高二数学选修-2导数2种题型归纳(中等难度)

导数题型分类解析（中等难度）

一、变化率与导数

函数)(0x f y =在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即)('0x f =0

lim →∆x x y

∆∆=0

lim →∆x x x f x x f Δ)()Δ(00-+，表示

函数)(0x f y =在x 0点的斜率。注意增量的意义。

例1：若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000

()()

lim

h f x h f x h h

→+-- 的值为（ ）

A ．'0()f x

B ．'02()f x

C ．'

02()f x - D ．0 例2：若'

0()3f x =-，则000()(3)

lim

h f x h f x h h

→+--=（ ）

A.3- B ．6- C ．9- D ．12-

例3：求0lim →h h

x f h x f )

()(020-+

二、“隐函数”的求值

将)('0x f 当作一个常数对)(0x f 进行求导，代入0x 进行求值。 例1：已知()()232

f x x x f '+=，则()='2f

例2：已知函数()x x f x f sin cos 4+⎪⎭⎫

⎝⎛'=π，则⎪⎭

⎫

⎝⎛4πf 的值为 . 例3：已知函数)(x f 在R 上满足88)2(2)(2

-+--=x x x f x f ，则曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为（ ）

A. 12-=x y

B. x y =

C. 23-=x y

D. 32+-=x y

三、导数的物理应用

如果物体运动的规律是s=s （t ），那么该物体在时刻t 的瞬间速度v=s ′（t ）。 如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v （t ），则该物体在时刻t 的加速度a=v′（t ）。

例1：一个物体的运动方程为2

1t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，求物体在3秒末的瞬时速度。 例2：汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ ）

四、基本导数的求导公式

①0;C '=（C 为常数） ②()1

;n

n x

nx

-'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-;

A ．

B ．

C ．

D ．

⑤();x

x

e e '= ⑥()ln x

x

a a a '=; ⑦()1ln x x '=

; ⑧()1

l g log a a o x e x

'=. 例1：下列求导运算正确的是 ( )

A ．2111x x x +='

⎪⎭⎫ ⎝

⎛+ B ．()='x 2log =2ln 1x C ．()e x x 3log 33=' D ． ()

x x x x sin 2cos 2

-='

例2：若()()()()()()()N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈'

=⋯⋯'='==+,,,,sin 112010，，则()=x f 2005

五、导数的运算法则

常数乘积：.)('

'

Cu Cu = 和差：(.)'

'

'

v u v u ±=±

乘积：.)('

'

'

uv v u uv += 除法：='

⎪⎭

⎫

⎝⎛v u 2

''v uv v u - 例1：（1）函数32log y x x =+的导数是 （2）函数1

2+x n e

x 的导数是

六、复合函数的求导

[()]()*()f x f x ϕμϕ'''=，从最外层的函数开始依次求导。

例1：（1）3

(1cos 2)y x =+ （2）2

1sin

y x

= 七、切线问题 （曲线上的点求斜率）

例1：曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°

().

_________1,y 21,=⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧+=-=n n n n S n n a a x x x y n 项和为的前数列则轴的交点的纵坐标为处的切线与在设曲线例：对正整数

（曲线外的点求斜率）

例1：已知曲线2

y x =，则过点(1,3)P -，且与曲线相切的直线方程为 . 例2：求过点（-1，-2）且与曲线3

2y x x =-相切的直线方程. （切线与直线的位置关系）

例1：曲线3

()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ）

A ．(1,0)

B ．(2,8)

C ．(1,0)和(1,4)--

D ．(2,8)和(1,4)-- 例2：若曲线4

y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）

A ．430x y --=

B ．450x y +-=

C ．430x y -+=

D ．430x y ++= 八、函数的单调性 （无参函数的单调性） 例1：证明：函数ln ()x

f x x

=在区间（0，2）上是单调递增函数. （带参函数的单调性）