第一章 定解问题

第10章 行波法
第11章 分离变量法
第12章 积分变换法
其他：格林函数法、 保角变换法、变分法等
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第9章 定解问题
1. 物理规律的数学表示——泛定方程 物理规律 物理量u在空间和时间中的变化规律，
即物理量u在各个地点和各个时刻所取的值之间的联系。 有可能从边界条件和初始条件去推算u在任意地点 (x,y,z)和任意时刻 t 的值 u(x,y,z,t).
波动方程、输运方程、稳定场方程
数学物理方程
数学 物理方法 复变函数论
复变函数、解析函数（积分、 展开）、留数定理等
特殊函数论
勒让德函数、delta 函数
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第三篇 数学物理方程
数学物理方程：从物理问题中导出的函数方程，特别 是偏微分方程和积分方程。 重点讨论：二阶线性偏微分方程。 第9章 定解问题 （波动、输运、稳定场方程）
设：均匀柔软的细弦沿 x 轴绷紧，在平衡位置附近产生振幅极 小的横振动 u(x,t): 坐标为 x 的点在 t 时刻沿 y 方向的位移 ds 求：细弦上各点的振动规律 研究对象：选取不包括端点的一小段（x,x+dx） 简化假设：(1) 弦是柔软的，即不抵抗弯曲，弦上的任意一点的 张力沿弦的切线方向 (2) 振幅极小 仅考虑 和 张力与水平方向的夹角 和 很小， 的一阶小量，略去二阶小量：
方程：两种情况下都为
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由初始条件得特解： (1) 对竖直上抛：
(2) 对斜向上抛：
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结论：不同的初始条件
牛顿第二定律。
不同的运动状态，但都服从
综上所述，定解问题的完整提法： 在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理
规律，解出某个物理量u 在给定的区域里随着地点(x,y,z)
和时刻t怎样变化，即求u(x,y,z,t)。
u(r , , 2 ) u(r, , )
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重点讨论：二阶线性偏微分方程。
3类典型方程 波动方程
具体物理问题 1、杆的纵振动方程 2、弦的横振动 3、热传导方程 4、扩散方程 5、静电场
说明：在以上推导中所作的简化假定
(1) 杆作小振动，这样才能应用胡克定律，并略去 由于杆的伸缩所引起的密度的变化，从而得到一个线性 方程；
(2) 杆很细，则在任意时刻每一截面上各点位移相 同，这样可只用一个变量x来标志同一截面上的各个点， 否则u将不只是 x 和 t 的函数。
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二、弦的横振动方程
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(2) 第二类边界条件：给定未知函数u在边界上的法向 导数值 例：杆在x=0端固定，在x=l 端受外力F(t)的作用，边 界条件 (第一类) 推导：考虑细杆x=l 端的一小段 到的力 (第二类) ，这一小段受
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由牛顿第二定律得：
令
，且
有限
讨论：若x=l 端既不固定，又不受 F(t) 作用，即x=l为 自由端，则有
(2) 只能是u在邻近地点和邻近时刻所取的值之间的关 系式。这种邻近地点、邻近时刻之间的关系往往 是偏微分方程。 泛定方程反映的是同一类物理现象的共性，和具体条件无关。
例：牛顿第二定律反映的是力学现象的普遍规律，跟具体条 3 件无关。
2. 定解条件的提出 同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性， 即个性。边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环 境和历史，即个性。 例：一个物体做竖直上抛运动，一个物体斜抛运动。 t=0(初始)：
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在各向同性的介质中，热流强度 与温度的负梯度成正比： ( k 0 ：热传导系数) ： 单位时间内垂直通过等温面单位面积的热量， 即q 的方向：等温面的法线方向（由高温指向低温） 定律的物理意义：q 正比于温度的下降率 单位时间内流入 的热量：
dQ dsdt
单位时间内热源在
中释放的热量：
2.边界条件 (1) 第一类边界条件：给定温度在边界上的值 导热杆（一维问题）在x=0端保持为零度，x=l端保持 为T度
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三维：
（S—给定区域v的边界）
(2) 第二类边界条件：给定温度在边界上的法向导数值 (关键：物理意义) 单位时间内通过边界面单位面积沿法线方向流出的热量为q(t) 导热杆(一维) ：x=0 端绝热、x=l 端有热流流出 x=0端：
，则
同理：x=0端自由冷却
ux (0, t ) hu(0, t ) hu1
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小结：确定边界条件的基本方法与导出方程的基本方法 类似，即从所讨论现象服从的一般规律出发，考察 与边界相连的代表元，得到函数在界面上满足的关 系式。要求对物理规律熟悉。
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9.3 稳定场问题
一、静电场 介质：介电常数
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对于扩散现象，有斐克定律：
扩散强度与浓度的负梯度成正比，即
D：扩散系数 扩散导致 内粒子增加的数量：
粒子源
粒子增加的数量：
内粒子数总的增加数：
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粒子数守恒：
若D为常数，且设
，则
内无粒子源：F=0
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总结：热传导：热量的传递；扩散：粒子的运动，两 者物理本质不同，但满足同一微分方程。 三、热传导方程的定解条件 1.初始条件 热传导方程含有对时间的一阶偏导数，因此只需 要一个初始条件——初始时刻的温度分布：
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(3) 第三类边界条件：给出边界上未知数u及其法向导 数之间的线性关系
例：杆在x=0端固定，在x=l端受到弹性系数为k的弹簧 的拉力，其边界条件为 (第一类) (第三类)
推导：在x=l 端受的力为F(t)=－ku(l, t)—弹力，代入 ，则有
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3. 衔接条件 在研究具有不同介质的问题中， 在不同介质的界面处有 衔接条件。 例：用两根不同介质的杆接成的一根杆的纵振动，在连接处 位移相等，应力也相等，在连接点 处有以下衔接条件 u1 u2 Y Y u1 x x0 u2 x x0 1 x x0 2 x x0 x x 其中： 、 是杨氏模量 为两根不同介质的杆的位移，
(3)
sin 2 2 tan 2
由(1)及
u ( x dx, t ) x
(4)
ds
——张力与 x 无关
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将(3)，(4)代入(2)，且张力与x无关：
定义：
，则有
——弦的强迫振动方程
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讨论：
(a) 弦不受外力时，即F(x,t)=0，则有：
比较杆和弦的振动方程，发现它们遵守完全相同的运动 方程。
V
Q2 F ( x, y, z , t )dV
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单位时间内， 中介质温度升高所需的热量:
能量守恒定律：
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二、扩散方程 1.扩散现象：当空间各点浓度分布不均匀时，就有粒子从高 浓度处流向低浓度处。 （浓度：单位体积中的粒子数） 2.方程的推导： 设：空间中任一小体积 ，边界面 S，粒子源强度：F(x,y,z,t) ——单位时间，单位体积内产生的粒子数。 求：空间各点粒子浓度 u(x,y,z,t)的方程 内粒子数增加的来源：扩散，粒子源 扩散浓度： ——单位时间通过垂直于 （粒子定向运动速 度）的单位面积的粒子数 N=uv，方向： 的方向
P ( x, t ) Y u ( x, t ) (P： 应力， 作用于单位横截面的内力) x
x+dx
对该小段，有两个侧面 两侧均受到应力的作用
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u(x,t) 沿x方向的合力：
u(x+dx,t)
x
x+dx
(1) (2)
由牛顿第二定律：
得
令
， 并记：
，有
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问题：方程中a的物理意义？(从其表达式看出，它是反映 杆本身性质的一个量)
E ( x, y, z ) 满足
，电荷分布 f ( x, y, z ) 电场强度
E 0 பைடு நூலகம்—无旋场
E
（1） （2）
f ——有源场
证明：电磁学高斯定理 换成体积分 V的任意性
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推导电势满足的方程：对于任意的标量函数有
引入电势 即：可用电势来描述静电场。
代入(2)式：
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(3)稳定性问题(初始条件微变时，解的变化也很小， 称解是稳定的) 讨论当定解条件略微改变时，解的变化如何。这 个问题的重要性在于：把一个物理问题表示成数学问 题时，一般总是作了一些简化或理想化的假定，与真 实情况有出入。研究稳定性问题，就可以对解的近似 程度作出估计。若解不稳定，定解条件的细小误差导
致了解的极大变化，则定解问题的解就不能正确地反
映其确定的物理现象。
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数学物理方程的导出
• 下面导出常见的一些数学物理方程： 波动方程 （双曲型偏微分方程） 1、杆的纵振动方程 2、弦的横振动
输运方程 （抛物型） 3、热传导方程 4、扩散方程 稳定场方程．（椭圆型） 5、静电场 6、稳定温度场 7、稳定浓度场
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9.1 波动问题
u(x,t)
u(x+dx,t)
一、杆的纵振动方程 (杆：非刚性杆) x 设：均匀细棒(杆)，沿杆长方向作微小振动 u(x,t): 平衡时坐标为 x 的点在 t 时刻沿 x 方向的位移。 求：细杆上各点的运动规律。 研究对象：取一不包含端点的小段（x,x+dx）,并设杆的横截 面积为 s，密度为 ，杨氏模量为 Y 该小段在 t 时刻的伸长量 u(x+dx,t)-u(x,t) u ( x dx, t ) u ( x, t ) u 相对伸长量： dx x 胡克定律
分类 边界条件
第一类
第二类
第三类
u |s 1 ( x)
un |s 2 ( x) (un hu) |s 3 ( x)
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衔接条件：
两种介质分界面上，静电场电势 u 的边值关系：
u1 u2 u2 u1 2 1 f n n