高二数学选修-2导数2种题型归纳(中等难度)

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高二数学选修2-2导数12种题型归纳(中等难度)汇编

导数题型分类解析（中等难度）一、变化率与导数函数)(0x f y =在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即)('0x f =0lim →∆x xy∆∆=0lim →∆x x x f x x f Δ)()Δ(00-+，表示函数)(0x f y =在x 0点的斜率。

注意增量的意义。

例1：若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+-- 的值为（）A ．'0()f xB ．'02()f xC ．'02()f x - D ．0 例2：若'0()3f x =-，则000()(3)limh f x h f x h h→+--=（）A.3- B ．6- C ．9- D ．12-例3：求0lim →h hx f h x f )()(020-+二、“隐函数”的求值将)('0x f 当作一个常数对)(0x f 进行求导，代入0x 进行求值。

例1：已知()()232f x x x f '+=，则()='2f例2：已知函数()x x f x f sin cos 4+⎪⎭⎫⎝⎛'=π，则⎪⎭⎫ ⎝⎛4πf 的值为 .例3：已知函数)(x f 在R 上满足88)2(2)(2-+--=x x x f x f ，则曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为（）A. 12-=x yB. x y =C. 23-=x yD. 32+-=x y三、导数的物理应用如果物体运动的规律是s=s （t ），那么该物体在时刻t 的瞬间速度v=s ′（t ）。

如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v （t ），则该物体在时刻t 的加速度a=v′（t ）。

例1：一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，求物体在3秒末的瞬时速度。

人教版高中数学【选修2-2】[知识点整理及重点题型梳理]_导数的几何意义_提高(1)

人教版高中数学选修2-2知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习导数的几何意义【学习目标】1．理解导数的几何意义。

2．理解导数的全面涵义。

3．掌握利用导数求函数图象的切线的斜率。

4．会求过点（或在点处）的切线方程。

【要点梳理】（根据课标要求进行适当的深化与拓展。

）要点一、导数几何意义1. 平均变化率的几何意义——曲线的割线函数()y f x =的平均变化率2121()()f x f x y x x x -∆=∆-的几何意义是表示连接函数()y f x =图像上两点割线的斜率。

如图所示，函数()f x 的平均变化率2121()()f x f x y x x x -∆=∆-的几何意义是：直线AB 的斜率。

事实上，2121()()A B AB A B y y f x f x yk x x x x x--∆===--∆。

换一种表述：曲线上一点00(,)P x y 及其附近一点00(,)Q x x y y +∆+∆，经过点P 、Q 作曲线的割线PQ ，xyO()y f x =QP Mβ则有0000()()PQ y y y yk x x x x+∆-∆==+∆-∆。

要点诠释：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率。

2.导数的几何意义——曲线的切线如图1，当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线n PP 的变化趋势是什么？我们发现,当点n P 沿着曲线无限接近点P 即Δx →0时,割线n PP 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的切线.定义：如右图，当点00(,)Q x x y y +∆+∆沿曲线无限接近于点00(,)P x y ，即0x ∆→时，割线PQ 的极限位置直线PT 叫做曲线在点P 处的切线。

T也就是：当0x ∆→时，割线PQ 斜率的极限，就是切线的斜率。

即：0000()()limlim ()x x f x x f x yk f x x x∆→∆→+∆-∆'===∆∆。

高二数学选修2-2导数12种题型归纳(中等难度)

注意增量的意义。

如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v （t ），则该物体在时刻t 的加速度a=v′（t ）。

例1：一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，求物体在3秒末的瞬时速度。

人教版高中数学【选修2-2】[知识点整理及重点题型梳理]_变化率与导数_基础

人教版高中数学选修2-2知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习变化率与导数【学习目标】（1）理解平均变化率的概念；（2）了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；（3）理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；（4）会求函数在某点的导数或瞬时变化率；【要点梳理】要点一、平均变化率问题1.变化率事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。

如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值；2.平均变化率一般地，函数f(x)在区间[]21,x x 上的平均变化率为：2121()()f x f x x x --要点诠释：① 本质：如果函数的自变量的“增量”为x ∆,且21x x x ∆=-,相应的函数值的“增量”为y ∆,21()()y f x f x ∆=-,则函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率为2121()()f x f x y x x x -∆=∆- ② 函数的平均变化率可正可负，平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.即递增或递减幅度的大小。

对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义。

如位移运动中，位移S （m ）从t 1秒到t 2秒的平均变化率即为t 1秒到t 2秒这段时间的平均速度。

高台跳水运动中平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，要想更精确地刻画物体运动，就要研究某个时刻的速度即瞬时速度。

3.如何求函数的平均变化率求函数的平均变化率通常用“两步”法：①作差：求出21()()y f x f x ∆=-和21x x x ∆=- ②作商：对所求得的差作商，即2121()()f x f x y x x x -∆=∆-。

要点诠释：1. x ∆是1x 的一个“增量”，可用1x x +∆代替2x ，同样21()()y f x f x ∆=-。

2. x 是一个整体符号，而不是与x 相乘。

3. 求函数平均变化率时注意,x y ，两者都可正、可负，但x 的值不能为零，y 的值可以为零。

(完整word)高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结,推荐文档

数学选修2-2导数及其应用知识点必记1 •函数的平均变化率是什么？答：平均变化率为丄丄f(X2)f(X i) f(X i x) f^)X X X2 X-I X注1：其中X是自变量的改变量，可正，可负，可零。

注2:函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。

2、导函数的概念是什么？—答：函数y f(X)在X X o处的瞬时变化率是lim y lim —X)f(Xo)，则称X 0 X X 0 X函数y f(x)在点x o处可导，并把这个极限叫做y f(x)在x o处的导数，记作f'(x o) 或y'l xx，即f'(x o)=lim」f(Xo x) f(Xo).limX o X X 0 X3. 平均变化率和导数的几何意义是什么？答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。

4导数的背景是什么？答：(1)切线的斜率；(2)瞬时速度；(3)边际成本。

常见的导数和定积分运算公式有哪些?答：①求函数f(x)的导数f'(x)②令f'(x)>0,解不等式，得x的范围就是递增区间.③令f'(x)<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间；注：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。

7.求可导函数f(x)的极值的步骤是什么？答：(1)确定函数的定义域。

⑵求函数f(x)的导数f'(x)(3)求方程f '(x) =0的根⑷用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f/(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值8利用导数求函数的最值的步骤是什么？答：求f(x)在a,b 上的最大值与最小值的步骤如下:⑴求f (x)在a,b 上的极值;⑵将f (x)的各极值与f(a), f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。

高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结

数学选修2-2导数及其应用知识点必记1 •函数的平均变化率是什么?答：平均变化率为卫二卫二f （X 2）— f （X i ） _ f （X iX —fX ）△x Zx 2 — x-iA x注1:其中X 是自变量的改变量，可正，可负，可零。

注2:函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。

2、导函数的概念是什么？答：函数八f （x ）在x = X 。

处的瞬时变化率是lim ― lim f （X：x ）_f （x 0），则称 i x ^-5°i x函数y=f （x ）在点X °处可导，并把这个极限叫做y = f （x ）在X 0处的导数，记作f '（x p ）即 f (x °) = lim - = limi x ^-P3.平均变化率和导数的几何意义是什么？答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。

4导数的背景是什么？答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。

f(x °LX)-f(X o ) zx6常见的导数和定积分运算公式有哪些？答：若f x，g x均可导（可积），则有:答：①求函数f(x)的导数f'(x)②令f'(x)>0,解不等式，得x的范围就是递增区间.③令f'(x)<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间；注：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。

7.求可导函数f(x)的极值的步骤是什么？答：(1)确定函数的定义域。

⑵求函数f(x)的导数f'(x)(3)求方程f '(x) =0的根⑷用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查『(X)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值8利用导数求函数的最值的步骤是什么？答：求f(x)在a,b〕上的最大值与最小值的步骤如下:⑴求f(x)在a,b 1上的极值;⑵将f(x)的各极值与f(a), f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。

高中数学选修2-2知识点、考点、典型例题

高中数学选修2–2知识点第一章导数及其应用一．导数概念1.导数的定义：函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆，称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即0()f x '=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆。

导数的物理意义：瞬时速率。

2．导数的几何意义：通过图像可以看出当点n P 无限趋近于P 时，割线n PP 趋近于稳定的位置直线PT ，我们说直线PT 与曲线相切。

割线n PP 的斜率是00()()n nn f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即00()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3．导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数记作y ',即0()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆二.导数的计算1）基本初等函数的导数公式:1．若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2. 若()f x x α=,则1()f x xαα-'=;3. 若()sin f x x =, 则()cos f x x '= 4 . 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5. 若()x f x a =, 则()ln x f x a a '=6. 若()x f x e =,则()xf x e '=7. 若()log a f x x =, 则1()ln f x x a'= 8. 若()ln f x x =,则1()f x x'=2）导数的运算法则1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''∙=∙+∙3. 2()()()()()[]()[()]f x f xg x f x g x g x g x ''∙-∙'=3）复合函数求导()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数(())()y f g x gx '''=∙ 三.导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数:(1).函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减.(2).已知函数的单调性求参数的取值范围:“若函数单调递增，则()0f x '≥；若函数单调递减，则()0f x '≤”.注意公式中的等号不能省略，否则漏解. 2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.求函数()y f x =的极值的方法是:(1)确定函数的定义域；(2)求导数()f x ' ; (3)求方程()f x '=0的根;(4)如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值; 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值;3.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤（1）求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；（2）将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.4.生活中的优化问题利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题考点：1、导数在切线方程中的应用. 2.导数在单调性中的应用3、导数在极值、最值中的应用.4、导数在恒成立问题中的应用5.定积分(1) 定积分的定义：分割—近似代替—求和—取极限nbi i an i=1f (x)dx=lim f ()x ξ→∞∆∑⎰(2)定积分几何意义：①baf (x)dx (f (x)0)≥⎰表示y=f(x)与x 轴，x=a,x=b 所围成曲边梯形的面积.②baf (x)dx (f (x)0)≤⎰表示y=f(x)与x 轴，x=a,x=b 所围成曲边梯形的面积的相反数.(3)定积分的基本性质： ①bbaakf (x)dx=k f (x)dx ⎰⎰②b b b1212aaa[f (x)f (x)]dx=f (x)dx f (x)dx ±±⎰⎰⎰③b c baacf (x)dx=f (x)dx+f (x)dx ⎰⎰⎰(4)求定积分的方法：①定义法：分割—近似代替—求和—取极限②利用定积分几何意义③微积分基本公式ab f(x)F(b)-F(a),F x f x =⎰’其中（）=()第二章推理与证明1、归纳推理把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。

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19 反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。
反证法的一般步骤（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；（2）从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）从矛盾判定假设不正确，即所求证命题正确。反证法的思维方法:正难则反。矛盾（1）与已知条件矛盾: （2）与已有公理、定理、定义矛盾；（3）自相矛盾． 20 常见的“结论词”与“反义词”
常见的导数和定积分运算公式:若 f x， g x均可导（可积），则有：
和差的导数运算积的导数运算商的导数运算复合函数的导数微积分基本定理
和差的积分运算
积分的区间可加性
-1-
六安一中东校区高二数学选修 2-x)的导数 f '(x) ②令 f '(x) >0,解不等
证明当 n=k+1 时命题也成立.由(1)，(2)可知，命题对于从 n0 开始的所有正整数
n
都正确
新疆王新敞
[注]：常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。
b
f (x)dx
a
a
c1
ck
11 定积分的取值情况:定积分的值可能取正值，
也可能取负值，还可能是 0.
( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，
定积分的值取正值，且等于 x 轴上方的图形面积；
（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于 x 轴上方图形面积的相反数；
（3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为 0，且等于 x 轴上方图形的面积减去下方的图形的面积．
原结论词
反义词

选修2-2导数计算题型大全

导数计算题型一利用运算法则求导【例1-1】（2019·海南高三月考）下列求导运算正确的是（） A ．(ln 2)'0= B ．(cos )sin x x '=C ．()xxe e--'=D ．()5615xx --=-'【例1-2】（2019·西藏高二期末）求下列函数的导数. （1）2sin y x x =；（2）n 1l y x x=+；（3）322354y x x x =-+-.【举一反三】1.（2019·陕西高二期末（文））求下列函数的导数：（Ⅰ）22ln cos y x x x =++；（Ⅱ）3e xy x =.2．（2017·全国高二课时练习）求下列函数的导数． (1)y ＝x 4－3x 2－5x ＋6；(2)y ＝3x 2＋x cos x ；(3)y ＝22x ＋33x(4)y ＝lg x －21x ；(5)y题型二复合函数求导【例2】（2019·江苏启东中学高二期中）求下列函数的导函数（1）y =；（2）2sin y x =.（3）()cos 32y x =-；（4）312x y +=.【举一反三】1．（2019·青海高二月考（理））求下列函数的导数：(1)()*()2+1ny x n N ∈＝，； (2)(ln y x =；(3)11x x e y e +=-； (4)2)2(+5y xsin x ＝．2．求下列函数的导数.(1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝ln x ＋；(3)y ＝sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭；(4)y ＝ln(2x －5).题型三求切线方程【例3】（2019·安徽高二期末）已知函数()3f x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点()1,0处的切线方程；（2）求过点()1,0且与曲线()y f x =相切的直线方程．【举一反三】1．（2019·安徽合肥一中高二期中（文））已知函数3()16f x x x =+- （1）求曲线()y f x =在点(1,14)-处的切线的方程；（2）直线l 为曲线()y f x =的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标. 2．（2019·河北安平中学高二月考）曲线xy sinx e ＝＋在点()0,1处的切线斜率是( )A ．2B ．2-C ．1D ．1-3．（2019·重庆高三（理））已知函数()3123f x x x =-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线的倾斜角是（）A ．6πB ．4πC ．23πD ．34π4．（2019·黑龙江牡丹江一中高二期中（理））过点(2,6)P -作曲线3()3f x x x =-的切线，则切线方程为（）A ．30x y +=或24540x y --=B ．30x y -=或24540x y --=C ．30x y +=或24540x y -+=D ．24540x y --=题型四利用导数求值【例4】(1)（2019·贵州高三月考（文））已知函数()f x 的导函数为()f x '，且()()22ln 22f x x x f x '=-+，则()2f '=（） A ．2B ．3C ．4D ．5(2)（2019·昌吉市第九中学高二月考）设函数f (x )=ax +3x 2，若f ′(1)=3，则a 等于（） A ．1 B ．−1 C ．3 D ．−3【举一反三】1．（2019·四川高三（文））设函数()f x 的导函数为()f x '，若()1ln 1x f x e x x=+-，则()1f '=（） A ．3e - B ．2e -C ．1e -D ．e2．（2019·福建省南安市侨光中学高三月考（理））已知2019()ln f x e x x =+g ，则()1f '=（）A ．1B ．20191e +C ．20191e -D ．2019e3．（2019·江西高二期末（理））已知函数()f x 的图像在点()()22f ,处的切线方程是210x y -+=，若()()f x h x x=，则()2h '=（） A ．12 B ．12-C ．18-D ．58题型五综合运用【例5】（2019·江苏启东中学高二期中）曲线2x y e x =++在点()0,3处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为___________. 【举一反三】 1．曲线y ＝x －1x ＋1在点(0，－1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为( ) A.18 B.14 C.12 D ．1 2．（2019·湖北高二期末（文））设函数()bf x ax x-=，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为3240x y --=.（1）求()f x 的解析式；（2）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形的面积为定值，并求此定值. 课后练习1．（2019·全国高三）已知下列四个命题，其中正确的个数有（） ①'1(2)2x x x -=⋅，②'(sin 2)cos 2x x =，③'(log )ln x a x a a =（0a >，且1a ≠），④'1(ln 2)2=A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．（2019·陕西高二期末）函数2(21)y x =+的导数为（） A ．21y x '=+B ．2(21)y x ='+C ．3(21)y x ='+D ．4(21)y x ='+3．（2019·浙江高二期末）函数2()ln sin 1f x x x x =+++的导函数是（）A ．12cos 1x x x +++ B ．12cos x x x -+ C ．12cos x x x+-D ．12cos x x x++4．（2019·抚顺市第十中学高二期中（理））下列求导运算正确的是（） A ．2111x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭B ．21(log )ln 2x x '=C ．3(3)3log e x x'=D ．2(cos )2sin x x x x '=-5．（2019·湖北高二期末（文））下列求导运算正确的是（）A ．2()x x '= B ．'=C ．()xxe e --'=D ．2ln 2(log )x x'=6．（2019·昌吉市第九中学高二月考）曲线23y x x =+在点()2,10A 处的切线方程是( ) A ．740x y --= B ．10150x y --= C ．10x y -+=D ．+10x y -=7．（2019·山东高三期中）已知函数()2f x x =的图象在1x =处的切线与函数()e xg x a=的图象相切，则实数a =( )A B ．2C ．2D ．8．（2019·河南高三（理））设曲线(1)ln y a x x =--在点()1,0处的切线方程为33y x =-，则a =（） A ．1B ．2C ．3D ．49．（2019·甘肃临夏中学高三（文））函数()1ln x f x x+=的图像在1e x =处的切线方程是（）.A ．10ex y --=B ．10ex y +-=C ．20e x y e +-=D ．20e x y e --=10．（2019·江西高三月考）已知直线y x m =-+ 是曲线23ln y x x =-的一条切线，则m 的值为（）A ．0B ．2C ．1D ．311．（2019·山东高考模拟（理））函数()2ln f x x x =-+的图像在1x =处的切线方程为（） A ．210x y +-=B ．210x y -+=C ．10x y -+=D ．10x y ++=12．（2019·辽宁高二期末（理））已知过点(1,1)P 且与曲线3y x =相切的直线的条数有（）． A ．0B ．1C ．2D ．313．（2019·河南高三期中）已知函数()f x 的导函数为()f x '，()()222f x x xf '+=，则不等式()0f x <的解集为__________．14（2019·全国高三月考（理））已知函数3()2(1)3f x x f x '=+-，则(2)f '=________.15（2019·河北高三开学考试（理））已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2(1)ln f x xf x '=+，则(1)f =______.16．（2019·甘肃高三月考）已知()2123f x x xf ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭，则1()3f '-=_____．17．（2019·贵州高二期末（理））已知函数()f x 的导函数为()f x '，且()()2ln f x xf e x '=-，则()e f '=_____18．（2019·广东高二期末（理））若()sin 2cos2f x x x =+，则'6f π⎛⎫=⎪⎝⎭____ 19．（2019·湖南高二期末（理））已知函数2()xf x e =，则过原点且与曲线()y f x =相切的直线方程为____________.20．已知函数()()()10ln 212f x f x x +'=-+，则()0=f '________. 21（2019·湖南师大附中高三月考（文））曲线cos y x x =+在点(0,1)处的切线方程为__________．22（2019·河北高三月考）若()()321111322f x f x x x '=-++，则曲线() y f x =在点()(1,)1f 处的切线方程是__________．23．（2019·江苏省黄桥中学高三月考（理））函数()2cos f x x =在点(6P π处的切线的倾斜角是_____________.24．（2019·内蒙古高三月考（文））已知曲线()3f x x x =-，则过点()1,0P -，且与曲线相切的直线方程为______.25．（2019·重庆高三（理））已知直线y kx =与曲线ln 2y x =相切，则实数k 的值为_________. 26．（2019·河北高三月考（理））已知曲线3y x x =-在点()00,x y 处的切线平行于直线220x y --=，则0x =______.27．（2019·河南高三月考）已知函数()(0xf x a a =>且1)a ≠，若曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线与直线1y x =+垂直，则a 的值为________.28．（2019·天津高考模拟）已知函数()xf x e ax =+的图象在点()()0,0f 处的切线与曲线ln y x =-相切，则a =______．29．（2019·原平市范亭中学高二月考（理））已知曲线2()f x x = 求: （1）曲线在点(1,1)P 处的切线方程（2）曲线过点()3,5P 的切线方程30．（2019·福建高二期中（理））已知曲线2:2C y x x =-+. （1）求曲线C 在点()1,2处的切线方程，（2）求过点()2,3且与曲线C 相切的直线的方程．31．（2019·贵州高二期中（理））已知曲线32()2f x x x x =-+. (1) 求曲线()y f x =在()2,2处的切线方程； (2) 求曲线()y f x =过原点O 的切线方程.。

人教版高中数学【选修2-2】[知识点整理及重点题型梳理]_《导数及其应用》全章复习与巩固(基础)(理)

人教版高中数学选修2-2知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习《导数及其应用》全章复习与巩固【学习目标】1. 会利用导数解决曲线的切线的问题.2. 会利用导数解决函数的单调性等有关问题.3. 会利用导数解决函数的极值、最值等有关问题.4. 能通过运用导数这一工具解决生活中的一些优化问题：例如利润最大、用料最省、效率最高等问题【知识网络】【要点梳理】要点一：有关切线问题直线与曲线相切，我们要抓住三点： ①切点在切线上； ②切点在曲线上；③切线斜率等于曲线在切点处的导数值. 要点诠释：通过以上三点可以看出，抓住切点是解决此类题的关键，有切点直接求，无切点则设切点，布列方程组.要点二：有关函数单调性的问题设函数()y f x =在区间（a ，b ）内可导，（1）如果恒有'()0f x >，则函数()f x 在（a ，b ）内为增函数；（2）如果恒有'()0f x <，则函数()f x 在（a ，b ）内为减函数；（3）如果恒有'()0f x =，则函数()f x 在（a ，b ）内为常数函数. 要点诠释：（1）若函数()f x 在区间（a ，b ）内单调递增，则'()0f x ≥，若函数()f x 在（a ，b ）内单调递减，则'()0f x ≤.（2）'()0f x ≥或'()0f x ≤恒成立，求参数值的范围的方法： ① 分离参数法：()m g x ≥或()m g x ≤.② 若不能隔离参数，就是求含参函数(,)f x m 的最小值min (,)f x m ，使min (,)0f x m ≥. （或是求含参函数(,)f x m 的最大值max (,)f x m ，使max (,)0f x m ≤）要点三：函数极值、最值的问题函数极值的问题（1）确定函数的定义域；（2）求导数)(x f '；（3）求方程0)(='x f 的根；（4）检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法) 要点诠释： ①先求出定义域②一般都要列表：然后看在每个根附近导数符号的变化：若由正变负，则该点为极大值点；若由负变正，则该点为极小值点.注意：无定义的点不用在表中列出③根据表格给出结论：注意一定指出在哪取得极值. 函数最值的问题若函数()y f x =在闭区间],[b a 有定义，在开区间(,)a b 内有导数，则求函数()y f x =在],[b a 上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数)(x f 在),(b a 内的导数)(x f '；（2）求方程0)(='x f 在),(b a 内的根；（3）求在),(b a 内所有使0)(='x f 的的点的函数值和)(x f 在闭区间端点处的函数值)(a f ，)(b f ；（4）比较上面所求的值，其中最大者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最大值，最小者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最小值.要点诠释：①求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可.②若)(x f 在开区间),(b a 内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值. 要点四：优化问题在实际生活中用料最省、利润最大、效率最高等问题，常常可以归结为函数的最大值问题，从而可用导数来解决.我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题.利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤：(1) 分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式()y f x =；(2) 求函数的导数'()f x ，解方程'()0f x =；(3) 比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值．要点诠释：①解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系.再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．利用导数解决优化问题的基本思路：②得出变量之间的关系()y f x =后，必须由实际意义确定自变量x 的取值范围；③在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使'()0f x =的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值．④在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．要点五：定积分的概念如果函数=()y f x 在区间[]a b ，上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[]a b ，等分成n 个小区间，在每个小区间[]1,i i x x -上取点()1,2,,i i n =ξ，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f n==-=∆=∑∑ξξ．当n →+∞时，上述和式n S 无限趋近于常数，那么称该常数为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作：()baf x dx ⎰，即+1()lim()nbi an i b af x dx f n→∞=-=∑⎰ξ．要点诠释：（1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时），记为()baf x dx ⎰，而不是n S ．(2) 定积分是一个数值（极限值），它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即()()()bbbaaaf x dx f u du f t dt ===⎰⎰⎰（称为积分形式的不变性），另外定积分()()baf x d x ⎰与积分区间[a ，b ]息息相关，不同的积分区间，定积分的积分上下限不同，所得的值也就不同，例如120(1)x dx +⎰与320(1)x dx +⎰的值就不同．要点六：定积分的几何意义要点诠释：（1）当()0f x ≤时，由()y f x =、x =a 、x =b 与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方，积分()d baf x x⎰在几何上表示上述曲边梯形面积的相反数（负数）．所以[()]d ()bbaaS f x x f x S =-=-=-⎰⎰，即()d baf x x S =-⎰，如图（b ）．（2）当()f x 在区间[a ，b ]上有正有负时，积分()d b af x x ⎰在几何上表示几个小曲边梯形面积的代数和（x 轴上方面积取正号，x 轴下方面积取负号）．在如图（c ）所示的图象中，定积分132()d baf x x S S S =+-⎰．要点七：定积分的运算性质性质1：()d ()bba ak f x x k f x kS ==⎰⎰；性质2：[()g()]d ()g()d bb baaaf x x x f x x x ±=±⎰⎰⎰；性质3：定积分关于积分区间具有可加性。

2021年高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结

高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结数学选修2-2导数及其应用知识点必记1．函数的平均变化率为f(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)yfx2x1xxx注1其中x是自变量的改变量，可正，可负，可零。

注2函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。

2、导函数的概念:函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是f(x0x)f(x0)y，则称函数yf(x)在点x0处可导，并把这个极限叫limx0xx0xlim做yf(x)在x0处的导数，记作f"(x0)或y"|xx0，即f"(x0)=limf(x0x)f(x0)y.limx0xx0x函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。

4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。

5、常见的函数导数和积分公式函数导函数不定积分ycy"0xn1xdxn1nyxnnN*y"nxn1yaxa0,a1y"alnay"exxaxadxlnaxxxedxeyexylogaxa0,a 1,x0ylnxy"1xlna1x1xdxlnxy"ysinxy"cosxcosxdxsinxsinxdxcosxycosxy"sinx6、常见的导数和定积分运算公式:若fx，gx均可导（可积），则有和差的导数运算f(x)g(x)f(x)g(x)""f"(x)g"(x)f"(x)g(x)f(x)g"(x)积的导数运算特别地Cfx"Cf"x商的导数运算f(x)f"(x)g(x)f(x)g"(x)(g(x)0)g(x)2g(x)"1g"(x)特别地"2gxgx复合函数的导数yxyuux微积分基本定理fxdxab（其中F"xfx）和差的积分运算[f(x)f(x)]dxa12bbaf1(x)dxf2(x)dxabab特别地积分的区间可加性bakf(x)dxkf(x)dx(k为常数)cbacbaf(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)用导数求函数单调区间的步骤:①求函数f(x)的导数f"(x)②令f"(x)>0,解不等式，得x的范围就是递增区间.③令f"(x)9．求曲边梯形的思想和步骤:分割近似代替求和取极限（“以直代曲”的思想）10.定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质性质11dxbaab性质5若f(x)0,xa,b，则f(x)dx0ab①推广[f1(x)f2(x)fm(x)]dxf1(x)dxf2(x)dxfm(x)aaaabbbb②推广:f(x)dxf(x)dxf(x)dxf(x)dxaac1ckbc1c2b11定积分的取值情况:定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0.(l）当对应的曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值取正值，且等于x轴上方的图形面积；（2）当对应的曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值取负值，且等于x轴上方图形面积的相反数；（3）当位于x轴上方的曲边梯形面积等于位于x轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0，且等于x轴上方图形的面积减去下方的图形的面积．12．物理中常用的微积分知识（1）位移的导数为速度，速度的导数为加速度。

(完整word版)高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结,推荐文档

导数及其应用知识点必记1．函数的平均变化率为=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 注1：其中x ∆是自变量的改变量，可正，可负，可零。

注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。

2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。

4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；常见的导数和定积分运算公式:若()f x ，()g x 均可导（可积），则有：6.用导数求函数单调区间的步骤:①求函数f (x )的导数'()f x ②令'()f x >0,解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令'()f x <0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间；[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。

7.求可导函数f (x )的极值的步骤：(1)确定函数的定义域。

(2) 求函数f (x )的导数'()f x (3)求方程'()f x =0的根(4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查/()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值8.利用导数求函数的最值的步骤:求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求)(x f 在[]b a ,上的极值；⑵将)(x f 的各极值与(),()f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。

选修2-2-《导数及其应用》题型总结

《导数及其应用》经典题型总结一、知识网络结构题型一求函数的导数及导数的几何意义考点一导数的概念，物理意义的应用例1．(1)设函数()f x 在2x =处可导，且(2)1f '=，求0(2)(2)lim2h f h f h h→+--；(2) ()2sin(25)f x x x =+,求()f x '(3)已知()(1)(2)(2008)f x x x x x =+++L ，求(0)f '.考点二导数的几何意义与物理意义的应用例2: 已知抛物线y=ax 2+bx+c 通过点P(1，1)，且在点Q(2，-1)处与直线y=x-3相切，求实数a 、b 、c 的值例3：已知曲线y=.34313+x (1)求曲线在（2，4）处的切线方程;(2)求曲线过点（2，4）的切线方程.例4：已知物体运动的位移s 与时间f 关系为s(t)= 221t t -+，则t=1时物体的速度与加速度分别为____________, ___________________题型二函数单调性的应用考点一利用导函数的信息判断f(x)的大致形状例1 如果函数y ＝f(x)的图象如图，那么导函数y ＝f(x)的图象可能是( )导数导数的概念导数的运算导数的应用导数的几何意义、物理意义函数的单调性函数的极值函数的最值常见函数的导数导数的运算法则例1 求函数5224+-=x x y 的单调区间.（不含参函数求单调区间）例2 已知函数f (x )＝12x 2＋a ln x (a ∈R ，a ≠0)，求f (x )的单调区间．（含参函数求单调区间）练习：求函数xax x f +=)(的单调区间。

例3 若函数f(x)＝x 3－ax 2＋1在(0,2)内单调递减，求实数a 的取值范围．（单调性的逆向应用）练习1：已知函数0],1,0(,2)(3>∈-=a x x ax x f ，若)(x f 在]1,0(上是增函数，求a 的取值范围。

高二数学选修2-2导数12种题型归纳（中等难度）精品名师资料

高二数学选修2-2导数12种题型归纳（中等难度）精品名师资料导数题型分类解析（中等难度）一、变化率与导数函数)(0x f y在x 0到x 0+x 之间的平均变化率，即)('0x f =0lim x xy =0limxxx f x x f Δ)()Δ(00，表示函数)(0x f y在x 0点的斜率。

注意增量的意义。

例1：若函数()yf x 在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b 则0()()limhf x h f x h h的值为（）A ．'0()f x B ．'02()f x C ．'02()f x D ．0例2：若'0()3f x ，则0()(3)limh f x h f x h h（）A.3B ．6C ．9D ．12例3：求0limhhx f h x f )()(020二、“隐函数”的求值将)('0x f 当作一个常数对)(0x f 进行求导，代入0x 进行求值。

例1：已知232f x xxf ，则2f 例2：已知函数x xfxf sin cos 4，则4f的值为 .例3：已知函数)(x f 在R 上满足88)2(2)(2x x x f x f ，则曲线)(x f y在点))1(,1(f 处的切线方程为（）A. 12x yB. xy C. 23x y D. 32x y 三、导数的物理应用如果物体运动的规律是s=s （t ），那么该物体在时刻t 的瞬间速度v=s ′（t ）。

如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v （t ），则该物体在时刻t 的加速度a=v ′（t ）。

例1：一个物体的运动方程为21t ts 其中s 的单位是米，t 的单位是秒，求物体在3秒末的瞬时速度。

例2：汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（）四、基本导数的求导公式①0;C （C 为常数）②1;nn xnx ③(sin )cos x x ; ④(cos )sin x x ; ⑤();xxe e ⑥()ln xxa a a ; ⑦1ln xx;⑧1l g log a a o xe x .stOA ．st Ost OstOB ．C ．D ．。

选修2-2函数的单调性与导数最新题型总结大全

导数在研究函数中的应用--单调性题型一求函数单调区间【例】（2019·江西高安中学高二期中（理））若函数()2123ln 2f x x x x =--，则函数()f x 的单调递减区间为。

【举一反三】1．（2019·山东高三期中）下列函数在区间()0,+∞上是增函数的是( ) A ．2xy x e =+B ．cos xy x e =-C ．1y x x=- D ．24y x x =-2．（2019·宁夏长庆高中高二期中（文））函数y=12x 2-㏑x 的单调递减区间为 A ．（-1,1]B ．（0,1]C ．[1，+∞）D ．（0，+∞）题型二讨论含参函数的单调性1．设函数ax x x a x f +-=22ln )(，0>a ．（Ⅰ）求)(x f 的单调区间；2.已知函数()()2ln 2f x x ax a x =-+-，求()f x 的单调区间3.已知函数1()ln f x x a x x=-+．求()f x 的单调区间4..讨论函数()()21ln 1f x a x ax =+++的单调区间题型二根据单调区间求参数【例】（1）已知f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在R 上是单调函数，则实数a 的取值范围是________．（2）若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)不单调，则k 的取值范围是________．（3）（2019·安徽高二期末）若函数()2ln f x ax x x =+-存在增区间，则实数a 的取值范围为。

（4）若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在(12，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是 ( )A ．[－1,0]B ．[－1，＋∞)C ．[0,3]D ．[3，＋∞)【举一反三】1．（2019·黑龙江铁人中学高二期中（文））若函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞上单调递增，则实数k 的取值范围是（） A ．(],2-∞-B ．(],1-∞-C ．[)2,+∞D ．[)1,+∞2．（2019·山东高二期中）若函数f(x)=x 3+ax −2在区间(1,+∞)内是增函数，则实数a 的取值范围是（） A ．(3,+∞)B ．[−3,+∞)C ．(−3,+∞)D ．(−∞,−3)3．（2019·吉林高二期中）若函数331y x bx =-+在区间[1]2，内是减函数，b R ∈，则（） A ．4b ≤B ．1b ≤C ．4b ≥D ．1b ≥4．函数y ＝13x 3－ax 2＋x －2a 在R 上不是单调函数，则a 的取值范围是________________．5．设f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax ，若f (x )在[23，＋∞)上存在单调递增区间，则a 的取值范围是________．6．（2019·黑龙江哈尔滨市第六中学校高二期中）设函数21()9ln 2f x x x =-在区间[1,1]a a -+上单调递减，则实数a 的取值范围是（） A ．(,2]-∞B ．(1,2]C ．(0,3]D ．(4,)+∞题型三利用单调性判断图像【例】（2019·安徽高二月考（理））函数3()e 1=+x x f x 的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【举一反三】1．（2019·广东高一期中）函数f (x )=(x 2−2x )e x 的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．题型四导数与单调性的关系【例】已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是图中的()【例】已知y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是如图所示的()【举一反三】1.设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为()2.已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是()3．如图所示的是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断正确的是()A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数B．在(1,3)上f(x)是减函数C．在(4,5)上f(x)是增函数D．在(－3，－2)上f(x)是增函数4.已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中y＝f(x)的图象大致是()1．（2019·安徽高二月考（理））若曲线()()21x f x ax e -=-在点()()22f ,处的切线过点()3,3，则函数()f x 的单调递增区间为（） A ．()0,∞+B ．(),0-∞C ．()2,+∞D ．(),2-∞2．（2019·湖北高三月考）若函数3()f x ax x =-在[1，3]上单调递增，则a 的取值范围为（） A ．(-∞，3]B ．(-∞，27]C ．[3，十∞)D ．[27，十∞)3．（2019·云南高一期中）如果函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上是减函数，那么实数a 的取值范围是（） A ．3a ≤-B ．3a ≥-C ．5a ≤D ．5a ≥4．（2019·新疆高三月考（理））“1a ≤－”是“函数1()ln f x x ax x=++在[)1,+∞上为单调函数”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5（2019·四川高三月考）已知函数31()42f x x ax =++ ，则“0a > ”是“()f x 在R 上单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．（2019·河北安平中学高二月考）若函数32()6f x x ax x =--+在(0,1)内单调递减，则实数a 的取值范围是（） A ．1a ≥B ．1a =C ．1a ≤D ．01a <<7．（2019·山东高三（文））函数()3sin 3x f x x =+的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．8．（2019·山西高三月考（理））已知函数()()()32345,4,10f x x x x f m f n =-++==，则m n +=（）A ．1B ．32C ．2D ．39．（2019·广东高二期末）若函数f(x)=12ax 2+xlnx −x 存在单调递增区间，则a 的取值范围是（） A ．(−1e ,1)B ．(−1e ,+∞)C ．(−1,+∞)D ．(−∞,1e )10．（2019·江西宜春九中高二期中（理））已知函数()2ln 22a f x x x x =--存在单调递减区间，则a 的取值范围是（） A ．[)1,-+∞B ．()1,-+∞C ．(),1-∞-D ．(],1-∞-11．（2017·安徽高考模拟（理））已知函数f(x)=x 3+ax 2+x +1（a ∈R ）在(−23,−13)内存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是（） A ．(0,√3]B ．(−∞,√3]C ．(√3,+∞)D ．(√3,3)12．（2019·黑龙江铁人中学高二期中）函数21()ln 2f x x x =-的递减区间为_______ 13．（2019·江苏高二期中）若函数24()1xf x x =+在区间(21)m m +，上是单调递增函数，则实数m 的取值范围是．14（2019·重庆南开中学高三月考（理））已知函数()()221xf x e k x =+-在()0+∞，上单调递增，则实数k 的取值范围是__________．15．（2019·山东高三期中）若函数()3231f x x ax x =-++在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则实数a 的取值范围为__________.16．（2019·江苏常熟中学高三月考）函数()21ln 2f x x x x =--的单调递增区间为__________． 17．（2019·江苏盐城中学高三月考）已知函数()ln ()x xf x e x ae a R =-∈,若()f x 在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围是_____．18．（2019·北京高三期中）若函数()cos sin f x a x x =+在区间ππ(,)64上单调递减，则实数a 的取值范围是___.19．（2018·上海市吴淞中学高三月考）若函数f (x )＝x 2＋a |x －2|在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．20．（2019·四川高三月考）已知函数2()2x f x e x ax =-+ 1)若a=1,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程 (2)若()f x 在R 上单调递增,求实数a 的取值范围21．（2019·甘肃省武威第一中学高三月考（理））已知函数()21ln 22f x x ax x =--. （1）若函数()f x 存在单调递减区间，求实数a 的取值范围；（2）若函数()f x 在[]1,4上单调递减，求实数a 的取值范围.。