1求下列向量组的秩与一个极大线性无关组
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习题4.3
1.求下列向量组的秩与一个极大线性无关组： (1)
[]12,1,3,1T α=-, []23,1,2,0T
α=-，
[]31,3,4,2T α=-,[]44,3,1,1T
α=-．
(2)
[]11,1,1,1T α=, []21,1,1,1T
α=--， []31,1,1,1T
α=--,[]41,1,1,1T
α=---．
(3)
[]11,1,2,4T α=-, []20,3,1,2T α=，[]33,0,7,14T
α=,
[]41,1,2,0T α=-,[]52,1,5,6T
α=．
分析 向量组的秩等于该向量组构成的矩阵的秩, 所以求向量组的秩可以转化为求矩阵的秩. 先把向量构成矩阵通过矩阵的初等行变换成阶梯形, 通过阶梯形便可得到矩阵的秩, 它也就是该向量组的秩, 而阶梯形的阶梯头所在的列对应的向量便构成该向量组的一个极大线性无关组.
解 (1) []1
23
423141133113301123241000010210000αααα--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥
---⎢⎥⎢
⎥=−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦
, 所以该向量组的秩为2, 且1α, 2α为它的一个极大线性无关组.
(2) []1
23
41111111111110
1011111001111110001αααα--⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢
⎥=−−→⎢⎥⎢⎥
---⎢⎥⎢⎥
--⎣⎦⎣⎦
, 所以该向量组的秩为4, 且1α,2α,3α,4α为它的一个极大线性无关组.
(3) []1
234
51031
21
0312130110110121725000104214060
0000ααααα⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥--⎢
⎥⎢⎥=−−→⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢
⎥
⎣⎦⎣⎦
, 所以该向量组的秩为3, 且1α,2α,4α为它的一个极大线性无关组.
2.计算下列向量组的秩，并判断该向量组是否线性相关. (1)
[]11,1,2,3,4T α=-，[]23,7,8,9,13T
α=-，
[]31,3,0,3,3T α=----,[]41,9,6,3,6T
α=-.
(2)
[]11,3,2,1T β=--, []22,1,5,3T β=-，[]34,3,7,1T
β=-, []41,11,8,3T
β=---,[]52,12,30,6T
β=-．
解 (1) []1
23
4131
11
3111739011228
06000039330
000413
360000αααα--⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥----⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−−→⎢
⎥⎢
⎥
-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
所以该向量组的秩为2, 小于向量的个数4, 所以线性相关.
(2)
[]1
234
51241212
412313111201
548257830001111313600000βββββ----⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎢
⎥=−−→⎢⎥⎢⎥
-⎢⎥⎢
⎥
--⎣⎦⎣⎦
所以该向量组的秩为3, 小于向量的个数5, 所以线性相关.
3.设[]11,2,1T α=-, []22,4,T αλ=, []31,,1T
αλ=.
(1) λ取何值时1α,2α,3α线性相关? λ取何值时1α,2α,3α线性无关? 为什么? (2)
λ取何值时3α能经1α,2α线性表示? 且写出表达式.
解 (1)[]1
2
31211
212402211002αααλλλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−→+⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦
当2λ≠且2λ≠-时, 矩阵的秩为3与向量个数相同, 所以此时该向量组线性无关.
当2λ=或2λ=-时, 矩阵的秩为2小于向量个数, 所以此时向量组线性相关. (1) 当2λ=时, 秩([]1
2αα)=秩([]123ααα)=2, 此时3α能经1α,2α线性表
示.
表达式的系数为方程组[]1
23X ααα=的解, 而此时该方程组的解为120,1.2
x x =⎧⎪
⎨=⎪⎩
所以表达式为3α=21
2
α. 当2λ=-时, 秩([]1
2αα)=1, 秩([]123ααα)=2, 两者不相等, 所以不能
线性表示.
当2λ≠且2λ≠-时, 秩([]1
2αα)=2, 秩([]123ααα)=3, 两者不相等,
所以不能线性表示.
4.下述结论不正确的是( )，且说明理由．
(A) 秩为4的４×５矩阵的行向量组必线性无关. (B) 可逆矩阵的行向量组和列向量组均线性无关. (C) 秩为r(r 解 (A) 正确. 如果行向量组线性相关则行向量组的秩必小于行向量的个数4, 即矩阵的行秩小于4, 而矩阵的行秩等于矩阵的秩, 因此矩阵的秩小于4, 这与矩阵的秩为4矛盾! 所以行向量组必线性无关. (B) 正确. 可逆矩阵必为满秩矩阵, 即n n ⨯的可逆矩阵的秩为n , 而矩阵的秩等于行秩和列秩, 所以矩阵的行秩=列秩=n , 因此行向量组的秩和所含向量个数相同, 据此可知该行向量组必线性无关; 同理列向量组也必线性无关. (C) 正确. 列向量组含有n 个向量, 又由于列向量组的秩(即列秩)等于矩阵的秩r , 而r (D) 设111001A ⎡⎤ =⎢⎥⎣⎦ , 易知该矩阵的行向量组线性无关, 但是它不是方阵, 所以不是 可逆矩阵. 所以该选项不正确. 综上所述应选D.