用牛顿力学的结论，对一个孤立系统，其质心速度是不会改变的，故反应后质心的动能应为 ()()33222c n c p c c 2He H 111222=+=++Q E m m m m cv v v 而 ()33322p p p 2c 2222p H Hp HQ 1122m m Q QQ c c c m m m m m =⋅=⋅⋅++v v 由此可见，在忽略2Q 的条件下 ()()3322n p He H 1122c c m m m m +=+v v 而入射质子的阀能 ()32p H 12th c T m m Q =++v (6) 由(2)、(5)、(6)式得 3p H 1th m T Q m ⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭(7) 代入有关数据得 1.02MeV th T = (8)第2问8分(1)、(5) 、(6)式各2分， (7)式1分，、(8)式1分. 解法三考虑反应前后各粒子都沿同一直线运动的情况，若入射质子与与静止的31H 发生完全非弹性碰撞，即反应后产生的中子和32He 以相同的速度运动，则入射质子的动能就是阈能.以10m 表示质子的静止质量，20m 表示31H 的静止质量，30m 表示中子的静止质量，40m 表示31He 的静止质量，设质子的入射速度大小为p v ，反应后32He 和中子的速度大小都为v ，根据动量守恒和能量守恒有1pm m m +=v(1)222120m m c m c m c++=(2)式中1m 是质子的动质量.由(1)、(2)两式得 1p 120+m m m v v =(3)把(3)式代入(1)式，经整理得 ()()2222221201p 3040+-=+m m c m m m c v (4)由 1m =(5)可得221p221102-=m m m cv (6)若入射质子的阈能为th E ，有22110th m c m c E =+ (7) 由(4)、(6)、(7)式可得 ()()2230401020202thm m m m E m +-+= (8)利用题给条件并引入反应能，得 333p n H HeH2th m m m m E Q m +++=(9)或有 ()3333p 2H p H H H22th Q+m m m m c E Q Q m m ++=≈ (10)代入有关数据得 1.02M e Vth T = (11) 第2问8分(1)、(2) 、(8)式各2分， (9)或(10)式1分， (11)式1分。

中学生物理奥林匹克竞赛第28届试卷及谜底

2、已知一硅 pn 结太阳能电池的 IL=95mA，I0=4.1×10－9mA，Vr=0.026V。则此太阳能电池的开路电压 VOC=___________________V，若太阳能电池输出功率最大时，负载两端的
电压可近似表示为VmP
Vr ln 1 (I L / I0 ) 1 (VOC /Vr)
三、（25 分）在人造卫星绕星球运行的过程中，为了保持其对称转轴稳定在规定指向，一种最简单的办法就是让卫星在其运行过程中同时绕自身的对称轴转，但有时为了改变卫星的指向，又要求减慢或者消除卫星的旋转，减慢或者消除卫星旋转的一种方法就是所谓消旋法，其原理如图所示。
一半径为 R，质量为 M 的薄壁圆筒，，其横截面如图所示，图中 O 是圆筒的对称轴，两条足够长的不可伸长的结实的长度相等的轻绳的一端分别固定在圆筒表面上的
二、（20 分）质量均匀分布的刚性杆 AB、CD 如图放置，A 点与水平地面接触，与地面间的静摩擦系数为 μA，B、D 两点与光滑竖直墙面接触，杆 AB 和 CD 接触处的静摩擦系数为 μC，两杆的质量均为 m，长度均为 l。 1、已知系统平衡时 AB 杆与墙面夹角为 θ，求 CD 杆与墙面夹角 α 应该满足的条件（用 α 及已知量满足的方程式表示）。 2、若 μA=1.00，μC=0.866，θ=60.0°。求系统平衡时 α 的取值范围（用数值计算求出）。
Ez
(E0
cos t )k
，式中

qB0 m
，若有一电荷量为正 q、质量为 m 的粒子，在 t=0 时
刻从坐标原点 O 射出，初速度 v0 在 Oyz 平面内，试求以后此粒子的坐标随时间变化的规律。
不计粒子所受重力以及各带电粒子之间的相互作用，也不考虑变化的电场产生的磁场。

【精品】第28届全国中学生物理竞赛决赛实验试题

【精品】第28届全国中学生物理竞赛决赛实验试题一试卷及答卷直流电源特性的研究一、题目：一直流待测电源x E ，开路电压小于2V 。

（1）利用所给仪器，自组电压表、并测量待测电源x E 的开路电压；（2）利用所给仪器，测量待测电源x E 的短路电流。

二、仪器：直流待测电源x E ，六位电阻箱二台，标称值350欧姆的滑线变阻器一台，标称值3V 直流电压源E 一台，准确度等级0.5级指针式100微安直流电流表1A 一台，准确度等级0.5级指针式多量程直流电流表2A 一台，准确度等级1.5级指针式检流计G 一台，开关、导线若干。

三、说明：1、待测电源x E 具有非线性内阻，不适合用U I -曲线外推法测量；2、测量中需要的电压表用100微安指针式直流电流表1A 和电阻箱自组；3、标称值3V 直流电压源E 由两节1号干电池、15欧姆保护电阻串联构成；4、所画测量电路中的待测电源x E 、3V 直流电压源E 、电流表1A 、电流表2A 需用“+”和“-”标明其正负极性；5、检流计G 两接线端子上并联两个保护二级管，作为平衡指示器使用时，可以不使用串联保护电阻。

如果测试中需要用检流计G 判断电流是否为0时，应说明检流计G 指示为0的判断方法或者判断过程。

四、要求：1、（7分）利用所给器材，测量100微安电流表内阻，并将100微安电流表改装成2.00V 量程的电压表。

要求画出测量内阻的电路图，简述测量原理，给出测量结果；画出自组电压表的示意图，并标明元件的数值。

2.1（5分）画出测量待测电源x E 的开路电压的电路图，简述测量待测电源x E 开路电压的原理和步骤。

2.2（6分）连接电路、测量并记录必要的数据，标明待测电源x E 开路电压的测量值。

3.1（5分）画出测量待测电源x E 短路电流的电路图，并简述测量待测电源x E 短路电流的原理和步聚。

3.2（7分）连接电路、测量并记录必要的数据，写出待测电源x E 短路电流的测量值。

第28届全国中学生物理竞赛复赛试题及参考答案(WORD精校版) (2)

第28届全国中学生物理竞赛复赛试题一、（20分）如图所示，哈雷彗星绕太阳S 沿椭圆轨道逆时针方向运动，其周期T 为76.1年，1986年它过近日点P 0时与太阳S 的距离r 0=0.590AU ，AU 是天文单位，它等于地球与太阳的平均距离，经过一段时间，彗星到达轨道上的P 点，SP 与SP 0的夹角θP =72.0°。

已知：1AU=1.50×1011m ，引力常量G=6.67×10－11Nm 2/kg 2，太阳质量m S =1.99×1030kg ，试求P 到太阳S 的距离r P 及彗星过P 点时速度的大小及方向（用速度方向与SP 0的夹角表示）。

二、（20分）质量均匀分布的刚性杆AB 、CD如图放置，A 点与水平地面接触，与地面间的静摩擦系数为μA ，B 、D 两点与光滑竖直墙面接触，杆AB 和CD 接触处的静摩擦系数为μC ，两杆的质量均为m ，长度均为l 。

1、已知系统平衡时AB 杆与墙面夹角为θ，求CD 杆与墙面夹角α应该满足的条件（用α及已知量满足的方程式表示）。

2、若μA =1.00，μC =0.866，θ=60.0°。

求系统平衡时α的取值范围（用数值计算求出）。

三、（25分）在人造卫星绕星球运行的过程中，为了保持其对称转轴稳定在规定指向，一种最简单的办法就是让卫星在其运行过程中同时绕自身的对称轴转，但有时为了改变卫星的指向，又要求减慢或者消除卫星的旋转，减慢或者消除卫星旋转的一种方法就是所谓消旋法，其原理如图所示。

一半径为R ，质量为M 的薄壁圆筒，，其横截面如图所示，图中O 是圆筒的对称轴，两条足够长的不可伸长的结实的长度相等的轻绳的一端分别固定在圆筒表面上的Q 、Q ′（位于圆筒直径两端）处，另一端各拴有一个质量为2m的小球，正常情况下，绳绕在圆筒外表面上，两小球用插销分别锁定在圆筒表面上的P 0、P 0′处，与卫星形成一体，绕卫星的对称轴旋转，卫星自转的角速度为ω0。

第28届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案解析(纯word版)

第28届全国中学生物理竞赛复赛试题2011 一、（20分）如图所示，哈雷彗星绕太阳S沿椭圆轨道逆时针方向运动，其周期T为76.1年。

1986年它过近日点P0时，与太阳S的距离r0=0.590AU，AU是天文单位，它等于地球与太阳的平均距离。

经过一段时间，彗星到达轨道上的P点，SP与SP0的夹角θP=72.0°.已知：1AU=1.50×1011m，引力常量G=6.67×10-11m3•kg-1•s-2，太阳质量m S=1.99×1030kg.试求P到太阳S的距离r P及彗星过P点时速度的大小及方向（用速度方向与SP0的夹角表示）。

二、（20分）质量均匀分布的刚性杆AB、CD如图放置，A点与水平地面接触，与地面间的静摩擦因数为μA，B、D两点与光滑竖直墙面接触，杆A B和CD接触处的静摩擦因数为μC，两杆的质量均为m，长度均为l.（1）已知系统平衡时AB杆与墙面夹角θ，求CD杆与墙面的夹角α应满足的条件（用α及已知量满足的方程式表示）。

（2）若μA=1.00，μC=0.866，θ=60.0°，求系统平衡时α的取值范围（用数值计算求出）。

三、（25分）人造卫星绕星球运行的过程中，为了保持其对称轴稳定在规定指向，一种最简单的办法就是让卫星在其运行过程中同时绕自身的对称轴旋转。

但有时为了改变卫星的指向，又要求减慢或者消除卫星的旋转。

减慢或者消除卫星旋转的一种方法是所谓的“YO—YO”消旋法，其原理如图。

设卫星是一半径为R、质量为M的薄壁圆筒，其横截面如图所示。

图中O是圆筒的对称轴。

两条足够长的不可伸长的结实的长度相等的轻绳的一端分别固定在圆筒表面上的Q、Q'（位于圆筒直径两端）处，另一端各拴有一质量为m/2的小球。

正常情况下，绳绕在圆筒外表面上，两小球用插销分别锁定在圆筒表面上的P0、P0'处，与卫星形成一体，绕卫星的对称轴旋转。

卫星自转的角速度为ω0.若要使卫星减慢或停止旋转（消旋），可瞬间撤去插销释放小球，让小球从圆筒表面甩开，在甩开的整个过程中，从绳与圆筒表面相切点到小球的那段绳都是拉直的。

第28届全国中学生物理竞赛预赛试卷及参考解答

第28届全国中学生物理竞赛预赛试卷本卷共16题，满分200 分．一、选择题．本题共5小题，每小题6分．在每小题给出的4个选项中，有的小题只有一项符合题意，有的小题有多项符合题意．把符合题意的选项前面的英文字母写在每小题后面的方括号内．全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分．1．常用示波器中的扫描电压u 随时间t 变化的图线是[ ]2．下面列出的一些说法中正确的是A ．在温度为200C 和压强为1个大气压时，一定量的水蒸发为同温度的水蒸气，在此过程中，它所吸收的热量等于其内能的增量．B ．有人用水银和酒精制成两种温度计，他都把水的冰点定为0度，水的沸点定为100度，并都把刻度与100刻度之间均匀等分成同数量的刻度，若用这两种温度计去测量同一环境的温度（大于0度小于 100度）时，两者测得的温度数值必定相同．C ．一定量的理想气体分别经过不同的过程后，压强都减小了，体积都增大了，则从每个过程中气体与外界交换的总热量看，在有的过程中气体可能是吸收了热量，在有的过程中气体可能是放出了热量，在有的过程中气体与外界交换的热量为 0 .D ．地球表面一平方米所受的大气的压力，其大小等于这一平方米表面单位时间内受上方作热运动的空气分子对它碰撞的冲量，加上这一平方米以上的大气的重量．[ ]3．把以空气为介质的两个平行板电容器a 和b 串联，再与电阻R 和电动势为E 的直流电源如图连接．平衡后，若把一块玻璃板插人电容器a 中，则再达到平衡时，A ．与玻璃板插人前比，电容器a 两极间的电压增大了B ．与玻璃板插人前比，电容器a 两极间的电压减小了C ．与玻璃板插入前比，电容器b 贮存的电能增大了D ．玻璃板插人过程中电源所做的功等于两电容器贮存总电能的增加量[ ]4．多电子原子核外电子的分布形成若干壳层，K 壳层离核最近，L 壳层次之，M 壳层更次之，……，每一壳层中可容纳的电子数是一定的，当一个壳层中的电子填满后，余下的电子将分布到次外的壳层．当原子的内壳层中出现空穴时，较外壳层中的电子将跃迁至空穴，并以发射光子（X 光）的形式释放出多余的能量，但亦有一定的概率将跃迁中放出的能量传给另一个电子，使此电子电离，这称为俄歇（Auger ）效应，这样电离出来的电子叫俄歇电子．现用一能量为40.00keV 的光子照射Cd （镐）原子，击出Cd 原子中K 层一个电子，使该壳层出现空穴，己知该K 层电子的电离能为26.8keV ．随后，Cd 原子的L 层中一个电子跃迁到K 层，而由于俄歇效应，L 层中的另一个的电子从Cd 原子射出，已知这两个电子的电离能皆为4.02keV ，则射出的俄歇电子的动能等于A ．( 26.8－4.02－4.02 ) keVB ．(40.00－26.8－ 4.02 ) keVC ．( 26.8－4.02 ) keVD ．( 40.00－ 26.8 + 4.02 ) keV[ ]5．一圆弧形的槽，槽底放在水平地面上，槽的两侧与光滑斜坡aa’、bb’相切，相切处a 、b 位于同一水平面内，槽与斜坡在竖直平面内的截面如图所示．一小物块从斜坡aa’上距水平面ab 的高度为Zh 处沿斜坡自由滑下，并自a 处进人槽内，到达b 后沿斜坡bb’向上滑行，已知到达的最高处距水平面ab 的高度为h ；接着小物块沿斜坡bb’滑下并从b 处进人槽内反向运动，若不考虑空气阻力，则A ．小物块再运动到a 处时速度变为零B ．小物块尚未运动到a 处时，速度已变为零C ．小物块不仅能再运动到a 处，并能沿斜坡aa’向上滑行，上升的最大高度为2hD ．小物块不仅能再运动到a 处，并能沿斜坡aa’向上滑行，上升的最大高度小于h[ ]二、填空题和作图题．把答案填在题中的横线上或把图画在题中指定的地方．只要给出结果不需写出求得结果的过程．6．( 6分）在大气中，将一容积为 0.50m 3的一端封闭一端开口的圆筒筒底朝上筒口朝下竖直插人水池中，然后放手．平衡时，筒内空气的体积为0.40m 3．设大气的压强与10.0m 高的水柱产生的压强相同，则筒内外水面的高度差为． 7．(10分）近年来，由于“微结构材料”的发展，研制具有负折射率的人工材料的光学性质及其应用，已受人们关注．对正常介质，光线从真空射人折射率为n 的介质时，人射角和折射角满足折射定律公式，人射光线和折射光线分布在界面法线的两侧；若介质的折射率为负，即n<0，这时人射角和折射角仍满足折射定律公式，但人射光线与折射光线分布在界面法线的同一侧．现考虑由共轴的两个薄凸透镜L 1和L 2构成的光学系统，两透镜的光心分别为O 1和O 2，它们之间的距离为s ．若要求以与主光轴成很小夹角的光线人射到O 1能从O 2出射，并且出射光线与人射光线平行，则可以在O 1和O 2之间放一块具有负折射率的介质平板，介质板的中心位于OO’的中点，板的两个平行的侧面与主光轴垂直，如图所示．若介质的折射率n= -1.5，则介质板的厚度即垂直于主光轴的两个平行侧面之间的距离 d = ．8．( 10分）已知：规定一个K （钾）原子与Cl （氯）原子相距很远时，他们的相互作用势能为0；从一个K 原子中移走最外层电子形成K +离子所需的能量（称为电离能）为E K ，一个Cl 原子吸收一个电子形成Cl -离子释放的能量（称为电子亲和能）为E Cl ；K ＋离子（视为质点）与Cl -离子（视为质点）之间的吸引力为库仑力，电子电荷量的大小为e ，静电力常量为k ．利用以上知识，可知当KCI 分子中K +离子与Cl -离子之间的库仑相互作用势能为0时，K +离子与Cl -离子之间的距离r s ，可表示为．若已知E K = 4.34ev ， E Cl =3.62eV , k =9.0 ×109N·m 2·C -2 , e =1.60×10-19C ，则r s = m ．9．(10分）光帆是装置在太空船上的一个面积很大但很轻的帆，利用太阳光对帆的光压，可使太空船在太空中飞行．设想一光帆某时刻位于距离太阳为1天文单位（即日地间的平均距离）处，已知该处单位时间内通过垂直于太阳光辐射方向的单位面积的辐射能量E =1.37×103J·m -2· s -1，设平面光帆的面积为1.0×106m 2，且其平面垂直于太阳光辐射方向，又设光帆对太阳光能全部反射（不吸收），则光帆所受光的压力约等于 N ．10．(20分）有两个电阻1和2，它们的阻值随所加电压的变化而改变，从而它们的伏安特性即电压和电流不再成正比关系（这种电阻称为非线性电阻）．假设电阻1和电阻2的伏安特性图线分别如图所示．现先将这两个电阻并联，然后接在电动势E=9.0V 、内电阻r 0 = 2.0Ω的电源上．试利用题给的数据和图线在题图中用作图法读得所需的数据，进而分别求出电阻1和电阻2上消耗的功率P 1和P 2．要求：i ．在题图上画出所作的图线．（只按所画图线评分，不要求写出画图的步骤及理由）ii ．从图上读下所需物理量的数据（取二位有效数字），分别是：iii ．求出电阻R 1消耗的功率P 1= ，电阻R 2消耗的功率P 2＝．三、计算题．计算题的解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后结果的不能得分．有数值计算的，答案中必须明确写出数值和单位．11．(17分）宇航员从空间站（绕地球运行）上释放了一颗质量m=500kg的探测卫星．该卫星通过一条柔软的细轻绳与空间站连接，稳定时卫星始终在空间站的正下方，到空间站的距离l =20km ．已知空间站的轨道为圆形，周期T = 92 min （分）．i ．忽略卫星拉力对空间站轨道的影响，求卫星所受轻绳拉力的大小．ii ．假设某一时刻卫星突然脱离轻绳．试计算此后卫星轨道的近地点到地面的高度、远地点到地面的高度和卫星运行周期．取地球半径R = 6.400×103km ，地球同步卫星到地面的高度为H 0 =3.6000×104km ，地球自转周期T 0 = 24 小时．12．(17分）某同学选了一个倾角为θ的斜坡，他骑在自行车上刚好能在不踩踏板的情况下让自行车沿斜坡匀速向下行驶，现在他想估测沿此斜坡向上匀速行驶时的功率，为此他数出在上坡过程中某一只脚蹬踩踏板的圈数 N （设不间断的匀速蹬），并测得所用的时间t ，再测得下列相关数据：自行车和人的总质量m ，轮盘半径R l ，飞轮半径R 2，车后轮半径R 3．试导出估测功率的表达式．己知上、下坡过程中斜坡及空气作用于自行车的阻力大小相等，不论是在上坡还是下坡过程中，车轮与坡面接触处都无滑动．不计自行车内部各部件之间因相对运动而消耗的能量．13．(20分）电荷量为q的正电荷，均匀分布在由绝缘材料制成的质量为m Array半径为R的均匀细圆环上，现设法加外力使圆环从静止开始，绕通过环心垂直于环面的轴线匀加速转动．试求从开始转动到环的角速度达到某一值ω0的整个过程中外力所做的功．已知转动带电圆环的等效电流为I时，等效电流产生的磁场对整个以圆环为周界的圆面的磁通量Ф＝kI, k为一已知常量．不计电荷作加速运动所产生的辐射效应．14．(20分）如图所示，一木块位于光滑的水平桌面上，木块上固连一支架，木块与支架的总质量为M ．一摆球挂于支架上，摆球的质量为m ，12m M摆线的质量不计．初始时，整个装置处于静止状态．一质量为m 的子弹以大小为v 0、方向垂直于图面向里的速度射人摆球并立即停留在球内，摆球和子弹便一起开始运动．已知摆线最大的偏转角小于900，在小球往返运动过程中摆线始终是拉直的，木块未发生转动．i ．求摆球上升的最大高度． ii ．求木块的最大速率．iii ．求摆球在最低处时速度的大小和方向．15．(20分）图中坐标原点O (0, 0）处有一带电粒子源，向y≥0一侧沿Oxy 平面内的各个不同方向发射带正电的粒子，粒子的速率都是v ，质量均为m ，电荷量均为q ．有人设计了一方向垂直于Oxy 平面，磁感应强度的大小为 B 的均匀磁场区域，使上述所有带电粒子从该磁场区域的边界射出时，均能沿x 轴正方向运动．试求出此边界线的方程，并画出此边界线的示意图．16．(20分）在海面上有三艘轮船，船A 以速度u 向正东方向航行，船B 以速度2u 向正北方向航行，船C 以速度u 向东偏北450方向航行．在某一时刻，船B 和C 恰好同时经过船A 的航线并位于船A 的前方，船B到船A 的距离为a ，船C 到船A 的距离为2a ．若以此时刻作为计算时间的零点，求在t 时刻B 、C 两船间距离的中点M 到船A 的连线MA 绕M 点转动的角速度．第28届全国中学生物理竞赛预赛试卷参考解答与评分标准一、选择题．答案：1．C 2．C 3．BC 4．A 5．D 评分标准：本题共5小题，每小题6分．全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分．二、填空题答案与评分标准： 6．2.5m ( 6分）7．35s (10 分） 8．2lk C ke E E ( 6分） 2.0×10-9 (2分）9．9 ( 10 分） 10．i ．如图所示．( 8分）（图错不给分，图不准确酌情评分．)ii ．并联电阻两端的电压U 0=2.3V (2分），通过电阻1的电流I 10＝1.2A (3分），通过电阻2的电流I 20= 2.2A ( 3分）（读数第一位必须正确，第二位与答案不同，可酌情评分．)iii ．2.5 W ( 2 分）, 4 .9W ( 2 分） 11．参考解答：i ．设空间站离地面的高度为H, 因为同步卫星的周期和地球自转周期相同，根据开普勒第三定律以及题意有323200)()R H T R H T +=+（ (1) 即 2/300()()T H R H R T =+- (2) 代人数据得 H= 376km (3) 卫星的高度 h =H 一l =356km (4)卫星在细绳的拉力 F 和地球引力作用下跟随空间站一起绕地球作周期为 T 的圆周运动，有222()()()Mm GF m R h R h Tπ-=++ (5)式中G 为万有引力常量， M 为地球质量．空间站在地球引力作用下绕地球作周期为 T 的圆周运动故有 222()()()Mm Gm R h R h Tπ''=++ (6) 式中m’为空间站的质量．由（5）、（6）两式得2222()()()[1]()R H F m R h T R h π+=+-+ (7)将（3）、（4）式及其他有关数据代人（7）式得 F=38.2N (8)ii ．细绳脱落后，卫星在地球引力作用下绕地球运动的轨道为一椭圆．在脱落的瞬间，卫星的速度垂直于卫星与地心的连线，所以脱落点必是远地点（或近地点），由( 4）式可知，此点到地面的高度h =356km (9) 设卫星在近地点（或远地点）的高度为h '，速度为v '，根据开普勒第二定律，有 22()()R h v R h Tπ''+=+ (10) 根据机械能守恒，有222112()()22Mm Mm mv G m R h G R h T R hπ'-=+-'++ (11) 联立（10）、（11）两式并利用（6）式得433()2()()R h h R H R h +'=+-+ (12)代人有关数据有 h ' = 238km (13 )由（9）、（13）两式可知，远地点到地面的高度为356km ，近地点到地面的高度为238km .设卫星的周期为T '，根据开普勒第三定律，卫星的周期3/22()22R h h T T R H'++'=+ (14)代人数据得T '= 90 . 4min (15) 评分标准：本题 17 分．第i 小题9分． ( l ）式2分， ( 5）式3分， ( 6）式2分， (8）式2分．第ii 小题8分． (9）、（10）式各l 分， (11）式 2 分， (12）、（13）、（14）、（15）式各1分． 12．参考解答：解法一因为下坡时自行车匀速行驶，可知阻力大小f=mgsinθ (1)由题意，自行车沿斜坡匀速向上行驶时，轮盘的角速度 2Ntπω=(2) 设轮盘边缘的线速度为v 1，由线速度的定义有v 1=ωR 1 (3)设飞轮边缘的线速度为v 2，后车轮边缘的线速度为v 3，因为轮盘与飞轮之间用链条连结，它们边缘上的线速度相同，即 v 1=v 2 (4) 因飞轮与后车轮的转动角速度相同，故有2233v R v R = (5) 因车轮与坡面接触处无滑动，在车后轮绕其中心轴转动一周的时间T 内，车后轮中心轴前进的路程32s R π∆= (6 )而 332R T v π=(7) 车后轮的中心轴前进的速度即自行车行驶速度的大小sV T∆=(8) 由以上有关各式得 1322NR R V R tπ=(9) 人骑自行车上坡的功率为克服阻力f 的功率加上克服重力沿斜面分力的功率，即P=fV+mgVsinθ (10) 由（l ）、（9）、（10）式得1324sin mg NR R P R tπθ=(11)评分标准：本题 17 分．( l ）式 3 分，求得（9 式共 8 分， (10）式5分， (11）式1分．解法二因下坡时自行车匀速行驶，若自行车出发点的高度为h ，则克服阻力所做的功W f 等于势能的减少，有 W f =mgh (1)用s 表示自行车行驶的路程，有h =s sin θ (2 )自行车沿斜坡匀速向上行驶时，骑车者所做的功W ，等于克服阻力的功W f 与势能增量mgh 之和，即W=W f +mgh (3)设骑车者蹬踩踏板N 圈到达下坡时的出发点，因踏板转N 圈可使后轮转NR 1/R 2圈，所以自行车行驶的距离s 为 122NR s R R π=⋅ (4) 由（1）到（4）式，得 1324sin NR R W mg R tπθ=⋅ (5) 上式除以所用时间t ，即得骑车者功率1324sin mg NR R W P t R tπθ== (6) 评分标准：本题17分．( I ）式3分， ( 2）式l 分， (3）式4分， (4）式6分， (5）式 l 分， (6）式 2 分．13．参考解答：当环的角速度到达ω0时，环的动能201()2k E m R ω= ( l ) 若在时刻t ，环转动的角速度为ω，则环上电荷所形成的等效电流22q q I R Rωωππ== (2) 感应电动势 I k t tφε∆∆==∆∆ (3) 由（2）、（3）式得 2q k t ωεπ∆=∆ (4) 环加速转动时，要克服感应电动势做功，功率为P 1=εI (5) 因为是匀加速转动，所以ω和I 都随时间t 线性增加．若角速度从零开始增加到ω0经历的时间为t 0，则有 00t tωω∆=∆ (6) 若与ω0对应的等效电流为I 0，则在整个过程中克服感到电动势做的总功10012W I t ε= (7) 由以上有关各式得220128q W k ωπ= (8) 外力所做的总功22201021()82k q W W E k m R ωωπ=+=+ (9) 评分标准：本题20分．(1）式3分，(2）式4分，(3）式2分，(5）式3分， (6）式2分， (7）式3分，(8) 式l 分，(9）式2 分14．参考解答：i ．由于子弹射人摆球至停留在球内经历的时间极短，可以认为在这过程中摆球仅获得速度但无位移．设摆球（包括停留在球内的子弹）向前（指垂直于图面向里）的速度为u ，由动量守恒定律有mv 0=2mu (l)摆球以速度u 开始向前摆动，木块亦发生运动．当摆球上升至最高时，摆球相对木块静止，设此时木块的速度为V ，摆球上升的高度为h ，因水平方向动量守恒以及机械能守恒有2mu =(2m +M)V (2)221(2)22mu m M V mgh =++ (3) 解（l ）、（2）、（3）三式得208(2)Mv h g m m =+ (4) ii ．摆球升到最高后相对木块要反向摆动．因为在摆球从开始运动到摆线返回到竖直位置前的整个过程中，摆线作用于支架的拉力始终向斜前方，它使木块向前运动的速度不断增大；摆线经过竖直位置后，直到摆线再次回到竖直位置前，摆线作用于支架的拉力将向斜后方，它使木块速度减小，所以在摆线（第一次）返回到竖直位置的那一时刻，木块的速度最大，方向向前以V’表示摆线位于竖直位置时木块的速率，u’表示此时摆球的速度（相对桌面），当u' >0，表示其方向水平向前，反之，则水平向后．因水平方向动量守恒以及机械能守恒，故有22mu mu MV ''=+ (5)22212mu mu MV ''=+ (6) 解（1）、（5）、（6）三式可得摆线位于竖直位置时木块速度的大小0V '= (7)022mv V m M'=+ (8) (7）式对应于子弹刚射人摆球但木块尚未运动时木块的速度，它也是摆球在以后相对木块往复运动过程中摆线每次由后向前经过竖直位置时木块的速度；而题中要求的木块的最大速率为（8）式，它也是摆球在以后相对木块的往复运动过程中摆线每次由前向后经过竖直位置时木块的速度．iii ．在整个运动过程中，每当摆线处于竖直位置时，小球便位于最低处．当子弹刚射人摆球时，摆球位于最低处，设这时摆球的速度为u ，由（l ）式得 012u v = (9) 方向水平向前．当摆球第一次回到最低处时，木块速度最大，设这时摆球的速度为u'，由 (l ）、（5）、（6）三式和（8）式可得0122m M u v M m-'=+ (10) 其方向向后．当摆球第二次回到最低处时，由（7）式木块速度减至0，设这时摆球的速度为u''，由（l ）、（5）、（6）式可得u''＝012u v = (11) 方向向前，开始重复初始的运动．评分标准：本题20分．第i 小题 8 分．(1) 式 1 分，(2）、（3）式各3分， (4）式l 分第ii 小题 7 分．(5)、(6）式各3分，(8）式 l 分第iii 小题 5 分． ( 9 )式l 分， (10）式3.分， (11）式l 分．15．参考解答：先设磁感应强度为B 的匀强磁场方向垂直xy 平面向里，且无边界．考察从粒子源发出的速率为v 、方向与x 轴夹角为θ的粒子，在磁场的洛仑兹力作用下粒子做圆周运动，圆轨道经过坐标原点O ，且与速度方向相切，若圆轨道的半径为R ，有2v qvB m R= （1）得 mv R qB= (2) 圆轨道的圆心O’在过坐标原点O 与速度方向垂直的直线上，至原点的距离为R ，如图1所示．通过圆心 O’作平行于y 轴的直线与圆轨道交于P 点，粒子运动到P 点时其速度方向恰好是沿x 轴正方向，故P 点就在磁场区域的边界上．对于不同人射方向的粒子，对应的P 点的位置不同，所有这些P 点的连线就是所求磁场区域的边界线．P 点的坐标为x ＝—Rsinθ (3 )y ＝一R + Rcosθ (4)这就是磁场区域边界的参数方程，消去参数θ，得x 2 +(y+R)2=R 2 (5)由（2）、（5）式得222222()mv m v x y qB q B ++= (6) 这是半径为R 圆心 O’’的坐标为（0，一R ) 的圆，作为题所要求的磁场区域的边界线，应是如图 2 所示的半个圆周，故磁场区域的边界线的方程为222222()mv m v x y qB q B ++= 0x ≤0y ≤ (7) 若磁场方向垂直于xy 面向外，则磁场的边界线为如图3示的半圆，磁场区域的边界线的方程为x 2 +(y —R)2=R 2 0x ≥ 0y ≥ （8 )或 222222()mv m v x y qB q B +-= 0x ≥ 0y ≥ （9）证明同前评分标准：本题20分．( l ）或（2）式 2 分， (3）、（4）式各 4 分， (7）式 3 分，图（图 2 ) 2分（只要半圆的位置正确就给2分）, (9）式3分，图（图 3 ) 2 分（只要半圆的位置正确就给2分）16．参考解答：以t =0时刻船A 所在的位置为坐标原点O ，作如图1所示平面直角坐标系O xy ，x 轴指向正东，y 轴指向正北．可以把船C 的速度分解成沿正东方向的分速度v x 和沿正北方向的分速度v y 两个分量．根据题意有v x ＝v y ＝2u (1)在t 时刻，三船的位置如图1所示．B 、C 二船在y 方向位移相等，两船的连线BC 与x 轴平行，两船间的距离2BC a ut =+ (2)BC 的中点到B 点的距离为12a ut +．中点M 的坐标分别为1322M x a a ut a ut =++=+ （3） 2M y ut = （4）可见M 点沿x 方向的速度为u ，沿y 方向的速度为2u ，在t = 0时刻BC 的中点在x 轴上，其x 坐标为3a /2．在与M 点固连的参考系中考察，并建立以M 为原点的直角坐标系M x 'y' , x '轴与x 轴平行，y'轴与y 轴平行，则相对M ，船A 的速度只有沿负y'方向的分量，有u AM =u AM y'=—2u (5)在时刻t ，船A 在坐标系M x 'y'的坐标为32A x a '=- (6)A AM y u t '= (7)可以把A 船的速度分解为沿连线MA 方向的分量u AM1和垂直于连线 MA 方向的分量u AM2两个分量，u AM1使连线MA 的长度增大，u AM2使连线 MA 的方向改变，如图2所示．若用R 表示t 时刻连线MA 的长度，则连线MA 绕M 点转动的角速度2AM u R ω= (8)若MA 与x '轴的夹角为θ，则有2cos AM AM u u θ= (9)而 cos Ax R θ'= （10）R = （11）由（5）到（10）各式得22212916aua u t ω=+ （12）评分标准：本题20分．求得（5）式共6分， ( 6）、（7）式各l 分， (8）式6分， (9）式2分， (10）、 (11）式各l 分，( 12 ) 式2分。

第24-28届全国中学生物理竞赛决赛试题及详细解答

宁波
二、
为了近距离探测太阳并让探测器能回到地球附近，可发射一艘以椭圆轨道绕太阳运行的携带探测器的宇宙飞船，要求其轨道与地球绕太阳的运动轨道在同一平面内，轨道的近日点到太阳的距离为 0.01AU（AU 为距离的天文单位，表示太阳和地球之间的平均距离：1AU = 1.495 × 1011 m），并与地球具有相同的绕日运行周期（为简单计，设地球以圆轨道绕太阳运动）．试问从地球表面应以多大的相对于地球的发射速度 u0（发射速度是指在关闭火箭发动机，停止对飞船加速时飞船的速度）发射此飞船，才能使飞船在克服地球引力作用后仍在地球绕太阳运行轨道附近（也就是说克服了地球引力作用的飞船仍可看做在地球轨道上）进入符合要求的椭圆轨道绕日运行？已知地球半径 Re = 6.37 × 106 m ，地面处的重力加速度 g = 9.80 m / s2 ，不考虑空气的阻力．
第 24 届全国中学生物理竞赛决赛试题
2007 年 11 月
★ 理论部分一、
A ，B ，C 三个刚性小球静止在光滑的水平面上．它们的质量皆为 m ，用不可伸长的长度皆为 l 的柔软轻线相连， AB 的延长线与 BC 的夹角 α = π / 3 ，如图所示．在此平面内取正交坐标系 Oxy ，原点 O 与 B 球所在处重合，x 轴正方向和 y 轴正方向如图．另一质量也是 m 的刚性小球 D 位于 y 轴上，沿 y 轴负方向以速度 v0（如图）与 B 球发生弹性正碰，碰撞时间极短．设刚碰完后，连接 A ，B ，C 的连线都立即断了．求碰后经多少时间，D 球距 A ，B ，C 三球组成的系统的质心最近． A l D v0 B O α x l y C
因为碰撞过程中线不可伸长，B ，C 两球沿 BC 方向的速度分量相等，A ，B 两球沿 AB 方向的速度分量相等，有 v2 cosθ = v1 ， v2 cos [ π － ( α + θ ) ] = v3 ．将 α = π / 3 代入，由以上各式可解得 v1 = v2 = v3 = 3 v ， 12 0 21 v ， 6 0 3 v ， 3 0 （6）（7）（8）（4）（5）

第28届全国中学生物理竞赛复赛试题及参考答案(WORD精校版)

第 28 届全国中学生物理比赛复赛试题一、（20 分）如下图，哈雷彗星绕太阳 S 沿椭圆轨道逆时针方向运动，其周期T 为年， 1986年它过近期点P0时与太阳 S 的距离 r 0=，AU是天文单位，它等于地球与太阳的均匀距离，经过一段时间，彗星抵达轨道上的P0P11点， SP与 SP 的夹角θ =°。

已知： 1AU=×10 m，引力常量G=×－1122S30P10 Nm/kg ，太阳质量 m=×10 kg，试求P 到太阳 S 的距离 r及彗星过 P 点时速度的大小及方向（用速度方向与SP0的夹角表示）。

二、（20 分）质量均匀散布的刚性杆AB、CD 如图搁置， A 点与水平川面接触，与地面间的静摩擦系数为μA，B、D两点与圆滑竖直墙面接触，杆AB和 CD接触处的静摩擦系数为μC，两杆的质量均为m，长度均为 l 。

1、已知系统均衡时AB杆与墙面夹角为θ，求CD杆与墙面夹角α应该知足的条件（用α及已知量知足的方程式表示）。

2、若μA=，μC=，θ =°。

求系统均衡时α的取值范围（用数值计算求出）。

三、（25 分）在人造卫星绕星球运转的过程中，为了保持其对称转轴稳固在规定指向，一种最简单的方法就是让卫星在其运转过程中同时绕自己的对称轴转，但有时为了改变卫星的指向，又要求减慢或许除去卫星的旋转，减慢或许除去卫星旋转的一种方法就是所谓消旋法，其原理如下图。

一半径为 R，质量为 M的薄壁圆筒，，其横截面如下图，图中O 是圆筒的对称轴，两条足够长的不行伸长的结实的长度相等的轻绳的一端分别固定在圆筒表面上的 Q、Q′（位于圆筒直径两头）处，另一端各拴有一个质量为m的小球，2正常状况下，绳绕在圆筒表面面上，两小球用插销分别锁定在圆筒表面上的 P0、P0′处，与卫星形成一体，绕卫星的对称轴旋转，卫星自转的角速度为ω 0。

若要使卫星减慢或许停止旋转（消旋），可瞬时撤去插销开释小球，让小球从圆筒表面甩开，在甩开的整个过程中，从绳与圆筒表面相切点到小球的那段绳都是拉直的。

(2020年编辑)第24-28届全国中学生物理竞赛决赛试题及详细解答

第24届全国中学生物理竞赛决赛试题2007年11月宁波★ 理论部分一、A ，B ，C 三个刚性小球静止在光滑的水平面上．它们的质量皆为m ，用不可伸长的长度皆为l 的柔软轻线相连，AB 的延长线与BC 的夹角α = π / 3 ，如图所示．在此平面内取正交坐标系Oxy ，原点O 与B 球所在处重合，x 轴正方向和y 轴正方向如图．另一质量也是m 的刚性小球D 位于y 轴上，沿y 轴负方向以速度v 0（如图）与B 球发生弹性正碰，碰撞时间极短．设刚碰完后，连接A ，B ，C 的连线都立即断了．求碰后经多少时间，D 球距A ，B ，C 三球组成的系统的质心最近．二、为了近距离探测太阳并让探测器能回到地球附近，可发射一艘以椭圆轨道绕太阳运行的携带探测器的宇宙飞船，要求其轨道与地球绕太阳的运动轨道在同一平面内，轨道的近日点到太阳的距离为0.01AU （AU 为距离的天文单位，表示太阳和地球之间的平均距离：1AU = 1.495 ×1011 m ），并与地球具有相同的绕日运行周期（为简单计，设地球以圆轨道绕太阳运动）．试问从地球表面应以多大的相对于地球的发射速度u 0（发射速度是指在关闭火箭发动机，停止对飞船加速时飞船的速度）发射此飞船，才能使飞船在克服地球引力作用后仍在地球绕太阳运行轨道附近（也就是说克服了地球引力作用的飞船仍可看做在地球轨道上）进入符合要求的椭圆轨道绕日运行？已知地球半径R e = 6.37 ×106 m ，地面处的重力加速度g = 9.80 m / s 2 ，不考虑空气的阻力．三、如图所示，在一个竖直放置的封闭的高为H 、内壁横截面积为S 的绝热气缸内，有一质量为m 的绝热活塞A 把缸内分成上、下两部分．活塞可在缸内贴缸壁无摩擦地上下滑动．缸内顶部与A 之间串联着两个劲度系数分别为k 1和k 2（k 1≠k 2）的轻质弹簧．A的上方为真空；yCA 的下方盛有一定质量的理想气体．已知系统处于平衡状态，A 所在处的高度（其下表面与缸内底部的距离）与两弹簧总共的压缩量相等皆为h 1 = H / 4 ．现给电炉丝R 通电流对气体加热，使A 从高度h 1开始上升，停止加热后系统达到平衡时活塞的高度为h 2 = 3H / 4 ．求此过程中气体吸收的热量△Q ．已知当体积不变时，每摩尔该气体温度每升高1 K 吸收的热量为3R / 2 ，R 为普适气体恒量．在整个过程中假设弹簧始终遵从胡克定律．四、为了减少线路的输电损耗，电力的远距离输送一般采用高电压的交流电传输方式．在传输线路上建造一系列接地的铁塔，把若干绝缘子连成串（称为绝缘子串，见图甲），其上端A 挂在铁塔的横臂上，高压输电线悬挂在其下端B ．绝缘子的结构如图乙所示：在半径为R 1的导体球外紧包一层耐高压的半球形陶瓷绝缘介质，介质外是一内半径为R 2的半球形导体球壳．已知当导体球与导体球壳间的电压为U 时，介质中离球心O 的距离为r 处的场强为E =R 1R 2R 2－R 1 Ur2 ，场强方向沿径向．1．已知绝缘子导体球壳的内半径R 2 = 4.6 cm ，陶瓷介质的击穿强度E k = 135 kV / cm ．当介质中任一点的场强E ＞E k 时，介质即被击穿，失去绝缘性能．为使绝缘子所能承受的电压（即加在绝缘子的导体球和导体球壳间的电压）为最大，导体球的半径R 1应取什AB 图甲半球形导体球壳绝缘层导体球图乙么数值？此时，对应的交流电压的有效值是多少？2．一个铁塔下挂有由四个绝缘子组成的绝缘子串（如图甲），每个绝缘子的两导体间有电容C 0 ．每个绝缘子的下部导体（即导体球）对于铁塔（即对地）有分布电容C 1（导体球与铁塔相当于电容器的两个导体极板，它们之间有一定的电容，这种电容称为分布电容）；每个绝缘子的上部导体（即导体球壳）对高压输电线有分布电容C 2 ．若高压输电线对地电压的有效值为U 0 ．试画出该系统等效电路图．3．若C 0 = 70 pF = 7 × 10－11F ，C 1 = 5 pF ，C 2 = 1 pF ，试计算该系统所能承受的最大电压（指有效值）．五、如图所示，G 为一竖直放置的细长玻璃管，以其底端O 为原点，建立一直角坐标系Oxy ，y 轴与玻璃管的轴线重合．在x 轴上与原点O 的距离为d 处固定放置一电荷量为Q 的正点电荷A ，一个电荷量为q （q ＞0）的粒子P 位于管内，可沿y 轴无摩擦地运动．设两电荷之间的库仑相互作用力不受玻璃管的影响．1．求放在管内的带电粒子P 的质量m 满足什么条件时，可以在y ＞0的区域内存在平衡位置．2．上述平衡状态可以是稳定的，也可能是不稳定的；它依赖于粒子的质量m ．以y （m ）表示质量为m 的粒子P 处于平衡位置时的y 坐标．当粒子P 处于稳定平衡状态时，y （m ）的取值区间是_________________；当粒子P 处于不稳定平衡状态时，y （m ）的取值区间是_________________（请将填空答案写在答题纸上）．3．已知质量为m 1的粒子P 处于稳定平衡位置，其y 坐标为y 1 ．现给P 沿y 轴一微小扰动．试证明以后的运动为简谐运动，并求此简谐运动的周期．4．已知质量为m 2的粒子P 的不稳定平衡位置的y 坐标为y 2 ，现设想把P 放在坐标y 3 处，然后从静止开始释放P ．求释放后P 能到达玻璃管底部的所有可能的y 3（只要列出y 3满足的关系式，不必求解）．yG POdAx六、如图所示，一半径为R、折射率为n g的透明球体置于折射率n0=1的空气P O1O2中，其球心位于图中光轴的O处，左、右球面与光轴的交点为O1与O2 ．球体右半球面为一球面反射镜，组成球形反射器．光轴上O1点左侧有一发光物点P，P点到球面顶点O1的距离为s ．由P点发出的光线满足傍轴条件，不考虑在折射面上发生的反射．1．问发光物点P经此反射器，最后的像点位于何处？2．当P点沿光轴以大小为v的速度由左向右匀速运动时，试问最后的像点将以怎样的速度运动？并说明当球体的折射率n g 取何值时像点亦做匀速运动．七、已知钠原子从激发态（记做P3 / 2）跃迁到基态（记做S1 / 2）所发出的光谱线波长λ0 =588.9965 nm ．现有一团钠原子气，其中的钠原子做无规的热运动（钠原子的运动不必考虑相对论效应），被一束沿z轴负方向传播的波长为λ= 589.0080 nm 的激光照射．以θ表示钠原子运动方向与z轴正方向之间的夹角（如图所示）．问在30°＜θ＜45°角度区间内的钠原子中速率u在什么范围内能产生共振吸收，从S1 / 2 态激发到P3 / 2 态？并求共振吸收前后钠原子速度（矢量）变化的大小．已知钠原子质量为M = 3.79 × 10－26 kg ，普朗克常量h = 6.626069 × 10－34 J •s ，真空中的光速c = 2.997925 × 108 m •s－1．激光束第24届全国中学生物理竞赛决赛参考解答一、1．分析刚碰后各球速度的方向．由于D 与B 球发生弹性正碰，所以碰后D 球的速度方向仍在y 轴上；设其方向沿y 轴正方向，大小为v ．由于线不可伸长，所以在D ，B 两球相碰的过程中，A ，C 两球都将受到线给它们的冲量；又由于线是柔软的，线对A ，C 两球均无垂直于线方向的作用力，因此刚碰后，A 球的速度沿AB 方向，C 球的速度沿CB 方向．用θ表示B 球的速度方向与x 轴的夹角，则各球速度方向将如图所示．因为此时连接A ，B ，C 三球的两根线立即断了，所以此后各球将做匀速直线运动．2．研究碰撞后各球速度的大小．以v 1 ，v 2 ，v 3 分别表示刚碰后A ，B ，C 三球速度的大小，如图所示．因为碰撞过程中动量守恒，所以沿x 方向有mv 1－mv 3 cos α + mv 2 cos θ = 0 ；（1）沿y 方向有－mv 0 = mv － mv 2 sin θ －mv 3 sin α ．（2）根据能量守恒有12mv 20 = 12mv 21 + 12mv 22 + 12mv 23 + 12mv 2．（3）因为碰撞过程中线不可伸长，B ，C 两球沿BC 方向的速度分量相等，A ，B 两球沿AB 方向的速度分量相等，有v 2 cos θ = v 1 ，（4） v 2 cos [ π － ( α + θ ) ] = v 3 ．（5）将α = π / 3代入，由以上各式可解得v 1 = 312v 0，（6） v 2 = 216v 0，（7） v 3 =33v 0，（8）v= 14v0．（9）3．确定刚碰完后，A，B，C三球组成的系统质心的位置和速度．由于碰撞时间极短，刚碰后A，B，C三球组成的系统，其质心位置就是碰撞前质心的位置，以（x c，y c）表示此时质心的坐标，根据质心的定义，有x c = ml cosα－ml3m，（10）y c = ml sinα3m．（11）代入数据，得x c = －16l，（12）y c = 36l．（13）根据质心速度的定义，可求得碰后质心速度v c的分量为v c x = mv1 + mv2 cosθ－mv3 cosα3m，（14）v c y = －mv2 sinθ－mv3sinα3m．（15）由（4）～（7）和（14），（15）各式及α值可得v c x = 0 ，（16）v c y =－512v0．（17）4．讨论碰后A，B，C三球组成的系统的质心和D球的运动．刚碰后A，B，C三球组成的系统的质心将从坐标（x c =－l / 6，y c = 3l / 6）处出发，沿y轴负方向以大小为5 v0/ 12的速度做匀速直线运动；而D球则从坐标原点O出发，沿y轴正方向以大小为v0/ 4的速度做匀速直线运动．A，B，C三球组成系统的质心与D球是平行反向运动，只要D球与C球不发生碰撞，则v C，v D不变，质心与D球之间的距离逐渐减少．到y坐标相同处时，它们相距最近．用t表示所求的时间，则有vt = y c+ v c y t（18）将v c y ，v，y c的值代入，得t =3l4v0．（19）此时，D球与A，B，C三球组成系统的质心两者相距l / 6 ．在求出（19）式的过程中，假设了在t = 3l / 4v0时间内C球未与D球发生碰撞．下面说明此假设是正确的；因为v3 = 3v0/ 3 ，它在x方向分量的大小为3v0/ 6．经过t时间，它沿x轴负方向经过的距离为l / 8 ．而C球的起始位置的x坐标为l / 2 ．经t时间后，C球尚未到达y轴，不会与D球相碰．二、从地球表面发射宇宙飞船时，必须给飞船以足够大的动能，使它在克服地球引力作用后，仍具有合适的速度进入绕太阳运行的椭圆轨道．此时，飞船离地球已足够远，但到太阳的距离可视为不变，仍为日地距离．飞船在地球绕太阳运动的轨道上进入它的椭圆轨道，用E表示两轨道的交点，如图1所示．图中半径为r se的圆A是地球绕太阳运行的轨道，太阳S位于圆心．设椭圆B是飞船绕日运行的轨道，P为椭圆轨道的近日点．由于飞船绕日运行的周期与地球绕日运行的周期相等，根据开普勒第三定律，椭圆的半长轴a应与日地距离r se相等，即有a = r se（1）根据椭圆的性质，轨道上任一点到椭圆两焦点的距离之和为2a，由此可以断定，两轨道的交点E必为椭圆短轴的一个顶点，E与椭圆长轴和短轴的交点Q（即椭圆的中心）的连线垂直于椭圆的长轴．由△ESQ，可以求出半短轴b = r2se－( a －SP)2 ．（2）由（1），（2）两式，并将a = r se = 1AU ，SP= 0.01 AU代入，得b = 0.141AU ．（3）在飞船以椭圆轨道绕太阳运行过程中，若以太阳为参考系，飞船的角动量和机械能是守恒的．设飞船在E点的速度为v，在近日点的速度为v p，飞船的质量为m，太阳的质量为M s，则有mva sinθ= mv p SP，（4）式中θ为速度v的方向与E ，S两点连线间的夹角：sinθ= ba．（5）由机械能守恒，得Ar sePvv eB图112mv 2 －G M s m a = 12mv 2p － GmM s SP．（6）因地球绕太阳运行的周期T 是已知的（T = 365 d ），若地球的质量为M e ，则有GM s M e a 2 = M e ( 2πT)2a ．（7）解（3）～（7）式，并代入有关数据，得v = 29.8 km / s ．（8）（8）式给出的v 是飞船在E 点相对于太阳的速度的大小，即飞船在克服地球引力作用后从E 点进入椭圆轨道时所必须具有的相对于太阳的速度．若在E 点飞船相对地球的速度为u ，因地球相对于太阳的公转速度为v e =2πaT= 29.8 km / s ，（9）方向如图1所示．由速度合成公式，可知v = u + v e ，（10）速度合成的矢量图如图2所示，注意到v e 与ES 垂直，有u =v 2 + v 2e －2vv e cos (π2－θ ) ，（11）代入数据，得u = 39.1 km / s ．（12）u 是飞船在E 点相对于地球的速度，但不是所要求的发射速度u 0 ．为了求得u 0 ，可以从与地心固定连接在一起的参考系来考察飞船的运动．因飞船相对于地球的发射速度为u 0时，飞船离地心的距离等于地球半径R e ．当飞船相对于地球的速度为u 时，地球引力作用可以忽略．由能量守恒，有图212mu 20 －G M e m R e = 12mu 2 ．（13）地面处的重力加速度为g = GM eR 2e，（14）解（13），（14）两式，得u 0 = u 2 + 2gR e ．（15）由（15）式及有关数据，得u 0 = 40.7 km / s ．（16）如果飞船在E 点处以与图示相反的方向进入椭圆轨道，则（11）式要做相应的改变．此时，它应为u =v 2 + v 2e －2vv e cos (π2+ θ ) ，（17）相应计算，可得另一解u = 45.0 km / s ， u 0 = 46.4 km / s ．（18）如果飞船进入椭圆轨道的地点改在E 点的对称点处（即地球绕日轨道与飞船绕日轨道的另一个交点上），则计算过程相同，结果不变．三、两个弹簧串联时，作为一个弹簧来看，其劲度系数k =k 1k 2k 1 + k 2．（1）设活塞A 下面有νmol 气体．当A 的高度为h 1时，气体的压强为p 1 ，温度为T 1 ．由理想气体状态方程和平衡条件，可知p 1Sh 1 = vRT 1 ，（2） p 1S = kh 1 + mg ．（3）对气体加热后，当A 的高度为h 2时，设气体压强为p 2 ，温度为T 2 ．由理想气体状态方程和平衡条件，可知p 2Sh 2 = vRT 2 ，（4） p 2S = kh 2 + mg ．（5）在A 从高度h 1上升到h 2的过程中，气体内能的增量△U = v 32R ( T 2－T 1 ) ．（6）气体对弹簧、活塞系统做的功W 等于弹簧弹性势能的增加和活塞重力势能的增加，即W= 12k ( h22－h21) + mg (h2－h1 ) ．（7）根据热力学第一定律，有△Q=△U + W．（8）由以上各式及已知数据可求得△Q=k1k2k1 + k2H2 +54mgH．（9）四、1．根据题意，当导体球与导体球壳间的电压为U时，在距球心r（R1＜r＜R2）处，电场强度的大小为E=R1R2R2－R1Ur2．（1）在r= R1 ，即导体球表面处，电场强度最大．以E（R1）表示此场强，有E ( R1) =R2U(R2－R1) R1．（2）因为根据题意，E（R1）的最大值不得超过E k ，R2为已知，故（2）式可写为E k =R2U(R2－R1) R1（3）或U = E k (R2－R1) R1R2．（4）由此可知，选择适当的R1值，使(R2－R1) R1最大，就可使绝缘子的耐压U为最大．不难看出，当R1 = R22（5）时，U便是绝缘子能承受的电压的最大值U k ．由（4），（5）两式得U k = E k R24，（6）代入有关数据，得U k = 155 kV ．（7）当交流电压的峰值等于U k时，绝缘介质即被击穿．这时，对应的交流电压的有效值U e =U k2110 kV ．（8）2．系统的等效电路如图所示．3．设绝缘子串中间三点的电势分别为U 1 ，U 2 ，U 3 ，如图所示．由等效电路可知，与每个中间点相连的四块电容极板上的电荷量代数和都应为零，即有12011010012230211200223031230032()()()0,()()()0,()()0.U U C U C U U C U U C U U C U C U U C U U C U C U C U U C U U C -+----=⎧⎪-+----=⎨⎪+----=⎩ （9）四个绝缘子上的电压之和应等于U 0 ，即( U 0－U 1 ) + ( U 1－U 2 ) + ( U 2－U 3 ) + U 3 = U 0 ．（10）设△U 1 = U 0－U 1 ， △U 2 = U 1－U 2 ，△U 3 = U 2－U 3 ，△U 4 = U 3 ，（11）则可由（9）式整理得1012200111220123001101220123012001()0,()()0,()()(2)()0;U C C C U C U C U C C U C C C U C U C U C C C U C C C U C C C U C C ++--=⎧⎪++++--=⎨⎪++++++++-+=⎩△△△△△△△△ 代入数据，得120123012307050,767050,76146750.U U U U U U U U U U U --=⎧⎪+--=⎨⎪++-=⎩76△△6△△△76△△△ （12）解（12）式，可得△U 1 = 0.298 U 0 ， △U 2 = 0.252 U 0 ，△U 3 =0.228 U 0 ．（13）U 0 C 2C 2 C 2C 2C 1C 1 C 1 C 1C 0 C 0 C 0 C 0U 0 C 2C 2 C 2C 2C 1C 1 C 1 C 1C 0 C 0 C 0 C 0U 1U 2 U 3由（10）～（12）式可得△U 4 =U 3 = 0.222 U 0 ．（14）以上结果表明，各个绝缘子承受的电压不是均匀的；最靠近输电线的绝缘子承受的电压最大，此绝缘子最容易被击穿．当最靠近输电线的绝缘子承受的电压有效值△U 1 =U e （15）时，此绝缘子被击穿，整个绝缘子串损坏．由（8），（13）和（15）三式可知，绝缘子串承受的最大电压U 0max =U e0.298= 369 kV ．（16）五、1．如图所示，位于坐标y 处的带电粒子P 受到库仑力F E 为斥力，其y 分量为F Ey = kQq r 2 sin θ = k Qqy( d 2+ y 2)3 / 2，（1）式中r 为P 到A 的距离，θ为r 与x 轴的夹角．可以看出，F Ey 与y 有关：当y 较小时，（1）式分子中的y 起主要作用，F Ey 随y 的增大而增大；当y 较大时，（1）式分母中的y 起主要作用，F Ey 随y 的增大而减小．可见，F Ey 在随y 由小变大的过程中会出现一个极大值．通过数值计算法，可求得F Ey 随y 变化的情况．令τ= y / d ，得F Ey = kQqd 2 τ( 1 +τ2)3 / 2．（2）当τ取不同数值时，对应的τ( 1 +τ2)－3 / 2的值不同．经数值计算，整理出的数据如表1所示．表1由表中的数据可知，当τ= 0.707，即y = y 0 = 0.707d （3）时，库仑力的y 分量有极大值，此极大值为y GPmgrOdxAF EyF Ey max = 0.385kqQd 2．（4）由于带电粒子P 在竖直方向除了受到竖直向上的F Ey 作用外，还受到竖直向下的重力mg 作用．只有当重力的大小mg 与库仑力的y 分量相等时，P 才能平衡．当P 所受的重力mg 大于F Ey max 时，P 不可能达到平衡．故质量为m 的粒子存在平衡位置的条件是mg ≤F Ey max ．由（4）式得m ≤0.385g k qQ d2 ．（5）2．y (m )＞ 0.707d ；0＜y (m )≤0.707d ．3．根据题意，当粒子P 静止在y = y 1处时，处于稳定平衡位置，故有132221()Qqy kd y －m 1g = 0 ．（6）设想给粒子P 沿y 轴的一小扰动△y ，则P 在y 方向所受的合力为F y = F Ey －m 1g = kQq ( y 1 +△y )[ d 2+ ( y 1 +△y )2 ]3 / 2－m 1g ．（7）由于△y 为一小量，可进行近似处理，忽略高阶小量，有F y = kQq ( y 1 +△y )[ d 2 + y 21 + 2y 1△y ]3 / 2 －m 1g = kQq ( y 1 +△y )(d 2 + y 21 )3 / 2 ( 1 － 3y 1△yd 2+ y 21)－m 1g = k Qqy 1(d 2 + y 21 )3 / 2 + k Qq △y (d 2 + y 21 )3 / 2 － k 3qQy 21△y (d 2 + y 21 )5 / 2 － m 1g ．注意到（6）式，得F y = － m 1g (2y 21－d 2 )(d 2 + y 21) y 1△y ．（8）因y = y 1是粒子P 的稳定平衡位置，故y 1＞0.707d ，2y 21－d 2＞0 ．由（8）式可知，粒子P 在y 方向受到合力具有恢复力的性质，故在其稳定平衡位置附近的微小振动是简谐运动；其圆频率为ω=(2y 21－d 2 )(d 2 + y 21) y 1g ，（9）周期为T = 2πω=2π(d2 + y21) y1(2y21－d2 ) g．（10）4．粒子P处在重力场中，具有重力势能；它又处在点电荷A的静电场中，具有静电势能．当P的坐标为y时，其重力势能W g = m2gy，式中取坐标原点O处的重力势能为零；静电势能W E = kqQd2 +y2．粒子的总势能W = W g + W E = m2gy + kqQd2 +y2．（11）势能也与P的y坐标有关：当y较小时，静电势能起主要作用，当y较大时，重力势能起主要作用．在P的稳定平衡位置处，势能具有极小值；在P的不稳定平衡位置处，势能具有极大值．根据题意，y = y2处是质量为m2的粒子的不稳定平衡位置，故y = y2处，势能具有极大值，即W ( y2 )= W max= m2gy2 + k qQd2 +y22．（12）当粒子P的坐标为y3时，粒子的势能为W ( y3 )= m2gy3 + k qQd2 +y23．当y3 ＜y2时，不论y3取何值，粒子从静止释放都能到达管底．若y3 ＞y2 ，粒子从静止释放能够到达管底，则有W ( y3 ) ＞W ( y2 ) ．所以，y3满足的关系式为y3 ＜y2；（13）或者y3 ＞y2 且m2gy3 + k qQd2 +y23＞m2gy2 + kqQd2 +y22．（14）附：（1）式可表示为F Ey= k Qqr2sinθ= kQqd2cos2θsinθ，式中θ为P，A之间的连线和x轴的夹角．由上式可知，带电粒子P在θ= 0 ，π/ 2时，F Ey= 0 ．在0≤θ≤π/ 2区间，随着θ的增大，sinθ是递增函数，cos2θ是递减函数．在此区间内，F Ey必存在一个极大值F Ey max ；用数值法求解，可求得极大值所对应得角度θ0．经数个计算整理出的数据如表2所示．表2由表中数值可知，当θ= θ0≈0.615 rad（即35.26°）时，F Ey取极大值F Ey max= k Qqd2cos2θsinθ0 = 0.385 kQqd2．带电粒子P在竖直方向上还受到重力G的作用，其方向与F Ey相反．故带电粒子P受到的合力F = F Ey －G = k Qqd2cos2θsinθ－mg ．当F = 0 ，即F Ey= G 时，P处于平衡状态．由此可见，当带电粒子的质量m≤F Ey maxg=k ( qQ / d2 ) cos2θ0sinθ0g时，可以在y轴上找到平衡点．六、1．单球面折射成像公式可写成n′s′+ ns=n′－nr，（1）式中s为物距，s′为像距，r为球面半径，n和n′分别为入射光和折射光所在介质的折射率．在本题中，物点P经反射器的成像过程是：先经过左球面折射成像（第一次成像）；再经右球面反射成像（第二次成像）；最后再经左球面折射成像（第三次成像）．（1）第一次成像．令s1和s′1分别表示物距和像距．因s1 = s ，n = n0 = 1，n′ = n g，r = R ，有n gs′1+ 1s1=n g－1R，（2）即s ′1 =n g Rs( n g－1 ) s －R．（3）（2）第二次成像．用s 2 表示物距，s ′2 表示像距，有1 s ′2 + 1 s 2 = 2 r．（4）因s 2 = 2R －s ′1 ，r = R ，由（3），（4）两式得s ′2 = ( 2s + 2R －n g s )R 3R + 3s －n g s．（5）（3）第三次成像．用s 3 表示物距，s ′3 表示像距，有n 0 s ′3 + n gs 3 = n 0－n g r．（6）因s 3 = 2R －s ′2 ，n 0 = 1 ，r = －R ，由（5），（6）两式得s ′3 =( 4s －n g s + 4R )R2n g s －4s + n g R －4R．（7）2．以 v ′ 表示像的速度，则3222[4()()4](44)12()4()4244/.(244)(24)(244)g g g g g g g g g g g g s s n s s R R s n s R R s v t t n s s s s n R R n s s n R R n R s tn s s n R R s n n s s n R R ⎧⎫+-++-+'⎪⎪'==-⎨⎬+-++--+-⎪⎪⎩⎭-=-+-+--+-△△△△△△△△△△ （8）由于△s 很小，分母中含有△s 的项可以略去，因而有v ′ =－n 2g R 2(2n g s－4s +n g R－4R )2△s△t．（9）根据题意，P 从左向右运动，速度大小为 v ，则有v = －△s△t．（10）由此可得，像的速度v ′ =n 2g R 2v(2n g s －4s + n g R －4R )2．（11）可见，像的速度与 s 有关，一般不做匀速直线运动，而做变速直线运动．当n =2 （12）时，（11）式分母括号中的头两项相消，v ′ 将与 s 无关．这表明像也将做匀速直线运动；而且（11）式变为 v ′ = v ，即像的速度和P 的速度大小相等．七、解法一．根据已知条件，射向钠原子的激光的频率v =cλ．（1）对运动方向与 z 轴正方向的夹角为 θ 、速率为 u 的钠原子，由于多普勒效应，它接收的激光频率v ′ = v ( 1 +uccos θ )；（2）改用波长表示，有λ′ =λ1 + u ccos θ．（3）发生共振吸收时，应有 λ′ = λ0 ，即λ1 + u ccos θ= λ0 ．（4）解（4）式，得u cos θ = cλ－λ0λ0；（5）代入有关数据，得u cos θ = 5.85 × 103 m • s－1．（6）由（6）式，对 θ =30° 的钠原子，其速率u 1 = 6.76 × 103 m • s－1；对 θ = 45° 的钠原子，其速率u 2 = 8.28 × 103 m • s－1 ．运动方向与 z 轴的夹角在 30°～45° 区域内的原子中，能发生共振吸收的钠原子的速率范围为6.76 × 103 m • s－1＜ u ＜8.28 × 103 m • s－1．（7）共振吸收前后，动量守恒．设钠原子的反冲速率为 V ，则有Mu －hλe z= MV ．（8）其中 e z 为 z 轴方向的单位矢量．由（8）式得u －V =hM λe z．（9）钠原子速度（矢量）变化的大小为| u －V | =hM λ；（10）代入数据，得| u －V | = 2.9 × 10－2 m • s －1 ．（11）解法二．根据已知条件，钠原子从激发态 P 3 / 2 跃迁到基态 S 1 / 2 发出的光谱线的频率v 0 =cλ0；（1）入射激光的频率v =cλ．（2）考查运动方向与 z 轴的正方向成 θ 角的某个钠原子．它在共振吸收过程中动量守恒，能量守恒．以 u 表示该钠原子在共振吸收前的速度，V 表示该钠原子共振吸收后的速度，则有Mu －hvc e z= MV ，（3） 12Mu 2 + hv = 12MV 2 + hv 0 ．（4）把（3）式写成分量形式，并注意到共振吸收前后钠原子在垂直于 z 轴方向的动量不变，有Mu sin θ = MV sin θ′ ，（5） Mu cos θ －hvc= MV cos θ′ ，（6）式中θ′ 为激发态钠原子速度方向与 z 轴正方向的夹角．从（5），（6）两式中消去θ′ ，得M 2u 2 －M 2V 2 = － ( hv c ) 2 + 2Mu hvccos θ ．（7）由（4），（7）两式可得2hv 0 －2hv = －1 M ( hv c )2 + 2hv u ccos θ ．（8）注意到( hv / c )2M ，得 v 0 = v ( 1 +uccos θ )；（9）改用波长表示，有λ0 =λ1 + u ccos θ．（10）解（10）式，得u cosθ= c λ－λ0λ0；（11）代入有关数据，得u cosθ= 5.85 × 103 m •s－1 ．（12）由（12）式，对θ=30°的钠原子，其速率u1= 6.76 × 103 m •s－1 ；对θ= 45°的钠原子，其速率u2= 8.28 × 103 m •s－1 ．运动方向与z 轴的夹角在30°～45°区域内的原子中，能发生共振吸收的钠原子的速率范围为6.76 × 103 m •s－1 ＜u＜8.28 × 103 m •s－1 ．（13）由（3）式可知，钠原子共振吸收前后速度（矢量）的变化为u－V =hMλe z，（14）速度（矢量）大小的变化为| u－V |=hMλ；（15）代入数据，得| u－V |= 2.9 × 10－2 m •s－1．（16）第25届全国中学生物理竞赛决赛试题2008年10月北京★ 理论部分一、足球比赛，一攻方队员在图中所示的 A 处沿 Ax 方向传球，球在草地上以速度 v 匀速滚动，守方有一队员在图中 B 处，以 d 表示 A ，B 间的距离，以 θ 表示 AB 与Ax 之间的夹角，已知 θ ＜90° ．设在球离开 A 处的同时，位于 B 处的守方队员开始沿一直线在匀速运动中去抢球，以 v p 表示他的速率．在不考虑场地边界限制的条件下，求解以下问题（要求用题中给出的有关参量间的关系式表示所求得的结果）：1．求出守方队员可以抢到球的必要条件．2．如果攻方有一接球队员处在 Ax 线上等球，以 l r 表示他到 A 点的距离，求出球不被原在 B 处的守方队员抢断的条件．3．如果攻方有一接球队员处在 Ax 线上，以L 表示他离开 A 点的距离．在球离开 A 处的同时，他开始匀速跑动去接球，以 v r 表示其速率，求在这种情况下球不被原在 B 处的守方队员抢断的条件．二、卫星的运动可由地面观测来确定；而知道了卫星的运动，又可以用它来确定空间飞行体或地面上物体的运动．这都涉及时间和空间坐标的测定．为简化分析和计算，不考虑地球的自转和公转，把它当做惯性系．1．先来考虑卫星运动的测定．设不考虑相对论效应．在卫星上装有发射电波的装置和高精度的原子钟．假设从卫星上每次发出的电波信号，都包含该信号发出的时刻这一信息．（I ）地面观测系统（包含若干个观测站）可利用从电波中接收到的这一信息，并根据自己所处的已知位置和自己的时钟来确定卫星每一时刻的位置，从而测定卫星的运动．这种测量系统至少需要包含几个地面观测站？列出可以确定卫星位置的方程．（II ）设有两个观测站 D 1 ，D 2 ，分别位于同一经线上北纬 θ 和南纬 θ（单位：（°））A处．若它们同时收到时间τ之前卫星发出的电波信号．（i）试求出发出电波时刻卫星距地面的最大高度H；（ii）当D1，D2处观测站位置的纬度有很小的误差△θ时，试求H的误差；（iii）如果上述的时间τ有很小的误差τ△，试求H 的误差．2．在第1（II）小题中，若θ= 45°，τ= 0.10 s ．（i）试问卫星发出电波时刻卫星距地面最大高度H 是多少千米？（ii）若△θ= ±1.0′′ ，定出的H 有多大误差？（iii）若τ△= ±0.010 μs ，定出的H 有多大误差？假设地球为半径R = 6.38 × 103 km 的球体，光速c = 2.998 ×108 m / s ，地面处的重力加速度g = 9.81 m / s2．3．再来考虑根据参照卫星的运动来测定一个物体的运动．设不考虑相对论效应．假设从卫星持续发出的电波信号包含卫星运动状态的信息，即每个信号发出的时刻及该时刻卫星所处的位置．再假设被观测物体上有一台卫星信号接收器（设其上没有时钟），从而可获知这些信息．为了利用这种信息来确定物体的运动状态，即物体接收到卫星信号时物体当时所处的位置以及当时的时刻，一般来说物体至少需要同时接收到几个不同卫星发来的信号电波？列出确定当时物体的位置和该时刻的方程．4．根据狭义相对论，运动的钟比静止的钟慢．根据广义相对论，钟在引力场中变慢．现在来考虑在上述测量中相对论的这两种效应．已知天上卫星的钟与地面观测站的钟零点已经对准．假设卫星在离地面h = 2.00 ×104 km 的圆形轨道上运行，地球半径R、光速c 和地面重力加速度g 取第2小题中给的值．（I）根据狭义相对论，试估算地上的钟经过24h 后它的示数与卫星上的钟的示数差多少？设在处理这一问题时，可以把匀速直线运动中时钟走慢的公式用于匀速圆周运动．（II）根据广义相对论，钟在引力场中变慢的因子是(1－2φ/ c2 )1 / 2 ，φ是钟所在位置的引力势（即引力势能与受引力作用的物体质量之比；取无限远处引力势为零）的大小．试问地上的钟24 h 后，卫星上的钟的示数与地上的钟的示数差多少？三、致冷机是通过外界对机器做功，把从低温处吸取的热量连同外界对机器做功所得到的能量一起送到高温处的机器；它能使低温处的温度降低，高温处的温度升高．已知当致冷机工作在绝对温度为T1 的高温处和绝对温度为T2 的低温处之间时，若致冷机从低温处吸取的热量为Q，外界对致冷机做的功为W，则有QW≤T2T1－T2，式中“=”对应于理论上的理想情况．某致冷机在冬天作为热泵使用（即取暖空调机），在室外温度为－5.00℃的情况下，使某房间内的温度保持在20.00℃．由于室内温度高于室外，故将有热量从室内传递到室外．本题只考虑传导方式的传热，它服从以下的规律：设一块导热层，其厚度为 l ，面积为 S ，两侧温度差的大小为 T ，则单位时间内通过导热层由高温处传导到低温处的热量为H = k △T lS ，其中 k 称为热导率，取决于导热层材料的性质．1．假设该房间向外散热是由面向室外的面积 S = 5.00 m 2 、厚度 l = 2.00 mm 的玻璃板引起的．已知该玻璃的热导率 k = 0.75 W / ( m • K )，电费为每度0.50元．试求在理想情况下该热泵工作12 h 需要多少电费？2．若将上述玻璃板换为“双层玻璃板”，两层玻璃的厚度均为2.00mm ，玻璃板之间夹有厚度 l 0 = 0.50 mm 的空气层，假设空气的热导率 k 0 = 0.025 W / ( m • K )，电费仍为每度0.50元．若该热泵仍然工作12 h ，问这时的电费比上一问单层玻璃情形节省多少？四、如图1所示，器件由相互紧密接触的金属层( M )、薄绝缘层( I )和金属层( M )构成．按照经典物理的观点，在I 层绝缘性能理想的情况下，电子不可能从一个金属层穿过绝缘层到达另一个金属层．但是，按照量子物理的原理，在一定的条件下，这种渡越是可能的，习惯上将这一过程称为隧穿，它是电子具有波动性的结果．隧穿是单个电子的过程，是分立的事件，通过绝缘层转移的电荷量只能是电子电荷量－e ( e = 1.60 ×10－19 C )的整数倍，因此也称为单电子隧穿，MIM 器件亦称为隧穿结或单电子隧穿结．本题涉及对单电子隧穿过程控制的库仑阻塞原理，由于据此可望制成尺寸很小的单电子器件，这是目前研究得很多、有应用前景的领域．1．显示库仑阻塞原理的最简单的做法是将图1的器件看成一个电容为C 的电容器，如图2所示．电容器极板上的电荷来源于金属极板上导电电子云相对于正电荷背景的很小位移，可以连续变化．如前所述，以隧穿方式通过绝缘层的只能是分立的单电子电荷．如果隧穿过程会导致体系静电能量上升，则此过程不能发生，这种现象称为库仑阻塞．试求出发生库仑图1。

第28届全国中学生物理竞赛复赛理论试题及参考解答