不等式解法(放缩法)

用放缩法证明数列不等式的几种类型和途径

不等式的证明,尤其是使用放缩法证明不等式,很多学生觉得无从下手,老师也觉得教学效果不理想.这里仅就用放缩法证明数列不等式谈谈自己的看法,不妥之处请同行指教.

根据建构主义的观点,学生在学习时可将知识分成若干模块,再对若干模块进行学习,经过同化和顺应,将知识变成自己的一部分.

常见的放缩方法有:增加(减少)某些项,增大(减少)分子(分母),增大(减小)被开方数,增大(减小)底数(指数),利用二项式定理,利用不等式的性质或重要不等式,利用函数的性质等.

对于“和式”数列不等式,若能够直接求和，则考虑先求和，再证不等式；若不能或甚难求和，则可考虑使用放缩法证明不等式.

而对于“和式”数列不等式,放缩的最主要目的是通过放缩,把原数列变为可求和、易求和的数列. 下面根据实施的途径分为以下五类进行讨论:

途径1:放缩为等差

等差⨯1类. 例1.求证：2131211222<++++n

同类不等式还有：

⑴ 8

11131211333<++++n

⑵ ()()

12216712151311222+->-++++n n (n>1)

⑶ 33322

1222<++++n n (n>1)

途径2:放缩为等比类.

例2.求证：3

512112112112132<-++-+-+-n

同类不等式还有：

⑴ 5

412112112112132<++++++++n

⑵ 3

4131213513313132<--++-+-+-n n

途径4:增大（减小）分子（分母）或被开方数放缩类.

例5.求证：()()2

2)1(322121+<+++⋅+⋅<+n n n n n n

例6.求证：)21614121(1)121513111(11n

n n n ++++>-+++++

同类不等式还有：

⑴ 2(11-+n )＜1+

n 13121+++ ＜2n

⑵

121211121<+++++

n n

途径6:利用均值不等式放缩类.

例9.求证：（1+11）（1+31）（1+51）…（1+1

21-n ）＞12+n

同类不等式还有:

⑴ )1(3221+++⋅+⋅n n ＜

2

)2(+n n

⑵ n n >++++131211

途径7:利用数列单调性放缩类.

这是证明数列不等式的一大类方法,即构造一个新的数列,通过判断其单调性来证明不等式,很多有关数列的不等式都可以用此法进行证明.常见的构造方法是作差或作商.

例10.求证：（1+11）（1+31）（1+51）…（1+1

21-n ）＞12+n (前面例7之证明三)