武汉大学2010-2011第一学期《高等数学B1》期末考试试题解

2010-2011第一学期《高等数学B1》期末考试试题解

一、计算题（7⨯8分）

1、求由方程ln()x y xy e +=确定的隐函数()y y x =的导数dy dx

。 2

、求x →3、求3002

0sin lim cos x x x t dt

t dt →⎰⎰。 4、求1242lim n n x x x n n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝

⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 。 5

、求不定积分

。

6、求定积分2

0(1sin )x x dx π-⎰。

7、求方程22x y xy xe -'+=的通解。

8、设2(),lim ()0x x f x e f x -→+∞'==求20()x f x dx +∞⎰。

解、1、(1),x y

x y x y y xy dy y xye e y xy dx xye x

+++'+-'=+=-。 2

、

0000222184lim lim lim 111222

x x x x x x x →→→→⎝⎭====

3、330200

20sin sin lim lim 0cos cos x x x x t dt x x t dt →→==⎰⎰。

4、101242lim (2)1n n x x x x t dt x n n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝

⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰ 。 5

、)

2212(1)11ln ln 121x e t t u v v dt dv v v v C x C v ====--=+=-++⎰。

6、2222

00

(1sin )cos sin 128x x x dx x x x π

ππ⎛⎫-=+-=- ⎪⎝⎭⎰。 7、222

2,,,,2Pdx x x P x Q xe Pdx x Qe dx -⎰====⎰⎰通解：222x x y e C -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭。 8、2

344()()lim lim lim 0939x

x x x x f x f x x e x -→+∞→+∞→+∞'==-=-，()22

3233000000()11()()333111(1)666

x x t t t x f x x f x dx x f x dx x e dx te dt t e +∞+∞

+∞+∞-=+∞+∞--'=-=-=-=---=-⎰⎰⎰⎰。

二、（7分）证明当02x π<<时2sin x x π

>。 证、记sin ()12x f x x π=-。2(cos sin )()2x x x f x x

π-'=。记()c o s s i n g x x x x =-。()sin 0(0)2g x x x x π'=-<<<，()g x 在02

x π≤≤严格单调下降。()(0)0,()0(0)2g x g f x x π'<=<<<。()f x 在02x π≤≤严格单调下降。()0(0)22f x f x ππ⎛⎫>=<< ⎪⎝⎭。故当02x π<<时2sin x x π>。 三、（10分）设抛物线2y ax bx c =++过原点，当01x ≤≤时0y ≥，又已知该抛物线与x

轴及直线1x =所围成图形的面积为

13

。试确定,,a b c 使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V 最小。 解、由抛物线2

y ax bx c =++过原点得0c =。 120

()32a b A ax bx dx =+=+⎰。令13A =得223a b -=。 2222120224(1)4()()352712a a a a a V a ax x dx ππ⎛⎫---⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

⎰。 28(1)12()5

273a a a V a π--⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭。()V a 有唯一聚点54a =-。根据问题的实际，54a =-时旋转体的体积V 最小。

53,,042

a b c =-==。

四、（7分）试判断函数2121lim 1

n n n x x -→∞-+的间断点及其类型。 解、记2121()lim 1

n n n x f x x -→∞-=+。则 1,

11,1()1,110,111x x x f x x x x x

⎧<-⎪⎪-=-⎪⎪=--<<⎨⎪=⎪⎪>⎪⎩ 可见，函数2121lim 1

n n n x x -→∞-+只有一个第一类的跳跃间断点1x =。 五、（10分）设函数(),()f x g x 满足()(),()2x f x g x g x e f x ''==-，且(0)0,(0)f g ==。求(),()f x g x 的表达式。

解、由假设得()()2x f x f x e ''+=。0,1n λ==，特征方程210t +=的解t i =±。0k =。

设特解*()x f x Ae =。代入方程得*22,1,()x A A f x e ===。通解12()cos sin x f x C x C x e =++。由(0)0,(0)2f f '==得121,1C C =-=。

()sin cos ,()sin cos x x f x x x e g x x x e =-+=++。

六、（10分）设函数()f x 在[0,3]上连续，在(0,3)内可导，且(0)(1)(2)3,f f f f ++==。试证：存在

(0,3)ξ∈使()0f ξ'=。 证、函数()f x 在[0,3]上连续，在[0,2]上

取得最大值M 和最小值m 。(0)(1)(2)13

f f f m M ++≤=≤。据介值定理，存在[0,2]η∈使得()1f η=。()f x 在[,3]η上连续，在(,3)η内可导，且()(3)1f f η==。据罗尔定理，存在(,3)(0,3)ξη∈⊂使()0f ξ'=。