角平分线习题精选(专题)
【中考数学必备专题】几何辅助线大揭秘 之角平分线问题(含答案)
【中考数学必备专题】几何辅助线大揭秘之角
平分线问题
一、证明题(共3道，每道40分)
1.已知，如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F.求证：点F在∠DAE的平分线上.
答案：∵BF是∠CBD的平分线∴FG=FI ∵CF是∠BCE的平分线∴FH=FI ∴FG=FH ∴点F在∠DAE的平分线上
解题思路：过F作FG⊥AD于点G，FH⊥AE于点H，FI⊥BC于点I，如图只要证明FG=FH即可
试题难度：三颗星知识点：三角形角平分线
2.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，∠B=2∠C.求证：AC=AB+BD.
答案：∵AD是∠BAC的平分线∴∠BAD=∠EAD 在△ABD和△AED中AB=AE ∠BAD=∠EAD AD=AD ∴△ABD≌△AED（SAS）∴BD=ED，∠B=∠AED ∵∠AED=∠B=2∠C ∴∠CDE=∠AED ﹣∠C=∠C ∴DE=CE ∴BD=CE ∵AC=AE+CE ∴AC=AB+BD
解题思路：在AC上截取AE=AB，连接DE，如图只要证明BD=CE即可
试题难度：三颗星知识点：三角形角平分线
3.已知：如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，AD⊥BE，垂足为点D.求证：∠BAD=∠DAE+∠C.
答案：∵BE平分∠ABC，AD⊥BE ∴△ABF为等腰三角形（三线合一）∴∠BAD=∠BFD ∵∠BFD 为△ACF的外角∴∠BFD=∠DAE+∠C ∴∠BAD=∠DAE+∠C
解题思路：延长AD与BC交于点F，如图只要证明∠BFD=∠BAD即可
试题难度：三颗星知识点：三角形角平分线。
专题07 角的平分线性质(专题测试)(解析版)
专题07 角的平分线性质专题测试学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（共12小题，每题4分，共计48分）1．（2018春 榆林市期末）如图，AD 是ABC V 的角平分线，DF AB ⊥，垂足为F ，DE DG =，ADG V 和AED V 的面积分别为60和35，则EDF V 的面积为( )A.25B.5.5C.7.5D.12.5【答案】D【详解】如图，过点D 作DH AC ⊥于H ，AD Q 是ABC V的角平分线，DF AB ⊥， DF DH ∴=，在Rt ADF V 和Rt ADH V 中，AD AD DF DH=⎧⎨=⎩， Rt ADF V ∴≌()Rt ADH HL V ，Rt ADF Rt ADH S S ∴=V V ，在Rt DEF V 和Rt DGH V 中，DE DG DF DH =⎧⎨=⎩Rt DEF ∴V ≌()Rt DGH HL V ，Rt DEF Rt DGH S S ∴=V V ，ADG QV 和AED V 的面积分别为60和35，Rt DEF Rt DGH 35S 60S ∴+=-V V ，Rt DEF S ∴V =12.5，故选D ．【名师点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记掌握相关性质、正确添加辅助线构造出全等三角形是解题的关键．2．（2018春 天津市期中）如图，△ABC 的三边AB ，BC ，CA 长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC 分为三个三角形，则S △ABO ：S △BCO ：S △CAO 等于（ ）A ．1：1：1B ．1：2：3C ．2：3：4D ．3：4：5【答案】C【详解】 本题主要考查三角形的角平分线。
三角形三条角平分线的交点为三角形的内心，即本题中O 点为△ABC 的内心，则O 点到△ABC 三边的距离相等，设距离为r ，有S △ABO = 12×AB×r，S △BCO = 12×BC×r，S △CAO = 12×CA×r，所以S △ABO :S △BCO :S △CAO =AB:BC:CA=20:30:40=2:3:4.故答案选C.【名师点睛】本题考查的知识点是三角形的角平分线中线和高，解题的关键是熟练的掌握三角形的角平分线中线和高.3．（2017春 商丘市期中）如图，△ABC 中，AD 为△ABC 的角平分线，BE 为△ABC 的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是（ ）A ．59°B ．60°C ．56°D ．22°【答案】A【详解】 在△ABC 中，∠C =70°,∠ABC =48°，则∠CAB =62°，又AD 为△ABC 的角平分线，∠1=∠2=62°÷2=31°又在△AEF 中，BE 为△ABC 的高∴∠EFA =90°−∠1=59°∴∠3=∠EFA =59°4．（2018出 南阳市期末）如图，∠AOB 是平角，∠AOC=50°，∠BOD =60°，OM 平分∠BOD ，ON 平分∠AOC ，则∠MON 的度数是（ ）A.135°B.155°C.125°D.145°【答案】C【详解】 解：∵∠AOC+∠COD+∠BOD=180°，∴∠COD=180°-∠AOC-∠COD=70°，∵OM 、ON 分别是∠AOC 、∠BOD 的平分线，∴∠MOC=12∠AOC=25°，∠DON=12∠BOD=30°，∴∠MON=∠MOC+∠COD+∠DON=125°，故选：C ．【名师点睛】本题考查角度计算，解题的关键是熟练利用角分线的性质，本题属于基础题型．5．（2018春 徐州市期末）如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,BD 是∠ABC 的平分线,AD=20,则BC 的长是 ( )A.20 C.30 D.10 【答案】D【详解】在Rt △ABC 中 由于∠A=30°,因此∠ABC=60°；因为BD 是∠ABC 的角平分中线,所以∠ABD=∠DBC=30°,因此三角形ADB 为等腰三角形,BD=AD=20在直角三角形DCB 中,DC=12BD 根据勾股定理,BD²=DC²+BC²=(12BD)²+BC²,所以BC=10故选：D【名师点睛】本题考核知识点：角平分线、等腰三角形、直角三角形.解题关键点：熟记直角三角形性质、等腰三角形性质.6．（2018春 信阳市期末）如图，在▱ABCD 中，已知AD 15cm =，AB 10cm =，AE 平分BAD ∠交BC 于点E ，则CE 长是( )A.8cmB.5cmC.9cmD.4cm【答案】B【详解】解：Q四边形ABCD是平行四边形，AD BC，∴==，//AD BC cm15∠交BC于点E，AEQ平分BAD∴∠=∠，DAE EABQ，//AD BC∴∠=∠，DAE AEB∴∠=∠，EAB AEB∴==，10AB BE cm()∴=-=-=．EC BC BE cm15105故选：B．【名师点睛】=是解题关键．此题主要考查了平行四边形的性质以及角平分线的定义，正确得出AB BE7．（2018春商丘市期末）如图，已知点O在直线AB上，∠COE=90°，OD平分∠AOE，∠COD=25°，则∠BOD的度数为（）A．100° B．115° C．65° D．130°【答案】B【解析】∵∠COE=90°，∠COD=25°，∴∠DOE=90°﹣25°=65°，∵OD平分∠AOE，∴∠AOD=∠DOE=65°，∴∠BOD=180°﹣∠AOD=115°，故选：B．8．（2018春芜湖市期末）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB 于点D，交AC于点E．若BD=4，DE=7，则线段EC的长为（）A.3B.4C.3.5D.2【答案】A【详解】∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，∴∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠BCF，∵DF∥BC，交AB于点D，交AC于点E．∴∠DFB=∠DBF，∠CFE=∠BCF，∴BD=DF=4，FE=CE，∴CE=DE-DF=7-4=3．故选A．【名师点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质平行线段性质的理解和掌握，关键利用两直线平行内错角相等．9．（2018春石家庄市期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，若∠BOC＝70°，则∠COE的度数是（）A．110°B．120°C．135°D．145°【答案】D【详解】∵∠BOC＝70°，∴∠AOD＝∠BOC＝70°．∴∠AOC＝180°﹣70°＝110°，∵OE平分∠AOD，∴∠AOE＝12∠AOD＝12×70°＝35°．∴∠COE＝∠AOC+∠AOE＝110°+35°＝145°，故选：D．【名师点睛】此题考查角的计算，角的平分线是中考命题的热点，常与其他几何知识综合考查．10．（2018春西安市期末）如图，AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1=50°，则∠2的度数是（）A．50o B．60o C．70o D．80o【答案】D【详解】∵AB∥CD∴∠ABC=∠1=50°，∠ABD+∠BDC=180°，∵BC平分∠ABD，∴∠ABD=2∠ABC=100°，∴∠BDC=180°-∠ABD=80°，∴∠2=∠BDC=80°．故选：D．【名师点睛】本题考查的是平行，熟练掌握平行的性质和角平分线的性质是解题的关键.11．（2018春恩施市期末）长方形如图折叠，D点折叠到D′的位置，已知∠D′FC＝40°，则∠EFC＝（）A.120°B.110°C.105°D.115°【答案】B【详解】根据翻折不变性得出，∠DFE=∠EFD′，∵∠D′FC=40°，∠DFE+∠EFD′+∠D′FC=180°，∴2∠EFD′=180°-40°=140°，∴∠EFD′=70°，∴∠EFC=∠EFD′+∠D′FC=70°+40°=110°．故选：B．【名师点睛】此题考查了角的计算和翻折变化，掌握长方形的性质和翻折不变性是解题的关键．12．（2019春周口市期末）已知∠BOC＝60°，OF平分∠BOC.若AO⊥BO，OE平分∠AOC，则∠EOF的度数是( )A．45°B．15°C．30°或60°D．45°或15°【答案】A【详解】如图1，由AO⊥BO，得∠AOB＝90°，由角的和差，得∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝150°，∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，∴∠COE＝12∠AOC＝12×150°＝75°，∠COF＝12∠BOC＝12×60°＝30°，由角的和差，得∠EOF＝∠COE－∠COF＝75°－30°＝45°；如图2，由AO ⊥BO ，得∠AOB ＝90°，由角的和差，得∠AOC ＝∠AOB －∠BOC ＝30°，∵OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOC ，∴∠COE ＝12∠AOC ＝12×30°＝15°，∠COF ＝12∠BOC ＝12×60°＝30°， 由角的和差，得∠EOF ＝∠COE ＋∠COF ＝15°＋30°＝45°，故选A.【名师点睛】本题考查了垂线，利用了垂线的定义，角平分线的定义，角的和差，正确地进行分类讨论、准确画出图形是解题的关键.二、填空题（共5小题，每小题4分，共计20分）13．（2018春 常州市期中）如图，在△ABC 中，AF 平分∠BAC ，AC 的垂直平分线交BC 于点E ，∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C=______度．【答案】24【详解】∵DE 是AC 的垂直平分线,∴EA=EC ，∠EAC=∠C,∴∠FAC=∠FAE+∠EAC=19°+∠EAC ，∵AF 平分∠BAC ，∴∠FAB=∠FAC.在△ABC中,∠B+∠C+∠BAC=180°所以70°+∠C+2∠FAC=180°，∴70°+∠EAC+2×(19°+∠EAC)=180° ，∴∠C=∠EAC=24°，故本题正确答案为24.【名师点睛】本题主要考查角平分线和垂直平分线的性质、三角形内角和等于180度的应用、角的概念及其计算. 14．（2016春西安市期末）如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC=130°，∠C=30°，则∠DAE的度数是__________.【答案】5°【详解】∵AD⊥BC，∠C=30°，∴∠CAD=90°-30°=60°，∵AE是△ABC的角平分线，∠BAC=130°，∴∠CAE=12∠BAC=12×130°=65°，∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=65°-60°=5°．故答案为：5°．【名师点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线，高线的定义，准确识图，找出各角度之间的关系并求出度数是解题的关键．15．（2017春扬州市期末）如图，AB、CD相交于点O，OE是∠AOC的平分线，∠BOD＝70°，∠EOF＝65°，则∠AOF的度数为______°．【答案】30°【解析】∵∠AOC 与∠BOD 是对顶角，∠BOD=70°，∴∠AOC=70°，∵OE 平分∠AOC ，∴∠AOE=12∠AOC=35°， ∴∠AOF=∠EOF-∠AOE=65°-35°=30°，故答案为：30°.16．（2018春 德州市期中）如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，S △ABC =7，DE=2，AB=4，则AC 的长是______．【答案】3．【解析】解：如图，过点D 作DF ⊥AC 于F ．∵AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB ，∴DE=DF ．由图可知，S △ABC =S △ABD +S △ACD ，∴12×4×2+12×AC×2=7，解得：AC=3．故答案为：3．17．（2018春 广安市期末）如图所示，在ABC V 中，90C o ∠=，BE 平分ABC ∠，ED AB ⊥于D ，若6AC cm =，则AE DE +=________．【答案】6cm【详解】∵BE 平分∠ABC ，ED ⊥AB ，∠C=90°，∴DE=CE ，∴AE+DE=AE+CE=AC=6cm ．故答案为：6cm．【名师点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．三、解答题（共4小题，每小题8分，共计32分）18．（2018春河源市期末）如图，AC、BD相交于点O，∠A=∠ABC，∠DBC=∠D，BD平分∠ABC，点E在BC 的延长线上。
利用角平分线性质解决问题练习题
利用角平分线性质解决问题练习题角平分线是初中数学中一个重要的概念，它有着广泛的应用。
在解决一些几何问题时，我们可以利用角平分线的性质来简化计算，提高解题效率。
下面我将给出一些角平分线的问题练习题并逐一解答。
1. 题目：在三角形ABC中，角A的角平分线交BC边于点D，若AB=AC，AD=5cm，BD=3cm，求BC的长度。
解析：根据角平分线的性质，我们知道BD/DC = AB/AC。
代入已知条件，可得3/DC = 1，解得DC=3cm。
由此可以知道，BC = BD+DC = 3+3 = 6cm。
2. 题目：在平行四边形ABCD中，角A的角平分线交BC边于点E，若AB=8cm，AD=10cm，BE=6cm，求CE的长度。
解析：由于平行四边形的特性，我们可以得知AE=AD=10cm。
根据角平分线的性质，可以得到BE/EC = AB/AC，代入已知条件可得6/EC = 8/(10+AC)，解得EC=16cm。
因此，CE的长度为16cm。
3. 题目：在正方形ABCD中，角A的角平分线交BC边于点E，知AE=5cm，求BE的长度。
解析：由于正方形的特性，我们知道BE=BC。
根据角平分线的性质，我们可以得到AE/EC = AB/AC，即5/EC = 1。
解得EC=5cm，因此BE也等于5cm。
4. 题目：在三角形ABC中，角A的角平分线交BC边于点D，且AD=BD，若AC=6cm，BD=2cm，求AB的长度。
解析：根据角平分线的性质，我们知道BD/DC = AB/AC。
代入已知条件可得2/DC = AB/6。
由于AD=BD，即DC=2cm。
代入可得2/2 = AB/6，解得AB=6cm。
5. 题目：在梯形ABCD中，AB∥DC，角BAD的角平分线交BC边于点E，若BE=6cm，ED=9cm，求CD的长度。
解析：根据梯形的特性，我们可以得知AD∥BC。
根据角平分线的性质，可以得到BE/EC = BA/AD。
代入已知条件可得6/EC =AB/(AD+ED)，即6/EC = BA/CD。
角平分线习题精选(专题)
角平分线习题精选
1、已知：如图1,中，ZC=2ZB,Nl=N2,求证：AB=AC÷CDo
2、已知，如图2,Z1=Z2,P为BN上一点,
且PDj_BC于D,AB+BC=2BD,求证：ZBAP+ZBCP=180o。
3、如图，ZkABC中，AC=BC,ZBAC的B^≤L外角平分线交
BC的延长线于点D,若NCAD=2NADC,求NB的度数
5、如图5、AB√CD,ZB=90o,E是BC的中点。
DE平分NADC,求证：
AE平分NDAB。
6、如图6、在AABC中，AB=7,BC=24,AC=25求内心到边的距离。
7、如图7、已知在AABC中，分
别以AC、BC为边向外作
正aBCE∖正aACD,BD与AE交于M,求证：(1)AE=BD o(2)MC平分NDMEoD
9如图9、在aABC中，ZB=60o,Z∖ABC的角平分线AD、CE交于点O,求证：AE+CD=AC o
10、如图10、已知在四边形ABCD中，BD>AB,AD=证：ZA+ZC=180o o
C D
A
D DC,BD平分NABC求
8、如图8、AB=CD,∆PCD的面积等于aPAB的面积，求证：OP平分NBoD。
11、如图11>∆ABC 中,ZEDF+ZBAF=180o 12、如图12、∆ABC中,
A
C AD是NA的平分线，E、F分别为AB、Ae上的点，且
,求证：DE=DF o
A二AD是NBAC的平分线，∈Z /\
AD的垂直平分线交AD于点E,交BC
的延长线于点F o求证：FD2=FBxFC
B ADC
DC F。
几何辅助线之角平分线专题
几何辅助线之角平分线专题1、角平分线辅助线四种基本模型已知：AD是∠BOC的角平分线（1）（2）（3）（4）2、补充性质：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，则有AB:AC=BD:DC典型例题例1、已知：如图，在△ABC中，∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB.求证：AC+CD=AB例2、已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形，使C点与AB边上的一点D重合，当∠A满足什么条件时，点D恰为AB中点？写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明D为AB中点.例3、如图，AB=2AC，∠BAD=∠DAC,DA=DB ，求证：DC⊥AC。
DEHA BC例4、如图所示，已知AD 是△ABC 的角平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是E ，F ．求证：AD 垂直平分EF ．例5、 如图，在△ABC 中，∠A 等于60°，BE 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB 求证：DH=EH例6、如图，已知等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，BD 平分∠ABC ，CE ⊥BD ，垂足为E ，求证： BD ＝2CE 。
例7、如图，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。
变式练习请你参考上图构造全等三角形的方法，解答下列问题：⑴如图，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。
请你判断写出FE与FD之间的数量关系；⑵如图，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而⑴中的其他条件不变，请问，你在⑴中所得结论是否依然成立?若成立请证明；若不成立，请说明理由。
课后练习1、已知：如图所示，∠C＝2∠B，∠BAD＝∠CAD，求证：AB＝AC+CD。
2、已知，如图，BN 平分∠ABC，P为BN上一点，且PD⊥BC于D，AB+BC＝2BD，求证：∠BAP+∠BCP＝180°。
角平分线奥数题精选123正式
角平分线培优习题精选11、已知：如图1，中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2， 求证：AB ＝AC+CD 。
2. 已知，如图2，BP 为角ABC 的平分线， 且PD ⊥BC 于D ，AB+BC ＝2BD ， 求证：∠BAP+∠BCP ＝180°。
3．如图、AB ∥CD ，∠B ＝90°，DE 垂直AE ，DE 平分∠ADC ， 求证：CD+AB=AD 。
4、已知如图，在△ABC正△BCE 、正△ACD ，BD 求证：（1）AE ＝BD 。
（2） MC 平分∠DME 。
5、如图8、AB ＝CD ，△PCD OP 平分∠BOD 。
6如图、在△ABC 中，∠B ＝60°，△ABC 的角平分线 AD 、CE 交于点O ，求证：AE+CD ＝AC 。
7．如图10、已知在四边形ABCD 中，BD ＞AB ，AD ＝DC ， BD 平分∠ABC ，求证：∠A+∠C ＝180°。
8、如图11、△ABC 中，AD 是∠A 的平分线，E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且∠EDF+∠BAF ＝180°，求证：DE ＝DF 。
9．如图1，在锐角△ABC 中，AB=4,∠BAC=45°∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM ＋MN 的最小值是 。
10．如图2，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，若∠DAB 的平分线AE 交CD 于E ，连接BE ，且BE 恰好平分∠ABC ，则AB 的长与AD ＋BC 的长的大小关系是（ ） A 、AB ＞AD ＋BC B 、AB ＝AD ＋BC C 、AB ＜AD ＋BC D 、无法确定 11、（2009·北京）如图3-①所示，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形。
同时请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图3-②,在△ABC 中，∠ACB 是直角，∠B=60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F 。
角平分线专题练习题
角平分线专题练习题1、如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AC ，垂足为E ，BF ∥AC 交ED 的延长线于点F ，若BC 恰好平分∠ABF ，AE ＝2BF ，给出下列四个结论：①DE ＝DF ；②DB ＝DC ；③AD ⊥BC ；④AB ＝3BF ；⑤S △ADB ＝2S △BDF ，其中正确的结论共有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2、如图△ABC 的∠ABC 的外角平分线BD 与∠ACB 的外角平分线CE 交于P ，过P 作MN ∥AB 交AC 于M ，交BC 于N ，且AM ＝8，BN ＝5，则MN ＝（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53、如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是角平分线，E 为AC 边上的点，DE ＝DB ，下列结论：①∠DEA ＋∠B ＝180°；②∠CDE ＝∠CAB ；③AC ＝12( AB ＋AE )；④S △ADC ＝12S 四边形ABDE ．其中正确的结论个数为（ ）A.1个 B ．2个 C.3个 D ．4个4、如图，在四边形ABCD 中，∠A ＋∠C ＝1800，AD ＝DC ，DE ⊥BC 于点E ，若AB ＝4，BC ＝6，则BE 的长为A FB E D C第10题图EAB D CE D CB AM P 第8题图CBA EDB C A5、如图，△ABC 中，点D 是BC 上一点 ，已知∠DAC ＝30°，∠DAB ＝75°，CE 平分∠ACB 交AB 于点E ，连接D E ，则∠DEC ＝（ ）A ．10°B ．15°C ．20°D ．25°6、如图，OC 平分∠MON ，A 、B 分别为OM 、ON 上的点，且BO ＞AO ，AC ＝BC ，求证：∠OAC +∠OBC ＝180°．7、如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，BC ＝CD ，AB ≠A D.（1）求证：∠BAD ＋∠BCD ＝180°；（2）过点C 作CE ⊥AB 交AB 的延长线于点E ，若△ABC 和△ACD 的面积分别为40和58，求△BCE 的面积。
角平分线的性质练习题
角平分线的性质练习题角平分线是几何学中一个重要的概念，它在解决各种几何问题中起着重要的作用。
本文将通过一些练习题来探讨角平分线的性质。
练习题一：已知在△ABC中，角A的平分线交边BC于点D，证明AD是角A 的平分线。
解析：首先，我们可以利用角平分线的定义来解决这个问题。
角A的平分线是将角A分成两个相等的角的线段。
假设角BAD和角CAD是角A的平分线所分出的两个角，我们需要证明这两个角是相等的。
根据角平分线的定义，我们可以得出以下两个等式：∠BAD = ∠CAD （角平分线的定义）∠BAD + ∠CAD = ∠BAC （角的和等于整个角）将第一个等式代入第二个等式中，得到：∠CAD + ∠CAD = ∠BAC化简得：2∠CAD = ∠BAC由于∠CAD和∠BAD是同一个角的两个平分角，所以它们是相等的。
因此，AD是角A的平分线。
练习题二：已知在△ABC中，角A的平分线交边BC于点D，且AD=DC，证明△ABC是等腰三角形。
解析：要证明△ABC是等腰三角形，我们需要证明边AB和边AC的长度相等。
由于AD是角A的平分线，所以∠BAD = ∠CAD。
又已知AD=DC，所以△ADC 是一个等腰三角形。
根据等腰三角形的性质，我们可以得出以下结论：∠ADC = ∠ACD （等腰三角形的底角相等）由于∠BAD = ∠CAD，所以∠ADC = ∠ACD。
结合以上两个等式，我们可以得出：∠ADC = ∠ACD = ∠BAD = ∠CAD根据角的和等于整个角的性质，我们可以得到：∠ADC + ∠ACD + ∠BAD + ∠CAD = 180°将上述等式代入，得到：2∠ADC + 2∠ACD = 180°化简得：∠ADC + ∠ACD = 90°由于∠ADC和∠ACD是等腰三角形△ADC的两个底角，它们的和等于90°。
根据等腰三角形的性质，我们可以得出∠DAC = 90°。
三角形的角平分线、中线和高的专题训练50题
三角形的角平分线、中线和高1．已知，△ABC中，AD是BC边上的高，∠CAD=33°，则∠ACB= °．2．△ABC中，AD，CE是BC，AB边上的高，AD，CE相交于P，∠B=50°，则∠APC 的度数是．3．△ABC中，∠B的外角平分线的与∠C外角平分线相交于点P，且∠BPC=80°，则∠BAP的度数为．4．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，∠ACB平分线与∠ABC的外角平分线交于点E，连接AE，则∠AEB= ．5．如图，AD是△ABC的中线，AB=5，AC=3，△ABD的周长和△ACD的周长相差．&6．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（填“锐角三角形”，“直角三角形”，“钝角三角形”）7．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠B=46°，∠C=72°，则∠EAD= °．8．如图，AD、BE、CF是△ABC的三条中线，若△ABC的周长是a cm．则AE+CD+BF= cm．@9．如图，△ABC中，∠A=30°，∠B=70°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D．则∠ECD= ．10．角平分线一定垂直于底边．11．在△ABC中，已知AD是角平分线，∠B=50°，∠C=70°，∠BAD= °．12．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BE是AC边上的中线，如果AC=10cm，则AE=cm，如果∠ABD=30°，则∠ABC= ．13．如图六，在△ABC中，∠BAC是钝角，完成下列画图，并用适当的符号在图中表示；（1）AC边上的高；（2）BC边上的高．（在上图中直接画）[14．在△ABC中，AC=3cm，AD是△ABC中线，若△ABD周长比△ADC的周长大2cm，则BA= cm．15．△ABC中，∠A等于80度，则内角∠B、∠C的平分线相交所成的锐角为°．16．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=20°，CD与CE分别是斜边AB上的高和中线，那么∠DCE= 度．·17．直角三角形中，两锐角的角平分线所夹的锐角是度．18．如图，在△ABC中，BE、CF分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，并相交于点D，EG，FG分别是∠AEB和∠AFC的角平分线，并相交于点G，如果∠A=40°，那么∠CDB= ；∠G= ．19．如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，已知AB=6cm，AC=4cm，则△ABD 和△ACD周长之差为．20．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，D为AB中点，CE⊥AB，则∠DCE= 度．》21．三角形中的角平分线、中线、高都是三条特殊的 （填直线、射线、线段）22．如图所示，BD 是△ABC 的中线，AD=2，AB+BC=5，则△ABC 的周长是 ．23．三角形一边上的中线把原三角形分成两个 相等的三角形．24．如图，AD 是△ABC 的中线，AE 是△ABD 的中线，若CE=9cm ，则BC= cm ．25．点D 是△ABC 中BC 边上的中点，若AB=3，AC=4，则△ABD 与△ACD 的周长之差为 ．、26．如图，AC 、BD 相交于O ，BE 、CE 分别平分∠ABD 、∠ACD ，且交于E ，若∠A=60°，∠D=40°，则∠E= ．27．如图，根据图形填空：（1）AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，则∠ =∠ =21∠ ． （2）（2）AE 是△ABC 中线，则 = =21 . （3）AF 是△ABC 的高，则∠ =∠ =90°．28．如图，AD ⊥BC 于D ，那么图中以AD 为高的三角形有 个．29．如图所示：30．（1）在△ABC中，BC边上的高是；31．（2）在△AEC中，AE边上的高是．)32．我们都晓得，三角形的高是比较活泼的，它会出现在三角形的内部，也会出现在三角形的外部，然而，当它与三角形一边相会时，你可能找不到它了，今天就请你猜一猜，如果三角形的高与一边重合了，那么这是什么三角形呢答：三角形．31．在直角三角形、钝角三角形和锐角三角形这三种三角形中，有两条高在三角形外部的是三角形．32．如图，在△ABC中，AD、CE是边BC、AB上的高，若∠B=70°，∠CAD=30°，则∠BCE= ，∠ECA= ．.33．如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，则：（1）∠BAC=2 ；（2）BC=2 ；（3）=90°．34．如图，∠ABD、∠ACD的平分线交于E，∠E=β1；∠EBD、∠ECD的平分线交于F，∠F=β2；如此下去，∠FBD、∠FCD的平分线的交角为β3；…若∠A=40°，∠D=32°，则β4为度．35．如图所示，在△ABC中，BC边上的高是，AB边上的高是；在△BCE中，BE 边上的高是；EC边上的高是；在△ACD中，AC边上的高是；CD边上的高是．36．在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，当∠A=50°时，∠BOC= ．）37．如图，在△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB于点D．则图中共有个直角三角形．38．已知：如图，在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1，∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，如果∠A2=m°，那么∠A= °（用含m的代数式表示）．39．如图，△ABC的∠B的外角的平分线与∠C的外角的平分线交于点P，连接AP．若∠BPC=50°，则∠PAC= 度．40．已知△ABC 中，∠A=α．在图（1）中∠B 、∠C 的角平分线交于点O 1，则可计算得∠BO 1C=90°+ 21α；在图（2）中，设∠B 、∠C 的两条三等分角线分别对应交于O 1、O 2，则∠BO 2C= ；请你猜想，当∠B 、∠C 同时n 等分时，（n-1）条等分角线分别对应交于O 1、O 2，…，O n-1，如图（3），则∠BO n-1C= （用含n 和α的代数式表示）．41．.42．如图，△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点O ，若∠BOC=115°， 则∠A= °．42．如图，已知△ABC 中，∠BAC=80°，∠C=60°，AD 、AE 分别是三角形的高和角平分线，则∠CAD=°，∠DAE= °．43．如图，在△ABC 中，∠A=α．∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2，得∠A 2； …；∠A 2011BC 与∠A 2011CD 的平分线相交于点A 2012，得∠A 2012，则∠A 2012= ．44．如图，已知△ABC中，∠B=65°，∠C=45°，AD是∠ABC的高线，AE是∠BAC 的平分线，则∠DAE= ．45．如图，点O是△ABC的两条角平分线的交点，且∠A=40°，则∠BOC= ．·46．在△ABC中，∠A=80°，I是∠B，∠C的角平分线的交点，则∠BIC= °．47．如果三角形的三条高的交点落在一个顶点上，那么它的形状是．48．如图所示，CD是△ABC的中线，AC=9cm，BC=3cm，那么△ACD和△BCD的周长差是cm．49．如图，∠ACB是直角，CD是中线，CD=，BC=3，则AC= ．50．BM是△ABC中AC边上的中线，AB=5cm，BC=3cm，那么△ABM与△BCM 的周长之差为cm．。
角平分线的性质专项练习(含解析)
角平分线的性质专项练习一、单选题知识点一：角平分线的有关证明1．在Rt ABC 中，90B ︒∠=，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，DE AC ⊥，垂足为点E ，若3BD =，则DE 的长为（ ）A ．3B ．32C ．2D ．62．如图，在△ABC 中，AB ＝6，BC ＝5，AC ＝4，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，在AB 上截取AE ＝AC ，则△BDE 的周长为( )A ．8B ．7C ．6D ．53．如图，在ABC 中，90,C AD ∠=平分,BAC DE AB ∠⊥于点,E 给出下列结论．CD ED =①;,AC BE AB +=② ③BDE BAC ∠=∠， DA ④平分CDE ∠，::BDE ACD S S AB AC =⑤其中正确的有（ ）个A ．5B ．4C ．3D ．2知识点二：角平分线的性质定理4．如图，在Rt ABC ∆中，90B =∠，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB AC 、于点,D E ，再分别以点D E 、为圆心，大于12DE 为半径画弧，两弧交于点F ，作射线AF 交边BC 于点1,4BG AC ==，则ACG ∆的面积是（ ）A ．1B ．32C ．2D ．525．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ，则下列四个结论中：①AB 上任一点与AC 上任一点到D 的距离相等；②AD 上任一点到AB ，AC 的距离相等；③∠BDE ＝∠CDF ；④∠1＝∠2；其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，AB ∥CD ，BP 和CP 分别平分∠ABC 和∠DCB ，AD 过点P ，且与AB 垂直．若AD ＝8，则点P 到BC 的距离是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．27．如图，已知在四边形ABCD 中，90BCD ∠=︒，BD 平分ABC ∠，6AB =，9BC =，4CD =，则四边形ABCD 的面积是（ ）A．24 B．30 C．36 D．42知识点三：角平分线判定定理=，则（）8．如图，AC AD=，BC BDA．CD垂直平分AD B．AB垂直平分CDC．CD平分ACB∠D．以上结论均不对9．如图,已知AB∥CD，PE⊥AB，PF⊥BD，PG⊥CD，垂足分别E、F、G，且PF=PG=PE，则∠BPD=（）．A．60°B．70°C．80°D．90°10．如图所示，若DE⊥AB，DF⊥AC，则对于∠1和∠2的大小关系下列说法正确的是（）A．一定相等B．一定不相等C．当BD=CD时相等D．当DE=DF时相等11．如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）A ．线段CD 的中点B ．OA 与OB 的中垂线的交点C ．OA 与CD 的中垂线的交点 D ．CD 与∠AOB 的平分线的交点知识点四：角平分线性质的实际应用12．如图，在ABC ∆中，90︒∠=C ，8AC =，13DC AD =，BD 平分ABC ∠，则点D 到AB 的距离等于( )A ．4B ．3C ．2D ．113．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，若AB=14，S △ABD=14，则CD=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．114．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，S △ABC ＝7，DE ＝2，AB ＝4，则AC 长是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3知识点五：尺规作图-角平分线15．尺规作图作AOB ∠的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得OCP ODP ≌的根据是（ ）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS16．如图，在ABC ∆中，,40AC BC A =∠=︒，观察图中尺规作图的痕迹，可知BCG ∠的度数为（）A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．60︒17．如图1，已知ABC ∠，用尺规作它的角平分线．如图2，步骤如下，第一步：以B 为圆心，以a 为半径画弧，分别交射线BA ，BC 于点D ，E ；第二步：分别以D ，E 为圆心，以b 为半径画弧，两弧在ABC ∠内部交于点P ；第三步：画射线BP ．射线BP 即为所求．下列正确的是（ ）A ．a ，b 均无限制B ．0a >，12b DE >的长C ．a 有最小限制，b 无限制D ．0a ≥，12b DE <的长18．如图,观察图中尺规作图痕迹,下列说法错误的是( )A ．OE 是AOB ∠的平分线B ．OC OD =C ．点C,D 到OE 的距离不相等D ．AOE BOE ∠=∠二、填空题 知识点一：角平分线的有关证明19．如图，已知△ABC 的周长是21，OB ，OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D ，且OD ＝4，△ABC 的面积是_____．20．如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A 、B 分别在x 轴的正半轴、y 轴的正半轴上移动,点M 在第二象限，且MA 平分∠BAO ，做射线MB ，若∠1=∠2，则∠M 的度数是_______。
(完整版)中考复习2角平分线专题
角平分线专题【类型一】角平分线倒角模型例1、把一副学生用三角板)906030(︒︒︒、、和)904545(︒︒︒、、如图(1）放置在平面直角坐标系中，点A 在y 轴正半轴上，直角边AC 与y 轴重合，斜边AD 与y 轴重合,直角边AE 交x 轴于F,斜边AB 交x 轴于G,O 是AC 中点，8=AC .(1)把图1中的AED Rt ∆绕A 点顺时针旋转α度)900(︒<≤α得图2，此时AGH ∆的面积是10,AHF ∆的面积是8,分别求F 、H 、B 三点的坐标;(2）如图3,设AHF ∠的平分线和AGH ∠的平分线交于点M ，EFH ∠的平分线和FOC ∠的平分线交于点N ，当改变α的大小时,M N ∠+∠的值是否会改变？若改变,请说明理由；若不改变,请求出其值。
检测1、如图，已知点A 是y 轴上一动点，B 是x 轴上一动点，点C 在线段OB 上，连接AC ，AC 正好是OAB ∠的角平分线，DBx ABD ∠=∠，问动点A,B 在运动的过程中，AC 与BD 所在直线的夹角是否发生变化,请说明理由；若不变，请直接写出具体值。
yx检测2、如图探究与发现：探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系．探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？已知:如图2,在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？已知：如图3，在四边形ABCD中,DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD,试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．探究四:若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF（图4）呢？请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系：．【类型二】点在线，垂两边例2、如图（1），ABCCD⊥，垂足为D。
角平分线练习题
》角平分线练习一、选择题1.已知：如图1，B E，C F是△ABC的角平分线，B E，CF相交于D，若∠A=50°，则∠BDC=（）°°°°2.已知：如图2，△ABC中，AB = AC，BD为∠ABC的平分线，∠BDC = 60°，则∠A =（）A. 10°B. 20°C. 30°D. 40°3.三角形中，到三边距离相等的点是（）?A.三条高线交点B.三条中线交点C.三条角平分线的交点D.三边的垂直平分线的交点4.已知P点在∠AOB的平分线上，∠AOB = 60°，OP = 10 cm，那么P点到边OA、OB的距离分别是（）A. 5cm、cmB. 4cm、5cmC. 5cm、5cmD. 5cm、10cm5.下列四个命题的逆命题是假命题的是（）A.直角三角形的两个锐角互余B.等腰三角形的两个底角相等(C.全等三角形的对应角相等D.相等的两个角是对顶角6.已知：如图3，△ABC中，∠C = 90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且AB = 10cm，BC = 8cm，CA = 6cm，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于（）cmA. 2、2、2 、3、3C. 4、4、4D. 2、3、5二、填空题1.命题：“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题是，它是命题。
2.角平分线可以看作是的点的集合。
3.已知：△ABC中，∠C = 90°，角平分线AD分对边BD：DC = 3：2，且BC = 20cm，则点到AB的距离是cm。
！4.命题“如果a = b，那么| a| = | b |”的命题是，它是命题。
三、简答题1.已知：如图4，△ABC的外角∠FAC的平分线为AE，∠1=∠2，AD = AC求证：DC∥AE#2.已知：如图5，△ABC中，∠C= 90°，点D是斜边AB 的中点，AB = 2BC， DE⊥AB交AC于E求证：BE平分∠ABC3.已知线段AB，求线段AB的四等分点。
三角形的角平分线、中线和高的专题训练50题
三角形的角平分线、中线和高的专题训练50题1. 在△ABC中，角A的角平分线交对边BC于点D，若BD=DC，求证：∠B=∠C。
【解答】设∠BAD=∠CAD=x，由于角A的角平分线BD、CD分别相交对边BC于点D，所以AD是△ABC的角平分线。
根据角平分线定理可知：$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$由于BD=CD，所以$\frac{AB}{AC}=1$，即AB=AC。
根据等边三角形的性质可知∠B=∠C。
2. 在△ABC中，角A的角平分线交对边BC于点D，若∠BAD=30°，求∠B和∠C的度数。
【解答】设∠BAD=∠CAD=x，根据题意可知角A的角平分线BD、CD分别相交对边BC于点D。
由于∠BAD=30°，所以x=30°。
根据角平分线定理可知：$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$由于BD=CD，所以$\frac{AB}{AC}=1$，即AB=AC。
又由等边三角形的性质可知∠B=∠C，即∠B=∠C=75°。
3. 在△ABC中，角B的角平分线交对边AC于点D，若∠BAD=80°，求∠ABC的度数。
【解答】设∠BAD=∠DAC=x，根据题意可知角B的角平分线AD相交对边AC于点D。
由于∠BAD=80°，所以x=80°。
根据角平分线定理可知：$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$又由于BD=CD，所以$\frac{AB}{AC}=1$，即AB=AC。
由等边三角形的性质可知∠ABC=∠ACB，设∠ABC=∠ACB=y，则∠ADB=∠ADC=180°-2x=20°。
再由三角形内角和为180°可知∠B+∠ADC=180°，即y+20°=180°，解得y=160°。
所以∠ABC=∠ACB=160°。
4. 在△ABC中，角A的角平分线交对边BC于点D，若∠B=70°,∠C=50°，求∠BAD的度数。
专题01 角平分线四大模型在三角形中的应用(能力提升)(解析版)
专题01 角平分线四大模型在三角形中的应用（能力提升）1．如图：在四边形ABCD中，BC＞DA，AD＝DC，BD平分∠ABC，DH⊥BC于H，求证：（1）∠DAB+∠C＝180°（2）BH＝（AB+BC）【解答】证明：（1）过D作DE⊥AB，交BA延长线于E，如图所示：∵BD平分∠ABC，DH⊥BC，∴DH＝DE，在Rt△ADE和Rt△CDH中，，∴Rt△ADE≌Rt△CDH（HL），∴∠C＝∠DAE，∵∠DAB+∠DAE＝180°，∴∠DAB+∠C＝180°；（2）在Rt△BDE和Rt△BDH中，，∴Rt△BDE≌Rt△BDH（HL），∴BE＝BH，∵Rt△ADE≌Rt△CDH，∴AE＝CH，∴AB+BC＝AB+BH+CH＝BE+BH＝2BH，∴BH＝（AB+BC）．2．如图，AD∥BC，∠D＝90°，∠CPB＝30°，∠DAB的角平分线与∠CBA的角平分线相交于点P，且D，P，C在同一条直线上．（1）求∠PAD的度数；（2）求证：P是线段CD的中点．【解答】（1）解：∵AD∥BC，∴∠C＝180°﹣∠D＝180°﹣90°＝90°，∵∠CPB＝30°，∴∠PBC＝90°﹣∠B＝60°，∵PB平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠PBC＝120°，∵AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC＝180°，∴∠DAB＝180°﹣120°＝60°，∵AP平分∠DAB，∴∠PAD＝∠DAB＝30°；（2）证明：过P点作PE⊥AB于E点，如图，∵AP平分∠DAB，PD⊥AD，PE⊥AB，∴PE＝PD，∵BP平分∠ABC，PC⊥BC，PE⊥AB，∴PE＝PC，∴PD＝PC，∴P是线段CD的中点．3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，AE平分∠BAD，AE⊥BE．（1）求证：BE平分∠ABC；（2）求证：AD+BC＝AB；＝4，求梯形ABCD的面积．（3）若S△ABE【解答】（1）证明：延长AE交BC的延长线于M，如图所示：∵AD∥BC，∴∠M＝∠DAE，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠BAE＝∠M，∴AB＝MB，∵AE⊥BE，∴∠ABE＝∠CBE，∴BE平分∠ABC；（2）证明：∵AB＝MB，BE⊥AE，∴AE＝ME，∵E是CD的中点，∴DE＝CE，在△ADE和△MCE中，，∴△ADE≌△MCE（SAS），∴AD＝MC，∴AD+BC＝MC+BC＝MB＝AB；（3）解：∵AB＝MB，AE＝ME，∴△MBE的面积＝△ABE的面积＝4，∴△ABM的面积＝2×4＝8，∵△ADE≌△MCE，∴△ADE的面积＝△MCE的面积，∴梯形ABCD的面积＝△ABM的面积＝8．4．【问题提出】在△ABC中，∠ACB＝2∠B，AD为∠BAC的角平分线，探究线段AB，AC，CD的数量关系．【问题解决】如图1，当∠ACB＝90°，过点D作DE⊥AB，垂足为E，易得AB＝AC+CD；由此，如图2，当∠ACB≠90°时，猜想线段AB，AC，CD有怎样的数量关系？给出证明．【方法迁移】如图3，当∠ACB≠90°，AD为△ABC的外角平分线时，探究线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？直接写出结论，不证明．【解答】解：【问题解决】：如图1中，当∠ACB＝90°时，∵AD为∠BAC的角平分线，∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴DC＝DE，∵∠ACB＝2∠B，∠ACB＝90°，∴∠B＝45°，∵DE⊥AB，∴DE＝BE，在△AED和△ACD中，，∴△AED≌△ACD（AAS），∴AE＝AC，∴AB＝AE+BE＝AC+CD；当∠ACB≠90°时，结论：AB＝CD+AC，理由：如图2，在AB上截取AG＝AC，连接DG，∵AD为∠BAC的平分线，∴∠GAD＝∠CAD，在△ADG和△ADC中，，∴△ADG≌△ADC（SAS），∴CD＝DG，∠AGD＝∠ACB，∵∠ACB＝2∠B，∴∠AGD＝2∠B，∵∠AGD＝∠B+∠GDB，∴∠B＝∠GDB，∴BG＝DG＝DC∴AB＝BG+AG＝CD+AC；【方法迁移】结论：AB＝CD﹣AC，理由：如图3．在AF上截取AH＝AC，连接DH，∵AD为∠FAC的平分线，∴∠HAD＝∠CAD，在△ADH和△ACD中，，∴△ADH≌△ACD（SAS），∴CD＝HD，∠AHD＝∠ACD，即∠ACB＝∠FHD，∵∠ACB＝2∠B，∴∠FHD＝2∠B，∵∠FHD＝∠B+∠HDB，∴∠B＝∠HDB，∴BH＝DH＝DC，∴AB＝BH﹣AH＝CD﹣AC．5．已知：如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D在BC上，点E与点A在BC 的同侧，且∠CED＝90°，∠B＝2∠EDC．（1）求证：∠FDC＝∠ECF；（2）若CE＝1，求DF的长．【解答】解：∵∠A＝90°，AB＝AC，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵∠B＝2∠EDC，∴∠FDC＝45°×＝22.5°，∵∠CED＝90°，∴∠∠DCE＝90°﹣∠FDC＝90°﹣67.5°＝22.5°，∴∠FDC＝∠ECF；（2）如图，延长CE到G，使EG＝CE，连接DG交AC于H，∵∠CED＝90°，∴∠GED＝90°，∴∠CED＝∠GED，在△GED和△CED中，，∴△GED≌△CED（SAS），∴GFDE＝∠CDE，∴∠DHF＝∠CEF＝90°，∵∠ACB＝45°，∴∠HDC＝45°，∴∠HDC＝∠HCD，∴DH＝CH，在△DHF和△CHG中，，∴△DHF≌△CHG（ASA），∴DF＝CG，∵EG＝CE，∴CG＝2CE，∴DF＝2CE，∵CE＝1，∴DF＝2．6．如图，已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD交BD的延长线于点E．求证：CE＝BD．【解答】证明：如图，延长CE，BA交于点F．∵CE⊥BD，∠BAC＝90°，∴∠BAD＝∠CAF＝∠BEC＝90°．又∵∠ADB＝∠EDC，在△ABD与△ACF中，∴△ABD≌△ACF（ASA）．∴BD＝CF．∵BD平分∠ABC，∴∠CBE＝∠FBE．在△BCE与△BFE中，∴△BCE≌△BFE（ASA）．∴CE＝FE，即CE＝CF．∴CE＝BD．7．如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，D是斜边BC上的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF．（1）若AB＝AC，BE+CF＝4，求四边形AEDF的面积．（2）求证：BE2+CF2＝EF2．【解答】（1）解：连接AD，如图1，∵在Rt△ABC中，AB＝AC，AD为BC边的中线，∴∠DAC＝∠BAD＝∠C＝45°，AD⊥BC，AD＝DC，又∵DE⊥DF，AD⊥DC，∴∠EDA+∠ADF＝∠CDF+∠FDA＝90°，∴∠EDA＝∠CDF，在△AED与△CFD中，，∴△AED≌△CFD（ASA）．∴AE＝CF，∵BE+CF＝4，∴AB＝BE+AE＝4．所以S四边形AFDE ＝S△AFD+S△AED＝S△AFD +S△CFD＝S△ADC＝S△ABC＝×AB2＝×42＝4．（2）证明：延长ED至点G，使得DG＝DE，连接FG，CG，如图2，∵DE＝DG，DF⊥DE，∴DF垂直平分DE，∴EF＝FG，∵D是BC中点，∴BD＝CD，在△BDE和△CDG中，，∴△BDE≌△CDG（SAS），∴BE＝CG，∠DCG＝∠DBE，∵∠ACB+∠DBE＝90°，∴∠ACB+∠DCG＝90°，即∠FCG＝90°，∵CG2+CF2＝FG2，∴BE2+CF2＝EF2．8．（2020春•南岸区期末）在∠MAN内有一点D，过点D分别作DB⊥AM，DC⊥AN，垂足分别为B，C．且BD＝CD，点E，F分别在边AM和AN上．（1）如图1，若∠BED＝∠CFD，请说明DE＝DF；（2）如图2，若∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，猜想EF，BE，CF具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．【答案】（1）略（2）略【解答】解：（1）∵DB⊥AM，DC⊥AN，∴∠DBE＝∠DCF＝90°，在△BDE和△CDF中，∵∴△BDE≌△CDF（AAS）．∴DE＝DF；（2）EF＝FC+BE，理由：过点D作∠CDG＝∠BDE，交AN于点G，在△BDE和△CDG中，，∴△BDE≌△CDG（ASA），∴DE＝DG，BE＝CG．∵∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，∴∠BDE+∠CDF＝60°．∴∠FDG＝∠CDG+∠CDF＝60°，∴∠EDF＝∠GDF．在△EDF和△GDF中，，∴△EDF≌△GDF（SAS）．∴EF＝GF，∴EF＝FC+CG＝FC+BE．9.（2020秋•渑池县期末）（1）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，AD平分∠BAC，交BC于点D．如果作辅助线DE⊥AB于点E，则可以得到AC、CD、AB三条线段之间的数量关系为 ；（2）如图，△ABC中，∠C＝2∠B，AD平分∠BAC，交BC于点D．（1）中的结论是否仍然成立？若不成立，试说明理由；若成立，请证明．【答案】（1） AB＝AC+CD（2）略【解答】解：（1）如图1，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠EAD，在△CAD和△EAD中，∴△CAD≌△EAD（AAS），∴CD＝DE，AC＝AE，∵∠B＝45°，∠DEB＝90°，∴DE＝EB，∴DC＝BE，∴AE+BE＝AC+DC＝AB；故答案为：AB＝AC+CD．（2）成立．证明：如图2，在AB上截取AE＝AC，连接DE．∵在△ACD和△AED中，∴△ACD≌△AED（SAS），∴CD＝ED，∠C＝∠AED，又∵∠C＝2∠B，∴∠AED＝2∠B，又∵∠AED＝∠B+∠EDB，∴2∠B＝∠B+∠EDB，∴∠B＝∠EDB，∴ED＝EB∵AB＝AE+EB，ED＝EB＝CD，AE＝AC，∴AB＝AC+CD．10.（百色期末）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）说明BE＝CF的理由；（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．【答案】（1）略（2）BE＝1，AE＝4．【解答】（1）证明：连接BD，CD，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，∵DG⊥BC且平分BC，∴BD＝CD，在Rt△BED与Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE＝CF；（2）解：在△AED和△AFD中，，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE＝AF，设BE＝x，则CF＝x，∵AB＝5，AC＝3，AE＝AB﹣BE，AF＝AC+CF，∴5﹣x＝3+x，解得：x＝1，∴BE＝1，AE＝AB﹣BE＝5﹣1＝4．11.（广州期中）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点D．（1）求证：点D到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等；（2）连接AD，若∠BDC＝40°，求∠DAC的度数．【答案】（1）略（2）∠DAC＝50°【解答】（1）证明：如图，过点D作三边AB、BC、CA所在直线的垂线，垂足分别是Q、M、N．则垂线段DQ、DM、DN，即为D点到三边AB、BC、CA所在直线的距离．∵D是∠ABC的平分线BD上的一点，∴DM＝DQ．∵D是∠ACM的平分线CD上的一点，∴DM＝DN．∴DQ＝DM＝DN．∴D点到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等．（2）解：连接AD，∵∠DCG是△BCD的外角，∴∠DCG＝∠DBC+∠BDC，∵∠ACG△ABC的外角∴∠ACG＝∠ABC+∠BAC，∴2∠BDC＝∠BAC，∵∠BDC＝40°，∴∠BAC＝80°，∠EAC＝100°，由（1）可得DQ＝DN，∴AD平分∠EAC，∴∠DAC＝EAC＝50°．12．（2021秋•雨花区期末）如图，△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE相交于点P．（1）求∠APC的度数；（2）若AE＝3，CD＝4，求线段AC的长．【解答】解：（1）∵∠ABC＝60°，∴∠BAC+∠BCA＝120°，∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，∴∠PAC+∠PCA＝（∠BAC+∠BCA）＝60°，∴∠APC＝120°．（2）如图，在AC上截取AF＝AE，连接PF，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，在△APE和△APF中，，∴△APE≌△APF（SAS），∴∠APE＝∠APF，∵∠APC＝120°，∴∠APE＝60°，∴∠APF＝∠CPD＝60°＝∠CPF，∵CE平分∠ACB，∴∠ACP＝∠BCP，在△CPF和△CPD中，，∴△CPF≌△CPD（ASA），∴CF＝CD，∴AC＝AF+CF＝AE+CD＝3+4＝7．13．（2020秋•南开区校级期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于A（a，0）、B（0，b）两点，且a，b满足（a﹣b）2+|a﹣4t|＝0，且t＞0，t是常数．直线BD平分∠OBA，交x轴于D点．（1）若AB的中点为M，连接OM交BD于N，求证：ON＝OD；（2）如图2，过点A作AE⊥BD，垂足为E，猜想AE与BD间的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，在x轴上有一个动点P（在A点的右侧），连接PB，并作等腰Rt△BPF，其中∠BPF＝90°，连接FA并延长交y轴于G点，当P点在运动时，OG的长是否发生改变？若改变，请求出它的变化范围；若不变，求出它的长度．【解答】（1）证明：∵直线AB分别交x轴、y轴于A（a，0）、B（0，b）两点，且a，b满足（a﹣b）2+|a﹣4t|＝0，且t＞0，∴a＝b＝4t，∴点A、B的坐标是A（4t，0），B（0，4t），∴△AOB是等腰直角三角形，∵点M是AB的中点，∴OM⊥AB，∴∠MOA＝45°，∵直线BD平分∠OBA，∴∠ABD＝∠ABO＝22.5°，∴∠OND＝∠BNM＝90°﹣∠ABD＝90°﹣22.5°＝67.5°，∠ODB＝∠ABD+∠BAD＝22.5°+45°＝67.5°，∴∠OND＝∠ODB，∴ON＝OD（等角对等边）；（2）答：BD＝2AE．理由如下：延长AE交BO于C，∵BD平分∠OBA，∴∠ABD＝∠CBD，∵AE⊥BD于点E，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，在△ABE≌△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（ASA），∴AE＝CE，∴AC＝2AE，∵AE⊥BD，∴∠OAC+∠ADE＝90°，又∠OBD+∠BDO＝90°，∠ADE＝∠BDO（对顶角相等），∴∠OAC＝∠OBD，在△OAC与△OBD中，，∴△OAC≌△OBD（ASA），∴BD＝AC，∴BD＝2AE；（3）OG的长不变，且OG＝4t．过F作FH⊥OP，垂足为H，∴∠FPH+∠PFH＝90°，∵∠BPF＝90°，∴∠BPO+∠FPH＝90°，∴∠FPH＝∠BPO，∵△BPF是等腰直角三角形，∴BP＝FP，在△OBP与△HPF中，，∴△OBP≌△HPF（AAS），∴FH＝OP，PH＝OB＝4t，∵AH＝PH+AP＝OB+AP，OA＝OB，∴AH＝OA+AP＝OP，∴FH＝AH，∴∠GAO＝∠FAH＝45°，∴△AOG是等腰直角三角形，∴OG＝OA＝4t．。
角平分线的性质练习题
角平分线的性质练习题练习1：已知三角形ABC，角A的角平分线AD与边BC相交于点D。
证明：AD是角A的角平分线。
证明：首先，连接AD。
在△BDA和△CDA中，我们有：∠BDA = ∠CDA (角平分线的性质)∠ABD = ∠ACD (已知角平分线)BD = CD (角平分线与两边相交，且到两条边距离相等)根据三角形的SAS（边角边）相等定理，△BDA ≌△CDA。
由于△BDA ≌△CDA，我们可以得出以下结论：∠BAD = ∠CAD (对应角相等定理)∠BAC = ∠BAD + ∠CAD (角的加法）∠BAC = ∠CAD + ∠CAD (代入∠BAD = ∠CAD)∠BAC = 2∠CAD (合并项)AD是角A的角平分线。
练习2：已知三角形ABC，角B的角平分线BE与边AC相交于点E，角C 的角平分线CF与边AB相交于点F。
证明：EF平行于BC。
证明：首先，连接EF。
在△BEC和△CBF中，我们有：∠BEC = ∠CBF (角平分线的性质)∠BCE = ∠BCF (已知角平分线)根据三角形的AA（角角）相似定理，△BEC ∼△CBF。
由于△BEC ∼△CBF，我们可以得出以下结论：∠EBC = ∠FCB (对应角相等定理)考虑△BEF，我们有：∠BEF = ∠BEC + ∠CBF (角的加法）∠BEF = ∠FCB + ∠CBF (代入∠BEC = ∠CBF)∠BEF = ∠FCB + ∠EBC (代入∠FCB = ∠EBC)∠BEF = ∠EBC + ∠EBC (合并项)∠BEF = 2∠EBC同样地，考虑△BFC：∠BFC = ∠BCF + ∠BCE (角的加法）∠BFC = ∠BCF + ∠EBC (代入∠BCE = ∠EBC)∠BFC = ∠EBC + ∠EBC (代入∠BCF = ∠EBC)∠BFC = 2∠EBC由于∠BEF = 2∠EBC，且∠BFC = 2∠EBC，我们可以得出以下结论：∠BEF = ∠BFC (两个角相等）考虑△BEF和△BFC，在两个三角形中，我们有：∠BEF = ∠BFC (已证明的结论)EF平行于BC (对应角相等定理)因此，EF平行于BC。
初二数学几何之角平分线高含金量题汇总(精心整理归纳)
B ACDE初中数学几何之角平分线专题汇总1.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线交BC于点F，若CF=3，则BF的长度为( ).A．3 B．72C．6 D．1322.如图，在△ABC中，AB=AC=20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为（）A．5cm B．10cm C．15cm D．17.5cm3.如图△ABC，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝5，AB＝13，BD平分∠ABC，M、N分别为BD、BC上的点，则CM＋MN的最小值是_________4.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、点E为边AB上的点，且AD＝BE，点M、N分别为边AC、BC上的点．已知：AB＝a，DE＝b，则四边形DMNE的周长的最小值为（）A．a B．2a－b C．a＋b D．a＋2b5．如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，点D是△ABC内一点，DB＝DC，∠DCB＝30°，点E是BD延长线上一点，AE＝AB．(1) 直接写出∠ADE的度数________；(2) 求证：DE＝AD＋DC；(3) 作BP平分∠ABE，EF⊥BP，垂足为F（如图2），若EF＝3，求BP的长．6.如图，在平面直角坐标系中，已知两点A(m，0)、B(0，n)（n＞m＞0），点C在第一象限，AB⊥BC，BC＝BA，点P在线段OB上，OP＝OA，AP的延长线与CB的延长线交于点M，AB与CP交于点N．(1) 点C的坐标为___________；（用含m、n的式子表示）(2) 求证：BM＝BN；(3) 设点C关于直线AB的对称点为D，点C关于直线AP的对称点为G，求证：D、G关于x 轴对称．7. 如图，已知∠BAD=∠BCD=90，AB=AD，点E在CD的延长线上，∠BAC=∠DAE(1) 求证：△ABC≌△ADE(2) 设AF是△ABC的BC边上的高，求证：EC＝2AF8.等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点A、点B分别是y轴、x轴上两个动点，直角边AC交x 轴于点D，斜边BC交y轴于点E．(1) 如图1，若A(0，1)，B(2，0)，求C点的坐标；(2) 如图2，当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE，求证：∠ADB＝∠CDE；(3) 如图3，在等腰Rt△ABC不断运动的过程中，直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E，若BD始终是∠ABC平分线，试探究：线段BD与OA+OD之间存在的数量关系，并说明理由．。
角平分线练习题(答案)
巩固练习1. 在Rt A ABC 中，/ C= 90°, AD 是角平分线，若BC= 10, BD : CD = 3 :2,则点D到AB的距离是（）A. 4B. 62. 到三角形三边距离相等的点是（A.三条高的交点C.三条角平分线的交点3. 如图所示，三条公路两两相交，交点分别为要求到三条公路的距离相等，可供选择的地址有（4如图，AB // CD，点P到AB,BC,CD距离都相等，则/ P=5、如图，已知AB // CD, 0为/CAB、/ ACD的平分线的交点.OE=2，则两平行线AB、CD间的距离等于6、BD是/ ABC的平分线交AC于D , DE丄AB于点E, AB=36 , BC=24,S A ABC=144 贝U DE=7、在四边形ABCD中，AC平分/ BAD，且BC=CD，求证/ B+ / D = 180°B. 二处 D.四C. 处第5题图C. 8D. 10）B.三条中线的交点D.不能确定A、B、C,现计划修一个油库, ）OE 丄AC,8. （上一题变式）如图：△ ABC 中，AD 是/BAC 的平分线，E 、F 分别为AB 、 AC 上的点，且/ EDF + Z BAF = 180°.求证：DE = DF ;10.如图，已知在厶ABC 中，/ B=60°A ABC 的角平分线AD 、CE 相交于点O ,求证：AE+CD=AC .9.如图，/ C=900, AC=BC , AD 是/BAC 的角平分线.求证: AC+CD=AB .证明：过点G作CM丄AB于B,CN丄AD交AD的延长住于点N V CL1 丄AB,CN 丄AD..zBMC = zDNC = 90；AG 平分/BAD.■.CM = CN\BC=CD/.-BMC^-DNC (HL )/.zB = zCDNvzADC+zCDN = 180/.zB+zADC-180^彳乍DM丄AB于M,DN丄A C于N/■□M=DN【根据角分线定理：角平分线上的点到两边的距离相等】'.vEDF+zBAF=180°;.zAED+zAFD=180°；,zCFD=180°-AFD=zAEDX'.-zEMD=zFND=90<>)DM=DNQEMD业FND ( AAS ).\DE=DF作DE丄AB交AB于E-AD是ZB赴C；的居平分线・・DE二DC (角平分线上的点倒角的两边S巨离相等)*.'AC=BC*\zB=ZBAG=45°在Rt-BDE中应是ZB二45。
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角平分线习题精选
1、已知：如图1，中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2， 求证：AB ＝AC+CD 。
2、已知，如图2，∠1＝∠2，P 为BN 上一点， 且PD ⊥BC 于D ，AB+BC ＝2BD ， 求证：∠BAP+∠BCP ＝180°。
3、如图，△ABC 中，AC ＝BC ，∠BAC 的外角平分线交
BC 的延长线于点D ，若∠CAD ＝2∠ADC ，求∠B 的度数
5、如图5、A B ∥CD ，∠B ＝90°，E 是BC 的中点。
DE 平分∠ADC ， 求证：AE 平分∠DAB 。
6、如图6、在△ABC 中，AB ＝7，
求内心到边的距离。
7、如图7、已知在△ABC 中，分别以AC 、BC 为边向外作
正△BCE 、正△ACD ，BD 与AE 交于M ， 求证：（1）AE ＝BD 。
（2）MC 平分∠DME 。
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8、如图8、AB ＝CD ，△PCD 的面积等于△PAB 的面
积，求证：OP 平分∠BOD 。
9如图9、在△ABC 中，∠B ＝60°，△ABC 的角平分
线
AD 、CE 交于点O ，求证：AE+CD ＝AC 。
10、如图10、已知在四边形ABCD 中，B D ＞AB ，AD ＝DC ， BD 平分∠ABC ，求证：∠A+∠C ＝180°。
11、如图11、△ABC 中，AD 是∠A 的平分线，E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且∠EDF+∠BAF ＝180°，求证：DE ＝DF 。
12、如图12、△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，
AD 的垂直平分线交AD 于点E ，
交BC 的延长线于点F 。
求证：FD 2＝F B ×FC
C
F。