江西省临川二中、上高二中、丰城中学2020届高三6月联考理科数学试题(wd无答案)
江西省大联考2020届高三6月数学试卷(理科)试题(wd无答案)
江西省大联考2020届高三6月数学试卷(理科)试题一、单选题(★★) 1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★★) 2. 复数，则（）A．B．C．D．(★★★) 3. 已知，，且，则向量与的夹角为（）A．B．C．D．(★★) 4. 已知实数，满足不等式组，则的最小值为（）A．0B．2C．6D．30(★★) 5. 用一个平面去截正方体，截面的形状不可能是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形(★★) 6. 在数列中，，，且，则（）A．9B．11C．13D．15(★★★) 7. 已知的展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，则展开式中的系数为（）A．80B．40C．D．(★★) 8. 已知函数是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称，当时，，则（）A．3B．C．7D．(★★) 9. 在四面体中，，，，分别为，的中点，则异面直线与所成的角为（）A．B．C．D．(★★★) 10. 已知函数的定义域为，值域为，则的最大值是（）A．B．C．D．(★★) 11. 设双曲线的右焦点为，点.已知点在双曲线的左支上，且，，不共线，若的周长的最小值是，则双曲线的离心率是（）A．3B．C．5D．(★★★★) 12. 若对任意的，都存在，使不等式成立，则整数的最小值为（）（提示：）A．B．C．D．二、填空题(★) 13. 已知函数，若，则___________．(★★) 14. 辊子是客家传统农具，南方农民犁开田地后，仍有大的土块.农人便用六片叶齿组成辊轴，两侧装上木板，人跨开两脚站立，既能掌握平衡，又能增加重量，让牛拉动辊轴前进，压碎土块，以利于耕种.这六片叶齿又对应着菩萨六度，即布施､持戒､忍辱､精进､禅定与般若.若甲从这六片叶齿中任取两片不同的叶齿，放回后，乙再从这六片叶齿中任取两片不同的叶齿，则这两人选的叶齿对应的“度”没有相同的概率为______.(★★★) 15. 在数列中，，且，则数列的前项和为______.(用含的式子表示)三、双空题(★★★) 16. 已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于，两点，且，线段的垂直平分线过点，则抛物线的方程是______；若直线过点，则______.四、解答题(★★★) 17. 在△ 中，角，，所对的边分别为，，.已知. （1）求；（2）若，为的角平分线，在上，且，求.(★★) 18. 已知椭圆的离心率为，且椭圆的右顶点到直线的距离为3.（1）求椭圆的方程；（2）过点，且斜率为的直线与椭圆交于，两点，求的面积( 为坐标原点).(★★★) 19. 在三棱锥中，平面，为的中点，且.（1）证明：平面；（2）若，求二面角的余弦值.(★★★) 20. 某公司为了丰富员工的业余文化生活，召开了一次趣味运动会.甲､乙两人参加“射击气球”这项比赛活动，他们依次轮流射击气球一次，每人射击次(射击次数由参与比赛的两人决定)，其中射击气球只有两种结果：“中”与“不中”.比赛规则如下：甲先射击，若结果是“中”，则本次射击得2分，否则得1分；再由乙第一次射击，若结果为“中”，其得分在甲第一次得分的基础上加1分，否则得1分；再由甲第二次射击，若结果为“中”，其得分在乙第一次得分的基础上加1分，否则得1分；再由乙第二次射击，若结果为“中”，其得分在甲第二次得分的基础上加1分，否则得1分；再由甲第三次射击，按此规则，直到比赛结束.已知甲､乙每次击中气球的概率均为.记，分别表示甲，乙第次射击的得分.（1）若，记乙的累计得分为，求的概率.（2）①求数学期望，，；②记，，，….证明：数列为等比数列.(★★★) 21. 已知函数.（1）讨论的零点个数；（2）若，，求的极小值的值域.(★★★) 22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为 ( 为参数)，曲线的参数方程为 ( 为参数).（1）求曲线，的普通方程；（2）已知点，若曲线，交于，两点，求的值.(★★) 23. 已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若函数的最小值为，且实数满足，求的最大值.。
江西省临川二中、上高二中、丰城中学2020届高三6月联考理科数学试题
江西省临川二中、上高二中、丰城中学2020届高三6月联考理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若(2)x i i y i +=+，其中,x y R ∈，i 为虚数单位，则复数z x yi =+的虚部为（ ） A ．1B ．iC ．2-D ．2i -2．已知随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，若(2)(8)0.15P P ξξ<=>=，则(25)P ξ≤<=（ ）A ．0.3B ．0.35C ．0.5D ．0.73．已知20201log πa =，20201πb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1π2020c =，则（ ） A ．c a b << B ．a c b << C ．b a c << D ．a b c <<4．设a R ∈，则“a =1l ：210x ay +-=与直线2l ：40ax y ++=平行”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．甲、乙、丙、丁四名同学在某次军训射击测试中，各射击10次.四人测试成绩对应的条形图如下，以下关于四名同学射击成绩的数字特征判断不正确．．．的是（ ）A ．平均数相同B ．中位数相同C ．众数不完全相同D ．甲的方差最小6．函数())f x kx =的图象不可能．．．是（ ）A ．B ．C ．D ．7．某部门从已参与报名的甲、乙、丙、丁四人中选派1人去参加志愿者服务，结果出来前，甲、乙、丙、丁四人对选派人选做出了如下预测：甲说：丙或丁被选上； 乙说：甲或丁均未被选上；丙说：丁被选上； 丁说：丙被选上.若这四人中有且只有2人说的话正确，则被选派参加志愿者服务的是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁8．圆M ：22()4x m y -+=与双曲线C ：22221y x a b-=（0a >，0b >）的两条渐近线相切于A 、B 两点，若||2AB =，则C 的离心率为（ ）A B C ．2 D ．39．梅赛德斯—奔驰（Mercedes – Benz ）创立于1900年，是世界上最成功的高档汽车品牌之一，其经典的“三叉星”商标象征着陆上、水上和空中的机械化. 已知该商标由1个圆形和6个全等的三角形组成（如图），点O 为圆心，150ABC ︒∠=，若在圆内部任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A．32πB．34πC．92πD．94π10．已知实数满足约束条件4020340x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，目标函数z ax by =+（0a >且0b >）的最大值为2，则12a b+的最小值为（ ） A．132B．72+C．3+D．5+11．我们称数列2()n n a c =与数列2()n n b c =为“隔项相消数列”，其中a ，b ，c ，n ∈+N ，则n n a b Z +∈.已知数列{}n c的通项公式为(3nn c ⎡⎤=+⎣⎦，其中n ∈+N ，函数()[]f x x =表示不超过实数x 的最大整数，则2020c 除以4的余数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．312．在长方体1111ABCD A B C D -中，AD =10AB，11AA =，过点B 作直线l 与直线1A D 及直线1AC 所成的角均为3π，这样的直线l 的条数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4二、填空题13．函数()ln(31)f x x =+的定义域为________________.14．某工业模具的三视图如图所示，已知俯视图的正方形的边长为2，则该模具的表面积为________.15．若曲线()ln(21)f x x x =+-在(1,(1))f 处切线的倾斜角为θ，则2cos sin2θθ+的值为________.16．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，且(12cos )6cos a C A -=，3c =，则ABC 面积的最大值为________.三、解答题17．已知数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，数列{}n a 满足112a =， 122n n n S S a +=+，n ∈+N ，等差数列{}n b 满足25b =，9153T =.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）若数列{}n c 满足n n b c a =，求证：12815n c c c +++<，其中n ∈+N. 18．已知如图，菱形ABCD 的边长为2，对角线AC =ABC 沿着对角线AC 翻折至点B '.（1）求证：AC B D '⊥；（2）若1B D '=，且点E 为线段B D '的中点，求CE 与平面AB D '夹角的正弦值. 19．为了响应绿色出行，某市推出了新能源分时租赁汽车，并对该市市民使用新能源租赁汽车的态度进行调查，得到有关数据如下表1： 表1其中一款新能源分时租赁汽车的每次租车费用由行驶里程和用车时间两部分构成：行驶里程按1元/公里计费；用车时间不超过30分钟时，按0.15元/分钟计费；超过30分钟时，超出部分按0.20元/分钟计费.已知张先生从家到上班地点15公里，每天上班租用该款汽车一次，每次的用车时间均在20~60分钟之间，由于堵车红绿灯等因素，每次的用车时间t （分钟）是一个随机变量.张先生记录了100次的上班用车时间，并统计出在不同时间段内的频数如下表2： 表2（1）请补填表1中的空缺数据，并判断是否有99.5%的把握认为该市市民对新能源租赁汽车的使用态度与性别有关；（2）根据表2中的数据，将各时间段发生的频率视为概率，以各时间段的区间中点值代表该时间段的取值，试估计张先生租用一次该款汽车上班的平均用车时间； （3）若张先生使用滴滴打车上班，则需要车费27元，试问：张先生上班使用滴滴打车和租用该款汽车，哪一种更合算?附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++20．已知点⎭为椭圆C ：22221x ya b +=（0a >，0b >）上一点，1F 和2F 分别为椭圆C 的左右焦点，点D 为椭圆C 的上顶点，且2122DF DF b =-⋅. （1）椭圆C 的方程；（2）若点A 、B 、P 为椭圆C 上三个不同的动点，且满足0OA OB OP ++=，直线AB 与直线PO 交于点Q ，试判断动点Q 的轨迹与直线PA 的位置关系，并说明理由. 21．已知定义在(0,)+∞上的函数()ln()x a f x e x a -=-+，其中0a >，e 为自然对数的底数.（1）求证：()f x 有且只有一个极小值点；（2）若不等式()1ln 2f x ≥-在(0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为2213x y +=，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为32πcos 3ρθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭. （1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的参数方程；（2）已知P 、Q 两点分别是曲线C 和直线l 上的动点，且直线PQ 的倾斜角为π3，求||PQ 的最小值.23．已知函数()|24|f x x =-的最大值为t .（1）求t 的值；（2）是否存在正实数a ，b ，c 满足a b c t ++=且2224a b c ++=满足条件的一组解；若不存在，请说明理由.参考答案1．C 【分析】由于(2)x i i y i +=+，求得1x=且2y =-，得到复数12z i =-，结合复数的概念，即可求解. 【详解】由于(2)x i i y i +=+，则1x=且2y =-， 所以12z x yi i =+=-，所以复数z 的虚部为2-. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了复数相等的条件，以及复数的概念及其应用，属于基础题. 2．B 【分析】根据已知可求出8252μ+==，由(25)(5)(2)P P P ξξξ≤<=<-<即可求出(25)P ξ≤<的值.【详解】根据正态分布的概率密度函数的对称性可知8252μ+==， 则(25)(5)(2)0.50.150.35P P P ξξξ≤<=<-<=-=， 故选:B . 【点睛】本题考查了正态分布密度曲线的性质，考查了转化思想，属于基础题. 3．D 【解析】 【分析】利用指数与对数的性质与0，1比较即可 【详解】202020201log log 10πa =<=，()2020101πb ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，，1π20201c =>，所以a b c <<.故选：D. 【点睛】本题考查指数与对数的单调性，插入中间值与0,1 比较是常用方法，是基础题 4．C 【分析】当a =分别求出两直线的斜率124k k ==-，则12//l l ，即可证明充分条件；反之，当12//l l ，求得a =.【详解】解：当a =1l ：10x +-=，2l 40y ++=，此时124k k ==-，则12//l l ，即充分条件成立；当直线1l ：210x ay +-=与2l ：40ax y ++=平行，可知0a ≠，且12k k =，即124a a --=，解得：a =当a =12//l l ，当a =1l ：10x --=，2l ：40y ++=，即10x --=，此时12,l l 重合，所以a =所以“a =1l ：210x ay +-=与2l ：40ax y ++=平行”的充要条件.故选：C. 【点睛】本题考查充要条件的判断，考查两直线平行的斜率关系，属于基础题. 5．D 【分析】观察四名同学的统计图的特征，四位同学的直方图都关于5环对称，因此它们的平均数都是5，中位数相同，众数显然不完全相同，根据方差的定义分别计算四名同学的方差即可得出结论. 【详解】解：由图的对称性可知，平均数都为5；由图易知，四组数据的众数不完全相同，中位数相同；记甲、乙、丙、丁图所对应的方差分别为22221234,,,s s s s ，则()()2221450.5650.51s =-⨯+-⨯=，()()()22222450.3550.4650.30.6s =-⨯+-⨯+-⨯=，()()()()()2222223350.3450.1550.2650.1750.3 2.6s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=，()()()()()2222224250.1450.3550.2650.3850.1 2.4s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=，所以丙的方差最大． 故选：D ． 【点睛】本小题考查统计图表、数字特征的概念等基础知识；考查运算求解能力；考查数形结合思想、统计与概率思想；考查直观想象、数据处理、数学运算等核心素养，体现基础性、应用性． 6．C 【分析】假设函数为奇函数和偶函数时，分别根据图象求得k 的值，即可得答案； 【详解】因为A 、B 选项中，图像关于原点对称，所以()f x 为奇函数，()()0f x f x +-=，即))lnln0kx kx -++=，()()22222ln 1ln1,10x k x k x+-=-=，所以1k =±．当1k =-时，()f x 的图象为选项A ；当1k =时，()f x 的图象为选项B ． 而C 、D 选项中，图像关于y 轴对称，所以()f x 为偶函数，()()f x f x =-，即))lnlnkx kx -=，所以此时0kx =，所以0k =．当()0,0k f x =≥，故()f x 的图象为选项D ，故()f x 的图象不可能为C ． 故选：C ．【点睛】本题考查根据函数的解析式选择函数的图象，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 7．D 【分析】分别讨论当选上的人为甲、乙、丙、丁时，判断每个人说的话是否正确，即可得到正确答案. 【详解】若甲被选上，甲、乙、丙、丁说的均错误，不满足条件； 若乙被选上，甲、丙、丁说的错误，乙说的正确，不满足条件； 若丙被选上，甲、乙、丁说的正确，丙说的错误，不满足条件； 若丁被选上，甲、丙说的正确，乙、丁说的错误，满足条件. 故被选派参加志愿者服务的是丁. 故选：D. 【点睛】本题主要考查推理证明，考查学生逻辑推理的能力，属于基础题. 8．A 【分析】结合图象求得30AMO ∠=︒，即可知60AOM ∠=︒，根据双曲线C 的两条渐近线为：ay x b =±，可得ab=. 【详解】根据题意画出图象：如图由题意知， 2AB =，2MA =，MA OA ⊥，可得：112sin 2AB AMO MA ∠==，∴30AMO ∠=︒，则60AOM ∠=︒，双曲线的两条渐近线为：ay x b=±，∴tan 60a b =︒=c e a === 故选：A. 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法，方法一：求出,a c ，代入公式ce a=；方法二：只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程，即可得e 的值(范围)． 9．D 【分析】先由正弦定理及三角形面积公式求出阴影部分面积，再结合几何概型中的面积型求概率即可. 【详解】解:由图可知: 60AOB ︒∠=,105ABO ︒∠=,15BAO ︒∠=, 不妨设4AO =,在AOB 中,由正弦定理可得sin sin AO BOABO BAO=∠∠,则484BO ==-则阴影部分的面积为13sin 362AO BO BOA ⨯⨯⨯⨯∠=,则在圆内部任取一点，则此点取自阴影部分的概率为369164ππ-=, 故选:D. 【点睛】本题考查了正弦定理及三角形面积公式，重点考查了几何概型中的面积型，属中档题. 10．A由题意，画出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，再结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，画出约束条件4020340x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩所表示的平面区域，如图所示，目标函数z ax by =+（0a >且0b >），可化为直线a zy x b b=-+， 当直线a zy x b b=-+过点B 点时，此时在y 轴上的截距最大，目标函数取得最大值， 又由20340x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得(3,5)B ，所以目标函数的最大值为352z a b =+=，则121121561(35)13(13222b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当56b aa b=时取“=”. 故选：A .【点睛】本题主要考查了简单的线性规划的应用，以及利用基本不等式求小值问题，其中解答中正确作出约束条件所表示的平面区域，确定出最优解，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及运算与求解能力. 11．B根据题意，可知20202020(3c ⎡⎤=+⎣⎦，根据二项式定理的展开式分别求出2020(3+和2020(3-的展开式，进而求出20202020(3(3++-除以4余数为2，结合(031<-<，可得出()2020421(4,3k k N k *++<∈+<，即可2020c 除以4的余数. 【详解】解：由题可知，20202020(3c ⎡⎤=+⎣⎦，((2020201900112020202020203(3223CC=⋅⋅+⋅⋅++((120192019202020202020202033CC+⋅⋅+⋅⋅，①((202020190112020202020203(3223C C =⋅⋅-⋅⋅+-((120192019202020202020202033C C -⋅⋅+⋅⋅，②则①+②得：20202020(3(3++-((20202018002220202020233C C⎡=⋅⋅+⋅⋅+⎢⎣((220182018202020202020202033CC⎤+⋅⋅+⋅⋅⎥⎦003101022310092018201832020202002020202020202020232323232C C C C ⨯⨯⎡⎤=⋅⋅+⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅⎣⎦00310102231009201820183202020202020202023232323C C C ⨯⨯⎡⎤=⋅⋅+⋅⋅++⋅⋅+⎣⎦3001010221009201820182020202020202020223232323C C C ⎡⎤=⨯⋅⋅+⋅⋅++⋅+⨯⎣⎦001010221009201820182020202020202020163232323C C C ⎡⎤=⨯⋅⋅+⋅⋅++⋅+⨯⎣⎦所以202020202020(3(3232(mod 4)++-≡⋅≡，即20202020(3(3++-和202023⋅除以4余数相同都为2，即()20202020(3(342,k k N *=++∈-+，则()()20202020(3(342,k k N *-=+∈+-，而(031<-<，则2020(310-<<，所以()2020421(4,3k k N k *++<∈+<所以2020(31(mod 4)⎡⎤+≡⎣⎦，即2020c 除以4的余数为1. 故选：B. 【点睛】本题考查利用二项式定理展开式求余数，涉及二项式定理的应用以及根据新定义进行求解，考查理解分析能力和运算能力. 12．C 【分析】先求异面直线所成的角，再根据直线l 与直线1A D 及直线1AC 所成的角相等，且最小为6π，从而得到这样的直线l 的条数为3条. 【详解】建立坐标系，如图所示：易得：11(0,0,0),A D A C ，∴11(7,0,1),(7,A D AC =--=-，∴11111cos 2||||A D AC A D AC θ⋅==，∴求得直线1A D 及直线1AC 的夹角为π3， 则过点B 可作3条直线与直线1A D 及直线1AC 所成的角均为π3， 故选：C. 【点睛】本题考查异面直线所成角及直线条数判断，考查空间想象能力、运算求解能力. 13．1,23⎛⎤- ⎥⎝⎦【分析】由函数()f x 的解析式有意义，得到不等式组24310x x ⎧-≥⎨+>⎩，即可求解.【详解】由函数()ln(31)f x x =+，满足240310x x ⎧-≥⎨+>⎩，解得123x -<≤，所以函数()f x 的定义域为1,23⎛⎤- ⎥⎝⎦.故答案为：1,23⎛⎤- ⎥⎝⎦.【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解，以及对数函数的性质的应用，其中解答中熟记函数的定义域的概念，列出满足条件的不等式组是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 14．16π+ 【分析】根据给定的三视图，可得该几何体是长方体挖去一个半球，结合棱柱的表面积公式和球的表面积公式，即可求解. 【详解】由题意，根据给定的三视图，可得该几何体是一个棱长为2,2,1长方体，挖去一个半径为1的半球，所以该磨具的表面积为22116141162S πππ=-⨯+⨯⨯=+. 故答案为：16π+. 【点睛】本题考查了几何体的三视图及表面积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解． 15．310【分析】求出该点的导数，该点的导数就是倾斜角θ的正切，再把2cos sin2θθ+化成正切即可. 【详解】 由于2()121f x x '=-+，则1tan (1)3f θ'==-， 故22222221cos 2sin cos 12tan 33cos sin 2sin cos tan 110113θθθθθθθθθ-+++====++⎛⎫+- ⎪⎝⎭故答案为：310. 【点睛】考查求函数在某一点的导数及三角恒等变形的能力；基础题. 16．3 【分析】本题首选可根据3c =对(12cos )6cos a C A -=进行化简，得出2a b =，然后构造平面直角坐标系并绘出ABC 的图像，则有3,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭、3,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再然后设(),C x y ，根据2a b =列出方程，即可求出y 的最大值以及ABC 面积的最大值. 【详解】 因为3c =，所以()12cos 6cos 2cos a C A c A -==，即sin (12cos )2sinCcos A C A -=，sin 2sin cos 2sinCcos A A C A -=， sin 2sinCcos 2sin cos A A A C =+，()sin 2sin A A C =+，sin 2sinB A =，解得2a b =，如图：以AB 中点O 为原点、AB 边为x 轴建立平面直角坐标系，则3,02A ⎛⎫-⎪⎝⎭，3,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设(),C x y ，则2232aBCx y ，2232bACx y ，222233222x y x y ，化简得22542yx ，故24y ≤，y 的最大值为2，1132322ABCS AB y △，ABC 面积的最大值为3， 故答案为：3. 【点睛】本题考查正弦定理边角互化的应用以及三角恒等变换，考查阿波罗尼奥斯圆问题，考查两点间距离公式，考查计算能力，考查数形结合思想，是难题.17．（1）12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，43n b n =-；（2）证明见解析.【分析】（1）根据n S 与n a 的关系和等比数列的定义，可证出{}n a 为首项112a =，公比12q =的等比数列，再根据等比数列的通项公式求出数列{}n a 的通项公式；根据等差数列的通项公式和性质，求出1b 和d ，即可求出{}n b 的通项公式；（2）写出4312nn n b c a -⎛⎫== ⎪⎝⎭，根据等比数列的定义，可知{}n c 是以12为首项，116为公比的等比数列，再利用等比数列的前n 项和公式求出12881151516nn c c c ⎛⎫+++-⋅ ⎝=⎪⎭，即可证出12815n c c c +++<. 【详解】 解：（1）由于112a =， 122n n n S S a +=+，则()12n n n S S a +-=， 则112n n a a +=，即112n na a +=， 所以数列{}n a 为首项112a =，公比12q =的等比数列，则12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭；由于在等差数列{}n b 中，25b =，9153T =， 则95179T b ==，即5243b bd -==，得11b =， 故43n b n =-.（2）由于4312n n n b c a -⎛⎫== ⎪⎝⎭，得41112n n c ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，则441143116121212n n n n c c ++-⎛⎫⎪⎝⎝⎛⎫⎭=== ⎪⎝⎭⎛⎫⎪⎭，且112c =， 则数列{}n c 是以12为首项，116为公比的等比数列， 则1211181881816112151615151615116nn n n c c c ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭+++=⋅=-=-⋅<⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-， 即n ∈+N 时，12815n c c c +++<.【点睛】本题考查根据n S 与n a 的关系和等比数列的定义证明等比数列，考查等差数列和等比数列的通项公式，以及运用等比数列的前n 项和公式求和从而证明不等式，考查解题运算能力. 18．（1）证明见解析；（2）45. 【分析】（1）取AC 的中点O ，连接B O '和DO ，在菱形ABCD 中，易得B O AC '⊥，DO AC ⊥，0⋂=DO BO ，再利用线面垂直的判定定理证明.（2）根据平面几何知识，得到OB D '△为等边三角形，再由（1）得平面B OD '⊥平面ACD ，则B F '⊥平面ACD .作OZ B F ⊥'，以点O 为坐标原点，OC 、OD 、OZ 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，先求得平面AB D '的一个法向量为(,,)n x y z =，CE 的坐标，然后代入公式sin |cos ,|θ=<>CE n . 【详解】（1）如图所示：取AC 的中点O ，连接B O '和DO ， 在菱形ABCD 中，B O AC '⊥，DO AC ⊥，0⋂=DO BO ，所以AC ⊥面'B OD ， 又B D '⊂面'B OD ， 所以AC B D ⊥'.（2）由于菱形ABCD 的边长为2，AC =OD 的中点F ，根据余弦定理得2221cos 22+-==-⋅DA DC AD ADC DA DC ∠，因为()0,ADC π∠∈，所以2π3ADC ∠=， 所以π3BAC ∠=，所以1OB OD '==.又1B D '=，则OB D '△为等边三角形，由（1）得平面B OD '⊥平面ACD ，则B F '⊥平面ACD .作OZ B F ⊥'，以点O 为坐标原点，OC 、OD 、OZ 分别为x ，y ，z 轴， 建立空间直角坐标系O xyz -，则C，(A，10,2B ⎛' ⎝⎭，(0,1,0)D，30,4E ⎛ ⎝⎭，13,,22AB ⎛'= ⎭，(3,1,0)AD =，设面AB D '的一个法向量为(,,)n x y z =，则00AB n AD n '⎧⋅=⎨⋅=⎩，则10220y z y ++=⎪+=⎩， 令1x =，则 1y z ==-，所以(1,3,1)n =--，34⎛=- ⎝⎭CE ，设CE 与平面AB D '的夹角为θ，则24sin |cos ,|5CE n θ=<>==. 【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，线面角的向量求法，还考查了转化化归的思想和逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题.19．（1）表格见解析，有99.5%的把握认为该市市民对这款新能源租赁汽车的使用态度与性别有关；（2）38（分钟）；（3）用该款新能源汽车上班更加合算. 【分析】（1）补充完整的列联表，再利用卡方系数计算2K 的观测值，与7.879进行比较大小，即可得到答案；（2）根据组距的中点值乘以各自的频率，再相加，即可得到平均值；（3）设张先生租用一次该款新能源汽车所需费用为y 元，则可得分段函数，再计算使用出租车的费用与27进行比较，即可得到答案； 【详解】解：（1）补充完整的列联表如下所示，由列联表可得：2K的观测值21000(100400300200)10007.937400600300700126k ⨯-⨯==≈⨯⨯⨯，∵7.937>7.879，∴有99.5%的把握认为该市市民对这款新能源租赁汽车的使用态度与性别有关.（2）表2中的数据整理如下：∴张先生租用一次该款新能源分时汽车上班的平均用车时间为：250.2350.4450.3550.138t =⨯+⨯+⨯+⨯=（分钟）.（3）设张先生租用一次该款新能源汽车所需费用为y 元，则 当20t 30<≤时，0.1515y t =+，当3060t <≤时，0.15300.2(30)150.213.5y t t =⨯+⨯-+=+， ∴张先生一次租车费用y （元）与用车时间t （分钟）的函数关系式：0.1515,20300.213.5,3060t t y t t +<≤⎧=⎨+<≤⎩.∴每次上班租车的费用约为：0.23813.521.1⨯+=（元）. ∵张先生每次使用滴滴打车上班需要27元， ∴张先生租用该款新能源汽车上班更加合算. 【点睛】本题考查独立性检验、平均值计算、分段函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查阅读理解能力、运算求解能力.20．（1）2214x y +=；（2）相切，理由见解析. 【分析】（1）由已知化简可得222122DF DF b c b ⋅=-=-，⎭代入椭圆方程，计算即可求得结果；（2）设()()1122,,,A x y B x y ,()00(,),,Q x y P x y ，由0OA OB OP ++=化简可得2OP OQ =-，利用轨迹法可求得Q 的轨迹方程，设直线OB 与直线PA 交于点M ，则点M为线段PA 的中点，根据0OA OB OP ++=可求得22,22x y M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，利用点差法可求得直线直线PA 的方程，和Q 的轨迹方程联立，点B 坐标代入化简利用判别式可得出结论相切. 【详解】解：（1）由已知可得：()()()120,,,0,,0D b F c F c -，则()()12,,DF c b DF c b =--=- 所以 222122DF DF b c b ⋅=-=-，32ab ==，又由于已知点2⎭在椭圆C 上，则222112a b +=，解得2a =，1b =， 椭圆C 的方程2214x y +=.（2）设()()1122,,,A x y B x y ,()00(,),,Q x y P x y∵0OA OB OP ++=，直线AB 与直线PO 交于点Q ， ∴2OP OQ =-.则0022x xy y =-⎧⎨=-⎩.由220014x y +=，得2241x y +=，∴动点Q 的轨迹方程为2241x y +=.设直线OB 与直线PA 交于点M ，则点M 为线段PA 的中点，且22,22x y M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，当20y ≠时，∵220014x y +=，221114x y +=，∴1010210102144PAy y x x x k x x y y y -+==-⋅=--+， ∴直线PA 的方程为2222242y x x y x y ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，整理得2224x x y y +=-.将2224x x y y +=-代入动点Q 的轨迹方程得，()()2222222244410()x y x x x y +++-=※.将222214x y +=代入（※），整理得2222440x x x x ++=. ∵222216160x x ∆=-=，∴直线PA 与动点Q 的轨迹相切.当20y =时，直线PA 的方程为1x =±，∴直线PA 与动点Q 的轨迹相切. 综上可知，直线PA 与动点Q 的轨迹相切. 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、考查轨迹法求轨迹方程，考查直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程，应用一元二次方程根与系数关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等. 21．（1）证明见解析；（2）01a <≤. 【分析】（1）()21()0x a f x e x a -+''=>+知，1()x a f x e x a-'=-+递增，由(0)0f '<和(1)0f a '+>，根据零点存在定理则可证.（2）由(1)0f ≥探求出01a <≤，转化为证明当01a <≤，()1ln 2f x ≥--在(0,)+∞上恒成立，令()ln()1ln 2x a h x e x a -=-++进一步转化为1()ln(1)1ln 2x h x e x -≥-+-+，再证明该不等式右边恒大于等于0即可. 【详解】（1）证明：由于1()x a f x e x a-'=-+，()21()0x a f x e x a -+''=>+， 则()f x '在(0,)+∞上单调递增. 令()xg x e x =-，则()1xg x e '=-，故当(,0)x ∈-∞时，()0g x '<，()g x 单调递减； 当(0,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增；则min ()(0)1g x g ==，即1>x e x x ≥+. 由于1(0)0aaa a e f ea e a-'-=⋅-=<，1(1)021f a e a '+=->+， 故0(0,1)x a ∃∈+，使得0()0f x '=，且当0(0,)x x ∈时，0()0f x '<，()f x 单调递减； 当0(,)x x ∈+∞时，0()0f x '>，()f x 单调递增；因此()f x 在(0,)+∞有且只有一个极小值点0x ，无极大值点.（2）解：由于不等式()1ln 2f x ≥--在(0,)+∞上恒成立，（i ）必要性，当1x=时，不等式成立，即1ln(1)1ln 2a e a --+≥-，令1()ln(1)1ln 2a g a a e -=++--，()0g a ≤， 由于11()01a g a e a -'=++>+，则()g a 在(0,)+∞上单调递增， 又由于(1)0g =，则()0g a ≤的解为01a <≤，（ii ）充分性，下面证明当01a <≤时，()1ln 2f x ≥-在(0,)+∞上恒成立，令()ln()1ln 2x a h x e x a -=-+-+， 由于01a <≤，01a >-≥-，11,x ax x a x ee ---≥-≥，()()()()01+,ln ln 1,ln ln 1a x x x a x x a x <+≤+≤+-+≥-+，12,212a x a x +≤++≤+≤≥则1()ln(1)1ln 2x h x e x -≥-+-+，令1()ln(1)1ln 2x m x ex -=-+-+，则11()1x m x e x -'=--+， 故121()0(1)x m x e x -''=+>+，()m x '在(0,)+∞上单调递增.由于(1)0m '=，则当(0,1)x ∈时，()0m x '<，()m x 单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，()0m x '>，()m x 单调递增；故()(1)0m x m ==，即()0m x ≥恒成立， 因此，当01a <≤时，()1ln 2f x ≥--在(0,)+∞上恒成立.【点睛】(1)证明函数只有一个极值点转化为研究其导函数的值域，进一步转化为研究其二阶导函数的取值情况，借助于构造新函数和零点存在定理即可.(2)不等式恒成立求参数的取值范围可先由自变量的一个特殊值探求出参数的范围，然后再给出证明即可.本题是难题.22．（1）l：y x =-C：sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）；（2）3【分析】(1) 由32πcos 3ρθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，结合两角和的余弦公式可求出cos sin 3ρθθ-=，进而可求出直线的直角坐标方程；结合椭圆的参数方程公式可求出曲线C 的参数方程.(2) 设点P 到直线l 的距离为d ，则2PQ d =∣∣，由d =，结合三角函数的最值求解，可求出||PQ 的最小值. 【详解】解:(1)由32πcos 3ρθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，πππ2cos 2cos cos 2sin sin 333ρθρθρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭cos sin 3ρθθ=-=,由于cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，则直线l的直角坐标方程为y x =-曲线C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）（2）由于直线l 的倾斜角为π6，直线PQ 的倾斜角为π3，则直线l 与直线PQ 的夹角为π6，设点P 到直线l 的距离为d ，则2PQ d =∣∣.由于|3|42d πα⎛⎫-- ⎪⎝⎭==≥当且仅当7π2π4k α=+，k ∈Z 时等号成立，因此PQ ∣∣的最小值为3【点睛】本题考查了极坐标方程转化为直角坐标方程，考查了普通方程转化为参数方程，考查了三角函数最值的求解.23．（1）3；（2）不存在，理由见解析. 【分析】（1）化简函数()|1||2||2|f x x x x =+----，结合绝对值三角不等式，即可求解.（2）若存在正实数a ，b ，c 满足3a b c ++=且2224a b c ++=式22222222224144(2)11()929a b c a b c a b c ⎡⎤⎛⎫⎡⎤++=++⋅++≥++⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 【详解】（1）由()|24||1||2||2|f x x x x x =-=+----|(1)(2)||2|3x x x ≤+----≤，当且仅当2x =时取“=”，又由函数()f x 的最大值为t ，故max ()3t f x ==.（2）若存在正实数a ，b ，c 满足3a b c ++=且2224a b c ++=则22222222224144(2)11()4929a b c a b c a b c ⎡⎤⎛⎫⎡⎤++=++⋅++≥++=⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故2224a b c ++=不可能成立，因此不存在正实数a ，b ，c 满足a b c t ++=且2224a b c ++=【点睛】本题主要考查了绝对值三角不等式和柯西不等式的应用，其中解答中熟记绝对值的三角不等式和柯西不等式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.。
2020届临川二中、上高二中、丰城中学高三第一次模拟考试理科数学试卷(详解版)
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
答案 C B D C D C D A D A B C
1．解析：由于 (x + 2i)i = y + i ，则 x = 1且 y = −2 ， z = x + yi 的虚部为 −2 ，故选 C．
根据余弦定理得 cos ADC = − 1 ，即 ADC = 2 ， BAC = ，则 OB ' = OD = 1．
2
3
3
由于 B ' D =1，则 OB ' D 为等边三角形，
由（1）得面 B 'OD ⊥ 面 ACD，则 B ' F ⊥ 面 ACD
…………………………9 分
由于VB'− ACD
2 ab 2
ab
11．解析：由于 (3 + 2 2)2020 +(3 − 2 2)2020 2 32020 2（mod 4），则[(3 + 2 2)2020 ] 1（mod 4），故选 C．
12．解析：建立坐标系，求得直线
A1D
及直线
AC1 的夹角为
3
，则过点
B
可作
3
条直线与直线
A1D 及直线
10
16．解析：由于 c = 3，则 a(1− 2 cos C) = 6 cos A = 2c cos A ，即 a = 2b ，本题转化为阿波罗尼奥斯圆问题，
可通过余弦定理求最值、建立坐标系、调和点列等方法求解，故 max SABC = 3 ．
2020届高三6月模拟考试数学(理)试题 Word版含解析
高三模拟考试理科数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}1,0,1,2A =-，{}|lg(1)B x y x ==-，则A B =（ ）A. {2}B. {1,0}-C. {}1-D. {1,0,1}-【★答案★】B 【解析】 【分析】求出集合B ，利用集合的基本运算即可得到结论. 【详解】由10x ->，得1x <，则集合{}|1B x x =<， 所以，{}1,0A B ⋂=-. 故选：B.【点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用函数的性质求出集合B 是解决本题的关键，属于基础题.2.已知复数z 满足i z11=-，则z =（ ） A.1122i + B.1122i - C. 1122-+iD. 1122i --【★答案★】B 【解析】 【分析】利用复数的代数运算法则化简即可得到结论.【详解】由i z11=-，得()()11111111222i i z i i i i ++====+--+， 所以，1122z i =-. 故选：B.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题. 3.已知向量a b (3,1),(3,3)=-=，则向量b 在向量a 方向上的投影为（ ）A. 3-B. 3C. 1-D. 1【★答案★】A 【解析】 【分析】投影即为cos a b b aθ⋅⋅=，利用数量积运算即可得到结论.【详解】设向量a 与向量b 的夹角为θ， 由题意，得331323a b ⋅=-⨯+⨯=-，()22312a =-+=，所以，向量b 在向量a 方向上的投影为23cos 32a b b a θ⋅-⋅===-. 故选：A.【点睛】本题主要考察了向量的数量积运算，难度不大，属于基础题.4.已知,m n 为两条不重合直线，,αβ为两个不重合平面，下列条件中，αβ⊥的充分条件是（ ）A. m ∥n m n ,,αβ⊂⊂B. m ∥n m n ,,αβ⊥⊥C. m n m ,⊥∥,n α∥βD. m n m ,⊥n ,αβ⊥⊥【★答案★】D 【解析】 【分析】根据面面垂直的判定定理，对选项中的命题进行分析、判断正误即可.【详解】对于A ，当//m n ，m α⊂，n β⊂时，则平面α与平面β可能相交，αβ⊥，//αβ，故不能作为αβ⊥的充分条件，故A 错误；对于B ，当//m n ，m α⊥，n β⊥时，则//αβ，故不能作为αβ⊥的充分条件，故B 错误；对于C ，当m n ⊥，//m α，//n β时，则平面α与平面β相交，αβ⊥，//αβ，故不能作为αβ⊥的充分条件，故C 错误；对于D ，当m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则一定能得到αβ⊥，故D 正确. 故选：D.【点睛】本题考查了面面垂直的判断问题，属于基础题.5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.103B. 3C. 83D.73【★答案★】A 【解析】 【分析】根据题意，可得几何体，利用体积计算即可. 【详解】由题意，该几何体如图所示：该几何体的体积11110222222323V =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=. 故选：A.【点睛】本题考查了常见几何体的三视图和体积计算，属于基础题．6.人们通常以分贝（符号是dB ）为单位来表示声音强度的等级，30~40分贝是较理想的安静环境，超过50分贝就会影响睡眠和休息，70分贝以上会干扰谈话，长期生活在90分贝以上的嗓声环境，会严重影响听力和引起神经衰弱、头疼、血压升高等疾病，如果突然暴露在高达150分贝的噪声环境中，听觉器官会发生急剧外伤，引起鼓膜破裂出血，双耳完全失去听力，为了保护听力，应控制噪声不超过90分贝，一般地，如果强度为x 的声音对应的等级为()f x dB ，则有12()10lg110x f x -=⨯⨯，则90dB 的声音与50dB 的声音强度之比为（ ）A. 10B. 100C. 1000D. 10000【★答案★】D 【解析】 【分析】设90dB 的声音与50dB 的声音对应的强度分别为1x 、2x ，由题意1219010lg110x -=⨯⨯，1225010lg110x -=⨯⨯，计算即可得解.【详解】设90dB 的声音与50dB 的声音对应的强度分别为1x 、2x ， 由题意1219010lg110x -=⨯⨯，1225010lg110x -=⨯⨯，所以3110x -=，7210x -=，所以3417210101000010x x --===. 故选：D.【点睛】本题考查了对数运算的应用，考查了对于新概念的理解，属于基础题. 7.把函数()sin 2(0)6f x A x A π⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()()0g x m m ->是偶函数，则实数m 的最小值是（ ） A.512πB.56π C.6π D.12π【★答案★】A 【解析】 【分析】先求出()g x 的解析式，再求出()()0g x m m ->的解析式，根据三角函数图象的对称性可求实数m 满足的等式，从而可求其最小值.【详解】()sin 2(0)6f x A x A π⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度， 所得图象对应的函数解析式为()2sin 2sin 2263g x A x A x πππ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()2sin 223g x m A x m π⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭. 令22232x m k πππ--=+，k Z ∈，解得7122k x m ππ=++，k Z ∈. 因为()y g x m =-为偶函数，故直线0x =为其图象的对称轴，令07122ππ++=k m ，k Z ∈，故7122k m ππ=--，k Z ∈， 因0m >，故2k ≤-，当2k =-时，min 512m π=. 故选：A.【点睛】本题考查三角函数的图象变换以及三角函数的图象性质，注意平移变换是对自变量x 做加减，比如把()2y f x =的图象向右平移1个单位后，得到的图象对应的解析式为()()2122y f x f x =-=-⎡⎤⎣⎦，另外，如果x m =为正弦型函数()()sin f x A x =+ωϕ图象的对称轴，则有()=±f m A ，本题属于中档题．8.已知数列{}n a 为等比数列，若a a a 76826++=，且a a 5936⋅=，则a a a 768111++=（ ） A.1318B.1318或1936C.139 D.136【★答案★】A 【解析】 【分析】根据等比数列的性质可得25968736a a a a a ⋅=⋅==，通分化简即可. 【详解】由题意，数列{}n a 为等比数列，则25968736a a a a a ⋅=⋅==，又a a a 76826++=，即68726a a a +=-，所以，()()76877786867678777683636261113636a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +⋅++⋅-⋅+⋅+⋅++===⋅⋅⋅⋅， ()277777777773626362636263626133636363618a a a a a a a a a a +⋅-+⋅-+⋅-⋅=====⋅⋅⋅⋅.故选：A.【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了推理能力与运算能力，属于基础题.9.椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若2||2PF =，则12F PF ∠的大小为（ ）A. 150︒B. 135︒C. 120︒D. 90︒【★答案★】C 【解析】【分析】根据椭圆的定义可得14PF =，1227F F =，再利用余弦定理即可得到结论. 【详解】由题意，1227F F =，126PF PF +=，又22PF =，则14PF =， 由余弦定理可得22212121212164281cos 22242PF PF F F F PF PF PF +-+-∠===-⋅⨯⨯.故12120F PF ︒∠=.故选：C.【点睛】本题考查椭圆的定义，考查余弦定理，考查运算能力，属于基础题.10.已知b a bc a 0.2121()2,log 0.2,===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A. a b c << B. c a b <<C. a c b <<D. b c a <<【★答案★】B 【解析】 【分析】利用函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与函数12log y x =互为反函数，可得01a b <<<，再利用对数运算性质比较a,c 进而可得结论.【详解】依题意，函数12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭与函数12log y x =关于直线y x =对称，则0.21210log 0.22⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即01a b <<<，又0.211220.2log 0.2log 0.20.20.20.211110.22252b c a a ⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=====<= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，c a b <<. 故选：B.【点睛】本题主要考查对数、指数的大小比较，属于基础题.11.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，又称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图（1）），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的图形，它是由6个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个大正六边形，设A F F A 2'''=，若在大正六边形中随机取一点，则此点取自小正六边形的概率为（ ）A.21313 B.413C. 277D.47【★答案★】D 【解析】 【分析】设AF a '=，则2A F a ''=，小正六边形的边长为2A F a ''=，利用余弦定理可得大正六边形的边长为7ABa ，再利用面积之比可得结论.【详解】由题意，设AF a '=，则2A F a ''=，即小正六边形的边长为2A F a ''=， 所以，3FF a '=，3AF F π'∠=，在AF F '∆中，由余弦定理得2222cos AF AF FF AF FF AF F '''''=+-⋅⋅∠， 即()222323cos3AF a a a a π=+-⋅⋅，解得7AF a =，所以，大正六边形的边长为7AF a =，所以，小正六边形的面积为21132222236322S a a a a a =⨯⨯⨯⨯+⨯=， 大正六边形的面积为2213213772721222S a a a a a =⨯⨯⨯⨯+⨯=， 所以，此点取自小正六边形的概率1247S P S ==. 故选：D.【点睛】本题考查概率的求法，考查余弦定理、几何概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．12.已知12,F F 分别为双曲线2222:1x y C a b-=的左、右焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以12F F 为直径的圆经过点P ，若12PF F ∆的面积为b 2233，则双曲线的离心率为（ ） A. 3 B. 2C. 5D. 3【★答案★】B 【解析】 【分析】根据题意，设点()00,P x y 在第一象限，求出此坐标，再利用三角形的面积即可得到结论. 【详解】由题意，设点()00,P x y 在第一象限，双曲线的一条渐近线方程为by x a=， 所以，00by x a=， 又以12F F 为直径的圆经过点P ，则OP c =，即22200x y c +=，解得0x a =，0y b =，所以，1220123223PF F S c y c b b ∆=⋅⋅=⋅=，即233c b =，即()22243c c a =-，所以，双曲线的离心率为2e =. 故选：B.【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，解决本题的关键在于求出a 与c 的关系，属于基础题. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把★答案★填在答题卡的相应位置． 13.在()52x -的展开式中，3x 项的系数是__________（用数字作答）． 【★答案★】40- 【解析】()52x -的展开式的通项为：552()r rr C x --.令3r =，得5352()40rrr C x x --=-.★答案★为：-40.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.14.已知两圆相交于两点(),3A a ,()1,1B -，若两圆圆心都在直线0x y b ++=上，则+a b 的值是________________ . 【★答案★】1- 【解析】 【分析】根据题意，相交两圆的连心线垂直平分相交弦，可得AB 与直线0x y b ++=垂直，且AB 的中点在这条直线0x y b ++=上，列出方程解得即可得到结论. 【详解】由(),3A a ,()1,1B -，设AB 的中点为1,22a M -⎛⎫⎪⎝⎭， 根据题意，可得1202a b -++=,且3111AB k a -==+， 解得，1a =,2b =-，故1a b +=-. 故★答案★为：1-.【点睛】本题考查相交弦的性质，解题的关键在于利用相交弦的性质，即两圆的连心线垂直平分相交弦，属于基础题.15.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34310a S ==，，则11nk kS ==∑_____. 【★答案★】21nn + 【解析】 【分析】 计算得到()12n n n S +=，再利用裂项相消法计算得到★答案★. 【详解】3123a a d =+=，414610S a d =+=，故11a d ==，故()12n n n S +=， ()1111211122211111nn nk k k k n S k k k k n n ===⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭∑∑∑. 故★答案★为：21nn +. 【点睛】本题考查了等差数列的前n 项和，裂项相消法求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.16.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为____；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为____．【★答案★】 (1).26(2).86729π【解析】【分析】(1)先算出正四面体的体积，六面体的体积是正四面体体积的2倍，即可得出该六面体的体积；(2)由图形的对称性得,小球的体积要达到最大,即球与六个面都相切时，求出球的半径，再代入球的体积公式可得★答案★.【详解】(1)每个三角形面积是1331224S⎛⎫=⨯⨯=⎪⎪⎝⎭，由对称性可知该六面是由两个正四面合成的，可求出该四面体的高为236133⎛⎫-=⎪⎪⎝⎭，故四面体体积为136234312⨯⨯=，因此该六面体体积是正四面体的2倍，所以六面体体积是26；(2)由图形的对称性得，小球的体积要达到最大，即球与六个面都相切时，由于图像的对称性，内部的小球要是体积最大，就是球要和六个面相切，连接球心和五个顶点，把六面体分成了六个三棱锥设球的半径为R，所以213666349R R⎛⎫=⨯⨯⨯⇒=⎪⎪⎝⎭，所以球的体积3344686339729V Rπππ⎛⎫===⎪⎪⎝⎭.故★答案★为：26；86729π.【点睛】本题考查由平面图形折成空间几何体、考查空间几何体的表面积、体积计算，考查逻辑推理能力和空间想象能力求解球的体积关键是判断在什么情况下，其体积达到最大，考查运算求解能力.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第1721题为必考题，（一）必考题：共60分17.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若a b C C 3(sin 3cos )=+. （1）求角B 的大小； （2）若3A π=，D 为ABC ∆外一点，DB CD 2,1==，求四边形ABDC 面积的最大值.【★答案★】（1）3B π=（2）5324+ 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理化简等式可得tan 3B =，即3B π=；（2）根据题意，利用余弦定理可得254cos BC D =-，再表示出sin BDC S D ∆=，表示出四边形ABCD S ，进而可得最值.【详解】（1）3(sin 3cos )a b C C =+，由正弦定理得： 3sin sin (sin 3cos )A B C C =+在ABC ∆中，()sin sin A B C =+，则3sin()sin sin 3sin cos B C B C B C +=+， 即3cos sin sin sin B C B C =，sin 0,3cos sin C B B ≠∴=，即tan 3B =()0,,3B B ππ∈∴=.（2）在BCD ∆中，2,1BD CD ==22212212cos BC D ∴=+-⨯⨯⨯54cos D =- 又3A π=，则ABC ∆等边三角形，21sin 23ABCSBC π=⨯=533cos 4D - 又1sin sin 2BDCSBD DC D D =⨯⨯⨯=， 53sin 3cos 4ABCD S D D ∴=+-=532sin()43D π+-- ∴当56D π=时，四边形ABCD 的面积取最大值，最大值为5324+. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基础题．18.在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习.某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足120分的占813，统计成绩后得到如下22⨯列联表：分数不少于120分 分数不足120分 合计 线上学习时间不少于5小时 4 19 线上学习时间不足5小时 合计45（1）请完成上面22⨯列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；（2）①按照分层抽样的方法，在上述样本中从分数不少于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到不足120分且每周线上学习时间不足5小时的人数是X ，求X 的分布列（概率用组合数算式表示）；②若将频率视为概率，从全校高三该次检测数学成绩不少于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数的期望和方差. （下面的临界值表供参考）20()P K k ≥ 0.100.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828（参考公式22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++）【★答案★】（1）填表见解析；有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”（2）①详见解析②期望12；方差4.8 【解析】 【分析】（1）完成列联表，代入数据即可判断；（2）利用分层抽样可得X 的取值，进而得到概率，列出分布列；根据分析知(20,0.6)Y B ，计算出期望与方差. 【详解】（1）分数不少于120分 分数不足120分 合计 线上学习时间不少于5小时 15 4 19 线上学习时间不足5小时 10 16 26 合计 2520452245(1516104)7.29 6.63525201926K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯∴有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”.（2）①由分层抽样知，需要从不足120分的学生中抽取209445⨯=人， X 的可能取值为0，1，2，3，4，44420(0)C P X C ==，31416420(1)C C P X C ==，22416420(2)C C P X C ==13416420(3)C C P X C ==，416420(4)C P X C ==，所以，X 的分布列：X1234P44420C C 31416420C C C 22416420C C C 13416420C C C 416420C C②从全校不少于120分的学生中随机抽取1人，此人每周上线时间不少于5小时的概率为150.625=，设从全校不少于120分的学生中随机抽取20人，这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数为Y ，则(20,0.6)YB ，故()200.612E Y =⨯=，()200.6(10.6) 4.8D Y =⨯⨯-=.【点睛】本题考查了独立性检验与离散型随机变量的分布列、数学期望与方差的计算问题，属于基础题.19.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，AB ∥CD ，AD AB CD DAB 1,602==∠=︒，点,E F 分别为CD AP ,的中点.（1）证明：PC ∥面BEF ；（2）若PA PD ⊥，且PA PD =，面PAD ⊥面ABCD ，求二面角F BE A --的余弦值. 【★答案★】（1）证明见解析（2）23913【解析】 【分析】（1）根据题意，连接AC 交BE 于H ，连接FH ，利用三角形全等得//FH PC ，进而可得结论； （2）建立空间直角坐标系，利用向量求得平面的法向量，进而可得二面角F BE A --的余弦值. 【详解】（1）证明：连接AC 交BE 于H ，连接FH ，,,AB CE HAB HCE =∠=∠BHA CHA ∠=∠，ABH ∴∆≌CEH ∆，AH CH ∴=且//FH PC ，FH ⊂面,FBE PC ⊄面FBE ，//PC ∴面FBE ，（2）取AD 中点O ，连PO ，OB .由PA PD =，PO AD ∴⊥ 面PAD ⊥面ABCDPO ∴⊥面ABCD ，又由60DAB ∠=，AD AB = OB AD ∴⊥以,,OA OB OP 分别为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系，设2AD =，则(1,0,0)A ，(0,3,0)B ，(1,0,0)D -，11(0,0,1),(,0,)22P F ，(2,0,0)EB DA ==，11(,3,)22BF =-，1(0,0,1)n =为面BEA 的一个法向量，设面FBE 的法向量为2000(,,)n x y z =，依题意，2200EB n BF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即000020113022x x y z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩， 令03y =，解得06z =，00x =所以，平面FBE 的法向量2(0,3,6)n =，121212,6239cos ,1339n n n n n n ===⋅，又因二面角为锐角，故二面角F BE A --的余弦值为23913. 【点睛】本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意中位线和向量法的合理运用，属于基础题. 20.已知倾斜角为4π的直线经过抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F ，与抛物线C 相交于A 、B 两点，且||8AB =.（1）求抛物线C 的方程；（2）设P 为抛物线C 上任意一点（异于顶点），过P 做倾斜角互补的两条直线1l 、2l ，交抛物线C 于另两点C 、D ，记抛物线C 在点P 的切线l 的倾斜角为α，直线CD 的倾斜角为β，求证：α与β互补.【★答案★】（1）24x y =（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，设直线方程为2py x =+，联立方程，根据抛物线的定义即可得到结论； （2）根据题意，设1l 的方程为()2004x y k x x -=-，联立方程得04C x x k +=，同理可得04D x x k +=-，进而得到02C D x x x +=-，再利用点差法得直线CD 的斜率，利用切线与导数的关系得直线l 的斜率，进而可得α与β互补. 【详解】（1）由题意设直线AB 的方程为2py x =+，令11(,)A x y 、22(,)B x y ， 联立222p y x x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得22304p y py -+=123y y p ∴+=，根据抛物线的定义得124AB y y p p =++=， 又8AB =，48,2p p ∴== 故所求抛物线方程为24x y =.（2）依题意，设200(,)4x P x ，2(,)4C C x C x ，2(,)4DD x D x设1l 的方程为200()4x y k x x -=-，与24x y =联立消去y 得2200440x kx kx x -+-=，04C x x k ∴+=，同理04D x x k +=- 02C D x x x ∴+=-，直线CD 的斜率2221214()CDx x k x x -=-=1()4C D x x +012x =- 切线l 的斜率0012l x x k y x =='=， 由0l CD k k +=，即α与β互补.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，直线斜率的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．21.已知函数2()ln (1)1(,).f x x ax a b x b a b R =-+--++∈ （1）若0a =，试讨论()f x 的单调性；（2）若02,1a b <<=，实数12,x x 为方程2()f x m ax =-的两不等实根，求证：121142a x x +>-. 【★答案★】（1）★答案★不唯一，具体见解析（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意得()f x '，分1b ≤-与1b >-讨论即可得到函数()f x 的单调性； （2）根据题意构造函数()g x ，得12()()g x g x m ==，参变分离得2112ln ln 2x x a x x --=-，分析不等式121142a x x +>-，即转化为1222112ln x x x x x x -<-，设21(1)x t t x =>，再构造函数()12ln g t t t t=-+，利用导数得单调性，进而得证.【详解】（1）依题意0x >，当0a =时，1()(1)f x b x'=-+， ①当1b ≤-时，()0f x '>恒成立，此时()f x 在定义域上单调递增；②当1b >-时，若10,1x b ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭，()0f x '>；若1,1x b ⎛⎫∈+∞⎪+⎝⎭，()0f x '<； 故此时()f x 的单调递增区间为10,1b ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，单调递减区间为1,1b ⎛⎫+∞ ⎪+⎝⎭.（2）方法1：由2()f x m ax =-得ln (2)20x a x m +-+-= 令()ln (2)2g x x a x =+-+，则12()()g x g x m ==， 依题意有1122ln (2)ln (2)x a x x a x +-=+-，即2112ln ln 2x x a x x --=-，要证121142a x x +>-，只需证()211212122ln ln 2(2)x x x x a x x x x --+>-=-（不妨设12x x <），即证1222112ln x x x x x x -<-， 令21(1)x t t x =>，设()12ln g t t t t=-+，则22211()1(1)0g t t t t '=--=--<， ()g t ∴在(1,)+∞单调递减，即()(1)0g t g <=，从而有121142a x x +>-. 方法2：由2()f x m ax =-得ln (2)20x a x m +-+-= 令()ln (2)2g x x a x =+-+，则12()()g x g x m ==，1()(2)g x a x'=-- 当1(0,)2x a ∈-时()0g x '>，1(,)2x a∈+∞-时()0g x '<， 故()g x 1(0,)2a -上单调递增，在1(,)2a+∞-上单调递减， 不妨设12x x <，则12102x x a<<<-， 要证121142a x x +>-，只需证212(42)1x x a x <--，易知221(0,)(42)12x a x a ∈---， 故只需证212()()(42)1x g x g a x <--，即证222()()(42)1x g x g a x <--令()()()(42)1x h x g x g a x =---，（12x a>-），则()21()()()(42)1421xh x g x g a x a x '''=+----⎡⎤⎣⎦=()21(2)1(2)1421a x a x x x a x ----⎡⎤+⎢⎥⎣⎦--⎡⎤⎣⎦=()()224(2)210421a a x a x ----⎡⎤⎣⎦<--⎡⎤⎣⎦， （也可代入后再求导）()h x ∴在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭上单调递减，1()()02h x h a ∴<=-，故对于12x a >-时，总有()()(42)1x g x g a x <--.由此得121142a x x +>- 【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于难题.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()26πρθ+=.（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（2）设,A B 为曲线1C 上位于第一，二象限的两个动点，且2AOB π∠=，射线,OA OB 交曲线2C 分别于,D C ，求AOB ∆面积的最小值，并求此时四边形ABCD 的面积.【★答案★】（1）2213x y +=；340x y +-=（2）AOB 面积的最小值为34；四边形的面积为294【解析】 【分析】（1）将曲线1C 消去参数即可得到1C 的普通方程，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入曲线2C 的极坐标方程即可；（2）由（1）得曲线1C 的极坐标方程，设1,()A ρθ，2(,)2B πρθ+，3(,)D ρθ，4(,)2C πρθ+ 利用方程可得22121143ρρ+=，再利用基本不等式得22121221143ρρρρ≤+=，即可得121324AOB S ρρ∆=≥，根据题意知ABCD COD AOB S S S ∆∆=-，进而可得四边形ABCD 的面积. 【详解】（1）由曲线1C 的参数方程为3cos sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）消去参数得2213xy +=曲线2C 的极坐标方程为sin()26πρθ+=，即sin cos cos sin266ππρθρθ+=，所以，曲线2C 的直角坐标方程340x y +-=. （2）依题意得1C 的极坐标方程为2222cos sin 13ρθρθ+=设1,()A ρθ，2(,)2B πρθ+，3(,)D ρθ，4(,)2C πρθ+则222211cos sin 13ρθρθ+=，222222sin cos 13ρθρθ+=，故22121143ρρ+=22121221143ρρρρ∴≤+=，当且仅当12ρρ=（即4πθ=）时取“=”， 故121324AOB S ρρ∆=≥，即AOB ∆面积的最小值为34. 此时34112222sin()cos()4646COD S ρρππππ∆==⋅++48cos 3π==， 故所求四边形的面积为329844ABCD COD AOB S S S ∆∆=-=-=. 【点睛】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 23.已知,,a b c 均为正实数，函数()2221114f x x x a b c =++-+的最小值为1.证明： （1）22249a b c ++≥； （2）111122ab bc ac++≤. 【★答案★】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值，再运用柯西不等式，即可得到最小值.（2）利用基本不等式即可得到结论，注意等号成立的条件. 【详解】（1）由题意,,0a b c >，则函数222111()4f x x x a b c =++-+222111()4x x a b c ≥+--+2221114a b c =++， 又函数()f x 的最小值为1，即2221114a b c++1=， 由柯西不等式得222(4)a b c ++2221114a b c ⎛⎫++⎪⎝⎭2(111)9≥++=， 当且仅当23a b c ===时取“=”.故22249a b c ++≥.（2）由题意，利用基本不等式可得22121a b ab ，221114b c bc +≥，221114a cac +≥， （以上三式当且仅当23a b c ===时同时取“=”）由（1）知，22211114a b c ++=， 所以，将以上三式相加得211ab bc ac ++≤222111224a b c ⎛⎫++= ⎪⎝⎭ 即111122ab bc ac++≤. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算能力，属于中档题.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。
2020年江西省高考数学模拟试卷(理科)(6月份) (含解析)
2020年江西省高考数学模拟试卷(理科)(6月份)一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知集合A={−1,0，1}，B={x|x−x2=0}，则A∩B=()A. {0}B. {1}C. (0,1)D. {0,1}2.已知复数z=4+3i1+i，则|z|=()A. 5√22B. 52C. √10D. 2√53.已知向量a⃗，b⃗ 的夹角为60°，且|a⃗|=1，|b⃗ |=2，则a⃗⋅b⃗ =()A. 12B. √32C. 1D. 24.已知实数x ，y 满足不等式组{2x+y−2≥0x−2y+4≥03x−y−3≤0，则z=x−y的最大值为()A. −2B. −1C. 1D. 25.用一个平面去截正方体，则截面不可能是()A. 正三角形B. 正方形C. 正五边形D. 正六边形6.已知数列{a n}满足：a1=−1，a n+1=a n+1，则a100=()A. 100B. 99C. 98D. 977.若(x−1x)n的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是()A. −462B. 462C. 792D. −7928.已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)=x2+1x，则f(−1)=()A. −2B. 0C. 1D. 29.在四面体ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，AB=CD，AB⊥CD，则异面直线EF与AB所成角的大小为()A. π6B. π4C. π3D. π210.若f(x)=2sin(2x+θ)(0<θ≤π)图象关于(π2,0)对称，则f(x)在[−π4,π6]上的最小值是()A. −1B. −12C. −√3 D. −√3211. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F(4,0)，点Q(0,−3)，P 为双曲线左支上的动点，且△PQF 周长的最小值为16，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 43C. 32D. 5212. 已知函数f(x)=x −1x +alnx ，若存在m ，n ，使得f′(m)=f′(n)=0，且m ∈(0,1e ]，则f(m)−f(n)的最小值为( )A. 4eB. 2eC. 4e 2D. 2e 2二、填空题（本大题共4小题，共12.0分） 13. 设函数f(x)={x,x ≥1(x −1)2,x <1，则_______，若f(a)=4，则实数a =________14. 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，则取到的2个数的和大于5的概率为________． 15. 已知抛物线C ：y 2=4x 与点M(0,2)，过C 的焦点，且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则k =______．16. 已知数列{a n }，{b n }，{c n }满足{a n+1=2a n +b n +c nb n+1=a n +2b n +c n c n+1=a n +b n +2c n，且a 1=8，b 1=4，c 1=0，则数列{na n }的前n 项和为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a =2，c =3，cosB =14．(1)求b 的值； (2)求sin C 的值； (3)求△ABC 的面积．18.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√55，且右准线方程为x=5．(1)求椭圆方程；(2)过椭圆右焦点F作斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，P为椭圆上一动点，求△PAB面积的最大值．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形且AD=2AB，侧面PAD⊥底面ABCD，且侧面PAD是正三角形，E是AD中点．(1)证明：CE⊥平面PBE；(2)求二面角D−PC−B的余弦值．20. 甲乙二人进行定点投篮比赛，已知甲、乙两人每次投进的概率均为12，两人各投一次称为一轮投篮．(1)求乙在前3次投篮中，恰好投进2个球的概率；(2)设前3轮投篮中，甲与乙进球个数差的绝对值为随机变量ξ，求ξ的分布列与期望．21. 已知函数f (x )=lnx −ax +2a 2(a >0),g (x )=|f (x )|.(1)当a ∈(0,2)时，求g (x )的最小值；(2)当a ∈(2,+∞)时，证明：函数f (x +2a )的最小零点等于g (x +2a )+x 的极小值点．22. 已知曲线C 的参数方程为{x =√t −√ty =3(t +1t ),(t 为参数，t >0).求曲线C 的普通方程．23.已知函数f(x)==|x−1|+|x−a|+|x−3|．(1)当a=1时，求不等式f(x)<4的解集；(2)当a=2时，求函数f(x)的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题考查交集的求法，是基础题．解方程求出集合B ，由此能求出A ∩B ． 解：∵集合A ={−1,0，1}， B ={x|x 2=x}={0,1}， ∴A ∩B ={0,1}． 故选D ．2.答案：A解析：本题主要考查复数模长的计算，根据复数的运算法则进行化简是解决本题的关键． 根据复数的运算法则，进行化简，结合复数的模长公式进行计算即可． 解：z =4+3i 1+i =(4+3i)(1−i)(1+i)(1−i)=7−i 2=72−12i ，则|z|=√(72)2+(−12)2=√504=5√22， 故选：A ．3.答案：C解析：解：向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为60°，且|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=2，则a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |cos <a ⃗ ,b ⃗ >=2×1×12=1． 故选：C ．利用已知条件，通过向量的数量积公式求解即可． 本题考查平面向量的数量积的计算，考查计算能力．4.答案：C解析：本题考查二元一次不等式(组)与平面区域，范围与最值问题，属于基础题． 作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义进行求解即可．解：解：作出实数x ，y 满足不等式组{2x +y −2≥0x −2y +4≥03x −y −3≤0对应的平面区域如图：设z =x −y ，得y =x −z 表示，斜率为1纵截距为−z 的一组平行直线，平移直线y =x −z ，当直线y =x −z 经过点A 时，直线y =x −z 的截距最小，此时z 最大， {2x +y −2=03x −y −3=0，解得A(1,0) 此时z max =1−0=1． 故选C ．5.答案：C解析：本题是基础题，考查学生作图能力，判断能力，以及逻辑思维能力，明确几何图形的特征，是解好本题的关键．画出用一个平面去截正方体得到的几何体的图形，即可判断选项． 解：画出截面图形如图显然A 正三角形，B 正方形：D 正六边形 可以画出五边形但不是正五边形； 故选：C ．6.答案：C解析：本题主要考察数列的递推关系以及等差数列的通项公式，属于基础题．解：∵a n+1=a n+1，∴a n+1−a n=1，所以这是一个公差为1的等差数列，又a1=−1，所以a n=a1+(n−1)·d=−1+(n−1)·1=n−2，所以a100=100−2=98．故选C．7.答案：D解析：本题主要考查二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．先由条件求得n=12，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得x2的系数．)n的展开式中只有第7项的二项式系数最大，∴n=12，解：(x−1x通项为T r+1=(−1)r C12r x12−2r，令12−2r=2，解得r=5，∴展开式中含x2项的系数是(−1)5C125=−792，故选D．8.答案：A解析：本题考查的是分段函数在函数奇偶性中的运用，结合奇函数图像性质即可求解，属于奇函数概念的简单运用．解：已知f(x)是奇函数，根据奇函数的性质，即f(−1)=−f(1)，，又因为当x>0时，f(x)=x2+1x所以f(1)=2，即f(−1)=−f(1)=−2，故选A．9.答案：B解析：本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．取BD中点O，连结EF、EO、FO，推导出EO=FO，且EO⊥FO，∠OEF是异面直线EF与AB所成角，由此能求出异面直线EF与AB所成角的大小．解：取BD中点O，连结EF、EO、FO，∵在四面体ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，AB=CD，AB⊥CD，∴EO=//12AB，FO=//12CD，∴EO=FO，且EO⊥FO，∠OEF是异面直线EF与AB所成角，∵EO=FO，且EO⊥FO，∴∠OEF=π4，∴异面直线EF与AB所成角的大小为π4．故选：B．10.答案：C解析：本题主要考查三角函数的图象和性质，属于基础题．求出函数的解析式以及利用函数的单调性的性质是解决本题的关键．解：函数f(x)=2sin(2x+θ)(0<θ<π)的图象关于(π2,0)对称，∴2×π2+θ=kπ，k∈Z，则θ=−π+kπ，k∈Z，∵0<θ≤π，∴θ=π，∴f(x)=−2sin2x∵−π4≤x≤π6，∴−π2≤2x≤π3，，，∴f(x)最小值为−√3，此时2x=π3即x=π6，。
江西省2020届高三上学期第二次大联考数学(理)试题及答案
2020届江西省高三上学期第二次大联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2|2150A x x x =+-≤，{}|21,B x x n n N ==-∈，则AB =（ ）A ．{}1,1,3-B ．{}1,1-C ．{}5,3,1,1,3---D ．{}3,1,1--【答案】A2．若复数z 满足(23i)13i z +=，则z =（ ） A ．32i -+ B ．32i +C ．32i --D ．32i -【答案】B3．已知函数()()21log ,04,0x f x x f x x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩，则()2f -=（ ） A ．-1 B ．0C ．1D ．2【答案】A4．若1a =，2b =，则a b +的取值范围是（ ） A ．[]1,9 B ．()1,9C ．[]1,3D ．()1,3【答案】C5．在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（ ） A ．2550100,,777B ．252550,,1477C ．100200400,,777 D ．50100200,,777【答案】D6．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图象如图所示，则(π)f =（ ）A ．13B ．13-C ．23D ．23-【答案】B7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．83π1633B ．4π33C ．16343π3D ．43π1633【答案】D8．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数.设()8log 0.2a f =，()0.3log 4b f =，()1.12c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．c a b <<【答案】A9．给出下列三个命题：①“2000,210x x x ∃∈-+≤R ”的否定； ②在ABC 中，“30B ︒>”是“cos B <的充要条件； ③将函数2cos2y x =的图象向左平移6π个单位长度，得到函数π2cos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象．其中假命题的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C10．已知函数()2cos (0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围（ ） A ．2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(0,2]【答案】B11．在平面五边形ABCDE 中，60A ∠=︒，AB AE ==BC CD ⊥，DE CD ⊥，且6BC DE ==.将五边形ABCDE 沿对角线BE 折起，使平面ABE 与平面BCDE 所成的二面角为120︒，则沿对角线BE 折起后所得几何体的外接球的表面积为（ ） A． B ．84πC ．252πD ．126π【答案】C12．已知函数()e ln mx f x m x =-，当0x >时，()0f x >恒成立，则m 的取值范围为（ ） A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．[1,)+∞D ．(,e)-∞【答案】A二、填空题13．若实数x ，y 满足约束条件32020440x y x y x y --≥⎧⎪+-≤⎨⎪++≥⎩，则2z x y =+的最大值为________.【答案】314．若函数22()21x ax f x x =++为奇函数，则a =_______.【答案】-215．记等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，若357n n S n T n +=+，则57a b =______. 【答案】8516．已知函数()()()224f x x xax b =-++的图象关于1x =对称，记函数()f x 的所有极值点之和与积分别为m ，n ，则()f m n +=______. 【答案】15- 三、解答题17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()sin sin sin sin 2sin a b c A B C c C a B -+--=-.（1）求C 的取值范围； （2）若cos C =，求c a 的值.【答案】（1）因为()()sin sin sin sin 2sin a b c A B C c C a B -+--=-， 所以()()22a b c a b c c ab -+--=-，整理得2222a b c +=，即2221122c a b =+. 由余弦定理可得222cos 2a b c C ab+-=，则2211122cos 222a bab C ab ab +=≥=， 因为0C π<<，所以C 的取值范围为0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦.（2）由（1）可得2222b c a =-，即b试题则2222cos 23a b c C ab +-===，整理得4224384c a c a =-，即()()22223220c aca --=，则c a =c a=因为22220b c a =->，所以2212c a >，则c a 的值为318．已知首项为4的数列{}n a 满足11221n n n na a n +++=+.（1）证明：数列2n n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列. （2）令2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）证明：因为11221n n n na a n +++=+，所以()11122n n n n a na +++=+，所以()111122n n n nn a na -++=+，所以()111122n nn nn a na +++-=.因为14a =，所以122a =. 故数列2n n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为2，公差为1的等差数列. （2）解：由（1）可知12n n na n =+，则12nn n a n+=⋅. 因为2log n n b a =，所以2222111log 2log log 2log n n n n n n b n n n n +++⎛⎫=⋅=+=+ ⎪⎝⎭，则123n nS b b b b =+++⋅⋅⋅+()2222341log 21log 2log 3log 23n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2222341log 2log log log 12323n n n +⎛⎫=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭()()21log 12n n n +=++.19．如图，底面ABCD 是等腰梯形，//,224AD BC AD AB BC ===，点E 为AD 的中点，以BE 为边作正方形BEFG ，且平面BEFG ⊥平面ABCD .（1）证明：平面ACF ⊥平面BEFG . （2）求二面角A BF D --的正弦值． 【答案】（1）证明：因为点E 为AD 的中点,2AD BC =,所以AE BC =, 因为//AD BC ,所以//AE BC ,所以四边形ABCD 是平行四边形, 因为AB BC =,所以平行四边形ABCE 是菱形,所以AC BE ⊥,因为平面BEFG ⊥平面ABCD ,且平面BEFG ⋂平面ABCD BE =,所以AC ⊥平面BEFG .因为AC ⊆平面ACF ,所以平面ACF ⊥平面BEFG .（2）记AC ,BE 的交点为O ,再取FG 的中点P .由题意可知AC ,BE ,OP 两两垂直,故以O 为坐标原点,以射线OB ,OC ,OP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.因为底面ABCD 是等腰梯形,//,224AD BC AD AB BC ===,所以四边形ABCE 是菱形，且60BAD ︒∠=,所以(0,3,0),(1,0,0),(1,0,0),(3,0),(1,0,2)A B E D F ----,则(1,3,0),(2,0,2),(3,3,0)AB BF BD ==-=-,设平面ABF 的法向量为()111,,m x y z =,则111130220m AB x y m BF x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩,不妨取11y =-,则(3,1,3)m =-,设平面DBF 的法向量为()222,,n x y z =,则2222330220n BD x y n BF x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩,不妨取21x =,则(1,3,1)n =, 故3105cos ,35||||75m n m n m n ⋅〈〉===⨯. 记二面角A BF D --的大小为θ,故3470sin 13535θ=-=.20．已知函数()31sin 3cos 22f x a b x a b x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，且()01f =-，13f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的解析式；（2）已知()223g x x x m =-+-，若对任意的[]10,x π∈，总存在[]22,x m ∈-，使得()()12f x g x =成立，求m 的取值范围.【答案】（1）因为()01f =-，13f π⎛⎫=⎪⎝⎭，试题所以()1012111322f a f b a π⎧==-⎪⎪⎨⎫⎛⎫⎛⎫⎪=++=⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，解得1a =，2b =. ()13sin cos 2222f x x x ⎛⎛⎫=++- ⎪ ⎝⎭⎝⎭cos 2sin 6x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.（2）因为[]0,x π∈，所以5,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 所以1sin ,162x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则()[]1,2f x ∈-. ()g x 的图象的对称轴是1x =.①当21m -<<时，()()2min 3g x g m m m ==--，()()max 25g x g m =-=+，则2213152m m m m -<<⎧⎪--≤-⎨⎪+≥⎩，解得11m -≤<，符合题意； ②当14m ≤≤时，()()min 14g x g m ==-，()()max 25g x g m =-=+，则144152m m m ≤≤⎧⎪-≤-⎨⎪+≥⎩，解得13m ≤≤，符合题意； ③当4m >时，()()min 14g x g m ==-，()()2max 3g x g m m m ==--，试题则244132m m m m >⎧⎪-≤-⎨⎪--≥⎩，不等式组无解. 综上，m 的取值范围是[]1,3-. 21．已知函数()e 2x f x m x m =--.（1）当1m =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）若()0f x >在(0,)+∞上恒成立，求m 的取值范围． 【答案】（1）因为1m =,所以()e 21x f x x =--,所以()e 2x f x '=-,则(0)0,(0)1f f '==-,故曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =-. （2）因为()e 2x f x m x m =--,所以()e 2x f x m '=-,①当2m ≥时,()0f x '>在(0,)+∞上恒成立,则()f x 在(0,)+∞上单调递增, 从而()(0)0f x f >=成立,故2m ≥符合题意; ②当02m <<时,令()0f x '<,解得20lnx m <<,即()f x 在20,ln m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,则2ln(0)0f f m ⎛⎫<= ⎪⎝⎭,故02m <<不符合题意; ③当0m ≤时,0()e 2x f x m '-<=在(0,)+∞上恒成立,即()f x 在(0,)+∞上单调递减,则()(0)0f x f <=,故0m ≤不符合题意.综上,m 的取值范围为[2,)+∞. 22．已知函数()252ln f x x x x =-+.（1）求()f x 的极值；（2）若()()()123f x f x f x ==，且123x x x <<，证明：313x x -<. 【答案】 （1）解：因为()252ln f x x x x =-+，试题所以()()()()2122'250x x f x x x x x--=-+=>， 所以当()10,2,2x ⎛⎫∈⋃+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x >； 当1,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()'0f x <， 则()f x 的单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和()2,+∞，单调递减区间为1,22⎛⎫⎪⎝⎭. 故()f x 的极大值为192ln 224f ⎛⎫=--⎪⎝⎭； ()f x 的极小值为()262ln2f =-+.（2）证明：由（1）知1231022x x x <<<<<. 设函数()()()1F x f x f x =--，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()()'''1F x f x f x =+-()()()()()()221221122111x x x x x x x x x ---+-=+=--，则()'0F x >在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，即()F x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，故()102F x F ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，即()()1f x f x <-在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立. 因为110,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()()()2111f x f x f x =<-. 因为211,1,22x x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，且()f x 在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以211x x >-，即121x x +>.① 设函数()()()4G x f x f x =--，1,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，试题 ()()()'''4G x f x f x =+-()()()()()()22122722244x x x x x x x x x -----=+=--，则()'0G x >在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，即()G x 在1,22⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故()()20G x G <=，即()()4f x f x <-在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立. 因为21,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()()()3224f x f x f x =<-. 因为3x ，()242,x -∈+∞，且()f x 在()2,+∞上单调递增， 所以324x x <-，即234x x +<.② 结合①②，可得313x x -<.试题。
2020届江西省高三上学期第三次月考数学（理）试题
2020届江西省临川二中、临川二中实验学校高三上学期第三次月考数学（理）试题一、单选题1．已知i 为虚数单位,复数z 满足：()z 12i i +=-，则在复平面上复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】先求出z 并化简，从而确定复数z 对应的点的坐标为13(,)22-，进而判断其位于第四象限. 【详解】因为2(2)(1)131312222i i i i z i i ----====-+， 所以复平面上复数z 对应的点为13(,)22-，位于第四象限，故选D . 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何意义，属于基础题. 2．已知全集，集合，,那么集合（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】解析：因或，故，所以，应选答案D 。
3．已知向量(2,1),(,1)a b m ==-，且()a a b ⊥-，则m 的值为（ ） A ．1 B ．3C ．1或3D ．4【答案】B【解析】先求出a b -，再利用向量垂直的坐标表示得到关于m 的方程，从而求出m . 【详解】因为(2,1),(,1)a b m ==-，所以(2,2)a b m -=-，因为()a a b ⊥-，则()2(2)20a a b m ⋅-=-+=，解得3m = 所以答案选B. 【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标运算，以及向量垂直的坐标表示，属于基础题. 4．下列判断正确的是（ ） A ．“若sin cos ,x x =则4x π=”的逆否命题为真命题B ．0x ∀>，总有1sin x e x >+C ．二次函数2()1f x x ax =-+在R 上恒大于0的充要条件是2a <D ．已知扇形的弧长为1，半径为1，则该扇形的面积为1 【答案】B【解析】根据逆否命题同真假，构造函数求导，二次函数判别式，弧长公式即可逐项判断 【详解】对A, 若sin cos ,x x =则,4x k k Z ππ=+∈,故原命题为假命题，则逆否命题为假命题，错误；对B, 设()()()'sin 10,cos 0xx f x e x x fx e x =-->∴=->，则()sin 1,x f x e x =--单调递增，则()()sin 101x f x e x f =-->=，正确；对C, 二次函数2()1f x x ax =-+在R 上恒大于0的充要条件是2=4022a a ∆-<∴-<< ,错误对D, 已知扇形的弧长为1，半径为1，则该扇形的圆心角为1，则面积为12，错误 故选B 【点睛】本题以命题的真假关系的判断为载体，主要考查了充分必要条件的判断，逆否命题及利用导数证明不等式等知识的综合应用，属于中档题． 5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，95495S S -=-，则67a a +=（ ）A ．4-B ．4C ．1-D ．8【答案】A【解析】可设等差数列{a n }的公差为d ，从而据题意得出a 1＝9，利用前n 项和求出d 即可求解 【详解】设等差数列{a n }的公差为d ，9553954249595S S a ad -=-∴-==-解得d ＝-2； ∴671211a a a d +=+=4- 故选A ． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，是基本题型．6．已知锐角α的终边与单位圆221x y +=交于点01(,)3P x ，则2sin α=（ ） A．9B．9-C．9D ．49【答案】C【解析】根据三角函数的定义，求出相应的三角函数值，利用二倍角的正弦公式，即可求出sin2α的值； 【详解】锐角α的终边上点P 的纵坐标为13，则横坐标为3则sin 1α3=，cos α3=， 则sin2α＝2sinαcosα=9故选C 【点睛】本题主要考查三角函数的定义及二倍角公式，考查学生的计算能力．7．若,x y 满足30230x y x y y m +-≤⎧⎪--≥⎨⎪≥⎩，，，且2z x y =+的最小值为1，则实数m 的值为（ ）A ．5-B ．1-C ．1D ．5【答案】B【解析】首先画出满足条件的平面区域，然后根据目标函数2z x y =+取最小值找出最优解，把最优解点代入目标函数即可求出m 的值。
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江西省临川二中、上高二中、丰城中学2020届高三6月联考理科数
学试题
一、单选题
(★★) 1. 若，其中， i为虚数单位，则复数的虚部为（）A．1B．i C．D．
(★★) 2. 已知随机变量服从正态分布，若，则
（）
A．B．C．D．
(★★) 3. 已知，，，则（）
A．B．C．D．
(★★★) 4. 设，则“ ”是“直线：与直线：平行”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
(★★★) 5. 甲、乙、丙、丁四名同学在某次军训射击测试中，各射击10次.四人测试成绩对应
的条形图如下，以下关于四名同学射击成绩的数字特征判断不正确的是（）
A．平均数相同B．中位数相同C．众数不完全相同D．甲的方差最小
(★★★) 6. 函数的图象不可能是（）
A．B．
C．D．
(★★) 7. 某部门从已参与报名的甲、乙、丙、丁四人中选派1人去参加志愿者服务，结果出来前，甲、乙、丙、丁四人对选派人选做出了如下预测：甲说：丙或丁被选上；乙说：甲或丁均未被选上；丙说：丁被选上；丁说：丙被选上.若这四人中有且只有2人说的话正确，则被选派参加志愿者服务的是（）
A．甲B．乙C．丙D．丁
(★★★) 8. 圆 M：与双曲线 C：（，）的两条渐近线相切于 A、 B两点，若，则 C的离心率为（）
A．B．C．2D．3
(★★★) 9. 梅赛德斯—奔驰（ Mercedes – Benz）创立于1900年，是世界上最成功的高档汽车品牌之一，其经典的“三叉星”商标象征着陆上、水上和空中的机械化. 已知该商标由1个圆形和6个全等的三角形组成（如图），点为圆心，，若在圆内部任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）
A．B．C．D．
(★★★) 10. 已知实数满足约束条件，目标函数（且）的最大值为2，则的最小值为（）
A．B．C．D．
(★★★★) 11. 我们称数列与数列为“隔项相消数列”，其中 a，b， c，，则.已知数列的通项公式为，其中，函数表示不超过实数 x的最大整数，则除以4的余数为（）
A．0B．1C．2D．3
(★★★) 12. 在长方体中，，，，过点 B作直线 l 与直线及直线所成的角均为，这样的直线 l的条数为（）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
(★★★) 13. 函数的定义域为________________.
(★★) 14. 某工业模具的三视图如图所示，已知俯视图的正方形的边长为2，则该模具的表面积为________.
(★★) 15. 若曲线在处切线的倾斜角为θ，则的值为
________.
(★★★★) 16. 在中，角 A、 B、 C的对边长分别为 a、 b、 c，且，，则面积的最大值为________.
三、解答题
(★★★) 17. 已知数列、的前项和分别为和，数列满足，
，，等差数列满足，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若数列满足，求证：，其中.
(★★★) 18. 已知如图，菱形的边长为2，对角线，现将沿着对角线翻折至点.
（1）求证：；
（2）若，且点 E为线段的中点，求与平面夹角的正弦值.
(★★★) 19. 为了响应绿色出行，某市推出了新能源分时租赁汽车，并对该市市民使用新能源
租赁汽车的态度进行调查，得到有关数据如下表1：
表1
愿意使用新能源租赁汽车不愿意使用新能源租赁
汽车
总计
男性100300
女性400
总计400
其中一款新能源分时租赁汽车的每次租车费用由行驶里程和用车时间两部分构成：行驶里程按1元/公里计费；用车时间不超过30分钟时，按0.15元/分钟计费；超过30分钟时，超出部分按0.20元/分钟计费.已知张先生从家到上班地点15公里，每天上班租用该款汽车一次，每次的用车时间均在20~60分钟之间，由于堵车红绿灯等因素，每次的用车时间（分钟）是一个随机变量.张先生记录了100次的上班用车时间，并统计出在不同时间段内的频数如下表2：
表 2
时间（分钟）
（20，30]
（30，40]
（40，50]
（50，60]
频数
20
40
30
10
（1）请补填表1中的空缺数据，并判断是否有99.5%的把握认为该市市民对新能源租赁汽车的
使
用
态
度
与
性
别
有
关
；
（2）根据表2中的数据，将各时间段发生的频率视为概率，以各时间段的区间中点值代表该时间段的取值，试估计张先生租用一次该款汽车上班的平均用车时间； （3）若张先生使用滴滴打车上班，则需要车费27元，试问：张先生上班使用滴滴打车和租用该
款
汽
车
，
哪
一
种
更
合
算
?
附：
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
(★★★★) 20. 已知点 为椭圆 C ： （ ， ）上一点， 和 分别
为椭圆 C 的左右焦点，点 D 为椭圆 C 的上顶点，且 .
（1）椭圆 C 的方程；
（2）若点 A 、 B 、 P 为椭圆 C 上三个不同的动点，且满足
，直线
与直线
交于点 Q ，试判断动点 Q 的轨迹与直线
的位置关系，并说明理由.
(★★★★★) 21. 已知定义在 上的函数
，其中
， e 为自然对
数的底数.
（1）求证： 有且只有一个极小值点；
（2）若不等式
在
上恒成立，求实数 a 的取值范围.
(★★★) 22. 在平面直角坐标系 中，曲线 C 的方程为
，以坐标原点 O 为极点，
x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 .
（1）求直线 l 的直角坐标方程和曲线 C 的参数方程； （2）已知 P 、 Q 两点分别是曲线 C 和直线 l 上的动点，且直线
的倾斜角为 ，求
的
最小值.
(★★★) 23. 已知函数的最大值为 t.
（1）求 t的值；
（2）是否存在正实数 a， b， c满足且，若存在，求出满足条件的一组解；若不存在，请说明理由.。