【附加15套高考模拟】【全国百强校】浙江省杭州市学军中学2020届高三下学期第三次月考数学试题含答案
2020届浙江省杭州市学军中学高三下学期高考模拟数学试题
2020届浙江省杭州市学军中学高三下学期高考模拟数学试题考生注意：1.全卷满分150分.考试用时120分钟.2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上.3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上的答案一律无效.4.考试结束后，只需上交答题卷. 参考公式：若事件A ，B 互斥，则()()()P A B P A P B +=+ 若事件A ，B 相互独立，则()()()P AB P A P B =若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()()() 1 0,1,2,,n kk kn n P k C p p k n -=-=台体的体积公式：()1213V S S h =+，其中1S ，2S 分别表示台体的上、下底而积，h 表示台体的高柱体的体积公式： VSh =，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高球的表面积公式：24S R π=，球的体积公式：343V R π=，其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}1,2,4A =，{}0,2,4B =，则A B =（ ）A. {}2,4B. {}0,1,2,4C. {}0,1,2,2,4D. {}04x x ≤≤【答案】B 【解析】 【分析】根据并集的定义计算,【详解】∵{}1,2,4A =，{}0,2,4B =，∴{0,1,2,4}A B ⋃=．故选：B ．【点睛】本题考查集合的并集运算，属于简单题．2. 双曲线22149x y -=的实轴长为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线标准方程知实轴长为2a ，可知双曲线22149x y -=的实轴长【详解】由双曲线标准方程22221x y a b-=中，实轴长为2a 可知：在双曲线22149x y -=中，实轴长为4故选：C【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，利用标准方程及实轴定义求实轴长.3. 已知圆()22:11C x y -+=，直线l 过点()0,1且倾斜角为θ，则“0θ=”是“直线l 与圆C 相切”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】求出直线与圆相切时的θ值，然后判断．【详解】圆C 是以(1,0)为圆心，1为半径的圆，因此过点(0,1)的切线有两条，方程是1y =和0x =，倾斜角为0θ=或2πθ=．∴“0θ=”是“直线l 与圆C 相切”的充分不必要条件． 故选：A ．【点睛】本题考查充分必要条件的判断，充分必要条件的判断方法有两种,一种是根据充分必要条件的定义判断，另一种是根据充分必要条件与集合包含之间的关系判断．4. 若复数312a ii++（a R∈，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A. -6B. 6C. 4D. 3【答案】A【解析】【分析】把已知复数利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部等于0且虚部不等于0求得a的值．【详解】∵()()()()()()31263231212125a i i a a ia ii i i+-++-+==++-为纯虚数，∴a+6=0且3−2a≠0，解得：a=−6.故选：A.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算及复数概念的应用，纯虚数为实部等于0且虚部不等于0，得出结果后一定要做验证，属于基础题.5. 已知函数1()ln1f xx x=--，则()y f x=的图象大致为（）．A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据特殊值的函数值排除,,A C D，从而选B.【详解】因为1111ln1f eee e⎛⎫==>⎪⎝⎭--，所以选项A错；因为11()0ln12f ee e e==>---，所以选项C错；因为()222211()ln 13f ef e ee e ==<---，所以选项D 错， 故选：B ．【点睛】本题考查了由函数解析式选择函数图象，考查了特值排除法，属于基础题. 6. 设l ，m 是条不同的直线，α是一个平面，以下命题正确的是（ ） A. 若//l α，//m α，则//l m B. 若//l α，m l ⊥，则m α⊥ C. 若l α⊥，m l ⊥，则//m α D. 若l α⊥，m α⊥，则//l m【答案】D 【解析】 【分析】逐项进行分析，在选项A 中，l 与m 相交、平行或异面；在选项B 中，m 与α相交、平行或m ⊂α；在选项C 中，m∥α或m ⊂α；在选项D 中，由线面垂直的性质定理得l∥m． 【详解】由l ，m 是条不同的直线，α是一个平面，知：在选项A 中，若l∥α，m∥α，则l 与m 相交、平行或异面，故A 错误； 在选项B 中，若l∥α，m⊥l，则m 与α相交、平行或m ⊂α，故B 错误； 在选项C 中，若l⊥α，m⊥l，则m∥α或m ⊂α，故C 错误；在选项D 中，若l⊥α，m⊥α，则由线面垂直的性质定理得l∥m，故D 正确． 故选D ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是基础题．7. 《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（ ） A. 一尺五寸 B. 二尺五寸C. 三尺五寸D. 四尺五寸【答案】B 【解析】 【分析】从冬至日起各节气日影长设为{}n a ，可得{}n a 为等差数列，根据已知结合前n 项和公式和等差中项关系，求出通项公式，即可求解.【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，则()19959985.52a a S a +===，所以59.5a =，由题知1474331.5a a a a ++==， 所以410.5a =，所以公差541d a a =-=-， 所以1257 2.5a a d =+=，故芒种日影长为二尺五寸. 故选:B .【点睛】本题考查等差数列应用问题，考查等差数列的前n 项和与通项公式的基本量运算，属于中档题. 8. 设a ，b ，c 为平面向量，2a b a b ==⋅=，若()()20c a c b ⋅--=，则c b ⋅的最大值是（ ）A.B.52+ C.174D.94【答案】B 【解析】 【分析】先求出a 与b 的夹角，在直角坐标系中用坐标表示a 、b 且设(,)c OC x y ==，有c b ⋅= 2x ，结合()()20c a c b ⋅--=用坐标表示数量积，可得到方程，根据方程有解求x 范围即可求得c b ⋅的最大值.【详解】∵2a b a b ==⋅=，若a 与b 的夹角为θ知1cos 2θ=, ∴3πθ=，建立直角坐标系， 令(2,0),(1,3)b OB a OA ====，设(,)c OC x y == ,而c b ⋅= 2x ，故求它的最大值即是求x 的最大值,故2(21,2c a x y -=--，(2,)c b x y -=-，又()()20c a c b ⋅--=即(2)()c a c b -⊥-∴(21)(2)(20x x y y --+=，即22(21)(2)0y x x -+--= , 方程有解：38(21)(2)0x x ∆=---≥,解得：5544x -+≤≤.∴c b ⋅的最大值为52. 故选：B【点睛】本题考查了应用坐标表示向量的数量积求最值，根据数量积的坐标公式，结合一元二次方程有解求参数范围，进而求最大值9. 定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos xf x x =-，则下列结论正确的是（ ） A. ()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B. ()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. ()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. ()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】根据f （x ）是奇函数，以及f （x+2）=f （-x ）即可得出f （x+4）=f （x ），即得出f （x ）的周期为4，从而可得出f （2018）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20207312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭然后可根据f （x ）在[0，1]上的解析式可判断f （x ）在[0，1]上单调递增，从而可得出结果.【详解】∵f（x ）是奇函数；∴f（x+2）=f （-x ）=-f （x ）；∴f（x+4）=-f （x+2）=f （x ）； ∴f （x ）的周期为4；∴f （2018）=f （2+4×504）=f （2）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,20207 312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵x∈[0，1]时，f （x ）=2x -cosx 单调递增；∴f(0)＜12f ⎛⎫⎪⎝⎭＜712f ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选C.【点睛】本题考查奇函数，周期函数的定义，指数函数和余弦函数的单调性，以及增函数的定义，属于中档题.10. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，并满足：对任意*n ∈N ，都有2020n n S S +≥，则下列命题不一定．．．成立的是（ ） A. 20202021S S ≤ B. 20212022S S ≤ C. 10101011a a ≤ D. 10111012a a ≤【答案】C 【解析】【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，对d 分为0d =、0d >、0d <三种情况讨论，在0d =时验证即可；在0d >时，取2d =，可设()2n S n tn t R =+∈，根据2020n n S S +≥恒成立求得实数t 的取值范围，逐一验证各选项即可；同理可判断出0d <时各选项的正误.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则()2111222n n n d d d S na n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭. ①当0d =时，则1n a a =，1n S na =，则2020n n S S +≥对任意的*n ∈N 恒成立， A 、B 、C 、D 四个选项都成立； ②当0d >时，不妨取2d =，记12d t a =-，则2n S n tn =+， 由2020n n S S +≥可得2220200n n S S +-≥，即()()202020200n n n n S S S S ++-+≥，则()()222404020202020240402020220200n tnn tn t ++++++≥，令24040202020200n t ++=，可得22020t n =--；令22240402020220200n n tn t ++++=，可得2101010101010t n n ⎛⎫=-++ ⎪+⎝⎭.()()2222101010101010101010102202010100101010101010n n n n n n n +-⎛⎫-++---=+-=> ⎪+++⎝⎭， 则210101010220201010n n n ⎛⎫-++>-- ⎪+⎝⎭，解关于t 的不等式()()222404020202020240402020220200n tnn tn t ++++++≥，可得22020t n ≤--或2101010101010t n n ⎛⎫≥-++ ⎪+⎝⎭，所以()min 22020t n ≤--或2max 101010101010t n n ⎡⎤⎛⎫≥-++⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎣⎦.由于数列{}22020n --单调递减，该数列没有最小项；由双勾函数单调性可知，函数21010y x x=+在区间[1010,+∞)上单调递增，所以，数列2101010101010n n ⎧⎫⎛⎫⎪⎪-++⎨⎬ ⎪+⎪⎪⎝⎭⎩⎭单调递减，该数列的最大项为2101010111011--，2101010111011t ≥--. 对于A 选项，2202020202020S t =+，2202120212021S t =+，则()()()()22222021202020212020202120204041404120202021S S S S S S t t -=-+=+++，22101010104041404110113030010111011t +≥--=->，2222240411010404120202021202020214041101101011t ⨯++≥+-⨯->，则()()()()222220212020202120202021202040414041202020210S S S S S S t t -=-+=+++>，所以，20212020S S >，A 选项成立； 对于B 选项，2202220222022S t =+，则()()()()22222022202120222021202220214043404320212022S S S S S S t t -=-+=+++，22101010104043404310113032010111011t +≥--=->，2222240431010404320212022202120224043101101011t ⨯++≥+-⨯->，则()()()()222220222021202220212022202140434043202120220S S S S S S t t -=-+=+++>，所以，20222021S S >，B 选项成立； 当1n =时，111a S t ==+；当2n ≥时，()()()2211121n n n a S S n tn n t n n t -⎡⎤=-=+--+-=+-⎣⎦. 11a t =+满足21n a n t =+-，()21n a n t n N *∴=+-∈.对于C 选项，10102019a t =+，10112021a t =+，()()()2222101110102021201942020a a t t t -=+-+=+，222101010101010100910112020101110090101110111011⎛⎫-⨯----=-=> ⎪⎝⎭， 当21010101120201011t --<<-时，()2210111010420200a a t -=+<，所以，C 选项不一定成立； 对于D 选项，10122023a t =+，()()()2222210121011101020232021420224202210111011aat t t ⎛⎫-=+-+=+≥-- ⎪⎝⎭()222410111010101041011010111011-⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭， 所以，10121011a a >， D 选项成立；③当0d <时，由②同理可知，C 选项不一定成立. 故选：C.【点睛】本题考查数列不等式的验证，考查等差数列前n 项和的性质，考查推理能力与计算能力，属于难题.非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11. 已知随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若E(X)=3，()2D X =，则p =________，()1P X ==________.【答案】 (1). 13 (2). 2562187【解析】 【分析】首先根据已知条件得到()312np np p =⎧⎨-=⎩，解不等式组即可得到13p =，再计算()1P X =即可.【详解】因为随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若E(X)=3，()2D X =，所以()312np np p =⎧⎨-=⎩，解得139p n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即随机变量X 服从二项分布19,3B ⎛⎫ ⎪⎝⎭.()819122561332187⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭P X C .故答案为：1 3，2562187【点睛】本题主要考查二项分布的均值和方差，同时考查n次独立重复试验，属于简单题.12. 已知实数x，y满足约束条件2020220x yx yx y+-≥⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩，则2z x y=+的最小值为________；1yx+的取值范围是________.【答案】(1). 2(2).1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】首先根据题意画出可行域，再根据目标函数的几何意义结合图形即可得到答案.【详解】不等式组表示的可行域如图所示,由目标函数2z x y=+得到122zy x=-+，z的几何意义表示直线122zy x=-+的y轴截距的2倍.所以当直线122zy x=-+过()2,0A时，z取得最小值，min2z=.令()111--+==-yyzx x，1z的几何意义表示：可行域内的点(),x y与()0,1B-构成的斜率.由图知：()1min 12==BA z k ，12<z ，故11,22⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭z . 故答案为：(1)2；(2)1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题主要考查线性规划问题，同时考查了数形结合的思想，属于中档题. 13. 若将函数()7=f x x 表示为()()()()201277111f x a a x a x a x =+-+-++-，其中0a ，1a ，2a ，，7a 为实数，则3a =________，0246a a a a +++=________. 【答案】 (1). 35 (2). 64 【解析】 【分析】首先将()f x 转化为()()711=+-⎡⎤⎣⎦f x x ，再利用二项式定理得展开式即可得到3a 的值；分别令2x =和0x =，再把两个式子相加除以2即可得到答案.【详解】因为()()()()()7207717211111==+-=⎡⎤⎣-+-+-⎦++a a f x a x a x x x x ，所以33735==a C .令2x =得：()7012722++==++a a a a f ①， 令0x =得：()012700-+=--=a a a a f ②，①+②得到()7024622+++=a a a a ，所以024664+++=a a a a .故答案为：35；64【点睛】本题主要考查二项式定理，同时考查学生分析问题的能力，属于简单题.14. 己知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且cos 3sin a C a C b c =+，则A =________；又若2b =，a x =，△ABC 有两解，则实数x 的取值范围是________.【答案】 (1). 3π(2). 32x <<【解析】 【分析】由cos 3sin a C a C b c +=+结合正弦定理化简得到1sin()62A π-=，由(0,)A π∈即可得到A 的大小；同样由正弦定理及2b =，a x =，(1)的结论可得3sin B =，2(0,)3B π∈且△ABC 有两解，即可知3sin (,1)B ∈，可求x 的范围. 【详解】cos 3sin a C a C b c +=+知,sin cos 3sin sin sin sin A C A C B C +=+，而()B A C π=-+,∴sin cos 3sin sin sin()sin sin cos cos sin sin A C A C A C C A C A C C +=++=++, 即13sin cos 1sin()62A A A π=+⇒-=，又(0,)A π∈, ∴3A π=,由2b =，a x =sin sin 3x c c A C =⇒=, 而cos 3sin a C a C b c +=+有：23333cos sin sin()3x C C C π===++，即3sin B =, 2(0,)3B π∈且△ABC 有两解，知：3sin (,1)B ∈, ∴(3,2)x ∈, 故答案：(1)3π；(2)32x <<. 【点睛】本题考查了正弦定理，运用了两角和差的正弦公式，三角形内角和为π，化简求值和参数范围.15. 已知抛物线24y x =，过点()1,2A 作直线l 交抛物线于另一点B ，点Q 是线段AB 的中点，过点Q 作与y 轴垂直的直线1l ，交抛物线于点C ，若点P 满足QC CP =，则OP 的最小值是__________．【答案】2【解析】 【分析】由24y x =，可设2,4b B b ⎛⎫⎪⎝⎭，由题意逐步表示出点,,Q C P 的坐标，于是可以表示出||OP 并求得其最小值.【详解】由24y x =，可设2,4b B b ⎛⎫⎪⎝⎭.因为()1,2A ，Q 是AB 的中点，所以242,82b b Q ⎛⎫++ ⎪⎝⎭. 所以直线1l 的方程为22b y +=.代入24y x =，可得()222,162b b C ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭. 因为QC CP =，所以点C 为PQ 的中点，可得2,22b b P +⎛⎫⎪⎝⎭. 所以()()2222211||14422b b OP b +=+=++.所以当1b =-时，2||OP 取得最小值12，即||OP 的最小值为2.故答案为2. 【点睛】本题考查抛物线的基本问题，设出坐标表示出目标函数，利用函数求最值.16. 将5个不同的小球全部放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，若每个盒子中所放的球的个数不大于其编号数，则共有_________种不同的放法. 【答案】535 【解析】 【分析】根据每个盒子中所放的球的个数不大于其编号数，将每个盒子能放入的球个数列举出来，由总球数为5，以可能的球数组合列举分组，结合组合数求出它们所有不同放法. 【详解】四个盒子放球的个数如下 1号盒子：{0，1} 2号盒子：{0，1，2}3号盒子：{0，1，2，3} 4号盒子：{0，1，2，3，4}结合由5个不同的小球全部放入盒子中，不同组合下放法 5 = 1 + 4：153C 种 5 = 2 + 3：254C 种 5 = 1 + 1 + 3：31526C C 种 5 = 1 + 2 + 2：22536C C 种 5 = 1 + 1 + 1 + 2：2115323C C C 种∴5个相同的小球放入四个盒子方式共有535种. 故答案为：535.【点睛】本题考查了组合数，对问题分类、分组，应用组合数的计算17. 已知三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，AD ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，2AD =，若球O 的表面积为29π，则三棱锥A BCD -的侧面积的最大值为__________．【答案】254【解析】 【分析】根据球的性质可知球心O 必在过BC 中点E 且平行于AD 的直线上，根据勾股定理可确定112AF DF OE AD ====；根据球的表面积公式可确定半径2R =，勾股定理可得到222225AB AC x y +=+=；将三棱锥侧面积表示为12S x y xy =++，利用基本不等式可求得最大值.【详解】取BC 中点E ,90BAC ∠= E ∴为ABC ∆的外接圆圆心,过E 作AD 的平行线，由球的性质可知，球心O 必在此平行线上, 作//OF AE ，交AD 于F ，如图所示：OA OE =2222OD OF DF AD DF =+=+OA OD = 112AF DF OE AD ∴==== 球O 的表面积为29π ∴球O 的半径29294R ==设AB x =，AC y =由222229142x y R OC CE OE +==+=+=得2225x y += 又12ABD S AB AD x ∆=⋅=，12ACD S AC AD y ∆=⋅=，1122ABC S AB AC xy ∆=⋅= ∴三棱锥A BCD -侧面积12S x y xy =++由222x y xy +≥得：252xy ≤（当且仅当522x y ==时取等号） 又()2222222550x y x y xy x y +=++≤++=（当且仅当522x y ==时取等号） 25524S ∴≤（当且仅当52x y == 故答案为:25524【点睛】本题考查空间多面体的外接球的相关问题的求解，涉及到利用基本不等式求解最值的问题，关键是能够根据球的性质确定球心位置，从而利用勾股定理得到变量所满足的等量关系，从而结合基本不等式求得结果.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18. 设函数()3cos 2cos 262x x x a f ππ⎛⎫=+--+ ⎛⎫⎪⎝⎪⎭⎭⎝的最小值是1-. （1）求a 的值及()f x 的对称中心;（2）将函数()f x 图象的横坐标压缩为原来的一半（纵坐标不变），再向右平移12π个单位，得到()g x 的图象，若()12g x ≥-，求x 的取值范围. 【答案】（1）0a =，对称中心是,026k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭()k Z ∈；（2）7,224224ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k k ()k Z ∈. 【解析】 【分析】（1）首先利用三角函数恒等变换化简得到()sin 23π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭f x x a ，根据()f x 的最小值得到0a =，再求()f x 的对称中心即可.（2）首先根据三角函数的平移变换得到()sin 4g x x =，再解不等式1sin 42≥-x 即可. 【详解】（1）()3cos 2cos 262x x x a f ππ⎛⎫=+--+ ⎛⎫⎪⎝⎪⎭⎭⎝.112sin 2sin 22sin 2sin 2223x x x a x x a x a π⎛⎫=-++=++=++ ⎪⎝⎭ 因为()min 11=-+=-f x a ，所以0a =，即()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 令23x k ππ+=，解得62πk πx =-+()k Z ∈.所以()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的对称中心是,026k ππ⎛⎫-⎪⎝⎭()k Z ∈； （2）()sin 4sin 4123ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦g x x x ， 因为()12g x ≥-，即1sin 42≥-x ， 所以724266k x k ππππ-≤≤+()k Z ∈，解得：7224224ππππ-≤≤+k k x ()k Z ∈, ∴x 的取值范围是7,224224ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k k ()k Z ∈. 【点睛】第一问考查三角函数的恒等变换，同时考查正弦函数的对称性，第二问考查正弦函数图象变换，同时考查三角不等式，属于中档题.19. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，11112A B A C ==，123CC =， 120BAC ∠=︒，点O 为线段11B C 的中点，点P 为线段1CC 上一动点（异于点1C C 、），点Q 为线段BC 上一动点，且QP OP ⊥.（Ⅰ）求证：平面1A PQ ⊥平面1A OP ；（Ⅱ）若//BO PQ ，求直线OP 与平面1A PQ 所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；219. 【解析】 【分析】（Ⅰ）要证平面1A PQ ⊥平面1A OP ，转证QP ⊥平面1A OP ，即证1QP AO QP OP ⊥⊥，； （Ⅱ）建立如图空间直角坐标系O xyz -，求出平面1A PQ 的法向量，代入公式可得结果. 【详解】（I ）证明：因为11112A B A C ==，O 为线段11B C 的中点，所以111AO B C ⊥， 在直三棱柱111ABC A B C -中，易知1CC ⊥平面111A B C ，11AO CC ∴⊥，而1111CC B C C ⋂=； 1A O ∴⊥平面11CBB C ，1QP A O ∴⊥；又因为QP OP ⊥，A 1O ∩OP=O ； 所以QP ⊥平面1A OP ，又QP ⊂平面1A OP ；所以平面1A PQ ⊥平面1A OP ； （II ）由（I ）可建立如图空间直角坐标系O xyz -，因为120BAC ︒∠=所以113OB OC =，则()()()110,0,0,3,0,0,3,0O C B -，(()10,3,23,1,0,0B A --， 设()(3,,0,,23P a Q b ，所以()(0,3,23,0,3,23QP b a OB =--=-，因为QP OP ⊥，//BO PQ ， 所以0,//QP OP OB QP ⋅=，()(()(33230233323b a a b a ⎧-=⎪∴⎨-=--⎪⎩， 解得：3324a b ==（P 异于点1,C C ） ,13333331,3,,0,,,0,3,A P QP OP ⎛⎫⎛⎫⎛∴==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭设平面1A QP 的法向量为(),,n x y z = ，则100n A P n QP ⎧⋅=⎨⋅=⎩即33033330x z y z ⎧++=⎪⎪= ，可取 ()53,4,2n =- ， 设直线OP 与平面1A QP 所成角为θ ，则433219sin 15954n OP n OPθ⋅+===⋅ ,直线OP 与平面1A QP. 【点睛】本题考查了面面垂直的判定，空间向量的应用，线面角的计算，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题．20. 已知数列{}n a 满足12a =,210a =,212n n n a a a ++=+,n *∈N . (1)证明:数列{}1n n a a ++是等比数列; (2)求数列{}n a 的通项公式; (3)证明:1211134n a a a +++<. 【答案】(1)证明见解析;(2)()1221nn n a +=+⋅-;(3)证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）由212n n n a a a ++=+，得2112n n n na a a a ++++=+，即可得到本题答案；（2）由1132n n n a a +++=⋅，得11122222n n n na a ++⎛⎫-=-⋅- ⎪⎝⎭，即可得到本题答案；（3）当1n =时，满足题意；若n 是偶数，由12123111111111n nn a a a a a a a a +⎛⎫⎛⎫+++<+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得1211134n a a a ++⋯+<；当n 是奇数,且3n ≥时，由1211231111111111n n n n a a a a a a a a a --⎛⎫⎛⎫++++=+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得1211134n a a a ++⋯+<，综上，即可得到本题答案.【详解】(1)因为212n n n a a a ++=+，所以()2112n n n n a a a a ++++=+， 因为12120a a +=≠，所以2112n n n na a a a ++++=+，所以数列{}1n n a a ++是等比数列；(2)因为1132n n n a a +++=⋅，所以1113222n nn na a +++⋅=， 所以11122222n n n n a a ++⎛⎫-=-⋅- ⎪⎝⎭，又因为12a =，所以1212a -=-，所以22n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以1-为首项， 12-为公比的等比数列，所以11222n n n a -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，所以()1221nn n a +=+⋅-；(3)①当1n =时，11324n a =<； ②若n 是偶数，则1213211113122222242142n n n n n nn n a a +++⋅+=+=<⋅+-⋅+-， 所以当n 是偶数时，121211111111n n n a a a a a a a ++++<++++ 123111111nn a a a a a +⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 241311124222n⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+⋅+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦11334124414<+⋅=-； ③当n 是奇数，且3n ≥时，121211111111n n na a a a a a a -+++=++++ 123111111n n a a a a a -⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2411311124222n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+⋅+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦11334124414<+⋅=-；综上所述，当n *∈N 时，1211134n a a a +++<. 【点睛】本题主要考查利用构造法证明等比数列并求通项公式，以及数列与不等式的综合问题.21. 椭圆M ：22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为23，点(0,2)P 关于直线y x =-的对称点在椭圆M 上．（1）求椭圆M 的方程；（2）如图，椭圆M 的上、下顶点分别为A ，B ，过点P 的直线l 与椭圆M 相交于两个不同的点C ，D ． ①求OC OD ⋅的取值范围；②当AD 与BC 相交于点Q 时，试问：点Q 的纵坐标是否是定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．【答案】（1）2214x y +=（2）①13[1,)4OC OD ⋅∈-②12【解析】 【详解】 【分析】试题分析：（1）求椭圆标准方程，一般利用待定系数法，联立方程组求解：因为点(0,2)P 关于直线y x =-的对称点为(2,0)-，所以2a =．又223c =3c =，21b =（2）①直线与椭圆位置关系问题，一般联立方程组，借助于韦达定理进行求解：设直线l 的方程为2,y kx =+代入222,{1,4y kx x y =++=消去y 整理得22(14)16120k x kx +++=，因为1212OC OD x x y y ⋅=+，由1212221612,1414k x x x x k k +=-=++得217114OC OD k ⋅=-++再由>0∆，可得243k >，13[1,)4OC OD ⋅∈-②求定值问题，一般以算代证：先分别表示直线AD ：2211y y x x -=+，BC ：1111y y x x +=-，解得121221233kx x x x y x x ++=-，再将1212221612,1414k x x x x k k +=-=++代入化简得12y = 试题解析：（1）因为点(0,2)P 关于直线y x=-的对称点为(2,0)-，且(2,0)-在椭圆M 上，所以2a =．又2c =c =222431b a c =-=-=．所以椭圆M 的方程为2214x y +=． （2）①当直线l 的斜率不存在时，(0,1),(0,1)C D -，所以OC OD ⋅＝－1．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为11222,(,),(,)y kx C x y D x y =+，222,{1,4y kx x y =++=消去y 整理得22(14)16120k x kx +++=，由>0∆，可得243k >，且1212221612,1414k x x x x k k +=-=++，所以1212OC OD x x y y ⋅=+ 21212217(1)2()4114k x x k x x k =++++=-++，所以1314OC OD -<⋅<，综上13[1,)4OC OD ⋅∈-．②由题意得，直线AD ：2211y y x x -=+，直线BC ：1111y y x x +=-，联立方程组，消去x 得121221233kx x x x y x x ++=-，又121243()kx x x x =-+，解得12y =，故点Q 的纵坐标为定值12.考点：直线与椭圆位置关系.22. 已知实数1a ≥-，设()()ln ,0f x x a x x =+>.（1）若1a =-，有两个不同实数1x ，2x 满足()()12f x f x ''=，求证：122x x +>；（2）若存在实数214c e e<<，使得()f x c =有四个不同的实数根，求a 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）210a e<<.【解析】 【分析】（1）首先求出函数的导函数，依题意可得121212ln 20x x x x x x +-+=，先证121x x ≥.再利用基本不等式即可得证；（2）原题即()f x c =±共有四个不同的实数根，对a 分类讨论，分别利用导数研究函数的单调性与最值，即可求出参数的取值范围；【详解】解：（1）()1ln 1f x x x'=+-. 因为()f x '在0x >上单调递增，故()()120f x f x ''+=，即121212ln 20x x x x x x +-+= 先证明：121x x ≥.因为()10f '=，故不妨11x >，201x <<. 设2211x x '=>. 由基本不等式知：()()222212220f x f x x x ⎛⎫'''+=-+<-= ⎪⎝⎭.因为()f x '在0x >上单调递增且()()120f x f x ''+=， 所以12x x '>即121x x ≥.因为12x x ≠，由基本不等式得：122x x +>>.（2）原题即()f x c =±共有四个不同的实数根. 因为()ln 1af x x x'=++. ①10a -≤≤，因为()f x '在0x >上单调递增， 且当0x →时()f x '→-∞，当x →+∞时()f x '→+∞，故存在唯一实数00x >， 使得()00f x '=，即()00ln 1a x x =-+.因此()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增. 由10a -≤≤可知011x e≤≤. 把()00ln 1a x x =-+代入得：()f x 的极小值()()2000ln f x x x =-.令()()2ln h x x x =-，()ln (ln 2)h x x x '=-+.当210,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<；当21,1x e ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0h x '>. 因此()h x 在210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在21,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增. 故()01,0f x e⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以()f x c =上至多有两个不同的实数根，()f x c =-上至多有一个的实数根，故不合题意. ②0a >，当0x →时()f x '→+∞， 当x →+∞时()f x '→+∞，()2x af x x-''=. 当()0,x a ∈时，()0f x ''<；当(),x a ∈+∞时，()0f x ''>，()2ln f a a '=+. 因此()f x '在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增. （i ）若21a e ≥，则()0f x '≥（当且仅当21a x e==时取等）， 故()f x 在0x >上单调递增.因此()f x c =±上至多有两个不同的实数根，故不合题意. （ii ）若210a e<<，则()0f a '<， 故存在()10,x a ∈和21,x a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()()120f x f x ''==. 因此()f x 在()10,x 和()2,x +∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减. 因为当0x →时()f x →-∞，当x →+∞时()f x '→+∞，且()()2111ln 0f x x x =-≤，故()f x c =上有且仅有一个实数根.由①的()h x 可知：()124,0f x e ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，()2241,f x ee ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭. 故存在()()()21,c f x f x -∈， 使得214c e e<<.此时()f x c =-上恰有三个不同的实数根. 此时()f x c =±共有四个不同的实数根. 综上：210a e <<满足条件. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，以及函数的零点问题，考查分类讨论思想，属于难题.。
2020年杭州市学军中学高三英语下学期期末考试试卷及答案解析
2020年杭州市学军中学高三英语下学期期末考试试卷及答案解析第一部分阅读（共两节，满分40分）第一节（共15小题；每小题2分，满分30分）阅读下列短文，从每题所给的A、B、C、D四个选项中选出最佳选项ASwimming Holes in AmericaIn America, these secret swimming holes are hidden and hard to reach but well worth the adventure.Cummins FallsLooking for the best place to escape the summer heat in the heartland of America? For more than 100 years, Cummins Falls, a scenic,75-foot waterfall located in Jackson County, TN, has been a treasure for Tennessee natives. But now, the secret is out! Although it’s a bit tough to get to, once in the park, the mountains and river provide unmatched beauty on your way to taking a swim in Tennessee's eighth-largest waterfall.Sliding RockA popular place to cool off during those hot North Carolina summers, Sliding Rock waterfall is located in the Pisgah National Forest in Transylvania County. A flattened rock about 60 feet lies in a nearly 7-foot-deep pool at the bottom, making this natural waterslide a great place to visit with people of all ages.Mooney FallsIt is the tallest water feature in the Grand Canyon, rising 190 feet above the surface. Named after an explorer in the 1800s, Mooney Falls is accessible only by crawling（爬）through 2 underground passages and then climbing down a sheer cliff（峭壁）face with just a couple of chains to hold on to. Although it is tough to get to, the view and the cool alone make it worth the trip.Lihue EstateA private swimming hole at the old Lihue Sugar Farm on Kauai, HI, was changed into an inner-tube water ride by Kauai Backcountry Adventures in 2003 and opened to adults. The waters for this 2.5-mile journey, which come from near the top of Mount Waialeale—one of the wettest spots in the world—are channeled through ditches（沟渠）that were hand-dug by farm workers over a century ago.1. Which hole may be the favourable destination for families?A. Lihue Estate.B. Sliding Rock.C. Mooney Falls.D. Cummins Falls.2. What can we learn about Mooney Falls from the text?A. It wasfound by an explorer.B. It was hand-dug in the 1800s.C. It is dangerous to arrive there.D. It is the tallest fall in the world.3. What is special about Lihue Estate?A. It is man-made.B. It is a private area.C. Its water is from underground.D. It lies on the top of Mount WaialealeBWhat about your emotions? How do they help you to understand what you are reading?In Jane Yolan'sOwl Moon,a girl explores with her father on a snowy night. She longs for this special night.And she's amazed when she sees an owl.Have you felt longing before? Amazement? Well, if you have, it helps you have a sense of agreement. When we can put ourselves inside a story we can understand it better. Our brain tells us,"Oh, this girl's experience is a bit like mine."And boom! We can relate to her.But this skill is not born in us.So young kids have to learn it.Pictures and images help young readers to understand and recognize feelings.Readers feel joy when seeing the smiling faces of friends.They feel fear when turning the page to find a scary monster. They are just pictures,but the feelings are real. This skill, to understand the thinking and feeling of others, is what researchers call "theory of mind".For example, think about the faces of people and animals in stories. The Big Bad Wolf's scary teeth. The 'o' shape of a surprised character's mouth. Or big, wide eyes like the girl inOwl Moon.By noticing the faces,readers can start to figure out what it feels like to be that character.And that helps to figure out how people feel and think in real life.But most young readers don't go into deep,scary woods.And some may not go to the beach or play basketball.In the bookYo!Yes?two kids meet and play ball. The kids start the story on opposite pages.But as the story goes on,they get closer until they are together.Some young readers might not play basketball, but they can read the clues on the page to figure out how the kids are feeling.And some readers might not like the game,but they can feel excited for the characters because of how the characters look and move.4. What can we learn from the second paragraph?A.Owl Moontalks about the exploration of the Moon.B. The feeling of"amazement"is a sense of agreement.C. Readers are blessed with the ability to interpret others.D. Readers with similar experience understand the story better.5. Which of the following might help readers develop"theory of mind"?A. True feelings.B. Smiling faces.C. Picture books.D. Reading skills.6. Young readers can go deeper into a story by________.A. tracking the plotB. developing new skillsC. sharing similar hobbiesD. analyzing the background7. What is the text mainly about?A. How thinking influences reading.B. How readers improve reading skills.C. How emotions help enhance reading.D. How kids figure out the clues of stories.COn World Oceans Day, which falls on June 8, the US National Geographic Society announced it would recognize the Southern Ocean in Antarctica, bringing the global total to five.Unlike the Arctic, Atlantic, Indian and PacificOceans—which are defined by the continents that bound them—the Southern Ocean is instead characterized by the Antarctic Circumpolar Current（南极洋流）. According to the National Geographic, the Southern Ocean includes most of the waters surrounding Antarcticaout to 60 degrees south latitude（纬度）."Encircled by the powerfully swift ACC, it is the only ocean to touch three others and to completely embrace a continent rather than being embraced by them," Sylvia Earle, a marine biologist and oceanographer, told the Daily Mail.Those familiar with the Southern Ocean know it's unlike any other. "Anyone who has been there will struggle to explain what's so charming about it, but they'll all agree that the glaciers are bluer, the air colder, the mountains more awful and the landscapes morecaptivatingthan anywhere else you can go," Seth Sykora-Bodie, a marine scientist at the National Oceanic and Atmospheric Administration, told National Geographic.National Geographic hopes their revised maps will bring public awareness to the region, thereby encouraging Southern Ocean conservation—but its significance is beyond that."We think it's really important from an educational standpoint, as well as from a map-labeling standpoint, to bring attention to the Southern Ocean as a fifth ocean," Alex Tait, National Geographic Society geographer, told The Post. "So when students learn about parts of the ocean world, they learn it's an interconnected ocean, and they learn there are these regions called oceans that are really important, and there's a distinct one in the icy waters around Antarctica."8. Why is the Southern Ocean different from other oceans?A. It has never been explored before.B. It surrounds the Antarctic all around.C. It is enclosed by the fast-flowing ACC.D. It has ecologically distinct environment.9. What does the underlined word "captivating" in paragraph 4 probably mean?A. Strange.B. Unusual.C. Attractive.D. Informal.10. What does the National Geographic think of the Southern Ocean?A. It will be instructive for students.B. It will promote tourism development.C. It will encourage public to treasure water.D. It will draw scientists to study in the Antarctic.11. What is the best title for the text?A. World Oceans DayB. Revised Antarctic MapsC. Adding a New OceanD. New Discovery under the SeaDWhat will people die of 100 years from now? If you think that is a simple question，you have not been paying attention to the revolution that is taking place in bio-technology（生物技术）. With the help of new medicine，the human body will last a very long time. Death will come mainly from accidents，murder and war. Today’s leading killers，such as heart disease，cancer，and aging itself，will become distant memories.In discussion of technological changes，the Internet gets most of the attention these days. But the change in medicine can be the real technological event of our times. How long can humans live? Human brains were known to decide the final death. Cells（细胞）are the basic units of all living things，and until recently，scientists were sure that the life of cells could not go much beyond 120 years because the basic materials of cells，such as those of brain cells，would not last forever. But the upper limits will be broken by new medicine. Sometime between 2050 and 2100，medicine will have advanced to the point at which every 10 years or so，people will beable to take medicine to repair their organs（器官）. The medicine，made up of the basic building materials of life，will build new brain cells，heart cells，and so on－in much the same way our bodies make new skin cells to take the place of old ones.It is exciting to imagine that the advance in technology may be changing the most basic condition of humanexistence，but many technical problems still must be cleared up on the way to this wonderful future.12. According to the passage，human death is now mainly caused by ________.A. diseases and agingB. accidents and warC. accidents and agingD. heart disease and war13. In the author’s opinion，today’s most important advance in technology lies in（在于）________.A. the InternetB. medicineC. brain cellsD. human organs14. Humans may live longer in the future because ________.A. heart disease will be far away from usB. human brains can decide the final deathC. the basic materials of cells will last foreverD. human organs can be repaired by new medicine15. How long can humans live in the future according to the passage?A. Over 100 years.B. More than 120 years.C. About 150 years.D. The passage doesn’t tell us.第二节（共5小题；每小题2分，满分10分）阅读下面短文，从短文后的选项中选出可以填入空白处的最佳选项。
浙江省杭州市学军中学等五校2020届高三语文下学期联考试题
浙江省杭州市学军中学等五校2020届高三语文下学期联考试题考生须知：1．本卷满分150分，考试时间150分钟：2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号。
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题卷。
一、语言文字运用（共20分）1．下列各句中，没有错别字且加点词的注音全都正确的一项是（3分）A．当初在填海土地上建成的房子已经残旧，给人一幢一幢拆掉，代替的是遮天敝日的大厦。
偶然一座不知何故可以苟延残喘夹．（jiā）在新厦中间的旧楼，寒伧．（chen）得叫人凄酸。
B．面对来势汹汹的新型冠．（guān）状病毒肺炎疫情，我们不能心存侥．（jiǎo）幸，但必须清醒冷静。
唯有众志成诚，才能形成战胜疫情的合力。
C．上山的阶梯上，晋朝的罗汉松、唐代银杏、宋时香樟、明清枫栗等名贵古树伟岸蓊（wěng）郁地生于路旁。
时近黄昏，加上山间雾气萦．（yíng）绕，让人视野不尽开阔，但是古树的老干虬枝和直耸入云的身影还是十分清楚的。
D．进入冬天，北方的树木褪去了苍翠。
光秃秃的树枝生硬如铁，倔．（juè）强地望着天空。
几只乌鸦趁着暮色飞来，落在疏疏落落的枝杈．（chà）间。
此番景致令人倍感苍凉。
阅读下面的文字，完成2-3题。
今年五四，由国家一级演员何冰演绎．．的《后浪》的演讲视频在互联网走红。
【甲】这段代言“前浪”中年、寄语“后浪”青年的“献礼”，一夜间制造了朋友圈等社交媒体上的舆论分化：一半人感动、追捧，另一半人置疑．．、批驳。
演讲中一句“你们拥有了我们这代人梦寐以求的权利——选择的权利”，尤其受到贬斥。
“前浪”“后浪”的比喻，来自人们耳熟能详．．．．的“一代后浪推前浪，前浪死在沙滩上”这句调侃。
事实上，这句话本身就隐含着残酷的进化论的视角。
社会总是进步的，新一代的力量不断崛起，而老一代人则退出历史舞台。
今年正好是2020年，这个整数年份具有特殊的代际意义：【乙】80年出生的人，已经到了40岁的“不惑”之年：作为新势力的90后，最大的已经“而立”；即便是00后，也到了20岁这个公认的“成年”阶段了。
2020届浙江省杭州市学军中学高三下学期物理选考冲刺模拟题及答案
2020学军中学高三物理选考冲刺模拟考考生须知：1. 全卷分试卷和答题卷，其中试卷又分学考题和加试题两部分。
考试结束后，将答题卷上交。
2. 试卷共6页，有三大题，23小题。
满分100分，考试时间90分钟。
3. 请将答案做在答题卷的相应位置上，写在试卷上无效。
4. 计算时若用到重力加速度g数据，本卷均取10m/s2.一、选择题Ⅰ（本题共13小题，每小题3分，共39分，在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分。
）1.下列物理量正负号的表述正确的是A. 重力势能正、负号表示大小B. 电量正、负号表示方向C. 功正、负号表示方向D. 速度正、负号表示大小2.下列单位中由国际单位制中的基本单位组成的是（）kgm/s C. N/m D. AhA. km/hB. 23.下列说法正确的是（）A. 牛顿在前人的研究基础上发现了万有引力定律并测出了万有引力常量B. 伽利略开创了科学实验和逻辑推理相结合的重要科学研究方法．比如他利用图（a）对自由落体运动研究，先在倾角较小的斜面上进行实验，其目的是使时间测量更容易C. 库仑发现的库仑定律使电磁学的研究从定性进入定量阶段，是电磁学史上一块重要的里程碑，并且库仑进一步提出了“电场”的概念D. 安培定则是表示电流和电流激发磁场的磁感线方向间关系的定则，用的是左手4.张老师要开车去杭州，右图是他手机导航的截图，下列说法正确的是A. “1小时12分”指的是时刻B. “方案三”的平均速度为58km/hC. 若研究轿车通过公交站牌的时间，可以把车看成质点D. 三种方案的位移是一样的，依据图中标度“20公里”，得到位移大小约为60km5.小明想推动家里的衣橱，但使出了全力也推不动，他便想了个妙招，如图所示，用A、B两块木板，搭成一个底角较小的人字形架，然后往中央一站，衣橱被推动了．下列说法中正确的是（）A. 这是不可能的，因为小明根本没有用力去推衣橱B. 这有可能，A板对衣橱的推力有可能大于小明的重力C. A、B板的夹角应该尽可能小，才能推动衣橱D. 这不可能，A板对衣橱的推力不可能大于小明的重力6.如图所示为运动传感器探测到小球由静止释放后撞击地面弹跳的v-t图像，小球质量为0.5kg，重力加速度2，空气阻力不计根据图像可知（）g10m/sA. 小球下落的初始位置离地面的高度为1.25mB. 小球第一次反弹最大高度为1.8mC. 横坐标每一小格表示的时间是0.1sD. 小球第一次撞击地面时地面给小球的平均作用力为55N7.我们的课本上曾有一个小实验，课本截图如下．实验时，某同学把小纸帽压到桌面上，从放手到小纸帽刚脱离弹簧的运动过程中，不计空气及摩擦阻力，下列说法正确的是( )A. 小纸帽的机械能守恒B. 小纸帽刚脱离弹簧时动能最大C. 小纸帽在最低点所受的弹力等于重力D. 在某一阶段内，小纸帽的动能减小而小纸帽的机械能增加8.2018年 2 月 6 日，马斯克的SpaceX“猎鹰”重型火箭将一辆樱红色特斯拉跑车发射到太空．图1是特斯拉跑车和Starman（宇航员模型）的最后一张照片，它们正在远离地球，处于一个环绕太阳的椭圆形轨道（如图2）．远太阳点距离太阳大约为 3.9亿公里，地球和太阳之间的平均距离约为 1.5 亿公里．试计算）（）特斯拉跑车的环绕运动周期（可能用到的数据：5=2.236，315 2.47A. 约 15 个月B. 约 29 个月C. 约 36 个月D. 约 50 个月9.有关圆周运动的基本模型如图所示，下列说法正确的是()A. 如图甲火车转弯超过规定速度行驶时，内轨对轮缘会有挤压作用B. 如图乙，汽车通过拱桥的最高点处于超重状态C. 如图丙所示两个圆锥摆摆线与竖直方向夹角θ不同，但圆锥高相同，则两圆锥摆的角速度相同D. 如图丁，同一小球在光滑而固定的圆锥筒内的A、B位置先后分别做匀速圆周运动，则在A、B两位置小球的角速度及所受筒壁的支持力大小相等10.真空中，q3为场源正电荷，q1、q2为等量正试探电荷，它们固定在等边三角形的三个顶点A、B、C上，D为AB中点，如图所示，则不．正确的是（）A. D位置的电势高于A位置的电势B. q1、q2具有的电势能相等C. q3在A、B两位置产生的场强相等D. 若把q1从A点移到D点，电场力做负功11.在磁场中放置一块矩形通电导体，当磁场方向与电流方向垂直时，导体在与磁场、电流方向都垂直的方向上产生电势差，这个现象叫霍尔效应，所产生的电压叫霍尔电压.图甲为霍尔效应的原理示意图，图中霍尔电压H kIBUd，如图乙所示，在自行车的前叉上固定一霍尔元件，在前轮辐条上安装一块磁铁，这样，轮子每转一周，磁铁就靠近霍尔传感器一次，便可测出某段时间内的脉冲数，从而得到自行车的平均速度并通过速度计显示出来，设自行车前轮的半径为R，磁铁到前轮转轴的距离为r，则下列说法正确的是（）A. 若霍尔元件的载流子是负电荷，则图甲中C 端电势高于D 端电势B. 如果长时间不更换传感器的电池，霍尔电压会越来越大C. 如果在时间t 内得到的脉冲数为N ，则自行车骑行的平均速度为2NR tπ D. 若前轮漏气，则速度计测得的骑行速度比实际速度偏小12.如图是某款扫地机器人的照片，下表内容是他的一些重要参数：根据以上信息，下列说法错误的是（ ）A. 工作时，电池把化学能转化为电能B. 电池充电时充电电流约0.75AC. 电池充满电时储存的能量大约为82.610J ⨯D. 在100-120分钟工作时间内机器人并非一直以40W 额定功率工作13.如图所示，A 、B 、C 是水平面同一直线上的三点，其中AB BC =，在A 点正上方的O 点以初速度0v 水平抛出一小球，刚好落在B 点，小球运动的轨迹与OC 的连线交于D 点，不计空气阻力，重力加速度为g ，下列说法不正确的是（ ）A. 小球从O 到D 点的水平位移是从O 到B 点水平位移的12B. 小球经过D 点与落在B 点时重力瞬时功率的比为12C. 小球从O 点到D 点与从D 点到B 点两段过程中重力做功的比为13D. 小球经过D 点时速度与水平方向夹角的正切值是落到B 点时速度与水平方向夹角的正切值的14 二、选择题Ⅱ（本题共3小题，每小题2分，共6分。
2024届浙江杭州学军中学高三下学期模拟测试数学试题(含答案解析)
2024届浙江省杭州学军中学高三下学期模拟测试数学试题一、单选题1.设集合A =x ,y |x +y =2 ，B =x ,y |y =x 2 ，则A ∩B =()A.1,1B.-2,4C.1,1 ,-2,4D.∅2.已知a +bi (a ,b ∈R )是1-i1+i的共轭复数，则a +b =A.-1B.-12C.12D.13.设向量a =(1,1),b =(-1,3),c =(2,1)，且(a -λb )⊥c，则λ等于()A.3B.2C.-2D.-34.已知点A 为曲线y =x +4xx >0 上的动点，B 为圆x -2 2+y 2=1上的动点，则AB 的最小值是()A.3B.4C.32D.425.2+x 10的展开式各项的系数中最大的是()A.x 2的系数B.x 3的系数C.x 4的系数D.x 5的系数6.某大学在校学生中，理科生多于文科生，女生多于男生，则下述关于该大学在校学生的结论中，一定成立的是()A.理科男生多于文科女生B.文科女生多于文科男生C.理科女生多于文科男生D.理科女生多于理科男生7.已知三棱锥S -ABC 中，∠SAB =∠ABC =π2,SB =4,AB =2,BC =3，SA 和BC 所成的角为π3，则该三棱锥外接球的表面积是()A.12πB.16πC.24πD.32π8.已知定义在[0,1]上的函数f (x )满足：①f (0)=f (1)=0；②对所有x ,y ∈[0,1]，且x ≠y ，有f (x )-f (y ) <12x -y .若对所有x ,y ∈[0,1]，f (x )-f (y ) <k ，则k 的最小值为A.12B.14C.12πD.18二、多选题9.我国于2015年10月宣布实施普遍二孩政策，为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄群体中随机抽取了容量为200的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各100人；男性120人，女性80人，绘制的不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图如图所示，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述正确的是()A.是否倾向选择生育二胎与户籍有关B.是否倾向选择生育二胎与性别无关C.调查样本中倾向选择生育二胎的群体中，男性人数与女性人数相同D.倾向选择不生育二胎的群体中，农村户籍人数多于城镇户籍人数10.双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知F 1,F 2分别为双曲线C :x 23-y 2=1的左，右焦点，过C 右支上一点A x 0,y 0 x 0>3 作双曲线的切线交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，则()A.平面上点B 4,1 ,AF 2 +AB 的最小值为37-23B.直线MN 的方程为xx 0-3yy 0=3C.过点F 1作F 1H ⊥AM ，垂足为H ，则OH =2(O 为坐标原点)D.四边形AF 1NF 2面积的最小值为411.数列a n 满足a n +1=14a n -6 3+6(n =1,2,3⋯)，则()A.当a 1=3时，a n 为递减数列，且存在M ∈R ，使a n >M 恒成立B.当a 1=5时，a n 为递增数列，且存在M ≤6，使a n <M 恒成立C.当a 1=7时，a n 为递减数列，且存在M ≥6，使a n >M 恒成立D.当a 1=9时，a n 递增数列，且存在M ∈R ，使a n <M 恒成立三、填空题12.已知cos a +π6 -sin α=435，则sin α+11π6=．13.设随机试验每次成功的概率为p ，现进行3次独立重复试验．在至少成功1次的条件下，3次试验全部成功的概率为413，则p =．14.若函数f x =e x +cos x +a -1 x 存在最小值，则a 的取值范围是．四、解答题15.在△ABC 中，∠A =90°，点D 在BC 边上．在平面ABC 内，过D 作DF ⊥BC 且DF =AC ．(1)若D 为BC 的中点，且△CDF 的面积等于△ABC 的面积，求∠ABC ；(2)若∠ABC =45°，且BD =3CD ，求cos ∠CFB ．16.如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形.SA⊥底面ABCD，E，F分别为AD，SC的中点，EF与平面ABCD成45°角.(1)证明：EF为异面直线AD与SC的公垂线；BC，求二面角B-SC-D的余弦值.(2)若EF=1217.A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16；B组：12，13，15，16，17，14，a．假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．(1)如果a=25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(2)当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等?18.已知抛物线y=ax2(a>0)与双曲线y=1x交于点T，两条曲线的公切线分别与抛物线、双曲线切于点P，Q．(1)证明：△PQT存在两条中线互相垂直；(2)求△PQT的面积．19.已知函数f x =x+7中心对称．x+a关于点-1,1(1)求函数f x 的解析式；(2)讨论g x =x f x2在区间0,+∞上的单调性；(3)设a1=1,a n+1=f a n<1．，证明：2n-22ln a n-ln72024届浙江省杭州学军中学高三下学期模拟测试数学试题一、单选题1.设集合A =x ,y |x +y =2 ，B =x ,y |y =x 2 ，则A ∩B =()A.1,1B.-2,4C.1,1 ,-2,4D.∅【答案】C【分析】由题意可知A ∩B 实质是求交点，进而联立组成方程组求解即可.【详解】解：集合A 与集合B 均为点集，A ∩B 实质是求x +y =2与y =x 2的交点，所以联立组成方程组得x +y =2y =x 2 ，解得x =1y =1 ，或x =-2y =4 ，从而集合A ∩B =1,1 ,-2,4 ，故选：C .【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.2.已知a +bi (a ,b ∈R )是1-i1+i的共轭复数，则a +b =A.-1 B.-12 C.12 D.1【答案】D【解析】首先计算1-i1+i ，然后利用共轭复数的特征计算a ,b 的值.【详解】1-i 1+i =(1-i )2(1+i )(1-i )=-2i2=-i ，∴a +bi =-(-i )=i ，∴a =0,b =1,∴a +b =1.故选:D .【点睛】本题考查复数的计算，属于基础题型.3.设向量a =(1,1),b =(-1,3),c =(2,1)，且(a -λb )⊥c ，则λ等于()A.3B.2C.-2D.-3【答案】A【分析】由向量线性关系及垂直的坐标表示列方程求参即可.【详解】由题意得a -λb =(1+λ,1-3λ)，又(a -λb )⊥c，所以(a-λb )⋅c =2(1+λ)+1-3λ=0，可得λ=3.故选：A4.已知点A 为曲线y =x +4x x >0 上的动点，B 为圆x -2 2+y 2=1上的动点，则AB 的最小值是()A.3B.4C.32D.42【答案】A【分析】数形结合分析可得，当A 2,4 时能够取得|AB |的最小值，根据点到圆心的距离减去半径求解即可.【详解】圆x -2 2+y 2=1的圆心为2,0 ，半径为1，由对勾函数的性质,可知y =x +4x≥4，当且仅当x =2时取等号，结合图象可知当A 点运动到2,4 时能使点A 到圆心的距离最小，最小值为4，从而AB 的最小值为4-1=3.故选：A5.2+x 10的展开式各项的系数中最大的是()A.x 2的系数B.x 3的系数C.x 4的系数D.x 5的系数【答案】B【分析】利用二项式通项的性质和组合数的性质计算出符合条件的k 值即可.【详解】通项公式为T k +1=C k 10⋅2k ⋅x 10-k ，因为C k 10⋅2k ≥C k -110⋅2k -1⇒2C k 10≥C k -110，所以2×10×9×⋯×11-k k !≥10×9×⋯×12-k k -1 !⇒211-k k ≥1⇒k 3k -22 ≤0⇒k ≤223同理C k 10⋅2k ≥C k +110⋅2k +1⇒C k 10≥2C k +110，所以10×9×⋯×11-k k !≥2×10×9×⋯×10-k k +1 !⇒210-k k +1≤1⇒3k -19 k +1 ≥0⇒k ≥193，所以k =7，所以展开式各项的系数中最大的是第八项，为T 8=C 710⋅27⋅x 3，即x 3的系数最大.故选：B6.某大学在校学生中，理科生多于文科生，女生多于男生，则下述关于该大学在校学生的结论中，一定成立的是()A.理科男生多于文科女生B.文科女生多于文科男生C.理科女生多于文科男生D.理科女生多于理科男生【答案】C【分析】将问题转化为不等式问题，利用不等式性质求解.【详解】根据已知条件设理科女生有x 1人，理科男生有x 2人，文科女生有y 1人，文科男生有y 2人；根据题意可知x 1+x 2>y 1+y 2，x 2+y 2<x 1+y 1，根据异向不等式可减的性质有x 1+x 2 -x 2+y 2 >y 1+y 2 -x 1+y 1 ，即有x 1>y 2，所以理科女生多于文科男生，C 正确.其他选项没有足够证据论证.故选：C .7.已知三棱锥S -ABC 中，∠SAB =∠ABC =π2,SB =4,AB =2,BC =3，SA 和BC 所成的角为π3，则该三棱锥外接球的表面积是()A.12πB.16πC.24πD.32π【答案】B【分析】将三棱锥S -ABC 放入长方体ABCD -EFGH 中，并建立适当的空间直角坐标系，由已知表示出各个点的坐标，进一步结合OA =OS=R ，列出方程组求出R 即可进一步求解.【详解】将三棱锥S -ABC 放入长方体ABCD -EFGH 中，S 在棱EH 上面，并以A 为原点，AB ,AD ,AE 所在直线分别为x ,y ,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：由题意∠SAB =∠ABC =π2,SB =4,AB =2,BC =3，所以SA =16-4=23，因为SA 和BC 所成的角为π3，AD ⎳BC ，所以AE =23sin π3=3,ES =23cos π3=3，而底面三角形外接圆圆心为AC 中点O 1，设球心O 到平面ABC 的距离为h ，则A 0,0,0 ,B 2,0,0 ,C 2,3,0 ,S 0,3,3 ,O 11,32,0 ,O 1,32,h ，所以OA =-1,-32,-h ,OS =-1,32,3-h ，则由OA =OS =R ⇒R 2=34+1+h 2=34+1+3-h 2，解得h =32,R 2=4，从而S =4πR 2=16π，即该三棱锥外接球的表面积是16π.故选：B .8.已知定义在[0,1]上的函数f (x )满足：①f (0)=f (1)=0；②对所有x ,y ∈[0,1]，且x ≠y ，有f (x )-f (y ) <12x -y .若对所有x ,y ∈[0,1]，f (x )-f (y ) <k ，则k 的最小值为A.12B.14C.12πD.18【答案】B【详解】试题分析：不妨令0≤x <y ≤1，则f x -f y <12x -y 法一：2f x -f y =f x -f 0 +f x -f y -f y -f 1 ≤f x -f 0 +f x -f y +f y -f 1<12x -0 +12x -y +12y -1 =12x +12y -x +12y -1 =12，即得f x -f y<1 4，另一方面，当u∈0,1 2时，f x ={ux,0≤x≤12-u1-x,12<x≤1，符合题意，当u→12时，f12-f0=u2→14，故k≤1 4法二：当x-y≤12时，f x -f y<12x-y≤14，当x-y>12时，f x -f y=f x -f0-f y -f1≤f x -f1+f y -f0<12x-1+12y-0=121-x+12y=12+12y-x<14，故k≤1 4【解析】1.抽象函数问题；2.绝对值不等式.二、多选题9.我国于2015年10月宣布实施普遍二孩政策，为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄群体中随机抽取了容量为200的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各100人；男性120人，女性80人，绘制的不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图如图所示，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述正确的是()A.是否倾向选择生育二胎与户籍有关B.是否倾向选择生育二胎与性别无关C.调查样本中倾向选择生育二胎的群体中，男性人数与女性人数相同D.倾向选择不生育二胎的群体中，农村户籍人数多于城镇户籍人数【答案】AB【分析】根据题中数据结合比例图逐项分析判断.【详解】由不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图，知：在A中，城镇户籍倾向选择生育二胎的比例为40%，农村户籍倾向选择生育二胎的比例为80%，所以是否倾向选择生育二胎与户籍有关，故A正确；在B中，男性倾向选择生育二胎的比例为60%，女性倾向选择生育二胎的比例为60%，所以是否倾向选择生育二胎与性别无关，故B正确；在C中，男性倾向选择生育二胎的比例为60%，人数为120×60%=72人，女性倾向选择生育二胎的比例为60%，人数为80×60%=48人，所以倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数不相同，故C错误；在D 中，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数为100×1-80% =20人，城镇户籍人数为100×1-40% =60人，所以倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数，故D 错误.故选：AB .10.双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知F 1,F 2分别为双曲线C :x 23-y 2=1的左，右焦点，过C 右支上一点A x 0,y 0 x 0>3 作双曲线的切线交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，则()A.平面上点B 4,1 ,AF 2 +AB 的最小值为37-23B.直线MN 的方程为xx 0-3yy 0=3C.过点F 1作F 1H ⊥AM ，垂足为H ，则OH =2(O 为坐标原点)D.四边形AF 1NF 2面积的最小值为4【答案】ABD【分析】对A ，利用双曲线定义将AF 2 转化为AF 1 -2a 可得解；对B ，设出直线MN 的方程为y -y 0=k x -x 0 与双曲线联立，根据Δ=0化简运算得解；对C ，由双曲线的光学性质可知，AM 平分∠F 1AF 2，延长F 1H 与AF 2的延长线交于点E ，则AH 垂直平分F 1E ，即AF 1 =AE ，H 为F 1E 的中点，进而得OH =12F 2E 得解；对D ，求出N 点坐标，根据S AF 1NF 2=S △AF 1F 2+S △NF 1F 2，结合基本不等式可求解.【详解】对于A ，由双曲线定义得AF 1 -AF 2 =2a =23，且F 1-2,0 ，则AF 2 +AB =AF 1 +AB -23≥BF 1 -23=4--22+1-23=37-23，所以AF 2 +AB 的最小值为37-2 3.故A 正确；对于B ，设直线MN 的方程为y -y 0=k x -x 0 ，k ≠±33，联立方程组y -y 0=k x -x 0 x 2-3y 2=3，消去y 整理得，1-3k 2 x 2+6k 2x 0-6ky 0 x -3k 2x 20+6kx 0y 0-3y 20-3=0，∴Δ=0，化简整理得9y 20k 2-6x 0y 0k +x 20=0，解得k =x 03y 0，可得直线MN 的方程为y -y 0=x03y 0x -x 0 ，即x 0x -3y 0y =3，故B 正确；对于C ，由双曲线的光学性质可知，AM 平分∠F 1AF 2，延长F 1H 与AF 2的延长线交于点E ，则AH 垂直平分F 1E ，即AF 1 =AE ，H 为F 1E 的中点，又O 是F 1F 2中点，所以OH =12F 2E =12AE -AF 2 =12AF 1 -AF 2 =a =3，故C 错误；对于D ，由直线MN 的方程为x 0x -3y 0y =3，令x =0，得y =-1y 0，则N 0,-1y 0，S AF 1NF 2=S △AF 1F 2+S △NF 1F 2=12×F 1F 2 ×y 0 +1y 0≥12×4×2y 0 ⋅1y 0=4，当且仅当y 0 =1y 0，即y 0=±1时等号成立，所以四边形AF 1NF 2面积的最小值为4，故D 项正确.故选：ABD ..【点睛】关键点睛：C 项中，结合已知给出的双曲线的光学性质，即可推出AH 垂直平分F 1E ，OH =12F 2E .11.数列a n 满足a n +1=14a n -6 3+6(n =1,2,3⋯)，则()A.当a 1=3时，a n 为递减数列，且存在M ∈R ，使a n >M 恒成立B.当a 1=5时，a n 为递增数列，且存在M ≤6，使a n <M 恒成立C.当a 1=7时，a n 为递减数列，且存在M ≥6，使a n >M 恒成立D.当a 1=9时，a n 递增数列，且存在M ∈R ，使a n <M 恒成立【答案】BC【分析】首先由数学归纳法求出数列的通项，再令a 1=3,5,7,9时代入通项中，求出具体通项公式，最后结合指数函数的性质逐一判断即可.【详解】由题意可知a n +1-6=14a n -6 3，∴a 2-6=14a 1-6 3,a 3-6=14a 2-6 3=1414a 1-6 3 3=14×143×a 1-6 32，归纳猜想：a n -6=141+3+32+⋯+3n -2a 1-6 3n -1=141-3n -11-3a 1-6 3n -1=223n -1a 1-6 3n -1，A ：当a 1=3时，a n -6=-2×32 3n -1，则a n 为递减数列，无边界，故A 错误；B ：当a 1=5时，a n -6=-2×123n -1，则a n 为递增数列，有边界，由指数函数的单调性可知，当n →∞时，a n →6，故存在M ≤6，使a n <M 恒成立，故B 正确；C ：当a 1=7时，a n -6=2×123n -1，则a n 为递减数列，有边界，由指数函数的单调性可知，当n →∞时，a n →6，故存在M ≥6，使a n >M 恒成立，故C 正确；D ：当a 1=9时，a n -6=2×323n -1，则a n 为递增数列，无边界，故D 错误；故选：BC .【点睛】关键点点睛：(1)当所给递推数列较为复杂时，(不为用常见的累加累乘等)可考虑先写出几项，然后用数学归纳法求出通项公式.(2)判断数列是否存在边界或数列不等式恒成立问题可结合指数函数的单调性判断.三、填空题12.已知cos a +π6 -sin α=435，则sin α+11π6=．【答案】-45【分析】由题意可得cos α+π6 -sin α=32cos α-32sin α=-3sin α-π6 =435，结合诱导公式可得结果.【详解】由cos α+π6 -sin α=32cos α-32sin α=-3sin α-π6 =435，∴sin α-π6 =-45而sin α+11π6 =sin α-π6+2π =sin α-π6 =-45．故答案为-45【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，考查两角和与差正弦公式、诱导公式，考查计算能力，属于常考题型.13.设随机试验每次成功的概率为p ，现进行3次独立重复试验．在至少成功1次的条件下，3次试验全部成功的概率为413，则p =．【答案】23【分析】利用条件概率直接求解.【详解】在至少成功1次的条件下，3次试验全部成功的概率为413，则p 31-1-p3=413，解得p =23或-2(舍去).故答案为：2314.若函数f x =e x +cos x +a -1 x 存在最小值，则a 的取值范围是．【答案】-∞,1【分析】从a =1，a >1，及a <1进行分析求解.【详解】注意到，当a =1时，f x =e x +cos x ，由于e x >0，-1≤cos x ≤1，显然f x min →-1，没有最小值；当a >1时，e x +cos x >-1且无限接近-1，y =a -1 x 为增函数，则x →-∞，e x +cos x +a -1 x →-∞，x →+∞，e x +cos x +a -1 x →+∞，此时没有最小值；当a <1时，y =a -1 x 为减函数，则x →-∞，e x +cos x +a -1 x →+∞，x →+∞，由于y =e x 增长变化速度远大于y =a -1 x 减少速度，此时e x +cos x +a -1 x →+∞，由于函数定义域为R ,函数连续不断，所以f x =e x +cos x +a -1 x 存在最小值．故答案为：-∞,1四、解答题15.在△ABC 中，∠A =90°，点D 在BC 边上．在平面ABC 内，过D 作DF ⊥BC 且DF =AC ．(1)若D 为BC 的中点，且△CDF 的面积等于△ABC 的面积，求∠ABC ；(2)若∠ABC =45°，且BD =3CD ，求cos ∠CFB ．【答案】(1)∠ABC =60°(2)51751【分析】(1)由两三角形的面积相等可得12AB ⋅AC =12CD ⋅DF ，再由DF =AC 可得CD =AB ，从而结合已知可得BC =2AB ，进而可求得∠ABC ；(2)设AB =k ，则AC =k ,CB =2k ,BD =324k ,DF =k ，然后在△BDF ,△CDF 中分别利用勾股定理求出CF ,BF ，再在△CBF 中利用余弦定理可求得结果.【详解】(1)如图所示在△ABC 中，∠A =90°，点D 在BC 边上．在平面ABC 内，过D 作DF ⊥BC 且DF =AC ，所以S △ABC =12AB ⋅AC ，S △CDF =12CD ⋅DF ，且△CDF 的面积等于△ABC 的面积，由于DF =AC ，所以CD =AB ，因为D 为BC 的中点，故BC =2AB ，所以cos ∠ABC =AB BC =AB 2AB=12，因为∠ABC 为锐角，所以∠ABC =60°．(2)如图所示：设AB =k ，由于∠A =90°，∠ABC =45°，BD =3DC ,DF =AC ，所以AC =k ,CB =2k ,BD =324k ,DF =k ，由于DF ⊥BC ，所以CF 2=CD 2+DF 2，则CF =324k ．且BF 2=BD 2+DF 2，解得BF =344k ，在△CBF 中，利用余弦定理得cos ∠CFB =CF 2+BF 2-BC 22CF ⋅BF =98k 2+178k 2-2k 22×324k ⋅344k=5175116.如图，四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 为矩形.SA ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为AD ，SC 的中点，EF 与平面ABCD 成45°角.(1)证明：EF 为异面直线AD 与SC 的公垂线；(2)若EF =12BC ，求二面角B -SC -D 的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)-33.【分析】(1)要证EF 为异面直线AD 与SC 的公垂线，即证AD ⊥EF ，EF ⊥SC ，通过线面垂直即可证明；(2)以A 为坐标原点，AB ，AD ，AS 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面BSC 和平面SCD 的法向量，计算求解即可.【详解】(1)连接AC ，BD 交于点G ，连接EG ，FG ，因为四边形ABCD 为矩形，且E ，F 分别为AD ，SC 的中点，所以GE ⎳CD ，且GF ⎳SA ，又SA ⊥底面ABCD ，所以GF ⊥底面ABCD ，又AD ⊂平面ABCD ，所以GF ⊥AD ，又AD ⊥GE ，GE ∩GF =G ，GF ,GE ⊂面GEF ，所以AD ⊥平面GEF ，EF ⊂面GEF ，所以AD ⊥EF ，因为EF 与平面ABCD 成45°角，所以∠FEG =45°，所以GF =GE ，由SA =2FG ,AB =2GE ，所以SA =AB ，取SB 的中点H ，连接AH ，FH ，由F ，H 分别为SC ，SB 的中点，知FH ⎳BC ，FH =12BC ，又AE ⎳BC ，AE =12BC ，所以FH ⎳AE ，FH =AE ，所以四边形AEFH 为平行四边形，又SA =AB ，所以AH ⊥SB ，又BC ⊥平面SAB ，AH ⊂平面SAB ，所以BC ⊥AH ，又BC ∩SB =B ，BC ,SB ⊂面SBC ，所以AH ⊥平面SBC ，而AH ⎳EF ，所以EF ⊥平面SBC ，又SC ⊂平面SBC ，所以EF ⊥SC ，所以EF 为异面直线AD 与SC 的公垂线；(2)若EF =12BC ，设BC =2，则EF =1，则GE =GF =22，所以SA =AB =2，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AS 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则B 2,0,0 ，D 0,2,0 ，S 0,0,2 ，C 2,2,0 ，从而SC =2,2,-2 ，BC =0,2,0 ，CD =-2,0,0 ，设平面BSC 的法向量为n 1 =x 1,y 1,z 1 ，则n 1 ⋅SC =0n 1 ⋅BC =0，即2x 1+2y 1-2z 1=02y 1=0 ，令z 1=1，可得n 1 =1,0,1 ，设平面SCD 的法向量为n 2 =x 2,y 2,z 2 ，则n 2 ⋅SC =0n 2 ⋅CD =0，即2x 2+2y 2-2z 2=0-2x 2=0 ，令z 2=2，可得n 2 =0,1,2 ，所以cos n 1 ,n 2 =n 1 ⋅n 2 n 1 n 2=22⋅3=33，由图可知二面角B -SC -D 的平面角为钝角，所以二面角B -SC -D 的余弦值为-33.17.A ，B 两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：A 组：10，11，12，13，14，15，16；B 组：12，13，15，16，17，14，a ．假设所有病人的康复时间互相独立，从A ，B 两组随机各选1人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙．(1)如果a =25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(2)当a 为何值时，A ，B 两组病人康复时间的方差相等?【答案】(1)1049(2)a =11或18【分析】(1)列举出符合条件的方法，利用古典概率计算即可；(2)利用方差的意义求出即可.【详解】(1)从两组中随机选取一人，共有49种方法；其中甲的康复时间比乙的康复时间长的方法如下：13,12 ,14,12 ,14,13 ,15,12 ,15,13 ,15,14 ,16,12 ,16,13 ,16,15 ,16,14 ，共有10种方法，所以概率为1049.(2)把B 组数据调整为：12，13，14，15，16，17，a ，或a ，12，13，14，15，16，17，根据方差的意义为反应样本波动性的大小可知，a =11或18.18.已知抛物线y =ax 2(a >0)与双曲线y =1x交于点T ，两条曲线的公切线分别与抛物线、双曲线切于点P ，Q ．(1)证明：△PQT 存在两条中线互相垂直；(2)求△PQT 的面积．【答案】(1)证明见解析；(2)274.【分析】(1)设出切点P ,Q 的坐标，利用导数的几何意义求出公切线方程，进而求出三边的中点坐标即可推理得证.(2)利用(1)的结论，结合三角形重心定理求出面积.【详解】(1)设P (x P ,ax 2P ),Q x Q ,1x Q，由y =ax 2、y =1x ，求导得y =2ax、y =-1x 2，则抛物线y =ax 2(a >0)在点P 处切线方程为y -ax 2P =2ax P (x -x P )，双曲线y =1x 在点Q 处切线方程为y -1x Q =-1x 2Q(x -x Q )，由直线PQ 是两条曲线的公切线，得2ax P =-1x 2Q -ax 2P =2x Q ，解得x P =4x Q ，且-ax 2P =2x Q ，令x Q =-12t ，则x P =-2t ，P -2t ,4t ,Q -12t,-2t ，且a =t 3,t >0，由y =ax 2y =1x，解得x =1t ,y =t ，即点T 1t ,t ，则边PQ 中点M -54t ,t ，边PT 的中点K -12t ,5t 2 ，边QT 的中点L 14t ,-t 2 ，显然直线MT :y =t ，直线KQ :x =-12t，则直线MT ⊥KQ ，所以△PQT 存在两条中线互相垂直.(2)由(1)知，KQ =9t 2,MT =94t ，令△PQT 的重心为H ，所以△PQT 的面积S △PQT =2S KQT =2⋅12KQ ⋅TH =23KQ ⋅MT =23⋅9t 2⋅94t =274.【点睛】结论点睛：函数y =f (x )是区间D 上的可导函数，则曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))(x 0∈D )处的切线方程为：y -f (x 0)=f (x 0)(x -x 0).19.已知函数f x =x +7x +a关于点-1,1 中心对称．(1)求函数f x 的解析式；(2)讨论g x =x f x 2在区间0,+∞ 上的单调性；(3)设a 1=1,a n +1=f a n ，证明：2n -22ln a n -ln7 <1．【答案】(1)f x =x +7x +1(2)答案见解析(3)证明见解析【分析】(1)由中心对称函数的性质得出即可；(2)利用导数分析其单调性即可；(3)将要证明的不等式利用对数运算变形为ln a 2n 7<12n -2，再用数学归纳法结合(2)证明即可.【详解】(1)因为函数f x =x +7x +a 关于点-1,1 中心对称，所以f -1-x +f -1+x =2，即-1-x +7a -1-x +-1+x +7-1+x +a =2，取x =2，可得4a -3+8a +1=2，解得a =1或a =7(舍去)，所以a =1，f x =x +7x +1.(2)因为g x =x f x 2，x >0，所以g x =x +7 2x +1 2+2x ×x +7x +1×-6x +12 =x +7 x -2 2+3 x +1 3，因为x +7>0,x +1 3>0,x -2 2+3≥3，所以g x >0恒成立，所以g x =x f x 2在区间0,+∞ 上单调递增.(3)证明：要证2n -22ln a n -ln7 <1，即证ln a 2n 7<12n -2，当n =1时，ln a 217 <121-2⇒ln 17 =ln7<ln e 2=2，成立，即证ln a 2n +17 <12n -1，即证ln a 2n +17 <12ln a 2n 7，由题意得a n >0，则即证ln a 2n +17 <ln a n 7，因为a 1=1,a n +1=f a n =a n +7a n +1，a n +1-7=a n +7a n +1-7=a n -7 1-7 a n +1，由a n >0，即a n -7与a n +1-7异号，当a n >7，0<a n +1<7，即证ln 7a 2n +1<ln a n 7，即证7a 2n +1<a n 7，即证a n a 2n +1>77，即证a n 7+a n 1+a n2>77，由(2)可知，当a n >7,g a n >g 7 =77成立.当a n +1>7,0<a n <7，即证ln a 2n +17<ln 7a n ，即证a 2n +17<7a n，即证a n a 2n +1<77，即证a n 7+a n 1+a n2<77，由(2)可知，当0<a n <7,g a n <g 7 =77成立.综上，得证.【点睛】关键点点睛：(1)若函数f x 满足f m -x +f m +x =2n ，则对称中心为m ,n ；(2)判断符合函数的单调性时，常用导数判断；(3)证明数列不等式，可用数学归纳法证明，分别取当n =1时的特例和n >1的一般情况证明.。
2020届浙江省杭州市学军中学高三毕业班下学期高考考前最后一模化学试题(解析版)
绝密★启用前浙江省杭州市学军中学2020届高三毕业班下学期高考考前最后一模化学试题(解析版)可能用到的相对原子质量：H-1 Li-7 C-12 N-14 O-16 Na-23 Mg-24 A1-27 Si-28 S-32 C1-35.5 K-39 Ca-40 Mn-55 Fe-56 Cu-64 I-127 Ba-137选择题部分一、选择题(本大题共25小题，每小题2分，共50分。
每个小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分)1. 含有共价键的盐是( )A. CaCl2B. NaHS C. NH3·H2O D. Mg3N2【答案】B【解析】【详解】A.氯化钙为离子化合物，属于盐，化合物中只含有离子键，故A不符合题意；B.硫氢化钠为离子化合物，属于盐，化合物中含有离子键和共价键，故B符合题意；C.一水合氨为氨气和水通过氢键形成的共价化合物，属于弱碱，化合物中只含有共价键，故C不符合题意；D.氮化镁为离子化合物，属于氮化物，不属于盐，化合物中只含有离子键，故D 不符合题意；故选B。
2. 用下列实验装置进行相应实验，能达到实验目的的是A. 用图甲所示装置验证反应生成二氧化硫B. 用图乙装置吸收氨气并防止倒吸C. 用图丙装置除去氯气中的氯化氢D. 用装置丁收集NO【答案】A【解析】【详解】A. 碳与硫酸反应生成二氧化硫和二氧化碳，二氧化硫具有漂白性使品红褪色，用图甲所示装置验证反应生成二氧化硫，故A正确；B. 氨气极易溶于水，用图乙装置吸收氨气不能防止倒吸，应选用比水密度大的四氯化碳，故B错误；C. 用图丙装置除去氯气中的氯化氢，导气管应长进短出，故C错误；D. NO密度小于空气，和空气中的氧气反应生成二氧化氮，不能用排空气法收集，应使用排水法收集，故D错误；答案选A。
【点睛】本题考察气体的制取、收集、除杂和尾气处理的实验操作基本考查。
需要根据气体的常见气体性质，选择正确是实验操作方法。
浙江省杭州市学军中学2020学年第二学期高三年级物理月考试卷含解析〖加15套高考模拟卷〗
浙江省杭州市学军中学2020学年第二学期高三年级物理月考试卷一、单项选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、如图，一小孩在河水清澈的河面上以1m/s 的速度游泳，t = 0时刻他看到自己正下方的河底有一小石块，t = 3s 时他恰好看不到小石块了，河水的折射率n =4 3，下列说法正确的是（ ）A ．3s 后，小孩会再次看到河底的石块B ．前3s 内，小孩看到的石块越来越明亮C ．这条河的深度为7mD ．t=0时小孩看到的石块深度为473m 2、如图所示。
粗糙的水平桌面上，三根完全相同的轻质弹簧原长均为a ，劲度系数均为k ，两端分别与完全相同的物块（可看成质点）相连，形成平行于桌面的静止正三角形，此时该正三角形的外接圆半径是R ，弹簧均伸长且在弹性限度内，则每个物块与桌面间的静摩擦力大小是（ ）A ．(3)-k R aB ．3()-k R aC ．2(3)-k R aD ．(33)-k R a3、让一小球分别从竖直墙壁上面的A 点和B 点沿不同的粗糙斜面AC 和BC 到达水平面上同一点C ，小球释放的初速度等于0，两个斜面的粗糙程度相同，关于小球的运动，下列说法正确的是（ ）A ．下滑到C 点时合外力的冲量可能相同B ．下滑到C 点时的动能可能相同C ．下滑到C 点过程中损失的机械能一定相同D ．若小球质量增大，则沿同一斜面到达斜面底端的速度增大4、背越式跳高采用弧线助跑，距离长，速度快，动作舒展大方。
如图所示是某运动员背越式跳高过程的分解图，由图可估算出运动员在跃起过程中起跳的竖直速度大约为A ．2m/sB ．5m/sC ．8m/sD ．11m/s 5、质子的静止质量为27p 1.6726g 10k m -=⨯，中子的静止质量为27n 1.674910kg m -=⨯，α粒子的静止质量为276.646710kg m α-=⨯，光速83.010m /s c =⨯。
浙江省杭州市2020学年第二学期学军中学2019-2020学年高考全国统考预测密卷数学试卷含解析【加15套高考模拟
sn n
0 最小的 n 为（
）
A．10 B．11 C．12 D．13
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
2x2, x 0 13．已知函数 f (x) ex , x 0 若方程 f (x) m 有两个不相等的实根 x1 ， x2 ，则 x1 x2 的最大值为
__________.
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12 分）已知数列{an}是公比为 q 的正项等比数列，{bn}是公差 d 为负数的等差数列，满足
1 1 d
a2 a3 a1 ，b1 b2 b3 21，b1b2b3 315.求数列{an} 的公比 q 与数列{bn}的通项公式；求数列{ bn }
16．已知
A,
B
是椭圆
x a
2 2
y2 b2
1
和双曲线
x2 a2
y2 b2
1 的公共顶点，其中 a b 0 ，
P 是双曲线上的动
点， M 是椭圆上的动点（ P, M 都异于 A, B ），且满足 PA PB MA MB （ R ），设直线
AP, BP, AM , BM 的斜率分别为 k1, k2 , k3, k4 ，若 k1 k2 3 ，则 k3 k4 _______.
1
7
A． 2 B． 2 C．1 D． 2
6．将函数
f
(x)
2 sin( x
)
0,|
|
2
的图像向右平移
1 6
个单位长度后得到函数
y
g(x)
的图
像.如图是 y g(x) 的部分图像，其中 A, B 是其与 x 轴的两个交点，C 是其上的点， OA 1，且△ABC
【附加15套高考模拟】【全国百强校】浙江省杭州学军中学2020届高三下学期期末模拟卷(一)数学试题含答案
【全国百强校】浙江省杭州学军中学2020届高三下学期期末模拟卷（一）数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设点P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上异于长轴端点上的任意一点，12,F F 分别是其左右焦点，O 为中心，2212||3PF PF OP b +=，则此椭圆的离心率为（ ）A ．12 B．2 C． D．42．已知奇函数()f x 满足()()4f x f x =+，当()0,1x ∈时，()4xf x =，则()4log 184(f = )A ．3223-B ．2332 C ．34 D ．38-3．已知3412a b ==，则,a b 不可能满足的关系是（ ） A ．4a b +>B ．4ab >C ．22(1)(1)2a b -+->D ．223a b +< 4．在数列{}n a18a ==，则数列{}n a 的通项公式为 A ．()221n a n =+ B ．()41n a n =+C ．28n a n = D ．()41n a n n =+5．已知()f x 定义域为()0,∞+，()f x '为()f x 的导函数，且满足()()f x xf x '<-，则不等式()()()2111f x x f x +>--的解集是（ ）A ．()0,1B ．()1,+∞C ．()1,2D ．()2,+∞6．若sin sin 0αβ>>，则下列不等式中一定成立的( ) A ．sin2sin2αβ>B ．sin2sin2αβ<C ．cos2cos2αβ>D ．cos2cos2αβ< 7．已知'()f x 为函数()f x 的导数，且211()(0)'(1)2x f x x f x f e -=-+，若21()()2g x f x x x =-+，方程()0g ax x -=有且只有一个根，则a 的取值范围是（ ） A ．1e⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．1,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．1(,0]{}e -∞U8．已知O 为坐标原点，(1,2)M -，若点P 的坐标(,)x y 满足30x y x ⎧+⎨⎩„…，则|?1|z OM OP =+u u u u r u u u r的最大值是（ ） A ．5B ．6C ．7D ．89．将函数()2sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象向左平移6π个单位后得到函数()y g x =的图象，若函数()y g x =为偶函数，则函数()y f x =在[0,]2π的值域为（ ）A ．[1,2]-B ．[1,1]-C ．[3,2]D ．[3,3]-10．若双曲线2222:1x y C a b-= (0,0)a b >>的渐近线与圆22(3)1x y -+=无交点，则C 的离心率的取值范围为（ ）A ．(321,4) B ．(231,3) C ．(32,4)+∞ D ．(23,3)+∞11．已知函数()22ln ,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨--≤⎪⎩，若方程()1f x kx =+有四个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．14,25⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭ 12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．32163π-B ．16163π-C ．3283π-D ．1683π-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
浙江省杭州市学军中学2020届高三下学期6月模拟数学试题(含解析)
2020年6月学军中学模拟测试解析1.已知集合{A x y ==，{}1,0,1,2B =-，则()BA B ⋂=（ ）A.{}1,0,1-B.{}2C.{}1,0-D.{}1,22.焦点位于x的双曲线的渐近线方程为（ ）A.y x =±B.y =C. y =D.2y x =±3：已知实数x ，y 满足约束220,40,30,x y x y x y -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最大值是（ ）A.3B.4C.6D.104：已知某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积为（ ）A.360cmB.380cmC.3100cmD.3120cm5：已知函数()()sin 2f x x ϕ=+，则（ ）A.存在ϕ∈R ，使得()f x 是奇函数，且在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减 B.存在ϕ∈R ，使得()f x 是偶函数，且在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内单调递 C.存在ϕ∈R ，使得()f x 是奇函数，且在()0,π内单调递增D.存在ϕ∈R ，使得()f x 是偶函数，且在()0,π内单调递减6：已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“()1n n a a n *+<∈N ”是“()11n n S S n n n *+<∈+N ”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.设102p <<，随机变量ξ的分布如下表所示，则当p 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭内增大时，（ ）A.()E ξ先减少后增大B.()E ξ先增大后减少C.()D ξ先减小后增大D.()D ξ先增大后减小8：设1l ，2l 是平面α内所成角为6π的两条直线，过1l ，2l 分别作平面β，γ，且锐二面角1l αβ--的大小为4π，锐二面角2l αγ--的大小为3π，则平面β，γ所成的锐二面角的平面角的余弦值可能是（ ）B.8C.14D.139.已知0a >，记函数()()322311f x ax a x =+-+在区间[]0,5a 上的最大值和最小值分别为M ，N ，则（ ）A.当()0M f =时，()5N f a =；B.当()5M f a =时，()0N f =；C.当()0N f <时，()()05f f a >；D.当()5M f a >时，()()05f f a >.10：已知非零平面向量a ，b ，c .满足4a =，2b c =，且()()3a c b c -⋅-=，则a b -的最小值是（ ）A.3B.5C.2D.311.已知复数43z i =+（i 为虚数单位），则其共复数z =______，3z z z z-=⋅______.12.已知a ∈R 且0a >a>0，二项式52ax ⎛+ ⎝展开式中第二项与第四项的系数相等，则a =______，常数项是______.13.在锐角ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，3A π=，a =3c =，则b =______，sin sin B C +=______.14.若某四位数abcd 满足a b c d ⨯⨯≤，则称该四位数为“收敛四位数”，则所有“收敛四位数”的个数是______.（用数字作答）14.方法提供与解析：设末尾为n 时的排列数为()S n ，用,,a b c T 表示前3个数字分别为a ，b ，c 的排列数.15.已知0x >，设22134xy t x y y +=+-+，①当1y =时，t 的最大值为______.②当0y >时，t 的最大值为______.16：已知F ，A 分别是椭圆Γ：2212x y +=的左焦点和下顶点，()00,M x y 是椭圆Γ上位于第一象限内的点，点N 的坐标为010,y ⎛⎫⎪⎝⎭，若线段FM 上存在点H 同时满足FH AH =，0FH NH ⋅=，则00x y =______.17.已知在数列{}n a 中，()101a n *≤≤∈N，若对任意数列{}nb 满足nb=且1212k b b b ++⋅⋅⋅+=（k *∈N ），均1122k k a b a b a b λ++⋅⋅⋅+>成立，则实数λ的取值范围是______.18.已知函数()21sin 2sin cos 262f x x x x π⎛⎫=++- ⎪⎝⎭. （I ）求()f x 的单调区间；（II ）求()f x 在[]20,20-内的零点个数.19：如图，已知多面体EF ABCD -，其底面ABCD 是等腰梯形，且2222AB AD BC CD ====，DE ⊥平面ABCD ，//BD EF ，2BD EF =. （1）证明：平面ADE ⊥平面BDEF ；（2）若二面角C BF D --的大小为号，求CF 与平面ABCD 所成角的正弦值20：已知等比数列{}n a 的公比0q >，前n 项和为n S （n N *∈）.数列{}n b 是等差数列，且满足11a =，322a a =+，435a a b =+，5462a a b =+.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记()()2244321n n n b c n n S +=++⋅+，证明：当n N *∈时，12111212n n c c c c +++⋅⋅⋅++>. 21.已知抛物线E :()220y px p =>和直线l :40x y -+=，P 是抛物线E 上的点，且点P 到y 轴的距离与到直线l1- （1）求抛物线E 的方程；（2）设Q l ∈，过点Q 作抛物线E 的两条切线，切点分别记为A ，B ，抛物线E 在点P 处的切线与QA ，QB 分别交于M ，N 两点，求QMN △外接圆面积的最小值.22.已知函数()()ln x f x e x x =-.（Ⅰ）证明：函数()f x 仅有一个极值点；（Ⅱ）若不等式()()210f x a x x +++≤恒成立，求实数a 的最大值. 方法提供与解析：（杭州高航）（I ）解析：求导，证明导函数仅有一个零点，并且该零点就是极值点 答案：1.方法提供与解析：（集合运算）由题得[)1,A =+∞，所以{}1,2A B ⋂=，所以。
2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三下学期高考模拟英语试卷-学生用卷
2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三下学期高考模拟英语试卷-学生用卷一、阅读理解（本大题共10小题，每小题2.5分，共25分）1、【来源】 2020年浙江杭州下城区浙江省杭州高级中学高三下学期高考模拟（A篇）第21~23题7.5分2020年浙江嘉兴南湖区嘉兴市第一中学高三下学期高考模拟（A篇）第21~23题7.5分2020年浙江宁波海曙区宁波效实中学（白杨校区）高三下学期高考模拟（A篇）第21~23题7.5分2020年浙江杭州滨江区浙江省杭州第二中学高三下学期高考模拟（A篇）第21~23题7.5分2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三下学期高考模拟（A篇）第21~23题7.5分When it comes to the most refreshing Chinese YouTube figure of 2019, most people think of Li Ziqi, a Chinese vlogger whose videos focus on the beautiful scenery and the rural life in the Chinese countryside. With more than 7.5 million subscribers on YouTube, Li also has more than 1.9 million likes, and close to 3 million followers on her Facebook page. Experts from China claim that Li Ziqi is a better advocate for Chinese culture than the country's state media.Li's fans think it is the spirit of craftsmanship behind her works that makes Li's video clips attractive. She strictly follows the authentic traditional steps and procedures in making traditional Chinese food and handicrafts, such as peach flower wine and silk. Sometimes she spends several months producing one of the videos.Li Ziqi's videos are rather unique. Most of the videos have English titles to ensure better recommendations by the algorithms（计算程序）. In fact, most of her videos that are produced in a professional and delicate way involve very little speaking at all. Instead, they focus on the visual aspects, and the natural sounds of the landscape. Li's videos convey a more universal message. People can enjoy these videos with little or no background or knowledge about the country. Therefore, Li's videos can be enjoyed by many with different language backgrounds.(1) What can we learn about LiZiqi's video clips?A. They promote the sales of Chinese food and handicrafts.B. They present the culture of life in urban areas of China.C. The images and natural sounds in her videos rather than language work.D. They are false rather than honest records of local life in China in her fans' view.(2) What's the author's tone toward LiZiqi's video clips?A. PositiveB. NegativeC. NeutralD. Vague(3) What is the author's purpose in writing the passage?A. To provide guidance on cooking and making traditional handicrafts.B. To suggest a way of attracting more followers on YouTube.C. To give an example of how to gain worldwide popularity with short videos.D. To introduce LiZiqi's unique tricks of attracting audience.2、【来源】 2020年浙江杭州下城区浙江省杭州高级中学高三下学期高考模拟（B篇）第24~26题7.5分2020年浙江嘉兴南湖区嘉兴市第一中学高三下学期高考模拟（B篇）第24~26题7.5分2020年浙江杭州滨江区浙江省杭州第二中学高三下学期高考模拟（B篇）第24~26题7.5分2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三下学期高考模拟（B篇）第24~26题7.5分2020年浙江宁波海曙区宁波效实中学（白杨校区）高三下学期高考模拟（B篇）第24~26题7.5分China has passed its peak of the COVID-19 outbreak, with new cases trickling down to single digits and overall epidemic（流行病） situation improving. The order of life and production is being restored at an increasing pace.However, it gets worse abroad. The number of confirmed coronavirus cases in the U.S surged to 13, 350 on Sunday and 188 Americans have died. The economy is taking a hit, such as the New York Stock Exchange and airline business. "We started seeing very sharp declines, "Gary Kelly, the CEO of Southwest Airlines, said onCNBC wecks ago, " It has a 9/11-like feel. "In China, to contain the spread of the novel coronavirus, China has launched a people's war against the epidemic, adopting the strictest and most thorough measures. Foreign countries are also joining in China's efforts to combat the epidemic.Whereas, the USA president Trump previously said at the start of a business roundtable in New Delhi, "a problem that's going to go away." He also heaped praise on Chinese President Xi Jinping in dealing with the pneumonia（肺炎）—like disease. Director of Harvard Global Health Institute Ashish Jha warned thatthe epidemic is the most possible cause that can accidentally kill millions of Americans, but also the one that sees the least preparation.Chinese Ambassador to the United Kingdom Liu Xiaoming said that since the outbreak of the coronavirus, China has donated masks and supplies, for example to Iran and Italy, Japan and South Korea. It has engaged in global cooperation and shared information in a timely manner with the world, including the USA, on the genetic sequence of the virus and on vaccine development. United Nations Secretary-General Antonio Guterres on Monday praised China's contribution, noting that Chinese people are making efforts for all of humanity. Liu said, "We have been open, transparent and responsible in tackling the virus because we believe in a community with a shared future for mankind."(1) Why did Gary Kelly said"It has a 9/11-like feel" in the second paragraph?A. Both the two events are related to flights.B. People don't dare to take planes during the outbreak.C. The outbreak of novel coronavirus has caused huge losses.D. The terror caused by novel coronavirus hangs over the USA.(2) According to the fourth paragraph,.A. Trump comforted China that the disease would soon be killed.B. America defeated the disease with ease at the early stage.C. Trump made reasonable remarks on China's efforts against the virus.D. America didn't previously intend to get ready for the infectious disease.(3) Readers may conclude that probably makes China worthy of praise most, in dealing with the crisis.A. being cooperative with other countriesB. being humanitarian to the whole worldC. being quick-minded with effective measuresD. being generous in sharing medical treatments3、【来源】 2020年浙江宁波海曙区宁波效实中学（白杨校区）高三下学期高考模拟（C篇）第27~30题10分2020年浙江杭州下城区浙江省杭州高级中学高三下学期高考模拟（C篇）第27~30题10分2020年浙江嘉兴南湖区嘉兴市第一中学高三下学期高考模拟（C篇）第27~30题10分2020年浙江杭州滨江区浙江省杭州第二中学高三下学期高考模拟（C篇）第27~30题10分2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三下学期高考模拟（C篇）第27~30题10分NOT that long ago, the world wondered whether clean energy could survive without government support. Now the question is how far it can spread. The number of electric vehicles, which was about l million in 2015, last year reached 2 million. In electricity generation, too, trend is with the greens. In the first half of this year wind, solar and hydro generated a record 35% of Germany's power.Greater success is breeding greater ambition. California is proposing to reach 60% renewable energy by 2030; 176 countries have clean-energy goals. Hawaii, America's most oil-dependent state, has promised to be 100% renewable by the middle of the century. So have 48 poor countries vulnerable to climate change. This week the number of multinationals making a commitment to running their operations on 100% renewable energy rose to 100.But not every target is helpful. To see why, consider that goal of 100% renewable energy. It makes solving climate change seem easy. In fact, though wind and solar can generate the whole country's electricity some day, renewables still account for less than 8% of the world's total power output. Moreover, cleaning up electricity is only part of the battle. Even though gas-fired heating and cooking can be at least as big a source of greenhouse-gas emissions, renewable heating gets little attention. Transport policy is unpredictable, too. Carmakers may hit their goal of annual sales of 10 million electric vehicles in a decade, but battery-powered road transport, shipping and aviation are dreams. A much-quoted claim that America could rely on wind, solar and hydro alone for its electricity has recently been bitterly criticized by a group of respected academics.Most importantly, a 100% renewables target confuses means with ends. The priority for the planet is to stop net emissions（净排放量） of greenhouse gases, especially carbon dioxide. Putting too much emphasis on wind, solar and other renewables may block off better carbon-reduction paths. After decades of investment, it is wrong to leave nuclear power off the table. Carbon emissions in Germany actually rose because it chose to TAL#NBSP phase out nuclear power gradually and so burned more coal. New technologies, such as "direct air capture" systems designed to separate carbon dioxide from the air, may in time prove vital. Likewise, greater energy efficiency could reduce emissions by even more than using renewables would.(1) It can be inferred from the passage that.A. the problem of climate change will be solved by using 100% renewable energyB. with new technologies, Germany successfully cut down carbon emissionsC. it is probable that ships will one day be powered by batteryD. America is not likely to completely rely on wind, solar and hydro energy one day(2) According to the passage, carbon emissions may be reduced by.A. promoting energy efficiencyB. blocking off carbon-reduction pathsC. using non-renewable heatingD. abandoning electric vehicles(3) The underlined phrase "phase out" in the last paragraph is closest in meaningto.A. ignoreB. reduceC. useD. invent(4) In which column can this passage be read?A. FashionB. PoliticsC. EconomyD. Education二、七选五（本大题共5小题，每小题2分，共10分）4、【来源】 2020年浙江杭州滨江区浙江省杭州第二中学高三下学期高考模拟第31~35题10分2020年浙江杭州下城区浙江省杭州高级中学高三下学期高考模拟第31~35题10分2020年浙江嘉兴南湖区嘉兴市第一中学高三下学期高考模拟第31~35题10分2020年浙江宁波海曙区宁波效实中学（白杨校区）高三下学期高考模拟第31~35题10分2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三下学期高考模拟第31~35题10分Figures published by the UK government in 2006 revealed that: 42% of marriages in the UK end in divorce; 24% of children grow up in single-parent families; the average number of children in a British family is 1.9.1Is it an endangered species?With the average number of children in a British family falling beneath an average of 2.0, the population of the UK has been falling for quite a few years. The size of the British workforce is declining and the average age of the workforce is rising.2Why aren't the British having as many children as they used to?3One of them is that British people are now having their children at a much older age than previously, meaning they have fewer years in which they can have children.4Well, houses are incredibly expensive in the UK, so many people are forced to stay with their parents early in their careers. And no one wants to start a new family when they are still living with their parents! So it's not until people are about 30 years old that they can afford to move out, buy their own home, and then they can start to think about settling down and having children.So what is Britain doing to try and save the British family?5There have been increases in Child Benefit money families can claim from the state. Also, there is an increasing amount of government subsidy（补贴） for nursery schools, so that parents do not need to pay so much for childcare. In addition, there are now laws allowing parents to take more time off work so that they can look after their children themselves rather than having to pay others to do it.A. Well, there is a whole range of reasons.B. So what is happening to the British family?C. What about marriage and buying a home?D. This trend is quite worrying for the British economy.E. It's a bad "work-life balance" and is damaging British society.F. First of all, the government is trying to make it cheaper to have children.G. The main reason is that it is relatively expensive to bring up a child in the UK.三、完形填空（本大题共20小题，每小题1.5分，共30分）5、【来源】 2020年浙江嘉兴南湖区嘉兴市第一中学高三下学期高考模拟第36~55题30分2020年浙江杭州滨江区浙江省杭州第二中学高三下学期高考模拟第36~55题30分2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三下学期高考模拟第36~55题30分2020年浙江宁波海曙区宁波效实中学（白杨校区）高三下学期高考模拟第36~55题30分2020年浙江杭州下城区浙江省杭州高级中学高三下学期高考模拟第36~55题30分Finally, I entered the institution. Because of my careful1, I did not have to work during the school year. Then, summer came and it was timeto2harder than ever. I continued working as a waitress atnight,3tennis camps several mornings a week and worked as a secretary for a few hours in the afternoons. Being a little4, I also decided to take a class at a community college. This class at the community college saved me ＄650. It wasa(n)5summer and made me anxious to return tomy6easy life at college.During my second and third years of undergraduate schooling, I madea(n)7to work about five hours weekly in the campus admissions office answering phones. This provided a little extra money and8me from spending my savings. The overall situation looked hopeful as I9my senior year as long as I could make as much money as I had the10summer. I wanted to go to Israel to study for 3 weeks, but I11in making this decision because it would cost me ＄1, 600 more to get the credits in Israel. About two weeks later my Mom called to tell me that I had ＄1, 600 in the bank that I had forgotten about! One of my12about this trip was not only the cost, but the13of time to makemoney;14, I made as much that summer in the ten weeks when I was at home as I had made during the fourteen weeks when I was at home the summer before. The way everything worked together to make this trip15was one of themost16things that have ever happened to me.This experience has17me in many important ways. The first thing that I learned was the importance of a strong work principle. Working long hours did a lot to influence my character and helped me learn the18of a dollar. It also made me learn howto19creative solutions to difficult dilemmas.Whenever I am overwhelmed or afraid of the future, I can remember my ＄64,26820.A. effortsB. savingsC. comparisonD. forecastA. workB. studyC. researchD. relaxA. joinedB. practicedC. attendedD. instructedA. ambitiousB. contentC. desperateD. anxiousA. fruitfulB. unforgettableC. exhaustingD. delightfulA. completelyB. relativelyC. deliberatelyD. necessarilyA. attemptB. proposalC. decisionD. pointA. keptB. bannedC. discouragedD. protectedA. endedB. changedC. passedD. approachedA. formerB. previousC. comingD. latterA. succeededB. delayedC. hesitatedD. believedA. accountsB. threatsC. disadvantagesD. concernsA. wasteB. gainC. limitD. lossA. howeverB. thereforeC. besidesD. alsoA. successfulB. possibleC. availableD. uniqueA. importantB. disappointingC. excitingD. fundamentalA. shapedB. involvedC. fascinatedD. guaranteedA. useB. expectationC. valueD. processA. stick withB. reflect onC. take upD. work outA. incomeB. wonderC. dreamD. target四、语法填空（本大题共10小题，每小题1.5分，共15分）6、【来源】 2020年浙江杭州滨江区浙江省杭州第二中学高三下学期高考模拟第56~65题15分2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三下学期高考模拟第56~65题15分2020年浙江宁波海曙区宁波效实中学（白杨校区）高三下学期高考模拟第56~65题15分2020年浙江杭州下城区浙江省杭州高级中学高三下学期高考模拟第56~65题15分2020年浙江嘉兴南湖区嘉兴市第一中学高三下学期高考模拟第56~65题15分The fireworks are being prepared. The red envelopes1（fill）. And around the world, hundreds of millions of people are comingtogether2（celebrate）the Chinese New Year. Across theUK,3（lantern）are being hung in Manchester, Liverpool, Nottingham and many of our other great cities, including here in London, home to oneof4（big）Chinese New Year celebrations outside Asia. The festivitiesare5（undoubted）one of the highlights of Britain's cultural calendar, showcasing the6（strong）, vibrancy and diversity of our multicultural society. And they are7reminder of the incredible role that our Chinese community plays in British life—from students who have just arrived here tostudy,8families whose roots in this country go back well over a century. It is a legacy and a contribution that I celebrated here at Downing Street lastweek,9（bring）together leading figures from across our Chinese community, people without10the UK would not be the successful, dynamic country it is today. So wherever and however you are celebrating, let me wish you a very happy new year, and a prosperous and auspicious year of the Pig.五、应用文写作（本大题共1小题，共15分）7、【来源】 2020年浙江宁波海曙区宁波效实中学（白杨校区）高三下学期高考模拟第66题15分2020年浙江嘉兴南湖区嘉兴市第一中学高三下学期高考模拟第66题15分2020年浙江杭州下城区浙江省杭州高级中学高三下学期高考模拟第66题15分2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三下学期高考模拟第66题15分2020年浙江杭州滨江区浙江省杭州第二中学高三下学期高考模拟第66题15分假如你是李华，寒假在伦敦学习，得知伦敦市政府在社区招募防疫志愿者。
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【全国百强校】浙江省杭州市学军中学2020届高三下学期第三次月考数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 是四边形ABCD 的中心，关于直线A 1O ，下列说法正确的是（ ） A ．A 1O ∥DCB ．A 1O ⊥BC C ．A 1O ∥平面BCD D ．A 1O ⊥平面ABD2．已知()2sin()f x x ωϕ=+同时满足下列三个条件： ①()()124f x f x -=时，12x x -的最小值为2π②3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是偶函数：③(0)6f f π⎛⎫>⎪⎝⎭若()f x 在[0,)t 有最小值，则实数t 的取值范围可以是（ ）A ．0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．,63ππ⎛⎤⎥⎝⎦ D ．;32ππ⎛⎤⎥⎝⎦3．函数()()sin 02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，的最小正周期是π，若其图象向左平移3π个单位后得到的函数为偶函数，则函数()f x 的图象（ ）A ．关于点012π⎛⎫⎪⎝⎭，对称 B ．关于直线12x π=对称C ．关于点06π⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称 D ．关于直线6x π=对称4．如图，在正方形网格纸上，粗实线画出的是某多面体的三视图及其部分尺寸.若该多面体的顶点在同一球面上，则该球的表面积等于（ ）A ．8πB ．18πC ．24πD ．86π5．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AD 为角A 的角平分线，交BC 于D ，4B π=，22AD =，2BD =，则b =（ ）A ．22B ．2C ．3D ．66．已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若sin 2sin a B b C =，3b =，1cos 4B =，则ABC △的面积为（ ）A ．915B ．91516C ．31516D ．9167．已知点(0,0)O ，(1,3)A -，(2,4)-B ，OP OA mAB =+.若点P 在y 轴上，则实数m 的值为（ ） A ．13B ．14C ．15D ．168．已知双曲线2222:10,0()x y C a b a b-=>>的左、右顶点分别为12A A 、，点P 是双曲线C 上与12A A 、不重合的动点，若123PA PA k k =， 则双曲线的离心率为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．29．已知命题p ：x R ∀∈，22log (23)1x x ++>；命题q ：0x R ∃∈，0sin 1x >，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ⌝∧⌝B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ∧10．已知0a >且1a ≠，则函数()()2ln f x x a x =-（ ） A ．有极大值，无极小值 B ．有极小值，无极大值 C ．既有极大值，又有极小值 D ．既无极大值，又无极小值 11．已知向量，满足，，且，与的夹角为（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知函数()sin 3cos f x x x =+，先将()f x 图象上所有点的横坐标缩小到原来的12（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平移()0θθ>个单位长度，得到的图象关于y 轴对称，则θ的最小值为（ ）A ．6πB ．3πC ．512πD ．712π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动，点B 恰好经过原点.设顶点(,)P x y 的轨迹方程是()y f x =，则对函数()y f x =有下列判断：①函数()y f x =是偶函数；②对任意的x ∈R ，都有(2)(2)f x f x +=-；③函数()y f x =在区间[2,3]上单调递减；④函数()y f x =的值域是[0,1]；⑤21()2f x dx π+=⎰.其中判断正确的序号是__________．14．大厦一层有A ，B ，C ，D 四部电梯，3人在一层乘坐电梯上楼，其中2人恰好乘坐同一 部电梯，则不同的乘坐方式有__________种(用数字作答). 15．已知函数()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，在(0,)+∞上单调递减，且(4)0f =，若(3)0f x -≤，则x 的取值范围为 __________．16．在921()2x x -的展开式中，常数项为_____；系数最大的项是_____．三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆的面积为S ，且sin 22bc A S =.求角A 的值；若3a c =，求ab 的值18．（12分）如图，在三棱锥S-ABC 中，SA ⊥底面ABC ，AC=AB=SA=2，AC ⊥AB ，D ，E 分别是AC ，BC 的中点，F 在SE 上，且SF=2FE.求异面直线AF 与DE 所成角的余弦值；求证：AF ⊥平面SBC ；设G 为线段DE 的中点，求直线AG 与平面SBC 所成角的余弦值。
19．（12分）已知椭圆C ：221189x y +=的短轴端点为1B ，2B ，点M 是椭圆C 上的动点，且不与1B ，2B 重合，点N 满足11NB MB ⊥，22NB MB ⊥.求动点N 的轨迹方程；求四边形21MB NB 面积的最大值.20．（12分）以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的参数方程为，曲线的极坐标方程为求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；若把曲线上给点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标伸长为原来的倍，得到曲线，设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最大值.21．（12分）为了调查一款电视机的使用时间，研究人员对该款电视机进行了相应的测试，将得到的数据统计如下图所示：并对不同年龄层的市民对这款电视机的购买意愿作出调查，得到的数据如下表所示：（1）根据图中的数据，试估计该款电视机的平均使用时间；（2）根据表中数据，判断是否有99．9％的把握认为“愿意购买该款电视机”与“市民的年龄”有关；若按照电视机的使用时间进行分层抽样，从使用时间在[0，4）和[4，20]的电视机中抽取5台，再从这5台中随机抽取2台进行配件检测，求被抽取的2台电视机的使用时间都在[4，20]内的概率.22．（10分）选修4-5：不等式选讲 设，且，记的最小值为.求的值，并写出此时，的值；解关于的不等式：. 参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C 2．D 3．A 4．C 5．A 6．B 7．A 8．D 9．A 10．C 11．B 12．C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．①②⑤ 14．3615．13x -≤<或7x ≥16．212-39x三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）3π；（23【解析】 【分析】（1）利用三角形面积公式与二倍角正弦公式可得1cos 2A =，从而可得结果； （2）利用余弦定理结合3a c =，可得223320b ab a -=，从而可得结果. 【详解】 （1）sin22sin bc A S bc A ==，2sin cos sin A A A ∴=，0A π<<,sin 0A ≠1cos 2A ∴=，0A π<<，3A π∴=. （2）由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-.即2223312332a b a b a ⎛⎫=+-⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭，化简得223320b ab a --=， ()()3320b ab a ∴+-=，32b a ∴=，即32a b =.【点睛】此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键． 18．（Ⅰ）33；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）105. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由题意可知DE ∥AB ，故∠FAB 或其补角为异面直线AF 与DE 所成角； （Ⅱ）由（I ）知AF ⊥SE ，易证BC ⊥AF ，从而AF ⊥平面SBC ；（Ⅲ）延长AG 交BC 于P 点，连结PF. 由（II ）知AF ⊥平面SBC ，所以PF 为AP 在平面SBC 上的投影，故∠APF 即为直线AG 与平面SBC 所成角 【详解】 解（I ）.连结BF.在△ABC 中，D ，E 分别是AC ，BC 的中点， ∴DE ∥AB ，∴∠FAB 或其补角为异面直线AF 与DE 所成角由AC=AB=SA=2，AC ⊥AB ，E 是BC 的中点，得2 ∵SA ⊥底面ABC ，∴SA ⊥AE. 在Rt △SAE 中，6，可得23AF =∵SA ⊥底面ABC ，∴.SA ⊥BC ，又BC ⊥AE ， ∴BC ⊥平面SAE ，∴BC ⊥SE ，∵13EF SE BE ===∴∴即异面直线AF 与DE 所成角的余弦值。
（II ）.由（I ）知，∴AF ⊥SE.∵BC ⊥平面SAE ，所以BC ⊥AF. 又SE BC=E ，.AF ⊥平面SBC. （III ）.延长AG 交BC 于P 点，连结PF.由（II ）知AF ⊥平面SBC ，∴PF 为AP 在平面SBC 上的投影， ∴∠APF 即为直线AG 与平面SBC 所成角 ∵G 为线段DE 的中点， ∴CP=2PE ，又SF=2FE ， .∴,即直线AG 与平面SBC 所成角的余弦值为【点睛】本题考查空间几何图形中线面关系的平行或垂直的证明及空间角的计算，考查空间想象能力，属于中档题．19．（Ⅰ）()2210992y x x +=≠；（Ⅱ）2. 【解析】 【分析】（Ⅰ）设(),N x y ，()()000,0M x y x ≠，结合垂直关系设出两直线的方程，相乘即可得到动点N 的轨迹方程；（Ⅱ）利用根与系数的关系表示四边形21MB NB 面积，转求函数最值即可.【详解】（Ⅰ）法一：设(),N x y ，()()000,0M x y x ≠，11,MB NB ⊥ 22MB NB ⊥∴直线010:33x NB y x y +=-+ ① 直线020:33x NB y x y -=-- ② ⨯①②得22202099x y x y -=- 又22001189x y +=， 2022221819929o y y x xy ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴-==--，整理得点N 的轨迹方程为()2210992y x x +=≠ 法二：设(),N x y ，()()000,0M x y x ≠，11,MB NB ⊥ 22MB NB ⊥∴直线010:33x NB y x y +=-+ ① 直线020:33x NB y x y -=-- ② 由①,②解得：2010109y x x y y⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，又22001189x y +=，012x x ∴=-故01012x x y y =-⎧⎨=-⎩，代入22001189x y +=得22111992y x +=. ∴点N 的轨迹方程为()2210992y x x +=≠ 法三：设直线()1:30MB y kx k =-≠，则直线11:3NB y x k=-- ① 直线1MB 与椭圆22:1189x y C +=的交点M 的坐标为22212632+12+1k k k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，.则直线2MB 的斜率为22226332+112+1221MB k k k k k k --==-. ∴直线2:23NB y kx =+ ②由① ②解得:点N 的轨迹方程为：()2210992y x x +=≠ （Ⅱ）法一：设()11N x y ,，()()000,0M x y x ≠由（Ⅰ）法二得：012x x =- 四边形21MB NB 的面积()1212013322S B B x x x =+=⨯， 20018x <≤，∴当2018x =时，S 的最大值为2722. 法二：由（Ⅰ）法三得：四边形21MB NB 的面积()1212M N S B B x x =+= 222126542+12+12+13k k k k k k ⎛⎫+= ⎪⨯⎝⎭ 54272122k k=≤+ 当且仅当22k =时，S 取得最大值2722. 【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围． 20．（1） ，；（2）【解析】 【分析】（1）消去参数t 可得直线l 的普通方程,由极坐标与直角坐标互化公式得曲线C 1的直角坐标方程； （2）根据坐标变换公式得曲线C 2的参数方程，再根据点到直线的距离公式以及三角函数的性质可得最大值． 【详解】 （1）由（t 为参数），得，即.故直线的普通方程是.由，得，即.代入得.故曲线的直角坐标方程是.（2）曲线的直角坐标方程化为参数方程是（为参数），若把曲线上各点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标伸长为原来的倍，得到的曲线的参数方程（为参数）. 由点到直线的距离公式得，点到直线的距离是，其中.当时，取得最大值，且最大值为.【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标的互化，直角坐标与参数方程的互化，也考查了点到直线的距离公式求最值，属于中档题．21．（1）7.76；（2）有99.9%的把握认为“愿意购买该款电视机”与“市民的年龄”有关；（3）35. 【解析】 【分析】（1）所求平均数为20.260.36100.28140.12180.04⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，计算可得结果；（2）根据所给数据完善列联表，利用公式求得()222000800600200400333.33100010001200800K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，与邻界值比较，即可得到结论；（3）根据分层抽样方法，求出每个层次应抽取的人数，应用列举法求出总事件个数，再求出符合条件的事件数，利用古典概型概率公式可得结果. 【详解】（1）依题意，所求平均数为20.260.36100.28140.12180.04⨯+⨯+⨯+⨯+⨯0.4 2.16 2.8 1.680.727.76=++++=.（2）依题意，完善表中的数据如下所示：愿意购买该款电视机 不愿意购买该款电视机 总计 40岁以上 800 200 1000 40岁以下 400 600 1000 总计12008002000故()222000800600200400333.3310.828100010001200800K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯；故有99.9%的把握认为“愿意购买该款电视机”与“市民的年龄”有关.（3）依题意，使用时间在[)0,4内的有1台，记为A ，使用时间在[]4,20内的有4台，记为a,b,c,d ，则随机抽取2台，所有的情况为（A ，a ），（A ，b ），（A ，c ），（A ，d ），（a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（b ，c ），（b ，d ），（c ，d ），共10种，其中满足条件的为（a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（b ，c ），（b ，d ），（c ，d ），共6种， 故所求概率63105P ==. 【点睛】本题主要考查独立性检验的应用、分层抽样以及古典概型概率公式的应用，属于难题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先11(,)A B ，12(,)A B ….1(,)n A B ，再21(,)A B ，22(,)A B …..2(,)n A B 依次31(,)A B 32(,)A B ….3(,)n A B … 这样才能避免多写、漏写现象的发生.22．（1）答案见解析；（2）【解析】 【分析】(1)由题意结合均值不等式的结论求解M 的值和满足题意时的a,b 值即可； (2)结合(1)的结果分类讨论求解绝对值不等式即可. 【详解】 因为，所以，根据均值不等式有，当且仅当， 即时取等号，所以M 的值为 当时，原不等式等价于，解得；当时，原不等式等价于， 解得；当时，原不等式等价于，解得；综上所述原不等式解集为． 【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．高考模拟数学试卷广东省茂名市 数学试题（理）本试卷分选择题和非选择题两部分，满分l50分，考式时间l20分钟。