【苏科版】2014届中考数学第一轮夯实基础《第7讲 一元二次方程及其应用》

一般形式防错提醒 第7讲┃ 考点聚焦考点2
直接 开平 方法 因式 分解 法
一元二次方程的四种解法
适合于(x＋a)2＝b(b≥0)或(ax＋b)2＝(cx＋d)2形式的 方程
基本思想
把方程化成ab＝0的形式，得a＝0或b＝0
方法规律
常用的方法主要运用提公因式法、平方差 公式、完全平方公式型因式分解
第7讲┃ 考点聚焦
第7讲┃ 归类示例
[解析] (1)由题意可得出3月份的用电量超过了a度，而4 月份的用电量在a度以内，那么可根据3月份的用电情况来 求a的值．可根据：不超过a度的缴费额＋3月份超过a度部 分的缴费额＝总的电费；列出方程，进而可求出a的值．然 后可根据4月份的用电量大致判断出a的取值范围，由此可 判定解出的a的值是否符合题意．(2)由(1)得a的值，把45代 入即可．
(1)毛利润＝售出价－进货价(2)纯利润＝售出价 －进货价－其他费用(3)利润率＝利润÷进货价
第7讲┃ 归类示例
归类示例
► 类型之一 一元二次方程的有关概念 命题角度： 1．一元二次方程的概念； 2．一元二次方程的一般式； 3．一元二次方程的解的概念． 例1 已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0有一个根是－a(a≠0) ，则a－b的值为( A ) A．－1 B．0 C．1 D．2 [解析] 把x＝－a代入x2＋bx＋a＝0，得(－a)2＋b×(－a) ＋a＝0，∴a2－ab＋a＝0， 所以a－b＋1＝0，∴a－b＝－1，故选择A
第7讲┃ 归类示例
利用因式分解法解方程时，当等号两边有相 同的含未知数的因式(如例2)时，不能随便先约 去这个因式，因为如果约去则是默认这个因式 不为零，那么如果此因式可以为零，则方程会 失一个根，出现漏根错误．所以应通过移项， 提取公因式的方法求解．
第7讲┃ 归类示例 ► 类型之三 一元二次方程根的判别式
第7讲┃ 考点聚焦
定义
通过配成完全平方的形式解一元二次方程
配方法 配方法 解方程 的步骤
①化二次项系数为1；②把常数项移到方程的另 一边；③在方程两边同时加上一次项系数一半 的平方；④把方程整理成(x＋a)2＝b的形式； ⑤运用直接开平方解方程
第7讲┃ 考点聚焦
考点3
一元二次方程的根的判别式
一 元 二 次 方 程 根 的 判 别 式
解：∵方程有两个相等的实数根， ∴(－k)2－4×1×4＝0，即k2＝16. 解得k1＝4，k2＝－4. 把k1＝4代入x2－kx＋4＝0， 得x2－4x＋4＝0，解得x1＝x2＝2； 把k2＝－4代入x2－kx＋4＝0， 得x2＋4x＋4＝0，解得x1＝x2＝－2.
第7讲┃ 回归教材
[点析] (1)要判定某个一元二次方程是否有实数解或有几 个实数解时，常用一元二次方程根的判别式去判定． (2)见到含有字母的一元二次方程时，在实数范围内首先 应有Δ ≥0；若字母在二次项系数中，则还应考虑二次项 系数是否为0.
第7讲┃ 归类示例 ► 类型之二 一元二次方程的解法
命题角度： 1．直接开平方法； 2．配方法； 3．公式法； 4．因式分解法． 例2 [2012· 无锡]解方程：x2－4x＋2＝0.
－b± b2－4ac [解析] 通过对方程的观察发现此题直接应用公式法 x＝ 解比较方便． 2a
4± 8 解：∵Δ ＝42 －4×1×2＝ 8，∴x＝ . 2 x1 ＝2＋ 2 ，x2 ＝2－ 2.
第7讲┃ 回归教材
2.[2011·孝感]
已知关于 x 的方程 x2－2(k－1)x＋k2＝0 有两个实数根 x1，x2. (1)求 k 的取值范围； (2)若| x1 ＋x2|＝x1 x2－1，求 k 的值．
解： (1)依题意， 得Δ ≥0 即[－2(k－1)]2－4k2≥0， 1 解得 k≤ . 2
第7讲┃ 考点聚焦 考点4 一元二次方程的应用
等量关系
应用类型
增长率问题
(1)增长率＝增量÷基础量(2)设a为原来的量，m 为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量， 则a(1＋m)n＝b，当m为平均下降率时，则a(1－ m)n＝b
(1)本息和＝本金＋利息(2)利息＝本金×利率×期 数
利率问题
销售利润问题
第7讲┃一元二次方程及其应用
第7讲┃ 考点聚焦
考点聚焦
考点1一元二次方程的概念及一般形式
含有________个未知数，并且未知数最高 一
定义
一元二 次方程
2 次数是________的整式方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) ________________
在一元二次方程的一般形式中要注意强调 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
第7讲┃ 回归教材
中考变式
1.[2013·广安] 已知关于x的一元二次方程(a－ 1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值 范围是( C ) A．a＞2 B．a＜2 C．a＜2且a≠1 D．a＜－2 [解析] Δ ＝4－4(a－1)＝8－4a＞0 ，得a＜2.又a－1≠0， ∴a＜2且a≠1.故选C.
第7讲┃ 归类示例
(1)判别一元二次方程有无实数根，就是计 算判别式Δ ＝b2－4ac的值，看它是否大于0.因 此，在计算前应先将方程化为一般式．
(2)注意二次项系数不为零这个隐含条件
第7讲┃ 归类示例 ► 类型之四 一元二次方程的应用 命题角度： 1 ． 用 一 元 二 次 方 程 解 决 变 化 率 问 题 ： a(1±m)n ＝ b ； 2．用一元二次方程解决商品销售问题． 例4 [2012·徐州]为了倡导节能低碳的生活，某公司对集 体宿舍用电收费做如下规定：一间宿舍一个月用电量若不 超过a千瓦时，则一个月的电费为20元；若超过a千瓦时， a 则除了交20元外，超过部分每千瓦时要 100 交元．某宿舍 3月份用电80千瓦时，交电费35元；4月份用电45千瓦时， 交电费20元． (1)求a的值； (2)若该宿舍5月份交电费为45元，那么该宿舍当月用电量 为多少千瓦时？
第7讲┃ 归类示例
解：(1)∵b2－4ac＝[－(m＋2)]2－4×1×(2m－1) ＝m2－4m＋8 ＝(m－2)2＋4>0， ∴方程恒有两个不相等的实数根． (2)①把 x＝1 代入方程 x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0 中， 解得 m＝2， ∴原方程为 x2－4x＋3＝0，解这个方程得：x1＝1，x2 ＝3， ∴方程的另一个根为 x＝3. ②当 1、3 为直角边时，斜边为 12＋32＝ 10， ∴周长为 1＋3＋ 10＝4＋ 10. 当 3 为斜边时，另一直角边为 32－12＝2 2， ∴周长为 1＋3＋2 2＝4＋2 2.
第7讲┃ 归类示例
本例中超过 a 度超过部分收费计算方法是 (80－
a)×
，这个代数式是列方程中一个重要式子，要注意 100
a
4 月份的用电情况中隐藏了 a 的大致取值范围，据此可舍 去不合题意的解．
第7讲┃ 回归教材
回归教材
根的判别式作用大 教材母题 江苏科技版九上P91T2 k取什么值时，方程x2－kx＋4＝0有两个相等的实数根？ 求这时方程的根．
第7讲┃ 回归教材
(2)解法一：依题意，得 x1＋x2＝2(k－1)，x1x2＝k2. 以下分两种情况讨论： ①当 x1＋x2≥0 时，则有 x1＋x2＝x1x2－1，即 2(k－1)＝k －1，解得 k1＝k2＝1. 1 ∵k≤ ， ∴k1＝k2＝1 不合题意，舍去． 2
2 2
②当 x1＋x2<0 时，则有 x1＋x2＝－x1x2－1，即 2(k－1)＝－k －1， 解得 k1＝1， k2＝－3. 1 ∵k≤ ，∴k＝－3.综合①、②可知 k＝－3. 2 解法二：依题意可知 x1＋x2＝2(k－1)． 1 由(1)可知 k≤ ，∴2(k－1)<0，即 x1＋x2<0. 2 1 ∴－2(k－1)＝k2－1，解得 k1＝1，k2＝－3.∵k≤ ，∴k＝－3. 2
命题角度： 1．判别一元二次方程根的情况； 2．求一元二次方程字母系数的取值范围．
例3 [2012·绵阳] 已知关于x的方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝ 0. (1)求证：方程恒有两个不相等的实数根； (2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求 出以此两根为边长的直角三角形的周长．
根的判 关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝ 别式定 0(a≠0)的根的判别式为 b2－4ac. 义 2 (1)b －4ac>0⇔方程有________的实 两个不相等 判别式 数根； 两个相等 与根的 (2)b2－4ac＝0⇔方程有________的实 关系 数根； 2 没有 (3)b －4ac<0⇔方程________实数根 在使用根的判别式解决问题时，如果 防错提 二次项系数中含有字母，要加上二次 醒 项系数不为零这个限制条件
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0, 且 b2 求根公式 公式 法 －b± b2－4ac －4ac≥0 时， x1,2＝ 则 2a
(1)将方程化成 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 的形式；(2)确定 a，b，c 的值；(3) 公式法解方程 若 b2－4ac≥0，则代入求根公式，得 的一般步骤 x1，x2；若 b2－4ac<0，则方程无实数 根