第三章 控制系统的时域分析—2二阶系统时域分析
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自动控制原理第三章
➢ 0 1 特征根： s1,2 n jn 1 2
Xc (s)
1 s
s2
n2 2ns n2
1 s
s2
s 2n 2ns n2
1
s 2n
s (s n )2 (n 1 2 )2
其阶跃输入下的暂态响应：
xc (t) 1
e nt
1 2
sin(n
1 2 t ) , arctan
WB (s)
X c (s) X r (s)
(1
1 K)s
1
1 Ts 1
式中：T 1 k , 称为时间常数。
3.2.2 单位阶跃响应函数：
X r (s) 1 s
11
Xc
(s)
Ts
1
s
,
xc (t)
L1[ 1 Ts 1
1] s
L1[ 1 s
s
1
1
]
1
t
eT
T
xc (t ) xss xtt
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6 0.4 0.2
0 0
246
nt
8 10 12
⒊ 当 1时，特征方程有一对相等的负实根，称为临界阻尼
系统，系统的阶跃响应为非振荡过程。
➢当 1 时，
阶跃响应曲线为：
xc
(s)
1 s
s2
n2 2n s
n2
n2 s(s n )2
1 1 n s s n (s n )2
1 )( s
T1
1 T2
)
式中
T1
1 a
n (
1
2
1)
自动控制原理第3章
间常数“T”。
12
一阶系统分析
3、单位抛物线响应
y(t)的特点：
y(t)1t2T tT2(1eT t) t0 2
输入与输出之间存在误差为无穷大，这意味着一阶系
统是不能跟踪单位抛物线输入信号的。
4、单位脉冲响应
t
y(t)TeT t0
当 t时， y()0
13
一阶系统分析
对一阶系统典型输入响应的两点说明： 1、输入信号为单位抛物线信号时，输出无法跟踪输入 2、三种响应之间的关系：
38
稳定性分析及代数判据
劳斯判据：
系统稳定的必要条件：特征方程所有系数均为正。
系统稳定的充分条件：特征方程所有系数组成劳斯表，其第 一列元素必须为正。
具体步骤：
1、先求出系统的特征方程
a n S n a n 1 S n 1 a 1 S a n0
注意：
(1) s要降阶排列 (2) 所有系数必须大于0
阶跃响应：
p 2 j1 2 n
Y sss22 n2 n s n2A s1s2 A 2 2 s n s A 3 n
yt 11 12e n t sin 1 2n t
y(t)
ξ=0.3
1
ξ=0.5
20
0
t
二阶系统分析
3、临界阻尼( =1 )
特征根
p1,2 n
阶跃响应：
yt 1 e n t1 n t
42
稳定性分析及代数判据
解：系统闭环特征方程为 s36s25sK0
列劳斯表
s3
1
5
s2
6
K
s 30 K 0
6
s0
K
稳定必须满足
30 K 0 6
12
一阶系统分析
3、单位抛物线响应
y(t)的特点：
y(t)1t2T tT2(1eT t) t0 2
输入与输出之间存在误差为无穷大，这意味着一阶系
统是不能跟踪单位抛物线输入信号的。
4、单位脉冲响应
t
y(t)TeT t0
当 t时， y()0
13
一阶系统分析
对一阶系统典型输入响应的两点说明： 1、输入信号为单位抛物线信号时，输出无法跟踪输入 2、三种响应之间的关系：
38
稳定性分析及代数判据
劳斯判据：
系统稳定的必要条件：特征方程所有系数均为正。
系统稳定的充分条件：特征方程所有系数组成劳斯表，其第 一列元素必须为正。
具体步骤：
1、先求出系统的特征方程
a n S n a n 1 S n 1 a 1 S a n0
注意：
(1) s要降阶排列 (2) 所有系数必须大于0
阶跃响应：
p 2 j1 2 n
Y sss22 n2 n s n2A s1s2 A 2 2 s n s A 3 n
yt 11 12e n t sin 1 2n t
y(t)
ξ=0.3
1
ξ=0.5
20
0
t
二阶系统分析
3、临界阻尼( =1 )
特征根
p1,2 n
阶跃响应：
yt 1 e n t1 n t
42
稳定性分析及代数判据
解：系统闭环特征方程为 s36s25sK0
列劳斯表
s3
1
5
s2
6
K
s 30 K 0
6
s0
K
稳定必须满足
30 K 0 6
《自动控制原理》第三章自动控制系统的时域分析和性能指标
i1 n
]
epjt
j
(spj)
j1
j1
limc(t) 0的充要条件是 p j具有负实部
t
二.劳斯(Routh)稳定判据
闭环特征方程
a nsn a n 1 sn 1 a 1 s a 0 0
必要条件
ai0. ai0
劳斯表
sn s n1 s n2
| | |
a a n
n2
a a n 1
n3
b1 b2
或：系统的全部闭环极点都在复数平面的虚轴上左半部。
m
设闭环的传递函数：
(s)
c(s) R(s)
k (s zi )
i 1 n
(s p j )
P j 称为闭环特征方程的根或极点 j1
n
(s pj ) 0 称为闭环特征方程
j1
若R(s)=1,则C(s)= s m
k (szi)
n
c(t)L1[c(s)]L1[
t 3、峰值时间 p
误差带
4 、最大超调量
%
C C ( )
% max
100 %
C ( )
ts
5 、调节时间
ts
(
0 . 05
0
.
02
)
6、振荡次N数
e e 7、稳态误差 ss
1C()(对单位阶跃) 输入
ss
第三节 一阶系统的动态性能指标
一.一阶系统的瞬态响应
R(s) -
K0 T 0S 1
s5 | 1 3 2
s4 | 1 3 2
s3 | 4 6
s2
|
3 2
2
s1
|
2 3
s0 | 2
自动控制原理课后答案第3章
第3章 控制系统的时域分析【基本要求】1. 掌握时域响应的基本概念，正确理解系统时域响应的五种主要性能指标；2. 掌握一阶系统的数学模型和典型时域响应的特点，并能熟练计算其性能指标和结构参数；3. 掌握二阶系统的数学模型和典型时域响应的特点，并能熟练计算其欠阻尼情况下的性能指标和结构参数；4. 掌握稳定性的定义以及线性定常系统稳定的充要条件，熟练应用劳斯判据判定系统稳定性；5. 正确理解稳态误差的定义，并掌握系统稳态误差、扰动稳态误差的计算方法。
微分方程和传递函数是控制系统的常用数学模型，在确定了控制系统的数学模型后，就可以对已知的控制系统进行性能分析，从而得出改进系统性能的方法。
对于线性定常系统，常用的分析方法有时域分析法、根轨迹分析法和频域分析法。
本章研究时域分析方法，包括简单系统的动态性能和稳态性能分析、稳定性分析、稳态误差分析以及高阶系统运动特性的近似分析等。
根轨迹分析法和频域分析法将分别在本书的第四章和第五章进行学习。
这里先引入时域分析法的基本概念。
所谓控制系统时域分析方法，就是给控制系统施加一个特定的输入信号，通过分析控制系统的输出响应对系统的性能进行分析。
由于系统的输出变量一般是时间t 的函数，故称这种响应为时域响应，这种分析方法被称为时域分析法。
当然，不同的方法有不同的特点和适用范围，但比较而言，时域分析法是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法，具有直观、准确的优点，并且可以提供系统时间响应的全部信息。
3.1 系统的时域响应及其性能指标为了对控制系统的性能进行评价，需要首先研究系统在典型输入信号作用下的时域响应过程及其性能指标。
下面先介绍常用的典型输入信号。
3.1.1 典型输入信号由于系统的动态响应既取决于系统本身的结构和参数，又与其输入信号的形式和大小有关，而控制系统的实际输入信号往往是未知的。
为了便于对系统进行分析和设计，同时也为了便于对各种控制系统的性能进行评价和比较，需要假定一些基本的输入函数形式，称之为典型输入信号。
自动控制理论时域分析2--二阶系统
c ( tP) c ( ) M 100 % P c ( )
4．调整时间 t s（又称过渡过程时间） ：响应曲线达到并 保持与稳态值之差在预定的差值△内（又叫误差带 ）所 需要的时间。一般△取±2%或±5%。
二、二阶系统的动态响应性能指标 （1）峰值时间 t P
因为
c (t ) 1 e nt 1
2
sin( d t )
t n p d
dc ( t ) dt
d p
0
ttp
e sin( t ) e cos( t ) 0
t n p n d p
整理得：
tg ( ) dtp
12
p t p 0, ,2 ,3
n
0 Re
s1
s2
0
Re
s2
s1
0
Re
0
Re
s2
(a) 0 1 (b) 1 (c) 1 (d) 0
特征根为：共扼复数 特征根为：
相等实数
不等实数
共扼虚数
1．欠阻尼情况 :
( 0 1 )
2
s n 1 1 , 2 n
s j 1 , 2 n d
c ( t) 1 cos t n
c (t )
( 0)
(t 0)
2
1
0
t
这是一条等幅振荡曲线。
( 0)
c (t )
1
c (t ) r (t )
2
1
1
c (t )
0
t
0
t
( 0 1 )
1
r (t )
4．调整时间 t s（又称过渡过程时间） ：响应曲线达到并 保持与稳态值之差在预定的差值△内（又叫误差带 ）所 需要的时间。一般△取±2%或±5%。
二、二阶系统的动态响应性能指标 （1）峰值时间 t P
因为
c (t ) 1 e nt 1
2
sin( d t )
t n p d
dc ( t ) dt
d p
0
ttp
e sin( t ) e cos( t ) 0
t n p n d p
整理得：
tg ( ) dtp
12
p t p 0, ,2 ,3
n
0 Re
s1
s2
0
Re
s2
s1
0
Re
0
Re
s2
(a) 0 1 (b) 1 (c) 1 (d) 0
特征根为：共扼复数 特征根为：
相等实数
不等实数
共扼虚数
1．欠阻尼情况 :
( 0 1 )
2
s n 1 1 , 2 n
s j 1 , 2 n d
c ( t) 1 cos t n
c (t )
( 0)
(t 0)
2
1
0
t
这是一条等幅振荡曲线。
( 0)
c (t )
1
c (t ) r (t )
2
1
1
c (t )
0
t
0
t
( 0 1 )
1
r (t )
第三章 控制系统的时域分析—2二阶系统时域分析
s
2 n
1
s
L1
A0 s
s
A1 s1
s
A2 s2
s2 s1
其 中A0 s C(s) s0 1A1 , A2自 己 求
8
c t
1
A1e s1t
A2e s2t
1
s2
1 s1
s1e s2t s2e s1t
❖单调过程，无超调， 大，内耗大，无法维持能量交换，即
二阶系统的时域响应
快
稳
准
动态性能分析 tr,td,tp,ts,s%
稳定性分析 稳态性能分析
Routh判据
ess
二阶系统的基本性质及结论
2
3-3 二阶系统的时域分析
二阶系统：以二阶微分方程作为运动方程的控制系统。 1 二阶系统的数学模型
一伺服系统，系统框图如下：
R(s) E(s)
K
C(s)
- sTms 1
振荡角频率”
10
(s)
s2
1 2 01s
1
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20
11
❖临界阻尼下单位阶跃响应 1 1
r(t) 1(t) , R(s) 1 s
s1 s2 n
s1 s2
C(s) n2 1 1 n 1
K Tm
n－自然频率（或无阻尼振荡频率）
2
n
1 Tm
1
2 Tm K
－阻尼比（相对阻尼系数）
二阶系统的闭环特征方程为:
s2 2ns n2 0
2 n
1
s
L1
A0 s
s
A1 s1
s
A2 s2
s2 s1
其 中A0 s C(s) s0 1A1 , A2自 己 求
8
c t
1
A1e s1t
A2e s2t
1
s2
1 s1
s1e s2t s2e s1t
❖单调过程，无超调， 大，内耗大，无法维持能量交换，即
二阶系统的时域响应
快
稳
准
动态性能分析 tr,td,tp,ts,s%
稳定性分析 稳态性能分析
Routh判据
ess
二阶系统的基本性质及结论
2
3-3 二阶系统的时域分析
二阶系统：以二阶微分方程作为运动方程的控制系统。 1 二阶系统的数学模型
一伺服系统，系统框图如下：
R(s) E(s)
K
C(s)
- sTms 1
振荡角频率”
10
(s)
s2
1 2 01s
1
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20
11
❖临界阻尼下单位阶跃响应 1 1
r(t) 1(t) , R(s) 1 s
s1 s2 n
s1 s2
C(s) n2 1 1 n 1
K Tm
n－自然频率（或无阻尼振荡频率）
2
n
1 Tm
1
2 Tm K
－阻尼比（相对阻尼系数）
二阶系统的闭环特征方程为:
s2 2ns n2 0
第三章-控制系统的时域分析2(第五讲)
s0
10>0
分析:第一列元素变பைடு நூலகம்两次,有两个有正实部的根,不稳定。
第七节 控制系统的稳定性与代数判据
(4)劳斯表计算时零元素的处理 (二)某一行元素全为零时（上两行元素相等或成比例） 处理: 用上一行元素构成辅助多项式并求导，用新多项 式系数替代原为零行元素
例: s6+2s5+8s4+12s3+20s2+16s+16=0
第八节 控制系统的 稳态误差分析及误差系数
2). 稳定误差的定义和计算
E(s) R(s) G1(s) D(s) G2(s) H(s) Y(s)
B(s)
ess lim e (t ) lim sE ( s )
t s0
e (t ) r (t ) b (t ) e (t ) r (t ) y (t ) 当 H (s) 1
b2 s b1
2
s s pi s 2 k nk s nk
2 i 1 k 1
2
部分分式法：
Y (s) a s
q
j 1
aj s pj
r
k 1
bk ( s k nk ) ck nk 1 k s 2 k nk s nk
1 e
nt
1 nt
n t
负临界阻尼=-1
将各种阻尼下的阶跃响应归纳为：
y (t ) 1 e
0
特征根与单位阶跃响应示意图 s2+2ns+n2=0
y (t ) 1 e
n t
s1,2 = - nn(2-1)
自动控制理论时域分析2-二阶系统
案例二：二阶系统稳定性分析与改善
稳定性分析方法
介绍时域分析法中的劳斯判据、赫尔维茨判据等方法，用于判断二 阶系统的稳定性。
改善稳定性措施
探讨通过改变系统参数、引入附加环节等措施来改善二阶系统的稳 定性。
仿真验证
利用MATLAB/Simulink等仿真工具对改善前后的二阶系统进行建模 和仿真，验证改善措施的有效性。
CHAPTER
二阶线性常微分方程
二阶线性常微分方程的一般形式： $Tfrac{d^2y}{dt^2} + frac{dy}{dt} + Ky = F(t)$
方程的解由输入信号 $F(t)$ 和系统初 始条件共同决定
其中，$T$ 为时间常数，$K$ 为放大 系数，$F(t)$ 为输入信号
二阶系统的传递函数
二阶系统稳定性的判定方法
二阶系统的稳定性可以通 过判断其阻尼比和自然频 率来确定。
当阻尼比大于1时，系统是 过阻尼的，输出会缓慢地趋 近于零，系统是稳定的。
当阻尼比等于1时，系统是临 界阻尼的，输出会以最快的速 度趋近于零，系统也是稳定的 。
当阻尼比等于0时，系统是无 阻尼的，输出会呈现等幅振荡 的形式，系统是不稳定的。
谢谢
THANKS
二阶系统的基本概念
01
二阶系统是指具有两个独立状态变量的线性定常系统，其数学 模型可用二阶常微分方程描述。
02
二阶系统具有广泛的代表性，许多实际系统可简化为二阶系统
进行分析。
二阶系统的性能指标包括阻尼比、自然频率、峰值时间、超调
03
量等，这些指标对于评价系统性能具有重要意义。
02 二阶系统的数学模型
当阻尼比小于1时，系统是欠 阻尼的，输出会呈现振荡衰减 的趋势，系统仍然是稳定的。
控制系统时域分析法
（四）脉冲信号 单位脉冲信号旳体现式为： (3.4) 其图形如图3-4所示。是一宽度为e ，高度为1／e 旳矩形脉冲，当e 趋于零时就得理想旳单位脉冲信号(亦称d(t) 函数)。 (3.5)
3. 上升时间tr——它有几种定义： (1) 响应曲线从稳态值旳10%到90%所需时间； (2) 响应曲线从稳态值旳5%到95%所需时间； (3) 响应曲线从零开始至第一次到达稳态值所需旳时间。 一般对有振荡旳系统常用“(3)”，对无振荡旳系统常用“(1)”。4. 峰值时间tp——响应曲线到达第一种峰值所需旳时间，定义为峰值时间。 5. 调整时间ts——响应曲线从零开始到进入稳态值旳95%~105%（或98%~102%）误差带时所需要旳时间，定义为调整时间。
由式(3.9)，很轻易找到系统输出值与时间常数T旳相应关系：从中能够看出，响应曲线在经过3T（5%误差）或4T（2%误差）旳时间后进入稳态。
t = T， c(1T) = 0.632 c(∞)t = 2T， c(2T) = 0.865c(∞)t = 3T， c(3T) = 0.950c(∞)t = 4T， c(4T) = 0.982c(∞)
下面分别对二阶系统在0< z <1，z =1，和z >1三种情况下旳阶跃响应进行讨论。 1. 0<z <1，称为欠阻尼情况 按式(3.14)，系统传递函数可写为 GB(s)= (3.17) 它有一对共轭复数根 (3.18) 式中 称为有阻尼振荡频率。
假如系统响应曲线以初始速率继续增长，如图3-9中 旳c1(t)所示，T还可定义为c1(t)曲线到达稳态值所需要 旳时间。
(3.13)
所以
当t= T时，c1(t)曲线到达稳态值，即
所以
（二）二阶系统旳阶跃响应 在工程实际中，三阶或三阶以以上旳系统，常能够近似或降阶为二阶系统处理。
控制系统的时域分析_一二阶时间响应
1 A
2 At 拉氏变换为： R( s )＝L 2 s3
图3-2c 加速度信号
该实验信号相当于控制系统中加入一按恒加速度变化 的信号，加速度为A。当A＝1时，称为单位加速度函数。
内蒙古工业大学 机械学院
第3章 控制系统时域分析
4．脉冲信号
脉冲函数如右图所示，定义为
1 , r (t ) h 0, 0 t h t 0, t h
•其中： T — 时间常数；ωn—自然频率； —阻尼比；
1 n T
内蒙古工业大学 机械学院
第3章 控制系统时域分析
方块图
R(s)
G(S )
C(s)
-
G(S)=
(S )
2 n 1 s ( s 2n )
s ( s 2n )
2 n
?
G( S ) S (S 2n )
传递函数:
U c ( s) 1 ( s) U r (s) LCs 2 RCs 1
内蒙古工业大学 机械学院
第3章 控制系统时域分析
2、标准形式
微分方程
2 d c(t ) dc(t ) 2 T 2 T c(t ) r (t ) 2 dt dt
传递函数
2 C ( s) 1 n 2 ( s) 2 2 2 R( s) T s 2 Ts 1 s 2n s n
dc( t ) c( t ) r ( t ) dt
E(s) G(S)
i(t) R
ur (t )
C
uc (t )
T
C ( s) 1 R( s ) Ts 1
C(s)
R(s)
-
G(S)= ?
2 At 拉氏变换为： R( s )＝L 2 s3
图3-2c 加速度信号
该实验信号相当于控制系统中加入一按恒加速度变化 的信号，加速度为A。当A＝1时，称为单位加速度函数。
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第3章 控制系统时域分析
4．脉冲信号
脉冲函数如右图所示，定义为
1 , r (t ) h 0, 0 t h t 0, t h
•其中： T — 时间常数；ωn—自然频率； —阻尼比；
1 n T
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第3章 控制系统时域分析
方块图
R(s)
G(S )
C(s)
-
G(S)=
(S )
2 n 1 s ( s 2n )
s ( s 2n )
2 n
?
G( S ) S (S 2n )
传递函数:
U c ( s) 1 ( s) U r (s) LCs 2 RCs 1
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第3章 控制系统时域分析
2、标准形式
微分方程
2 d c(t ) dc(t ) 2 T 2 T c(t ) r (t ) 2 dt dt
传递函数
2 C ( s) 1 n 2 ( s) 2 2 2 R( s) T s 2 Ts 1 s 2n s n
dc( t ) c( t ) r ( t ) dt
E(s) G(S)
i(t) R
ur (t )
C
uc (t )
T
C ( s) 1 R( s ) Ts 1
C(s)
R(s)
-
G(S)= ?
自动控制原理第三章二阶系统
1. ζ >1 过阻尼
1 T
e-t/T
c(t)=1-e-t/T
r(t)=t
c(t)=t-T+Te-t/T
可知: 系统输入信号导数的输出响应，等 于该输入信号输出响应的导数；根据一种 典型信号的响应，就可推知于其它。
自动控制原理第三章二阶系统
第二节 一阶系统性能分析
设例ФKk(若=s一 调 t)=s1要=阶 节000CR求系 时.1((ss:sK统 间))，=H的t=求1s+0结（反t1.11s0构0±=馈000•如/5K.系S1%HR图/s(数Ss）)，。；=试(_E如0(求.则s0果)11系://K要KKS统HkH求)的S+C1(s) 解Ф：(系s)统=t s=闭CR3((T环ss=))传=3×1递+K01H1函.000=010数0•/./0K3S.1H/=SK0k .=K1HT0.s=11S00K+.0H11/KH
有性任何着 能=二对 指S2阶应 标+GR系(的 与sS1)/=统/L关 其L+CUU的1系 参rc(/(ssL动))C数。=态L间求C=性S的出2能S+2关标R+1指C2系准Sζω标+ω形，1n。2n 式S便+ω的可n动求2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
态 得
2ζ ω n=R/L
得：
ω
2 n
=
1/LC
ω n=1/ LC
ζ=
RC 2L
一阶系统ts =单3位T 阶跃响应:
(±R5%(s))=
1 S
C(s)= tФs =(s4)•TS1
=
1 TS+1
•
1S(=±1S2%- S)+11/T
控制系统的时域分析
L-1
1 s3
其中：A
-
[
T +T2 s2 s
1 s3( Ts
- T3 Ts + 1
1 ) s3 ]s=0
1
1 2
t2
- Tt + T 2 - T 2e -t/T
d
1
B ds [ s3(Ts 1 )
s3
]s=0
T
s1,2,3 0
C
1 {
( 3 1 )
d 31 ds 31
[
1 s3( Ts 1 )
=- 1 T
s(Ts
+
1)
(Ts
+
1)
p2
=
-
1 T
=
1
= -T
红河学院自动化系
T
自动控制原理
单位阶跃
慣性
拉氏反变换：
c(t) = L-1 C(s)
=
L-1
1 s
-
s
1 + 1/T
=
1
-
-t
eT
一阶系统没有超调，
c(t)
系统的动态性能指标为 调节时间:
ts = 3T (±5%)
单位阶跃响应曲线
一、时域分析法及其特点
时域分析法——控制系统在一定输入作用下，根 据输出量的时域表达式，分析系统的稳定性、瞬 态过程性能和稳态误差。 特点：
(1) 直接在时间域中对系统进行分析校正，直观、 准确； (2) 可以提供系统时间响应的全部信息； (3) 基于求解系统输出的解析解，比较烦琐。
红河学院自动化系
自动控制原理
二、常用的典型输入信号
红河学院自动化系
自动控制原理 三、线性系统时域性能指标 总要求
自动控制原理第3章总结
一阶系统特点：
1. 响应曲线在[0，） 的时间区间中始终不会超过其稳态值，把这样的响
应称为非周期响应。无振荡 2.一阶系统的单位阶跃响应是一条初始值为0，以指数规律上升到终值1的
曲线。 3. ※实验中求取时间常数的方法--输出响应为0.632时对应的时间。 4.一阶系统可以跟踪单位阶跃信号，因为无稳态误差。
Td
n
2 1 2
ln( 1 )
p
2 (ln 1 )2
p
ts
3.5
n
ts
4.4
n
2.2 1 2
N
, 0.02
1.75 1 2
N
, 0.05
3-3 二阶系统的时域分析
3.3.4 二阶系统的动态性能指标 总结：
c(t) 1
1
1 2
ent
sin(dt ), t
0
c(t)
% e 1 2 100%
n s1j
j
j n 1 2
s1
0
s2
s1,2 j n (d) 0
0
j n 1 2
n
s2
s1,2 n j n 1 2
(e) 1 0
j
s1
s2
0
s1,2 n n 2 1 (c) 1
j
s1
s2
0
s1,2 n n 2 1
(f ) 1
3-3 二阶系统的时域分析来自s2 2n s n2 R C
2L
3-3 二阶系统的时域分析
3.3.1 二阶系统的数学模型
标准化二阶系统的结构图为：
R(s)
+﹣
n2
C(s)
s(s+2ξn)
n2
武汉理工大学控制工程第三章时域分析法
跃函数；后两项是瞬态响应，因系统极点具有负实部，随着时间的增加 将逐渐衰减为零。极点距s平面虚轴越远衰减越快。
结论：系统极点决定了系统瞬态响应的特性。
系统的零点对响应的影响
例2
已知两个系统的传递函数
G1 (s)
4s 2 s 2 3s
2
单位阶跃响应分别为
y1 (t) 1 2et 3e2t
1
2 k
s2
2
k nk
s
2 nk
通过拉氏
反变换，输出
q
r
c(t) A0
Aje pjt
Bk e knkt cos nk
1
2 k
t
j 1
k 1
响应可表示为：
r
Ck e knkt sin nk
1
2 k
t
t0
k 1
1. 闭环主导极点
当某极点（一对共轭极点）离虚轴很 近，其余极点实部之模大于该极点（该对 共轭极点）实部模的5倍以上时，则其他极 点对应的响应持续时间很短，系统输出响 应可以近似地视为该极点（该对共轭极点） 所产生，其余极点对应的响应可以忽略不 计。该极点（该对共轭极点）称为系统的 闭环主导极点。据此，假如闭环主导极点 附近没有闭环零点时，可以消去其他远极 点而实现对系统的降阶。须注意保持系统 稳态增益不变。
T2
-
0.368
1 T2
-0.135
1 T2
输入的响应达到稳态值的 98%所对应的时间为系统 的过渡过程时间，为4T。
一阶系统对单位脉冲
4T
0.018
1 T
-0.018
1 T2
输入的响应达到初始值的 2%所对应的时间为系统
0
0
结论：系统极点决定了系统瞬态响应的特性。
系统的零点对响应的影响
例2
已知两个系统的传递函数
G1 (s)
4s 2 s 2 3s
2
单位阶跃响应分别为
y1 (t) 1 2et 3e2t
1
2 k
s2
2
k nk
s
2 nk
通过拉氏
反变换，输出
q
r
c(t) A0
Aje pjt
Bk e knkt cos nk
1
2 k
t
j 1
k 1
响应可表示为：
r
Ck e knkt sin nk
1
2 k
t
t0
k 1
1. 闭环主导极点
当某极点（一对共轭极点）离虚轴很 近，其余极点实部之模大于该极点（该对 共轭极点）实部模的5倍以上时，则其他极 点对应的响应持续时间很短，系统输出响 应可以近似地视为该极点（该对共轭极点） 所产生，其余极点对应的响应可以忽略不 计。该极点（该对共轭极点）称为系统的 闭环主导极点。据此，假如闭环主导极点 附近没有闭环零点时，可以消去其他远极 点而实现对系统的降阶。须注意保持系统 稳态增益不变。
T2
-
0.368
1 T2
-0.135
1 T2
输入的响应达到稳态值的 98%所对应的时间为系统 的过渡过程时间，为4T。
一阶系统对单位脉冲
4T
0.018
1 T
-0.018
1 T2
输入的响应达到初始值的 2%所对应的时间为系统
0
0
自动控制原理 第3章时域分析
该曲线的特点是：在t＝0处曲线的斜率最大，其值为 1/T。若系统保持初始响应的变化率不变，则当t＝T时输出 就能达到稳态值，而实际上只上升到稳态值的63.2%，经过 4T的时间，响应达到稳态值的98％。显然，时间常数T反映 了系统的响应速度。
16
1)暂态性能指标 tr＝2.2T (按第二种定义) ts＝4T (Δ＝±2%) 2)稳态性能指标
ess
lim[r(t)
t
c(t)]
0
17
3.2.3 单位脉冲响应
对于单位脉冲输入r(t)＝δ(t)，R(s)＝1，于是
C(s)
1 Ts 1
1 T
s
1 1
T
因此
(3-7)
g(t)
c(t)
1
t
eT
(t 0)
(3-8)
T
18
响应曲线如图3-5所示。该曲线在t＝0时等于1/T，正好 与单位阶跃响应在t＝0时的变化率相等，这表明单位脉冲响 应是单位阶跃响应的导数，而单位阶跃响应是单位脉冲响
3
3.1 控制系统的时域性能指标
评价一个系统的优劣，总是用一定的性能指标来衡量。
系统的时域性能指标是根据系统的时间响应来定义的。
控制系统的时间响应通常分为两部分：稳态响应和暂
态响应。如果以c(t)表示时间响应，那么其一般形式可写为
c(t)＝css(t)＋ct(t)
式中：css(t)为稳态响应；ct(t)为暂态响应。
(3-1)
4
稳态响应由稳态性能描述，而暂态响应由暂态性能描 述。因此，系统的性能指标由稳态性能指标和暂态性能指 标两部分组成。
5
3.1.1 暂态性能指标
控制系统常用的输入信号有脉冲函数、阶跃函数、斜 坡函数、抛物线函数以及正弦函数等。通常，系统的暂态 性能指标是根据阶跃响应曲线来定义的，如图3-1所示。
16
1)暂态性能指标 tr＝2.2T (按第二种定义) ts＝4T (Δ＝±2%) 2)稳态性能指标
ess
lim[r(t)
t
c(t)]
0
17
3.2.3 单位脉冲响应
对于单位脉冲输入r(t)＝δ(t)，R(s)＝1，于是
C(s)
1 Ts 1
1 T
s
1 1
T
因此
(3-7)
g(t)
c(t)
1
t
eT
(t 0)
(3-8)
T
18
响应曲线如图3-5所示。该曲线在t＝0时等于1/T，正好 与单位阶跃响应在t＝0时的变化率相等，这表明单位脉冲响 应是单位阶跃响应的导数，而单位阶跃响应是单位脉冲响
3
3.1 控制系统的时域性能指标
评价一个系统的优劣，总是用一定的性能指标来衡量。
系统的时域性能指标是根据系统的时间响应来定义的。
控制系统的时间响应通常分为两部分：稳态响应和暂
态响应。如果以c(t)表示时间响应，那么其一般形式可写为
c(t)＝css(t)＋ct(t)
式中：css(t)为稳态响应；ct(t)为暂态响应。
(3-1)
4
稳态响应由稳态性能描述，而暂态响应由暂态性能描 述。因此，系统的性能指标由稳态性能指标和暂态性能指 标两部分组成。
5
3.1.1 暂态性能指标
控制系统常用的输入信号有脉冲函数、阶跃函数、斜 坡函数、抛物线函数以及正弦函数等。通常，系统的暂态 性能指标是根据阶跃响应曲线来定义的，如图3-1所示。
自动控制原理(第三版)(章 (3)
s1,2 jn
此时, s1, s2如图3-7(d)所示。
第三章 线性系统的时域分析法
3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应
令r(t)=1(t), 则有R(s)=1/s。所以, 由式(3.15)可得二 阶系统在单位阶跃函数作用下输出信号的拉氏变换为
C(s)
n2
1
s2 2ns n2 s
(3.19)
应曲线如图3-2所示。图中 c() lim c(t) t
为输出的稳态值。
第三章 线性系统的时域分析法 图 3-2 动态性能指标
第三章 线性系统的时域分析法
动态性能指标通常有以下几种：
延迟时间td：指响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时 间。
上升时间tr：若阶跃响应不超过稳态值, 上升时间指响应曲 线从稳态值的10%上升到90%所需的时间；对于有振荡的系统, 上升 时间定义为响应从零第一次上升到稳态值所需的时间。上升时间越 短, 响应速度越快。
调量σp可由下式确定:
p
c(tp ) c() c()
100 %
(3.8)
振荡次数N：在0≤t≤ts内, 阶跃响应曲线穿越稳态值c(∞) 次数的一半称为振荡次数。
上述动态性能指标中, 常用的指标有tr、ts和σp。上升时 间tr评价系统的响应速度；σp评价系统的运行平稳性或阻尼程度； ts是同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。应当指出, 除简 单的一、二阶系统外, 要精确给出这些指标的解析表达式是很困难 的。
第三章 线性系统的时域分析法
3.2.2 一阶系统的单位脉冲响应 如果输入信号为理想单位脉冲函数 r(t)=δ(t), R(s)=1
输出量的拉氏变换与系统的传递函数相同, 即
C(s) 1 Ts 1
此时, s1, s2如图3-7(d)所示。
第三章 线性系统的时域分析法
3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应
令r(t)=1(t), 则有R(s)=1/s。所以, 由式(3.15)可得二 阶系统在单位阶跃函数作用下输出信号的拉氏变换为
C(s)
n2
1
s2 2ns n2 s
(3.19)
应曲线如图3-2所示。图中 c() lim c(t) t
为输出的稳态值。
第三章 线性系统的时域分析法 图 3-2 动态性能指标
第三章 线性系统的时域分析法
动态性能指标通常有以下几种：
延迟时间td：指响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时 间。
上升时间tr：若阶跃响应不超过稳态值, 上升时间指响应曲 线从稳态值的10%上升到90%所需的时间；对于有振荡的系统, 上升 时间定义为响应从零第一次上升到稳态值所需的时间。上升时间越 短, 响应速度越快。
调量σp可由下式确定:
p
c(tp ) c() c()
100 %
(3.8)
振荡次数N：在0≤t≤ts内, 阶跃响应曲线穿越稳态值c(∞) 次数的一半称为振荡次数。
上述动态性能指标中, 常用的指标有tr、ts和σp。上升时 间tr评价系统的响应速度；σp评价系统的运行平稳性或阻尼程度； ts是同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。应当指出, 除简 单的一、二阶系统外, 要精确给出这些指标的解析表达式是很困难 的。
第三章 线性系统的时域分析法
3.2.2 一阶系统的单位脉冲响应 如果输入信号为理想单位脉冲函数 r(t)=δ(t), R(s)=1
输出量的拉氏变换与系统的传递函数相同, 即
C(s) 1 Ts 1
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r(t) 1(t) , R(s) 1
(s)
s2
n2 s 2ns n2
n2 s2 n2
s1 n
0
s2
C(s)
n2 s2 n2
1 s
1 s
s2
s n2
c(t
)
L1Cs
L1
1 s
s
2
s
n2
1
c
osnt
当 0时，二阶系统的单位阶跃响应是振幅为1的等幅
振荡，其振荡频率为n ，所以，称 n 为“无阻尼自然
2
dt tg1
1 2 k
x
arctan x arctgx tg1x ,
2 2
2
27
dt arctan
1 2 k
arctan 1 2
dtp 0, ,2 ,
1
1 2
tp为输出响应达到的第一个峰值所对应的时间，
所以应取k＝1，于是
tp
d
n
1 2
>
tr
tr
n
1 2
d
cos ,一定，即一定 当n d tr ,即响应速度越快
26
(3) tp（峰值时间）
c(t) 1
1
1
2
ent
sindt
对上式求导，并令其为零，即 dct 0
1
1
2
nent
s in(d t
)
1
1
dt
2 d
ent
c os (d t
)
0
tg(d t
)
d n
1 2
5
n 1 2
1 0 s1
n
n 1 2
s2
s1,2 n n 2 1
1 s1
s1 n n 2 1
0 1 n 1 2
s1 s2
n
s2 n n 2 1 s2
n 1 2
s1 n
0
s1 s2 n
1
1 s1 n n 2 1
n
s1 s2
s2
s2 n n 2 1
闭环极点分布图
s
n2
0
等自然振荡角频率线
18
c(t) 1
ent
1 2
sin
n
1 2t
表明二阶欠阻尼系统在单位阶跃函数作用下，稳态分量 为1，瞬态分量为阻尼正弦振荡项，其振荡频率为
d ——阻尼振荡频率
问： s n 为什么叫“衰减指数”？
答：包络线 1 ent 1 2 决定系统的收敛速度，
所以称 ent 为“衰减因子”，称 n 为衰减指数。
1 2
sin n
1 2t
t0
17
s1,2 n jn 1 2 x jy
x2 y2 n 2 n
2
1 2
x2 y2 n2
arcsin 1 2 arccos arctan 1 2 等阻尼线 cos
j s1
d
n
s
n
0
等自然振荡角频率线
1 n3 2 3
j
n1 3 2 1 n3 n2 n1
n 1 2
14
Cs
s2
n2 2 n s
n2
1 s
1 s
s
s n
n 2 d2
s
n
n 2
d2
1 s
s
s n
n 2 d2
n d
s
d
n 2
d2
L e-atcost
s
sa
a2 2
L eat sin t
s a2 2
c(t ) 1 ent cosd t
振荡角频率”
10
(s)
s2
1 2 01s
1
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
24Leabharlann 68 10 12 14 16 18 20
11
❖临界阻尼下单位阶跃响应 1 1
r(t) 1(t) , R(s) 1 s
s1 s2 n
s1 s2
C(s) n2 1 1 n 1
s2
2 n
2 n s
2 n
1
s
L1
A0 s
s
A1 s1
s
A2 s2
s2 s1
其 中A0 s C(s) s0 1A1 , A2自 己 求
8
c t
1
A1e s1t
A2e s2t
1
s2
1 s1
s1e s2t s2e s1t
❖单调过程，无超调， 大，内耗大，无法维持能量交换，即
不能振荡。
❖ 较大时，即 1 时，系统可简化为一阶
s1
n
2 1 0
s2 n 2 1 2n
故当 较大时，s2 s1 ，此时c(t)表达式括号里的第一项要
比第二项衰减快的多，因此忽略括号里的第一项，此时
c t
1 1
s2 s1
s1es2t s2es1t
1 1
6
不难看出： 0 时，二阶系统的单位脉冲响应是 发散的，即系统是不稳定的； 0 时，二阶系统
的单位脉冲响应是收敛的，且趋于零平衡状态，即 系统是稳定的。 0 时，二阶系统的单位脉冲响
应是等幅振荡的，系统是不稳定的。 7
2 二阶系统的单位阶跃响应
❖过阻尼情况 1
s1 n n 2 1
dc(t ) dt
n 2ent
0
递增曲线
12
(s)
s2
1
2
1s
1
1, 2,10
1.2
1
1
0.8
2
0.6
0.4
10
0.2
0
0
5
10
15
20
25
30
13
❖欠阻尼情况0 1
二阶系统的闭环特征根为
s1
n
s1,2 n jn 1 2 s jd
n
s n ——衰减系数
s2
d n 1 2 n ——阻尼振荡频率
3-3 二阶系统的时域分析
二阶系统的重要性 典型性：工程上最具代表性，高阶系统在工程上常 可近似为二阶系统加以处理。 实用性：二阶系统的性能指标计算简单、精确，便 于工程上分析。
二阶系统的时域分析的主要研究内容
单位阶跃响应
过阻尼情况 无阻尼情况 临界阻尼情况 欠阻尼情况
1
二阶系统分析步骤
给定二阶系统 建立其数学模型
sin
n
1 2t
16
c t 1 ent ent 1 2
1 2 cosdt sin dt
s1
sin 1 2 arcsin 1 2
n
cos
arccos
tan 1 2 arctan 1 2
n
n 1 2
称 为阻尼角
s2
c(t) 1
e nt
二阶系统的时域响应
快
稳
准
动态性能分析 tr,td,tp,ts,s%
稳定性分析 稳态性能分析
Routh判据
ess
二阶系统的基本性质及结论
2
3-3 二阶系统的时域分析
二阶系统：以二阶微分方程作为运动方程的控制系统。 1 二阶系统的数学模型
一伺服系统，系统框图如下：
R(s) E(s)
K
C(s)
- sTms 1
s1
n
d n 1 2 n
左图表示欠阻尼二阶系
统各特征参量之间的关
系：衰减系数s 是闭环
极点到虚轴的距离；阻
尼振荡频率d 是闭环极
点到实轴的距离；自然
频率n 是闭环极点到原
点的距离。n 与负实轴
的夹角的余弦正好是阻
尼比 ，即
cos
s2
d n 1 2 故称 为阻尼角。
24
（1）td（延迟时间）
c(t) 1
1
1
2
e nt
sin(n
1 2 t arccos ), 1 0, t 0
或
ct 1
e 2 1 nt
e 2 1 nt
,
2 2 1( 2 1) 2 2 1( 2 1)
1, t 0
由于 0 所以指数因子具有正幂指数，因此，系统的动
态过程为发散的形式，从而表明 0 的二阶系统是不 稳定的，所以对于一个稳定的系统其阻尼比 一定是大 于零的。
s2 n n 2 1
二阶系统的闭环特征方程有两个不相等的负实根，传递函数：
(s)
C(s) R(s)
s2
n2 2ns n2
输入为阶跃函数 R(s) 1 时，则系统的输出量为：
C(s)
sR(s)
s s2
n2 2ns n2
1 s
c(t ) L1[C(s)] L1[sR(s)]
1
L1
n
(s n)2 s s (s n)2 s n
临界阻尼情况下的二阶系统的单位阶跃响应称为
临界阻尼响应
L1
s
1
an
n
11!t
e n1 at
c(t) 1 ntent ent 1 ent (1 nt), t 0
当 1 时，二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为1的
无超调单调上升过程。
判断依据：
超调量仅是阻尼比 的函数，而与自然频率 n 无关。阻 尼比 越大，超调量越小，为了保证既减小超调量又保持
一定的响应速度，工程上一般 0.4 ~ 0.8 30
,
0 1
一定，n td ,延迟时间越短
n一定， td ,延迟时间越短