平分三角形面积和周长的直线

将三角形的周长和面积同时平分的直线高三数学试卷

问题已知三角形三边长分别为4，6，8，那么同时平分这个三角形的周长和面积的直线有几条呢？

一般地，如图，直线L将ABC的周长和面积都平分，L与边AB,AC分别交于D,E点，设m=AD, n=AE, 其内角A为，三角形面积为，半周长为s, 则

说明m,n 是关于x的方程的两根，它有实数解的充要条件为

是否任意一个三角形都存在这样的直线L呢？若存在，最多有几条？

关于三角形的面积与半周长s平方的比的上下界, 有命题：

。（证明略）

因为任意一个三角形的三个内角中至少有一个内角不小于60o，也就是说必有（至少有一个）一个内角使得

下面我们来分析本文开头的问题：

这里，s=9, .

该问题有解

这里 sinB=;

若，则m,n是方程的两根，

。

在边BC, BA上分别取点E，D使BE=, 直线DE即为所求。

（2）若，则m,n是方程的两根，

，

说明在线段AC（角A的夹边的较长边）上找不出点F使得，所以满足条件的解不存在。

（3）若C, , 无解。

综合，满足题设条件的直线L只有一条，即情形（1）所示。

过一三角形内任意一点如何作一条直线将三角形面积平分

以三角形任意顶点作对边中线，以中线为斜边作等腰RT△,以该顶点为圆心，直角三角形一腰为半径画弧交中线于一点，连接这点和已知的三角形内的任意点，并向两边延长可将三角形面积平分。