平分三角形面积和周长的直线

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三角形的面积与周长计算不规则三角形的面积与周长

三角形的面积与周长计算不规则三角形的面积与周长三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条线段组成，并且这三条线段不在同一条直线上。

在平面几何中，我们常常需要计算三角形的面积和周长。

对于规则的三角形，计算面积和周长相对较为简单，但对于不规则三角形，计算则相对繁琐一些。

本文将介绍如何计算不规则三角形的面积和周长。

一、不规则三角形的面积计算方法1. 通过已知的边长计算面积对于某些不规则三角形，我们可能已经知道了其三边的长度，这时我们可以使用海伦公式来计算面积。

海伦公式是由古希腊数学家海伦提出的，它是计算三角形面积的一种方法。

海伦公式的表达式如下：S = √(s × (s - a) × (s - b) × (s - c))其中，S表示三角形的面积，a、b、c表示三角形的三条边长，s表示三角形周长的一半。

以一个不规则三角形为例，假设已知其三条边长分别为a=4cm、b=5cm、c=6cm，我们可以先计算出三角形的周长：s = (a + b + c) / 2 = (4 + 5 + 6) / 2 = 7.5cm接着，将周长的一半代入到海伦公式中，计算出三角形的面积：S = √(7.5 × (7.5 - 4) × (7.5 - 5) × (7.5 - 6)) = √(7.5 × 3.5 × 2.5 × 1.5) ≈ 9.1125cm²因此，该不规则三角形的面积约为9.1125平方厘米。

2. 通过已知的底和高计算面积对于一些特殊的不规则三角形，我们可能已经知道了其底和高的长度，此时可以直接使用公式计算面积。

不规则三角形的底是指两边之间的垂直距离，而高是指从底到顶点垂直于底线的线段。

假设一个不规则三角形的底长为b=6cm，高为h=4cm，根据面积公式可得：S = (b × h) / 2 = (6 × 4) / 2 = 12cm²因此，该不规则三角形的面积为12平方厘米。

三角形中的特殊模型-平分平行(射影)构等腰、角平分线第二定理模型(解析版)

三角形中的特殊模型-平分平行(射影)构等腰、角平分线第二定理模型角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。

平分平行(射影)构等腰模型、角平行线第二定理模型(内角平分线定理和外角平分线定理模型)平分平行(射影)构等腰1)角平分线加平行线必出等腰三角形．模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题．平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。

(简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总结)。

平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。

图1图2图3条件：如图1，OO'平分∠MON，过OO'的一点P作PQ⎳ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。

条件：如图2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE∥BC。

结论：△BDE是等腰三角形。

条件：如图3，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作BC的平行线与AB，AC分别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。

2)角平分线加射影模型必出等腰三角形．→图4条件：如图4，BE平分∠CBA，∠ACB=∠CDA=90°. 结论：三角形CEF是等腰三角形。

1(2023·浙江·八年级假期作业)如图，已知∠AOB，以点O为圆心，以任意长为半径画弧，与OA、OB分别于点C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于12CD为半径画弧，两弧相交于点E，过OE上一点M作MN∥OA，与OB相交于点N，∠MOB=50°，则∠AOM=．【答案】25度/25°【分析】通过两直线平行，同位角相等，再利用角平分线定义求解即可．【详解】∵MN∥OA，∴∠AOB=∠MNB=50°，由题意可知：OM平分∠AOB，∠AOB=25°．故答案为：25°．∴∠AOM=∠MOB=12【点睛】本题考查了基本作图，作已知角的角平分线及其定义和平行线的性质，解此题的关键是熟练掌握基本作图和平行线的性质及角平分线定义的应用．2(2023·浙江·八年级期中)如图，已知△ABC的两边AB=5，AC=8，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，过点O作DE∥BC，则△ADE的周长等于．【答案】13【分析】根据BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，且ED∥BC，可得出OD=OB，OE=OC，所以三角形ADE的周长是AB+AC.【详解】解：∵BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，∴∠DBO=∠OBC，∠OCE=∠OCB，由∵DE∥BC，∴∠DOB=∠OBC，∠EOC=∠OCB，∴∠DBO=∠DOB，∠EOC=∠ECO，∴DO=DB，EO=EC，·又∵AB=5，AC=8，∴ADE的周长=AD+DE+AE=AB+AC=13【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的性质以及等腰三角形的判定，其中运用角平分线的定义和平行线的性质创造等腰三角形的条件是关键．3(2023·广东·八年级期末)如图，▱ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，BE平分∠ABC交AD于E点，CF 平分∠BCD交AD于F点，则EF的长为cm．【答案】1【分析】根据角平分线的概念、平行线的性质及等腰三角形的性质，可分别推出AE=AB，DF=DC，进而推出EF=AE+DF-AD．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠AEB=∠EBC，AD=BC=5cm，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，则∠ABE=∠AEB，∴AB=AE=3cm，同理可证：DF=DC=AB=3cm，则EF=AE+FD-AD=3+3-5=1cm．故答案为：1．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，关键是运用角平分线的概念和平行线的性质，由等角推出等边．4(2023.江苏八年级期中)如图，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∠BCA的角平分线交AD与F，交AB于E，FG⎳BC交AB于G．AE=4cm，AB=12cm，则BG=，GE=．【答案】4cm；4cm．【详解】过E作EH垂直BC交BC于H点，易证△AEC≌△EHC；由角度分析易知∠AEF=∠AFE，即AE=AF，则有EH=EA=AF；又可证△AGF≌△BHE，则AG=EB=12-4=8，则BG=8-4=4，GE=4．【点睛】这道题主要讲解角平分线加射影模型必出等腰三角形的模型．角平行线第二定理(内角平分线定理和外角平分线定理)模型1)内角平分线定理图1图2图3条件：如图1，在△ABC中，若AD是∠BAC的平分线。

三角形的内切圆与垂直平分线性质解析

三角形的内切圆与垂直平分线性质解析在几何学中，三角形是最基本的图形之一。

而与三角形密切相关的一个概念就是内切圆。

内切圆是指一个圆与三角形的三条边都相切于一个点，这个点称为圆心。

与内切圆相关的概念还有垂直平分线，即通过三角形的顶点所作的垂直于底边且平分底边的线。

本文将对三角形的内切圆与垂直平分线的性质进行详细解析。

一、三角形的内切圆性质内切圆是一个非常重要的几何概念，它在三角形中有许多性质。

以下是其中一些值得注意的性质：1. 内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点。

证明：设三角形的三个角分别为A、B、C，内切圆与三角形的三条边分别相切于点D、E、F。

根据切线的性质，可以得知AD、BE、CF是内切圆的半径。

又由于内切圆的定义，AD、BE、CF是分别以A、B、C为圆心的内角平分线，所以圆心是三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点。

2. 内切圆的半径与三角形的周长和面积有关。

证明：设三角形的周长为L，面积为S，内切圆的半径为r。

根据三角形内切圆的性质，可以得到三个切点D、E、F到三个顶点A、B、C的距离分别为r。

根据三角形内外接圆半径的关系，可以得到r = S / (L / 2)即内切圆的半径等于三角形的面积除以半周长。

3. 内切圆的半径和三角形的内切圆切点构成的三角形面积等于三角形面积。

证明：设内切圆的半径为r，三角形的内切圆切点分别为D、E、F。

根据圆的性质，可以得到三个小三角形ADE、BEF、CFD的面积分别为S1 = 1/2 * AD * DE * sin(A/2)S2 = 1/2 * BE * EF * sin(B/2)S3 = 1/2 * CF * FD * sin(C/2)将AD、BE、CF表示成r的形式，可以得到S1 = 1/2 * r * r * sin(A/2)S2 = 1/2 * r * r * sin(B/2)S3 = 1/2 * r * r * sin(C/2)所以三个小三角形的面积之和为S = S1 + S2 + S3 = 1/2 * r * r * (sin(A/2) + sin(B/2) + sin(C/2))根据三角形面积公式，可以得到S = 1/2 * a * b * sin(C) = 1/2 * b * c * sin(A) = 1/2 * c * a * sin(B)化简上式，可以得到sin(A/2) + sin(B/2) + sin(C/2) = cos((A - B)/2) / (2 * sin(C/2))根据三角恒等式，可以得到cos((A - B)/2) = sin((A + B)/2)代入上式，可以得到sin(A/2) + sin(B/2) + sin(C/2) = sin((A + B)/2) / (2 * sin(C/2)) = sin(C/2) / (2 * sin(C/2)) = 1/2所以S = 1/2 * r * r * 1/2 = 1/4 * r * r * sin(A/2) + 1/4 * r * r * sin(B/2)+ 1/4 * r * r * sin(C/2) = 1/4 * S1 + 1/4 * S2 + 1/4 * S3所以内切圆的半径和三角形的内切圆切点构成的三角形面积等于三角形面积。

三角形的面积与周长计算

三角形的面积与周长计算三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条线段组成，称为三边。

在本文中，我们将讨论如何计算三角形的面积与周长。

1. 面积的计算方法：三角形的面积可以使用不同的公式进行计算，具体取决于我们所了解的三角形信息。

下面将介绍三种常见的计算方法：- 方法一：如果已知三角形的底边长度和高度，我们可以使用公式：面积=底边长度 ×高度 ÷ 2来计算。

其中，高度是从三角形的底边到其对应顶点的垂直距离。

- 方法二：如果我们已知三角形的三边长度a、b和c，则可以使用海伦公式来计算面积。

海伦公式表示为：面积=√[s × (s-a) × (s-b) × (s-c)]，其中s是半周长，计算公式为s=(a+b+c) ÷ 2。

- 方法三：如果我们已知三角形的两边长度a和b，以及它们之间的夹角θ，则可以使用公式：面积=0.5 × a × b × sin(θ)来计算。

这里的sin(θ)表示夹角θ的正弦值。

2. 周长的计算方法：三角形的周长是指三边的长度之和。

计算三角形的周长相对比较简单，只需将三边长度相加即可。

具体计算公式为：周长=a + b + c，其中a、b和c分别代表三角形的三边长度。

3. 示例计算：让我们通过一个实际的例子来演示如何计算三角形的面积与周长。

假设我们有一个三角形，其中两边的长度分别为3 cm和4 cm，夹角为60度。

我们将按照方法三来计算面积，并使用方法二来计算周长。

首先，使用三角函数sin(60°)求得sin(θ)的值为√3/2。

接下来，使用公式面积=0.5 × a × b × sin(θ)进行计算，代入已知的数值：面积=0.5 × 3 cm × 4 cm × (√3/2) = 6√3 cm²（计算结果为简化后的近似值）。

三角形的中线、高线、角平分线

三角形的中线、高线、角平分线【考点精讲】三角形的重要线段定义图形表示法说明三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。

1. AD是△ABC的BC边上的高线。

2. AD⊥BC于D。

3.∠ADB=∠ADC=90°。

三角形有三条高，且它们（或它们的延长线）相交于一点，这个交点叫做三角形的垂心。

三角形的中线三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段。

1. AD是△ABC的BC边上的中线。

2. BD=DC=12BC。

三角形有三条中线，都在三角形的内部，且它们相交于一点，这个交点叫做三角形的重心。

三角形的重心在三角形的内部。

三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，连接这1. AD是△AB C的∠BAC的平分线。

2.∠1=∠2=12∠BA C三角形有三条角平分线，都在三角形的内部，且它们相交于一点，这个交点叫做三角形个角的顶点与交点之间的线段。

的内心。

三角形的内心在三角形的内部。

【典例精析】例题1 如图，是甲、乙、丙、丁四位同学画的钝角△ABC 的高BE ，其中画对的是_______。

甲乙丙丁思路导航：根据三角形的高是过一个顶点向对边引垂线，顶点与垂足之间的线段是该三角形的高，对各图形作出判断。

答案：丁点评：这是学生在画图时的一个易错点，通过本题理解画高时的两个注意点：一是过哪个点；二是垂直于哪条边。

这道题是过B 点，垂直于AC 边。

例题 2 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm 两部分，则这个等腰三角形的底边长是______。

思路导航：根据等腰三角形的性质和已知条件求出腰长和底边长，然后根据三边关系进行讨论，即可得出结论。

答案：设等腰三角形的腰长是x cm ，底边是y cm 。

根据题意，得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+212122x y x x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+122212x y x x ，解得：⎩⎨⎧==178y x 或⎩⎨⎧==514y x根据三角形的三边关系，知：8，8，17不能组成三角形，应舍去。

《角平分线》三角形的证明

03
角平分线在解三角形中的应用
利用角平分线求三角形面积
要点一
结论
通过三角形的两条角平分线和对应的底边，可以快速求出三角形的面积。
要点二
具体而言，如果我们已知三角形的两条角平分线长度分别为 $… $S=\frac{ab}{c}\cdot S_{正方形}$，其中$S_{正方形
}$为以$c$为边长的正方形的面积。这个公式的证明可以通过将三角形拆分为两个小的三角形，并分别求解它们的面积得到。
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利用角平分线求三角形内切圆半径
结论：三角形的三条角平分线交于一点，该点到三角形三边的距离相等，且等于三角形内切圆的半径。
三角形内切圆是与三角形三边都相切的圆，其半径可以通过三角形的角平分线求得。具体而言，如果我们已知三角形的三条角平分线长度分别为$a$、$b$和 $c$，那么三角形的内切圆半径$r$可以通过以下公式求解：$r=\frac{abc}{4K}$，其中$K$为三角形的半周长，即$K=\frac{a+b+c}{2}$。这个公式的证明可以通过将三角形的面积表示为半周长与内切圆半径的乘积得到。
总结词
角平分线等分底边
详细描述
在等腰三角形中，角平分线会将底边等分成两个相等的部分。因此，我们可以利用这个性质来证明一个三角形是等腰三角形。具体来说，如果我们能证明三角形的底边被角平分线等分，并且这个角平分线同时也是三角形的中线，那么就可以证明这是一个等腰三角形。
利用角平分线证明直角三角形
总结词
三角形的任意一条角平分线将三角形分成两个面积相等的小三角形。
02 03
关系2
三角形三个角的角平分线交于一点，这一点称为三角形的内心。三角形的内心到三角形三边的距离相等，且内心与三角形顶点的连线平分相对应的外角。

初中数学专题---------直线等分面积问题

初中数学专题讲座---------直线等分面积问题一、直线等分常见的一些特殊图形二、直线等分三角形（1）不受限制的等分（2）过一边上一点等分三、直线等分梯形（1）不受限制的等分（2）过一腰上一点等分四、等分基本图形练习：1、作图题，请用学过的知识将下图所示的图形面积分成相等的两部分，请用一条直线把阴影部分的面积两等分．（保留作图痕迹）2、在一个矩形中，把此矩形面积二等分的直线最多有条，这些直线都必须经过此矩形的点（一个矩形只画一条直线，不写画法）．3、轴对称图形的对称轴将图形面积二等分，中心对称图形过对称中心的直线将图形面积二等分．请用学过的知识将下图所示的图形面积分成相等的两部分．4、在一个矩形中，把此矩形面积两等分的直线最多有条，这些直线都必须经过该矩形．5、在复习“四边形”时，刘老师出了这样一道题：如图1，已知四边形ABCD、BEFG都是矩形，点G、H分别在AB、CD上，点B、C、E在同一条直线上．（1）当S矩形AGHD=S矩形CEFH时，试画一条直线将整个图形面积2等分．（不写画法）（2）①当S矩形AGHD＜S矩形CEFH时，如图3；②当S矩形AGHD＞S矩形CEFH时，如图4．画一条直线将整个图形面积2等分，在（1）的基础上，应该如何画图呢？（不写画法，保留作图痕迹或简要的文字说明）（3）小娟和小宇两位同学的画法是图5和图6：刘老师看过之后说这两个图形实质上体现的是一种画法，请你用简要的文字说明两个图形画法的共同点：（把原图形分割或构造成两个矩形，再过这两个矩形对角线的交点画一条直线）．6、通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式7、如图所示，▱ABCD内有一圆，请你画一条直线，同时将圆和平行四边形的周长二等分．（保留画图痕迹，并简要说出画图步骤）8、提出问题：如图，有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕（AB=BC，且BC≠AC），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．背景介绍：这条分割直线即平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条线为三角形的“等分积周线”．尝试解决：（1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出．请你帮小明在图1中画出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕．（2）小华觉得小明的方法很好，所以自己模仿着在图1中过点C画了一条直线CD交AB于点D．你觉得小华会成功吗如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．（3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．请你解决下面的问题：若AB=BC=5cm，AC=6cm，请你找出△ABC的所有“等分积周线”，并简要的说明确定的方法．9、提出问题：如图，在“儿童节”前夕，小明和小华分别获得一块分布均匀且形状为等腰梯形和直角梯形的蛋糕（AD∥BC），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将自己的这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．背景介绍：这条分割直线既平分了梯形的面积，又平分了梯形的周长，我们称这条线为梯形的“等分积周线”．尝试解决：（1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出．请你帮小明在图1中作出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕．（2）小华觉得小明的方法很好，所以模仿着在自己的蛋糕（图2）中画了一条直线EF分别交AD、BC于点E、F．你觉得小华会成功吗？如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．（3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．若图2中AD∥BC，∠A=90°，AD＜BC，AB=4cm，BC=6cm，CD=5cm．请你找出梯形ABCD的所有“等分积周线”，并简要的说明确定的方法．10、阅读下面问题的解决过程：问题：已知△ABC 中，P 为BC 边上一定点，过点P 作一直线，使其等分△ABC 的面积．解决：情形1：如图①，若点P 恰为BC 的中点，作直线AP 即可．情形2：如图②，若点P 不是BC 的中点，则取BC 的中点D ，连接AP ，过点D 作DE ∥AP 交AC 于E ，作直线PE ，直线PE 即为所求直线．问题解决：如图③，已知四边形ABCD ，过点B 作一直线（不必写作法），使其等分四边形ABCD 的面积，并证明．11、如图，把一个等边三角形的顶点放置在正六边形的中心O 点，请你借助这个等边三角形的角，以角为工具等分正六边形的面积，等分的情况分别为等分． 12、用一条直线把下图分成面积相等的两部分．13、用三种不同的方法把▱ABCD 的面积四等分，并简要说明分法．14、、如图，所示，张家兄弟要平分这块地，请你用一条直线把它分成面积相等的两部分．（至少有两种画法）15、抛物线y=x 2，212y x =-和直线x=a （a ＞0）分别交于A 、B 两点，已知∠AOB=90°．（1）求过原点O ，把△AOB 面积两等分的直线解析式；（2）为使直线2y x b =+与线段AB 相交，那么b 值应是怎样的范围才适合．16、如图长为2的线段PQ 在x 的正半轴上，从P 、Q 作x 轴的垂线与抛物线y=x 2交于点p '、12题Q′．（1）已知P的坐标为（k，0），求直线OP′的函数解析式；（2）若直线OP′把梯形P′PQQ′的面积二等分，求k的值．17、一条直线过△ABC的内心，且平分三角形的周长，那么该直线分成的两个图形的面积比为（）A．2：1 B．1：1 C．2：3 D．3：118、某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究，他们发现如下结论：（1）有一条边对应相等的两个三角形面积之比等于这条边上的对应高之比；（2）有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比；…现请你继续对下面问题进行探究，探究过程可直接应用上述结论．（S表示面积）问题1：如图1，现有一块三角形纸板ABC，P1，P2三等分边AB，R1，R2三等分边AC．经探究知=S△ABC，请证明．问题2：若有另一块三角形纸板，可将其与问题1中的拼合成四边形ABCD，如图2，Q1，Q2三等分边DC．请探究与S四边形ABCD之间的数量关系．问题3：如图3，P1，P2，P3，P4五等分边AB，Q1，Q2，Q3，Q4五等分边DC．若S四边形ABCD=1，求．问题4：如图4，P1，P2，P3四等分边AB，Q1，Q2，Q3四等分边DC，P1Q1，P2Q2，P3Q3将四边形ABCD分成四个部分，面积分别为S1，S2，S3，S4．请直接写出含有S1，S2，S3，S4的一个等式．19、阅读下面材料，再回答问题：有一些几何图形可以被某条直线分成面积相等的两部分，我们将“把一个几何图形分成面积相等的两部分的直线叫做该图形的二分线”，如：圆的直径所在的直线是圆的“二分线”，正方形的对角线所在的直线是正方形的“二分线”．解决下列问题：（1）菱形的“二分线”可以是（2）三角形的“二分线”可以是（3）在下图中，试用两种不同的方法分别画出等腰梯形ABCD的“二分线”，并说明你的画法．20、用一条直线将一个直角梯形分成面积相等的两部分，请你在下面的图中分别画出两种不同的分割图形．21、下图所示是一块木板的示意图，能不能用一条直线把这块木板分成面积相等的两部分．（3种画法）22、如图所示的图案是一个轴对称图形，直线l是它的一条对称轴，如果最大圆的半径为2，那么阴影部分面积是（）A．π B．2π C．3π D．4π23、如图所示是由7个完全相同的正方形拼成的图形，请你用一条直线将它分成面积相等的两部分．（在原图上作出）．24、九条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2：3的两个四边形．证明：这九条直线中至少有三条经过同一点．抽屉原理．专题：证明题．分析：首先根据抽屉定理证明9条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2：3的两个四边形中至少有5条直线穿过一对边，然后再根据抽屉原理证明至少必有三点经过同一点．解答：证明：按抽屉原理，9条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2：3的两个四边形，则至少有5条直线穿过一对边．又2：3≠1：1，根据“梯形的面积等于中位线长乘以高”，可知这5条直线必过正方形的一条对边中点连线上的两定点．故若5个点不全经过一点，则必经过这条直线上的两点，再据抽屉原理，至少必有三点经过同一点．25、一条直线平行于直线y=2x-1，且与两坐标轴围成的三角形面积是4，则直线的解析式是A．y=2x+4 B．y=2x-4 C．y=2x±4 D．y=x+2 （）26、把一个圆心为点O，半径为r的圆的面积四等分，请你尽可能多地设想各种分割方法．如图，如果圆心也是点O的三个圆把大圆O的面积四等分．求这三个圆的半径OB、OC、OD的长．27、已知直线AB与x，y轴分别交于A、B（如图），AB=5，OA=3，（1）求直线AB的函数表达式；（2）如果P是线段AB上的一个动点（不运动到A，B），过P作x轴的垂线，垂足是M，连接PO，设OM=x，图中哪些量可以表示成x的函数？试写出5个不同的量关于x的函数关系式．（这里的量是指图中某些线段的长度或某些几何图形的面积等）28、（1）如图1所示，已知△ABC中，D为BC的中点，请写出图1中，面积相等的三角形：，理由是（2）如图2所示，已知：平行四边形A′ABC，D为BC中点，请你在图中过D作一条线段将平行四边形A′ABC的面积平分，平分平行四边形A′ABC的方法很多，一般地过画直线总能将平行四边形A′ABC的面积平分．（3）如图3所示，已知：梯形ABCA′中，AA′∥BC，D为BC中点，请你在图3中过D作一条线段将梯形的面积等分．（4）如图4所示，某承包人要在自己梯形ABCD（AD∥BC）区域内种两种等面积的作物，并在河岸AD与公路BC间挖一条水渠EF，EF左右两侧分别种植了玉米、小麦，为了提高效益，要求EF最短．①请你画出相应的图形．②说明方案设计的理由．19、如图，抛物线y=ax2-3ax+b经过A（-1，0），C（3，2）两点，与y轴交于点D，与x轴交于另一点B．（1）求此抛物线的解析式；（2）若直线y=kx-1（k≠0）将四边形ABCD面积二等分，求k的值．。

备考2023年中考数学一轮复习-图形的性质_三角形_等腰三角形的性质-综合题专训及答案

备考2023年中考数学一轮复习-图形的性质_三角形_等腰三角形的性质-综合题专训及答案等腰三角形的性质综合题专训1、(2016北京.中考真卷) 在等边△ABC中，（1）如图1，P，Q是BC边上的两点，AP=AQ，∠BAP=20°，求∠AQB的度数；（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与点B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP=AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．①依题意将图2补全；②小茹通过观察、实验提出猜想：在点P，Q运动的过程中，始终有PA=PM，小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：要证明PA=PM，只需证△APM是等边三角形；想法2：在BA上取一点N，使得BN=BP，要证明PA=PM，只需证△ANP≌△PCM；想法3：将线段BP绕点B顺时针旋转60°，得到线段BK，要证PA=PM，只需证PA=CK，PM=CK…请你参考上面的想法，帮助小茹证明PA=PM（一种方法即可）．2、(2015葫芦岛.中考真卷) 在△ABC中，AB=AC，点F是BC延长线上一点，以CF 为边，作菱形CDEF，使菱形CDEF与点A在BC的同侧，连接BE，点G是BE的中点，连接AG、DG．（1）如图①，当∠BAC=∠DCF=90°时，直接写出AG与DG的位置和数量关系；（2）如图②，当∠BAC=∠DCF=60°时，试探究AG与DG的位置和数量关系，（3）当∠BAC=∠DCF=α时，直接写出AG与DG的数量关系．3、(2017杭州.中考模拟) 如图1，O为线段AB上一点，AB=6，OC为射线，且∠BOC=60°，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动时间为t秒．（1）若AO=4，=；①当t=1秒时，OP=，S△ABP②当△ABP是直角三角形时，求t的值；（2）如图2，若点O为AB中点，当AP=AB时，过点A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求AQ•BP的值．4、(2016巢湖.中考模拟) 如图，有一块分别均匀的等腰三角形蛋糕（AB=AC且AB≠BC），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．这条分割直线既平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条直线为三角形的“等分积周线”．（1）小明很快就想到了一条经过点A分割直线，请你用尺规作图在图1中画出这条“等分积周线（不写画法）．（2）小华觉得小明的方法很好，所以自己模仿着在图2中过点C画了一条直线CD交AB于点D．你觉得小华会成功吗？请说明理由．（3）若AB=BC=5，BC=6，请你通过计算，在图3中找出△ABC不经过顶点的一条“等分积周线”．5、(2018南宁.中考模拟) 如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是BC边的中点，点P在线段AD上，过P作PF⊥AE于F，设PA=x．（1）求证：△PFA∽△ABE；（2）当点P在线段AD上运动时，设PA=x，是否存在实数x，使得以点P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由；（3）探究：当以D为圆心，DP为半径的⊙D与线段AE只有一个公共点时，请直接写出x满足的条件：．6、(2017洛阳.中考模拟) 如图，在△ABD中，AB=AD，以AB为直径的⊙F交BD于点C，交AD于点E，CG⊥AD于点G，连接FE，FC．（1）求证：GC是⊙F的切线；（2）填空：①若∠BAD=45°，AB=2 ，则△CDG的面积为．②当∠GCD的度数为时，四边形EFCD是菱形．7、(2017衡阳.中考模拟) 如图△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=12厘米，D是BC的中点，点P从B出发，以a厘米/秒（a＞0）的速度沿BA匀速向点A运动，点Q 同时以1厘米/秒的速度从D出发，沿DB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为t秒．（1）若a=2，△BPQ∽△BDA，求t的值；（2）设点M在AC上，四边形PQCM为平行四边形．①若a= ，求PQ的长；②是否存在实数a，使得点P在∠ACB的平分线上？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．8、(2018永州.中考真卷) 如图1．在△ABC中，矩形EFGH的一边EF在AB上，顶点G、H分别在BC、AC上，CD是边AB上的高，CD交GH于点I．若CI＝4，HI＝3，AD ．矩形DFGI恰好为正方形．（1）求正方形DFGI的边长；（2）如图2，延长AB至P．使得AC＝CP，将矩形EFGH沿BP的方向向右平移，当点G刚好落在CP上时，试判断移动后的矩形与△CBP重叠部分的形状是三角形还是四边形，为什么？（3）如图3，连接DG，将正方形DFGI绕点D顺时针旋转一定的角度得到正方形DF′G′I′，正方形DF′G′I′分别与线段DG、DB相交于点M、N，求△MNG′的周长．9、(2019广东.中考模拟) 如图M2-11，Rt△ABC中，∠C=90°，BD为△ABC的角平分线，以AD为直径的⊙O交AB于点E，BD的延长线交⊙O于点F，连接AF，EF，ED．（1）求证：∠BDC=∠BDE；（2）求证：FA=FE；（3）若BC=4，CD=3，求AF的长．10、(2019柳州.中考模拟) 如图，已知直线与双曲线交于A，B两点点A在点B的上方.（1）求点A与点B的坐标；（2）点C在x轴上，若AC是等腰的腰，求符合条件的所有点C坐标.11、(2017遵义.中考真卷) 边长为2 的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（点P与A、C不重合），连接BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，连接QP，QP与BC交于点E，QP延长线与AD（或AD延长线）交于点F．（1）连接CQ，证明：CQ=AP；（2）设AP=x，CE=y，试写出y关于x的函数关系式，并求当x为何值时，CE= BC；（3）猜想PF与EQ的数量关系，并证明你的结论．12、(2017云南.中考真卷) 如图，△ABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的高，点E，F分别是AB，AC的中点．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）如果四边形AEDF的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF的面积S．13、(2020衡阳.中考真卷) 如图1，平面直角坐标系中，等腰的底边在x轴上，，顶点A在y的正半轴上，，一动点从出发，以每秒1个单位的速度沿向左运动，到达的中点停止．另一动点F从点C出发，以相同的速度沿向左运动，到达点O停止．已知点E、F同时出发，以为边作正方形，使正方形和在的同侧．设运动的时间为秒（）．（1）当点H落在边上时，求t的值；（2）设正方形与重叠面积为S，请问是存在t值，使得？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，取的中点D，连结，当点E、F开始运动时，点N从点O出发，以每秒个单位的速度沿运动，到达点O停止运动．请问在点E的整个运动过程中，点M可能在正方形内（含边界）吗？如果可能，求出点M在正方形内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．14、(2020温州.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB在x轴上，AB、BC的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根（BC＞AB），OA＝2OB，边CD交y轴于点E，动点P以每秒1个单位长度的速度，从点E出发沿折线段ED﹣DA向点A运动，运动的时间为t（0≤t＜6）秒，设△BOP与矩形AOED 重叠部分的面积为S.（1）求点D的坐标；（2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）在点P的运动过程中，是否存在点P，使△BEP为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.15、(2020路北.中考模拟) 如图，在中，，点从点出发沿向点运动，点从点出发沿向点运动，点和点同时出发，速度相同，到达点或点后运动停止．（1）求证：；（2）若，求的度数；（3）若的外心在其内部时，直接写出的取值范围．等腰三角形的性质综合题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：6.答案：7.答案：8.答案：9.答案：10.答案：11.答案：12.答案：13.答案：14.答案：15.答案：。

三角形的周长与面积

三角形的周长与面积三角形是几何学中最简单且最基础的形状之一，而其周长和面积是我们常常需要计算和探讨的数学概念。

本文将详细探讨三角形周长和面积的计算方法，并介绍一些与三角形密切相关的概念和性质。

一、三角形的周长三角形的周长是指三个边的长度之和。

设三角形的三边分别为a、b、c，那么三角形的周长P可表示为：P = a + b + c这是一个基本的计算公式，通过该公式我们可以很方便地计算出三角形的周长。

需要注意的是，为了计算准确，我们需要确保三角形的三边长度已知且符合三角形的边长关系。

二、三角形的面积三角形的面积是三角形内部的区域大小，常用符号S来表示。

有多种方法可以计算三角形的面积，下面将介绍几种常用的方法。

1. 海伦公式海伦公式是计算三角形面积的一种常用方法。

设三角形的三边长度分别为a、b、c，周长为P，利用海伦公式，可以得到三角形的面积S：S = √(P/2 * (P/2 - a) * (P/2 - b) * (P/2 - c))这个公式可以通过三角形的周长求得，需要注意的是，由于海伦公式包含开方运算，所以计算结果可能是一个实数。

2. 底边高公式底边高公式主要适用于高是已知的情况。

设底边长度为b，高为h，那么三角形的面积S可表示为：S = (1/2) * b * h这个公式比较简单易懂，适用于在平面直角坐标系中已知三角形的底边和高的情况。

3. 三角形内接圆半径公式三角形内接圆半径公式计算三角形面积的方法也比较常用。

设三角形的内接圆半径为r，那么三角形的面积S可表示为：S = (P * r) / 2其中P为三角形的周长。

这个公式适用于在三角形内接圆半径已知的情况。

三、三角形的性质除了周长和面积的计算，三角形还有很多有趣的性质值得我们了解。

下面将介绍几个常见的三角形性质。

1. 直角三角形的勾股定理直角三角形的勾股定理是三角学中一个重要的定理。

在一个直角三角形中，边长分别为a、b、c（c为斜边），满足勾股定理的关系：a^2 + b^2 = c^2这个定理提供了计算直角三角形边长的关键方法，也常常用于解决各种实际问题。

拱墅区第八中学八年级数学上册第十一章三角形11.1与三角形有关的线段11.1.2三角形的高中线角平分

证明 : 过P作PM⊥AC于 M , PN⊥BC于N , PQ⊥AB于
Q. ∵CE为∠MCN的平分
线 , ∴PM = PN , 同理PN = PQ , ∴点P到
三边AB , BC , CA的距离相等.
Q
随堂演练
基础巩固
1. 如下图 , 表示三条相互交叉的公路 , 现
要建一个货物中转站 , 要求它到三条公路的距
• 学习目标 :
• 1．能说出角平分线的性质的逆定理 , 并能给
•
予证明.
• 2．能够熟练地运用角平分线的性质的逆定理
思考
推进新课
如下图 , 要在S 区建一个集贸市场 , 使它到公
路、铁路的距离相等 , 并且离公路和铁路的交叉
处500 m. 这个集贸市场应建于何处〔在图上标出
它的位置 , 比例尺为1 : 20 000〕？
上 , ∴PM = PQ , PN = PQ , ∴PM =
PN.
又PM⊥AE , PN⊥AF , ∴ AP平分∠BAC.
N
拓展延伸 3.如下图 , AD是△ABC的角平分线 ,
DE⊥AB , DF⊥AC , 垂足分别是E、F．连接EF , EF与AD交于G , AD 垂直平分EF吗？证明你的结论解．: AD垂直平分EF .证明如下 :
三角形的三条角平分线交于三角形内部一点 , 这一点我们称为三角形的内心
当堂小练
1.如下图,在△ABC中, ∠1=∠2 , G为AD中点 , 延长BG交 AC于E , F为AB
上一点 , CF交AD于H , 判断以下说法的正误.
A
〔1〕AD是△ABE的角平分线(× )
〔2〕BE是△ABD边AD上的中线(× )
同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，考试加油!奥利给~

三角形公式

几何表达式举例： (1) ∵ AB = EF
三角形公式
∵ ∠ B=∠ F
又∵ BC = FG （ 1）（ 2） ∴ Δ ABC ≌ Δ EFG
(2) ,,,,,, (3) 在 RtΔ ABC 和 RtΔ EFG 中
-3 12 ．角平分线的性质定理及逆定理：（1）在角平分线上的点到角的两边距离相等；（如图）（2）到角的两边距离相等的点在角平分线上 . （如图）
(1) ∵ Δ AB C、 Δ EGF 关于 MN 轴对称 ∴ Δ AB C≌ ΔE GF
(2) ∵ Δ AB C、 Δ EGF 关于 MN 轴对称 ∴ OA= OE MN ⊥ A E 几何表达式举例： (1) ∵ Δ AB C 是直角三角形
（ 2）如果三角形的三边长有下面关系 : a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形. （如图）
三角形公式
19．RtΔ 斜边中线定理及逆定理：
（1）直角三角形中，斜边上的中线是斜边的一半；（如图）
（ 2）如果三角形一边上的中线是这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 . （如图）
∴ a2+b 2=c2
(2) ∵ a2+b 2=c2 ∴ Δ AB C 是直角三角形几何表达式举例： ∵ Δ AB C 是直角三角形
几何表达式举例： (1) ∵∠ A+ ∠ B+∠ C=180° ∴,,,,,,, (2) ∵∠ C=90 °
∴∠ A+ ∠ B=90°
(3) ∵∠ ACD= ∠ A+∠ B
（1）
（ 2）
8 ．直角三角形的定义：
有一个角是直角的三角形叫直角三角形 .（如图）

一条直线平分三角形的周长和面积

一条直线平分三角形的周长和面积直线平分三角形是一种经典的几何问题，它涉及到三角形的周长和面积的平分。

在这篇文档中，我们将探讨如何通过一条直线将三角形的周长和面积平分，并提供相关的解决方法和例题分析。

关于直线平分三角形的周长和面积，首先我们需要明确一条重要的定理——直线平分三角形的周长和面积等于原三角形的周长和面积的一半。

这个定理告诉我们，只需找到适当的位置，将三角形分成两个相等的部分，即可实现周长和面积的平分。

为了更好地理解这个定理，我们来看一个例题。

假设有一个边长为a的等边三角形ABC，我们要找到一条直线DE，使得直线DE将三角形ABC的周长和面积平分。

首先，我们可以从三角形的中点O开始，将直线DE过点O，然后与边AC和BC交于点D和点E。

接下来，我们需要证明直线DE确实平分了三角形ABC的周长和面积。

首先证明周长的平分，由于直线DE分别与边AC和BC相交于点D 和点E，根据直线上的点到两边的距离相等的性质可知，AD=ED，BE=CE。

因此，DE平分了三角形ABC的周长。

接着证明面积的平分，利用三角形的面积公式，我们可以得到三角形ABC的面积为S=(√3/4)a^2。

由于点O为三角形ABC的重心，所以点O到三边的距离相等，即OD=OE=OF=(√3/3)a。

根据平行四边形面积公式，四边形AOED的面积为S'=OF×DE=(√3/3)a×(2×OE)=(√3/3)a^2。

同理可得，四边形BOEF 的面积也为(√3/3)a^2。

因此，DE平分了三角形ABC的面积。

通过上述分析，我们证明了直线DE平分了三角形ABC的周长和面积。

这个例题展示了如何通过找到合适的位置，利用直线来实现周长和面积的平分。

在实际问题中，我们可以将这一思想应用到更复杂的三角形以及其他几何形状中。

总结一下，直线平分三角形的周长和面积是一个有趣而富有挑战性的几何问题。

通过合理选择直线的位置，我们可以轻松实现周长和面积的平分。

直线方程题库

1.设R m ∈，过定点A 的动直线0=+my x 和过定点B 的直线03=+--m y mx 交于点，则PB PA +的取值范围是 .2. 直线l 的法向量是),(b a n =,若0<ab ，则直线l 的倾斜角为 .3. 若直线l 同时平分一个三角形的周长和面积，则称直线l 为该三角形的“平分线”，已知ABC ∆三边之长分别为3，4，5，则ABC ∆的“平分线”的条数为 .变式：若6，8，10呢？4. 已知点()0,2A ，()4,2-B ，()8,5C ，若线段AB 和CD 有相同的垂直平分线，则点D 的坐标是 .5. 设O 为坐标原点，给定一个定点()3,4A ，而点()0,x B 在x 正半轴上移动，()x l 表示AB 的长，则ABC ∆中两边长的比值()x l x 的最大值为 . 6. 设R n m ∈,，若直线01:=-+ny mx l 与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且坐标原点O 到直线l 的距离为3，则AOB ∆的面积S 的最小值为 .7. 已知两点()0,2-A ，()2,0B ，点C 是圆064422=++-+y x y x 上任意一点，则点C 到直线AB 距离的最小值和最大值分别是 .8. 如图，1l 、2l 、3l 是同一平面内的三条平行直线，1l 与2l 间的距离是1，边长为4的正三角形的三顶点分别在1l 、2l 、3l 上，则2l 与3l 间的距离是 .9. 设直线系M ：xcosθ+（y-2）sinθ=1（0≤θ≤2π），则下列命题中是真命题的个数是（）①存在一个圆与所有直线相交②存在一个圆与所有直线不相交；③存在一个圆与所有直线相切④M 中所有直线均经过一个定点；⑤不存在定点P 不在M 中的任一条直线上；⑥对于任意整数n （n≥3），存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上；⑦M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等．10. 点P 到点A ( 21， 0)， B (a ， 2)及到直线x ＝−21 的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a 的值是 .11. 对于直角坐标平面内任意两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），定义它们之间的一种“新距离”：|AB|=|x 2-x 1|+|y 2-y 1|．给出下列三个命题：①若点C 在线段AB 上．则|AC|+|BC|=|AB|；②在△ABC 中，若∠C=90°，则|AC|2+|CB|2=|AB|2；③在△ABC 中，|AC|+|CB|＞|AB|．其中的真命题为（）12. 已知A （1，0）．B （7，8），若点A 和点B 到直线l 的距离都为5，且满足上述条件的直线l 共有n 条，则n 的值是（）13. 如图，平面中两条直线l 1和l 2相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若p 、q 分别是M 到直线l 1和l 2的距离，则称有序非负实数对（p ，q ）是点M 的“距离坐标”．已知常数p≥0，q≥0，给出下列命题：①若p=q=0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1个；②若pq=0，且p+q≠0，则“距离坐标”为（p ，q ）的点有且仅有2个；③若pq≠0，则“距离坐标”为（p ，q ）的点有且仅有4个．上述命题中，正确命题的个数是（）14. 在坐标平面内，与点A （1，2）距离为1，且与点B （3，1）距离为2的直线共有 .15. 已知点A （-1，0），B （1，0），C （0，1），直线y=ax+b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是 .16. 平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线5435+=x y 的距离中的最小值是 . 17. 已知两点M （-1，0），N （1，0），若直线y=k （x-2）上至少存在三个点P ，使得△MNP 是直角三角形，则实数k 的取值范围是 .18. 若实数a ，b ，c ，满足对任意实数x ，y 有x+2y-3≤ax+by+c≤x+2y+3，则a+2b-3c 的最小值为 .19. 某地街道呈现东-西、南-北向的网格状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格点．若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（3，1），（3，4），（-2，3），（4，5）为报刊零售点．为使5个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短．发行站应确定在格点（）20. 若O （0，0），A （4，-1）两点到直线ax+a 2y+6=0的距离相等，则实数a 可能取值的个数共有（）个．21. 两平行直线l 1、l 2分别过点P （-1，3）、Q （2，-1），它们分别绕P 、Q 旋转，但始终保持平行，则l 1、l 2之间的距离的取值范围是22. 过点（1，3）作直线l ，若l 过点（a ，0）与（0，b ），且a ，b ∈N *，则可作出的直线l 的条数为（）23. 若动点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）分别在直线l 1：x+y-7=0和l 2：x+y-5=0上移动，则线段AB 的中点M 到原点的距离的最小值为 .24. 已知动点P （cosθ，sinθ），其中πθπ232≤≤，定点Q （2，0），直线l ：x+y=2．线段PQ 绕点Q 顺时针旋转90度到RQ ，直线l 绕点Q 逆时针旋转90度得直线m ，则动点R 到直线m 的最小距离为 .25. △ABC 的三个顶点是A （0，3），B （3，3），C （2，0），直线l ：x=a 将△ABC 分割成面积相等的两部分，则a 的值是26. 在△ABC 中，AB=5，AC=3，BC=4，线段MN 分别交BC ，AB 于点M ，N ，若线段MN 分△ABC 为面积相等的两部分，求线段MN 长度的最小值．27. 已知过点A （1，1）且斜率为-m （m ＞0）的直线l 与x 轴、y 轴分别交于P 、Q ，过P 、Q 作直线2x+y=0的垂线，垂足为R 、S ，求四边形PRSQ 面积的最小值．28. 已知l 1，l 2，l 3是同一平面内三条不重合自上而下的平行直线．（Ⅰ）如果l 1与l 2间的距离是1，l 2与l 3间的距离是1，可以把一个正三角形ABC 的三顶点分别放在l 1，l 2，l 3上，求这个正三角形ABC 的边长；（Ⅱ）如图，如果l 1与l 2间的距离是1，l 2与l 3间的距离是2，能否把一个正三角形ABC 的三顶点分别放在l 1，l 2，l 3上，如果能放，求BC 和l 3夹角的正切值并求该正三角形边长；如果不能，说明为什么？（Ⅲ）如果边长为2的正三角形ABC 的三顶点分别在l 1，l 2，l 3上，设l 1与l 2的距离为d 1，l 2与l 3的距离为d 2，求d 1•d 2的范围？29. 已知：l 1：ax-2y-2a+4=0，l 2：2x+a 2y-2a 2-4=0，其中0＜a ＜2，l 1、l 2与两坐标轴围成一个四边形．（1）求两直线的交点；（2）a 为何值时，四边形面积最小？并求最小值．30. 在直角坐标系中，过点A （1，2）且斜率小于0的直线中，当在两轴上截距之和最小时，求该直线斜率及方程31. 过点P （4，2）作相互垂直的直线l 1和l 2，使得l 1与x 轴的正半轴相交于点A ，l 2与y 轴的正半轴相交于点B ，若直线AB 平分四边形OAPB 的面积，求直线AB 的方程．32. 已知实数a 满足0＜a ＜2，直线l 1：ax-2y-2a+4=0和l 2：2x+a 2y-2a 2-4=0与两坐标轴围成一个四边形．（1）求证：无论实数a 如何变化，直线l 1、l 2必过定点．（2）画出直线l 1和l 2在平面坐标系上的大致位置．（3）求实数a 取何值时，所围成的四边形面积最小？33. 三条直线y+2x-4=0，x-y+1=0与 ax-y+2=0共有两个交点，则a 的值为 .34. 当m≠-1时，关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧=++=+m my x m y mx 21有（） 35. 已知△OAB 三顶点坐标分别是O （0，0）、A （1，1）、B （2，0），直线ax+by=1与线段OA 、AB 都有公共点，则对于2a-b 的最大值是 .36. 已知直线：A 1x+B 1y+C 1=0（C 1≠0）与直线l 2：A 2x+B 2y+C 2=0（C 2≠0）交于点M ，O 为坐标原点，则直线OM 的方程为 .37. 若关于x 、y 的二元一次方程组 ()⎩⎨⎧=-+-=+-041203y x m y mx 有唯一一组解，则实数m 的取值范围是 .38. 设一动点M 在x 轴正半轴上，过动点M 与定点P （1，2）的直线交y=x （x ＞0）于点Q ，动点M 在什么位置时，PQPM 11+有最大值，并求出这个最大值.39．如图所示，将一块直角三角形板ABO 置于平面直角坐标系中，已知AB=OB=1，AB ⊥OB ，点⎪⎭⎫ ⎝⎛41,21P ，是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P 的任一直线MN 将三角板锯成△AMN ．问：（1）求直线MN 的方程（2）求点M ，N 的坐标（3）应如何确定直线MN 的斜率，可使锯成的△AMN 的面积最大？40．已知直线l ：x-y+3=0，一束光线从点A （1，2）处射向x 轴上一点B ，又从B 点反射到l 上一点C ，最后又从C 点反射回A 点．（Ⅰ）试判断由此得到的△ABC 是有限个还是无限个？（Ⅱ）依你的判断，认为是无限个时求出所以这样的△ABC 的面积中的最小值；认为是有限个时求出这样的线段BC 的方程．41. 已知三条直线l 1：mx-y+m=0，l 2：x+my-m （m+1）=0，l 3：（m+1）x-y+（m+1）=0，它们围成△ABC ．（Ⅰ）求证：不论m 取何值时，△ABC 中总有一个顶点为定点；（Ⅱ）当m 取何值时，△ABC 的面积取最大值、最小值？并求出最值．42. 若直线l 1：x+3y+m=0（m ＞0）与直线l 2：2x+6y-3=0的距离为10，则m= .43. 设m ，n ∈R ，若直线l ：mx+ny-1=0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且坐标原点O 到直线l 的距离为3，则△AOB 的面积S 的最小值为 .44. 已知两直线l 1：013=++y x ，l 2：033=-+y x ，P （x ，y ）是坐标平面上动点，若P 到l 1和l 2的距离分别是d 1、d 2，则d 1+d 2的最小值为 .45. 已知点A （-3，-4），B （6，3）到直线l ：ax+y+1=0的距离相等，则实数a 的值 .46. 两平行直线l 1、l 2分别过点P （-1，3）、Q （2，-1），它们分别绕P 、Q 旋转，但始终保持平行，则l 1、l 2之间的距离的取值范围是 .47. 已知三点A （-2，1），B （-3，-2），C （-1，-3）和动直线l ：y=kx ，当点A 、B 、C 到直线l 的距离的平方和最小值是 .48. 已知直线l ：y=kx-1（k ∈R ）和点A （1，1）．当点A 到直线l 距离最大时，实数k 的值是 .49. 直线133+-=x y 与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，以线段AB 为边在第一象限内作等边△ABC ，如果在第一象限内有一点⎪⎭⎫ ⎝⎛21,m P ，使得△ABP 和△ABC 面积相等，则m的值 .50. 直线l 1，l 2分别过点P （-2，-2 ），Q （ 1，3 ），它们分别绕点P 和Q 旋转，但保持平行，那么，它们之间的距离d 的取值范围是 .51. 已知直线l 1过点A （3，0），直线l 2过点B （0，4），l 1∥l 2，用d 表示l 1到l 2的距离，则d 的取值范围是 .52. 若在平面直角坐标系内过点P (1，3)且与原点的距离为d 的直线有两条，则d 的取值范围是 .53. 平面直角坐标系xOy 中，若动点P （a ，b ）到两直线l 1：y=x 和l 2：y=-x+2的距离之和为22，则a 2+b 2的最大值为 .54. 在平面直角坐标系中，定义d （P ，Q ）=|x 1-x 2|+|y 1-y 2|为P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）两点之间的“折线距离”．则原点O （0，0）与直线05=-+y x 上一点P （x ，y ）的“折线距离”的最小值是 .55. 在平面直角坐标系xOy 中，设A （-1，1），B ，C 是函数y ＝x 1(x ＞0)图象上的两点，且△ABC 为正三角形，则△ABC 的高为 .56. 已知直线l 1与l 2平行，点A 是这两直线之间的一定点，且点A 到这两直线的距离分别为3和2，以A 为直角顶点的直角三角形另两顶点B 、C 分别在直线l 1、l 2上，则当B 、C 运动时，直角三角形ABC 面积的最小值为 .57. 已知A （1，2），B （3，4），直线l 1：x=0，l 2：y=0和l 3：x+3y-1=0、设P i 是l i （i=1，2，3）上与A 、B 两点距离平方和最小的点，则△P 1P 2P 3的面积是．58. l 1，l 2是分别经过A （1，1），B （0，-1）两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是．59. 若动点A 、B 分别在直线l 1：x+y-7=0和l 2：x+y-5=0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为。

三角形的周长和面积的计算公式

三角形的周长和面积的计算公式在几何学中，三角形是最基本的图形之一。

计算三角形的周长和面积是几何学中最常见的问题之一。

有多种方法可以用来计算三角形的周长和面积，下面将介绍其中两种常用的方法。

一、利用边长计算三角形的周长和面积假设三角形的三个边的长度分别为a、b、c，我们可以根据这些边长来计算三角形的周长和面积。

1. 计算周长：三角形的周长等于三个边长的和，即P = a + b + c。

2. 计算面积：我们可以使用海伦公式来计算三角形的面积，公式为：S = √(s(s - a)(s - b)(s - c))其中，s为三角形的半周长，计算公式为s = (a + b + c)/2。

二、利用坐标计算三角形的周长和面积除了使用边长计算三角形的周长和面积外，我们还可以使用三角形的顶点坐标来进行计算。

假设三角形的三个顶点坐标分别为(x1, y1)，(x2, y2)，(x3, y3)，我们可以根据这些顶点坐标来计算三角形的周长和面积。

1. 计算周长：我们可以使用两点之间的距离公式来计算三角形的周长。

首先计算出三个边的长度：a = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)，b = √((x3 -x2)² + (y3 - y2)²)，c = √((x1 - x3)² + (y1 - y3)²)。

然后将三个边长相加即可得到三角形的周长P。

2. 计算面积：我们可以使用行列式的方法来计算三角形的面积，公式为：S = 0.5 * |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)|其中，|x|表示取x的绝对值。

三、总结通过上述两种方法，我们可以准确地计算出任意三角形的周长和面积。

在实际应用中，对于已知边长的三角形，使用第一种方法计算较为简便；而对于已知顶点坐标的三角形，使用第二种方法则更为方便。

无论采用哪种方法，掌握计算三角形的周长和面积的公式对于几何学的学习和实际问题的解决都具有重要意义。

三角形公式周长和面积

三角形公式周长和面积
三角形是一个拥有三条边和三个角的图形。

以下是三角形的周长和面积公式：
周长公式：三角形周长等于三条边的长度之和。

周长= a + b + c
其中，a、b、c 分别表示三角形的三条边的长度。

面积公式：三角形面积等于底边长度与对应高的乘积再除以二。

面积= 1/2 ×底边长度×对应高
其中，底边指的是三角形的任意一条边，对应高指的是垂直于底边的直线段，连接底边与对角线上的点。

如果已知三角形的两条边及它们之间的夹角，可以使用三角形面积公式中的正弦定理或余弦定理求出第三条边和对应高，从而计算出三角形的面积。

初中数学三角形的周长和面积平分线

初中数学三角形的周长和面积平分线例：如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的…………………()(A)内心(B)外心(C)重心(D)垂心分析：当该直线过三角形的顶点时，三角形是等腰三角形，这条直线（下文称具有这样特征的直线为三角形的周积平分线）是底边的中垂线，显然它过内心、外心、重心和垂心。

当该直线不过三角形的顶点时，结论:三角形的周积平分线，一定经过此三角形的内心．证明：如图1，设GH为△ABC的一条周积平分线，P为△ABC的内心，令△ABC的内切圆半径为r．不失一般性，设△ABC的三边长为，，，三边两两互不相等，记，令G、H两点分别在边AB、AC上．∵AG+AH=连接PA、PB、PC、PG、PH，则=====又∵=+=+=∴=∴G，P，H三点共线，即GH经过点P．可见，任意一个三角形，它至少存在一条周积平分线，最多有三条周积平分线(如等边三角形)．这些周积平分线必过此三角形的内心．而且，可以证明过内心的一条直线只要平分了周长也就必然平分面积；同样可以证明过内心的一条直线平分面积也必然平分周长，它们互为充要条件。

下文笔者将侧重于展示过三角形的内心平分三角形的面积和过三角形的内心平分三角形的周长的周积平分线的尺规作图法。

若三角形是等腰三角形，那么它的一条周积平分线过它的顶角顶点和底边中点。

所以，下面笔者把研究的重心放在三边互不相等的三角形上：1、过内心P作一直线，使该直线将△ABC的面积平分为两等份（如图2）作法：①取AC的中点D，作△ABE∽△APD(两个三角形所处的位置犹如绕点A发生了位似旋转变换)，A、P、E三点在一条直线上；②再作PE的垂直平分线并且在该垂直平分线上取一点O，使∠POE=∠BAC；③以O为圆心，OP为半径作圆，该圆与AB相交于点G（取与A点较远的交点），则由P、G两点所确定的直线平分△ABC的面积。

注意：①作△APD时，要让AP>AD；②以O为圆心，OP为半径作圆，该圆在边AB上要有交点(与A点较远的交点G必须在线段AB上)，如果不能满足这两点，就换另外两个顶点或中点试试.证明：由△ABE∽△APD可得：AD·AB = AP·AE ……（1），∠PAB=∠PAD，设直线GP与AC的交点为H，因P、E、G三点共圆，所以⌒ PE对的圆周角∠PGE=∠POE=∠BAC=∠PAC=∠PAB，所以∠APH=∠AGP+∠PAB=∠AGP+∠PGE=∠AGE，很容易证明△AGE∽△APH，由此可得AG·AH = AP·AE，结合（1）式可知道AD·AB= AG·AH，从而有AD·ABsin∠BAC =AG·AHsin∠BAC，由于点D是AC的中点，所以有：AD·ABsin∠BAC = 即AG×AHsin∠BAC =，故直线GH平分△ABC的面积。

三角形周长和面积的关系

三角形周长和面积的关系
三角形面积S=√[P(P-A)(P-B)(P-C)]，其中P=(A+B+C)/2。

A、B、C表示三角形的边长，√表示根号，即紧跟后面的括号内的全部数开根号。

这道题用到了海伦公式，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式。

三角形简介：
三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段“首尾”顺次连接所组成的封闭图形，在数学、建筑学有应用。

常见的三角形按边分有普通三角形（三条边都不相等），等腰三角（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）；按角分有直角三角形、锐角三角形钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形。

主要特点：
1．三角形的任意两边的和一定大于第三边，由此亦可证明三角形的
两边的差一定小于第三边。

2．三角形内角和等于180度。

3.等腰三角形的顶角平分线，底边的中线，底边的高重合，即三线合一。

4．直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方--勾股定理。

直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

5．三角形的外角（三角形内角的一边与其另一边的延长线所组成的角）等于与其不相邻的两个内角之和。

6．三角形30度的角所对应的直角边等于斜边的一半。

7．一个三角形的3个内角中最少有2个锐角。