武汉大学2010-2011第一学期《高等数学B1》期末考试试题解

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2018-2019《大学数学微积分B1》试卷及答案

保密★启用前2018-2019学年第一学期期末考试《高等数学BⅠ》考生注意事项1．答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生教学号和考生姓名；在答题卡指定位置上填写考试科目、考生姓名和考生教学号，并涂写考生教学号信息点。

2．选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。

超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。

3．填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。

4．考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。

(以下信息考生必须认真填写)考生教学号考生姓名《高等数学B Ⅰ》试题答案第 1 页（共 5 页）一、选择题：1～6小题，每小题3分，共18分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将答案写在答题卡上，写在试题册上无效． 1. 1lim(1)nn n →∞+=（ B ）.（A ）0 （B ）1 （C ）e （D ）1e2. 设()f x 为可导函数，且满足条件0(1)(1)lim12x f f x x→−−=−，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线的斜率等于（ C ）.（A ）2 （B ）1− （C ）2− （D ）123. 设0()()()d xF x x t f t t =−⎰ ()f x 为连续函数，且(0)=0()0f f x '>，，则()y F x =在0+∞（，）内（ A ）.（A ）单调增加且为下凸（B ）单调增加且为上凸（C ）单调减少且为下凸（D ）单调减少且为上凸 4. 曲线221e 1e−−+=−x x y （ D ）.（A ）没有渐近线（B ）仅有水平渐近线（C ）仅有铅直渐近线（D ）既有水平渐近线又有铅直渐近线 5. 若ln ()sin f t t =，则()d ()tf t t f t '=⎰（ A ）. （A ）sin cos ++t t t C （B ）sin cos −+t t t C （C ）sin cos ++t t t t C （D ）sin +t t C6. 使不等式1sin d ln xtt x t>⎰成立的x 的范围是（ C ）. （A ）π(1,)2（B ）π(,π)2 （C ）(0,1) （D ）(π,+)∞《高等数学B Ⅰ》试题答案第 2 页（共 5 页）二、填空题：7～12小题，每小题3分，共18分．7. 设当0x →时，2(1cos )ln(1)x x −+是比sin n x 高阶的无穷小，而sin n x 是比2e 1x −高阶的无穷小，则正整数n 等于 3 .8．设函数()y y x =由方程2e cos()e 1x y xy +−=−所确定，求d d x yx== 2− .9. 函数()ln 12=−y x 在0=x 处的(2)n n >阶导数()(0)n f = 2(1)!n n −⋅− . 10. 221d x x x −−=⎰116． 11. 121e d x x x−∞=⎰ 1 ． 12. Oxy 平面上的椭圆22149x y +=绕x 轴旋转一周而形成的旋转曲面的方程是 222149x y z ++= . 三、解答题：13～19小题，共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．13.（本题满分10分）求函数3sin ()xf x x xπ=−的间断点，并判断间断点的类型. 【解】因为3sin sin ()(1)(1)x xf x x x x x x ππ==−−+，显然0,1,1x =−为间断点. 2分于是lim ()lim(1)(1)x x xf x x x x →→π==π−+， 4分1111sin 1cos lim ()limlim 21212x x x x x f x x →−→−→−ππππ=−=−=+ 6分 1111sin 1cos lim ()limlim 21212x x x x x f x x →→→ππππ===−−， 8分所以0,1,1x =−是第一类中的可去间断点. 10分《高等数学B Ⅰ》试题答案第 3 页（共 5 页）14.（本题满分10分）设cos sin ,sin cos x t t t y t t t =+⎧⎨=−⎩，求224d d t y x π=.【解】由题意，得4d (sin cos )cos cos sin d tan , 1.d (cos sin )sin sin cos d t y t t t t t t t yt x t t t t t t t x π='−−+===='+−++ 5分222324d d tan d 1d ,d d d cos d t y t t yx t x t t x π==⋅==π10分15.（本题满分10分）求x ．【解】设tan ,,22x t x ππ=−<<，则2d sec d x t t =，于是 3分原式2= 5分 2cos d sin tt t=⎰2sin dsin csc t t t C −==−+⎰ 9分C =+. 10分16．（本题满分10分）求函数3226187y x x x =−−−的极值.【解】2612186(3)(1),y x x x x '=−−=−+ 2分令0,y '=得驻点123, 1.x x ==− 5分又1212,(3)240,(1)240,y x y y ''''''=−=>−=−< 8分《高等数学B Ⅰ》试题答案第 4 页（共 5 页）所以极大值(1)3y −=，极小值(3)61y =−. 10分17.（本题满分10分）求由曲线y =1,4,0x x y ===所围成的平面图形的面积及该图形绕y 轴旋转一周所形成的立体的体积.【解】（1） 1S x =⎰2分432121433x ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦ 5分（2）解法1： 412y V x =π⎰ 7分4521412455x ⎡⎤π==π⎢⎥⎣⎦ 10分解法2： 24132d y V y y =π−π−π⎰ 7分1245=π 10分18.（本题满分8分）求过直线50:40x y z L x z ++=⎧⎨−+=⎩，且与平面48120x y z −−+=交成π4角的平面方程．【解1】过已知直线L 的平面束方程为(4)(5)0x z x y z λ−++++=，即(1)5(1)40x y z λλλ+++−+=. 2分已知平面的法向量为(1,4,8)−−. 由题设条件，有πcos4=，即2=，由此解得0λ=或43λ=−. 6分《高等数学B Ⅰ》试题答案第 5 页（共 5 页）将0λ=或43λ=−分别代入平面束方程，得所求平面方程为40207120x z x y z −+=++−=，. 8分【解2】过已知直线L 的平面束方程为(4)(5)0x z x y z λ−++++=，即(1)5(1)40x y z λλλ+++−+=. 2分已知平面的法向量为(1,4,8)−−. 由题设条件，有πcos4=即2=，由此解得34λ=−. 6分将34λ=−分别代入平面束方程，得所求平面方程为207120x y z ++−=. 7分另外，40x z −+=也是所求平面方程. 8分19.（本题满分6分）设函数()f x 在[]0,2π上连续，在(0,2π)内可导，且(0)1,(π)3,f f ==(2π)2f =. 试证明在(0,2π)内至少存在一点ξ，使()()cos 0f f ξξξ'+=.【证】构造函数sin ()()e x F x f x =. 2分因为()F x 在[]0,2π上连续，在(0,2π)内可导，且(0)1,(π)3,(2π)2F F F ===. 3分因为2是介于(0)1F =与(π)3F =之间的，故由闭区间上连续函数的介值定理知，在(0,π)内存在一点c 使得()2(2π)F c F ==． 5分于是在[],2πc 上函数()F x 满足罗尔定理的条件，所以[]sin ()()()cos e 0,(,2π)(0,2π)F f f c ξξξξξξ''=+=∈⊂.则原结论成立． 6分。

10-11-1高数21理工类(B)卷答案

2010 ～2011 学年度第一学期《高等数学21（理工）》试卷（B 卷）评阅标准及考核说明适用年级专业：2010级高等数学21理工类（本科）考试形式：（）开卷、（√）闭卷一、选择题（每小题 3 分，共 12 分。

请将答案填在下面的表格内） 1、C 2、A 3、D 4、B 二、填空题（每题 3分，共 12 分）[1、32 2、第一类3、14、0三、求下列极限（每题 5 分，共 10 分）[]1、解：11lim1x x x →→=- （1分）1x →= （2分）12x →== （2分）2、解：03limx x x →∞→∞=⎰3分） 13=………………………………………………………（2分）四、求下列函数的导数或微分（每题 5 分，共 15 分）]1、解：()12sin x x e y '⎛⎫⋅ ⎪''==……………………………（2分）=（2分）……………………………（1分）[]2、解：方程sin cos()0y x x y --=两边同时对x 求导得sin cos sin()()0y x y x x y x y ''++-⋅-=……………………………（1分） sin cos sin()(1)0y x y x x y y ''++-⋅-= ……………………………（2分）[]sin()sin cos sin()x y x y y x x y '--=+-……………………………（1分）cos sin()sin()sin y x x y y x y x +-'=--，所以cos sin()sin()sin y x x y dy dx x y x+-=-- ……………………………（1分）[]3、解：由(sin )(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩，则由参数方程求导得()(1cos )(1cos )()sin sin dx x t a t t dy y t a t t'--===' …………………………… （2分）22233(1cos )sin (1cos )cos 1cos sin sin sin sin t d x t t t t t dy a t a t a t '-⎡⎤⎢⎥---⎣⎦=== ……………………………（2分）所以223661cos 1(8sin t t d x t dy a t aππ==-⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦ ……………………………（1分）五、求下列积分（每题 6 分，共 12 分）1、解：22--=⎰⎰……………（2分）2分）12π=-………………………………………（2分）2、解：因为222tan (sec 1)sec x xdx x x dx x xdx xdx =-=-⎰⎰⎰⎰……………………（1分）2211tan tan tan 22xd x x x x xdx x =-=--⎰⎰………（2分） 22sin 111tan tan cos cos 2cos 2x x x dx x x x d x x x x =--=+-⎰⎰…… （2分）21tan ln cos 2x x x x C =+-+……………………（1分）六、简答题（共 8 分）解：（1）函数()f x 的定义域为2x ≠-的一切实数……………（1分）（2）因为23(6)()(2)x x f x x +'=+， ……………（1分）（3）又因为424()(2)xf x x ''=+，令()0f x ''=，得10x =，22x =-为()f x ''不存在的点（1分）（4）以10x =，22x =-为分断点，将()f x 的定义域分成三段列表如下（3分）（5）所以()f x 的凸区间是(,2)-∞-和(2,0)-，凹区间是(0,)+∞，拐点是(0,4)（2分）七、应用题（共 7 分）解：联立方程243y y x x =⎧⎨=-+-⎩得121,3x x ==…………………………（2分）所以可得所围图形的面积是33322114(43)2333x x x dx x x ⎡⎤-+-=-+-=⎢⎥⎣⎦⎰…………………………（5分）八、解微分方程（每小题 7分，共14分）[教师答题时间：6分钟][]（1）解：由22dy y dx x y =-可得212y dy x ydx x=-…………………………（1分）该方程为齐次微分方程，令y u y ux x =⇒=可得dy du u x dx dx=+ ……………（2分）则原方程变形为12(12)u dx du u u x-=+ ………………………………………（1分）两边积分可得2(12)uCx u =+ （C 为常数）………………………………………（2分）将yu x=代入上式可得2(2)y C x y =+（C 为常数）…………………………（1分） []（2）解：由已知可得方程4x y y xe ''-=的特征方程为210r -=特征值为121,1r r =-=……………………………（2分）所以其相应的齐次方程的通解为12x x y C e C e -=+ （12,C C 为常数）……………………………（1分）又因为1是一重特征根，由已知可得1m =，故原方程有特解*()x y x ax b e =+，代入原方程可得(422)4x x ax a b e xe ++=，解得1,1a b ==-，可得原方程的一个特解为 *(1)x y x x e =- 所以原方程的通解为12(1)x x x y C e C e x x e -=++-……………………………………………（2分）又因为，00|0,|1x x y y =='==可得1212011C C C C +=⎧⎨-+-=⎩，解得1211C C =-⎧⎨=⎩ 所以满足初始条件的特解为(1)x x x y e e x x e -=-++-………………（2分）九、综合题[综合型]（共10分）] 证明：220()()()a a a af x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰（2分）令2x a t =-，则当x a =时，t a =；当2x a =时，0t =，dx dt =- （4分）所以200()(2)(2)a a aaf x dx f a t dt f a x dx =--=-⎰⎰⎰（2分）所以[]20()()(2)aaf x dx f x f a x dx =+-⎰⎰（2分）注：考核类型是指：三基类、一般综合型和综合型。

武汉大学高数上往届试题

武汉大学2008–2009学年第一学期《高等数学B》试题一.试解下列各题：(每题7分,共42分)1.计算limn→∞[︃n−n3−1n(n+2)]︃.2.计算limx→0(sin x)·ln(1+2x)1−cos2x.3.设⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x=t+sin ty=f(x−t)f二阶可导,求d2yd x2.4.计算π/2−π/2sin x(x+cos x)d x.5.设f′(ln x)=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩1,0<x≤1x,x>1且f(0)=0,求f(x).6.计算反常积分+∞(1+2x)e−2x d x.二.(15分)已知函数y=(x−1)3(x+1)2,求:1.函数f(x)的单调增加、单调减少区间,极大、极小值;2.函数图形的凸性区间、拐点、渐近线.三.(12分)设有点A(3,1,−2)和直线l:x−4=y+32=z1,1.试求过点A且通过直线l的平面方程;2.求点A到直线l的距离.四.(12分)设f(x)=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩e2x+b,x≤0sin ax,x>0问:1.a,b为何值时,f(x)在x=0处可导;2.若另有F(x)在x=0处可导,证明F[f(x)]在x=0处可导.五.(12分)一铅直倒立在水中的等腰三角形水闸门,其底为6米,高为3米,且底与水面相齐,求:1.水闸所受的压力(水的比重为1);2.作一水平线将此闸门分为上下两部分,使两部分所受的压力相等.六.(7分)设f(x)在区间[0,1]上连续,且1f(x)d x=0,证明:对于任意正整数k,在(0,1)内至少存在一点ξ,使kξf(x)d x=f(ξ).武汉大学2009–2010学年第一学期《高等数学B 》试题一.试解下列各题：(每题7分,共42分)1.计算lim x →0x −arctan x e x 3−12.求解微分方程y ′′−6y ′+9y =0的通解.3.计算 1−1x 2(1+√1+x 2sin x )d x4.计算 +∞0e −√x d x .5.求曲线⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩x = t 1cos u u d u y = t 1sin u u d u 自t =1到t =π2一段弧的长度.6.设y =1x 2+3x +2,求y (n ).二.(8分)已知u =e xy ,其中y =f (x )由方程y 0e t 2d t = x 20cos t d t 确定,求d u d x .三.(8分)设x 1=1,x n =1+x n 1+x n(n =1,2,···),试证明数列{x n }收敛,并求lim n →∞x n .四.(8分)证明结论:可导函数在其导数为正值的区间上为单调增加函数,并说明此结论的几何意义.五.(15分)已知函数y =x 3+4x 2,求1.函数f (x )的单调增加,单调减少区间,极大、极小值.2.函数图形的凸性区间、拐点、渐近线.六.(12分)已知函数y =y (x )满足微分方程y ′′−y ′=2(1−x ),且x 轴为曲线y =y (x )的过原点的一条切线,在曲线y =y (x )(x ≥0)上某B 点处作一切线,使之与曲线、x 轴所围成平面图形的面积为112,试求:1.曲线y =y (x )的方程;2.切点B 的坐标;3.由上述所围图形绕x 轴旋转一周所得立体的体积.七.(7分)若f (x )在[a ,b ]上连续,且f (a )=f (b )=0及f ′(a )f ′(b )>0,则f (x )在(a ,b )内至少存在一点ξ,使f (ξ)=0.武汉大学2010–2011学年第一学期《高等数学B 》试题一.计算题:(每题7分,共56分)1.求由方程ln xy =e x +y 所确定的隐函数y =y (x )的导数d y d x .2.求lim x →0√2−√1+cos x √1+x 2−1.3.求lim x →0+ x0sin t 3d tx 0cos t 2d t .4.(7分)求lim n →∞1n [︃(︃x +2n )︃+(︃x +4n )︃+···+(︃x +2n n )︃]︃.5.求不定积分 1√1+e 2xd x .6.求定积分 π/2x (1−sin x )d x .7.求方程y ′+2xy =xe −x 2的通解.8.设f ′(x )=e −x 2,lim x →+∞f (x )=0,求 +∞0x 2f (x )d x .二.(7分)证明当0<x <π2时,sin x >2πx .三.(10分)设抛物线y =ax 2+bx +c 过原点,当0≤x ≤1时,y ≥0.又已知该抛物线与x 轴及直线x =1所围成的图形的面积为13,试确定a ,b ,c 使此图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积V 最小.四.(7分)试判断函数f (x )=lim n →∞x 2n −1−1x 2n +1的间断点及其类型.五.(10分)设函数f (x ),g (x )满足f ′(x )=g (x ),g ′(x )=2e x −f (x ),且f (0)=0,g (0)=2,求f (x ),g (x )的表达式.六.(10分)设函数f (x )在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且f (0)+f (1)+f (2)=3,f (3)=1,试证:必存在ξ∈(0,3),使f ′(ξ)=0.武汉大学2011–2012学年第一学期《高等数学B》试题一.计算题:(每题8分,共56分)1.设⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x=arcsin√1−t2y=1+t2,求d2yd x2.2.求limx→0e x−e sin x(x+x2)ln(1+x)arcsin x.3.已知limx→∞(︂x−ax+a)︂x=+∞a2xe−2x d x,求常数a的值.4.计算不定积分d x√ax+b+d(a 0).5.求定积分1x(1−x4)32d x.6.求解微分方程d yd x=x3y3−xy.7.设ϕ(x)=⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩2xxe t2d tx,x 0a,x=0求a的值使得ϕ(x)在x=0处连续,并用导数的定义求ϕ′(0).二.(5分)设a n=(︃1+1n)︃sinnπ2,证明数列{a n}没有极限.三.(10分)设y=y(x)c满足微分方程y′′−3y′+2y=2e x,且其图形在点(0,1)处的切线与曲线y=x2−x+1在该点的切线重合,求y=y(x).四.(11分)已知函数y=x−1x2+1,求函数的增减区间，凹凸区间，极值、拐点和渐近线.五.(10分)求曲线y=e x,y=sin x,x=0,x=1所围成的平面图形的面积S,并求该平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积.六.(8分)设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值,f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明:存在ξ∈(a,b),使f′′(ξ)=g′′(ξ).武汉大学2012–2013学年第一学期《高等数学B 》试题一.(5分)若lim x →x 0g (x )=0,且在x 0的某去心邻域内g (x ) 0,lim x →x 0f (x )g (x )=A ,则lim x →x 0f (x )必等于0,为什么？二.(8分)设f (x )=⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩ae x +be −x −c sin 2x ,x ∈(︁−π2,−π2)︁且x 0,1,x =0.试确定a ,b ,c 的一组值,使得f (x )在x =0处连续.三.(6分)设f (x )在x =a 处二阶可导,且f (a )=f ′(a )=0,f ′′(a )=1,求极限limx →a f (x )sin(x −a )(e x −e a )3.四.(5分)指出f (x )=11+e 1x 的间断点及其类型.五.(5分)设u ,v 均是x 的可微函数,y (x )=ln √u 2+v 2,求d y .六.(5分)求函数I (x )=x e ln t t 2−2t +1d t 在区间[e ,e 2]上的最大值.七.(5分)求 −1−2d xx √x 2−1.八.(5分)求微分方程y ′′+3y ′=cos 2x 的通解.九.(5分)若在x 0的某去心邻域内|f (x )|≤α(x ),且lim x →x 0α(x )=0,试证明:lim x →x 0f (x )=0.十.(5分)设y =y (x )由方程y =f [2x +ϕ(y )]所确定,其中f 与ϕ都是可微函数,求y ′.十一.(6分)设f (x )=lim t →∞x (︃1+1t)︃4xt ,求f ′′(x ).十二.(6分)求函数y =(x −1)3√x 2的极值.十三.(8分)求由不等式sin 3x ≤y ≤cos 3x ,0≤x ≤π4所确定的区域的面积.十四.(8分)设f (x )在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f (0)=0,对任意x ∈(0,1)有f (x ) 0,证明存在c ∈(0,1)使得n f ′(c )f (c )=f ′(1−c )f (1−c ).(n 为自然数).十五.(8分)设f (x )在[0,+∞)上连续,0<a <b .若 +∞0f (x )x d x 收敛,证明 +∞0f (ax )−f (bx )x d x =f (0)ln b a.十六.(10分)设位于第一象限的曲线y =f (x )过点⎛⎜⎜⎜⎜⎝√22,12⎞⎟⎟⎟⎟⎠,其上任意一点P (x ,y )处的法线与y 轴的交点为Q ,且线段PQ 被x 轴平分.(1)求曲线y =f (x )的方程.(2)已知曲线y =sin x 在[0,π]上的弧长为l ,试用l 表示曲线y =f (x )的弧长.。

武汉大学《概率论与数理统计》期末考试历年真题及参考答案

6、解：首先确定 f (x, y)
1[
1 x dy]dx
6,0 x 1, x2
y x；
0 x2
E(X)=
1[
0
x x2
x
6dy]dx
1 2
；E(X
2
)=
1[
0
x x2
x2
6dy]dx
3 10
；E(Y)=
1[
0
y
y y 6dx]dy
2 5
E(Y 2 )=
1[
0
y
y
(
1 2
x)(
1 2
y)
f
(x,
y), 所以X ,Y不独立；
（3）1[ 1h(x y) f (x, y)dy]dx 1[ x1 h(z)(x x z)dz]dx
00
0x
0 [ z1 h(z)(2x z)dx]dz 1 1 h(z)(2x z)dx]dz
1 0
0z
0 h(z)(z2 z 1)dz 1 h(z)(1 z2 z)dz
Z 0 1234
P
1 131 1
(Z) 16 4 8 4 16
武汉大学2011-2012 第一学期《概率论与数理统计》期末试题及参考答案
一、解：(1)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.5+0.4-0.5×0.4=0.7
(2)P((A-B)|(A+B))=P((A-B)∩(A+B))/P(A+B)=[P(A)-P(A)P(B)]/P(A+B)=0.3/0.7=3/7 二、解：
y
2
6dx]dy
3 14
；E(XY)=

高等数学期末考试试题及答案(大一考试)

五、设函数由方程确定，求。

（8分）六、若有界可积函数满足关系式，求。

（8分）七、求下列各不定积分（每题6分，共12分）（1）.八、设求定积分。

(6分)九、讨论函数的单调区间、极值、凹凸区间和拐点坐标。

(10分）十、求方程的通解（6分）十一、求证：。

（5分)第一学期高等数学（上）（A）卷分标准题3分，共15分）2。

B 3。

D 4.B 5。

D分，共18分）为任意常数）,4. 2 ，5。

6。

分………………………………………..6分分解：………………3分 (6) (8)导 (3)数)…………6分分解：（1）。

……。

.3分…………………….6分分分=……………6分时有极大值2，有极小值. 在上是凸的，在上是凹的，拐点为(0，0）………10分十、解； (3)设方程（1）的解为代入(1）得………5分 (6)十一、证明：令………………1 分又…。

3分的图形是凸的,由函数在闭区间连续知道最小值一定在区间端点取到。

，所以………….5分。

（2010至2011学年第一学期）一、单项选择题（15分，每小题3分）1、当时，下列函数为无穷小量的是（）（A）（B) （C）（D)2．函数在点处连续是函数在该点可导的( ）(A）必要条件(B）充分条件（C)充要条件(D）既非充分也非必要条件3．设在内单增，则在内( ）（A）无驻点（B）无拐点（C）无极值点（D)4．设在内连续,且,则至少存在一点使（）成立。

（A) （B)（C) （D）5．广义积分当（）时收敛。

(A) （B）（C）（D)二、填空题（15分,每小题3分)1、若当时,，则；2、设由方程所确定的隐函数，则；3、函数在区间单减;在区间单增；4、若在处取得极值，则；5、若，则；三、计算下列极限。

（12分,每小题6分）1、2、四、求下列函数的导数（12分，每小题6分）1、，求2、，求五、计算下列积分（18分，每小题6分）1、2、3、设，计算六、讨论函数的连续性，若有间断点,指出其类型. （7分）七、证明不等式:当时，（7分)八、求由曲线所围图形的面积。

武汉大学2011年数学分析试题解答

武汉⼤学2011年数学分析试题解答武汉⼤学2011年数学分析试题解答1：计算题（1）解：原极限\text{=}\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[n]{n}}{n}\cdot {{n}^{1-\alpha }}={{e}^{-1}}\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{n}^{1-\alpha }}=\left\{\begin{array} +\infty, & \hbox{$0<\alpha<1$;} \\ e^{-1}, & \hbox{$\alpha=1$;} \\ 0, & \hbox{$\alpha>1$.} \end{array} \right.(解释⼀下：\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[n]{n}}{n}={{e}^{\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}{In\frac{i}{n}}}}={{e}^{\int\limits_{0}^{1}{Inxdx}}}={{e}^{-1}}（来源于数学分析上册第⼆章课后习题）（2）解：考虑等价⽆穷⼩：\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\cos x}{\frac{1}{2}{{x}^{2}}}=1，则1-\cos \sqrt{\tan x-\sin x}=2{{\sin }^{2}}\frac{\sqrt{\tan x-\sin x}}{2}\sim \frac{1}{2}(\tan x-\sin x)=\frac{\sin x}{2\cos x}(1-\cos x)\sim \frac{1}{4} {{x}^{3}}另⼀⽅⾯：\sqrt[3]{1+{{x}^{3}}}-\sqrt[3]{1-{{x}^{3}}}=\frac{2{{x}^{3}}}{{{(\sqrt[3]{1+{{x}^{3}}})}^{2}}+\sqrt[3]{(1+{{x}^{3}})(1-{{x}^{3}})}+{{(\sqrt[3]{1-{{x}^{3}}})}^{2}}}\sim \frac{2{{x}^{3}}}{3}从⽽原式 =\frac{3}{8}（3）法⼀：解：原式=\int{\frac{1+\cos x}{\sqrt{1+\cos x}}dx=}\int{\frac{2{{\cos }^{2}}\frac{x}{2}}{\sqrt{1+\cos x}}dx=}\int{\frac{2{{\cos }^{2}}\frac{x}{2}(1-{{\sin }^{2}}\frac{x}{2})}{{{\cos }^{2}}\frac{x}{2}\sqrt{1+\cos x}}dx}=\int{\frac{1+\cos x-\sin x\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}{{{\cos }^{2}}\frac{x}{2}\sqrt{1+\cos x}}dx=}\int{\sqrt{1+\cos x}{{\sec }^{2}}\frac{x} {2}+\frac{-\sin x}{\sqrt{1+\cos x}}\tan \frac{x}{2}dx}=2\int{d(\sqrt{1+\cos x}\tan \frac{x}{2})=2}\sqrt{1+\cos x}\tan \frac{x}{2}+C法⼆：由于\int{\sqrt{\text{1+}\cos x}dx}=\sqrt{2}\int{\left| \cos \frac{x}{2} \right|}dx考虑到\int{\left| x \right|}dx=\frac{{{x}^{2}}}{2}sgn x+C于是\int{\sqrt{\text{1+}\cos x}dx}=2\sqrt{2}\sin \frac{x}{2}sgn (\cos \frac{x}{2})+C（C为常数）法三：由于\int{\sqrt{\text{1+}\cos x}dx}=\sqrt{2}\int{\left| \cos \frac{x}{2} \right|}dx\overset{t=\frac{x}{2}}{\mathop{=}}\,2\sqrt{2}\int{\left| \cos t \right|}dt⽽\int {\left| {\cos t} \right|} dt=\left\{\begin{array}{ll} \sin t + {c_k}, & \hbox{$- \frac{\pi }{2} + 2k\pi \le t \le \frac{\pi }{2} + 2k\pi$;} \\ - \sin t + {d_k}, & \hbox{$\frac{\pi }{2} + 2k\pi \le t \le \frac{{3\pi }}{2} + 2k\pi$.} \end{array} \right.+C为连续函数，其中C为常数于是\left\{\begin{array}{ll} {c_k} + 1 = - 1 + {d_k} \\ {c_{k + 1}} - 1 = 1 + {d_k} \end{array} \right.，令{{c}_{0}}=0则{{c}_{k}}=4k,{{d}_{k}}=4k+2于是\int {\left| {\cos t} \right|} dt=\left\{\begin{array}{ll} \sin t + 4k, & \hbox{$ - \frac{\pi }{2} + 2k\pi \le t \le \frac{\pi }{2} + 2k\pi$;} \\ - \sin t + 4k + 2, & \hbox{$\frac{\pi }{2} + 2k\pi \le t \le \frac{{3\pi }}{2} + 2k\pi$.} \end{array} \right.+C即\int {\sqrt {{\rm{1 + }}\cos x} dx}=\left\{\begin{array}{ll} 2\sqrt 2 (\sin \frac{x}{2} + 4k), & \hbox{$ - \pi + 4k\pi \le x \le \pi + 4k\pi$;} \\ 2\sqrt 2 ( - \sin \frac{x}{2} + 4k + 2), & \hbox{$\pi + 4k\pi \le x \le 3\pi + 4k\pi$.} \end{array} \right.+C，其中C为常数（4）解：F(x,y)=x\int_{\frac{y}{x}}^{xy}{zf(z)dz-y\int_{\frac{y}{x}}^{xy}{f(z)dz}}则F_{x}^{'}=\int_{\frac{y}{x}}^{xy}{zf(z)dz+x[xyf(xy)\cdot y-\frac{y}{x}f(\frac{y}{x})\cdot \frac{-y}{{{x}^{2}}}]-y[f(xy)\cdot y-f(\frac{y}{x})\cdot \frac{-y} {{{x}^{2}}}]}=\int_{\frac{y}{x}}^{xy}{zf(z)dz+({{x}^{2}}-1){{y}^{2}}f(xy)}F_{xx}^{''}=xyf(xy)\cdot y-\frac{y}{x}f(\frac{y}{x})\cdot \frac{-y}{{{x}^{2}}}+2x{{y}^{2}}f(xy)+({{x}^{2}}-1){{y}^{2}}f'(xy)\cdot y=3x{{y}^{2}}f(xy)+\frac{{{y}^{2}}}{{{x}^{3}}}f(\frac{y}{x})+({{x}^{2}}-1){{y}^{3}}f'(xy)（5）解：原式=\int\limits_{0}^{1}{dy\int\limits_{-1}^{{{y}^{2}}}{({{y}^{2}}-x)dx+}}\int\limits_{0}^{1}{dy\int\limits_{{{y}^{2}}}^{1}{(-{{y}^{2}}+x)dx}}=\frac{6}{5}2：说明，原版的试卷中的题⽬可能有点问题，原版试题如下：已知f(x),g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可微，且g'(x)在(a,b)上⽆零点，证明：\exists \xi \in (a,b),st\frac{f'(\xi )}{g'(\xi )}=\frac{f(b)-g(\xi )}{g(\xi )-g(a)}如果有思路的话，欢迎补充！证明:作辅助函数F\left( x \right)=f\left( x \right)g\left( x \right)-g\left( b \right)f\left( x \right)-f\left( a \right)g\left( x \right)虽然F\left( x \right) 在[a,b]上连续，在(a,b)上可微, F\left( a \right)=F\left( b \right)=-f\left( a \right)g\left( b \right)由罗尔中值定理,存在\xi \in \left( a,b \right)使得{F}'\left( \xi \right)=0即{f}'\left( \xi \right)g\left( \xi \right)+f\left( \xi \right){g}'\left( \xi \right)-g\left( b \right){f}'\left( \xi \right)-f\left( a \right){g}'\left( \xi \right)=0整理\left[ f\left( a \right)-f\left( \xi \right) \right]{g}'\left( \xi \right)-{f}'\left( \xi \right)\left[ g\left( \xi \right)-g\left( b \right) \right]=0即\frac{f\left( a \right)-f\left( \xi \right)}{g\left( \xi \right)-g\left( b \right)}=\frac{{f}'\left( \xi \right)}{{g}'\left( \xi \right)} ,证得3：（⽅法⼀）证明：\left| \frac{{{a}_{1}}{{b}_{n}}+{{a}_{2}}{{b}_{n-1}}+\cdots +{{a}_{n}}{{b}_{1}}}{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\cdots +{{a}_{n}}}-b \right|=\left|\frac{{{a}_{1}}({{b}_{n}}-b)+{{a}_{2}}({{b}_{n-1}}-b)+\cdots +{{a}_{n}}({{b}_{1}}-b)}{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\cdots +{{a}_{n}}} \right| \le \frac{{{a}_{1}}\left| {{b}_{n}}-b \right|+\cdots +{{a}_{n-N}}\left| {{b}_{N+1}}-b \right|}{{{a}_{1}}+\cdots +{{a}_{n}}}+\frac{{{a}_{n-N+1}}\left| {{b}_{N}}-b \right|+\cdots +{{a}_{n}}\left| {{b}_{1}}-b \right|}{{{a}_{1}}+\cdots +{{a}_{n}}}\le \underset{N+1\le k\le n}{\mathop \max }\,\left| {{b}_{k}}-b \right|+\underset{N+1\le k\le n}{\mathop \max }\,\left| {{b}_{k}}-b \right|\cdot \frac{N}{n-N+1}=I_{1}^{n}+I_{2}^{n}从⽽对\forall \varepsilon >0,先取定N使得I_{1}^{n}<\frac{\varepsilon }{2}，后让n充分⼤即有I_{2}^{n}<\frac{\varepsilon }{2}，于是有结论成⽴。

武大高数试题及答案

武大高数试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数 $ f(x) = x^3 - 3x $ 的导数是（）。

A. $ 3x^2 - 3 $B. $ x^2 - 3 $C. $ 3x^2 + 3 $D. $ x^3 - 3 $答案：A2. 极限 $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} $ 的值是（）。

A. 0B. 1C. $ \frac{\pi}{2} $D. $ \infty $答案：B3. 级数 $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} $ 是（）。

A. 收敛的B. 发散的C. 条件收敛的D. 绝对收敛的答案：A4. 函数 $ y = \ln(x^2 + 1) $ 的定义域是（）。

A. $ (-\infty, 0) $B. $ (0, +\infty) $C. $ (-\infty, +\infty) $D. $ \{0\} $答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 如果 $ f'(x) = 2x $，那么 $ f(x) =\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ $。

答案：$ x^2 + C $（其中 $ C $ 为常数）2. 函数 $ y = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 $ 的极值点是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。

答案：$ x = 0 $ 或 $ x = 3 $3. 函数 $ y = e^x $ 的反函数是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。

答案：$ y = \ln(x) $4. 曲线 $ y = x^2 $ 在点 $ (1, 1) $ 处的切线方程是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。

武汉大学2018-2019学年第一学期《高等数学B1》考试试卷

1+ x 2 1+ e 2 x ⎰⎰《高等数学 B1》考试试卷（A 卷）一、计算题：（每题 7 分，共 56 分）1. 求由方程ln xy = e x + y 所确定的隐函数 y = y (x ) 的导数dy .dx2. 求lim 2 - 1+ cos x .3. 求 limxsin t 3dt0 .x →0-1x →0+x cos t 2dtlim 1 ⎡⎛ x + 2 ⎫ + ⎛ x + 4 ⎫ + + ⎛ x + 2n ⎫⎤ 4. 求n →∞ n ⎢ n ⎪ n⎪ n ⎪⎥ . ⎣⎝⎭ ⎝⎭⎝⎭⎦5. 求不定积分⎰ 1dx .π6. 求定积分 2 x (1- sin x )dx .7. 求方程 y '+2xy = xe - x 2的通解.8. 设 f '(x ) = e - x2,lim x →+∞f (x ) = 0, 求 +∞x 2f (x )dx . 0 二、(7 分) 证明当0 < x < π 时， sin x > 2x .2 π三、(10 分) 设抛物线 y = ax 2 + bx + c 过原点，当0 ≤ x ≤ 1时，y ≥ 0. 又已知该抛物线与x 轴及直线 x = 1所围成的图形的面积为1，试确定a ,b , c , 使3 此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V 最小。

四、(7 分) 试判断函数 f (x ) = lim x2n -1 -1 2n的间断点及其类型。

n →∞x +1五、(10 分) 设函数 f (x ), g (x ) 满足 f '(x ) = g (x ), g '(x ) = 2e x - f (x ), 且f (0) = 0,g (0) = 2, 求 f (x ), g (x ) 的表达式。

六、(10 分)设函数 f (x ) 在[0, 3] 上连续，在(0, 3) 内可导，且f (0) + f (1) + f (2) = 3, f (3) = 1 ，试证：必存在ξ ∈(0,3), 使 f '(ξ ) = 0.⎰ ⎰1+ e 2 x +11+ e 2 x -⎨《高等数学 B1》标准答案（A 卷）一、1、y (xe x + y -1)；2、 1；3 、 0； 4、 + ；5、 1x (1- ye x + y)+ 2 2 ；6、π 2 - ；7、x = 1 2 +1- x 2；ln C 2 1 y ( 8 2 x C )e8、⎰+∞ x 2f (x )dx = 1x 3 f (x ) +∞ - 1 ⎰+∞ x 3 f '(x )dx3 0 3 0= 1limf (x ) + 1 (x 2e - x 2 + e - x 2 -1) +∞ = - 1 + 1 lim f '(x ) = - 1 3 x →+∞ x -3 60 6 3 x →+∞ -3x -4 6 二、证明：设 f (x ) = sin x ，则 f '(x ) = x cos x -sin x = cos x(x - tan x ) < 0 ，x所以在(0, π) 内 f (x ) 单调递减，故 f (x ) > 2三、a = - 5 ,b = 3, c = 04 2⎧⎪-1, | x |< 1, x = -1, x 2 π f ( ) 2 x 2 = 2 . 即证得结论。

2007—2008第一学期《高等数学B》期末考试试题及答案

武汉大学数学与统计学院2007—2008第一学期《高等数学B 》期末考试试题（180学时）一、（87'⨯）试解下列各题：1、计算lim n →∞-2、计算0ln(1)limcos 1x x x x →+--3、计算arctan d x x x ⎰4、计算4x ⎰5、计算d xxe x +∞-⎰6、设曲线方程为sin cos 2x t y t=⎧⎨=⎩，求此曲线在点4t π=处的切线方程。

7、已知2200d cos d yx te t t t =⎰⎰，求xy d d8、设11x y x-=+，求()n y二、（15分）已知函数32(1)xy x =-求：1、函数)(x f 的单调增加、单调减少区间，极大、极小值；2、函数图形的凸性区间、拐点、渐近线。

三、（10分）设()g x 是[1,2]上的连续函数，0()()d x f x g t t =⎰1、用定义证明()f x 在(1,2)内可导；2、证明()f x 在1x =处右连续；四、（10分）1、设平面图形A 由抛物线2y x = ，直线8x =及x 轴所围成，求平面图形A 绕x轴旋转一周所形成的立体体积；2、在抛物线2(08)y x x =≤≤上求一点，使得过此点所作切线与直线8x =及x 轴所围图形面积最大。

五、（9分）当0x ≥，对()f x 在[0,]b 上应用拉格朗日中值定理有： ()(0)()(0,f b f f b b ξξ'-=∈ 对于函数()arcsin f x x =，求极限0lim b bξ→武汉大学数学与统计学院 B 卷2007—2008第一学期《高等数学B 》期末考试试题一、（86'⨯）试解下列各题：1、计算3arctan limln(12)x x x x →-+ 2、计算12ln(1)d (2)x x x +-⎰3、计算积分：21arctanx d xx +∞⎰4、已知两曲线()y f x =与1x y xy e ++=所确定，在点(0,0)处的切线相同，写出此切线方程，并求极限2lim ()n nf n→∞5、设，2221cos cos tx t uduy t t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩⎰，试求：d d y x，22d |d t y x的值。

第一学期《高等数学B》期末考试试题及答案

武汉大学数学与统计学院2007—2008第一学期《高等数学B 》期末考试试题（180学时）一、（87'⨯）试解下列各题：1、计算n →∞2、计算0ln(1)lim cos 1x x xx →+--3、计算arctan d x x x ⎰4、计算4x ⎰5、计算d x xe x +∞-⎰6、设曲线方程为sin cos 2x t y t=⎧⎨=⎩，求此曲线在点4t π=处的切线方程。

7、已知2200d cos d y x te t t t =⎰⎰，求x y d d8、设11x y x-=+，求()n y二、（15分）已知函数32(1)x y x =-求： 1、函数)(x f 的单调增加、单调减少区间，极大、极小值；2、函数图形的凸性区间、拐点、渐近线。

三、（10分）设()g x 是[1,2]上的连续函数，0()()d x f x g t t =⎰1、用定义证明()f x 在(1,2)内可导；2、证明()f x 在1x =处右连续；四、（10分）1、设平面图形A 由抛物线2y x = ，直线8x =及x 轴所围成，求平面图形A 绕x轴旋转一周所形成的立体体积； 2、在抛物线2(08)y x x =≤≤上求一点，使得过此点所作切线与直线8x =及x 轴所围图形面积最大。

五、（9分）当0x ≥，对()f x 在[0,]b 上应用拉格朗日中值定理有： ()(0)()(0,)f b f f bb ξξ'-=∈对于函数()arcsin f x x =，求极限0lim b bξ→武汉大学数学与统计学院 B 卷2007—2008第一学期《高等数学B 》期末考试试题一、（86'⨯）试解下列各题：1、计算30arctan lim ln(12)x x x x →-+2、计算120ln(1)d (2)x x x +-⎰ 3、计算积分：21arctanxd x x +∞⎰ 4、已知两曲线()y f x =与1x yxy e++=所确定，在点(0,0)处的切线相同，写出此切线方程，并求极限2lim ()n nf n→∞5、设，2221cos cos t x t udu y t t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，试求：d d y x，22d |d t y x 的值。

大学高等数学第一册考试试题答案详解

大学高等数学第一册考试试题答案详解【大学高等数学第一册考试试题答案详解】一、选择题：1. 答：B解析：首先应用导数求解微分方程，得到特解y=e^x。

再将y=e^x 代入$x^2y''+xy'-y=0$式中，可以得到等式左边为0，故选项B正确。

2. 答：D解析：根据导数的定义得出，当x=1时，函数f(x)的导数为0，由此可推知f(x)在x=1处取极值。

又根据极值点的判定条件，当导数变号时，极值达到。

从而得出答案为选项D。

3. 答：C解析：由公式算得h(t)=1−0.2t，比较上下限得到兴趣区间为(0,5]，同时根据积分的定义算得兴趣总量为1.2。

4. 答：A解析：利用二重积分计算可以得出此立体体积为选项A中的数字。

5. 答：D解析：根据函数与其导函数的关系，对f(-3)进行积分，可以得到选项D的答案。

二、填空题：1. 答：$-1/4$解析：利用分部积分法计算，并带入上下限，得到此结果。

2. 答：2解析：根据积分的性质计算得到积分结果为2。

3. 答：27解析：由多重积分公式计算得积分结果为27。

4. 答：0.5解析：利用积分求解二次方程得出结果为0.5。

5. 答：$\arcsin(2/3)+C$解析：通过求导验证可得到该结果。

三、解答题：1. 答：解释二重积分与定积分的关系。

解析：二重积分是定积分的推广，用于计算平面区域上的面积，其中积分的上下限分别为该区域的y轴边界函数和x轴边界函数。

定积分则是对一个区间上的函数进行求和，其中积分的上下限为该区间的起点和终点。

2. 答：证明洛必达法则在极限存在的条件下成立。

解析：洛必达法则用于解决极限存在但无法直接求解的情况。

在证明洛必达法则成立时，可以通过应用导数定义以及泰勒级数展开等方法进行推导，最终得到洛必达法则的条件以及成立的证明过程。

四、应用题：1. 答：$\frac{1}{6}\pi^3$解析：根据旋转体体积的计算公式，可以得到此结果。

高数必不挂-高等数学B(一)2010-2011(A)解答

第 1 页共 6 页上海海事大学试卷2010 — 2011 学年第一学期期末考试《高等数学B （一）》（A 卷）（本次考试不能使用计算器）班级学号姓名总分(本大题分3小题, 每小题4分, 共12分)()2121)()()(1)(lim 1•e D ••e•C ••e •B ••••A ••••b••••••e ee e nn n n n 、=⋅⋅-∞→()定　是否取得极值不能确必不取得极值必取得极小值也必取得极大值处在则处取得极大值都在及、设)()()()()( , )()()(,)()(2D C •••B A ••••D•••a x x F x g x f x F a x x g x f ===()4)(3)(2)(1)()(0)()(0)0()(302 等于是同阶无穷小，则与时，且当，，连续，、设D C •••••B A ••••C•••••k x x F x ••dt t f t x F f x f k •x•→=≠⎰ 二、填空题（将正确答案填在横线上）(本大题分2小题, 每小题4分, 共8分)1、．处连续，则在，要使　设_______1__)0(0)()0(1)(-==≠-=-f x x f x •xe xf x 2、='⎰x x f x f d )2(,)(则连续可导设 .)2(21c x f + 三计算题（必须有解题过程，否则不给分）（本大题分10小题，每题6分，共 60分） 1、[])1ln()1ln(lim --++∞→n n n n 求极限--------------------------------------------------------------------------------------装订线第 2 页共 6 页=-+=+∞→nn n n )11ln(lim 原式2ln )121ln(lim 21221==-+--+∞→e n n nn n 6分的微分关于试求确定了函数、设参数方程x y •••x y y te y tt x t)(cos sin 22=⎪⎩⎪⎨⎧=+= 解：costt 2sin (cos +-=）t t e dx dy t 3分dx t t e dy t costt 2sin (cos +-=） 6分3、y y x x e x y y y '+=-=求所确定由设　,)ln()( 解：yx y y e y +'+=-'11， 4分 1)(1-+++='y x e yx y y 6分4、．是常量，其中计算⎰-2000)2sin(T ••dt Ttϕϕπ 20)2cos(2T t T T ϕ-ππ-=原式 4分[]=---T200ππϕϕcos()cos =Tπϕcos 06分 5、?112ln 11)1ln()(2处是否可微在，，讨论函数=⎩⎨⎧≥+-<+=x x x x x x f解：112ln )1ln(lim )1(21=--+='-→-x x f x 3分 112ln 2ln 1lim )1(1=--+-='-→+x x f x 5分所以x=1处可微。

高等数学期末考试试题及答案(大一考试)

（2010至2011学年第一学期）课程名称：高等数学(上)(A 卷)考试(考查)：考试 2008年 1 月 10日共 6 页注意事项：1、满分100分。

要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。

2、考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否则视为废卷。

3、考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。

4、如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷分别一同交回，否则不给分。

试题一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分）1. =--→1)1sin(lim21x x x ( ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D)212.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e xx )(⎰--为( )(A) c e F x +)(； (B) c eF x+--)(；(C) c e F x+-)(； (D )c xe F x +-)( 3.下列广义积分中 ( )是收敛的. (A)⎰+∞∞-xdx sin ； (B)dx x⎰-111； (C) dx x x ⎰+∞∞-+21； (D)⎰∞-0dx e x。

4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( )(A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导；(C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则⎰xadt t f )(在[]b a ,上一定可导。

5. 设函数=)(x f nn x x211lim++∞→ ，则下列结论正确的为( )(A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分）1. 极限=-+→xx x 11lim 20 _____.2. 曲线⎩⎨⎧=+=321ty t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程xxe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22)2(21+-，则该方程的通解为 .4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22)(lim2=-→x x f x ，则_____)2(='f5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。

10-11 高等数学1试题(B卷)及解答

广州大学2010-2011学年第一学期考试卷课程：高等数学Ⅰ1（90学时）考试形式：闭卷考试学院:__________ 专业班级:__________ 学号:__________ 姓名:________一．填空题(每小题3分,本大题满分15分)1．设()f x 的定义域为[0,1], 则f 的定义域为 .2．设函数()2cos ,0(),0x x x f x a x -⎧⎪≠=⎨=⎪⎩，当常数=a ______时,)(x f 在0x =处连续. 3．曲线2sin 2x x y +=上点0=x 处的法线方程为______ __. 4．曲线x xe y -=的凸区间为_______ _____.5．若)(x f 是x e -的原函数，且0)0(=f ，则dx xx f ⎰)(ln = .二．选择题(每小题3分,本大题满分15分)1．当0→x 时，x x -tan 是x 的( ).A. 高阶无穷小;B. 低阶无穷小;C. 等价无穷小;D. 同阶但不等价无穷小.2．下列函数中，对于闭区间]1,1[-上满足罗尔定理所有条件的是( ).A. xe xf =)(; B. ||ln )(x x f =; C. 211)(xx f -=; D. 21)(x x f -=. 3．函数x x x f sin )(=的可去间断点个数为( ). A ．0; B. 1; C. 2; D. 无穷多个.4．曲线1sin y x x=有一条( ). A. 水平渐近线1y =; B. 水平渐近线0y =;C. 铅直渐近线1x =;D. 铅直渐近线0x =.5．若22001()d ()d 2a xf x x f x x =⎰⎰，则a =( ). A. 1; B. 2; C. 12; D. 4.三．解答下列各题(每小题6分,本大题满分18分)1．22arctan 1x y x =-，求y d .2．求由方程y x exy +=所确定的隐函数()y f x =的导数dxdy .3．设)(x y y =由参数方程2323x t t y t t⎧=-⎨=-⎩所确定, 求d d y x 和22d d x y .四．解答下列各题(每小题6分,本大题满分12分)1．计算极限111lim()ln 1x x x →--.2．设x x x f sin )(3=，求)0(f '.五．计算下列积分(每小题6分,本大题满分18分)1．dx xe x ⎰-2.2．0x ⎰.3．22145dx x x +∞-+⎰.六．(本题满分6分)证明当0x >时, 有2ln(1)2x x x +>-.七．(本题满分6分)求内接于半径为R 的半圆且周长最大的矩形的边长.八．(本大题满分10分)求由曲线2x y =与x y =所围成图形的面积及该平面图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积.广州大学2010-2011学年第一学期考试卷高等数学Ⅰ1（90学时B 卷）参考解答与评分标准一．填空题(每小题3分,本大题满分15分)1．设()f x 的定义域为[0,1],则f 的定义域为[1,1]-.2．设函数()2cos 0()0x x x f x a x -⎧⎪≠=⎨=⎪⎩，当常数=a 21-e 时,)(x f 在0x =处连续. 3．曲线2sin 2x x y +=上点0=x 处的法线方程为 x y 21-= 。

高等数学B1

13
(二)主要定理 1.闭区间上连续函数的性质定理：
(1)零点定理;(2)有界性定理;(3)介值定理。 2.微分中值定理：
(1)罗尔定理;(2)拉格朗日定理 ;(3)柯西定理。 3.函数单调性与凹凸性判定定理。 4.函数拐点存在的必要条件。
14
5.函数极值存在的充分条件一、二和必要条件。 6.定积分性质定理：
'
(
x0
)存在，则
lim
h0
f
( x0
h)
h
f
( x0
h)
。
3sin x x2 sin 1
(2)(4分)lim
x 。
x０ (1 sin x)x
x x et2 dt
(3)(8分)求极限 lim
0
x0 x tan 2x ln(1 x) 19
3、(2006级期末)： 1)计算(每题5分):
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期末考试复习辅导
一、考试说明二、主要试题类型三、主要知识系统四、重要知识考点五、考题分类选讲
1
二、主要试题类型 1、选择题 2、填空题(选择与填空题不超过20%） 3、计算题(重点) 4、证明题 5、作图题(一般不考)
2
三、主要知识系统
基本初等函数
复合函数
函数的定义
初等函数反函数隐函数
h0
2)计算(每题７分):
h
f ' (x0 )
(1) lim ３x-2
x１ x 1
x
( , (2) lim
x0
x et2 dt)2
0
x te2t2 dt
,
(3) lim(tanx x)arcsinx
0

高等数学2010上期末考试答案

参考答案(B)一、单项选择题（每小题2分，共14分） BCCCDBBB二、填空题（每小题2分，共20分）1） 2y x =-， 2）()2242x x +，3） 52sin 2x ，4） 2213(1)t t +，5） 0，6） 2，7）0()()x f t dt xf x -⎰，8）-2， 9）15，10）21x -- 三、计算题（每小题7分，共42分）1、若()1sin ,0()2,01,0x ax x x f x x bx x ⎧<⎪⎪==⎨⎪⎪+>⎩在R 上连续，求：,a b 解：0lim ()x f x a →-= ,0lim ()b x f x e →+= ………………. 5分 ()f x 在0x =处连续2b a e ∴==，2,ln 2a b ∴==…………………. 2分 2、ln(1dx +⎰t =，21x t =-，2dx tdt =……….2分原式ln(1)2t tdt =+⎰22ln(1)1t t t dt t=+-+⎰ 21ln(1)11t t t dt t ⎛⎫=+--+ ⎪+⎝⎭⎰ 22ln(1)ln 12t t t t t C =+-+-++……………………….4分1(1)ln(1ln12xx C+=++-+++……………….1分3、n解：11lnlimlnlim lim x xxxx xx xx e e→+∞→+∞→+∞==1lim11xxe→+∞==……………………………………………….5分1n∴=……………………………………………….1分4、已知：441x xy y-+=在(0,1)附近确定了函数()y y x=，求：(0,1)|y'解：方程两边对x求导得：33440x y xy y y''--+=3344x yyx y-'=-……………………………….……….6分3(0,1)3(0,1)41|44x yyx y-'==-……………………………….1分5、cos xx→解：原式()cos1cos021lim13x xxe ex-→-=………………. 2分()cos021coslim13xxe xx→⋅-=………………….2分cos0021coslim lim13xx xxex→→-=⋅………………….1分32=………………….2分6、计算：312x dx --⎰ 解：原式2312(2)(2)x dx x dx -=-+-⎰⎰…………….3分 22231222522x x x x -⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……………….4分 7、计算： 011lim 1x x x e x -→+⎫⎛- ⎪-⎝⎭ 解：原式()201lim 1xx x x x e x e --→+-+=-………………. 2分 2200112lim lim 2x xx x x x e x e x x--→→+-++-== ….3分 023lim 22x x e -→+== ………………….2分四、解答题1（9分）已知：31sin ,0()0,0x x x f x x x ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩，求()f x '，并判断()f x '的连续性解：当0x ≠时，211()3sin cos 1f x x x x x'=-+……………………….2分当0x =时，301sin (0)lim 1x x x x f x→+'==……………………….2分 2113sin cos 1,0()1,0x x x f x x x x ⎧-+≠⎪'∴=⎨⎪=⎩……………………….1分当0x ≠时，()f x '连续……………………….1分当0x =时，20011lim ()lim 3sin cos 11(0)x x f x x x f x x →→⎫⎛''=-+== ⎪⎝⎭ 故()f x '在0x =处连续()f x '∴在R 上连续。