高三基础知识天天练. 数学 数学1-2人教版

第1模块第2节

[知能演练]

一、选择题

1．设m，n是整数，则“m，n均为偶数”是“m＋n是偶数”的

() A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：m，n均为偶数⇒m＋n为偶数，但m＋n为偶数m，n为偶数，如m＝1，n＝1.故选A.

答案：A

2．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是

() A．3B．2

C．1 D．0

解析：原命题与逆否命题等价，而原命题为真，所以逆否命题为真命题．

原命题的逆命题为：若y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数，显然此命题为假．又∵逆命题与否命题同真假，∴否命题为假．故选C.

答案：C

3．有下列四个命题，其中真命题有：

①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的逆命题；

②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；

④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．

其中真命题的序号为

() A．①②B．②③

C．①③D．③④

解析：命题①的逆命题是“若x、y互为相反数，则x＋y＝0”真命题．命题②可考虑其逆命题“面积相等的三角形是全等三角形”是假命题，因此命题②是假命题．命题③的逆命题是“若x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1”是真命题．命题④是假命题．故选C.

答案：C

4．设p：b2－4ac>0(a≠0)，q：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，则p是q的

() A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分又不必要条件

解析：当Δ＝b2－4ac>0(a≠0)时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，而ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，则Δ＝b2－4ac≥0(a≠0)．

∴p是q的充分不必要条件．

答案：A

二、填空题

5．e1、e2是不共线的两个向量，a＝e1＋k e2，b＝k e1＋e2，则a∥b的充要条件是实数k ＝________.

解析：a ＝λb ，⎩

⎪⎨⎪⎧

1＝kλ

k ＝λ⇒k 2＝1⇒k ＝±1.

答案：±1

6．下列结论中为真命题的是________(填序号)．

①f (x )＝ax 2＋bx ＋c 在[0，＋∞)上是增函数的一个充分条件是－b

2a

<0；

②已知甲：x ＋y ≠3，乙：x ≠1或y ≠2，则甲是乙的充分不必要条件；

③数列{a n }(n ∈N *)是等差数列的充要条件是P n ⎝⎛⎭

⎫n ，S n

n 是共线的． 解析：①f (x )＝ax 2＋bx ＋c 在[0，＋∞)上是增函数，则必有a >0，－b

2a

≤0，故①不正确．

②x ＝1且y ＝2，则x ＋y ＝3.据原命题与逆否命题等价，可知甲是乙的充分不必要条件，故②正确．

③若{a n }是等差数列，则S n ＝An 2＋Bn ，即S n

n

＝An ＋B ，故③正确．

答案：②③ 三、解答题

7．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假． (1)实数的平方是非负数；

(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；

(3)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧； (4)若m ≤0或n ≤0，则m ＋n ≤0.

解：(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．真命题． 否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．真命题．

逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．真命题． (2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．真命题．

否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．真命题． 逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．假命题． (3)逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．真命题．

否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧．真命题．

逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．真命题．

(4)逆命题：若m ＋n ≤0，则m ≤0或n ≤0.真命题． 否命题：若m >0且n >0，则m ＋n >0.真命题． 逆否命题：若m ＋n >0，则m >0且n >0.假命题．

8．命题p ：－2

解：若关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个小于1的正根，设为x 1，x 2，则0

根据根与系数的关系⎩⎪⎨⎪⎧

x 1＋x 2＝－m ，

x 1x 2＝n ，

得⎩

⎪⎨⎪

⎧

0<－m <2，0

反之，取m ＝－13，n ＝12，x 2－13x ＋12＝0，Δ＝19－4×1

2

<0，方程x 2＋mx ＋n ＝0无实根，

所以pq .

综上所述，p 是q 的必要不充分条件．