复数计算习题
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习题一
1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数
π/4
3513;
;(2)(43);
71
1i i e
i i i i
i
-++++
++.
①解i
4πππe
cos i sin 442222-⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
②解：
()()
()()
35i 17i 35i 1613i 7i 1
1+7i 17i 25
25
+-+=
=-
+
+-
③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解：
()31i 1335=i i i 1i
2
22-+
-+
=-+
2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy )
(z a
a z a -∈+
); 33
3;;;.22n z i ⎝⎭⎝⎭
① ：∵设z =x +iy
则
()()()()()()()
2
2
i i i i i i x a y x a y x y a
x a y z a z a
x y a
x a y
x a y
-++-⎡⎤⎡⎤+--+-⎣⎦⎣⎦
=
=
=
+++++++ ∴
()222
22
R e z a x a y z a x a y
---⎛⎫
= ⎪+⎝⎭++,
()
2
2
2Im z a xy
z a x a y
-⎛⎫
=
⎪+⎝⎭
++．
②解： 设z =x +iy
∵()()()()()
()()()3
2
3
2
2
222
222
3
22
3
i i i 2i i 22i 33i
z x y x y x y x
y xy x y x x y
xy
y x y x y x xy x y y
=+=++=-++⎡⎤=--+-+⎣⎦=-+- ∴
()3
3
2
Re 3z
x
xy
=-,
()3
2
3
Im 3z
x
y y =-．
③解：
∵((
)(
){
}3
3
2
3
2111313188-+⎡
⎤⎡
⎤
==
--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣
⎦
⎝
⎭
()180i 18
=
+=
∴R e 12=⎝⎭
, Im 02=⎝⎭
． ④解：
∵()(
)((
)2
3
3
23
13131i 28
⎡
⎤
--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎣
⎦
=⎝⎭
()180i 18
=
+=
∴R e 12=⎝
⎭
, Im 02=⎝⎭
．
⑤解： ∵()()1,
2i 21
1i,
k n k
n k k n k ⎧-=⎪
=∈⎨
=+-⋅⎪⎩ ．
∴当2n k =时，()()R e i 1k
n
=-，()Im i 0n
=；
当21n k =+时，()R e i 0n =，()()Im i 1k
n =-．
3.求下列复数的模和共轭复数
12;
3;
(2)(32);
.2i i i i +-+-++
①解：2i -+==
2i 2i -+=--
②解：33-=
33-=-
③解：()(
)2i 32i 2i 32i ++=++==
()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i
++=+⋅+=-⋅-=-
④解：
1i 1i 2
2
2
++=
=
()1i 11i
222i ++-⎛⎫=
= ⎪⎝⎭
4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数．
证明：若z z =，设i z x y =+，
则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0 ∴z =x 为实数．
若z =x ，x ∈ ，则z x x ==． ∴z z =．
命题成立．
5、设z ,w ∈ ，证明： z w z w ++≤
证明∵()()()()2
z w z w z w z w z w +=+⋅+=++