复数计算习题

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复数练习题(有答案)百度文库(1)

一、复数选择题L 在复平面内，复数公（i 为虚数单位）对应的点的坐标为（） A. (3,4)B. (—4,3)C. -*2 .已知复数z =」一，其中i 为虚数单位，则lzl=() 1-z A. 1 B.旦 C. 72z 2 3 .复数z = i-（l + i ）在复平面上对应的点位于（） A.第一象限B.第二象限C.第三象限4 . i 是虚数单位，复数匕虫=（） *-Z A. -y/3-iB. -y/3+i c. V3-；5 .已知复数z= '〃— 为纯虚数，则实数加=< ）/A. -1B. 0C. 16 .若复数z 满足（l + i ）z = 3 + i （其中i 是虚数单位），复数z 的共挽复数为则（）A. Z 的实部是1B. Z 的虚部是1C.同=逐D.复数£在复平而内对应的点在第四象限7 .已知复数z （l + 2i ） = 3—i （其中i 是虚数单位），则z 在复平面内对应点在（） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限8 .已知i 为虚数单位，则复数 3 的虚部是（）3 + i 3 3. 1 1 . A. ---B. — — IC. ——D. — — /55559 .已知。

为正实数，复数1+5（i 为虚数单位）的模为2,则。

的值为（） A.B. 1C. 2D. 310 .已知复数z = |l+i|-i （i 为虚数单位），则2=（） A. 1B. -V2-ZC. y/2-iD. G + i11 .若复数z 满足z （2+i ） = U ，则复数z 的虚部为（）D. 2D.第四象限D. 6 + »D. 0或1H. ---D. -- 1l ・一5 5 5 12 .若复数？=匕°_,则Z =()3 + 4i4 3 2 A- -B. -C.一5 5513 .复数z = (2—i)(l + 2i),则z 的共聊复数彳=() A. 4 + 3iB. 3-4zc. 3 + 4i14 .复数z = 1-2，(其中/•为虚数单位)，则|z+3i|=()A. 5B, 72 C. 2D.庄15 .题目文件丢失！二、多选题16 . i 是虚数单位，下列说法中正确的有（） A,若复数Z 满足ze=O,则Z = OB.若复数&,均满足|马+马|=|。

复数练习题附答案

复数练习题附答案复数是数学中的一个基本概念，它拓展了实数的概念，允许我们处理像-1的平方根这样的数。

复数可以表示为a + bi的形式，其中a和b是实数，i是虚数单位，满足i^2 = -1。

下面是一些复数的练习题，以及它们的答案。

练习题1：计算以下复数的加法：\[ (3 + 4i) + (1 - 2i) \]答案1：首先分别将实部和虚部相加：\[ 3 + 1 = 4 \]\[ 4i - 2i = 2i \]所以，结果是 $ 4 + 2i $。

练习题2：计算以下复数的乘法：\[ (2 + 3i) \times (1 - 4i) \]答案2：使用分配律：\[ 2 \times 1 + 2 \times (-4i) + 3i \times 1 + 3i \times (-4i) \]\[ = 2 - 8i + 3i - 12i^2 \]由于 $ i^2 = -1 $，所以：\[ = 2 - 5i + 12 \]结果是 $ 14 - 5i $。

练习题3：求复数 $ z = 3 - 2i $ 的共轭复数。

答案3：共轭复数是将虚部的符号改变得到的数，所以：\[ \bar{z} = 3 + 2i \]练习题4：求复数 $ z = 2 + i $ 的模（magnitude）。

答案4：复数的模定义为：\[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \]其中 $ a $ 和 $ b $ 分别是复数的实部和虚部。

所以：\[ |2 + i| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \] 练习题5：求复数 $ z = 1 + i $ 的逆。

答案5：复数的逆通过公式 $ \frac{1}{z} =\frac{\bar{z}}{|z|^2} $ 计算。

首先求模：\[ |1 + i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \]然后求共轭复数：\[ \bar{z} = 1 - i \]最后求逆：\[ \frac{1}{1 + i} = \frac{1 - i}{2} \]因为 $ |1 + i|^2 = 2 $。

复数的四则运算同步练习题

复数的四则运算同步练习题一、选择题1．若复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z 等于 ( D )A ．0B ．2iC ．6D ．6－2i2．复数i ＋i 2在复平面内表示的点在( B )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．复数z 1＝3＋i ，z 2＝－1－i ，则z 1－z 2等于( C )A ．2B ．2＋2iC ．4＋2iD ．4－2i4．设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( D )A ．1＋iB ．2＋IC ．3D ．－2－i5．已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z 等于( B )A ．－3iB ．3iC ．±3iD ．4i6．复数－i ＋1i等于( A ) A ．－2i i C ．0 D ．2i7． i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7等于( A ) A ．0 B ．2i C ．－2i D ．4i8．若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( D )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝－1，b ＝－1D ．a ＝1，b ＝－19．在复平面内，复数i 1＋i＋(1＋3i)2对应的点位于( B ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限10．设复数z 的共轭复数是z ，若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于( A )C ．－43D ．－3411．若z ＝1＋2i i，则复数z 等于( D ) A ．－2－i B ．－2＋I C ．2－i D ．2＋i12.复数11z i =-的共轭复数是（ B ） A ．i 2121+ B ．i 2121- C ．i -1 D ．i +1 13.=++-i i i 1)21)(1(( C ) A ．i --2 B ．i +-2 C ．i -2 D ．i +214. 若复数z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，则z 1·z 2等于( A )A ．4＋2iB ．2＋iC ．2＋2iD ．3＋i15. 已知a ＋2i i ＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b 等于( B )A ．－1B ．1C ．2D ．316.若x －2＋y i 和3x －i 互为共轭复数，则实数x 与y 的值是( D )A ．x ＝3，y ＝3B ．x ＝5，y ＝1C ．x ＝－1，y ＝－1D ．x ＝－1，y ＝117.在复平面内，复数i 1＋i＋(1＋3i)2对应的点位于( B ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限18.设i 是虚数单位，_z 是复数z 的共轭复数，若,z?z̅i +2=2z ，则z =( A )（A ）1+i （B ）1i - （C ）1+i - （D ）1-i -19.若复数z 满足 (3－4i)z ＝|4＋3i |，则z 的虚部为( D )(A)－4 （B ）－45 （C ）4 （D ）4520.设复数z 满足,2)1(i z i =-则z ＝（ A ）（A ）i +-1 （B ）i --1 （C ）i +1 （D ）i -121.复数z 满组(3)(2)5--=z i （z 为虚数单位），则z 的共轭复数z 为( D )(A) 2+i (B) 2-i (C) 5+i (D) 5-i22.在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( D )A.第一象限B. 第二象限C.第三象限D. 第四象限23.若复数z 满足24iz i =+，则在复平面内，z 对应的点的坐标是( C )A.(2,4)B.(2,-4)C.(4,-2)D.(4,2)24.复数的11Z i =-模为( B ) （A ）12 （B ）2 （C（D ）225.()3=( A ) （A ）8- （B ）8 （C ）8i -（D ）8i26． i 是虚数单位，3(1)(2)i i i -++等于（ D ）A ．1＋iB ．－1－iC ．1＋3iD ．－1－3i27．设复数z=1,则z 2－2z 等于（ A ）A ．－3B ．3C ．－3iD ．3i28.已知i 是虚数单位，则31ii +-=( D )A .1-2i +i D .1+2i29.下面是关于复数21z i =-+的四个命题：其中的真命题为（ C ）1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-30.复数2(1)2i i -=（ B ） A 、1 B 、1- C 、i D 、i -31.若复数z 满足(2)117z i i -=+（i 为虚数单位），则z 为( A )（A ）35i + （B ）35i - （C ）35i -+ （D ）35i --32.设i 为虚数单位，则复数56i i-=( D ) A ．6+5i B ．6-5i C ．-6+5i D ．-6-5i 33.复数z 满足：()(2)5z i i --=；则z =（ D ）34．若(2)a i i b i -=-，其中a 、b R ∈，i 使虚数单位，则22a b +=( D )A ．０B ．２C ． 52D ．５ 35．复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋i 4的值是（ B ） A ．－1B ．0C ．1D ．i 36．()()221111ii i i -++=+-（ D ） A ．i B ．i - C ．1 D ．1- 37．复数（1＋1i ）4的值是（ D ） A ．4iB ．－4iC ．4D ．－4 二、填空题38．若复数z 1＝－1，z 2＝2＋i 分别对应复平面上的点P 、Q ，则向量PQ →对应的复数是_ _3＋i __．39．设复数i 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是____1____．40．复数2i －1＋3i的虚部是___－12____． 41．已知z 是纯虚数，z ＋21－i是实数，那么z ＝___－2i____. 42.已知,43,2121i z i z +=-=则=⋅21z z ___11-2i _____.43.已知复数512i z i =+（i是虚数单位），则_________z =44.若bi a i i +=++)2)(1(，其中,,a b R i ∈为虚数单位，则a b += 4 45.设a b ∈R ，，117i i 12ia b -+=-（i 为虚数单位），则a b +的值为 8 ． 46.若 12z a i =+, 234z i =-，且12z z 为纯虚数，则实数a 的值为 38 ． 47.已知312i a i--=+(i 是虚数单位),那么a 4= －4 ． 48．已知复数z 与(z ＋2)2－8i 均是纯虚数，则z= －2i ．三、解答题49．复平面内有A ，B ，C 三点，点A 对应的复数是2＋i ，向量BA →对应的复数是1＋2i ，向量BC →对应的复数是3－i ，求C 点在复平面内的坐标．解 ∵AC →＝BC →－BA →，∴AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i ，设C (x ，y )，则(x ＋y i)－(2＋i)＝2－3i ，∴x ＋y i ＝(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i ，故x ＝4，y ＝－2.∴C 点在复平面内的坐标为(4，－2)．50．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.(1)求AB →，BC →，AC →对应的复数；(2)判断△ABC 的形状；(3)求△ABC 的面积．解析: (1)AB →对应的复数为2＋i －1＝1＋i ，BC →对应的复数为－1＋2i －(2＋i)＝－3＋i ，AC →对应的复数为－1＋2i －1＝－2＋2i.(2)∵|AB →|＝2，|BC →|＝10，|AC →|＝8＝22，∴|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2，∴△ABC 为直角三角形．(3)S △ABC ＝12×2×22＝2. 51.已知复数z=1＋i,求实数a,b 使得az ＋2b z =(a ＋2z)2. 52．已知复数z=1＋i ，如果221z az b z z ++-+=1－i,求实数a,b 的值．解析:由z=1＋i 得221z az b z z ++-+=()(2)a b a i i +++=（a ＋2)－(a ＋b)i 从而21()1a a b +=⎧⎨-+=-⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩．。

复数练习题(有答案)

复数练习题(有答案)1.复数选择题1.若复数 $z=1+i$，则 $z$ 的共轭复数为（）解析：$z$ 的共轭复数为 $\bar{z}=1-i$。

答案：C2.若复数 $z=1-i$，则 $z$ 的共轭复数为（）解析：$z$ 的共轭复数为 $\bar{z}=1+i$。

答案：D3.在复平面内，复数 $z=3+4i$ 对应的点的坐标为（）解析：$z$ 对应的点的坐标为 $(3,4)$。

答案：A4.已知复数 $z=\frac{1}{1+i}$，则 $z$ 的共轭复数为（）解析：$\bar{z}=\frac{1}{1-i}=\frac{1+i}{2}$。

答案：B5.已知复数 $z=\frac{3-2i}{5}$，则 $z$ 的虚部是（）解析：$z$ 的虚部为$\operatorname{Im}(z)=\frac{-2}{5}$。

答案：C6.已知复数 $z$ 满足 $z(1+i)=1-i$，则复数 $z$ 对应的点在直线 $y=-\frac{1}{2}x$ 上。

解析：将 $z$ 的实部和虚部表示出来，得到 $z=\frac{-1}{2}+\frac{1}{2}i$，对应的点在直线 $y=-\frac{1}{2}x$ 上。

答案：A7.已知复数 $z$ 满足 $z^2=2i$，则 $z\cdot\bar{z}$ 的值为$4$。

解析：$z\cdot\bar{z}=|z|^2=2$，$z^2\cdot\bar{z}^2=(2i)(-2i)=-4$，因此 $z\cdot\bar{z}=\sqrt{-4}=2i$，$|z\cdot\bar{z}|=2$，所以 $z\cdot\bar{z}=4$。

答案：B8.已知复数 $z$ 满足 $z(1-i)=2i$，则在复平面内 $z$ 对应的点位于第二象限。

解析：将 $z$ 的实部和虚部表示出来，得到 $z=-\frac{2}{2i}-i=-1-i$，对应的点在第二象限。

答案：B9.满足 $i^3\cdot z=1-3i$ 的复数 $z$ 的共轭复数是 $3+i$。

(完整版)复数练习题(有答案)

复数学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．复数21−i (i 为虚数单位)的共轭复数是A ． 1+iB ． 1−iC ． −1+iD ． −1−i2．已知a ∈R，i 是虚数单位．若z ＝a ＋√3i ，z ·z ＝4，则a ＝( )A ． 1或－1B ． √7或－√7C ．－√3D ． √33．已知复数1z i =+（i 为虚数单位）给出下列命题：①z =；②1z i =-；③z 的虚部为i . 其中正确命题的个数是A ． 0B ． 1C ． 2D ． 34．（2018兰州模拟）若复数z 满足(3−4i )z =4+3i ，则|z |=（）A ． 5B ． 4C ． 3D ． 15．（2018北京大兴区一模）若i 为虚数单位,图中复平面内点Z 表示复数z ,则表示复数z 1+i 的点是( )A ． EB ． FC ． GD ． H6．（2018江西省景德镇联考）若复数z =a−2i 2在复平面内对应的点在直线x +y =0上，则|z |=（）A ． 2B ． √2C ． 1D ． 2√27．（福建省三明市2018届高三下学期质量检查测试）已知复数a +bi =(1−i )21+i （i 是虚数单位，a,b ∈R )，则a +b =（）A ． −2B ． −1C ． 0D ． 28．（山东K 12联盟2018届高三开年迎春考试）若复数z = 1 + i + i 2 + i 3 +⋯+ i 2018 +|3−4i |3−4i ，则z 的共轭复数z̅的虚部为 A ． −15 B ． −95C．95D．−95i9．（上海市徐汇区2018届高三一模）在复平面内，复数5+4ii（i为虚数单位）对应的点的坐标为_____10．（上海市松江、闵行区2018届高三下学期质量监控（二模））设m∈R，若复数(1+ mi )(1+i )在复平面内对应的点位于实轴上，则m=______．11．（2018届浙江省杭州市第二中学6月热身）若复数z满足(1−2i)⋅z=3+i（i为虚数单位），则z=__________；|z|=__________．12．已知z=(a+i)2,(a∈R)，i是虚数单位.(1)若z为纯虚数，求a的值；(2)若复数z在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围.本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

复数练习题(有答案)

复数练习题(有答案)1.复数选择题1.若复数 $z=\frac{1}{1-i}$，则 $z$ 的共轭复数为（）。

A。

$\frac{1+i}{2}$ B。

$\frac{1-i}{2}$ C。

$\frac{-1+i}{2}$ D。

$\frac{-1-i}{2}$2.已知复数 $z=\frac{11+22i}{1-i(m-m^2i)}$ 为纯虚数，则实数 $m=$（）。

A。

$1$ B。

$-1$ C。

$i$ D。

$-i$3.若复数 $z=(2+i)i$（其中 $i$ 为虚数单位），则复数$z$ 的模为（）。

A。

$5$4.复数 $z=\frac{3i}{5-2i}$ 的虚部是（）。

A。

$\frac{15}{29}$ B。

$\frac{3}{29}$ C。

$-\frac{3}{29}$ D。

$-\frac{15}{29}$5.已知 $2i+1=z\cdot5\left(5-\frac{1}{z}\right)$，则$z=$（）。

A。

$1$ B。

$3$ C。

$2$ D。

$-2$6.复数 $z$ 满足 $i\cdot z=1-2i$，$z$ 是 $z$ 的共轭复数，则 $z\cdot z=$（）。

A。

$5$ B。

$-5$ C。

$5i$ D。

$-5i$7.已知 $i$ 是虚数单位，则复数 $\frac{4i}{1+i}$ 在复平面内对应的点在（）。

A。

第一象限 B。

第二象限 C。

第三象限 D。

第四象限8.已知 $i$ 为虚数单位，若复数 $z=5+3i$，则$\frac{z}{i}=$（）。

A。

$-3+5i$ B。

$5-3i$ C。

$-5+3i$ D。

$3+5i$9.若复数 $z=\frac{a+i}{1-i}$，$a\in R$，为纯虚数，则$z+a=$（）。

A。

$1+2i$ B。

$2i-1$ C。

$2+2i$ D。

$-2i+1$10.已知复数 $z$ 满足 $\frac{z}{2+i}=2-i$，则复数 $z$ 在复平面内对应的点在（）。

(完整版)复数练习题含答案

(完整版)复数练习题含答案一、单选题1．已知i 是虚数单位，复数1z 、2z 在复平面内对应的点分别为()1,2-、()1,1-，则复数21z z 的共轭复数的虚部为( )A ．15-B ．15C ．1i 5-D ．1i 52．设复数z 满足()1i 2i z -=，则z 在复平面内对应的点在第几象限.（） A ．一B ．二C ．三D ．四3．复数z满足()12i z =，i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（） A．BC．D4．复数3i(43i )-在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．已知i 是虚数单位，复数12iiz -=，则z 的共轭复数z =（） A ．2i --B ．2i -+C ．2i -D ．2i +6．复数20222i 1iz =+（其中i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．已知复数z 满足(1i)32i +=+z ，则z 的虚部为（） A ．12 B ．1i 2-C ．12-D ．1i 28．若(－3a ＋b i)－(2b ＋a i)＝3－5i ，a ，b ∈R ，则a ＋b ＝（） A ．75B ．－115C ．－185D ．59．已知复数13i z a =-，22i z =+（i 为虚数单位），若12z z 是纯虚数，则实数=a （） A ．32-B ．32C ．6-D ．610．下列命题正确的是（） ①若复数z 满足2R z ∈，则R z ∈； ②若复数z 满足i R z∈，则z 是纯虚数； ③若复数1z ，2z 满足12=z z ，则12=±z z ；④若复数1z ，2z 满足2121z z z =且10z ≠，则12=z z ．A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③11．已知复数z 满足z ＋2i －5＝7－i ，则|z |＝（）A ．12B ．3 C．D ．9 12．已知i 为虚数单位，则复数1i -+在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 13．复数z 满足：23i 3=+-z z ，则z =（）A ．5B C ．10D 14．若复数z 满足1i 1i 2z +=+，则z 在复平面内所对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限15．已知34i z =+，则()i z z -=（） A ．1117i +B ．1917i +C ．1117i -D ．1923i +16．已知复数z 满足()21i 24i z -=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（） A ．2 B ．1C ．2-D ．i17．若5i2iz =+，则||z =（） A．2B C ．D ．318．已知复数z 满足(34i)5(1i)z +⋅=-，则z 的虚部是（） A ．15- B ．75-C ．1i 5-D ．7i 5-19．复数5ii 2iz -=-+在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限20．设i 为虚数单位，()1i 2i z -+=+，则复数z 的虚部是（） A ．12- B ．1i 2C ．32- D ．3i 2-二、填空题21．已知复数()()211i z a a =-+-()a R ∈是纯虚数，则=a ___________.22．已知i 是虚数单位，则202220221i 1i ⎛+⎛⎫+= ⎪ -⎝⎭⎝⎭________.23．若i(,)i+∈a b a b R 与3+4i 互为共轭复数，则a b -=___________.24．已知复数2z =+i ，其中i 为虚数单位，那么复数()2z ·z 所对应的复平面内的点在第________象限25．复数2i z a =+，a ∈R ，若13i i+-z 为实数，则=a ________． 26．复数1i z =+（其中i 为虚数单位）的共轭复数z =______． 27．已知复数3i (2i)z =⋅-，则z 的虚部为__________．28．若复数()2(2)9i()z m m m R =++-∈是正实数，则实数m 的值为________．29．已知复数z 满足()1i 42i z -=+，则z =_________（用代数式表示）. 30．写出一个在复平面内对应的点在第二象限的复数z =__________．31．设i 为虚数单位，则复数2(1i)1i+-=____．32．已知复数z 满足1z =，则22z i +-的最大值为______. 33．已知复数z =(,a b ∈R 且0,0a b ≠≠)的模等于1，则12b a b++的最小值为______.34．已知复数2i -在复平面内对应的点为P ，复数z 满足|i |1z -=，则P 与z 对应的点Z 间的距离的最大值为________.35．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且12z z 为纯虚数，则实数a 的值为________．36．若2z =，arg 3z π=，则复数z =________．37．将复数1＋i 对应的向量顺时针旋转45°，则所得向量对应的复数为________．38．若复数22(9)(23)i z m m m =-++-是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝________. 39．若复数z 满足|z －i|＝3，则复数z 对应的点Z 的轨迹所围成的图形的面积为________.40．设i 是虚数单位，若复数z ＝1＋2i ，则复数z 的模为__________. 三、解答题41．已知复数z 和它的共轭复数z 满足232i z z +=+． (1)求z ；(2)若z 是关于x 的方程()20,x px q p q R ++=∈的一个根，求复数()4i zp q +-的模．42．（1）在复数范围内，求方程22340x x ++=的解；（2）若复数1z ，2z 满足12122i 2i 10z z z z ⋅+-+=，且212i z z =-，求出1z ，2z ． 43．已知复数z 是纯虚数，212iz -+为实数.(1)求复数z ；(2)若m ∈R ，复数()22m z z --在复平面内对应的点位于第二象限，求m 的取值范围.44．在复平面内，复数()2(1)2i z m m m =-+--表示的点Z ，求出满足下列条件的复数z .(1)若点Z 在虚轴上，求复数z 的共轭复数z ； (2)若点Z 在直线2y x =上，求复数z 的模z .45．已知向量OZ 与实轴正向的夹角为45，向量OZ 对应的复数z 的模为1，求z .【参考答案】一、单选题 1．A 2．B 3．D 4．B 5．B 6．B 7．A 8．B 9．A 10．B 11．C 12．B 13．D 14．D 15．B 16．B 17．B 18．B 19．C 20．C二、填空题 21．1- 2223．1 24．四 25．3- 26．1i -##i+1- 27．-2 28．329．13i +##3i+130．1i -+（答案不唯一） 31．1i -+ 32．1 33．734．1##1+35．8336．11+ 3738．12 39．9π40三、解答题41．(1)12z i =+； (2)1. 【解析】【分析】（1）设()i ,z a b a b R =+∈，根据复数的运算以及复数相等，即可求得结果；（2）将（1）中所求z 代入方程，根据复数相等求得,p q ，结合复数的运算，即可求得()4i zp q ++及其模长. (1)设()i ,z a b a b R =+∈，则i z a b =-，()()22i i 3i 32i z z a b a b a b +=++-=+=+，所以332a b =⎧⎨=⎩，即12a b =⎧⎨=⎩，所以i 12z =+.(2)将i 12z =+代入已知方程可得()()212i 12i 0p q ++++=，整理可得()()24i 30p p q +++-=，所以24030p p q +=⎧⎨+-=⎩，解得25p q =-⎧⎨=⎩，所以()()()()()12i 2i 12i 5ii 4i 2i 2i 2i 5z p q +--+-====-+--+-+--，又i 1-=，所以复数()4i zp q +-的模为1.42．（1）34x =-；（2）13i z =，25i z =-或1i z =-，2i z =-. 【解析】【分析】（1）利用配方法和2i 1=-进行求解；（2）先利用212i z z =-进行消元，再设出1i z a b =+，利用模长公式、复数的相等进行求解. 【详解】（1）因为22340x x ++=，所以2322x x +=-，所以23923()241616x +=-+=-，所以34x +=，即34x =-±；（2）将212i z z =-代入12122i 2i 10z z z z ⋅+-+=，得1111(2i)2i 2i(2i)10z z z z ⋅-+--+=，即211|2i 3|0z z --=，设1i z a b =+，所以22232i=0a b b a +---，所以2223020a b b a ⎧+--=⎨-=⎩，解得03a b =⎧⎨=⎩或01a b =⎧⎨=-⎩，所以13i z =，25i z =-或1i z =-，2i z =-.43．(1)4i z =- (2)14-<<m 【解析】【分析】（1）根据纯虚数的定义设出复数z 的表示形式，再根据复数除法运算法则，结合复数的分类进行求解即可；（2）根据完全平方公式，结合复数在复平面内对应点的特点进行求解即可. (1)因为复数z 为纯虚数，所以设()i ,0z b b R b =∈≠，则i (5122i 12i 12i (12)(122i)(2i)22(4)i i)b z b b b --+---+===+++++-，又212iz -+为实数 ∴404b b +=⇒=-，即4i z =-； (2)因为m R ∈，4i z =-所以有()222222228i 168i 16(88)i m z z m mz z z m m m m --=-+-=+-+=-++，又复数()22m z z --在复平面内对应的点位于第二象限，所以有：2160m -<且880m +>，即14-<<m . 44．(1)2i ；【解析】【分析】（1）求出m 的值即得解；（2）根据点Z 在直线2y x =上，求出m 的值即得解. (1)解：因为点Z 在虚轴上，所以10,1m m -=∴=. 所以2i z =-，所以复数z 的共轭复数2i z =. (2)解：因为点Z 在直线2y x =上，所以222(1)m m m --=-，解之得0m =或3m =. 所以12i z =--或24z i =+，所以复数z 的模z45．z =或z = 【解析】【分析】由题，OZ 与实轴正向的夹角为45，故OZ 可能在第一象限或第四象限，设出Z 的坐标，结合OZ 对应的复数z 的模为1列式，即可求解. 【详解】由题，向量OZ 与实轴正向的夹角为45，故OZ 在第一象限或第四象限，设点Z 的坐标为(,)a b ，则0a >，b a =，又1z =，故可解得22a b ==或2b =-，所以z =+或z =.。

《复数》全章习题

《复数》全章习题学习目标 1.巩固复数的概念和几何意义.2.理解并能进行复数的四则运算，并认识复数加减法的几何意义．知识点一复数的四则运算若两个复数z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i (a 1，b 1，a 2，b 2∈R )．(1)加法：z 1＋z 2＝(a 1＋a 2)＋(b 1＋b 2)i ；(2)减法：z 1－z 2＝(a 1－a 2)＋(b 1－b 2)i ；(3)乘法：z 1·z 2＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ；(4)除法：z 1z 2＝a 1a 2＋b 1b 2a 22＋b 22＋a 2b 1－a 1b 2a 22＋b 22i(z 2≠0)； (5)实数四则运算的交换律、结合律、分配律都适合于复数的情况；(6)特殊复数的运算：i n (n 为正整数)的周期性运算；(1±i)2＝±2i ；若ω＝－12±32i ，则ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0. 知识点二共轭复数与复数的模(1)若z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i ，z ＋z 为实数，z －z 为纯虚数(b ≠0)．(2)复数z ＝a ＋b i 的模，|z |＝a 2＋b 2，且z ·z ＝|z |2＝a 2＋b 2.知识点三复数加、减法的几何意义(1)复数加法的几何意义若复数z 1、z 2对应的向量OZ 1→、OZ 2→不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ 1→、OZ 2→为两邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数．(2)复数减法的几何意义复数z 1－z 2是连接向量OZ 1→、OZ 2→的终点，并指向Z 1的向量所对应的复数．类型一复数的四则运算例1 (1)计算：－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 012＋(4－8i )2－(－4＋8i )211－7i； (2)已知z ＝1＋i ，求z 2－3z ＋6z ＋1的模．解 (1)原式＝i (1＋23i )1＋23i ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 1 006＋(4－8i )2－(4－8i )211－7i＝i ＋(－i)1 006＋0＝－1＋i.(2)z 2－3z ＋6z ＋1＝(1＋i )2－3(1＋i )＋62＋i ＝3－i 2＋i＝1－i ， ∴z 2－3z ＋6z ＋1的模为 2. 反思与感悟 (1)复数的除法运算是复数运算中的难点，如果遇到(a ＋b i)÷(c ＋d i)的形式，首先应该写成分式的形式，然后再分母实数化．(2)虚数单位i 的周期性：①i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＝1(n ∈N *)；②i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0(n ∈N *)．跟踪训练1 计算：1i (2＋2i)5＋(11＋i )4＋(1＋i 1－i)7. 解 1i (2＋2i)5＋(11＋i )4＋(1＋i 1－i)7 ＝－i·(2)5·[(1＋i)2]2·(1＋i)＋[1(1＋i )2]2＋i 7 ＝162(－1＋i)－14－i ＝－(162＋14)＋(162－1)i. 类型二复数的几何意义例2 设复数z 满足|z |＝1，求|z －(3＋4i)|的最值．解由复数的几何意义，知|z |＝1表示复数z 在复平面内对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，因而|z －(3＋4i)|的几何意义是求此圆上的点到点C (3,4)的距离的最大值与最小值．如图，易知|z －(3＋4i)|max ＝|AC |＝|OC |＋1＝32＋42＋1＝6，|z －(3＋4i)|min ＝|BC |＝|OC |－1＝4.反思与感悟复数和复平面内的点，以原点为起点的向量一一对应；复数加减法符合向量运算的平行四边形法则和三角形法则：|z 1－z 2|表示复数z 1，z 2对应的两点Z 1，Z 2之间的距离．跟踪训练2 已知点集D ＝{z ||z ＋1＋3i|＝1，z ∈C }，试求|z |的最小值和最大值．解点集D 的图象为以点C (－1，－3)为圆心，1为半径的圆，圆上任一点P 对应的复数为z ，则|OP →|＝|z |.由图知，当OP 过圆心C (－1，－3)时，与圆交于点A 、B ，则|z |的最小值|OA |＝|OC |－1＝(－1)2＋(－3)2－1＝2－1＝1，即|z |min ＝1；|z |的最大值|OB |＝|OC |＋1＝2＋1＝3，即|z |max ＝3.类型三复数相等例3 已知复数z 满足z ＋z ·z ＝1－2i 4，求复数z . 解设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，∵z ＋z ·z ＝1－2i 4， ∴x ＋y i ＋x 2＋y 2＝1－2i 4，即⎩⎨⎧ x ＋x 2＋y 2＝14，y ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－12.∴z ＝－12i 或z ＝－1－12i.反思与感悟两个复数相等是解决复数问题的重要工具．“复数相等”可以得到两个实数等式，为应用方程提供了条件，常用于确定系数，解复数方程等问题．跟踪训练3 设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则|z |＝________.答案 5 解析设z ＝a ＋b i ，∴z 2＝(a 2－b 2)＋2ab i.又∵z 2＝3＋4i ，∴a 2－b 2＝3,2ab ＝4，解得a 2＝4，b 2＝1，∴|z |＝a 2＋b 2＝ 5.1．复数z ＝2＋a i 1＋i(a ∈R )在复平面内对应的点在虚轴上，则a 等于( ) A ．2B ．－1C ．1D ．－2答案 D解析 z ＝2＋a i 1＋i ＝(2＋a i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝(2＋a )＋(a －2)i 2在复平面内对应的点(2＋a 2，a －22)在虚轴上，所以2＋a ＝0，即a ＝－2. 2．已知复数z ＝1＋2i 1－i，则1＋z ＋z 2＋…＋z 2 014为( ) A ．1＋iB ．1－iC ．iD ．1答案 C3．△ABC 的三个顶点对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，若复数z 满足|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|，则z 对应的点为△ABC 的( )A ．内心B ．垂心C ．重心D ．外心答案 D 解析由几何意义知，复数z 对应的点到△ABC 三个顶点距离都相等，z 对应的点是△ABC 的外心．4．若|z －1|＝2，则|z －3i －1|的最小值为________．答案 1解析因为|z －1|＝2，所以复数z 在复平面内对应的点在以(1,0)为圆心，2为半径的圆上．|z －3i －1|表示复数z 在复平面内对应的点到点(1,3)的距离，因此，距离的最小值1.5．设复数z 和它的共轭复数z 满足4z ＋2z ＝33＋i ，求复数z .解设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．因为4z ＋2z ＝33＋i ，所以2z ＋(2z ＋2z )＝33＋i.2z ＋2z ＝2(a ＋b i)＋2(a －b i)＝4a ，整体代入上式，得2z ＋4a ＝33＋i.所以z ＝33－4a 2＋i 2. 根据复数相等的充要条件，得⎩⎨⎧ a ＝33－4a 2，b ＝12，解得⎩⎨⎧ a ＝32，b ＝12，所以z ＝32＋i 2.1．复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算，其中除法运算的关键是将分母实数化．2．复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现．3．利用两个复数相等可以解决求参数值(或取值范围)和复数方程等问题．课时作业一、选择题1．复数z 对应的点在第二象限，它的模为3，实部是－5，则z 是( )A ．－5＋2iB ．－5－2i C.5＋2iD.5－2i答案 B解析设复数z 的虚部为b ，则z ＝－5＋b i ，b >0，∵3＝5＋b 2，∴b ＝2，∴z ＝－5＋2i ，则z 的共轭复数是－5－2i ，故选B.2．复数1－2＋i ＋11－2i的虚部是( ) A.15i B.15 C ．－15i D ．－15答案 B解析 1－2＋i ＋11－2i＝－2－i 5＋1＋2i 5＝－15＋15i.故选B. 3．若z ＝1＋2i ，则4i z z －1等于( ) A ．1B ．－1C ．iD ．－i 答案 C解析 z ＝1＋2i ，则4i z z －1＝4i (1＋2i )(1－2i )－1＝4i 5－1＝i. 4．若复数z ＝cosπ12＋isin π12(i 是虚数单位)，复数z 2的实部，虚部分别为a ，b ，则下列结论正确的是( )A ．ab <0B ．a 2＋b 2≠1 C.a b ＝ 3 D.b a ＝ 3 答案 C解析 ∵z ＝cosπ12＋isin π12， ∴z 2＝(cos π12＋isin π12)2 ＝cos 2π12－sin 2π12＋2cos π12sin π12i ＝cos π6＋isin π6＝32＋12i ，则a ＝32，b ＝12，则a b＝3，故选C. 5．向量OZ 1→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2→对应的复数是－5＋4i ，则向量Z 1Z 2—→对应的复数是( )A ．－10＋8iB ．10－8iC ．－8＋10iD ．8＋(－10i)答案 A解析向量OZ 1→对应的复数是5－4i ，可得Z 1(5，－4)；向量OZ 2→对应的复数是－5＋4i ，可得Z 2(－5,4)；向量Z 1Z 2—→对应的点是(－10,8)，即向量Z 1Z 2—→对应的复数是－10＋8i.故选A.6．已知复数z 的模为2，则|z －i|的最大值为( )A ．1B ．2 C. 5 D ．3 答案 D 解析 ∵|z |＝2，则复数z 对应的轨迹是以圆心为原点，半径为2的圆，而|z －i|表示的是圆上一点到点(0,1)的距离，∴其最大值为圆上的点(0，－2)到点(0,1)的距离，最大的距离为3.二、填空题7．i 是虚数单位，复数z 满足(1＋i)z ＝2，则z 的实部为________．答案 1解析因为(1＋i)z ＝2，所以z ＝21＋i ＝1－i ，所以其实部为1. 8．如果z 1＝－2－3i ，z 2＝3－2i (2＋i )2，则z 1z 2＝________. 答案 4－3i解析 ∵z 1＝－2－3i ，z 2＝3－2i (2＋i )2， ∴z 1z 2＝(－2－3i )(2＋i )23－2i ＝－i (3－2i )(2＋i )23－2i＝－i(2＋i)2＝－(3＋4i)i ＝4－3i.9．若复数1＋i 1－i＋b (b ∈R )所对应的点在直线x ＋y ＝1上，则b 的值为________．答案 0解析复数1＋i 1－i ＋b ＝(1＋i )2(1－i )(1＋i )＋b ＝2i 2＋b ＝b ＋i. ∵所对应的点(b,1)在直线x ＋y ＝1上，∴b ＋1＝1，解得b ＝0.10．如图，在复平面内，点A 对应的复数为z 1，若z 2z 1＝i(i 为虚数单位)，则z 2＝________.答案－2－i解析由图可知，z 1＝－1＋2i ，∴由z 2z 1＝i ，得z 2＝z 1i ＝(－1＋2i)i ＝－2－i. 三、解答题11．已知复数z 1＝(1＋b i)(2＋i)，z 2＝3＋(1－a )i (a ，b ∈R ，i 为虚数单位)．(1)若z 1＝z 2，求实数a ，b 的值；(2)若b ＝1，a ＝0，求|z 1＋z 21－2i|. 解 (1)复数z 1＝(1＋b i)(2＋i)＝2－b ＋(2b ＋1)i ，z 2＝3＋(1－a )i ，由z 1＝z 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2－b ＝3，2b ＋1＝1－a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1，所以实数a ＝2，b ＝－1.(2)若b ＝1，a ＝0，则z 1＝1＋3i ，z 2＝3＋i.|z 1＋z21－2i |＝|1＋3i ＋3－i||1－2i|＝42＋221＋(－2)2＝2. 12．已知复数z 1满足z 1(1－i)＝2(i 为虚数单位)，若复数z 2满足z 1＋z 2是纯虚数，z 1·z 2是实数，求复数z 2.解 ∵z 1(1－i)＝2，∴z 1＝21－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2(1＋i )2＝1＋i. 设z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R )，∵z 1＋z 2＝1＋a ＋(b ＋1)i 是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＝0，1＋b ≠0， ∴a ＝－1，b ≠－1. ∴z 1·z 2＝(1＋i)(－1＋b i)＝(－1－b )＋(b －1)i ，又z 1·z 2是实数，则b －1＝0，∴b ＝1，∴z 2＝－1＋i.13．求虚数z ，使z ＋9z∈R ，且|z －3|＝3. 解设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，则z ＋9z ＝a ＋b i ＋9a ＋b i ＝(a ＋9a a 2＋b 2)＋(b －9b a 2＋b2)i. 由z ＋9z ∈R ，得b －9b a 2＋b 2＝0，又b ≠0，故a 2＋b 2＝9.① 又由|z －3|＝3，得(a －3)2＋b 2＝3.②由①②，得⎩⎨⎧a ＝32，b ＝±332，即z ＝32＋332i 或z ＝32－332i. 四、探究与拓展14．若a 是复数z 1＝(1－i)(3＋i)的虚部，b 是复数z 2＝1＋i 2－i 的实部，则ab ＝________. 答案－25解析 z 1＝(1－i)(3＋i)＝4－2i ，由a 是复数z 1＝(1－i)(3＋i)的虚部，得a ＝－2.z 2＝1＋i 2－i ＝(1＋i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝1＋3i 5＝15＋35i ，由b 是复数z 2＝1＋i 2－i的实部，得b ＝15. 则ab ＝－2×15＝－25. 15．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i. (1)求AB →，BC →，AC →对应的复数；(2)判断△ABC 的形状；(3)求△ABC 的面积．解 (1)AB →对应的复数为z B －z A ＝(2＋i)－1＝1＋i ，BC →对应的复数为z C －z B ＝(－1＋2i)－(2＋i)＝－3＋i ， AC →对应的复数为z C －z A ＝(－1＋2i)－1＝－2＋2i.(2)由(1)知|AB →|＝|1＋i|＝2，|BC →|＝|－3＋i|＝10，|AC →|＝|－2＋2i|＝22，∴|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2.故△ABC 为直角三角形．(3)S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|＝12×2×22＝2.。

(完整版)复数计算练习题

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a ，b ∈R ，则a ＝b 是(a －b )＋(a ＋b )i 为纯虚数的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C 2.10i2－i＝( ) A ．－2＋4i B ．－2－4i C ．2＋4i D ．2－4i答案 A3．若w ＝－12＋32i ，则w 4＋w 2＋1等于( ) A ．1 B ．0 C ．3＋3i D ．－1＋3i答案 B4．在(12＋32i)12的展开式中，所有奇数项的和等于( ) A ．－1 B ．1 C ．0 D ．i 答案 B 5．已知z1＋i＝2＋i ，则复数z ＝( ) A ．－1＋3i B ．1－3i C ．3＋i D ．3－i答案 B 解析 ∵z1＋i＝2＋i ，∴z ＝(2＋i)(1＋i)＝2＋3i ＋i 2＝1＋3i.∴z ＝1－3i. 6．复数⎝ ⎛⎭⎪⎫2i 1＋i 2等于( )A ．4iB ．－4iC．2i D．－2i 答案 C7．复数(2＋2i)4(1－3i)5等于()A．1＋3i B．－1＋3i C．1－3i D．－1－3i 答案 B8．复数1＋2i3＝()A．1＋2i B．1－2i C．－1 D．3答案 A解析1＋2i3＝1＋2－i＝1＋2i，故选A.9．在复数集C内分解因式2x2－4x＋5等于() A．(x－1＋3i)(x－1－3i)B．(2x－2＋3i)(2x－2－3i)C．2(x－1＋i)(x－1－i)D．2(x＋1＋i)(x＋1－i)答案 B10．复数i3(1＋i)2＝()A．2 B．－2 C．2i D．－2i 答案 A解析由题意得i3(1＋i)2＝－i·2i＝－2i2＝2，选A.11．复数z＝11－i的共轭复数是()A.12＋12i B.12－12iC．1－i D．1＋i 答案 B解析 z ＝11－i ＝1＋i (1－i )(1＋i )＝12＋12i ，z ＝12－12i ，故选B. 12．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2zz －1＝( )A ．2iB ．－2iC ．2D ．－2答案 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知复数z ＝2＋i ，则z 4－4z 3＋6z 2－4z －1＝________. 答案－6解析 z 4－4z 3＋6z 2－4z －1＝(z 4－4z 3＋6z 2－4z ＋1)－2＝(z －1)4－2＝(1＋i)4－2＝[(1＋i)2]2－2＝(2i)2－2＝－4－2＝－6.14．i4n ＋i4n ＋1＋i4n ＋2＋i4n ＋3＝________(n 为正整数)．答案 0 15．已知(1－i )31＋i＝a ＋3i ，则a ＝________. 答案－2－3i16．设z ∈C ，z ＋|z |＝2＋i ，则z ＝________. 答案 34＋i解析设z ＝a ＋b i ，则|z |＝a 2＋b 2. ∴a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋i. ∴⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34，b ＝1，∴z ＝34＋i.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应出写文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)若复数z ＝m 2＋m －2＋(2m 2－m －3)i(m ∈R )的共轭复数z 对应的点在第一象限，求实数m 的集合．解析由题意得z ＝m 2＋m －2－(2m 2－m －3)i. ∴⎩⎨⎧ m 2＋m －2>0，－(2m 2－m －3)>0，即⎩⎨⎧m 2＋m －2>0，2m 2－m －3<0，解得1<m <32.18．(12分)计算(12＋32i)3.解析方法一 ∵(12＋32i)3＝(12＋32i)2·(12＋32i)＝(－12＋32i)(12＋32i)＝(32i)2－(12)2＝－34－14＝－1.方法二原式＝(12)3＋3×(12)2×32i ＋3×12×(32i)2＋(32i)3＝18＋338i －98－338i ＝－1.19．(12分)已知复平面内点A 、B 对应的复数分别是z 1＝sin 2θ＋i ，z 2＝－cos 2θ＋icos2θ，其中θ∈(0,2π)，设AB →对应的复数为z .(1)求复数z ；(2)若复数z 对应的点P 在直线y ＝12x 上，求θ的值．解析 (1)z ＝z 2－z 1＝－cos 2θ－sin 2θ＋i(cos2θ－1)＝－1－i(2sin 2θ)． (2)点P 的坐标为(－1，－2sin 2θ)．由点P 在直线y ＝12x ，得－2sin 2θ＝－12.∴sin 2θ＝14，∴sin θ＝±12.又∵θ∈(0,2π)，∴θ＝π6，56π，76π，116π.20．(12分)已知复数z ＝(1－i )2＋3(1＋i )2－i ，若z 2＋az ＋b ＝1－i ，试求实数a 、b 的值．解析化简得z ＝1＋i 代入方程，得 a ＋b ＋(2＋a )i ＝1－i.∴⎩⎨⎧ a ＋b ＝1，2＋a ＝－1， ∴⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝4. 21．(12分)设z ＝(a 2－a －6)＋a 2＋2a －15a 2－4i(a ∈R )，试判断复数z 能否为纯虚数？并说明理由．解析假设复数z 能为纯虚数，则⎩⎨⎧a 2－a －6＝0，a 2＋2a －15a 2－4≠0.∴⎩⎨⎧a ＝3或a ＝－2，a ≠－5且a ≠3且a ≠±2.∴不存在a 使复数z 为纯虚数．22．(12分)已知a ∈R ，问复数z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第几象限？复数z 对应点的轨迹是什么？解析由a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3，－(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1，得z 的实部为正数，z 的虚部为负数． ∴复数z 对应的点在第四象限．设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则⎩⎨⎧x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－(a 2－2a ＋2).消去a 2－2a ，得y ＝－x ＋2(x ≥3)． ∴复数z 对应点的轨迹是一条射线，其方程为y ＝－x ＋2(x ≥3)．。

复数练习题(有答案)

一、复数选择题1．复数11z i=-，则z 的共轭复数为（）A ．1i -B ．1i +C ．1122i + D ．1122i - 2．已知复数()2m m m iz i--=为纯虚数，则实数m =（）A ．-1B ．0C ．1D ．0或13．若复数(2)z i i =+（其中i 为虚数单位），则复数z 的模为（）A ．5BC ．D ．5i4．复数312iz i=-的虚部是（） A ．65i - B ．35iC ．35D ．65-5．))5511--+＝（）A ．1B ．-1C ．2D ．-2 6．复数z 满足12i z i ⋅=-，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=（）A B C ．3D ．57．已知i 是虚数单位，则复数41ii+在复平面内对应的点在（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．已知i 为虚数单位，若复数()12iz a R a i+=∈+为纯虚数，则z a +=（）A B ．3C ．5D ．9．若复数1211iz i+=--，则z 在复平面内的对应点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．已知复数z 满足202122z i i i+=+-+，则复数z 在复平面内对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．复数12iz i=+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．在复平面内，复数z 对应的点为(,)x y ，若22(2)4x y ++=，则（） A ．22z +=B ．22z i +=C ．24z +=D ．24z i +=13．设a +∈R ，复数()()()242121i i z ai ++=-，若1z =，则a =（）A ．10B ．9C ．8D ．714．若复数()()1i 3i a +-（i 为虚数单位）的实部和虚部互为相反数，则实数a =（） A ．1-B ．12-C ．13D ．115．设复数满足(12)i z i +=，则||z =（）A ．15B C D ．5二、多选题16．已知复数z 满足220z z +=，则z 可能为（）. A ．0B ．2-C ．2iD ．2i+1-17．已知复数(),z x yi x y R =+∈，则（）A ．20zB ．z 的虚部是yiC ．若12z i =+，则1x =，2y =D ．z =18．（多选题）已知集合{},nM m m i n N ==∈，其中i 为虚数单位，则下列元素属于集合M 的是（） A ．()()11i i -+ B ．11ii-+ C ．11ii+- D ．()21i -19．设复数z 满足1z i z+=，则下列说法错误的是（） A ．z 为纯虚数B ．z 的虚部为12i -C ．在复平面内，z 对应的点位于第三象限D ．z =20．若复数z 满足()234z i i +=+（i 为虚数单位），则下列结论正确的有（）A ．z 的虚部为3B ．z =C ．z 的共轭复数为23i +D ．z 是第三象限的点21．已知复数1cos 2sin 222z i ππθθθ⎛⎫=++-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位），则（）A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．2cos z θ=D ．1z 的实部为12- 22．下列说法正确的是（） A ．若2z =，则4z z ⋅=B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数z 的平方是纯虚数，则复数z 的实部和虛部相等D ．“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件23．已知i 为虚数单位，复数322iz i+=-，则以下真命题的是（） A ．z 的共轭复数为4755i - B ．z 的虚部为75i C ．3z =D ．z 在复平面内对应的点在第一象限24．已知i 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（）．A ．234i i i i 0+++=B ．3i 1i +>+C ．若()2z=12i +，则复平面内z 对应的点位于第四象限D ．已知复数z 满足11z z -=+，则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线 25．任何一个复数z a bi =+（其中a 、b R ∈，i 为虚数单位）都可以表示成：()cos sin z r i θθ=+的形式，通常称之为复数z 的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：()()()n cos sin co i s s nn n z i n r i r n n N θθθθ+==+⎡⎤⎣∈⎦+，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（） A ．22z z = B ．当1r =，3πθ=时，31z =C ．当1r =，3πθ=时，122z =- D ．当1r =，4πθ=时，若n 为偶数，则复数n z 为纯虚数26．已知复数12ω=-，其中i 是虚数单位，则下列结论正确的是（）A ．1ω=B ．2ω的虚部为C ．31ω=-D ．1ω在复平面内对应的点在第四象限27．对于复数(,)z a bi a b R =+∈，下列结论错误．．的是（）. A ．若0a =，则a bi +为纯虚数 B ．若32a bi i -=+，则3,2a b == C ．若0b =，则a bi +为实数 D ．纯虚数z 的共轭复数是z -28．已知复数z 满足23z z iz ai ⋅+=+，a R ∈，则实数a 的值可能是（）A ．1B ．4-C ．0D ．529．给出下列命题，其中是真命题的是（） A ．纯虚数z 的共轭复数是z -B ．若120z z -=，则21z z =C ．若12z z +∈R ，则1z 与2z 互为共轭复数D ．若120z z -=，则1z 与2z 互为共轭复数 30．已知i 为虚数单位,下列命题中正确的是( ) A ．若x ,y ∈C ,则1x yi i +=+的充要条件是1x y == B ．2(1)()a i a +∈R 是纯虚数C ．若22120z z +=,则120z z == D ．当4m =时,复数22lg(27)(56)m m m m i --+++是纯虚数【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题 1．D 【分析】先由复数的除法化简该复数，再由共轭复数的概念，即可得出结果. 【详解】因为，所以其共轭复数为. 故选：D. 解析：D 【分析】先由复数的除法化简该复数，再由共轭复数的概念，即可得出结果. 【详解】因为()()11111111222i i z i i i i ++====+--+，所以其共轭复数为1122i -. 故选：D.2．C 【分析】结合复数除法运算化简复数，再由纯虚数定义求解即可【详解】解析：因为为纯虚数，所以，解得，故选：C.解析：C【分析】结合复数除法运算化简复数z，再由纯虚数定义求解即可【详解】解析：因为()()22m m m iz m m mii--==--为纯虚数，所以20m mm⎧-=⎨≠⎩，解得1m=，故选：C.3．B【分析】由已知等式，利用复数的运算法则化简复数，即可求其模. 【详解】，所以，故选：B解析：B【分析】由已知等式，利用复数的运算法则化简复数，即可求其模.【详解】(2)21z i i i=+=-，所以|z|=故选：B4．C【分析】由复数除法法则计算出后可得其虚部．【详解】因为，所以复数z的虚部是．故选：C．解析：C【分析】由复数除法法则计算出z后可得其虚部．【详解】因为33(12)366312(12)(12)555i i i iii i i+-===-+--+，所以复数z的虚部是35．故选：C．5．D 【分析】先求和的平方，再求4次方，最后求5次方，即可得结果. 【详解】 ∵，， ∴，， ∴，， ∴，故选：D.解析：D 【分析】先求)1-和)1+的平方，再求4次方，最后求5次方，即可得结果.【详解】∵)211-=--，)2+1=-，∴)()42117-=--=-+，)()42+17=-=--，∴)()51711-=-+-=--， )()51711+=--+=-，∴))55121-+=--，故选：D.6．D 【分析】求出复数，然后由乘法法则计算．【详解】由题意，．故选：D ．解析：D 【分析】求出复数z ，然后由乘法法则计算z z ⋅．【详解】由题意12122i z i i i-==-+=--， 22(2)(2)(2)5z z i i i ⋅=---+=--=．故选：D ．7．A 【分析】利用复数的乘除运算化简复数的代数形式，得到其对应坐标即知所在象限. 【详解】，所以复数对应的坐标为在第一象限，故选：A解析：A 【分析】利用复数的乘除运算化简复数的代数形式，得到其对应坐标即知所在象限. 【详解】44(1)2(1)12i i i i i -==++，所以复数对应的坐标为(2,2)在第一象限，故选：A 8．A 【分析】根据复数运算,化简后由纯虚数的概念可求得，.进而求得复数,再根据模的定义即可求得【详解】由复数为纯虚数，则，解得则，所以，所以故选：A解析：A 【分析】根据复数运算,化简后由纯虚数的概念可求得a ，.进而求得复数z ,再根据模的定义即可求得z a + 【详解】()()()()()()2221222*********i a i a a i a ii a z a i a i a i a a a +-++--++====+++-+++ 由复数()12i z a R a i +=∈+为纯虚数，则222012101a a a a +⎧=⎪⎪+⎨-⎪≠⎪+⎩，解得2a =-则z i =- ，所以2z a i +=--，所以z a += 故选：A9．B【分析】利用复数的运算法则和复数的几何意义求解即可【详解】，所以，在复平面内的对应点为，则对应点位于第二象限故选：B解析：B 【分析】利用复数的运算法则和复数的几何意义求解即可【详解】()()12i 1i 12i33i 33i 111i 2222z +++-+=-=-==-+-，所以，z 在复平面内的对应点为33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，则对应点位于第二象限故选：B10．C 【分析】由已知得到，然后利用复数的乘法运算法则计算，利用复数的周期性算出的值，最后利用复数的几何意义可得结果．【详解】由题可得，，所以复数在复平面内对应的点为，在第三象限，故选：C ．解析：C 【分析】由已知得到2021(2)(2)i i iz -++-=，然后利用复数的乘法运算法则计算(2)(2)i i -++，利用复数n i 的周期性算出2021i 的值，最后利用复数的几何意义可得结果．【详解】由题可得，2021(2)(2)5i z i ii -+=+-=--，所以复数z 在复平面内对应的点为(5,1)--，在第三象限，故选：C ．11．A 【分析】对复数进行分母实数化，根据复数的几何意义可得结果. 【详解】由，知在复平面内对应的点位于第一象限，故选：A. 【点睛】本题主要考查了复数除法的运算以及复数的几何意义，属于基础题解析：A 【分析】对复数z 进行分母实数化，根据复数的几何意义可得结果. 【详解】由()()()122112121255i i i z i i i i -===+++-，知在复平面内对应的点21,55⎛⎫⎪⎝⎭位于第一象限，故选：A. 【点睛】本题主要考查了复数除法的运算以及复数的几何意义，属于基础题.12．B 【分析】利用复数模的计算公式即可判断出结论．【详解】因为复数对应的点为，所以，满足则故选：B解析：B 【分析】利用复数模的计算公式即可判断出结论．【详解】因为复数z 对应的点为(,)x y ，所以z x yi =+x ，y 满足22(2)4x y ++=则22z i +=故选：B13．D 【分析】根据复数的模的性质求模，然后可解得．【详解】解：，解得. 故选：D ．【点睛】本题考查复数的模，掌握模的性质是解题关键．设复数，则，模的性质：，，．解析：D 【分析】根据复数的模的性质求模，然后可解得a ．【详解】解：()()()()24242422221212501111i i i i aai ai++++====+--，解得7a =. 故选：D ．【点睛】本题考查复数的模，掌握模的性质是解题关键．设复数(,)z a bi a b R =+∈，则z =模的性质：1212z z z z =，(*)nnz z n N =∈，1122z z z z =． 14．B 【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部加虚部为0求解．【详解】解：，所以复数的实部为，虚部为，因为实部和虚部互为相反数，所以，解得故选：B解析：B 【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部加虚部为0求解．【详解】解：()()()()21i 3i 33331a i ai ai a a i +-=-+-=++-，所以复数()()1i 3i a +-的实部为3a +，虚部为31a -，因为实部和虚部互为相反数，所以3310a a ++-=，解得12a =-故选：B 15．B 【分析】利用复数除法运算求得，再求得. 【详解】依题意，所以. 故选：B【分析】利用复数除法运算求得z ，再求得z .【详解】依题意()()()12221121212555i i i i z i i i i -+====+++-，所以5z == 故选：B二、多选题16．AC【分析】令，代入原式，解出的值，结合选项得出答案．【详解】令，代入，得，解得，或，或，所以，或，或.故选：AC【点睛】本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．解析：AC【分析】令()i ,z a b a b R =+∈，代入原式，解出,a b 的值，结合选项得出答案．【详解】令()i ,z a b a b R =+∈，代入220z z +=，得222i 0a b ab -+=，解得00a b =⎧⎨=⎩，或02a b =⎧⎨=⎩，或02a b =⎧⎨=-⎩，所以0z =，或2i z =，或2i z =-.故选：AC【点睛】本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．17．CD取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取，则，A 选项错误；对于B 选项，复数的虚部为，B 选项错误；解析：CD【分析】取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取z i ，则210z =-<，A 选项错误；对于B 选项，复数z 的虚部为y ，B 选项错误；对于C 选项，若12z i =+，则1x =，2y =，C 选项正确；对于D 选项，z =D 选项正确.故选：CD.【点睛】本题考查复数相关命题真假的判断，涉及复数的计算、复数的概念以及复数的模，属于基础题. 18．BC【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】根据题意，中，时，；时，；时，；时，，.选项A 中，；选项B 中，；选项C 中，；选项D 中，.解析：BC【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.根据题意，{},n M m m i n N ==∈中， ()4n k k N =∈时，1n i =；()41n k k N =+∈时，n i i =；()42n k k N =+∈时，1n i =-；()43n k k N =+∈时，n i i =-，{}1,1,,M i i ∴=--.选项A 中，()()112i i M -+=∉；选项B 中，()()()211111i i i i i i M --==-+-∈+；选项C 中，()()()211111i i i i i i M ++==-+∈-；选项D 中，()212i i M -=-∉.故选：BC.【点睛】此题考查复数的基本运算，涉及复数的乘方和乘法除法运算，准确计算才能得解. 19．AB【分析】先由复数除法运算可得，再逐一分析选项，即可得答案.【详解】由题意得：，即，所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为，故B 错误；在复平面内，对应的点为，在第三象限，故C 正确解析：AB【分析】先由复数除法运算可得1122z i =--，再逐一分析选项，即可得答案. 【详解】由题意得：1z zi +=，即111122z i i -==---，所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为12-，故B 错误；在复平面内，z 对应的点为11(,)22--，在第三象限，故C 正确；2z ==，故D 正确. 故选：AB【点睛】本题考查复数的除法运算，纯虚数、虚部的概念，复平面内点所在象限、复数求模的运算等知识，考查计算求值的能力，属基础题.20．BC【分析】利用复数的除法求出复数，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误.【详解】，，所以，复数的虚部为，，共轭复数为，复数在复平面对应的点在第四象限. 故选：BD.【点睛】本题考解析：BC【分析】利用复数的除法求出复数z ，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误.【详解】()234z i i +=+，34232i z i i+∴=-=-+，所以，复数z 的虚部为3-，z =共轭复数为23i +，复数z 在复平面对应的点在第四象限.故选：BD.【点睛】本题考查复数的四则运算、虚部、模、共轭复数以及几何意义，考查计算能力，属于基础题.21．BC【分析】由可得，得，可判断A 选项，当虚部，时，可判断B 选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C 选项，由复数的运算得，的实部是，可判断D 选项.【详解】因为，所以，所以，所以，所以A 选解析：BC【分析】由22ππθ-<<可得2πθπ-<<，得01cos22θ<+≤，可判断A 选项，当虚部sin 20θ=，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，可判断B 选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C 选项，由复数的运算得11cos 2sin 212cos 2i z θθθ+-=+，1z 的实部是1cos 2122cos 22θθ+=+，可判断D 选项.【详解】因为22ππθ-<<，所以2πθπ-<<，所以1cos21θ-<≤，所以01cos22θ<+≤，所以A 选项错误；当sin 20θ=，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，复数z 是实数，故B 选项正确；2cos z θ===，故C 选项正确：()()111cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 212cos 2i i z i i i θθθθθθθθθθθ+-+-===+++++-+，1z 的实部是1cos 2122cos 22θθ+=+，故D 不正确. 故选：BC【点睛】本题主要考查复数的概念，复数模的计算，复数的运算，以及三角恒等变换的应用，属于中档题.22．AD【分析】由求得判断A ；设出，，证明在满足时，不一定有判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确.【详解】若，则，故A 正确；设，由，可得则，而不一定为0，故B 错误；当时解析：AD【分析】由z 求得z z ⋅判断A ；设出1z ，2z ，证明在满足1212z z z z +=-时，不一定有120z z =判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确.【详解】若2z =，则24z z z ⋅==，故A 正确；设()11111,z a bi a b R =+∈，()22222,z a b i a b R =+∈ 由1212z z z z +=-，可得()()()()222222121212121212z z a a b b z z a a b b +=+++=-=-+-则12120a a b b +=，而()()121122121212121212122z z a bi a b i a a bb a b i b a i a a a b i b a i =++=-++=++不一定为0，故B 错误；当1z i =-时22z i =-为纯虚数，其实部和虚部不相等，故C 错误；若复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数，则210a -≠，即1a ≠± 所以“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件，故D 正确；故选：AD【点睛】本题考查的是复数的相关知识，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题.23．AD【分析】先利用复数的除法、乘法计算出，再逐项判断后可得正确的选项.【详解】，故，故A 正确.的虚部为，故B 错，，故C 错，在复平面内对应的点为，故D 正确.故选：AD.【点睛】本题考解析：AD【分析】先利用复数的除法、乘法计算出z ，再逐项判断后可得正确的选项.【详解】()()32232474725555i i i i i z i ++++====+-，故4755i z =-，故A 正确.z 的虚部为75，故B 错，355z ==≠，故C 错， z 在复平面内对应的点为47,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：AD.【点睛】本题考查复数的概念、复数的运算以及复数的几何意义，注意复数(),z a bi a b R =+∈的虚部为b ，不是bi ，另外复数的除法运算是分子分母同乘以分母的共轭复数.24．AD【分析】根据复数的运算判断A ；由虚数不能比较大小判断B ；由复数的运算以及共轭复数的定义判断C ；由模长公式化简，得出，从而判断D.【详解】，则A 正确；虚数不能比较大小，则B 错误；，则，解析：AD【分析】根据复数的运算判断A ；由虚数不能比较大小判断B ；由复数的运算以及共轭复数的定义判断C ；由模长公式化简11z z -=+，得出0x =，从而判断D.【详解】234110i i i i i i +++=--+=，则A 正确；虚数不能比较大小，则B 错误；()221424341z i i i i =++=+-+=，则34z i =--，其对应复平面的点的坐标为(3,4)--，位于第三象限，则C 错误；令,,z x yi x y R =+∈，|1||1z z -=+∣，=，解得0x =则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线，D 正确；故选：AD【点睛】本题主要考查了判断复数对应的点所在的象限，与复数模相关的轨迹（图形）问题，属于中档题.25．AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误；计算出复数，可判断C 选项的正误；计算出，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，，则，可得解析：AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误；计算出复数z ，可判断C 选项的正误；计算出4z ，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，()cos sin z r i θθ=+，则()22cos2sin 2z r i θθ=+，可得()222cos 2sin 2z r i r θθ=+=，()222cos sin z r i r θθ=+=，A 选项正确；对于B 选项，当1r =，3πθ=时，()33cos sin cos3sin3cos sin 1z i i i θθθθππ=+=+=+=-，B 选项错误；对于C 选项，当1r =，3πθ=时，1cos sin 3322z i ππ=+=+，则12z =，C 选项正确；对于D 选项，()cos sin cos sin cos sin 44n n n n z i n i n i ππθθθθ=+=+=+，取4n =，则n 为偶数，则4cos sin 1z i ππ=+=-不是纯虚数，D 选项错误.故选：AC.【点睛】本题考查复数的乘方运算，考查了复数的模长、共轭复数的运算，考查计算能力，属于中等题.26．AB【分析】求得、的虚部、、对应点所在的象限，由此判断正确选项.【详解】依题意，所以A 选项正确；，虚部为，所以B 选项正确；，所以C 选项错误；，对应点为，在第三象限，故D 选项错误.故选解析：AB【分析】求得ω、2ω的虚部、3ω、1ω对应点所在的象限，由此判断正确选项.【详解】依题意1ω==，所以A 选项正确； 2211312442ω⎛⎫=-+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，虚部为，所以B 选项正确；22321111222ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=--⋅-+=-+=⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以C选项错误；22111122212222ω---====-⎛⎛⎫-+⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，对应点为1,22⎛⎫--⎪⎪⎝⎭，在第三象限，故D选项错误.故选：AB【点睛】本小题主要考查复数的概念和运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题.27．AB【分析】由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得．【详解】解：因为当且时复数为纯虚数，此时，故A错误，D正确；当时，复数为实数，故C正确；对于B：，则即，故B错误；故错误的有AB解析：AB【分析】由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得．【详解】解：因为(,)z a bi a b R=+∈当0a=且0b≠时复数为纯虚数，此时z bi z=-=-，故A错误，D正确；当0b=时，复数为实数，故C正确；对于B：32a bi i-=+，则32ab=⎧⎨-=⎩即32ab=⎧⎨=-⎩，故B错误；故错误的有AB；故选：AB【点睛】本题考查复数的代数形式及几何意义，属于基础题．28．ABC【分析】设，从而有，利用消元法得到关于的一元二次方程，利用判别式大于等于0，从而求得a 的范围，即可得答案.【详解】设，∴，∴，∴，解得：，∴实数的值可能是.故选：ABC.【点解析：ABC【分析】设z x yi =+，从而有222()3x y i x yi ai ++-=+，利用消元法得到关于y 的一元二次方程，利用判别式大于等于0，从而求得a 的范围，即可得答案.【详解】设z x yi =+，∴222()3x y i x yi ai ++-=+， ∴222223,23042,x y y a y y x a ⎧++=⇒++-=⎨=⎩， ∴244(3)04a ∆=--≥，解得：44a -≤≤， ∴实数a 的值可能是1,4,0-.故选：ABC.【点睛】本题考查复数的四则运算、模的运算，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.29．AD【分析】A ．根据共轭复数的定义判断.B.若，则，与关系分实数和虚数判断.C.若，分可能均为实数和与的虚部互为相反数分析判断.D.根据，得到，再用共轭复数的定义判断.【详解】A ．根据共轭解析：AD【分析】A ．根据共轭复数的定义判断.B.若120z z -=，则12z z =，1z 与2z 关系分实数和虚数判断.C.若12z z +∈R ，分12,z z 可能均为实数和1z 与2z 的虚部互为相反数分析判断.D. 根据120z z -=，得到12z z =，再用共轭复数的定义判断.【详解】A ．根据共轭复数的定义，显然是真命题；B ．若120z z -=，则12z z =，当12,z z 均为实数时，则有21z z =，当1z ，2z 是虚数时，21≠z z ，所以B 是假命题；C ．若12z z +∈R ，则12,z z 可能均为实数，但不一定相等，或1z 与2z 的虚部互为相反数，但实部不一定相等，所以C 是假命题；D. 若120z z -=，则12z z =，所以1z 与2z 互为共轭复数，故D 是真命题.故选：AD【点睛】本题主要考查了复数及共轭复数的概念，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 30．BD【分析】选项A ：取,满足方程，所以错误；选项B ：,恒成立，所以正确；选项C ：取,,，所以错误；选项D ：代入，验证结果是纯虚数，所以正确.【详解】取,,则,但不满足,故A 错误；,恒成解析：BD【分析】选项A ：取x i =,y i =-满足方程，所以错误；选项B ：a ∀∈R ,210a +>恒成立，所以正确；选项C ：取1z i =,21z =,22120z z +=，所以错误；选项D ：4m =代入 22lg(27)(56)m m m m i --+++，验证结果是纯虚数，所以正确.【详解】取x i =,y i =-,则1x yi i +=+,但不满足1x y ==,故A 错误；a ∀∈R ,210a +>恒成立,所以2(1a i +)是纯虚数,故B 正确；取1z i =,21z =,则22120z z +=,但120z z ==不成立,故C 错误; 4m =时，复数2212756=42g m m m m i i --+++()()是纯虚数,故D 正确.故选:BD .【点睛】本题考查复数有关概念的辨析，特别要注意复数的实部和虚部都是实数，解题时要合理取特殊值，属于中档题.。

复数练习题及解析

复数练习题及解析一、名词的复数形式1. apple [əˈpl] -解析：复数形式为apples [ˈæp.lz]2. car [kɑːr] -解析：复数形式为cars [kɑːrz]3. child [tʃaɪld] -解析：复数形式为children [ˈtʃɪl.dɹən]4. book [bʊk] -解析：复数形式为books [bʊks]5. tomato [təˈmeɪ.toʊ] -解析：复数形式为tomatoes [təˈmeɪ.toʊz]二、不规则复数形式1. man [mæn] -解析：复数形式为men [men]2. woman [ˈwʊm.ən] -解析：复数形式为women [ˈwɪm.ɪn]3. mouse [maʊs] -解析：复数形式为mice [maɪs]4. tooth [tuːθ] -解析：复数形式为teeth [tiːθ]5. foot [fʊt] -解析：复数形式为feet [fiːt]6. goose [ɡuːs] -解析：复数形式为geese [ɡiːs]7. ox [ɑːks] -解析：复数形式为oxen [ˈɑːk.sən]三、名词复数形式的变化规则1. 以-s、-ss、-sh、-ch结尾的名词，复数形式直接加-es： class [klæs] - classes [ˈklæs.ɪz]glass [ɡlæs] - glasses [ˈɡlæs.ɪz]wish [wɪʃ] - wishes [ˈwɪʃ.ɪz]watch [wɑːtʃ] - watches [ˈwɑːtʃ.ɪz]2. 以辅音字母+y结尾的名词，将y变为i，再加-es：baby [ˈbeɪ.bi] - babies [ˈbeɪ.biːz]city [ˈsɪt.i] - cities [ˈsɪt.iːz]3. 以-f或-fe结尾的名词，大多数变-f为-ves，但部分变-fe为-ves：leaf [liːf] - leaves [liːvz]knife [naɪf] - knives [naɪvz]wolf [wʊlf] - wolves [wʊlvz]4. 以-o结尾的名词，大多数变-o为-es，但部分直接加-s：potato [pəˈteɪ.toʊ] - potatoes [pəˈteɪ.toʊz]radio [ˈreɪ.di.oʊ] - radios [ˈreɪ.di.oʊz]zoo [zuː] - zoos [zuːz]5. 以-us结尾的名词，变-us为-i：fungus [ˈfʌŋ.ɡəs] - fungi [ˈfʌŋ.ɡaɪ]6. 以-is结尾的名词，变-is为-es：basis [ˈbeɪ.sɪs] - bases [ˈbeɪ.siːz]analysis [əˈnæl.ə.sɪs] - analyses [əˈnæl.ə.siːz]四、名词的复数形式与意义名词的复数形式不仅仅是表示数量的变化，还可以表示其他含义。

复数练习题(有答案)

复数练习题(有答案)一、单选题1．若复数2(1i)-的实部为a ，虚部为b ，则a b +=（） A ．3-B ．2-C ．2D ．32．下列说法正确的是（）A ．若复数()i ,z a b a b R =+∈，则z 为纯虚数的充要条件是0a =且0b =.B ．若()()21i 0,x y x y R -+->∈，则2x >且1y >.C ．若()()2212230Z Z Z Z -++=，则123Z Z Z ==.D ．若复数z 满足i 2z -=，则复数z 对应点的集合是以()0,1为圆心，以2为半径的圆.3．复数(2i 的虚部为（）A ．2B ．C ．2-D ．04．已知 i 是虚数单位，复数412⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限5．若复数(32)(1)i ai +-在复平面内对应的点位于第一象限，则实数a 的取值范围为（）A ．32,23⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．23,32⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭6．复数z 满足()12i z =，i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（）A ．BC ．D 7．已知复数12i1iz -=+（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．筹四象限8．复数1ii+（其中i 为虚数单位）在复平面内所对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限9．复数z 满足：(2i)5z +=（i 是虚数单位），则复数z 的虚部为（） A ．2- B ．2 C ．i - D ．1- 10．复数2i z =-（i 为虚数单位）的虚部为（）A ．2B ．1C ．iD ．1-11．复数1i1i+-（i 为虚数单位）的共轭复数的虚部等于（） A ．1B ．1-C ．iD ．i -12．2021i 1i-=（）A ．11i 22+ B ．11i 22-- C ．11i 22-+D ．11i 22-13．设i 12z =+，则在复平面内z 的共轭复数z 对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限14．若复数z 满足1i 1i 2z +=+，则z 在复平面内所对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限15．已知复数z 满足()43i 5i z +=，则z =（）A ．1BC ．15D ．516．若复数4i1iz =-，则复数z 的模等于（） AB ．2C ．D ．4 17．复数z 在复平面内对应点的坐标为（－2，4），则1z +=（）A ．3B ．4C D 18．复数5ii 2iz -=-+在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限19．向量a ＝（－2，1）所对应的复数是（）A ．z ＝1＋2iB ．z ＝1－2iC ．z ＝－1＋2iD ．z ＝－2＋i20．设i 为虚数单位，()1i 2i z -+=+，则复数z 的虚部是（） A ．12- B ．1i 2C ．32-D ．3i 2-二、填空题21．若()i 1)（，x y x x y R +=-∈，则2x y +的值为__________.22．若i(,)i+∈a b a b R 与3+4i 互为共轭复数，则a b -=___________. 23．若i 为虚数单位，复数3i z =+，则表示复数1iz+的点在第_______象限. 24．已知i34i z =+，求|z |=___________ 25．计算：()()12i 34i 2i-+=+_________．26．设12z i =-，则z =___________ .27．写出一个在复平面内对应的点在第二象限的复数z =__________． 28．已知复数()3iR ib z b -=∈的实部和虚部相等，则z =___________． 29．设(3i)i 6i a a b +=-，其中a ，b 是实数，则i a b +=____________．30．若复数()2i m m m -+为纯虚数，则实数m 的值为________.31．已知i 是虚数单位，复数z 满足322i z =+，则z =___________.32．若复数2(1i)34iz +=+，则z =__________．33．已知复数z 满足1z =，则22z i +-的最大值为______. 34．设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则2zz-＝________． 35．将复数1＋i 对应的向量顺时针旋转45°，则所得向量对应的复数为________． 36．计算cos 40isin 40cos10isin10________．37．i 是虚数单位，则1i1i+-的值为__________.38．已知i 是虚数单位，复数12iiz -=，则z 的共轭复数z =___________. 39．已知i 为虚数单位，复数21iz =-的虚部为___________.40．已知复数z =，则复数z 的虚部为__________. 三、解答题41．设实部为正数的复数z ，满足z =(12i)z +在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上. (1)求复数z ； (2)若i()1im z m R ⋅+∈+为纯虚数，求实数m 的值.42．已知复数z满足||z =z 2的虚部为2. (1)求复数z ；(2)设22,,z z z z -在复平面上的对应点分别为A ､B ､C ，求△ABC 的面积.43．实数k 为何值时，复数()()223456i z k k k k =--+--是：(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？ (4)0？44．（1）解方程()20x x x C +=∈；（2）已知32i -+是方程()220,x px q p q R ++=∈的一个根，求实数,p q 的值.45．求数列{}n a ：112n n na a a ++=-的周期.【参考答案】一、单选题 1．B 2．D 3．C 4．C 5．A 6．D 7．C 8．D 9．D 10．D 11．B 12．C 13．D 14．D 15．A 16．C17．C 18．C 19．D 20．C二、填空题21．1 22．1 23．四24．15##0.225．43i-##3i4-+2627．1i-+（答案不唯一）28．29．30．13132．825i 6 25 -33．134．－1＋2i##2i－1 353612i37．138．2i-+39．140．三、解答题41．(1)3iz=-；(2)6m=-.【解析】【分析】（1）根据复数的模公式，结合复数乘法的运算法则、第一、三象限的角平分线的性质进行求解即可；（2）根据纯虚数的定义，结合共轭复数的定义、复数除法的运算法则进行求解即可. (1)设i(0,),10,(12i)2(2)i z a b a b R z z a b b a =+>∈∴=+=-++，由题意得，22223,101a b b a a a b b -=+=⎧⎧∴⎨⎨+==-⎩⎩，即3i z =-； (2)i i 3i 3(1)i 1i 222m m m m m z ⋅++=++=++++为纯虚数， 30,62mm ∴+=∴=-. 42．(1)1i z =+或1i z =-- (2)1 【解析】【分析】（1）设()i ,R z x y x y =+∈，根据已知条件列方程求得,x y ，由此求得z . （2）求得,,A B C 的坐标，从而求得三角形ABC 的面积. (1)设()i ,R z x y x y =+∈，222x y +=①，2222i z x y xy =-+的虚部为2，所以22,1xy xy ==②，由①②解得11x y =⎧⎨=⎩或11y x =-⎧⎨=-⎩. 所以1i z =+或1i z =--. (2)当1i z =+时，22i z =，21i z z -=-，所以()()()1,1,0,2,1,1A B C -，2AC =，所以三角形ABC 的面积为11212⨯⨯=. 当1i z =--时，22i z =，213i z z -=--，所以()()()1,1,0,2,1,3A B C ----，2AC =，所以三角形ABC 的面积为12112⨯⨯=.43．(1)6k =或1k =-； (2)6k ≠且1k ≠-； (3)4k =； (4)1k =-. 【解析】【分析】（1）解方程2560k k --=即得解；（2）解不等式2560k k --≠即得解；（3）解不等式2560k k --≠，且2340k k --=即得解；（4）解方程2560k k --=，且2340k k --=即得解. (1)解：当2560k k --=，即6k =或1k =-时，z 是实数； (2)解：当2560k k --≠，即6k ≠且1k ≠-时，z 是虚数； (3)解：当2560k k --≠，且2340k k --=，z 是纯虚数，即4k =时为纯虚数； (4)解：当2560k k --=，且2340k k --=，即1k =-时，z 是0. 44．（1）0x =或i x =±；（2）12,26p q ==. 【解析】【分析】（1）设出()i ,x a b a b =+∈R ，带入等式，再利用两复数相等：实部等于实部，虚部等于虚部.列出方程组即可解出答案.（2）将32i -+带入()220,x px q p q R ++=∈，化简后再利用两复数相等：实部等于实部，虚部等于虚部.列出方程组即可解出答案. 【详解】（1）设()i ,x a b a b =+∈R ，由20x x +=，得222i 0a b ab -+，所以220,0,a b ab ⎧⎪-=⎨=⎪⎩当0a =时，1,1,0b =-；当0b =时，0a =. 所以0x =或i x =±.（2）因为32i -+是方程()220,x px q p q ++=∈R 的一个根，所以()22(32i)32i 0p q -++-++=，整理，得()310212i 0q p p -++-=，即()2120,3100p q p ⎧-=⎨-+=⎩解得12,26p q ==. 【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题.解本类题型的关键在于利用两复数相等：实部等于实部，虚部等于虚部. 45．周期为6. 【解析】【分析】根据通项公式，写出特征方程为210x x -+=，由方程根的情况求出数列{}n a 的周期. 【详解】因为112n n na a a ++=-，所以特征方程为210x x -+=，因为Δ14130=-⨯=-<，解得：m k == 所以2arg 36a mc a kc ππ-⎛⎫==⎪-⎝⎭，所以函数()f x 的迭代周期为6T =. 所以数列{}n a 有周期6T =，。

复数练习题(有答案)

复数练习题(有答案)一、单选题1．设i 为虚数单位，()1i 2i z -+=+，则复数z 的虚部是（） A ．12-B ．1i 2C ．32-D ．3i 2-2．已知复数13i z a =-，22i z =+（i 为虚数单位），若12z z 是纯虚数，则实数=a （） A ．32- B ．32C ．6-D ．63．已知复数5i1iz -=+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z =（） A ．23i + B ．24i - C ．33i +D ．24i +4．若0a <，则a 的三角形式为（）A ．()cos0isin0a +B ．()cos isin a ππ+C ．()cos isin a ππ-+D ．()cos isin a ππ--5．复数3i(43i )-在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 6．设复数z 满足i 4i 0z ++=，则||z =（）A B ．4C D 7．若复数()()2i ,z a b a b =+-∈R ，在复平面内对应的点在直线20x y --=上，则a b -=（）A ．4-B ．0C ．2D ．48．已知复数z 满足(1i)32i +=+z ，则z 的虚部为（） A ．12 B ．1i 2-C ．12- D ．1i 29．已知复数2ii+=a z （a R ∈，i 是虚数单位）的虚部是3-，则复数z 对应的点在复平面的（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 10．集合M ={x |x =i n +1，n ∈N}（i 为虚数单位）的真子集的个数是（）A ．1B ．15C ．3D ．1611．已知复数324i 1iz +=-，则z =（）A B C ．D ．12．设i 12z =+，则在复平面内z 的共轭复数z 对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限13．已知复数()()31i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（）. A ．()3,1- B ．()1,3- C ．()1,+∞ D ．(),3-∞ 14．复数z 满足：23i 3=+-z z ，则z =（）A ．5B C ．10D 15．已知复数z 满足()43i 5i z +=，则z =（）A ．1B C ．15D ．516．下列关于复数的命题中（其中i 为虚数单位），说法正确的是（） A ．若复数1z ，2z 的模相等，则1z ，2z 是共轭复数B ．已知复数1z ，2z ，3z ，若()()2212230z z z z -+-=，则123z z z ==C ．若关于x 的方程()21i 14i 0x ax +++-=（a ∈R ）有实根，则52a =-D ．12i +是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，其中,p q 为实数，则5q = 17．复数5ii 2iz -=-+在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限18．向量a ＝（－2，1）所对应的复数是（）A ．z ＝1＋2iB ．z ＝1－2iC ．z ＝－1＋2iD ．z ＝－2＋i19．设O 为原点，向量OA ，OB 对应的复数分别为2＋3i ，－3－2i ，那么向量BA 对应的复数为（）A ．－1＋iB ．1－iC ．－5－5iD ．5＋5i20．已知m 为实数，则“1m =”是“复数()211i z m m =-++为纯虚数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题21．已知复数()()211i z a a =-+-()a R ∈是纯虚数，则=a ___________.22．已知复数z i =，i 为虚数单位，则z =______23．若i(,)i+∈a b a b R 与3+4i 互为共轭复数，则a b -=___________. 24．若复数z 满足i 3i=iz -+，则z =________. 25．若复数()2(2)9i()z m m m R =++-∈是正实数，则实数m 的值为________．26．计算：()()12i 34i 2i-+=+_________．27．若()1i 1i z +=-，则z =_______28．设i 是虚数单位，且12w =-，则21w w ++=______． 29．设复数i 12z =+（i 是虚数单位），则在复平面内，复数2z 对应的点的坐标为________.30．已知2i +是关于x 的方程()20,R x ax b a b ++=∈的根，则b a -=________.31．若a ∈R ，且i2ia ++是纯虚数，则a =____． 32．若复数1z ，2z 满足112i z =-，234i z =+（i 是虚数单位），则12z z ⋅的虚部为___________．33．已知复数z 为纯虚数且满足1-3z =|z |+3i ，则z =________ 34．已知复数z 满足1z =，则22z i +-的最大值为______.35．已知复数2i -在复平面内对应的点为P ，复数z 满足|i |1z -=，则P 与z 对应的点Z 间的距离的最大值为________. 36．计算cos 40isin 40cos10isin10________．37．已知4cos isin 1212z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则1z 的辐角主值为________． 38．i 是虚数单位，则1i1i+-的值为__________.39．已知复数z 满足2i z +∈R ，4zz-是纯虚数，则z 的共轭复数z =______. 40．已知复数1i z =+，则2z z+=____________ 三、解答题41．已知复数z1i ，z 2＝12-+ (1)求|z 1|及|z 2|并比较大小；(2)设C z ∈，满足条件|z 2|≤|z |≤|z 1|的点Z 的轨迹是什么图形？42．已知()122i z x =+-，()()2234i z y x =++-，其中,x y 均为实数，且12z z =，求,x y .43．已知复数()222159i z m m m =--+-，其中m R ∈．(1)若z 为实数，求m 的值； (2)若z 为纯虚数，求1iz+的虚部． 44．设z 是虚数，且1z zω=+满足12ω-<<. (1)求||z 的值及z 的实部的取值范围； (2)设11zu z-=+，求证：u 为纯虚数； (3)求2u ω-的最小值.45．设222215(6)i 4a a z a a a +-=--+-（R a ∈），试判断复数z 能否为纯虚数？并说明理由.【参考答案】一、单选题 1．C 2．A 3．A 4．C 5．B 6．A 7．B 8．A 9．D 10．B 11．B 12．D 13．A 14．D 15．A 16．D 17．C18．D 19．D 20．C 二、填空题 21．1- 22．1 23．1 2425．326．43i -##3i 4-+ 27．i 28．029．()34-，30．9 31．12-##0.5- 32．-2 33．i 34．1 35．1##1+3612i 37．2312π38．139．22i +##2i 2+ 40．三、解答题41．(1)12122,1,z z z z ==>(2)以O 为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环（包含圆周）【解析】【分析】（1）根据复数模的计算公式可求得1||z ，2||z 的值；（2）根据复数几何意义可解决此问题． (1)解：（1）13i z =+，212z =-，1||2z ∴，2||1z =， ∴12z z >； (2)解：由21||||||z z z ≤≤，得1||2z ≤≤，根据复数几何意义可知复数z 对应的点到原点的距离，所以|z |≥1表示|z |＝1所表示的圆外部所有点组成的集合， |z |≤2表示|z |＝2所表示的圆内部所有点组成的集合，所以复数z 对应的点Z 的轨迹是以原点O 为圆心，以1和2为半径的圆之间的部分（包括两边界）． 42．21x y =⎧⎨=-⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩【解析】【分析】根据复数相等条件可构造方程组求得结果. 【详解】12z z =，23242y x x +=⎧∴⎨-=-⎩，解得：21x y =⎧⎨=-⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩. 43．(1)3m =± (2)8 【解析】【分析】（1）由实数定义可构造方程求得m ；（2）由纯虚数定义可求得m ，进而得到z ；由复数除法运算可化简得1iz+，由虚部定义可得结果. (1)由实数定义可知：290m -=，解得：3m =±； (2)由纯虚数定义知：22215090m m m ⎧--=⎨-≠⎩，解得：5m =，16i z ∴=；()()()()16i 1i 16i 8i 1i 88i 1i 1i 1i 1i z -∴===-=++++-，1iz∴+的虚部为8. 44．(1)||1z =，112⎛⎫- ⎪⎝⎭， (2)证明见解析 (3)1 【解析】【分析】（1）根据复数的除法可得ω，根据其为实数可得221a b +=，从而z 的实部的取值范围；（2）根据复数的除法可得i 1bu a =-+，从而可证u 为纯虚数；（3）根据基本不等式可求最小值. (1)设i z a b =+，a b R ∈、，0b ≠，则22221i i i a b a b a b a b a b a b ω⎛⎫⎛⎫=++=++- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭， ∵12ω-<<，∴ω是实数，又0b ≠，∴221a b +=，即||1z =，∴2a ω=，122a ω-<=<，112a -<<，∴z 的实部的取值范围是112⎛⎫- ⎪⎝⎭，； (2)()222211i 12i i 11i 11z a b a b b b u z a b a a b ------====-++++++， ∵1,12a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，0b ≠，∴u 为纯虚数；(3)()()22212122212131111b a u a a a a a a a a ω-⎡⎤-=+=-=-+=++-⎢⎥+++⎣⎦+，∵112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，∴10a +>，故223431u ω-≥⨯=-=，当111a a +=+，即0a =时，2u ω-取得最小值1. 45．不存在a 使复数z 为纯虚数，理由见解析【解析】【分析】先假设复数z 能为纯虚数，则可得260a a --=且2221504a a a +-≠-，然后求解，若a存在，则复数z能为纯虚数，否则不能【详解】假设复数z能为纯虚数，则222260215440a aa aaa⎧--=⎪+-⎪≠⎨-⎪-≠⎪⎩，所以325,3,2,2a aa a a a==-⎧⎨≠-≠≠≠-⎩或且且且，解得a∈∅，所以不存在a使复数z为纯虚数.。

综合算式专项练习题复数与三角函数

综合算式专项练习题复数与三角函数综合算式专项练习题：复数与三角函数一、复数部分1. 已知复数 z1 = 3 + 4i，z2 = -2 - i ，求下列复数的值：（1）z1 + z2（2）z1 - z2（3）z1 * z2（4）z1 / z22. 已知复数 z = 2 + 3i，求下列复数的值：（1）z的共轭复数（2）|z|^23. 已知复数z = 4(cosα + i sinα)，求下列复数的值：（1）z的共轭复数（2）|z|（3）∠z二、三角函数部分1. 已知 a = sinα，b = cosα，请计算：（1）8(a^2 + b^2)（2）sin^2α + cos^2α（3）(a - b)^22. 已知tanα = 2/3，求下列三角函数的值：（1）sinα（2）cosα（3）cotα3. 已知sinα = 1/2，cosβ = -3/5，求下列三角函数的值：（1）sin(α+β)（2）cos(α+β)（3）tan(α+β)三、综合问题1. 已知复数 z = 3 + 4i，将其转化为三角形式，并求出模长和辐角。

2. 已知复数 z1 = 2(cosα + i sinα)，z2 = 3(cosβ + i sinβ)，求 z1 * z2 的三角形式。

3. 已知复数z = r(cosθ + i sinθ)，求复数 z^n 的三角形式，其中 n 为正整数。

四、解答说明1. 在解答复数部分的问题时，可以使用复数的代数运算规则进行计算。

2. 在解答三角函数部分的问题时，可以使用三角函数的定义和性质进行计算。

3. 在解答综合问题时，可以灵活运用复数和三角函数的知识，结合题目要求进行计算。

（以上是文章的一部分内容，总字数约为400字）根据综合算式专项练习题的要求，我们先来解答复数部分的问题。

1.（1）z1 + z2 = (3 + 4i) + (-2 - i) = 1 + 3i（2）z1 - z2 = (3 + 4i) - (-2 - i) = 5 + 5i（3）z1 * z2 = (3 + 4i) * (-2 - i) = -6 - 3i - 8i - 4i^2 = -6 - 11i + 4 = -2 - 11i（4）z1 / z2 = (3 + 4i) / (-2 - i) = (3 + 4i)(-2 + i) / (-2 - i)(-2 + i)= (-6 + 2i - 8i - 4i^2) / (4 + i^2)= (-10 - 6i) / 5= -2 - 1.2i2.（1）z的共轭复数 = 2 - 3i（2）|z|^2 = |2 + 3i|^2 = (2^2 + 3^2) = 133.（1）z的共轭复数= 4(cosα - i sinα)（2）|z| = |4(cosα + i sinα)| = 4（3）∠z = α以下是三角函数部分的解答。

高中复数加减法练习题(打印版)

高中复数加减法练习题（打印版）# 高中复数加减法练习题## 一、基础练习题1. 计算以下复数的和：\[ z_1 = 3 + 4i \]\[ z_2 = 1 - 2i \]求 $ z_1 + z_2 $。

2. 计算以下复数的差：\[ w_1 = 2 - 5i \]\[ w_2 = 1 + 3i \]求 $ w_1 - w_2 $。

3. 给定复数 $ a = 2 + 6i $ 和 $ b = -1 - 3i $，求 $ a -b $。

## 二、进阶练习题4. 计算复数 $ x = 4 - 2i $ 和 $ y = 3 + i $ 的和，并简化结果。

5. 给定复数 $ p = 1 + i $ 和 $ q = -2 - 4i $，求 $ p - q $ 并将其表示为 $ a + bi $ 的形式。

6. 计算复数 $ r = 5i $ 和 $ s = -3 - 2i $ 的差，并简化结果。

## 三、混合运算练习题7. 计算 $ (2 + 3i) + (1 - 4i) - (3 - 2i) $。

8. 给定 $ u = 2 - i $ 和 $ v = 3i $，求 $ u + v - (1 + 2i) $。

9. 计算 $ (-1 + 2i) - (3 - 4i) + (2 + i) $ 并简化。

## 四、应用题10. 在复平面上，点 $ A $ 表示复数 $ 4 + 3i $，点 $ B $ 表示复数 $ 1 - 2i $。

求点 $ A $ 和点 $ B $ 之间的距离。

11. 已知复数 $ z = 3 - 4i $，求 $ z $ 与原点 $ O $ 之间的距离。

12. 计算复数 $ w = 2 + 5i $ 与 $ x = -1 - 3i $ 的和，并在复平面上表示这个和。

注意：请同学们认真完成以上练习题，掌握复数的加减法运算规则，提高解题能力。