泊松方程的多重网格法(两层)

泊松方程求解

泊松方程求解泊松方程是一种重要的常微分方程，也称作“梯度偏微分方程”，它一般用来描述解析物理场的分布情况，是数学物理学等多个学科的重要工具。

它是1807年由于法国数学家泊松首先提出的，有着深远的历史和文化价值。

由于泊松方程在自然科学中的广泛应用，为了正确地求解这一方程，对于研究者们来说有着特别重要的意义。

二、求解的原理及方法泊松方程的形式一般如下：$frac{partial^2f}{partialx^2}+frac{partial^2f}{partial y^2}=0$它的求解原理可由泊松定理推导得出：泊松定理：若$f(x,y)$满足$frac{partial ^2f}{partialx^2}+frac{partial ^2f}{partial y^2}=0$，则存在实常数$lambda$，使$f(x,y)=e^{lambda x}e^{lambda y}$是它的解。

将泊松定理引入泊松方程的求解，易得得出：$f(x,y)=e^{lambda x}e^{lambda y}$为它的解，其中$lambda$是函数$f(x,y)$的常数。

三、应用实例(1) 一维泊松方程设电场强度$E$满足一维泊松方程：$frac{partial^2E}{partial x^2}+frac{partial ^2E}{partial y^2}=0$ 根据泊松定理，得出解：$E=Ae^{lambda x}+Be^{lambda y}$其中，$A$和$B$是常数，$lambda$是函数$E$的常数。

(2) 二维泊松方程设温度$T$满足二维泊松方程：$frac{partial ^2T}{partialx^2}+frac{partial ^2T}{partial y^2}=0$根据泊松定理，得出解：$T=Ce^{2lambda x}+De^{2lambda y}$ 其中，$C$和$D$是常数，$lambda$是函数$T$的常数。

四、计算机求解(1)值计算在计算机上，求解泊松方程最常用的方法是对方程进行数值计算，即以格点数值的方式，将求解的区域离散为一系列的小正方形，把每个格点处的函数变量替换为它所在小正方形上的参数，然后基于格点数值技术，穷举出每个格点处的函数变量，从而求解出该方程。

泊松方程

泊松方程泊松方程（英语：Poisson’s equation）是数学中一个常见于静电学、机械工程和理论物理的偏微分方程，因法国数学家、几何学家及物理学家泊松而得名的。

泊松方程为在这里代表的是拉普拉斯算子，而f和φ可以是在流形上的实数或复数值的方程。

当流形属于欧几里得空间，而拉普拉斯算子通常表示为，因此泊松方程通常写成在三维直角坐标系，可以写成如果没有，这个方程就会变成一个齐次方程，这个方程称作“拉普拉斯方程"。

泊松方程可以用格林函数来求解；如何利用格林函数来解泊松方程可以参考screened Poisson equation。

现在有很多种数值解.像是relaxation method，不断回圈的代数法，就是一个例子。

静电学在静电学很容易遇到泊松方程。

对于给定的f找出φ是一个很实际的问题,因为我们经常遇到给定电荷密度然后找出电场的问题。

在国际单位制（SI)中:此代表电势（单位为伏特），是电荷体密度（单位为库仑/立方米）,而是真空电容率（单位为法拉/米).如果空间中有某区域没有带电粒子，则此方程就变成拉普拉斯方程：[编辑]高斯电荷分布的电场如果有一个三维球对称的高斯分布电荷密度:此处，Q代表总电荷此泊松方程：的解Φ(r)则为erf（x)代表的是误差函数.注意：如果r远大于σ,erf（x)趋近于1，而电场Φ（r）趋近点电荷电场；正如我们所预期的。

[编辑]参阅•离散泊松方程[编辑］参考资料•Poisson Equation at EqWorld： The World of Mathematical Equations.•L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence， 1998。

ISBN 0—8218—0772-2• A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists， Chapman & Hall/CRC Press， Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488—299-9。

多重网格在二维泊松方程有限元分析中的应用

ｎｅｗＧＳ在细网格上更新狌即狌这一过程叫狌＝狌ｆ，ｆ．ｆｆ＋Δ
１多重网格方法
多重网格法最初来源于差分方程的迭代求解数值解与差分方程精确解之间的误差与傅立．叶分析中不同频率分量有关，不同的频率分量具有
［４１］
犕狌犾狋犻狉犻犱犳犻狀犻狋犲犲犾犲犿犲狀狋犪狀犪犾狊犻狊犳狅狉２犇犿狅犱犲犾犻狀犳狆狅犻狊狊狅狀犲狌犪狋犻狅狀犵狔犵狅狇
，，ＷＡＮＧＱｉｎｉｎＡＩＷｕｍｉｎｏｎｌｉａｎＢＷＡＮＧＨｇｐｇｇｇｇ
ＧＳＧＳ狉狌ｆ－犃ｆｆ，ｆ＝犫ＧＳ然后，将残差狉）矩阵犚转换到Ｒｅｓｔｒｉｃｔｉｏｎｆ通过限制（ＧＳ即狉而在粗网格上求解犃粗网格上，狉狌ｃ＝犚ｆ．ｃｃ＝
．
多重网格方法通常建立在有限差分方法的基础本文将多重网格方法引入到．有限元方法中，并以二维的泊松方程为例，对单重网
多重网格在二维泊松方程有限元分析中的应用
王青平，白武明，王洪亮
（中国科学院地质与地球物理研究所，北京１）０００２９
摘要本文简要介绍多重网格（算法的基本原理及基本步骤，然后将多重网格算法引入有限单元中，对二维泊ＭＧ）松方程进行求解．单元数尺度从８×８逐次增加至１并与单重网格中高斯赛德尔迭代法（、共轭梯度法０２４×１０２４，ＧＳ）（结果表明ＭＧ在计算速度和迭代次数都明显优于ＧＣＧ）在程序运行时间以及迭代次数方面进行比较．Ｓ、ＣＧ方法．在１比Ｃ而且与理论解的误差更小．０２４×１０２４网格中，ＭＧ不仅比ＧＳ快５００多倍，Ｇ快６０多倍，关键词多重网格，共轭梯度法，高斯赛德尔迭代法，泊松方程，有限元分析：／．ｉｓｓｎ．１００４２９０３．２０１０．０４．０３９中图分类号ＰＤＯＩ１０．３９６９６３１文献标识码Ａｊ

三维泊松方程的高精度求解方法

三维泊松方程的高精度求解方法三维泊松方程是一种常见的偏微分方程，广泛应用于自然科学与工程领域的建模和计算。

解决三维泊松方程的高精度方法是很有挑战性的，因为它涉及到大规模的计算和内存需求。

本文将介绍几种常见的高精度求解三维泊松方程的方法。

一、直接方法直接方法是通过离散化三维泊松方程，并利用线性代数方法求解线性方程组。

其中最常用的方法是基于有限差分法的离散化方法。

具体而言，我们可以将泊松方程转化为一个线性方程组Ax=b的形式，其中A是一个稀疏矩阵，x是未知量，b是常数向量。

对于高精度求解，可以使用稀疏矩阵的特殊性质进行优化，如共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）、预条件共轭梯度法（Preconditioned Conjugate Gradient Method）等。

这些方法可以充分利用矩阵的稀疏性，减少计算复杂度和存储空间。

二、迭代方法迭代方法是通过迭代更新解的数值，直到达到预设的收敛条件。

常见的迭代方法包括雅可比迭代法（Jacobi Method）、高斯-赛德尔迭代法（Gauss-Seidel Method）和多重网格法（Multigrid Method）等。

对于高精度求解，可以选择迭代方法的高阶或者加速版本，如SOR迭代法（Successive Over-Relaxation Method）、MGCG迭代法（Multigrid Conjugate Gradient Method）等。

这些方法可以加快收敛速度，提高数值精度。

三、谱方法谱方法是基于函数的全局性质进行求解的方法。

将输入函数在一组合适的基函数上展开，并选择合适的权重，然后通过将展开系数带入泊松方程，得到一组线性方程，进而求解出解。

对于高精度求解，可以选择具有较高收敛阶的基函数，如拉格朗日插值基函数和切比雪夫基函数等。

此外，合理地选择基函数的数量和位置，可以进一步提高数值精度。

四、混合方法混合方法是将上述不同的方法结合在一起，以充分发挥各自的优点。

讲稿多重网格算法及平均现象的解释

讲稿多重网格算法及平均现象的解释多重网格算法（Multigrid Algorithm）是一种用于解决偏微分方程数值解的迭代方法，其特点是通过在不同的网格层次上进行逐层求解来提高算法的效率。

而平均现象（Averaging Phenomenon）则是指在多重网格算法中，粗网格上的误差和精细网格上的误差之间能够通过一种平均的方式相互影响和传播，最终使得算法收敛速度加快。

多重网格算法首先将原始问题离散化为不同层次的网格，通常包括粗网格和细网格。

在每一层次上，算法通过迭代求解来逼近问题的解，然后将该解传递到相邻的层次上。

在粗网格上，由于离散化程度较低，计算量相对更小，因此可以高效地求解近似解。

而在细网格上，精度较高，可以更准确地求解。

通过在不同层次间多次迭代，最终得到问题的数值解。

在多重网格算法中，平均现象是使算法收敛速度加快的关键。

在每一次迭代中，粗网格上的解被传递到细网格上，而细网格上的误差则通过一种平均的方式传回到粗网格上。

这种误差传递和平均化的过程使得细网格上的误差被平滑和减少，同时将误差传播回粗网格上，从而进一步减小粗网格上的误差。

通过多次迭代，误差逐渐减小，最终达到问题的收敛。

平均现象可以通过以下两个方面来解释:1. 粗网格修正：在每一层次的求解过程中，细网格上的误差通过插值传递到粗网格上。

通常采用的插值技术是限制性平均（Restriction Average），即对于每个细网格上的误差点，通过计算其周围的粗网格节点值的平均来修正。

这样，细网格上的误差会通过平均操作在粗网格上逐渐减小。

2. 细网格修正：在每一层次的求解过程中，粗网格上的解通过插值传递到细网格上。

通常采用的插值技术是延拓平均（Prolongation Average），即对于每个粗网格上的解点，通过计算其周围的细网格节点值的平均来修正。

这样，粗网格上的解会通过平均操作在细网格上逐渐修正。

通过以上两种修正方式，多重网格算法中的平均现象得以实现。

樊洪明泊松方程

樊洪明泊松方程
樊洪明泊松方程是一个在物理学和工程学中非常重要的数学方程，它描述了物体内部的应力分布。

泊松方程的数学形式为：div(σ) = -p，其中σ是应力张量，p是压力场，div表示散度算子。

樊洪明泊松方程的提出，对于解决一系列实际问题具有重要的意义。

例如，在固体力学中，泊松方程可以用于描述弹性体的应力分布；在流体力学中，它可以用于描述不可压缩流体的压力场分布。

通过求解泊松方程，可以获得物体内部的应力分布情况，从而进一步分析物体的稳定性、变形和破裂等问题。

在应用樊洪明泊松方程时，需要特别注意其适用范围和边界条件。

例如，在处理非均匀介质或考虑惯性力时，需要采用更复杂的数学模型。

此外，泊松方程的求解过程通常涉及到数值计算方法，如有限元分析、有限差分法等。

这些方法需要根据具体问题选择合适的网格划分、边界条件和求解算法，以保证求解精度和稳定性。

除了在物理学和工程学中的应用，樊洪明泊松方程还在其他领域有所应用。

例如，在生物学中，它可以用于描述细胞或组织的应力分布；在经济学中，它可以用于分析市场压力和竞争态势。

在这些领域中，樊洪明泊松方程的适用性和重要性可能会因具体问题的不同而有所差异，但其在数学建模和科学分析中的基础作用是相似的。

总之，樊洪明泊松方程是一个重要的数学方程，它在物理学、工程学和其他领域中都有广泛的应用。

通过理解和掌握这个方程，我们可以更好地分析物体的应力分布和解决一系列实际问题。

泊松方程的解法及应用

泊松方程的解法及应用泊松方程是关于无限大区域内的某个标量势函数的二阶偏微分方程。

它在物理学和工程学中广泛应用，例如在电场、热传导、流体力学和弹性力学等领域。

本文将介绍泊松方程的解法及其在实践中的应用。

一、泊松方程的定义与基本性质泊松方程是具有如下形式的偏微分方程：∇²u = -ρ其中u是标量势函数，ρ是源项，∇²是拉普拉斯算子。

这个方程可以通过库伦定律推导出电力学中的几乎所有问题，是许多物理学领域研究的基础。

泊松方程有一些基本性质。

首先，它是线性的，也就是说，如果两个不同的源项ρ₁和ρ₂产生的标量势函数分别是u₁和u₂，那么对于常数a和b，它们的线性组合a u₁ + b u₂是对应于线性组合aρ₁ + bρ₂的标量势函数。

其次，它是反演对称的，也就是说，如果标量势函数u满足泊松方程，那么-u也满足泊松方程。

二、泊松方程的解法在实际应用中，我们需要求解泊松方程，以便计算出场的分布。

泊松方程的解法通常可以分为两种：1. 分离变量法分离变量法是将u(x, y, z)表示为三个独立变量x, y, z的函数的积的形式，即u(x, y, z) = X(x) Y(y) Z(z)，然后将泊松方程代入并对每个独立变量进行求导，最终得到连个常微分方程和一个初值问题，可由此得到标量势函数u的解析解。

2. 数值解法当求解泊松方程的解析解十分困难或不可能时，可以通过求解离散化的差分方程来得到数值解。

一般使用有限差分法、有限元法或谱方法，这些方法分别将无限大区域内的标量势函数划分为有限数量的子域，并在子域内使用数值技巧求解差分方程。

三、泊松方程在工程学中的应用泊松方程在物理学和工程学中的应用广泛，下面将介绍其中两个重要的应用：电势分布和热传导问题。

1. 电势分布在电场问题中，泊松方程描述了电场中的电势分布。

假设我们有一个电荷分布ρ(x, y, z)，根据库伦定律，它产生了电场。

泊松方程可以帮助我们计算出哪些区域具有高电势、低电势以及电压梯度等性质。

多重网格算法

[3] J.Xu . Iternative methods by space decomposition and subspace correction，SIAM Reveiem,1992,34(4):581-613
二、已取得的成果和待扩充领域
• 多重网格算法经过近20年的研究，在经典应用领域—线性和非线性、标量和非标量椭圆型问题取得了丰硕的成果。
1 2
in,
j
qin,
1 j
1 s
1 2
2
1 2
in,
j
qin,
j
• 即： Lqin,j1 f
•其中：
L
1 s
1 2
2
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n i,
j
f
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2
1 2
in,
j
qin,
j
多重网格方法的计算步骤
M M-1 M-2 M-3 M-4
两层“V”循环多重网格方法
多层“V”循环多重网格方法
完全多重网格方法
三基本思想三大支柱套迭代技术四多重网格方法的计算步骤多层v循环多重网格方法两层v循环多重网格方法m1m2m3m4完全多重网格方法多重网格方法的计算步骤两层v循环多重网格方法的计算步骤h2h求解的方程为
多重网格算法
全广艳 2012年5月10日
一、发展过程二、已取得的成果和待扩充领域三、基本思想四、多重网格方法的计算步骤
a.计算细网格上的亏损量：
dhn
fh
n
Lhuh
n
Lh (uh uh ) LhVh
b.从细网格到粗网格转移亏损量：
d
n H
I
H h
d
n h

多重网格方法及其算法分析

多重网格方法及其算法分析多重网格方法（Multigrid Method）是一种用于求解偏微分方程数值解的高效算法。

它通过在多个网格层级上迭代求解，将计算时间大大缩短，并提高了求解结果的精度。

本文将对多重网格方法及其算法进行深入分析。

一、多重网格方法简介多重网格方法是一种求解线性或非线性偏微分方程数值解的方法。

其基本思想是通过在不同精度的网格上进行迭代求解，从而达到快速求解的目的。

多重网格方法拥有以下特点：1. 多层网格结构：多重网格方法通过构建多个层级的网格结构，从粗网格开始，逐渐向细网格逼近。

每个网格层级包含不同的网格点数量，用于近似原始偏微分方程的解。

2. 收缩-插值操作：在不同网格层级之间，通过收缩和插值操作，将解从粗网格传递到细网格，或者将残差从细网格传递到粗网格。

这样可以加速迭代求解，达到更高的求解精度。

3. 快速下降：多重网格方法利用了网格层级结构，每次迭代都能快速收敛至最细网格，然后再进行细致的求解。

这种快速下降的策略有效地减少了计算时间。

二、多重网格方法算法分析多重网格方法包含以下主要步骤：1. 初始化：选择适当的初始解，并构建多层网格结构。

2. 粗网格迭代：在粗网格上进行迭代求解，不断逼近精确解。

3. 输运操作：通过插值或收缩操作，将解从粗网格传递到细网格，或者将残差从细网格传递到粗网格。

4. 细网格迭代：在细网格上进行迭代求解，提高求解精度。

5. 重复操作：重复进行输运操作和细网格迭代，直到达到预定的收敛标准。

6. 输出结果：得到最终的数值解。

多重网格方法的核心在于输运操作和迭代求解。

输运操作通过插值和收缩操作，将解从一个网格层级传递到相邻的层级，实现解的传递和精度提升。

而迭代求解则在每个网格层级上进行局部的求解，通过逐步逼近真实解来提高数值解的精度。

三、多重网格方法的应用领域多重网格方法在科学计算和工程领域有着广泛的应用。

它可以用于求解各种偏微分方程，如椭圆方程、抛物方程和双曲方程等。

泊松方程4pi

泊松方程4pi摘要：1.泊松方程的定义与背景2.泊松方程的求解方法3.4π在泊松方程中的应用4.泊松方程在实际问题中的重要性正文：1.泊松方程的定义与背景泊松方程是物理学和数学领域中一种描述波动现象的偏微分方程，由法国数学家泊松于1827 年提出。

泊松方程广泛应用于声学、流体力学、地震学等领域，描述了波动在各向同性介质中的传播规律。

2.泊松方程的求解方法泊松方程是一个三维空间中的线性偏微分方程，其一般形式为：φ= f(x, y, z)其中，φ表示波动函数，f(x, y, z) 表示波动源。

泊松方程的求解方法有很多，如分离变量法、特征值法等。

对于简单的波动问题，可以利用分离变量法将泊松方程化为一组简单的一维方程，从而求解。

而对于复杂的波动问题，可以采用特征值法等数值方法进行求解。

3.4π在泊松方程中的应用在泊松方程中，4π是一个非常重要的常数。

当波动源f(x, y, z) 为狄拉克δ函数时，泊松方程的解为：φ(x, y, z) = 4π ∫ [δ(x - x")] / √(x + y + z) dτ其中，∫表示积分，δ(x - x") 表示狄拉克δ函数，√(x + y + z) 表示空间坐标(x, y, z) 到原点(0, 0, 0) 的距离。

这个解描述了一个球对称的波动传播过程，4π起到了一个比例系数的作用。

4.泊松方程在实际问题中的重要性泊松方程在实际问题中具有很高的应用价值。

例如，在声学领域，泊松方程可以用来描述声波在空气中的传播规律；在流体力学领域，泊松方程可以用来描述流体中的波动现象；在地震学领域，泊松方程可以用来描述地震波在地球内部的传播规律等。

8_6泊松方程

6
分离变量，令
w( ρ , ϕ ) = R( ρ )Φ(ϕ ),
Φ′′ + λΦ = 0,
得到两个常微分方程
ρ 2 R′′ + ρ R′ − λ R = 0,
利用周期性边界条件， Φ (ϕ ) = Φ (ϕ + 2π ), 得到本征值问题
Φ′′ + λΦ = 0 Φ (ϕ ) = Φ (ϕ + 2π ),
第六节泊松方程
对于泊松方程的边值问题，因其为非齐次Laplace方程，与时间无关，所以不能使用冲量定理法求解。实际上对于此类问题，一个比较实用的方法就是所谓的特解法。假设空间区域V内的泊松方程第一边值问题
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + + = f ( x , y , z )(( x , y , z ) ∈ V ), 2 2 2 ∂y ∂z ∂x u | = ϕ ( x , y , z ). s
10
小结分离变量法、傅里叶级数法、冲量定理法和非其次边界条件的处理方法。可以求解最一般的有界定解问题：泛定方程－－非齐次
边界条件－－非齐次初始条件－－非零值
11
一、一般的有界波动和输运问题法1、边界条件齐次化。泛定方程－－非齐次泛定方程－－非齐次
边界条件－－非齐次初始条件－－非零值
w( x, y, z ) |S = ϕ ( x, y, z ) − v( x, y, z ) |S .
第三步：写出新函数的Laplace方程的第一边值问题
(( x , y , z ) ∈ V ), ∆w = 0 w |s = ϕ ( x , y , z ) − v ( x , y , z ) |S .
所以，

多重网格算法综述

多重网格算法综述邹静文 6摘要本文总结了多重网格算法的基础理论，剖析了多重网格方式的一种并行模式和总结了已取得的功效和待扩充的领域。

对多重网格方式的大体思想有一个较详细的概述，比较分析了单一网格和多重网格的计算结果，并对多重网格的并行模式进行了探讨和分析。

关键词多重网格算法，套迭代，粗网格校正，并行模式，交织多重网格，区域分解一、引言多重网格法(Multiple Grid Method)，简称M —G 方式是最近几年来求解偏微分方程边值问题的快速方式之一，本文参考前人的文献资料，并结合所学知识，总结多重网格法的基础理论，包括多重网格的应用原那么、具体实现步骤和计算结果的分析和比较。

其计算结果说明：多重网格方式具有收敛速度快的优势，当多重网格方式所用层数越多，生效速度就越快；而且撞制粗、细网格层之间自适应转换的撞制参数在选取上有专门大的灵活性；能够看出随着剖分的加密，单一网格方式达到收敛所需的迭代次数显著增加，而多重网格方式所需迭代次数大体上不随网格的疏密和层数而转变，这说明多重网格方式具有与网格参数无关的收敛性。

二、多重网格方式的基础理论多重网格方式的最初被提出是由于在网格方程迭代求解时，误差的各个Fourier 分量的衰减程度不同。

熟悉到高频振荡误差是局部行为，来源于周围几个网格点之间的彼此藕合，与边界或距离较远的网格点信息无关；而低频滑腻误差是全局行为，要紧来源于边界信息。

传统的点或块松弛都是局部性较强的方式，因此它们能迅速抹平局部性的高频振荡误差，但对全局性的低频滑腻误差却衰减缓慢。

事实上，通过初始几回迭代后，误差将呈现滑腻性。

因此，适应上称能迅速抹平高频振荡误差，使误差趋于滑腻的松驰方式为有效滑腻方式，并用松驰因子来刻画它们的滑腻效应。

多重网格方式思想的引入考虑在简单区域Ω上泊松方程的第一类边值问题(狄立克雷边值问题)：(,)(,),(,)(,)0,(,)u x y f x y x y u x y x y -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 那个地址Ω是一个单位正方形，∂Ω是那个正方形的边界如以下图所示：在以步长为h 的网格上hΩ离散后，取得一个线性系统h h h L u f =，其中h L 是一个稀疏矩阵。

泊松方程求解

泊松方程求解
泊松方程求解是数学上一个重要而又有趣的问题。

它是数学家Pierre-SimonLaplace发现的，他在1786年发表了一篇论文，提出了一种方法来求解泊松方程。

泊松方程的求解有多种，其中最基本的形式包括拉普拉斯变换法、微分方程法和解析解法等。

首先，来看拉普拉斯变换法。

这种方法基于拉普拉斯变换，其原理是将原来复杂的某个函数（如泊松方程）变换成一种更加简单的形式，由此来推导出泊松方程的解。

拉普拉斯变换是一种古老的数学技术，它的贡献无可替代，是泊松方程解析求解的基础。

其次，谈到微分方程法。

微分方程法本质上是一种非线性迭代求解方法，它的基本步骤是使用数值分析法将泊松方程转化为一系列微分方程，然后采用数值求解技术来求解泊松方程。

微分方程法适用于非线性问题，以及条件初值问题，常用解法有Runge-Kutta法、Adams-Bashforth-Moulton法等。

此外，泊松方程有其解析解。

解析解是使用精确的数学方法求解泊松方程的解，它可以将原来的复杂问题变成一个简单的求解问题，从而获得一个准确精确的解。

解析解有许多种形式，比如全局逼近解、有限差分法、有限元法和积分变换等。

最后，总结一下。

泊松方程求解是一个复杂而重要的问题，有多种求解方法可供选择，其中包括拉普拉斯变换法、微分方程法和解析解法等。

这些方法在不同的情况中有不同的适用性，但都能够有效地帮助我们解决泊松方程的求解问题。

三维泊松方程数值模拟的多重网格方法

万方数据万方数据地球物理学进展正特性消除迭代误差的低频分量，套迭代技术通过限制和插值算子连接所有网格层共同求解，如此消除了不同频率范围的误差分量，加速了迭代的收敛速度．２图１ａ多重网格算法的Ｖ循环Ｆｉｇ．１ａＲｅｃｕｒｒｅｎｃｅＶｏｆｍｕｈｉｇｒｉｄａｌｇｏｒｉｔｈｍ图１ｂ完全多重网格算法的循环ｓ为松弛迭代，斜杠＼为限制算子，斜杠／为延拓算子，Ｅ为精确求解Ｆｉｇ．１ｂＲｅｃｕｒｒｅｎｃｅｏｆｆｕｌｌｍｕｌｔｉｇｒｉｄａｌｇｏｒｉｔｈｍＳ－ｒｅｌａｘａｔｉｏｎｉｔｅｒａｔｉｏｎ，＼ＩＲｅｓｔｒｉｃｔｉｏｎ，／－Ｐｒｏｌｏｎｇａｔｉｏｎ，Ｅ—Ｅｘａｃｔｓｏｌｖｅｒ２三维泊松方程的多重网格算法考虑在区域Ｑ及其边界ａＱ上的如下三维泊松方程边值问题：ｆＬｕ一３７ｒ２ｓｉｎＯｒｘ）ｓｉｎＯｒｙ）ｓｉｎ（＿ｒｚ）１甜Ｉ加一０’（ｚ，Ｙ，ｚ）∈Ｑ—Ｌ０，１Ｊ３该问题有理论解ｕ（ｘ，Ｙ，ｚ）一ｓｉｎ（ｚｒｘ）ｓｉｎ（ｚｒｙ）ｓｉｎ（ｚｒｚ）．在区域ｎ上对泊松方程采用中心有限差分法进行均匀离散，分别用ＭＧ法、ＩＣＣＧ法以及Ｇａｕｓｓ法求解离散所得的大型线性方程组，其中ＩＣＣＧ及Ｇａｕｓｓ方法本文不讨论，详见文献［４，５］．ＭＧ算法先在最粗网格３×３×３（即最粗网格步长为０．５）上直接求解，实际只是一个方程解一个未知数，将其逐级延拓到更细一层网格上，其步长ｈ是上一层粗网格步长Ｈ的一半（Ｈ一２ｈ），然后按图１ｂ的完全多重网格的循环模式求解，当迭代误差ａ小于阈值ｄ。

一２×１０＿７时，计算终止，ａ表示为图２随三维网格的加密，ＭＧ的收敛曲线Ｆｉｇ．２Ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅｃｕｒｖｅｏｆｍｕｌｔｉｇｒｉｄａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒｖａｒｉｏｕｓｇｒｉｄｓｉｚｅ图３随三维网格的加密，ＩＣＣＧ的收敛曲线Ｆｉｇ．３Ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅｃｕｒｖｅｏｆ１ＣＣＧｍｅｔｈｏｄｆｏｒｖａｒｉｏｕｓｇｒｉｄｓｉｚｅｓ图４ＭＧ、ＩＣＣＧ、Ｇａｕｓｓ法的计算时间随网格节点数的变化曲线Ｆｉｇ．４ＲｕｎｎｉｎｇｔｉｍｅｔＶｓ．ｔｈｅｎｕｍｂｅｒｏｆｇｒｉｄｎｏｄｅｓＮｆｏｒＭＧ、ＩＣＣＧａｎｄＧａｕｓｓｍｅｔｈｏｄｓ万方数据万方数据万方数据。

求解三维泊松方程的新瀑布型代数二重网格法

组Ａｕ＝Ｆ代数多重网格（ＭＧ）是求解离散化代２新瀑布型代数二重网格法．Ａ法数方程组Ａｕ＝Ｆ最有效的方法之一。０８年，献２０文
文献［］２中提出的ＣＡＭＧ法所采用的是基于强
这种粗化算法虽然能构造出插［］２综合通常的代数多重网格法和瀑布型几何多重网弱连接关系粗化算法，
（．１红河学院数学学院，南蒙自６１０云６１０；２．桂林电子科技大学
摘
一
数学与计算科学学院，西桂林５１０）广４０４
要：文章针对三维泊松方程，讨论四面体有限元离散格式下的代数多重网格法．通过采用一种快速的粗化算法，出了提
法，基于这种粗化算法，出一种新的插值算子和新的插值算子，使用一种新的迭代终止条件，造并提并构
迭代终止条件，造了一种新瀑布型代数二重网格构
了一种新的瀑布型代数二重网格法．这里先介绍基于
收稿日期：００— ３—２２１０８
加入到粗点集Ｃ中，图集Ｇ中将ｔ点标在ｏｔ＇注“ 被访问过 ” 选取满足（， ∈Ｇ的点．）
基金项目：红河学院硕博项目（ＪＳ９５Ｘ１０２）第一作者：李明（９３一）男，１８，湖南长沙人，硕士，助教，研究方向：偏微分方程数值解．
单的优点．在瀑布型代数多重网格法中，关键的就算法而构造的插值算子的插值效果却一般．最为了改是粗化算法和插值矩阵的构造，了加快文献［］为２中进文献［］ＣＭＧ法的粗化算法的速度，文选用２中Ａ本粗化算法的粗化速度，文采用一种快速的粗化算基于矩阵图集的粗化算法来实现粗化过程，计一种本设

CFD基于泊松方程的网格优化

一、题目二、方法介绍本次作业网格生成主要分为两个部分，第一部分生成代数网格，第二部分使用拉普拉斯方程求解来优化节点分布。

代数网格的生成方法如下：以整个计算域的左下角点作为原点建立笛卡尔坐标系，将计算域的边界曲线解析式求解出来，分别将最下边界、上边界、左边界和右边界表示成首先在边界线上等间距分布101个节点，然后沿着x和y方向，逐层平均分配101个节点。

如，y=0边界上的第一层节点分布为类似地，可以求出左右边界和上边界的网格分布，这样就有了、、、、和。

可以求出沿着y方向平行于下边界的第二行网格节点的横坐标为类似地可以求出每一行网格节点的x坐标。

可以求出沿着y方向平行于左边界的第二列网格节点的纵坐标为：类似地可以求出每一列网格节点的y坐标。

这样就得到了初始的代数网格。

使用拉普拉斯方程优化网格节点坐标的方法如下：在物理平面上，边值问题的拉普拉斯方程为：使用坐标转换，将上式变为将上式中、定义为结构化网格节点的行数和列数，那么解第二个方程组即可解得满足拉普拉斯方程的结构化网格节点坐标。

通过查询相关资料，本次作业采用的差分格式为五点差分格式：求解上述方程组使用高斯赛德尔迭代法，具体迭代公式可见数值分析教材。

收敛条件为迭代步上限为10000步。

三、结果展示1.代数网格可以看到代数网格的正交性和光顺性都很差，所以使用拉普拉斯方程来优化网格节点的分布。

2.优化结果及收敛历史使用拉普拉斯方程优化后的网格如下可以看到优化后的网格正交性和光顺性都得到了很大的改善。

对残差进行分析可以看到残差在开始计算后很快就下降了，因此选取50步、100步的结果进行查看50步的优化结果100步的优化结果可以看到100步时结果已经比较良好，可见这种有优化方法非常适合这种情况下的网格划分。

四、源代码#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <math.h>#define MALLOC(type,n) (type *)malloc((n)*sizeof(type))const int dot_row=101,dot_col=101,max_ste=100; //定义行节点和列节点数、优化迭代最大步数const double cir_cho=1.5,cir_rad=0.4,lin_sho=0.25,lin_lon=1.25,lin_all=3; //定义图形的形状double max(double a,double b);int main(){double **mesh_x,**mesh_x0;//x0、y0是优化网格时候保存上一步网格节点的数组double **mesh_y,**mesh_y0;double rad=0,deltX=0,deltY=0;int i=0,j=0;/*使用malloc分配动态数组可以分配任意大小的数组*/mesh_x=MALLOC(double *,dot_row);mesh_x0=MALLOC(double *,dot_row);mesh_y=MALLOC(double *,dot_row);mesh_y0=MALLOC(double *,dot_row);for(i=0;i<dot_col;i++){mesh_x[i]=MALLOC(double, dot_col);mesh_x0[i]=MALLOC(double, dot_col);mesh_y[i]=MALLOC(double, dot_col);mesh_y0[i]=MALLOC(double, dot_col);}rad=cir_rad/2+pow(cir_cho,2)/(8*cir_rad);//求圆弧对应的半径/*求解代数法得到的初始网格*//*求解边界上节点的坐标第0、100行、列的网格节点坐标*/deltX=lin_all/(dot_row-1);deltY=lin_all/(dot_col-1);for(i=0;i<dot_col;i++){mesh_x[0][i]=i*deltX;if(mesh_x[0][i]>=lin_sho&&mesh_x[0][i]<=lin_sho+cir_cho){mesh_y[0][i]=sqrt(rad*rad-pow((mesh_x[0][i]-cir_cho/2-lin_sho),2))-rad+cir_rad;}else{mesh_y[0][i]=0;}}for(i=0;i<dot_col;i++){mesh_x[dot_row-1][i]=i*deltX;if(mesh_x[dot_row-1][i]>=lin_lon&&mesh_x[dot_row-1][i]<=lin_lon+cir_cho){mesh_y[dot_row-1][i]=-sqrt(rad*rad-pow((mesh_x[dot_row-1][i]-lin_lon-cir_cho/2),2))+(lin _all-cir_rad+rad);}else{mesh_y[dot_row-1][i]=lin_all;}}for(i=0;i<dot_row;i++){mesh_y[i][0]=i*deltY;if(mesh_y[i][0]>=lin_lon&&mesh_y[i][0]<=lin_lon+cir_cho){mesh_x[i][0]=sqrt(rad*rad-pow((mesh_y[i][0])-lin_lon-cir_cho/2,2))-rad+cir_rad;}else{mesh_x[i][0]=0;}}for(i=0;i<dot_row;i++){mesh_y[i][dot_col-1]=i*deltY;if(mesh_y[i][dot_col-1]>=lin_sho&&mesh_y[i][dot_col-1]<=lin_sho+cir_cho){mesh_x[i][dot_col-1]=-sqrt(rad*rad-pow((mesh_y[i][dot_col-1]-(lin_sho+cir_cho/2)),2))+(li n_all+rad-cir_rad);}else{mesh_x[i][dot_col-1]=lin_all;}}printf("边界网格生成完毕");/*生成内部网格节点坐标*/for(i=1;i<dot_row-1;i++){for(j=1;j<dot_col-1;j++){mesh_x[i][j]=mesh_x[i][0]+j*(mesh_x[i][dot_col-1]-mesh_x[i][0])/100;mesh_y[i][j]=mesh_y[0][j]+i*(mesh_y[dot_row-1][j]-mesh_y[0][j])/100;}}FILE* fp_ini=fopen("data_ini.txt","w");if(fp_ini==NULL){printf("Can't open the file data_ini\n");}else{fprintf(fp_ini,"Title=\"mesh\"\nVariables=\"x\",\"y\"\nZone I=101,j=101,f=point\n");for(i=0;i<dot_row;i++){for(j=0;j<dot_col;j++){fprintf(fp_ini,"%lf " ,mesh_x[i][j]);fprintf(fp_ini,"%lf\n",mesh_y[i][j]);}}fclose(fp_ini);}/*网格优化*/int step=0;//迭代步数double res=1; //残差double a=0,b=0,c=0;//迭代过程中的中间变量FILE* fp_res=fopen("data_res.txt","w");FILE* fp_tec=fopen("data_tecplot.txt","w");while(res>1e-6&&step<=max_ste){res=0;for(i=0;i<dot_row;i++){for(j=0;j<dot_col;j++){mesh_x0[i][j]=mesh_x[i][j];mesh_y0[i][j]=mesh_y[i][j];}}for(i=1;i<dot_row-1;i++){for(j=1;j<dot_col-1;j++){a=((mesh_x0[i][j+1]-mesh_x0[i][j-1])/2)*((mesh_x0[i][j+1]-mesh_x0[i][j-1])/2)+((mesh_y0[ i][j+1]-mesh_y0[i][j-1])/2)*((mesh_y0[i][j+1]-mesh_y0[i][j-1])/2);b=((mesh_x0[i+1][j]-mesh_x0[i-1][j])/2)*((mesh_x0[i][j+1]-mesh_x0[i][j-1])/2)+((mesh_y0[ i+1][j]-mesh_y0[i-1][j])/2)*((mesh_y0[i][j+1]-mesh_y0[i][j-1])/2);c=((mesh_x0[i+1][j]-mesh_x0[i-1][j])/2)*((mesh_x0[i+1][j]-mesh_x0[i-1][j])/2)+((mesh_y0[ i+1][j]-mesh_y0[i-1][j])/2)*((mesh_y0[i+1][j]-mesh_y0[i-1][j])/2);mesh_x[i][j]=(2*a*(mesh_x[i+1][j]+mesh_x[i-1][j])-b*(mesh_x[i+1][j+1]-mesh_x[i-1][j+1]-mesh_x[i+1][j-1]+mesh_x[i-1][j-1])+2*c*(mesh_x[i][j+1]+mesh_x[i][j-1]))/(4*a+4*c);mesh_y[i][j]=(2*a*(mesh_y[i+1][j]+mesh_y[i-1][j])-b*(mesh_y[i+1][j+1]-mesh_y[i-1][j+1]-mesh_y[i+1][j-1]+mesh_y[i-1][j-1])+2*c*(mesh_y[i][j+1]+mesh_y[i][j-1]))/(4*a+4*c);res=max(res,(fabs(mesh_x[i][j]-mesh_x0[i][j])+fabs(mesh_y[i][j]-mesh_y0[i][j])));}}if(fp_res==NULL){printf("Can't open the file data_res\n");}else{fprintf(fp_res,"%lf\n",res);}step++;if(step==max_ste||res<1e-6){if(fp_tec==NULL){printf("Can't open the file fp_tec\n");}fprintf(fp_tec,"Title=\"mesh\"\nVariables=\"x\",\"y\"\nZone I=101,j=101,f=point\n");for(i=0;i<dot_row;i++){for(j=0;j<dot_col;j++){fprintf(fp_tec,"%lf " ,mesh_x[i][j]);fprintf(fp_tec,"%lf\n",mesh_y[i][j]);}}}}fclose(fp_res);fclose(fp_tec);for(i=0;i<dot_row;i++){free(mesh_x[i]);free(mesh_y[i]);}free(mesh_x);free(mesh_y);return 0;}double max(double a,double b){if(a>b){return a;}else{return b;}}。

泊松方程的多重网格法(两层)

求解Poisson 方程y x yx cos sin 2222=∂∂+∂∂ψψ， 10≤≤x ，10≤≤y ，0|0==x ψ，y x ==1|ψ2cos 1sin y -， 0|y ψ==2sin x -，x y ==1|ψ21cos sin x -， :PDE L n n ψ=f ψ=ψ+w ψw 其中为近似解，为误差 L L L L ⇒+=⇒=-=n n ψw f w f ψR离散n ψw 和⎧⇒⎨⎩A ψ=Bf Aw =BR误差和原函数满足相同的PDE本题使用简单的二层网格粗网格修正格式V 循环来求解，具体可分为4个步骤：（1）在细网格上迭代求解L =ψf迭代1υ步后，计算所得近似值nψ的残差（n 表示在细网格上） n n n n L =-γf ψ（2）在粗网格上精确求解误差方程（2n 表示在粗网格上）222n n n n n L =w I γ（3）进行粗网格修正22n n n n n ←+ψψI w（4）然后回到（1），以新的nψ为初值，开始下一个V 循环，直到达到一定的收敛标准为止。

上述循环叫做二层网格V 循环。

2nn I 是把细网格上的残差限制到粗网格上的算子，称之为“限制算子”。

2n n I 是把粗网格上的结果差值到细网格上的算子，称之为“差值算子”。

下面是C++代码//多重网格法求解泊松方程void CFDtest::solveByMG(Matrix &psi,Matrix f)//多重网格法{double step3 = step2 * boBox_stepRatio->currentText().toInt();int n1 = (int)(1.0/step2+0.5);int n2 = (int)(1.0/step3+0.5);Matrix gama1(n1,n1);//细网格残差Matrix w(n2+1,n2+1);//粗网格节点误差Matrix psi_old(psi);bool isOK = false;bool isOK2 = false;while (!isOK){//细网格上G-S迭代3步for (int k=0;k<3;k++){isOK = true;intNum++;for (int i=1;i<n1;i++){for (int j=1;j<n1;j++){double old_data = psi[i][j];psi[i][j] = 0.25*(psi[i-1][j] + psi[i+1][j] + psi[i][j-1] + psi[i][j+1] - step2*step2*f[i][j]);if (abs(psi[i][j] - old_data) > intError){isOK = false;}}if (isOK)//如果达到允许误差范围，跳出for循环{break;}}}。

多重网格法简介（MultiGrid）

多重⽹格法简介（MultiGrid）多重⽹格法是⼀种⽤于求解⽅程组的⽅法，可⽤于插值、解微分⽅程等。

从专业⾓度讲多重⽹格法实际上是⼀种多分辨率的算法，由于直接在⾼分辨率（⽤于求解的间隔⼩）上进⾏求解时对于低频部分收敛较慢，与间隔的平⽅成反⽐。

就想到先在低分辨率（间隔较⼤）上进⾏求解，因为此时，间隔⼩，数据量⼩，进⾏松弛时的时空耗费⼩，⽽且收敛快，⽽且⼀个很重要的优点是在低分辨率上对初值的敏感度显然要低于对⾼分辨率的初值的要求。

这⼀点是显⽽易见的，例如我们平时看⼀个很复杂的物体，在很远的地⽅，你可能就觉得它是⼀个点或⼀个球，但是在近处你就不能这么近似，或许发明多重⽹格法的⼈就是从这⼀基本⽣活常识发现的吧。

多重⽹格法可以直接在低分辨率上以⼀个随意的初值进⾏计算，然后再进⾏插值，提⾼其分辨率，再在更⾼分辨率进⾏计算；也可以现在⾼分辨率以随意初值进⾏计算，得到⼀个结果，再将其限制（插值）到低分辨率去，再在低分辨率上进⾏解算，最终再从低分辨率经插值计算达到⾼分辨率。

有关多重⽹格法的资料可以到这⾥下载：多重⽹格技术（multigrid solver）微分⽅程的误差分量可以分为两⼤类，⼀类是频率变化较缓慢的低频分量；另⼀类是频率⾼，摆动快的⾼频分量。

⼀般的迭代⽅法可以迅速地将摆动误差衰减，但对那些低频分量，迭代法的效果不是很显著。

⾼频分量和低频分量是相对的，与⽹格尺度有关，在细⽹格上被视为低频的分量，在粗⽹格上可能为⾼频分量。

多重⽹格⽅法作为⼀种快速计算⽅法，迭代求解由偏微分⽅程组离散以后组成的代数⽅程组，其基本原理在于⼀定的⽹格最容易消除波长与⽹格步长相对应的误差分量。

该⽅法采⽤不同尺度的⽹格，不同疏密的⽹格消除不同波长的误差分量，⾸先在细⽹格上采⽤迭代法，当收敛速度变缓慢时暗⽰误差已经光滑，则转移到较粗的⽹格上消除与该层⽹格上相对应的较易消除的那些误差分量，这样逐层进⾏下去直到消除各种误差分量，再逐层返回到细⽹格上。

多重网格在二维泊松方程有限元分析中的应用

松方程进行求解．元数尺度从８单 ×８逐次增加至１２ ×１２，与单重网格中高斯一德尔迭代法（）共轭梯度法０４０４并赛ＧＳ、
（Ｇ）在程序运行时问以及迭代次数方面进行比较．果表明ＭＧ在计算速度和迭代次数都明显优于ＧｓＣ方法．Ｃ结、Ｇ
ｔｎｔｒｔｏｕｅ。ｓｏｈｔｔｅｃｌｕａｉｎｓｅｄｏＧｓｍｕｈｆｓｅｈｎＧＳａｄＣＧ．ＷｉｈａｇｉｆｉａｄｉａｉｎｎｍｂｒｈｗｓｔａｈａｃｌｔｐｅｆＭｍｅｅｏｉｃａｔｒｔａｎｔｒｏｄ１２０４× １２０４；ｔｅＭＧｔｏｓａｏｔ５０ｔｓｆｓｅｈｎｔｅＧＳｍｅｈｄａｄ６ｉｓｆｓｅｈｎｔｅＣｍｅｈｄｈｍｅｈｄｉｂｕ０ｉａｔｒｔａｈｔｏｎ０ｔｍｅｍｅａｔｒｔａｈＧｔｏ．ＭＧＳｓｌｒｔａｎｔｏｎｅｒｒｂｔｅｕｒｃｉｏｕｉｎａｄｔｅｒｔａｏｕｉｎｉｍａｌｈｎＧＳａｄＣＳｍｅｈｄｉｒｏｅｗｅｎｎｍｅｉａｓｌｔｎｈｏｅｉｌｌｔ．ｅｏｃｓｏ
×８ｔ０４０４ｏａｉｏｔｕｓＳｄｅｔｒｔｖＧＳ）ａｄｃｎｕａｅｇａｉｎＣＧ）ｍｅｈｄｉｕｎｎＯ１２ ×１２．ＣｍｐｒｓｎｗｉＧａｓ－ｅｉｌＩｅａｉｅ（ｈｎｏｊｇｔｒｄｅｔ（ｔｏｎｒｎｉｇ

多重网格法在求解泊松方程中的应用进展

多重网格法在求解泊松方程中的应用进展杨金凤;邓居智;陈辉【摘要】多重网格(Multigrid,简称MG)法是求解复杂科学运算中由偏微分方程离散以后所得的大型代数线性方程组的最高效、最快速的迭代求解方法.本文详述了多重网格法在求解二维、三维泊松方程求解问题研究中的应用,与传统迭代方法相比在收敛速度、精度和稳定性上多重网格方法都有其固有的高效性.并初步的讨论了多重网格并行算法求解泊松方程正演问题,针对多重网格法应用于地球物理的各种数值模拟研究,提出了四点具体的研究发展方向,希望对今后研究有所帮助.【期刊名称】《内蒙古石油化工》【年(卷),期】2011(037)024【总页数】3页(P36-38)【关键词】多重网格法;泊松方程;正演;多重网格并行算法【作者】杨金凤;邓居智;陈辉【作者单位】东华理工大学放射性地质与勘探技术国防重点学科实验室,江西抚州,344000;东华理工大学放射性地质与勘探技术国防重点学科实验室,江西抚州,344000;东华理工大学放射性地质与勘探技术国防重点学科实验室,江西抚州,344000【正文语种】中文【中图分类】O343多重网格法最初是由苏联计算数学家Fedo renk在20世纪60年代提出的,但当时并未引起人们足够的注意。

其真正兴起是在近30年,Hackbusch等在数学上证明了对于线性椭圆型偏微分方程,多重网格算法是最优的,其计算量仅与网格节点数的一次方成正比,把解方程所需计算量降到最低量级,在计算效率上远远超过了其它方法。

国内学者许进超在用多重网格算法求解线性偏微分方程时,引进泛函分析工具研究这一问题,取得了较为满意的效果,自此这方面的研究得到了快速的发展。

该方法是现今数值计算领域最活跃的分支之一,在计算结构力学、流体力学、波动方程等诸多领域也得到广泛的应用,许多成果总结在Hackbusch[1]、刘超群[2]等著作中。

在计算地球物理领域,该方法的应用也逐渐得到关注,不过还多限于二维问题。