解析几何求轨迹方程的常用方法
求点的轨迹方程的六种常见方法
求点的轨迹方程的六种常见方法点的轨迹方程是描述点在运动过程中所经过的路径的数学方程。
在数学和物理等领域，有许多方法可以推导和描述点的轨迹方程。
下面介绍六种常见的方法。
一、直角坐标系方法直角坐标系方法是最常见的一种方法，通常用于平面分析。
在直角坐标系下，点的位置可以用横坐标x和纵坐标y来表示。
如果已知点的坐标与时间的关系，可以通过方程联立或者曲线拟合的方法得到点的轨迹方程。
二、参数方程方法参数方程方法是一种将点的位置用参数表示的方法。
通过引入参数t，点的坐标可以用关于t的函数表示，如x=f(t)和y=g(t)，这样就可以得到点的轨迹方程。
参数方程方法适用于描述直线、圆和其他曲线的方程。
三、极坐标系方法极坐标系方法是一种将点的位置用极径r和极角θ来表示的方法。
通过引入极径和极角的关系表达式，可以得到点的轨迹方程。
例如，对于圆的方程可以表示为r=f(θ)，其中f(θ)是关于极角θ的函数。
四、矢量方程方法矢量方程方法是一种用矢量表示点的位置的方法。
通过引入位置矢量r(t)，可以得到点的轨迹方程。
位置矢量r(t)通常用分量表示，如r=(x,y,z)。
矢量方程方法适用于描述曲线在三维空间中的轨迹。
五、微分方程方法微分方程方法是一种通过点的运动规律和动力学方程来推导轨迹方程的方法。
通过对点的位置向量或者其分量进行微分，并代入运动规律方程，可以得到点的轨迹方程。
微分方程方法适用于描述受力作用下点的运动。
六、变分原理方法变分原理方法是一种通过极小化或者极大化一些物理量来推导轨迹方程的方法。
通过对点的位置或路径的泛函进行变分，可以得到使泛函取得极值的轨迹方程。
变分原理方法适用于描述光的传播、质点在介质中的传播等问题。
综上所述，点的轨迹方程可以通过直角坐标系方法、参数方程方法、极坐标系方法、矢量方程方法、微分方程方法和变分原理方法等六种常见方法推导和描述。
不同的方法适用于不同的情况和问题，选择合适的方法可以更方便地求解轨迹方程。
浅谈解析几何中如何求轨迹方程
动 Ｍ 轨 是 （） 心 半 为 ， 轴 争 点 的 迹 以， 中， 轴 争 半 为 的 ａ为 长 ｏ 短
垂 直 的直 线 ｌ ｌ 若 ｌ交 Ｘ 于 Ａ ，： ，， 。 轴 点 ， 交 Ｙ轴 于 Ｂ点 ， ｌ ： 求线 段 Ａ Ｂ的
中点 Ｍ 的 轨迹 方 程 。 分析 ｌ ：设 Ｍ（ Ｙ ， 由 已知 ｘ，）
Ｐ运 动 的某 个 几 何 量 ｔ以 此 量 作 为 参 变 数 ， 别 建 立 Ｐ点 坐 标 。 分
ｘ Ｙ与该 参 数 ｔ 函数 关 系 ｘ ｆ ｔ ，＝ （） 进 而 通 过 消参 化 为 轨 ， 的 ＝ （） ｙ ｇ ｔ ， 迹 的 普通 方 程 Ｆ ｘ ｙ ＝ 。 （ ， ）０
ｌ上ｌ 联 想 到 两 直 线 垂 直 的充 要 条 件 ： ， 一 １ 即 可 列 出 轨 迹 方 。 ： ， ｋｋ ： ， 程 ， 键 是 如 何 用 Ｍ 点 坐 标 表 示 Ａ、 关 Ｂ两 点 坐 标 。事 实 上 ， Ｍ 由
综 上 可 知 ． Ｍ 的轨 迹 方 程 为 ｘ ２ － ＝ 。 点 ＋ ｙ５ Ｏ
｛ （ （ 参 来表 若 判 轨 方程 示 种曲 ｔ 数） 示， 要 断 迹 表 何 线， 爿 为
ｔ＝ （） ｙ ｇ ｔ
分析 ２ ：解 法 １中在 利 用 ｋ ２ ｌ时 ，需 注 意 ｋ、２ 否 存 ｌ一 ｋ ｌ 是 ｋ 在 ． 而 分 情 形讨 论 ， 故 能否 避 开 讨 论 呢 ？ 只需 利 用 ＡＰ Ｂ 为直 角 Ａ
中 图 分 类 号 ：Ｇ６ ２ ３
文 献标 识 码 ：Ｃ
文 章 编号 ： ６ ２ １ ７ （ ０ １０ — ０ ６ ０ １ ７ — ５ ８ ２ １ ）６ ０ ９ — ２ 即 点 Ｂ坐 标 可 表 为 （ ｘ ２ ．ｙ ２一 ａ ２ ）
解析几何求轨迹方程的常用方法
解析几何求轨迹方程的常用方法求轨迹方程的一般方法：1. 定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线〔如圆、椭圆、双曲线、抛物线〕的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。
2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标〔x ，y 〕表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f 〔t 〕， y ＝g 〔t 〕，进而通过消参化为轨迹的普通方程F 〔x ，y 〕＝0。
4. 代入法〔相关点法〕：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，〔该点坐标满足某已知曲线方程〕，则可以设出P 〔x ，y 〕，用〔x ，y 〕表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。
5：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点〔含参数〕的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程〔假设能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程〕，该法经常与参数法并用。
一：用定义法求轨迹方程例1：已知ABC ∆的顶点A ，B 的坐标分别为〔-4，0〕，〔4，0〕，C 为动点，且满足,sin 45sin sin C A B =+求点C 的轨迹。
例2： 已知ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，假设b c a ,,依次构成等差数列，且b c a >>，2=AB ，求顶点C 的轨迹方程.【变式】：已知圆的圆心为M 1，圆的圆心为M 2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P 的轨迹方程。
轨迹方程的求法
轨迹方程求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法、交轨法，待定系数法。
求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念.1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法；例1、已知直角坐标系中，点Q （2，0），圆C 的方程为221x y +=，动点M 到圆C 的切线长与MQ 的比等于常数()0λλ>，求动点M 的轨迹。
◎◎如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，124O O =. 过动点P 分别作圆2O 、圆2O 的切线PM PN ，（M N ，分别为切点），使得PM . 试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程.2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。
例2、动圆过定点,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且与直线2p x =-相切，其中0p >.求动圆圆心C 的轨迹的方程.◎◎ 已知圆C 的方程为 (x-2)2+y 2=100,点A 的坐标为（-2，0），M 为圆C 上任一点，AM 的垂直平分线交CM 于点P ，求点P 的方程。
◎◎已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O ′切直线l 于点A ，又过B 、C 作⊙O ′异于l 的两切线，设这两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程.三、代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x ’，y ’)的运动而有规律的运动，且动点Q 的轨迹为给定或容易求得，则可先将x ’,y ’表示为x,y 的式子，再代入Q 的轨迹方程，然而整理得P 的轨迹方程，代入法也称相关点法。
例3、P 是椭圆191622=+y x 上的动点, 作PD ⊥y 轴, D 为垂足, 求PD 中点的轨迹方程.◎◎已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆外的动点，满足.2||1a F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足.0||,022≠=⋅TF TF PT 求点T 的轨迹C 的方程.练习:1、方程y=122+--x x 表示的曲线是： （ ）A 、双曲线B 、半圆C 、两条射线D 、抛物线2. 抛物线的准线l 的方程是y =1, 且抛物线恒过点P (1,-1), 则抛物线焦点弦的另一个端点Q 的轨迹方程是( ).A. (x -1)2=-8(y -1)B. (x -1)2=-8(y -1) (x ≠1)C. (y -1)2=8(x -1)D. (y -1)2=8(x -1) (x ≠1)3、动点p 与定点A(－1,0), B(1,0)的连线的斜率之积为－1，则p 点的轨迹方程是： （ ）A 、x 2+y 2=1B 、x 2+y 2=1(x ≠±1）C 、x 2+y 2=1(x ≠1）D 、y=21x -4、一动点到两坐标轴的距离之和的2倍，等于该点到原点距离的平方，则动点的轨迹方程是： （ ）A 、x 2+y 2=2(x+y)B 、x 2+y 2=2|x+y|C 、x 2+y 2=2(|x|+|y|)D 、x 2+y 2=2(x －y)5、动点P 到直线x=1的距离与它到点A （4，0）的距离之比为2，则P 点的轨迹是：（ ）A 、中心在原点的椭圆B 、中心在（5，0）的椭圆C 、中点在原点的双曲线D 、中心在（5，0）的双曲线6、已知圆x 2+y 2=4，过A （4，0）作圆的割线ABC ，则弦BC 中点的轨迹方程是 （ ）A 、(x －2)2+y 2=4B 、(x －2)2+y 2=4(0≤x ＜1)C 、(x －1)2+y 2=4D 、(x －1)2+y 2=4(0≤x ＜1)7 . P 是椭圆191622=+y x 上的动点, 作PD ⊥y 轴, D 为垂足, 则PD 中点的轨迹方程为( ). A. 116922=+y x B. 196422=+y x C. 14922=+y x D. 19422=+y x 8、若一动圆与两圆x 2+y 2=1, x 2+y 2－8x+12=0都外切，则动圆圆心的轨迹为： （ ）A 、抛物线B 、圆C 、双曲线的一支D 、椭圆9、点M 到F （3，0）的距离比它到直线x+4=0 的距离小1，则点M 的轨迹方程是：（ ）A 、y 2=12xB 、y 2=12x(x>0)C 、y 2=6xD 、y 2=6x(x>0)10、已知圆x 2+y 2=1，点A （1，0），△ABC 内接于圆，且∠BAC=60°，当B 、C 在圆上运动时，BC 中点的轨迹方程是 （ ）A 、x 2+y 2=21B 、x 2+y 2=41C 、x 2+y 2=21(x<21)D 、x 2+y 2=41（x<41) 11、抛物线过点M （2，－4），且以x 轴为准线，此抛物线顶点的轨迹方程是 （ ）A 、(x －2)2+(y+4)2=16 (0)y ¹B 、(x －2)2+4(y+2)2=16 (0)y ¹C 、(x －2)2－(y+4)2=16D 、(x －2)2+4(y+4)2=1612、中心在原点，焦点在坐标为(0，±52)的椭圆被直线3x －y －2=0截得的弦的中点的横坐标为21，则椭圆方程为 ( ) 222222222222A. 1 B. 1 C. 1 D.12575752525757525x y x y x y x y +=+=+=+= 13、已知⊙O ：x 2+y 2=a 2, A(－a, 0), B(a, 0), P 1, P 2为⊙O 上关于x 轴对称的两点，则直线AP 1与直线BP 2的交点P 的轨迹方程为 （ ）A 、x 2+y 2=2a 2B 、x 2+y 2=4a 2C 、x 2－y 2=4a 2D 、x 2－y 2=a 214、动圆与x 轴相切，且被直线y=x 所截得的弦长为2，则动圆圆心的轨迹方程为 。
求轨迹方程的常用方法(经典)
求轨迹方程的常用方法（一）求轨迹方程的一般方法：1. 待定系数法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。
2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ），y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。
4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。
5.几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。
6：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。
（二）求轨迹方程的注意事项：1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P 的运动规律，即P 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。
)()()(0)(.2为参数又可用参数方程表示程轨迹方程既可用普通方t t g y t f x ，y x ，F ⎩⎨⎧=== 来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。
高中数学解析几何｜求轨迹方程方法最全总结
高中数学解析几何｜求轨迹方程方法最全总结一、直接法若动点运动的条件是一些较为明确的几何量的等量关系，而这些条件易于表达成关于x，y的等量关系式，可以较为容易地得到轨迹方程（即遵循求轨迹方程的一般程序），这种方法我们一般称之为直接法.用直接发求轨迹方程一般都要经过建系、设点、列式、化简、验证这五个环节.二、定义法若动点轨迹的条件符合某一基本而常见轨迹的定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）已从定义来确定表示其几何特征的基本量而直接写出其轨迹方程，或从曲线定义来建立等量关系式从而求出轨迹方程．三、代入法若动点运动情况较为复杂，不易直接表述或求出，但是能够发现形成轨迹的动点P（x,y）随着另一动点Q （X,Y）的运动而有规律的运动，而且动点Q的运动轨迹方程已经给定或极为容易求出，故只要找出两动点P，Q之间的等量关系式，用x，y表示X,Y再代入Q的轨迹方程整理即得动点P的轨迹方程，称之为代入法，也叫相关点法.四、参数法若动点运动变化情况较为复杂，动点的纵坐标之间的等量关系式难以极快找到，可以适当引入参数，通过所设参数沟通动点横坐标之间的联系，从而得到轨迹的参数方程进而再消去所设参数得出轨迹的（普通）方程，称之为参数法.点悟：注意落实好图形特征信息提供的解题方向，前提是自信，实力是运算过关.本题还可有一些较为简捷的解法，不妨试试五、交轨法若所求轨迹可以看成是某两条曲线（包括直线）的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，也可引入参数来建这两条动曲线之间的联系，再消参而得到轨迹方程，称之为交轨法.可以认为交轨法是参数法的一种特殊情况.点悟：交轨是一种动态解题策略，注意特殊或极限情况处理. 六、几何法认真分析动点运动变化规律，可以发现图形明显的几何特征，利用有关平面几何的知识将动点运动变化规律与动点满足的条件有机联系起来，再利用直接法得到动点的轨迹方程，称之为几何法.七、点差法涉及与圆锥曲线中点弦有关的轨迹问题时，常可以把两端点设为(x1,y1),(x2,y2)，代入圆锥曲线方程，然后作差法求出曲线的轨迹方程，此法称之为点差法，也叫平方差法.运用此法要注意限制轨迹方程中变量可能的取值范围.点悟：上述方法是通过设直线AB的方程引入参数b得到动点M 轨迹的参数方程再消去参数得到普通方程，注意参数的取值范围，因而轨迹是一条线段.本题较为简捷的求法还可考虑点差法：。
几种常见求轨迹方程的方法
几种常见求轨迹方程的方法1．直接法由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．例1:(1)求和定圆x2+y2=k2的圆周的距离等于k的动点P的轨迹方程；(2)过点A(a，o)作圆O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹．对(1)分析：动点P的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P的运动规律：|OP|=2R或|OP|=0．解：设动点P(x，y)，则有|OP|=2R或|OP|=0．即x2+y2=4R2或x2+y2=0．故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4R2或x2+y2=0．对(2)分析：题设中没有具体给出动点所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数．由学生演板完成，解答为：设弦的中点为M(x，y)，连结OM，则OM⊥AM．∵kOM·kAM=-1，其轨迹是以OA为直径的圆在圆O内的一段弧(不含端点)．2．定义法利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．直平分线l交半径OQ于点P，当Q点在圆周上运动时，求点P的轨迹方程．分析：∵点P在AQ的垂直平分线上，∴|PQ|=|PA|．又P在半径OQ上．∴|PO|+|PQ|=R，即|PO|+|PA|=R．故P点到两定点距离之和是定值，可用椭圆定义写出P点的轨迹方程．解：连接PA ∵l⊥PQ，∴|PA|=|PQ|．又P在半径OQ上．∴|PO|+|PQ|=2．由椭圆定义可知：P点轨迹是以O、A为焦点的椭圆．3．相关点法若动点P(x，y)随已知曲线上的点Q(x0，y0)的变动而变动，且x0、y0可用x、y表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程．这种方法称为相关点法(或代换法)．例3 已知抛物线y2=x+1，定点A(3，1)、B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP∶PA=1∶2，当B点在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程．分析：P点运动的原因是B点在抛物线上运动，因此B可作为相关点，应先找出点P与点B的联系．解：设点P(x，y)，且设点B(x0，y0) ∵BP∶PA=1∶2，且P为线段AB 的内分点．4．待定系数法求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求．例4 已知抛物线y2=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲曲线方程．分析：因为双曲线以坐标轴为对称轴，实轴在y 轴上，所以可设双曲线方ax2-4b2x+a2b2=0 ∵抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，因此方程ax2-4b2x+a2b2=0应有等根．∴△=1664-4Q4b2=0，即a2=2b．(以下由学生完成) 由弦长公式得：即a2b2=4b2-a2．。
求轨迹方程
求轨迹方程编稿；周尚达审稿：张扬责编：严春梅目标认知学习目标：1．了解什么叫轨迹，并能根据所给的条件，选择恰当的直角坐标系求出曲线的轨迹方程。
2．在形成概念的过程中，培养分析、抽象和概括等思维能力，掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想。
重点：掌握直接法、定义法（待定系数法）、相关点法、参数法等几种求曲线轨迹方程的常用方法。
难点：用相关点法、参数法求曲线轨迹方程。
学习策略：求轨迹方程是解析几何的基本内容，注意理解直接法、定义法（待定系数法）、相关点法、参数法等几种求曲线轨迹方程的常用方法通常各在什么情况下使用。
求出的轨迹方程，应注意避免增根或者丢根。
知识要点梳理求轨迹方程的主要方法(1)直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程。
(2)待定系数法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用待定系数法（定义法）直接探求。
(3)相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程。
适合情况：一动点在基础曲线上运动，依某种条件带动另一动点的运动，我们要求另一动点的轨迹方程。
基本步骤：①建立两动点之间的关系，通常用所求动点的坐标表示已知动点的坐标；②将基础曲线上运动的点的坐标代入基础曲线的方程，整理后，即得所求曲线的方程。
☆(4)参数法：若动点的坐标中的分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，再通过消去参数t得到x与y的关系式，这就是参数法。
规律方法指导1．求轨迹方程的一般思路：①若曲线的类型已确定，一般用待定系数法；②若曲线的类型未确定，但曲线上动点的运动在题目中有明确的表述，一般采用直接法；③若动点的变化依赖于另一相关点的变化，一般采用相关点法（代入转移法）；④若动点坐标之间的关系不易找出，一般可采用参数法。
但应注意所列方程个数比参数个数要多一个，才可以消去参数。
2.求轨迹方程应注意的问题：①求轨迹方程后一定要注意轨迹的纯粹性和完备性；以保证方程的解与曲线上的点具有一一对应的关系, 尤其是题中涉及三角形、斜率、参数方程中参数的限制, 往往使方程产生增根。
求曲线轨迹方程的方法
四、参数法求曲线方程
若过点 P(1，1)且互相垂直的两条直线 l1，l2 分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，则 AB 中点 M 的轨迹方程为________．
四、参数法求曲线方程
【审题】 斜率存在时，点斜式设l1的方程→得l2的方程→ 联立方程→求交点坐标→消去参数→得结果→斜率不存在时将
三、相关点法求曲线轨迹方程
基本思路：
①设点：设被动点的坐标 M (x, y)，主动点的坐标 P(x0, y0；) ②求关系式：用被动点的坐标M (x, y) 表示主动点的坐标 P(x0, y0 )，即
得关系式
xy00
g(x, h(x,
y) y)
③代换：将上述关系式带入主动点满足的方程，化简整理可得所求动 点的轨迹方程。
三、相关点法求曲线轨迹方程
x 例 在圆 x2 y2 4上任取一点P，过点P作 轴的垂线段PD，
D为垂足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程。
解析：设M (x, y), P(x0 , y0 ),则x
x0 , y
y0 2
.
因为点P在圆上，所以x02 y02 4 。
把 x0 x, y0 2x带入上式得：x2 4 y2 4.
二：定义法求轨迹方程
思路：如果动点的轨迹满足某种已知曲线定义，则可由曲 线的定义直接写出方程，利用定义法求轨迹方程要善于抓 住曲线定义的特征。 要点：四种曲线定义及成立条件
方法：建系设点 定型（思考几何关系，进而寻求数量关系） 定方程 定范围
二：定义法求轨迹方程
圆的定义： |PC|=r (r>0) 椭圆的定义：
一：直接法（直译法）求轨迹方程
例 已知一条直线 l 和它上方的一个点F，点F到l 的距离是2.一条曲线 也 l 在的上方，它上面的每一点到F的距离减去到 l 的距离的差都是2，
求轨迹方程的五种方法
求轨迹方程的五种方法有五种方法可以求解轨迹方程，分别是：1.参数方程法2.一般方程法3.极坐标方程法4.隐函数方程法5.线性方程组法接下来将对这五种方法进行详细解释。
1.参数方程法：参数方程法是指将坐标轴上的点的位置用一个参数表示，通过参数的变化来表示轨迹。
例如，一个点在x轴上运动，其速度为v，经过时间t后的位置可以用参数方程表示为x = vt。
参数方程法可以很方便地描述物体的运动轨迹，特别适用于描述曲线的参数方程。
2.一般方程法：一般方程法是指将轨迹上的点的位置用一般方程表示。
例如，对于一个圆形轨迹x^2+y^2=r^2，其中r为半径，可以通过该一般方程来描述圆的轨迹。
一般方程法可以描述各种曲线轨迹，但是求解过程可能较为繁琐。
3.极坐标方程法：极坐标方程法是指将轨迹上的点的位置用极坐标系表示。
极坐标系由极径和极角两个参数组成，其中极径表示点到原点的距离，极角表示点在极坐标系中的方向角度。
通过给定极径和极角的值可以唯一确定一个点的位置。
例如，对于一个以原点为中心的圆形轨迹，可以用极坐标方程表示为r=R，其中R为圆的半径。
极坐标方程法适用于描述具有对称性的轨迹，如圆形、椭圆形等。
4.隐函数方程法：隐函数方程法是指将轨迹上的点的位置用隐函数方程表示。
隐函数方程是一个含有多个变量的方程，其中至少有一个变量无法用其他变量表示。
通过给定其他变量的值，可以计算出不能用其他变量表示的变量的值，从而确定轨迹上的点的位置。
例如，对于一个抛物线轨迹y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，可以根据给定的x的值求解出y的值，从而确定轨迹上的点的位置。
5.线性方程组法：线性方程组法是指将轨迹上的点的位置用线性方程组表示。
线性方程组是由多个线性方程组成的方程组，其中每个方程的未知数是轨迹上的点的坐标。
通过求解线性方程组可以得到轨迹上的点的坐标。
线性方程组法适用于描述由多个轨迹组成的复杂图形，如多边形等。
以上就是求解轨迹方程的五种方法，分别是参数方程法、一般方程法、极坐标方程法、隐函数方程法和线性方程组法。
求轨迹方程的几种常用方法
4 1
、
③
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、
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求 与 定圆 (
一
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2
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) 的 动 圆圆 心 的 轨 迹方 程 0
,
从 而 求 得 圆的方 程是
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解 如 图 设 动 圆圆 心 为 M ( “ 的 : 设条 件
10
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4
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3
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十
ZP
解析几何中的轨迹方程求解
解析几何中的轨迹方程求解轨迹方程是解析几何中的一个重要概念，它描述了一个点或物体在空间中移动时所形成的路径。
在解析几何中，通过求解轨迹方程，我们可以更好地理解点、线、平面和曲线的运动特性。
1. 轨迹方程的定义轨迹方程是描述一个点在空间中运动时其位置关系的方程。
它通常由坐标变量及其参数所组成，通过参数的变化，可以获得点在空间中的不同位置。
在解析几何中，常见的轨迹方程有直线方程、圆的方程、椭圆的方程、抛物线的方程和双曲线的方程等。
这些方程中的参数表示了轨迹的特性，例如直线的斜率、圆的半径等。
2. 求解轨迹方程的步骤对于不同的轨迹类型，求解轨迹方程的步骤可能略有不同。
下面以直线方程为例，介绍求解轨迹方程的一般步骤：步骤一：确定知识点首先，要明确已知的知识点或条件。
在求解直线方程的轨迹时，我们需要知道直线上的两个点或直线的斜率。
步骤二：列出方程根据已知的知识点，我们可以列出代表轨迹的方程。
对于直线轨迹，一般的方程形式为 y = mx + c，其中 m 表示直线的斜率，c 表示直线与 y 轴的截距。
步骤三：确定参数根据已知条件，确定方程中的参数。
对于直线方程，参数包括斜率m 和截距c。
步骤四：解方程将已知条件代入方程中，解方程获得未知参数的值。
解方程可以使用代数法、几何方法或数值计算等方法。
步骤五：得到轨迹方程将求解得到的参数代入方程中，得到轨迹方程。
轨迹方程表示了点在空间中的路径。
3. 轨迹方程的应用轨迹方程在解析几何中具有广泛的应用。
它可以用于描述物体的运动轨迹、分析几何特性以及解决实际问题。
例如，通过求解轨迹方程，我们可以计算一个物体在空间中的位置，预测其未来的位置，从而实现控制和导航。
轨迹方程也可以用来描述天体运动、流体力学等领域中的运动规律。
此外，轨迹方程还可以用于几何图形的设计和建模。
通过调整轨迹方程中的参数，我们可以创建出各种不同形状的曲线，用于艺术、设计和工程等领域。
4. 总结解析几何中的轨迹方程求解是一个重要的数学概念。
求轨迹方程的常用方法
求轨迹方程的常用方法轨迹方程是描述物体运动轨迹的数学表达式。
常用的方法包括几何法、解析法和向量法。
一、几何法通过几何分析，可以利用直观的图形来确定轨迹方程。
1.1圆轨迹对于物体在平面上以一些固定点为中心做等速圆周运动的情况，其轨迹是一个圆。
圆轨迹可以通过半径和圆心坐标来表示。
1.2椭圆轨迹对于物体在空间中以一些固定点为焦点的椭圆轨迹，可以利用焦点坐标和半径长度来确定椭圆方程。
1.3抛物线轨迹物体在重力作用下自由落体的运动可以近似为一个抛物线运动。
其轨迹方程可以通过焦点坐标和准线方程来确定。
1.4双曲线轨迹一些情况下，物体运动的轨迹是一个双曲线。
双曲线轨迹可以通过焦点坐标和半轴长度来描述。
二、解析法解析法是通过分析物体在坐标系下的运动方程来确定轨迹方程。
2.1直角坐标系下的解析法在直角坐标系下，物体的运动可以由水平方向和垂直方向上的运动方程确定。
利用运动方程，可以消除时间因素，得到轨迹方程。
2.2极坐标系下的解析法在极坐标系下，物体的运动可以由径向运动方程和角度方程确定。
通过解析极坐标下的方程，可以得到轨迹方程。
2.3参数方程下的解析法在参数方程下，物体的运动可以由参数方程表示。
通过参数方程分别给出$x$和$y$坐标与参数$t$之间的关系，可以得到轨迹方程。
三、向量法向量法是通过运用向量的概念和运算来分析物体的运动轨迹。
3.1数量积表示轨迹方程通过设定一个合适的道路向量，可以用向量内积的形式表示运动方程，从而得到轨迹方程。
3.2向量积表示轨迹方程通过设定一个合适的平面向量，可以用向量叉积的形式表示运动方程，进而得到轨迹方程。
综上所述，求轨迹方程的常用方法包括几何法、解析法和向量法。
在实际应用中，根据具体问题的特点和要求选择合适的方法来求解轨迹方程。
求轨迹方程的几种常用方法
求轨迹方程的几种常用方法求轨迹的方程，是学习解析几何的基础，求轨迹的方程常用的方法主要有：1．直接法：若命题中所求曲线上的动点与已知条件能直接发生关系，这时，设曲线上动点坐标为（,x y ）后，就可根据命题中的已知条件，研究动点形成的几何特征，在此基础上运用几何或代数的基本公式、定理等列出含有,x y 的关系式。
从而得到轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称作直接法。
例1：在直角△ABC 中，斜边是定长2a (0)a >，求直角顶点C 的轨迹方程。
解：由于未给定坐标系，为此，首先建立直角坐标系，取AB 所在的直线为x 轴，AB 的中点O 为坐标原点，过O 与AB 垂直的直线为y 轴(如图)．则有A (,0)a -，B (,0)a 。
设动点C 为(,)x y ，∵222||||||AC BC AB +=，∴2224a +=，即222x y a +=．由于C 点到达A 、B 位置时直角三角形ABC 不存在，轨迹中应除去A 、B 两点，故所求方程为222x y a +=（x a ≠±）。
2．代入法（或利用相关点法）：即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解，就得到原动点的轨迹。
例2：已知一条长为6的线段两端点A 、B 分别在x 、y 轴上滑动，点M 在线段AB 上，且:1:2AM MB =，求动点M 的轨迹方程。
解：设A (,0)a ，B (0,)b ，M (,)x y ，一方面，∵||6AB =，∴2236a b +=， ①另一方面，M 分AB 的比为12，∴1022133122130121312a x a a xb y b y b ⎧+⨯⎪==⎪⎪+⎧=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=+⎩⎪==⎪+⎪⎩ ② ②代入①得：223()(3)362x y +=，即221164x y +=。
评注：本例中，由于M 点的坐标随着A 、B 的变化而变化，因而动点M 的坐标(,)x y 可以用A 、B 点的坐标来表示，而点M 又满足已知条件，从而得到M 的轨迹方程。
求轨迹方程方法总结
求轨迹方程方法总结轨迹方程是描述物体运动路径的数学表达式。
当我们了解物体的运动规律时，可以使用轨迹方程来描述其运动轨迹，从而帮助我们更好地理解和预测物体的运动。
下面将总结几种常用的推导轨迹方程的方法。
一、基础几何方法：1. 直线运动：对于直线运动，轨迹方程可以通过位移与时间的关系来推导。
如果物体的初始位置为(x0, y0)，速度为v，则物体在时间t后的位置(x,y)可以表示为 x = x0 + vt，y = y0。
从而得到轨迹方程 y = y0 + vt。
2.曲线运动：对于曲线运动，可以通过几何关系来推导轨迹方程。
例如，对于抛体运动，可以通过重力加速度和初速度的关系，推导出位置关于时间的二次方程，从而得到轨迹方程。
二、解微分方程方法：1.一阶微分方程：对于一阶微分方程，可以通过求解微分方程得到轨迹方程。
例如，对于匀加速直线运动，可以得到速度关于时间的一阶微分方程，通过求解得到速度与时间的表达式，再通过积分得到位移与时间的表达式，从而得到轨迹方程。
2.二阶微分方程：对于二阶微分方程，可以通过推导得到物体的运动规律，并进一步得到轨迹方程。
例如，对于单摆运动，可以通过考虑受力平衡和受力大小的关系，推导出物体的运动方程，从而得到轨迹方程。
三、向量方法：1.位矢法：对于具有速度和加速度的运动，可以通过位矢法推导轨迹方程。
位矢是一个描述位置和方向的向量，通过将速度积分得到位矢，再通过对位矢微分得到速度，通过对速度微分得到加速度，从而得到物体的位矢关于时间的表达式。
2.矢量投影法：对于运动方向发生变化的运动，可以利用矢量投影法推导轨迹方程。
将位矢投影到坐标轴上，得到物体在各个坐标轴上的分量，从而得到轨迹方程。
四、参数方程方法：1.参数方程是一种用参数表示物体运动轨迹的方法。
可以将物体的运动分解为水平方向与竖直方向上的分量，再通过参数来表示时间的变化。
将水平和竖直方向的分量分别定义为x(t)和y(t)，则轨迹方程可以表示为(x(t),y(t))。
招式八：轨迹问题
招式八：轨迹问题轨迹法：1.直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系,这些条件简单明确,不需要特 殊的技巧,易于表述成含 x,y 的等式,就得到轨迹方程,这种方法称之为直接法；例1、直角坐标系中,点 Q (2, 0),圆C 的方程为X 2 y2 1 ,动点M 到圆C 的切线长与l MQ l的比等于常数(0),求动点M 的轨迹.222【解析】设MN 切圆C 于N,那么|MN ||MO||ON|.设M(x,y),那么◎ ◎如图,圆.1与圆.2的半径都是1,.1.2 4.过动点P 分别作圆.2、圆.2的切线PM , PN ( M ,N 分别为切点),使得PM 虚PN .试建立适当的坐标系,并求动点P 的轨迹方程【解析】以O 1O 2的中点O 为原点,O 1O 2所在直线为x 轴,建立如下图的平面直角坐标系,那么 01( 2,0), .2(2,0).即(x 6)2 y 2 33.(或 x 2 y 2 12x 3 0) 评析：1、用直接法求动点轨迹一般有建系 意挖〞与补〞.2、求轨迹方程一般只要求出方程即可,求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么.2.定义法：运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲线的定义) ,可从曲线定义出发直接写出轨迹方程,或从曲线定义出发建立关系式,从而求出轨迹方程.由 PM J2P N 』I|PM 2 2PN 2. 由于两圆半径均为 1,所以____ 2_ _______ 2PO 1 1 2(PO 21).设 P(x, y),那么_ 22(x 2)2 y 2 122[(x 2)21],■-22-22-J x y 1 J (x 2) y化简得(511) 当 1时,万程为x表示一条直线.221)(x1时, 方程化为(x2 2.22y(2 1)2,设点,列式,化简,证实五个步骤,最后的证实可以省略,但要注 表不一"个-,0 ,且与直线x E 相切,其中p 0.求动圆圆心C 的轨迹的方程; 2 2为动圆圆心,2,0为记为F ,过点M 作直线x p 的垂线,2 2垂足为N ,由题意知：|MF| |MN|即动点M 到定点F 与定直线x p 的距离相等,2由抛物线的定义知,点 M 的轨迹为抛物线,其中 F 上,0为焦点,2xR 为准线,所以轨迹方程为 y 2 2px(P 0)；2OM 于点P,求点P 的方程.由切线的性质知：|BA|=|BD| , |PD|=|PE| , |CA|=|CE| ,故 |PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18>6=|BC| ,故由椭圆定义知,点P 的轨迹是以B 、C 为两焦点的椭圆,以l 所在的直线为x 轴,以BC 的中点为原点,建立坐标系,22可求得动点P 的轨迹方程为： —支一181 72评析：定义法的关键是条件的转化一一转化成某一根本轨迹的定义条件.三、相关点法： 动点所满足的条件不易表述或求出,但形成轨迹的动点 P(x,y)^随另一动点 Q(x', y')的运动而有规律的运动, 且动点Q 的轨迹为给定或容易求得, 那么可先将x',表示为x,y 的式子,再代入Q 的 轨迹方程,然而整理得 P 的轨迹方程,代入法也称相关点法.几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质,发现动点运动规律和动点满足的条件,然而得出动点的轨迹方程.例3、如图,从双曲线 x 2-y 2=1上一点Q 引直线x+y=2的垂线,垂足为 No 求线段QN 的中点P 的轨迹 方程. 【解析】设动点 P 的坐标为(x,y),点Q 的坐标为(x 1,y 1)第2页共6页◎ ◎圆O 的方程为x 2+y 2=100,点A 的坐标为(-6, 0), M 为圆O 上任一点, AM 的垂直平分线交例2、动圆过定点【解析】如图,设M【解析】由中垂线知,|PA |PM | 故 |PA |PO ||PM| |PO | |OM| 10,即P 点的轨迹为以 A 、 O 为焦点的椭圆,中央为( -3, 0),故P 点的方程为(x 3)2 252y 16125 ◎ ◎ A 、B 、C 是直线l 上的三点,且|AB|=|BC|=6 , 0O'切直线l 于点A,又 过B 、C 作.O'异于l 的两切线,设这两切线交于点P,求点P 的轨迹方程.【解析】设过B 、C 异于l 的两切线分别切.O'于D 、E 两点,两切线交于点P.p 2贝U N ( 2x-x i,2y-y i)代入x+y=2得2x-x i+2y-y i=2①又PQ垂直于直线x+y=2,故^y一y1 1,即x-y+y i-x i=0② x x i_ ............ __ ________ 3 i i 3由①②解方程组得x i 3x」y i,y i ,x 3y i,2 2 2 2代入双曲线方程即可得P点的轨迹方程是2x2-2y2-2x+2y-i=02 2◎ ◎椭圆 : 与i〔a b 0〕的左、右焦点分别是a b F i 〔―c, 0〕、F2 〔c, 0〕, Q是椭圆外的动点,满足|F i Q| 2a.点P是线段F i Q与该椭圆的交点,点T在线段F2Q上,并且满足PT TF2 0,|TF2 | 0.求点T的轨迹C的方程；【解析】解法一：〔相关点法〕设点T的坐标为〔x, y〕.当|PT| 0时,点〔a, 0〕和点〔一a, 0〕在轨迹上当| PT | 0且|TF2 | 0时,由PT TF2 0 ,得PT TF2 .又| PQ| | PF? | ,所以T为线段F2Q的中点.设点Q的坐标为x c 2 y . 2因此2x c, 2y.由|EQ| 2a 得(x c)2 y 2 4a2.将①代入②,可得x2 y2 a2.综上所述,点T的轨迹C的方程是x2 y2 a2.解法二：〔几何法〕设点T的坐标为〔x, y〕.当|所| 0时,点〔a, 0〕和点〔—a, 0〕在轨迹上当| PT | 0且|TF2 | 0时,由|PT| |TF2 | 0,得PT TF2. 又|PQ| |PF z|,所以T为线段F2Q的中点.在△ QF1F2 中,—— 1|OT | -| F I Q | a ,所以有综上所述,点T的轨迹C的方程是x2 y2评析：一般地: 定比分点问题,对称问题或能转化为这两类的轨迹问题,都可用相关点法.四、参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系,那么可借助中间变量〔参数〕,使x,y之间建立起联系,然而再从所求式子中消去参数,得出动点的轨迹方程.例4、在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B 满足AO± BO〔如图4所示〕.求△ AOB的重心G 【解析】〔即三角形三条中线的交点〕的轨迹方程;解法一：以OA的余^率k为参数由k x 解得A (k, k2) x•.OA, OB, ..OB: y 1 -x 2k x设△ AOB勺重心G 〔x, y),那么k21J?消去参数k得重心G的轨迹方程为y3x2解法二：设^ AOB的重心为G〔x,y〕,A〔x i,y i〕,B 〔x2,y2〕,那么…(1)小y23-• OA± OB k OA k OB 1,即x1x2 y〔y21, (2)又点A, B在抛物线上,有y1 2X I , y2 代入〔2〕化简得x〔x2y1 y2 1/2 •• y -;- -(x13 3 x；)13[(x1x2)22x1x2 ] 3 (3x)23x2所以重心为G的轨迹方程为y3x2◎ ◎如图,设抛物线C : y x2的焦点为F,动点P在直线l : x y 0上运动,过P作抛物线C的两条切线PA、PB,且与抛物线C分别相切于A、B两点.求△ APB的重心G的轨迹方程.【解析】设切点A、B坐标分别为〔x,x；〕和〔X1,X12〕〔〔X1 X o〕, ,切线AP的方程为：2x0x y x20;2 _切线BP的万程为：2x1 x y x1 0;解得P点的坐标为：x P Xo——X~,y P x o x12所以△ APB的重心G的坐标为x G ^0一X1一X P X P,V G v.必y p32 2X0 % X0X13〔X0 %〕2X0X1 4x P2y p所以y p 3V G 4x G,由点p在直线i上运动,从而得到重心G的轨迹方程为：1x 〔 3y 4x2〕 2 0,即y -〔4x2x 2〕.五、交轨法：求两动曲线交点轨迹时,可由方程直接消去参数,例如求两动直线的交点时常用此法, 也可以引入参数来建立这些动曲线的联系,然而消去参数得到轨迹方程.可以说是参数法的一种变种.2例5、抛物线y 4Px〔P 0〕的顶点作互相垂直的两弦OA、OB,求抛物线的顶点O在直线AB上的射影M的轨迹.2 2 解1〔交轨法〕：点A、B在抛物线y2 4px〔p 0〕上,设A〔无,y A〕,B〔34p 4p ,y B〕所以k oA= _P k OB=V A4p .-- 油OA垂直OB得k OA k OB = -1,得y A y B= -16p,又AB方程可求得y y A y B2 V A V B入,V A、〔x4p 4py--4px--y A y B=0,把y A y B= -16p2代入得AB 方程〔y A+y B〕y--4px+16p2=0 ① 又OM 的方程为y V A V B --- X4P由①②消去得y A+y B即得x2 y2 4px 0, 2 2.2即得〔x 2p〕 y 4p.所以点M的轨迹方程为〔X 2p〕2 2 ,2 ................ ....... _ _ ,一 , ,,一一一 ...y 4p,其轨迹是以〔2p,0〕为圆心,半径为2 P的圆,除去点〔0, 0〕.评析：用交轨法求交点的轨迹方程时,不一定非要求出交点坐标,只要能消去参数,得到交点的两个坐标间的关系即可.交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况.3以由圆的几法性质可知：M点的轨迹是以(2p,0)为圆心,半径为2P的圆.所以方程为2 2.2(x 2p) y 4p ,除去点(0, 0).1、定点F(1, 0),动点P在y轴上运动,过点P作PM交x轴于点M,并延长MP到点N,且P M PF 0,|而| | PN|. (1)动点N的轨迹方程；(2)线l与动点N的轨迹交于A, B两点,假设OA OB 4,且4j6 | AB| 4^30 ,求直线l的斜率k的取值范围.⑴ 设动点N的坐标为(x,y),那么M( x,0), P(0,-y)(x 0), PM* ( x, -y), 2 22PF (1,)),由丽PF 0得x 匕0,因此,动点的轨迹方程为y24x(x 0).2 4(2)设l与抛物线交于点A (x1,y1),B(x2,y2),当l与x轴垂直时, 那么由OAOB 4,得y1 2< 2, y2 2j2,|AB|4四4®不合题意,故与l与x轴不垂直,可设直线l的方程为y=kx+b(k W0那么由OA OB 4,得X1X2y1 y2 4由点A, B在抛物线y2 4x(x 0)上,有y； 4x, y； 4x2,故yy? 8.又y2=4x, y=kx+b 得ky2—4y+4b=0,所以,, / , 2 〞4b 2 2 1 k 16一8,b 2k. 16(1 2k ),|AB| —— (— 32)内为k k k4 , 21 k 164^6 | AB | 4430,所以96 ——(― 32) 480.k2 k2解得直线l的斜率的取值范围是[1 1] [1,1].’2 2第6页共6页。
求曲线轨迹方程
=
=
此即点 M 的轨迹方程.
2
+
,
2
消去
-,
k,得 y2=p(x-2p),
2 2
,
2
,
对点训练3过圆O:x2+y2=4外一点A(4,0),作圆的割线,求割线被圆截得的弦
BC的中点M的轨迹方程.
解:设点M(x,y),B(x1,y1),C(x2,y2),直线AB的方程为y=k(x-4),
求轨迹方程的常用方法
代入法
参数法
交轨法
点差法
一、定义法
如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线(如圆、椭圆、双曲线、
抛物线)的定义,则可先设出轨迹方程,再根据已知条件,确定方程中的常数,
即可得到轨迹方程.
例1.已知△ABC的顶点A,B的坐标分别为(-4,0),(4,0),C为动点,且满足sin A
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
答案:D
解析:=(-2-x,-y),=(3-x,-y),∴ ·=(-2-x)(3-x)+y2=x2-x-6+y2.
由条件,x2-x-6+y2=x2,整理得y2=x+6,此即点P的轨迹方程,
∴点P的轨迹为抛物线,故选D.
)
对点训练 2 动点 P(x,y)到两定点 A(-3,0)和 B(3,0)的距离的比等于 2 即
解:由题意,设 A
2
4
, ,B
2
4
, ,所以
4
4
kOA= ,kOB= ,
由 OA 垂直 OB 得 kOAkOB=-1,得 yAyB=-16p2,
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解析几何求轨迹方程的常用方法求轨迹方程的一般方法：1. 定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。
2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ）， y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。
4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。
5：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。
一：用定义法求轨迹方程例1：已知ABC ∆的顶点A ，B 的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足,sin 45sin sin C A B =+求点C 的轨迹。
例2： 已知ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，若b c a ,,依次构成等差数列，且b c a >>，2=AB ，求顶点C 的轨迹方程.【变式】：已知圆的圆心为M 1，圆的圆心为M 2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P 的轨迹方程。
【变式】：⊙C ：22(3)16x y ++=内部一点(3,0)A 与圆周上动点Q 连线AQ 的中垂线交CQ 于P ，求点P 的轨迹方程.二：用直译法求轨迹方程例3：一条线段两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，且BM=a ，AM=b ，求AB 中点M 的轨迹方程？【变式】: 动点P （x,y ）到两定点A （－3，0）和B （3，0）的距离的比等于2（即2||||=PB PA ），求动点P 的轨迹方程？三：用参数法求轨迹方程此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。
注意参数的取值范围。
例4．过点P （2，4）作两条互相垂直的直线l 1，l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。
例5: 过抛物线px y 22=（0>p ）的顶点O 作两条互相垂直的弦OA 、OB ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程.【变式】过圆O ：x 2 +y 2= 4 外一点A （4，0），作圆的割线，求割线被圆截得的弦BC 的中点M 的轨迹。
四：用代入法求轨迹方程例6. 的的中点求线段为定点上的动点是椭圆点M AB ，a ，，A by a x B )02(12222=+轨迹方程。
例7: 如图，从双曲线1:22=-y x C 上一点Q 引直线2:=+y x l 的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程.【变式】如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程五、用交轨法求轨迹方程例8.已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2，求A 1P 1与A 2P 2交点M 的轨迹方程.B Q RAPo yx y QO xNP例9： 如右图，垂直于x 轴的直线交双曲线12222=-b y a x 于M 、N 两点，21,A A 为双曲线的左、右顶点，求直线M A 1与N A 2的交点P 的轨迹方程，并指出轨迹的形状.六、用点差法求轨迹方程例10. 已知椭圆1222=+y x ， （1）求过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程； （2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过()12，A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；课后作业1.在ABC ∆中，B ，C 坐标分别为（-3，0），（3，0），且三角形周长为16，则点A 的轨迹方程是______________.2.两条直线01=--my x 与01=-+y mx 的交点的轨迹方程是 __________ .xA 1A 2O y NMP3.已知圆的方程为(x-1)2+y 2=1,过原点O 作圆的弦0A ，则弦的中点M 的轨迹方程是 _____4.当参数m 随意变化时，则抛物线()yx m x m =+++-22211的顶点的轨迹方程为______。
5:点M 到点F （4，0）的距离比它到直线x +=50的距离小1，则点M 的轨迹方程为________。
6:求与两定点()()O O A 1030，、，距离的比为1：2的点的轨迹方程为_____________ 7.抛物线x y 42=的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）与抛物线交于A 、B 两点，动点C 在抛物线上，求△ABC 重心P 的轨迹方程。
8.已知动点P 到定点F （1，0）和直线x=3的距离之和等于4，求点P 的轨迹方程。
9.过原点作直线l 和抛物线642+-=x x y 交于A 、B 两点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。
10、已知定点A ( 3, 0 )，P 是圆x 2 + y 2 = 1上的动点，∠AOP 的平分线交AP 于M ，求M 点的轨迹。
11、已知常数0a >，经过定点(0,)A a -以(,)m a λ=为方向向量的直线与经过定点(0,)B a ，且以(1,2)n a λ=为方向向量的直线相交于点Ｐ，其中R λ∈． ⑴ 求点Ｐ的轨迹Ｃ的方程，它是什么曲线；⑵ 若直线:1l x y +=与曲线Ｃ相交于两个不同的点Ａ、Ｂ，求曲线Ｃ的离心率的范围．12、过点(2,0)M -，作直线l 交双曲线221x y -=于A 、B 不同两点，已知OP OA OB =+。
（1）、求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。
（2）、是否存在这样的直线，使||||?OP AB =若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由。
补充例题：1.过抛物线 y 2 = 4 p x ( p > 0 )的顶点作互相垂直的两弦OA 、OB ，求抛物线的顶点O 在直线AB 上的射影M 的轨迹。
2.已知椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0),点P 为其上一点，F 1、F 2为椭圆的焦点，∠F 1PF 2的外角平分线为l ，点F 2关于l的对称点为Q ，F 2Q 交l 于点R(1)当P 点在椭圆上运动时，求R 形成的轨迹方程；(2)设点R 形成的曲线为C ，直线l y =k (x +2a )与曲线C 相交于A 、B 两点，当△AOB 的面积取得最大值时，求k 的值3．如图11-5-1，已知圆O ：2225,x y += 点(3,0),(3,0)A B -，C 为圆O 上任意一点，直线CD 与BC 垂直，并交圆O 于另一点D . （1）求证：AD BC λ=；（2）若点P 在线段CD 上，且PAD PBC ∠=∠，求点P 的轨迹方程.P OxyABCD图11-5-1求轨迹方程的常用方法 答案例1：由,sin 45sin sin C A B =+可知1045==+c a b ，即10||||=+BC AC ，满足椭圆的定义。
令椭圆方程为12'22'2=+b y ax ，则34,5'''=⇒==b c a ，则轨迹方程为192522=+y x （)5±≠x ，图形为椭圆（不含左，右顶点）。
例2：解：如右图，以直线AB 为x 轴，线段AB 的中点为原 点建立直角坐标系. 由题意，b c a ,,构成等差数列，∴b a c +=2，即4||2||||==+AB CB CA ，又CA CB >，∴C 的轨迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中，1,2='='c a ，3='b ，故C 的轨迹方程为)2,0(13422-≠<=+x x y x .【变式】解：设动圆的半径为R ，由两圆外切的条件可得：，。
∴动圆圆心P 的轨迹是以M 1、M 2为焦点的双曲线的右支，c=4，a=2，b 2=12。
故所求轨迹方程为2:一动圆与圆O ：122=+y x 外切，而与圆C ：08622=+-+x y x 内切，那么动圆的圆心M 的轨迹是： A ：抛物线B ：圆 C ：椭圆 D ：双曲线一支【解答】令动圆半径为R ，则有⎩⎨⎧-=+=1||1||R MC R MO ，则|MO|-|MC|=2，满足双曲线定义。
故选D 。
二：用直译法求曲线轨迹方程例3： 一条线段AB 的长等于2a ,两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，求AB 中点P 的轨迹方程？解 设M 点的坐标为),(y x 由平几的中线定理：在直角三角形AOB 中，OM=,22121a a AB =⨯= 22222,a y x a y x =+=+∴CB yxO AM 点的轨迹是以O 为圆心，a 为半径的圆周. 【点评】此题中找到了OM=AB 21这一等量关系是此题成功的关键所在。
一般直译法有下列几种情况： 1）代入题设中的已知等量关系：若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出，则采用直接将数量关系代数化的方法求其轨迹。
2）列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设条件列出等式，得出其轨迹方程。
3）运用有关公式：有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应的恒等变换即得其轨迹方程。
4）借助平几中的有关定理和性质：有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法.【变式2】: 动点P （x,y ）到两定点A （－3，0）和B （3，0）的距离的比等于2（即2||||=PB PA ），求动点P 的轨迹方程？【解答】∵|P A |=2222)3(||,)3(y x PB y x +-=++代入2||||=PB PA 得222222224)3(4)3(2)3()3(y x y x y x y x +-=++⇒=+-++ 化简得（x －5）2+y 2=16，轨迹是以（5，0）为圆心，4为半径的圆.三：用参数法求曲线轨迹方程此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。