应用概率统计综合作业三
概率论考核作业（综合测试题）完整版
概率论考核作业（综合测试题）完整版综合测试题概率论与数理统计（经管类）综合试题一（课程代码 4183）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.下列选项正确的是 ( B ).A. A B A B +=+B.()A B B A B +-=-C. (A -B )+B =AD. AB AB = 2.设()0,()0P A P B >>，则下列各式中正确的是( D ).A.P (A -B )=P (A )-P (B )B.P (AB )=P (A )P (B )C. P (A +B )=P (A )+P (B )D. P (A +B )=P (A )+P (B )-P (AB )3.同时抛掷3枚硬币，则至多有1枚硬币正面向上的概率是 ( D ).A.18 B. 16 C. 14 D. 124.一套五卷选集随机地放到书架上，则从左到右或从右到左卷号恰为1，2，3，4，5顺序的概率为 ( B ).A.1120 B. 160C. 15D. 125.设随机事件A ，B 满足B A ?，则下列选项正确的是 ( A ).A.()()()P A B P A P B -=-B. ()()P A B P B +=C.(|)()P B A P B =D.()()P AB P A =6.设随机变量X 的概率密度函数为f (x )，则f (x )一定满足 ( C ).A. 0()1f x ≤≤B. f (x )连续C.()1f x dx +∞-∞=?D. ()1f +∞=7.设离散型随机变量X 的分布律为(),1,2,...2kbP X k k ===，且0b >，则参数b的值为( D ).A.12 B. 13 C. 15D. 1 8.设随机变量X , Y 都服从[0, 1]上的均匀分布，则()E X Y += ( A ). A.1 B.2 C.1.5 D.09.设总体X 服从正态分布，21,()2EX E X =-=,1210,,...,X X X 为样本，则样本均值101110ii X X ==∑~( D ).A.(1,1)N -B.(10,1)NC.(10,2)N -D.1(1,)10N - 10.设总体2123(,),(,,)X N X X X μσ 是来自X 的样本，又12311?42X aX X μ=++ 是参数μ的无偏估计，则a = ( B ).A. 1B.14 C. 12 D. 13二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。
【精品】概率与数理统计作业
概率论与数理统计作业1（§1.1～§1.2）一、填空题1．设A、B、C表示三个随机事件，试将下列事件用A、B、C表示出来：（1）仅A发生；（2）A、B、C都不发生；（3）A、B、C不都发生；（4）A不发生，且B、C中至少有一个事件发生；（5）A、B、C中至少有两个事件发生；（6）A、B、C中最多有一个事件发生。
2．对飞机进行两次射击，每次射一弹，设事件A={第一次击中飞机}，B={第二次击中飞机}，试用A、B表示下列事件：（1）恰有一弹击中飞机；（2）至少有一弹击中飞机；（3）两弹都击中飞机。
3．设A、B、C是任意的三个随机事件，写出以下概率的计算公式：（1）=BP(AB)AP；)(P；（2）=(A=-)（3）=BP。
A⋃⋃)(C4．某市有50％住户订日报，65％住户订晚报，85％住户至少订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的住户所占的百分比是。
5．设A、B、C是三个随机事件，且25PB=CP，=AP).0(=)()((=)=BCP，则：(ABPP，0)125).0AC(=（1）A、B、C中都发生的概率为；（2）A、B、C中至少有一个发生的概率为；（3）A、B、C都不发生的概率为。
6.设()()P AB P AB =，且()P A p =，则()P B ＝ ．二、单项选择题1．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为[]。
（A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”；（B ）“甲、乙两种产品均畅销”；（C ）“甲种产品滞销”；（D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。
2．对于事件A 、B 有A B ⊂，则下述结论正确的是[]。
（A ）A 与B 必同时发生；（B ）A 发生，B 必发生；（C ）B 发生，A 必发生；（D ）B 不发生，A 必不发生。
3．对于任意两事件A 、B ，与B B A =⋃不等价的是[]。
（A ）B A ⊂；（B ）A B ⊂；（C ）φ=B A ；（D ）φ=B A 。
考查角度2 概率与统计的综合应用
考查角度2概率与统计的综合应用古典概型的综合应用一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有1,2,3,4四个数字,,设正四面体朝下面的数字分别为b,c.(1)若z=|b-3|+|c-3|,求z=2的概率;(2)若方程x2-bx-c=0至少有一个根x∈{1,2,3,4},就称该方程为.用列举法列出事件,再根据要求求解..因为随机投掷两次,所以基本事件(b,c)有,(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16个.当z=2时,(b,c)的所有取值有(1,3),(3,1),(2,2),(2,4),(4,2),(4,4),共6个.所以P(z=2)==.(2)①若方程的一个根为x=1,则1-b-c=0,即b+c=1,不成立.②若方程的一个根为x=2,则4-2b-c=0,,即2b+c=4,所以③若方程的一个根为x=3,则9-3b-c=0,,即3b+c=9,所以④若方程的一个根为x=4,则16-4b-c=0,,即4b+c=16,所以由①②③④知,(b,c)的所有可能取值为(1,2),(2,3),(3,4).所以方程为“漂亮方程”的概率P=.古典概型中基本事件个数的探求方法.(2)树状图法:适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目,常采用树状图法.(3)列表法:适用于多元素基本事件的求解问题,通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.统计与古典概型的综合应用据统计,2017年国庆中秋假日期间,黔东南州共接待游客590,实现旅游收入48.67亿元,同比分别增长44.57%、55.22%.旅游公司规定:若公司导游接待旅客,旅游年总收入不低于40(单位:百万元),则称为优秀导游.经验表明,若公司的优秀导游率越高,则该公司的影响度越高.已知甲、乙两家旅游公司各有导游100名,统计他们一年内旅游总收入,分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表:乙公司(1)求a,b的值,并比较甲、乙两家旅游公司,哪家的影响度更高?(2)若导游的奖金(单位:万元)与其一年内旅游总收入x(单位:百万元)之间的关系为y=,,,,,求甲公司导游的年平均奖金.(3)从甲、乙两家公司旅游收入在[50,60)的总人数中,用分层抽样的方法随机抽取6人进行表彰,其中有两名导游代表旅游行业去参.由频率和为1可求得a=0.02,由频数为100可求得b=4.,得结论.(2)先求甲公司年旅游总收入分别在[10,20),[20,40),[40,60)内的人数,再用平均数公式求甲公司导游的年平均奖金.(3)由已知得按分层抽样的方法,甲公司抽取4人,记为a,b,c,d;乙公司抽取2人,记为1,2.则6人中随机抽取2人的基本事件有15个.参加座谈的导游中有乙公司导游的基本事件有9个,按公式可求由频率分布直方图知(0.+0.035+a+0.01)×10=1,解得a=0.02,由频数分布表知b+18+49+24+5=100,解得b=4.∴甲公司的导游优秀率为(0.02+0.01)×10=30%;乙公司的导游优秀率为=29%.∵30%>29%,∴甲公司的影响度更高.(2)甲公司年旅游总收入在[10,20)内的人数为0.01×10×100=10人;年旅游总收入在[20,40)内的人数为(0.025+0.035)×10×100=60人;年旅游总收入在[40,60)内的人数为(0.02+0.01)×10×100=30人.故甲公司导游的年平均奖金==2.2(万元).(3)由已知得,年旅游总收入在[50,60)内的人数为15人,其中甲公司10人,乙公司5人.故按分层抽样的方法甲公司抽取6×=4人,记为a,b,c,d;从乙公司抽取6×=2人,记为1,2.从6人中随机抽取2人的基本事件有(a,b),(a,c),(a,d),(a,1),(a,2),(b,c),(b,d),(b,1),(b,2),(c,d) ,(c,1),(c,2),(d,1),(d,2),(1,2),共15个.参加座谈的导游中有乙公司导游的基本事件有(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2),(d,1),(d,2),(1,2),共9个.设事件A为“参加座谈的导游中有乙公司导游”,则P(A)==.∴所求概率为.以统计为载体,利用统计中的数据来求古典概型的概率,.独立性检验与古典概型的综合应用近年来,我国电子商务蓬勃发展,有关部门推出了针对网购,从该系统中随机选出100次成功了的交易,并对这些交易的评价进行统计,网购者对商品的满意率为0.6,对服务的满意率为0.75,其中对商品和服务都满意的交易为40次.(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表,并回答能否有99%的.(2)现从对商品和服务都不满意的网购者中,任意抽取两人,对他们进行回访,求对商品和服务都不满意的网购者甲被抽到的概率.附:K2=-(其中n=a+b+c+d为样本容量).利用数据填写列联表即可,求出K2的观测值,对照;(2)由(1)知对商品和服务都不满意的网购者共有5人,利用列举.K2的观测值k=-≈5.556<6.635, ∴没有99%的把握认为“网购者对服务满意与对商品满意之间有关”.(2)由(1)知对商品和服务都不满意的网购者共有5人,记他们是甲、乙、丙、丁、戊,从他们中任意抽取两人,有(甲乙),(甲丙),(甲丁),(甲戊),(乙丙),(乙丁),(乙戊),(丙丁),(丙戊),(丁戊),共10种抽法,其中甲被抽到的有(甲乙),(甲丙),(甲丁),(甲戊),共4种抽法,所以所求概率为=.利用公式求出K2的观测值,对照临界值即可得到结论(2)判断出是古典概型后,利用列举法求解古典概型概率问题.1.(2017年全国Ⅲ卷,文18改编)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花当作垃圾处理.(1)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,n∈N 的函数解析式;(2)花店记录了100),整理得下表:①假设花店在这100天内每天购进16枝玫瑰花,求这100天的日利润(单位:元)的平均数;②若花店一天购进16枝玫瑰花,以100天记录的各需求量的频率作为,求当天的利润不少于70元的概率.当日需求量n≥16时,利润y=80,n<16时,利润y=10n-80.所以y关于n的函数解析式为y=-,,,(n∈N .(2)①这100天中有10天的日利润为50元,20天的日利润为60元,16天的日利润为70元,54天的日利润为80元,所以这100天的日利润的平均数为×(50×10+60×20+70×16+80×54)=71.4(元).②当天利润不少于70元,即日需求量不少于15枝,故当天利润不少于70元的概率P=0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7.2.(2017年全国Ⅱ卷,文18改编)近年来,微信越来越受欢迎,许多人通过微信表达自己、交流思想和传递信息.微信是现代生活中进行信息交流的重要工具,而微信支付为用户带来了全新的支付体验,支付环节由此变得简便而快捷.某商场随机对商场购物的200名顾客进行统计,结果如下:(1)估计该地区40岁以上的人中,在商场购物时未使用微信支付的比例;(2)能否有99.9%的把握认为“使用微信支付与年龄有关”?参考公式: K2=-,n=a+b+c+d.参考数据:估计该地区40岁以上的人中,在商场购物时未使用微信支付的比例为=.(2)K2的观测值k=-≈33.3>10.828.所有99.9%的把握认为“使用微信支付与年龄有关”.1.(2018海南高三联考)某城市为鼓励人们绿色出行,乘坐地铁,地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策,不超过9站的地铁票价如下表:现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁,已知他们乘坐地铁都不超过9站,且他们各自在每个站下车的可能性是相同的.(1)若甲、乙两人共付费2元,则甲、乙两人下车方案共有多少种?(2)4元,求甲比乙先到达目的地的概率.由题意知甲、乙乘坐地铁均不超过3站,A1,B1,C1,甲、乙两人有(A1,A1),(A1,B1),(A1,C1),(B1,A1),(B1,B1),(B1,C1),(C1,A1),(C1,B1),(C1 ,C1),共9种下车方案.(2)设9站分别为A1,B1,C1,A2,B2,C2,A3,B3,C3,因为甲、乙两人共付费4元,所以有甲付1元,乙付3元;甲付3元,乙付1元;甲付2元,乙付2元共三类情况.由(1)可知每类情况中各有9种方案,所以甲、乙两人共付费4元有27种方案.而甲比乙先到达目的地的方案有(A1,A3),(A1,B3),(A1,C3),(B1,A3),(B1,B3),(B1,C3),(C1,A3),(C1,B3),(C1 ,C3),(A2,B2),(A2,C2),(B2,C2),共12种,故所求概率为=.所以甲比乙先到达目的地的概率为.2.(2018华南师大附中模拟)《汉字听写大会》不断创收视新高,为了避免“书写危机”,弘扬传统文化,某市大约10万名市民进行了汉字听写测试.现从某社区居民中随机抽取50名市民的听写测试情况,发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在160到184之间,将测试结果按如下方式分成6组:第1组[160,164),第2组[164,168 ,…,第6组[180,184].如图所示的是按上述分组方法得到的频率分布直方图.(1)若电视台记者要从抽取的市民中选1人进行采访,求被采访人恰好在第1组或第4组的概率;(2)已知第5,6两组市民中共有3名女性,组织方要从这两组中随机抽取2,求至少有1名女性市民的概率.被采访人恰好在第1组或第4组的频率为(0.×4=0.28,∴被采访人恰好在第1组或第4组的概率为0.28.(2)第5,6两组的人数为(0.02+0.01)×4×50=6,∴第5,6两组中共有6名市民,其中女性市民共3名.记第5,6两组中的3名男性市民分别为A,B,C,3名女性市民分别为x,y,z,从第5,6两组中随机抽取2名市民组成宣传队,共有15个基本事件,列举如下:AB ,AC ,Ax ,Ay ,Az ,BC ,Bx ,By ,Bz ,Cx ,Cy ,Cz ,xy ,xz ,yz. 至少有1名女性有Ax ,Ay ,Az ,Bx ,By ,Bz ,Cx ,Cy ,Cz ,xy ,xz ,yz ,共12个基本事件.∴从第5,6两组中随机抽取2名市民组成宣传队,至少有1名女性的概率为 =.3.(2018广东省高三第一次模拟 “微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号.用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介,然后关注该公众号,就能看见自己与好友每日行走的步数,并在同一排行榜上得以体现.现随机选取朋友圈中的50人,记录了他们某一天的走路步数,规定:人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极型”,否则为“懈怠型”.(1)填写下面列联表(单位:人),并根据列表判断是否有90%的把握认附:K 2=-,(2)为了进一步了解“懈怠型”人群中每个人的生活习惯,从步行数在3001~6000的人群中再随机抽取3人,求选中的人中男性人数超过.根据列联表中的数据,得到K2的观测值k=-≈0.231<2.706,所以没有90%的把握认为“评定类型与性别有关”.(2)设步行数在3001~6000中的男性的编号为1,2,女性的编号为a,b,c.从5人中选取3人有(1,2,a),(1,2,b),(1,2,c),(1,a,b),(1,a,c),(1,b,c),(2,a,b),(2, a,c),(2,b,c),(a,b,c),共10种情况.符合条件的情况有(1,2,a),(1,2,b),(1,2,c),共3种.故所求概率为.4.(2018东北三省三校高三模拟)某校从高一年级参加期末考试的学生中抽取50名学生,并统计了他们的数学成绩(满分为100分),将数学成绩进行分组,:(1)写出a,b,c,d的值,并估计本次考试全年级学生的数学平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(2)现从成绩在[90,100]内的学生中任选两名同学,从成绩在[40,50)内的学生中任选一名同学,共三名同学参加学习习惯问卷调查活动.若A1同学的数学成绩为43分,B1同学的数学成绩为95分,求A1,B1两.a=2,b=0.06,c=12,d=0.24.45×0.04+55×0.06+65×0.28+75×0.3+85×0.24+95×0.08=73 .8.(2)设数学成绩在[90,100]内的四名同学分别为B1,B2,B3,B4,成绩在[40,50)内的两名同学分别为A 1,A 2, 则选出的三名同学有A 1B 1B 2,A 1B 1B 3,A 1B 1B 4,A 1B 2B 3,A 1B 2B 4,A 1B 3B 4,A 2B 1B 2,A 2B 1B 3,A 2B 1B 4,A 2B 2B 3,A 2B 2B 4,A 2B 3B 4,共12种情况.A 1,B 1两名同学恰好都被选出的有A 1B 1B 2,A 1B 1B 3,A 1B 1B 4,共3种情况.所以A 1,B 1两名同学恰好都被选出的概率P= =.。
20天大《应用统计学》第三次在线作业习题+答案
20天大《应用统计学》第三次在线作业习题+答案统计指数划分为个体指数和总指数的依据是（A）A.反映的对象范围不同B.指标性质不同C.采用的基期不同D.编制指数的方法不同不能提高工程能力指数的途径为（B）。
A.增大公差范围B.缩小公差范围C.减少加工工序的中心偏移量D.减少标准偏差在某高校中，管理学专业的学生占10%，如果从该高校中随机抽取200名学生进行调查，样本中管理学专业学生所占比例的期望值为（A）。
A.10%B.20%C.5%D.40%有一批灯泡共1000箱，每箱200个，现随机抽取20箱并检查这些箱中的全部灯泡，此种检验属于（C）。
A.纯随机抽样B.类型抽样C.整群抽样D.等距抽样当总体单位数越来越大时，重复抽样和不重复抽样之间的差异（B）。
A.越来越明显B.越来越小C.保持不变D.难以判断组内误差是衡量某一水平下样本数据之间的误差，它（A）A.只包括随机误差B.只包括系统误差C.既包括随机误差，也包括系统误差D.有时包括随机误差，有时包括系统误差若决策者感到客观形势确实不利，宜采用（A）。
A.最大的最小收益值准则B.等可能性准则C.最大的最大收益值准则D.折中准则样本均值与总体均值之间的差被称为（A）。
A.抽样误差B.点估计C.均值的标准误差D.区间估计无偏估计是指（ B ）。
A.本统计量的值恰好等于待估的总体参数B.所有可能样本估计值的数学期望等于待估总体参数C.样本估计值围绕待估参数使其误差最小D.样本量扩大到和总体单元相等时与总体参数一致绘制产品质量控制图的关键是（B）。
A.数据的选取和分组B.计算控制上下限和中心线C.计算各个样本数据D.确定使用哪种控制图在下面的假定中，哪一个不属于方差分析的假定(D)A.每个总体都服从正态分布B.各总体的方差相等C.观测值是独立的D.各总体的方差等于0假设总体服从均匀分布，从此总体中抽取容量为40的样本均值的抽样分布（B）。
A.服从均匀分布B.近似服从正态分布C.不可能服从正态分布D.无法确定贝叶斯决策需要调查取得信息来修正先验概率，这个调查是在（C）中进行的。
(完整版)概率统计综合测验(3套题)
概率统计综合测验(一)一、选择填空题(每小题3分，共18分)1. 箱中有5个白球3个红球，任取2个，则两个都是红球的概率为( )A.15/28B.13/28C.5/28D.3/282. 设X〜N(,2)，则随增加，概率P(|X | )( )A.单调增加B.单调减少C. 保持不变D.与有关3. 设总体错误！未找到引用源。
X : N(u, 2),X!,X2,X3是总体X的样本，贝U以下的无偏估计中，最有效的估计量是().A. 2X X1B. 1 2 X2 1 X2 3 6D. 2 4 1C. X X X2 X5 5 54. ________________________________________________________ 设P(A) 0.5, P(AUB) 0.8，且A与B互斥，则P(B) _________________________5. 设随机变量X在(1,6 )服从均匀分布，则P(2 X 4) __________________6. 若总体X ~ N( , 2)，其中2未知，则对总体均值进行区间估计时选择的枢轴量为_________二、计算题(每小题10分，共30分)1. 某保险公司把投保人分成三类：“谨慎的”、“一般的”、“冒险的”，占的比例分别为20%、50%、30%。
一年中他们出事故的概率分别为0.05、0.15、0.30.(1)求一年中投保人出事故的概率；(2)现有一投保人出了事故，求他是“谨慎的”客户的概率.2. 设随机变量X(1)求E(X) ; (2)求D(X).3.设随机变量X的概率密度为f(x)3x 小ce , x 00, 其他(1)求常数c;(2)求P(X 1).三、计算题(每小题10分，共40分) 1. 设二维随机变量(X,Y)具有联合分布律求(1)X 的边缘分布律；(2)P(X 2 Y 2 1). 2. 设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y) (1) 求X 与Y 的边缘概率密度； (2) 判断X 与丫是否独立?(说明理由)1…、x 0x13.设总体X 的概率密度为f(x, )，0 x [错误！未找到引用0,其他源。
统计与概率的综合运用(题目版)
第 1 页/共 23 页2021全国中考真题分类汇编（统计与概率）----统计与概率的综合运用一、挑选题1. （2021•湖南省衡阳市）下列说法准确的是（ ）A ．为了解我国中学生课外阅读情况，应采取全面调查方式B ．某彩票的中奖机会是1%，买100张一定会中奖C ．从装有3个红球和4个黑球的袋子里摸出1个球是红球的概率是D ．某校有3200名学生，为了解学生最喜欢的课外体育运动项目，随机抽取了200名学生，其中有85名学生表示最喜欢的项目是跳绳，预计该校最喜欢的课外体育运动项目为跳绳的有1360人2. （2021•湖北省江汉油田）下列说法准确的是（ ）A. “打开电视机，正在播放《新闻联播》”是必然事件B. “明天下雨概率为0.5”，是指明天有一半的时光可能下雨C. 一组数据“6，6，7，7，8”的中位数是7，众数也是7D. 甲､乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同．方差分离是2 0.2s =甲，20.4s =乙，则甲的成绩更稳定二．解答题1. （2021•黑龙江省大庆市）某校要从甲，乙两名学生中挑选一名学生参加数学比赛，在最近的8次选拔赛中，他们的成績（成绩均为整数，单位：分）如下： 甲：92，95，96，88，92，98，，99，100乙：100，87，92，93， 9 ，95，92，98因为保存不当，学生乙有一次成绩的个位数字含糊不清，（1）求甲成绩的平均数和中位数；（2）求事件“甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数”的概率；（3）当甲成绩的平均数与乙成绩的平均数相等时，请用方差大小说明应选哪个学生参加数学比赛．2．（2021•山东省济宁市）某校为了解九年级学生体质健康情况，随机抽取了部分学生举行体能测试，并按照测试结果绘制了不残破的条形统计图和扇形统计图，请回答下列问题．（1）在这次调查中，“优秀”所在扇形的圆心角的度数是；（2）请补全条形统计图；（3）若该校九年级共有学生1200人，则预计该校“良好”的人数是；（4）已知“不及格”的3名学生中有2名男生、1名女生，倘若从中随机抽取两名学生举行体能加试，请用列表法或画树状图的主意，求抽到两名男生的概率是多少？3.（2021•湖南省常德市）我市华恒小区居民在“一针疫苗一份心，预防接种尽责任”的号召下，积极联系社区医院举行新冠疫苗接种．为了解接种进度，该小区管理人员对小区居民举行了抽样调查，按接种情况可分如下四类：A类——接种了只需要注射一针的疫苗：B类——接种了需要注射二针，且二针之间要间隔一定时光的疫苗；C类——接种了要注射三针，且每二针之间要间隔一定时光的疫苗；D类——还没有接种，图1与图2是按照此次调查得到的统计图（不残破）．请按照统计图回答下列问题．（1）此次抽样调查的人数是多少人？（2）接种B类疫苗的人数的百分比是多少？接种C类疫苗的人数是多少人？（3）请预计该小区所居住的18000名居民中有多少人举行了新冠疫苗接种．（4）为了继续宣传新冠疫苗接种的重要性，小区管理部门决定在已经接种疫苗的居民中征集2名志愿宣传者，现有3男2女共5名居民报名，要从这5人中随机挑选2人，求恰好抽到一男和一女的概率是多少．4.（2021•湖南省衡阳市）“垃圾分类工作就是新时尚”，为了改善生态环境，有效利用垃圾剩余价值，2020年起，我市将生活垃圾分为四类：厨余垃圾、有害垃圾、可回收垃圾、其他垃圾．某学习研究小组在对我市垃圾分类实施情况的调查中，绘制了生活垃圾分类扇形统计图，如图所示．（1）图中其他垃圾所在的扇形的圆心角度数是度；（2）据统计，生活垃圾中可回收物每吨可发明经济总价值约为0.2万元．若我市某天生活垃圾清运总量为500吨，请预计该天可回收物所发明的经济总价值是多少万元？（3）为了调查学生对垃圾分类知识的了解情况，某校开展了相关知识比赛，要求每班派2名学生参赛．甲班经选拔后，决定从2名男生和2名女生中随机抽取2名学生参加比赛，求所抽取的学生中恰好一男一女的概率．第3 页/共23 页5.（2021•怀化市）某校开展了“禁毒”知识的宣传教诲活动．为了解这次活动的效果，现随机抽取部分学生举行知识测试，并将所得数据绘制成不残破的统计图表．频率等级频数（人数）优秀600.6良好a0.25合格10b50.05基本合格合计c1按照统计图表提供的信息，解答下列问题：（1）a＝，b＝，c＝；（2）补全条形统计图；（3）该小学共有1600名学生，预计测试成绩等级在合格以上（包括合格）的学生约有多少人？（4）在这次测试中，九年级（3）班的甲、乙、丙、丁四位学生的成绩均为“优秀”，现班主任决定从这四名学生中随机选取两名学生出一期“禁毒”知识的黑板报，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名学生同时被选中的概率．6.（2021•山东省泰安市）为欢庆中国共产党成立100周年，落实教诲部《关于在中小学组织开展“从小学党史，永远跟党走”主题教诲活动的通知》要求，某小学举行党史知识比赛，随机调查了部分学生的比赛成绩，绘制成两幅不残破的统计图表．按照统计图表提供的信息，解答下列问题：（1）本次共调查了名学生；C组所在扇形的圆心角为度；（2）该校共有学生1600人，若90分以上为优秀，预计该校优秀学生人数为多少？（3）若E组14名学生中有4人满分，设这4名学生为E1，E2，E3，E4，从其中抽取2名学生代表小学参加上一级比赛，请用列表或画树状图的主意求恰好抽到E1，E2的概率．比赛成绩统计表（成绩满分100分）组别分数人数A组75＜x≤4第5 页/共23 页80B组80＜x≤8510C组85＜x≤90D组90＜x≤9514E组95＜x≤100合计7.（2021•广西玉林市）2021年是中国共产党建党100周年华诞.“五一”后某校组织了八年级学生参加建党100周年知识比赛，为了了解学生对党史知识的控制情况，小学随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按不及格、合格、良好、优秀四个等级分离举行统计，并绘制了如下不残破的条形统计图与扇形统计图：请按照图中提供的信息解答下列问题：（1）按照给出的信息，将这两个统计图补充残破（不必写出计算过程）；（2）该校八年级有学生650人，请预计成绩未达到“良好”及以上的有多少人？（3）“优秀”学生中有甲、乙、丙、丁四位学生表现突出，现从中派2人参加区级比赛，求抽到甲、乙两人的概率．8.（2021•湖北省随州市）疫苗接种初期，为更好地响应国家对符合条件的人群接种新冠疫苗的号召，某市教诲部门随机抽取了该市部分七、八、九年级教师，了解教师的疫苗接种情况，得到如下统计表：已接种未接种合计七年级301040八年级3515a九年级40b60合计105c150（1）表中，a=______，b=______，c=______；（2）由表中数据可知，统计的教师中接种率最高的是______年级教师；（填“七”或“八”或“九”）（3）若该市初中七、八、九年级一共约有8000名教师，按照抽样结果预计未接第7 页/共23 页种的教师约有______人；（4）为更好地响应号召，立德中学从最初接种的4名教师（其中七年级1名，八年级1名，九年级2名）中随机选取2名教师谈谈接种的感触，请用列表或画树状图的主意，求选中的两名教师恰好不在同一年级的概率．9.（2021•山东省菏泽市）2021年5月，菏泽市某中学对初二学生举行了国家义务教诲质量检测，随机抽取了部分参加15米折返跑学生的成绩，学生成绩划分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，小学绘制了如下不残破的统计图．按照图中提供的信息解答下列问题：（1）请把条形统计图补充残破；（2）合格等级所占百分比为%；不合格等级所对应的扇形圆心角为度；（3）从所抽取的优秀等级的学生A、B、C…中，随机选取两人去参加即将举办的小学运动会，请利用列表或画树状图的主意，求出恰好抽到A、B两位学生的概率．10.（2021•四川省达州市）为欢庆中国共产党成立100周年，在中小学生心中厚植爱党情怀，我市开展“童心向党”教诲实践活动，舞蹈，书法,为了解学生的参加情况，该校随机抽取了部分学生举行“你愿意参加哪一项活动”（必选且只选一种），部分信息如下：（1）这次抽样调查的总人数为人，扇形统计图中“舞蹈”对应的圆心角度数为；（2）若该校有1400名学生，预计挑选参加书法的有多少人？（3）小学决定从推荐的4位学生（两男两女）中选取2人主持活动，利用画树状图或表格法求恰为一男一女的概率．11.（2021•四川省广元市）“此生无悔入华夏，来世再做中国人！”自疫情暴发以来，我国科研团队经过不懈努力，胜利地研发出了多种“新冠”疫苗，并在全国范围内免费接种．截止2021年5月18日16：20，全球接种“新冠”疫苗的比例为18.29%；中国累计接种4.2亿剂，占全国人口的29.32%．以下是某地甲、乙两家医院5月份某天各年龄段接种疫苗人数的频数分布表和接种总人数的扇形统计图：甲医院乙医院年龄段频数频率频数频率第9 页/共23 页18－29周岁9000.154000.130－39周岁a0.2510000.2540－49周岁2100b c0.22550－59周岁12000.212000.360周岁以上3000.055000.125（1）按照上面图表信息，回答下列问题：①填空：a=_________，b=_________，c=_________；②在甲、乙两医院当天接种疫苗的所有人员中，40－49周岁年龄段人数在扇形统计图中所占圆心角为_________；（2）若A、B、C三人都于当天随机到这两家医院接种疫苗，求这三人在同一家医院接种的概率．12. （2021•呼和浩特市））某大学为了解大学生对中国共产党党史识的学习情况，在大学一年级和二年级举行有关党史知识测试活动，现从一二两个年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分50分，30分及30分以上为合格：40分及40分以上为优秀）举行收拾、描述和分析，给出了下面的部分信息．大学一年级20名学生的测试成绩为：39，50，39，50，49，30，30，49，49，4，43，43，43，37，37，37，43，43，37，25．大学二年级20名学生的测试成绩条形统计图如下图所示；两个年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、优秀率如下表所示：年级平均数众数中位数优秀率大一a b43m大二39.544c n请你按照上面提供的所有信息，解答下列问题：（1）上表中a=__________，b=__________，c=__________，m=__________，n__________；按照样本统计数据，你认为该大学一、二年级中哪个年级学生控制党史知识较好？并说明理由（写出一条理由即可）；（2）已知该大学一、二年级共1240名学生参加了此次测试活动，通过计算，预计参加此次测试活动成绩合格的学生人数能否超过1000人；（3）从样本中测试成绩为满分的一、二年级的学生中随机抽取两名学生，用列举法求两人在同一年级的概率．13.（2021•贵州省铜仁市）某校开展主题为“防疫常识知多少”的调查活动，抽取了部分学生举行调查，调查问卷设置了A：异常了解、B：比较了解、C：基本了解、D：不太了解四个等级，要求每个学生填且只能填其中的一个等级，采取随机抽样的方式，并按照调查结果绘制成如图所示不残破的频数分布表和频率第11 页/共23 页直方图，按照以上信息回答下列问题：等级频数频率A200.4B15bC100.2D a0.1（1）频数分布表中a=____________，b=____________，将频数分布直方图补充残破；（2）若该校有学生1000人，请按照抽样调查结果估算该校“异常了解”和“比较了解”防疫常识的学生共有多少人？（3）在“异常了解”防疫常识的学生中，某班有5个学生，其中3男2女，计划在这5个学生中随机抽选两个参加防疫志愿者团队，请用列表或画树状图的主意求所选两个学生中至少有一个女生的概率．14.（2021•湖北省黄石市）黄石是国家历史文化名城，素有“青铜故里、矿冶之都”的盛名．区域内矿冶文化旅游点有：A．铜绿山古铜矿遗址，B．黄石国家矿山公园，C．湖北水泥遗址博物馆，D．黄石园博园、矿博园．我市八年级某班计划暑假期间到以上四个地方开展研学旅游，学生分成四个小组，按照报名情况绘制了两幅不残破的统计图．请按照图中信息，解答下列问题：（1）全班报名参加研学旅游活动的学生共有______人，扇形统计图中A部分所对应的扇形圆心角是______；（2）补全条形统计图；（3）该班语文、数学两位学科教师也报名参加了本次研学旅游活动，他们随机参加A、B两个小组中，求两位教师在同一个小组的概率．15.（2021•辽宁省本溪市）为迎接建党100周年，某校组织学生开展了党史知识比赛活动．比赛项目有：A．回顾重要事件；B．列举革命先烈；C．讲述好汉故事；D．歌颂时代精神．小学要求学生全员参加且每人只能参加一项，为了解学生参加比赛情况，随机调查了部分学生，并将调查结果绘制成如下两幅不残破的统计图，请你按照图中信息解答下列问题：（1）本次被调查的学生共有________名；（2）在扇形统计图中“B项目”所对应的扇形圆心角的度数为________，并把第13 页/共23 页条形统计图补充残破；（3）从本次被调查的小华、小光、小艳、小萍这四名学生中，随机抽出2名学生去做宣讲员，请用列表或画树状图的主意求出恰好小华和小艳被抽中的概率．16.（2021•四川省乐山市）某中学全校师生听取了“禁毒”宣传报告后，对禁毒人员肃然起敬．小学德育处随后决定在全校1000名学生中开展“我为禁毒献爱心”的捐款活动．张教师在周五随机调查了部分学生随身携带零花钱的情况，并将收集的数据举行收拾，绘制了如图所示的条形统计图．（1）求这组数据的平均数和众数；（2）经调查，当学生身上的零花钱多于15元时，都到出零花钱的20%，其余学生不参加捐款．请你预计周五这一天该校可能收到学生自愿捐款多少元？（3）捐款最多的两人将和另一个小学选出的两人组成一个“禁毒”知识宣讲小组，若从4人中随机指定两人担任正、副组长，求这两人来自不同小学的概率．17.（2021•四川省凉山州）随着手机的日益普及，学生使用手机给小学管理和学生发展带来诸多不利影响，为了保护学生眼力，防止学生迷恋网络和游戏，让学生在小学用心学习，促进学生身心健康发展，教诲部办公厅于2021年1月15日颁发了《教诲部办公厅关于加强中小学生手机管理工作的通知》，为贯彻《通知》精神、某小学团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，按照参赛学生的得分情况绘制了如图所示的两幅不残破的统计图．（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”）请你按照统计图中所提供的信息解答下列问题：（1）获奖总人数为______人，m _______；（2）请将条形统计图补充残破；（3）小学将从获得一等奖的4名学生（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取学生中恰有一名男生和一名女生的概率．18.（2021•四川省眉山市））吸食毒品极易上瘾，不但对人的健康危害极大，而且严重影响家庭和社会的稳定．为了解学生们对禁毒知识的控制情况，从我市某校1000名学生中随机抽取部分学生举行问卷调查，调查评价结果分为：“了解较少”，“基本了解”，“了解较多”，“异常了解”四类，并按照调查结果绘制出如图所示的两幅不残破的统计图．第15 页/共23 页请按照统计图回答下列问题：（1）本次抽取调查的学生共有人，其中“了解较多”的占%；（2）请补全条形统计图；（3）预计此校“异常了解”和“了解较多”的学生共有人；（4）“了解较少”的四名学生中，有3名学生A1，A2，A3是初一学生，1名学生B为初二学生，为了提高学生对禁毒知识的认识，对这4人举行了培训，然后从中随机抽取2人对禁毒知识的控制情况举行检测．请用画树状图或列表的主意，求恰好抽到初一、初二学生各1名的概率．19.（2021•遂宁市）我市于2021年5月22－23日在遂宁观音湖举行了“龙舟赛”，吸引了全国各地选手参加．现对某校初中1000名学生就“比赛规矩”的了解程度举行了抽样调查（参加调查的学生只能挑选其中一项），并将调查结果绘制出以下两幅不残破的统计图表，请按照统计图表回答下列问题：类别频数频率不了解10m了解很少160.32基本了解b很了解4n合计a1（1）按照以上信息可知：a＝，b＝，m＝，n＝；（2）补全条形统计图；（3）预计该校1000名初中学生中“基本了解”的人数约有人；（4）“很了解”的4名学生是三男一女，现从这4人中随机抽取两人去参加全市举办的“龙舟赛”知识比赛，请用画树状图或列表的主意说明，抽到两名学生均为男生和抽到一男一女的概率是否相同．20. 2021•四川省自贡市)为了弘扬爱国主义精神，某校组织了“共和国成就”知识比赛，将成绩分为：A（优秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级．小李随机调查了部分学生的比赛成绩，绘制了如下统计图．第17 页/共23 页（1）本次抽样调查的样本容量是_________，请补全条形统计图；（2）已知调查对象中惟独两位女生比赛成绩不合格，小李决定随机回访两位比赛成绩不合格的学生，请用树状图或列表法求出恰好回访到一男一女的概率；（3）该校共有2000名学生，请你预计该校比赛成绩“优秀”的学生人数．21.（2021•青海省）为了倡导“节约用水，从我做起”，某市政府决定对该市直属机关200户家庭用水情况举行调查．市政府调查小组随机抽查了其中部分家庭一年的月平均用水量（单位：吨），调查中发现，每户家庭月平均用水量在3～7吨范围内，并将调查结果制成了如下尚不残破的统计表：34567月平均用水量（吨）4a9107频数（户数）频率0.080.40b c0.14请按照统计表中提供的信息解答下列问题：（1）填空：a＝，b＝，c＝．（2）这些家庭中月平均用水量数据的平均数是，众数是，中位数是．（3）按照样本数据，预计该市直属机关200户家庭中月平均用水量不超过5吨的约有多少户？（4）市政府决定从月平均用水量最省的甲、乙、丙、丁四户家庭中，选取两户举行“节水”经验分享．请用列表或画树状图的主意，求出恰好选到甲、丙两户的概率，并列出所有等可能的结果．22.（2021•湖北省荆门市）为欢庆中国共产党建党100周年，某校拟举办主题为“学党史跟党走”的知识比赛活动．某年级在一班和二班举行了预赛，两个班参加比赛的人数相同，成绩分为A、B、C、D四个等级，其等级对应的分值分离为100分、90分、80分、70分，将这两个班学生的最后等级成绩分析收拾绘制成了如图的统计图．（1）这次预赛中，二班成绩在B等及以上的人数是多少？（2）分离计算这次预赛中一班成绩的平均数和二班成绩的中位数；（3）已知一班成绩A等的4人中有两个男生和2个女生，二班成绩A等的都是女生，年级要求从这两个班A等的学生中随机选2人参加小学比赛，若每个学生被抽取的可能性相等，求抽取的2人中至少有1个男生的概率．第19 页/共23 页23. （2021•湖北省十堰市）为欢庆中国共产党成立100周年，某校举行党史知识比赛活动．赛后随机抽取了部分学生的成绩，按得分划分为A 、B 、C 、D 四个等级，并绘制了如下不残破的统计表和统计图． 等级 成绩（x ） 人数A 90100x ≤≤ 15B 8090x ≤< aC 7080x ≤<18 D70x <7按照图表信息，回答下列问题：（1）表中a =__________；扇形统计图中，C 等级所占的百分比是_________；D 等级对应的扇形圆心角为________度；若全校共有1800名学生参加了此次知识比赛活动，请预计成绩为A 等级的学生共有_______人．（2）若95分以上的学生有4人，其中甲、乙两人来自同一年级，小学将从这4人中随机选出两人参加市级比赛，请用列表或树状图法求甲、乙两人至少有1人被选中的概率24. （2021•湖南省张家界市））为了积极响应中共中央文明办关于“文明用餐”的倡议，某校开展了“你的家庭使用公筷了吗？”的调查活动，并随机抽取了部分学生，对他们家庭用餐使用公筷情况举行统计，统计分类为以下四种：A （彻低使用）、B （多数时光使用）、C （偶尔使用）、D （彻低不使用），将数据举行千里之行，始于足下。
中考数学模拟试题概率与统计的综合运用
中考数学模拟试题概率与统计的综合运用中考数学模拟试题-概率与统计的综合运用一、问题描述和分析在某中学的中考数学模拟试题中，出现了一道关于概率与统计的综合运用题。
这道题目涉及到了排列组合和统计学的知识，要求考生综合运用这两个知识点解决实际问题。
二、问题陈述某中学有100名学生参加了数学模拟试题。
试题共有5个选择题，每题有4个选项。
假设每个学生对每个问题的答案都是随机选择的，求：1. 至少有一个学生全部答对的概率；2. 至少有一个学生一题也没答对的概率；3. 恰好有一个学生答对全部题目的概率；4. 每题至少有一个学生答对的概率。
三、问题分析本题可以看作是一个重复试验的问题，每个学生在每个问题的答案选择上都是独立且等概率的，符合概率的基本性质。
首先，我们需要确定试题的样本空间，即5个选择题的组合方式。
然后，我们可以通过计算概率的方式，解决问题1至问题4。
四、解题过程1. 至少有一个学生全部答对的概率：考虑所有学生都全部答对的情况，即每个学生都选择了正确的答案。
由于每个题目有4个选项，所以每个学生全对的概率为1/4^5。
另外，根据概率的加法原理，至少有一个学生答对的概率为1减去没有学生答对的概率。
所以，至少有一个学生全部答对的概率为1-(1-1/4^5)^100。
2. 至少有一个学生一题也没答对的概率：每个学生都没有答对题目的概率为(3/4)^5，所以至少有一个学生一题也没答对的概率为1-(1- (3/4)^5)^100。
3. 恰好有一个学生答对全部题目的概率：考虑只有一个学生全部答对的情况，可以从100名学生中选出一个学生答对，而其他学生都没有答对的概率为(1/4^5)*(3/4)^5*99。
所以恰好有一个学生答对全部题目的概率为100*(1/4^5)*(3/4)^5*99。
4. 每题至少有一个学生答对的概率：每题至少有一个学生答对，可以转化成至少有一个学生没有答对的概率。
即1-(3/4)^100。
五、问题解答根据以上分析，我们可以得到问题1至问题4的答案：1. 至少有一个学生全部答对的概率为1-(1-1/4^5)^100；2. 至少有一个学生一题也没答对的概率为1-(1- (3/4)^5)^100；3. 恰好有一个学生答对全部题目的概率为100*(1/4^5)*(3/4)^5*99；4. 每题至少有一个学生答对的概率为1-(3/4)^100。
专题小综合(三)概率与统计
2．某单位 200 名职工的年龄分布情况如图所示， 该单位为了解职工每天的睡眠情况，按年龄用分层抽 样方法从中抽取 40 名职工进行调查．则应从 40～50 岁的职工中抽取的人数为( )
A．8
B．12
C．20
D．30
【解析】选 B 应从 40～50 岁的职工中抽取的人数为 40×30% ＝12，故选 B.
4．甲、乙两同学用茎叶图记录 高三前 5 次数学测试的成绩， 如图 所示．他们在分析对比成绩变化 时， 发现乙同学成绩的一个数字看 不清楚了，若已知乙的平均成绩低于甲的平均成绩， 则看不清楚的数字为( ) A．9 B．6 C.3 D．0 【解析】选 D 本题考查茎叶图、平均数． 99＋100＋101＋102＋103 甲的平均分为 ＝101， 5 设看不清楚的数字为 x， 93＋94＋97＋110＋110＋x 则乙的平均分为 <101， 5 解得 x<1，因为 x≥0，x∈N， 所以 x＝0，看不清楚的数字为 0.故选 D.
12．(16 分)为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮 料有关， 现对 30 名六年级学生进行了问卷调查， 得到如下 列联表(平均每天喝 500 ml 以上为常喝，体重超过 50 kg 为肥胖)： 常喝 不常喝 合计 肥胖 2 不肥胖 18 合计 30 已知在全部 30 人中随机抽取 1 人， 抽到肥胖的学生的 4 概率为 . 15 (1)请将上面的列联表补充完整； (2) 是否有 99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有 关？说明你的理由； (3)现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中 (2 名女生)，抽 取 2 人参加电视节目，正好抽到一男一女的概率是多少？
【解析】(1)设估计上网时间不少于 60 分钟的女生 人数为 x， x 30 依题意有 ＝ ，解得：x＝225 750 100 所以估计其中上网时间不少于 60 分钟的女生人数 是 225 人． (2)根据题意有下表： 上网时间 上网时间 不少于 60 分 合计 少于 60 分钟 钟 60 40 100 男生 女生 70 30 100 合计 130 70 200 其中 K2≈2.198<2.706， 因此没有 90%的把握认为 “ 学生周日上网时间与 性别有关” ．
概率论与数理统计的作业及解答
概率论与数理统计作业及解答第一次作业★1. 甲乙丙三门炮各向同一目标发射一枚炮弹设事件A B C 分别表示甲乙丙击中目标则三门炮最多有一门炮击中目标如何表示. 事件E {事件,,A B C 最多有一个发生},则E 的表示为;E ABCABC ABCABC 或;ABACBC 或;ABACBC 或;ABACBC 或().ABC ABCABC ABC (和A B 即并AB ,当,A B 互斥即AB时AB 常记为AB )2. 设M 件产品中含m 件次品计算从中任取两件至少有一件次品的概率.221Mm M CC或1122(21)(1)mMm mMC CCm Mm M MC★3. 从8双不同尺码鞋子中随机取6只计算以下事件的概率.A {8只鞋子均不成双},B {恰有2只鞋子成双},C {恰有4只鞋子成双}. 61682616()32()0.2238,143C C P A C1414872616()80()0.5594,143C C C P B C2212862616()30()0.2098.143C C C P C C★4. 设某批产品共50件其中有5件次品现从中任取3件求(1)其中无次品的概率 (2)其中恰有一件次品的概率(1)34535014190.724.1960C C(2)21455350990.2526.392C C C5. 从1～9九个数字中任取3个排成一个三位数求(1)所得三位数为偶数的概率 (2)所得三位数为奇数的概率(1){P 三位数为偶数}{P 尾数为偶数4},9(2){P 三位数为奇数}{P 尾数为奇数5},9或{P 三位数为奇数}1{P 三位数为偶数45}1.996.某办公室10名员工编号从1到10任选3人记录其号码求(1)最小号码为5的概率(2)最大号码为5的概率记事件A {最小号码为5}, B {最大号码为5}. (1) 253101();12C P A C(2) 243101().20C P B C7.袋中有红、黄、白色球各一个每次从袋中任取一球记下颜色后放回共取球三次求下列事件的概率:A ={全红}B ={颜色全同}C ={颜色全不同}D ={颜色不全同}E ={无黄色球}F ={无红色且无黄色球}G ={全红或全黄}.311(),327P A 1()3(),9P B P A 33333!2(),339A P C 8()1(),9P D P B3328(),327P E 311(),327P F 2()2().27P G P A ☆.某班n 个男生m 个女生(m n 1)随机排成一列计算任意两女生均不相邻的概率.☆.在[0 1]线段上任取两点将线段截成三段计算三段可组成三角形的概率.14第二次作业1. 设A B 为随机事件P (A)0.92P(B )0.93(|)0.85P B A 求(1)(|)P A B (2)()P A B ∪(1)()()0.85(|),()0.850.080.068,()10.92P AB P AB P B A P AB P A ()()()()()()P AB P A P AB P A P B P AB 0.920.930.0680.058,()0.058(|)0.83.()10.93P AB P A B P B (2)()()()()P AB P A P B P AB 0.920.930.8620.988.2. 投两颗骰子已知两颗骰子点数之和为7求其中有一颗为1点的概率. 记事件A {(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}, B {(1,6),(6,1)}. 21(|).63P B A ★.在1—2000中任取一整数求取到的整数既不能被5除尽又不能被7除尽的概率记事件A {能被5除尽}, B {能被7除尽}.4001(),20005P A 取整2000285,728557(),2000400P B 200057,5757(),2000P AB ()()1()1()()()P AB P AB P A B P A P B P AB 1575710.686.540020003. 由长期统计资料得知某一地区在4月份下雨(记作事件A )的概率为4/15刮风(用B 表示)的概率为7/15既刮风又下雨的概率为1/10求P (A |B )、P (B |A )、P (A B )()1/103(|),()7/1514P AB P A B P B ()1/103(|),()4/158P AB P B A P A ()()()()P AB P A P B P AB 47119.151510304设某光学仪器厂制造的透镜第一次落下时摔破的概率是1/2若第一次落下未摔破第二次落下时摔破的概率是7/10若前二次落下未摔破第三次落下时摔破的概率是9/10试求落下三次而未摔破的概率．记事件i A ={第i 次落下时摔破}1,2,3.i1231213121793()()(|)(|)111.21010200P A A A P A P A A P A A A 5设在n 张彩票中有一张奖券有3个人参加抽奖分别求出第一、二、三个人摸到奖券概率．记事件i A ={第i 个人摸到奖券}1,2,3.i 由古典概率直接得1231()()().P A P A P A n 或212121111()()()(|),1n P A P A A P A P A A n n n31231213121211()()()(|)(|).12n n P A P A A A P A P A A P A A A nn nn或第一个人中奖概率为11(),P A n 前两人中奖概率为12122()()(),P A A P A P A n解得21(),P A n前三人中奖概率为1231233()()()(),P A A A P A P A P A n解得31().P A n 6甲、乙两人射击甲击中的概率为08乙击中的概率为07两人同时射击假定中靶与否是独立的求(1)两人都中靶的概率 (2)甲中乙不中的概率 (3)甲不中乙中的概率记事件A ={甲中靶}B ={乙中靶}. (1)()()()0.70.70.56,P AB P A P B (2)()()()0.80.560.24,P AB P A P AB (3)()()()0.70.560.14.P AB P B P AB ★7袋中有a 个红球b 个黑球有放回从袋中摸球计算以下事件的概率(1)A {在n 次摸球中有k 次摸到红球}(2)B {第k 次首次摸到红球}(3)C {第r 次摸到红球时恰好摸了k 次球}(1) ();()kn kk n kk k nnna b a bP A CC a b a b a b (2) 11();()k k kbaabP B a b a b a b (3) 1111().()rk rr k rr r k k kaba bP C CCa b a b a b 8一射手对一目标独立地射击4次已知他至少命中一次的概率为80.81求该射手射击一次命中目标的概率设射击一次命中目标的概率为,1.p q p 4801121,,1.818133q qp q9设某种高射炮命中目标的概率为0.6问至少需要多少门此种高射炮进行射击才能以0.99的概率命中目标(10.6)10.99,n0.40.01,n由50.40.01024,60.40.01,得 6.n☆.证明一般加法(容斥)公式1111()()()()(1)().nn n n i i i i j i j k i i i i ji j kP A P A P A A P A A A P A 证明只需证分块111,,kk nki i i ii i A A A A A A 只计算1次概率．(1,,n i i 是1,,n 的一个排列1,2,,.kn )分块概率重数为1,,ki i A A 中任取1个任取2个1(1)k 任取k 个即121(1)1k k kkk C CC121(1)(11)0.kk kk kkC CC将,互换可得对偶加法(容斥)公式1111()()()()(1)().nn n n i i i i j i j k i i i i ji j kP A P A P A A P A A A P A ☆.证明若A B 独立A C 独立则A B ∪C 独立的充要条件是A BC 独立. 证明(())()()()()P A B C P AB AC P AB P AC P ABC ()()()()()P A P B P A P C P ABC 充分性:(())()()()()(),P A BC P A P B P A P C P ABC 代入()()()P ABC P A P BC ()(()()())P A P B P C P BC ()(),P A P B C 即,A B C 独立.必要性:(())()()P A B C P A P B C ()(()()())P A P B P C P BC ()()()()()()P A P B P A P C P A P BC ()()()()()P A P B P A P C P ABC ()()(),P ABC P A P BC 即,A BC 独立.☆.证明：若三个事件A 、B 、C 独立，则A ∪B 、AB 及A －B 都与C 独立．证明因为[()]()()()()()()()()()()()[()()()()]()()()P A B C P AC BC P AC P BC P ABC P A P C P B P C P A P B P C P A P B P A P B P C P AB PC [()]()()()()[()()]()()()P AB C P ABC P A P B P C P A P B P C P AB P C [()]()()()()()()()()[()()]()()()P A B C P AC B P AC P ABC P A P C P A P B P C P A P AB P C P AB PC 所以A ∪B 、AB 及A －B 都与C 独立. 第三次作业1在做一道有4个答案的选择题时如果学生不知道问题的正确答案时就作随机猜测设他知道问题的正确答案的概率为p 分别就p 0.6和p 0.3两种情形求下列事件概率(1)学生答对该选择题 (2)已知学生答对了选择题求学生确实知道正确答案的概率记事件A ={知道问题正确答案}B ={答对选择题}. (1) 由全概率公式得()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A 113,444p p p当0.6p时13130.67()0.7,444410p P B当0.3p 时13130.319()0.475.444440p P B (2) 由贝叶斯公式得()4(|),13()1344P AB p p P A B p P B p当0.6p 时440.66(|),13130.67p P A B p 当0.3p时440.312(|).13130.319p P A B p2某单位同时装有两种报警系统A 与B 当报警系统A 单独使用时其有效的概率为0.70当报警系统B 单独使用时其有效的概率为0.80.在报警系统A 有效的条件下报警系统B 有效的概率为0.84.计算以下概率 (1)两种报警系统都有效的概率 (2)在报警系统B 有效的条件下报警系统A 有效的概率 (3)两种报警系统都失灵的概率.()0.7,()0.8,(|)0.84.P A P B P B A (1) ()()(|)0.70.840.588,P AB P A P B A (2) ()0.588(|)0.735,()0.8P AB P A B P B (3) ()()1()1()()()P AB P A B P A B P A P B P AB 10.70.80.5880.088.☆.为防止意外在矿内同时设有两种报警系统A 与B 每种系统单独使用时其有效的概率系统A 为092系统B 为0.93在A 失灵的条件下B 有效的概率为0.85求: (1)发生意外时两个报警系统至少有一个有效的概率 (2) B 失灵的条件下A 有效的概率3设有甲、乙两袋甲袋中有n 只白球m 只红球乙袋中有N 只白球M 只红球从甲袋中任取一球放入乙袋在从乙袋中任取一球问取到白球的概率是多少记事件A ={从甲袋中取到白球}B ={从乙袋中取到白球}. 由全概率公式得()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A 111n N m N nm NM nm NM().()(1)nN n m n m NM☆.设有五个袋子其中两个袋子每袋有2个白球 3个黑球另外两个袋子每袋有1个白球 4个黑球还有一个袋子有4个白球 1个黑球 (1)从五个袋子中任挑一袋并从这袋中任取一球求此球为白球的概率 (2)从不同的三个袋中任挑一袋并由其中任取一球结果是白球问这球分别由三个不同的袋子中取出的概率各是多少？★4发报台分别以概率06和04发出信号“·”及“”由于通信系统受到于扰当发出信号“·”时收报台分别以概率08及02收到信息“·”及“”又当发出信号“”时收报台分别以概率09及0l 收到信号“”及“·”求: (1)收报台收到“·”的概率(2)收报台收到“”的概率(3)当收报台收到“·”时发报台确系发出信号“·”的概率(4)收到“”时确系发出“”的概率记事件B ={收到信号“·”}1A ={发出信号“·”}2A ={发出信号“”}. (1) )|()()|()()(2211A B P A P A B P A P B P ;52.01.04.0)2.01(6.0(2) ()1()10.520.48;P B P B (3) 1111()()(|)(|)()()P A B P A P B A P A B P B P B 0.60.8120.923;0.5213(4)2222()()(|)(|)()()P A B P A P B A P A B P B P B 0.40.930.75.0.4845对以往数据分析结果表明当机器调整良好时产品合格率为90%而机器发生某一故障时产品合格率为30%每天早上机器开动时机器调整良好的概率为75%(1)求机器产品合格率(2)已知某日早上第一件产品是合格品求机器调整良好的概率记事件B ={产品合格}A ={机器调整良好}. (1) 由全概率公式得()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A 0.750.90.250.30.75,(2) 由贝叶斯公式得()()(|)(|)()()P AB P A P B A P A B P B P B 0.750.90.9.0.75☆.系统(A) (B) (C)图如下系统(A) (B)由4个元件组成系统(C)由5个元件组成每个元件的可靠性为p 即元件正常工作的概率为p 试求整个系统的可靠性. (A) (B) (C) 记事件A ={元件5正常}B ={系统正常}. (A) 222(|)(1(1)(1))(44),P B A p p p p p (B) 2222(|)1(1)(1)(2),P B A p p p p (C) 由全概率公式得()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A 2222(44)(1)(2)p p pp p p p 23452252.pp p p 第四次作业1在15个同型零件中有2个次品从中任取3个以X 表示取出的次品的个数求X 的分布律.2213315(),0,1,2.k k C C P Xk k CX0 1 2 P22/35 12/35 1/35☆.经销一批水果第一天售出的概率是0.5每公斤获利8元第二天售出的概率是0.4每公斤获利5元第三天售出的概率是0.1每公斤亏损3元求经销这批水果每公斤赢利X 的概率分布律和分布函数X 3 5 8P0.10.40.50,3,(3)(3)0.1,35,()(5)(3)(5)0.10.40.5,58,(8)1,8.xF P X xF x F P XP Xx F x2抛掷一枚不均匀的硬币每次出现正面的概率为2/3连续抛掷8次以X 表示出现正面的次数求X 的分布律.(8,2/3),XB np8821(),0,1,,8.33kkk P Xk Ck 3一射击运动员的击中靶心的命中率为0.35以X 表示他首次击中靶心时累计已射击的次数写出X 的分布律并计算X 取偶数的概率(0.35),XG p11()0.350.65,1,2.k k P Xk pqk()+()=1,()()=,P X P X P X P X q奇偶偶奇解得0.6513()=0.394.110.6533q P X q偶4一商业大厅里装有4个同类型的银行刷卡机调查表明在任一时刻每个刷卡机使用的概率为0.1求在同一时刻(1)恰有2个刷卡机被使用的概率(2)至少有3个刷卡机被使用的概率(3)至多有3个刷卡机被使用的概率(4)至少有一个刷卡机被使用的概率在同一时刻刷卡机被使用的个数(4,0.1).X B n p (1) 2224(2)0.10.90.00486,P X C(2) 3344(3)(3)(4)0.10.90.10.0037,P X P X P X C(3) 4(3)1(4)10.10.9999,P X P X (4)4(1)1(0)10.910.65610.3439.P XP X5某汽车从起点驶出时有40名乘客设沿途共有4个停靠站且该车只下不上每个乘客在每个站下车的概率相等并且相互独立试求(1)全在终点站下车的概率(2)至少有2个乘客在终点站下车的概率 (3)该车驶过2个停靠站后乘客人数降为20的概率记事件A ={任一乘客在终点站下车}乘客在终点站下车人数(40,1/4).X B n p (1) 40231(40)8.271810,4P X (2) 403940140313433(2)1(0)(1)1144434P XP X P XC10.0001340880.999865912.(3) 记事件B ={任一乘客在后两站下车}乘客在后两站下车人数(40,1/2).YB np2020202040404011(20)0.1268.222CP YC(精确值)应用斯特林公式!2,nn n n e 2020202040404011(20)222CP XC24040!(20!)2402204040240202202ee10.1262.25其中3.1415926536, 1.7724538509.参贝努利分布的正态近似6已知瓷器在运输过程中受损的概率是0.002有2000件瓷器运到求 (1)恰有2个受损的概率 (2)小于2个受损的概率 (3)多于2个受损的概率 (4)至少有1个受损的概率受损瓷器件数(2000,0.002),X B np近似为泊松分布(4).P n p (1) 2441480.146525,2!P ee (2) 4424150.0915782,1!P ee(3) 431211130.761897,P P P e (4) 4410.981684.P e7某产品表面上疵点的个数X 服从参数为1.2的泊松分布规定表面上疵点的个数不超过2个为合格品求产品的合格品率产品合格品率21.21.21.2 1.212.920.879487.1!2!Pee★8设随机变量X 的分布律是X3 5 8P0.20.50.3求X 的分布函数以及概率(36),(1),(5),(||5).P XP XP X P X 随机变量X 的分布函数为0,3,(3)(3)0.2,35,()(5)(3)(5)0.20.50.7,58,(8)1,8.xF P X xF x F P XP X x F x(36)(5)0.5,P X P X (1)(5)(8)0.50.30.8,P X P XP X (5)(||5)(5)(3)(5)0.20.50.7,P XP X F P XP X第五次作业1学生完成一道作业的时间X 是一个随机变量(单位小时)其密度函数是2,00.5()0,kx x x f x 其他试求 (1)系数k (2)X 的分布函数 (3)在15分钟内完成一道作业的概率 (4)在10到20分钟之间完成一道作业的概率(1) 0.50.5232111(0.5),21,32248k k F kxxdxxxk (2) 23200,01()()217,00.5,2(0.5)1,0.5.x xF x P Xx xxdx xx x F x(3) 32211119()2170.140625,442464x FP Xx xxdx (4) 3212316111111129217.6336424108PXFF xxdx2设连续型随机变量X 服从区间[a a](a 0)上的均匀分布且已知概率1(1)3P X 求(1)常数a (2)概率1()3P X (1) 1111(1),3,223aa P X dxa aa(2) 13311115()3.36639P Xdx3设某元件的寿命X 服从参数为的指数分布且已知概率P (X 50)e 4试求(1)参数的值 (2)概率P(25X 100) 补分布()()|,0.xxxxxS x P Xx edxeex(1) 504502(50)(50),0.08,25xS P Xedx ee (2) 由()(),,0,rxrS rx eS x r x 取50,x依次令1,2,2r得12282(25)(25)(50),(100)(100)(50)S P X S e S P XS e0.0003354563,其中 2.7182818284.e28(25100)(25)(100)P XP X P X ee0.135334650.00033545630.1349991937.4某种型号灯泡的使用寿命X (小时)服从参数为1800的指数分布求 (1)任取1只灯泡使用时间超过1200小时的概率 (2)任取3只灯泡各使用时间都超过1200小时的概率(1) 1312008002(1200)0.2231301602,P Xee此处 1.6487212707001.e (2) 932(1200)0.0111089965.P Xe5设X ~N (0 1)求P (X 061)P (262X 125)P (X 134)P (|X |213)(1) (0.61)(0.61)0.72907,P X (2) ( 2.621.25)(1.25)(2.62)(1.25)(2.62)1P X0.894359956010.88995,(3) ( 1.34)1(1.34)10.909880.09012,P X(4)(|| 2.13)22(2.13)220.983410.03318.P X 6飞机从甲地飞到乙地的飞行时间X ~N (419)设飞机上午1010从甲地起飞求(1)飞机下午2 30以后到达乙地的概率 (2)飞机下午2 10以前到达乙地的概率 (3)飞机在下午1 40至2 20之间到达乙地的概率(1) 131331/34111(1)10.841340.15866,331/3P X P X (2) (4)(0)0.5,P X (3) 72525/647/24261/31/3PX131220.691460.9331910.62465.★7设某校高三女学生的身高X ~N (16225)求(1)从中任取1个女学生求其身高超过165的概率(2)从中任取1个女学生求其身高与162的差的绝对值小于5的概率(3)从中任取6个女学生求其中至少有2个身高超过165的概率(1) 162165162(165)0.61(0.6)10.72580.2742,55X P X P (2)162(|162|5)12(1)120.8413410.6827,5X P X P(3) 记事件A ={任一女生身高超过165}()(165)0.2742,pP A P X随机变量Y 贝努利分布(6,0.2742),B np6156(2)1(0)(1)1(1)(1)0.52257.P YP Y P Yp C p p 第六次作业★1.设随机变量X 的分布律为(1)求Y |X |的分布律 (2)求Y X 2X 的分布律(1)X 211p k121416112Y0 1 2 P1/6 1/3 1/2(2)Y0 2 P2/12 7/12 ★.定理（连续型随机变量函数的密度公式）设连续型变量X 密度为()X f x ,()y g x 严格单调,反函数()xx y 导数连续,则()Yg X 是连续型变量,密度为(())|()|,()(),()0,X Y f x y x y g x yg x f y 极小值极大值其它.证明1)若()0,xx y {}{()()}{},Yy g X g x Xx ()()(()())()(),Y X F y P Y y P g X g x P X x F x 两边对y 求导,()(())(),.Y X f y f x y x y y2)若()0,xx y {}{()()}{},Yy g X g x Xx ()()(()())()1(),Y X F y P Y y P g X g x P X x F x 两边对y 求导, ()(())(),.Y X f y f x y x y y因此总有()(())|()|,.Y X f y f x y x y y或证明()(),()0,()()(()())()1(),()0,X Y X P X x F x g x F y P Yy P g X g x P Xx F x g x 两边对y 求导,(),()(),X Y X dF x dxdx dy f y dF x dxdx dy或两边微分()(),()()()(),X X Y Y X X dF x f x dx dF y f y dy dF x f x dx (),()(),X Y X dx f x dy f y dx f x dy(())|()|,.X f x y x y y 2设随机变量X 的密度函数是f X (x )求下列随机变量函数的密度函数(1)Y tan X (2)1YX(3)Y |X|(1) 反函数()arctan ,x y y '21(),1x y y 由连续型随机变量函数的密度公式得'21()(())|()|(arctan ).1Y X Xf y f x y x y f y y 或反函数支()arctan ,i x y iy i 为整数，'21(),1i x y y '21()(())|()|(arctan ).1Y X i i X iif y f x y x y f iy y (2) 1,XY 反函数1,y x y '211()()().Y X y yX f y f x x f y y(3) ()()(||)()()()Y X X F y P Y y P X y P y X y F y F y 两边对y 求导得Y 的密度函数为()()(),0.Y X X f y f y f y y★3设随机变量X ~U [2 2]求Y 4X 21的密度函数2111()()(41)(11)1,115,224Y F y P Y y P X y P y Xy y y 两边对y 求导得随机变量Y 的密度为1(),115.81Y f y y y 或解反函数支1211()1,()1,22x y y x y y '''1122111()(())|()|(())|()|2(())(),115.81Y X X X f y f x y x y f x y x y f x y x y yy ★4设随机变量X 服从参数为1的指数分布求Y X 2的密度函数(Weibull 分布)当0y 时, 2Y X 的分布()0Y F y ,当0y 时,2()()()()(),Y X F y P Yy P Xy P X y F y 两边对y 求导得1()()(),2yY X f y f y y e y1,0,2()0,0.y Y e y yf y y 或反函数,yx y '1()(),0.2yY X y yf y f x x ey y★5设随机变量X~N (0 1)求(1)Y e X的密度函数 (2)Y X 2的密度函数(Gamma 分布)(1) 当0y 时, e X Y 的分布()0Y F y ,当0y 时,()()(e)(ln )(ln ),XY F y P Yy P y P X y y 因而Y 的密度为''1()(ln )(ln )(ln )(ln ),Y f y y y y y y 2(ln )1exp ,0,2()20,0.Yy y f y y y 或反函数ln ,X Y ln ,y x y '1()()(ln )Y y yf y x x y y 2(ln )1exp ,0.22y y y(2)当0y 时,()0Y F y ;当0Y时,2()()()()()()Y X X F y P Y y P X y P y Xy F y F y两边对y 求导得Y 的密度函数为21,0,()20,0.y Y e y f y y y 或反函数支12(),(),x y y x y y ''211221()(())|()|(())|()|,0.2y Y X X f y f x y x y f x y x y e y y6设随机变量X 的密度函数是21,1()0,1X x f x xx 求Y ln X 的概率密度反函数,y yx e '()()(),0.y yy Y X y yX f y f x x f e e e y第七次作业☆.将8个球随机地丢入编号为12345的五个盒子中去设X 为落入1号盒的球的个数Y 为落入2号盒的球的个数试求X 和Y 的联合分布律1袋中装有标上号码1 2 2的3个球从中任取一个并且不再放回然后再从袋中任取一球以X Y 分别记第一、二次取到球上的号码数求 (1)(X Y )的联合分布律(设袋中各球被取机会相等) (2)X Y 的边缘分布律 (3)X 与Y 是否独立？(1)(X Y )的联合分布律为(1,1)0,P X Y 1(1,2)(2,1)(2,2).3P X Y P X Y P X Y (2) X Y 的分布律相同12(1),(2).33P X P X (3) X 与Y 不独立2设二维连续型变量(,)X Y 的联合分布函数35(1)(1),,0,(,)0,.xyeex y F x y 其它求(,)X Y 联合密度2(,)(,),f x y F x y x y3515,,0,(,)0,.x yex y f x y 其它★3设二维随机变量(X Y )服从D 上的均匀分布其中D 是抛物线y x 2和x y 2所围成的区域试求它的联合密度函数和边缘分布密度函数并判断Y X ,是否独立分布区域面积21311232211,333xxSdydxx x dxxx联合密度213,1,(,)0,.x y x f x y S 其它边缘X 的密度为22()33(),01,x X xf x dy x x x边缘Y 的密度为22()33(),01.y Y y f y dy y y y (,)()(),X Y f x y f x f y 因此X 与Y 不独立.或(,)f x y 非零密度分布范围不是定义在矩形区域上,因此X 与Y 不独立.4.设二维离散型变量),(Y X 联合分布列是Y X1 351115q 151p15310问,p q 取何值时X 与Y 相互独立. 两行成比例1/151/52,1/53/103q p解得12,.1015pq★5.设(,)X Y 的联合密度为2,11,0,(,)0,.yAx e x y f x y 其它求(1)常数A (2)概率1(0,1);2P XY(3)边缘概率密度f X (x)f Y (y) (4)X 与Y 是否相互独立？ (1)222()(,),11,yyX f x f x y dyAx e dyAxe dyAx x 112112()1,3X f x dxAx dx A3.2A (2) 112201113(0,1)(0)(1).22216yeP X Y P XP Y x dxe dy(3) 23(),11,2X f x x x111221113()(,),0.2yyyY f y f x y dxAx e dxex dxe y(4)由23,11,0()()(,),20,yX Y x e x y f x f y f x y 其它得X 与Y 独立.或因为2(,),11,0,yf x y Ax e x y可表示为x 的函数与y 的函数的积且分布在矩形区域上,所以X 与Y 相互独立.由此得(),0;y Y f y e y 2(),11,X f x Ax x 112112()1,3X f x dx Ax dx A 3.2A 112201113(0,1)(0)(1).22216yeP XYP XP Yx dxe dy6.设X 服从均匀分布(0,0.2),U Y 的密度为55,0,()0,yY ey f y 其它.且,X Y 独立.求(1)X的密度(2) (,)X Y 的联合密度(1)X 的密度为()5,00.2,X f x x(2)(,)X Y 的联合密度为525,00.2,0,(,)0,yex y f x y 其它.第八次作业★1设随机变量(X Y)的联合分布律是XY 0 12 0 1/6 1/3 1/12 11/61/121/6求函数(1)Z 1X Y (2) Z2min{X Y } (3) Z3max{X Y }的分布律(1) 11(0)(0),6P Z P XY1111(1)(0,1)(1,0),362P Z P X Y P XY 1111(2)(0,2)(1,1),12126P Z P X YP XY11(3)(1,2).6P Z P XY(2) 2111(1)(1,1)(1,2),1264P Z P X Y P X Y223(0)1(1).4P Z P Z (3) 31(0)(0),6P Z P X Y 31117(1)(0,1)(1,1)(1,0),312612P Z P X Y P X Y P X Y 3111(2)(0,2)(1,2).1264P Z P XYP XY2设随机变量(X Y )的联合分布律是XY1 1 1 0.25 0.125 10.1250.25求函数Z X /Y 的分布律(/1)(1)(1)0.250.250.5,P Z X Y P XYP X Y(/1)1(/1)0.5.P ZX YP Z X Y3设X 与Y 相互独立概率密度分别为220()0,xX e x f x x 0(),yY e y f y x 试求Z X Y 的概率密度()(,)()()z z Z X Y f z f x z x dxf x f zx dx200222(1),0.z z xz xzxzze edx ee dxe e z★4设X~U (0 1)Y ~E (1)且X 与Y 独立求函数Z X Y 的密度函数,01,0,(,)0,ye xyf x y 其它,当01z 时()(,)()()zzZ X Y f z f x z x dxf x f zx dx1,zzz xz x zx edx ee 当1z 时11110()(,)()().z z xz xzzZ X Y x f z f x zx dxf x f zx dxedx eee 因此11,01,(),1,0,.zzzZ e z f z ee z 其它★5设随机变量(X Y )的概率密度为()101,0(,)10x y ex y f x y e 其它(1)求边缘概率密度f X (x )f Y (y )(2)求函数U max (X ,Y )的分布函数(3)求函数V min (X ,Y )的分布函数(1) 1,01,()10,x X ex f x e 其它.,0,()0,yY e y f y 其它.(2)110,0,1()(),01,111,1x x xxX X xee F xf x dx dxxeex.min{,1}10,0,1,01x xex e.0,0,()1,0Y yyF y e y .21(1),01,()()()11,1x U X Y xe x F x F x F x ee x .min{,1}1(1)(1),0.1xx e ex e(3) 111,0,()1(),01,10,1xX X x eeS x F x x e x .min{,1}111,0,,01x x eex e.1,0,()1(),0Y Y yy S y F y e y.112111()11,01,()1()()111,1xxx xV X Y ee eeeex F x S x S x e ex .1min{,1}111,01x xxeeex e.6设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N (160 202)分布随机地选取4只求其中没有一只寿命小于180小时的概率随机变量2(160,20),XN 180160(180)(1)0.84134,20P X没有一只寿命小于180小时的概率为444(180)(1(1))(10.84134)0.00063368.P X 第九次作业★1. 设离散型随机变量X 具有概率分布律X 2 1 0 12 3 P0.1 0.2 0.2 0.30.10.1试求E (X )E (X 25)E(|X|)20.110.210.320.130.10.4,i iiEX x p 2222222(2)0.1(1)0.210.320.130.1 2.2,i iiEXx p 22(5)57.2,E X EX ||||20.110.210.320.130.1 1.2.i iiE X x p 2. 设随机变量X 的概率密度为0 0,()01,1.xx f x x x Aex 求 (1)常数A (2)X 的数学期望(1) 11111(),2xf x dx xdxAe dx Ae ,2e A (2) 121114()2.2323xe e EXxf x dxx dx xe dxe★3. 设球的直径D 在[a b ]上均匀分布试求 (1)球的表面积的数学期望(表面积2D)(2)球的体积的数学期望(体积316D )(1) 22222()();3b ax E D EDdxaab b ba(2) 33322()().6624b axEDEDdx a b a b b a ★4. 设二维离散型随机变量(X Y )的联合分布律为XY1 2 3 4 2 0.10 0.05 0.05 0.10 0 0.05 0 0.10 0.20 20.100.150.050.05求E (X )E (Y )E (XY )2(0.10.050.050.1)2(0.10.150.050.1)i iiEXx p 20.320.350.1,1(0.10.050.1)2(0.050.15)j jjEYy p3(0.050.10.05)4(0.10.20.05)2.65,,()ij i jijE XY x y p 2(10.120.0530.0540.01)2(10.120.1530.0540.05)1.5 1.50.★5. 设随机变量X 和Y 独立且具有概率密度为2,01,()0,X x x f x 其它,3(1)3,1,()0,1.y Y ey f y y (1)求(25)E X Y (2)求2()E X Y (1) 1122()2,3X EXxf x dx x dx 3(1)114()3,3y Y EYyf y dy yedy或随机变量1ZY 指数分布(3),E 141,,33EZEY EY24(25)25258.33E XY EXEY(2) 112231()2,2X EXx f x dxx dx 由X 和Y 独立得22142().233E X Y EX EY第十次作业1. 设离散型随机变量X 的分布列为X 21 0 12 3P01 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1试求 (1) D (X ) (2) D (3X 2)(1) 20.110.210.320.130.10.4,i i iEXx p 2222222(2)0.1(1)0.210.320.130.1 2.2,i iiEXx p 2222.20.42.04.DXEXE X (2) 2(32)(3)9 2.0418.36.D XDX★2. 设随机变量X 具有概率密度为22,02,()0,Axx x f x 其他，试求 (1)常数A (2)E (X ) (3) D (X ) (4) D (2X 3) (1) 2281()(2)4,3f x dx Axx dx A解得9.8A (2) 2295()(2).86EX xf x dxx xx dx (3) 2222294()(2),85EXx f x dx x xx dx 2224519.56180DXEXE X(4) 21919(23)24.18045D XDX★3. 设二维随机变量(,)X Y 联合概率密度为2,01,01,(,)0,x y x y f x y 其他，试求 (1),X Y 的协方差和相关系数A (2)(21).D X Y (1) 13()(,)(2),01,2X f x f x y dyx y dy x x由,x y 的对称性3(),0 1.2Y f y y y1035(),212X EXxf x dxxx dx EY 1222231(),24X EX x f x dx xx dx EY 2221511,412144DXEXE XDY 1101()(,)(2),6E XY xyf x y dydx xy x y dydx因此2151(,)(),612144Cov X Y E XY EXEY,(,)1.11X YCov X Y DXDY (2) 由随机变量和的方差公式()2(,)D X Y DX DX Cov X Y 得(21)(2)()2(2,)D X Y D X D Y Cov X Y 22592(1)22(1)(,).144DXDY Cov X Y ★4. 设二维随机变量(,)X Y 具有联合分布律YX2 1 0 1 2 1 0.1 0.1 0.05 0.1 0.1 00.050.051 0.1 0.10.05 0.1 0.1试求,,,EX DX EY DY 以及X 和Y 的相关系数(1) X 的分布列为X1 0 1 ip 0.450.10.45由变量X 分布对称得0,EX或10.4500.4510.450,i iiEX x p 22222(1)0.4500.4510.450.9,iiiEXx p 220.9.DX EXE X(2) Y 的分布列为Y21 0 12 jp0.20.250.10.250.2(,)X Y 取值关于原点中心对称由变量Y 分布对称得0,EY或20.20.250.2520.20,j jiEYy p222222(2)0.2(1)0.2510.2520.2 2.1,j j iEYy p222.1.DYEYE Y (3) 由二维变量(,)X Y 的联合分布列关于两坐标轴对称得,()0,ij i jijE XY x y p (,)()0,Cov X Y E XY EXEY因此,(,)0.X YCov X Y DXDY5. 设随机变量X 服从参数为2的泊松分布(2)P 随机变量Y 服从区间(0,6)上的均匀分布(0,6),U 且,X Y 的相关系数,1.6X Y记2,Z X Y 求,.EZ DZ (1) 2,EX 063,2EY (2)2223 4.EZ E XY EXEY (2) 2(60)2, 3.12DXDY由,(,)1,6X YCov X Y DXDY 得(,)1,Cov X Y 由随机变量和的方差公式()2(,)D XY DXDYCov X Y 得2(2)(2)2(,2)(2)4(,)10.DZD XY DXD Y Cov X Y DX DYCov X Y 第十一次作业★1. 试用切比雪夫不等式估计下一事件概率至少有多大掷1000次均匀硬币出现正面的次数在400到600次之间出现正面的次数~(1000,0.5),X B n p 10000.5500,EXnp10000.50.5250,DXnpq应用切比雪夫不等式有239(400600)(|500|100)1.10040DX P XP X2. 若每次射击目标命中的概率为0.1不断地对靶进行射击求在500次射击中击中目标的次数在区间(49 55)内的概率击中目标的次数~(500,0.1),X B n p5000.150,EXnp5000.10.945.DXnpq根据中心极限定理,X 近似服从正态分布(50,45).N EX DX 4950505550(4955)454545X P XP555049505513154545(0.74)(0.15)10.77040.559610.33.★3. 计算器在进行加法时将每个加数舍入最靠近它的整数.设所有舍入误差是独立的且在(0.5 0.5)上服从均匀分布 (1)若将1500个数相加问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？(2)最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90(1) 误差变量,1,2,.i X i 独立同均匀分布(0.5,0.5),X U 10,.12EXDX由独立变量方差的可加性150011500125,12ii DX 15001i i X 近似(0,125).N 15001||15i i P X 1500111535||5125125i i P X 352222(1.34)220.90990.1802.5(2)1||10ni i P X 112123||2ni i P X nn n32210.90,n320.95,n321.645,n212 4.4345.1.645n 因此最多可有4个数相加误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90★4. 一个系统由n 个相互独立的部件所组成每个部件的可靠性(即部件正常工作的概率)为0.90至少有80%的部件正常工作才能使整个系统正常运行问n 至少为多大才能使系统正常运行的可靠性不低于0.95正常工作的部件数~(,),X B n p 其中0.9.p 0.9,EX np n 0.09.DX npq n (0.8)P X n 0.80.80.930.90.1XEX nEXn n n PDXDXn 0.95,3n 1.645,24.354.3n n因此n 至少取25.★5. 有一大批电子元件装箱运往外地正品率为0.8为保证以0.95的概率使箱内正品数多于1000只问箱内至少要装多少只元件？正品数~(,),X B n p 其中0.8.p 0.8,EX np n 0.16.DXnpqn。
应用概率统计作业
应⽤概率统计作业应⽤概率统计1⼀、填空题1．设C B A 、、是3个随机事件，则事件“A 、B 、C 都不发⽣”，⽤C B A 、、表⽰为；2．设随机变量X 服从⼆项分布),(p n B ，则=EXDX； 3．设随机变量X 的分布律为() ,2,1,0!)(=?==k k a k X P kλ，其中0>λ为已知常数，则常数a 为；4．若事件C B A 、、相互独⽴，且25.0)(=A P ，5.0)(=B P ，4.0)(=C P ，则)(C B A P = ；5．设随机变量X 在()1,0服从均匀分布，则X e Y =的概率密度为； 6．设随机变量X 的分布律为则12+X 的分布律为；7．随机变量X 、Y 的相关系数XY ρ定义为；8．若b a ,为常数，X 的⽅差为)(X D ，则=+)(b aX D ； 9．设n X X X ,,,21 是来⾃正态总体()2 ,~σµN X 的样本，2S 为样本⽅差，则()2S E 为；10．设n X X X ,,,21 是来⾃总体),(~2σµN X 的样本，且2σ未知，⽤样本检验假设0H ：0µµ=时，采⽤统计量是。
姓名：___________ 学号：___________得分：___________ 教师签名：___________⼆、判断题1．设C B A 、、表⽰3个事件，则________C B A ABC =；（） 2．n X X X ,,,21 是来⾃于总体),(2σµN 的样本，则∑==ni iXnX 11~),(2σµn n N 分布（） 3．若()2,~σµNX ，则()()σµ==X D X E ,；（） 4．设{}∞+-∞=Ω＜＜x x |，{}20|＜x x A ≤=，{}31|＜x x B ≤=，则B A 表⽰{}10|＜＜x x ；（）5．若事件A 与B 互斥，则A 与B ⼀定相互独⽴；（） 6．对于任意两个事件B A 、，必有=B A B A ；（） 7．在5次独⽴重复试验中，事件A 发⽣了2次，则()52=A P ；（） 8．设随机变量ξ的⽅差1=ξD ，且βαξη+=（α、β为⾮零常数），则ηD 为βα+2；（）9.两个相互独⽴的随机变量Y X ,的⽅差分别为4与2；则()2823=-Y X D （）10．设总体)1,(~µN X ， 1X ,2X ,3X 是来⾃于总体的样本，则321?X X X ++=µ是µ的⽆偏估计量。
应用概率统计综合作业三(19页)
应用概率统计综合作业三（19页）应用概率统计综合作业三．《应用概率统计》综合作业三 2分，共20分）一、填空题（每小题测量结果1．在天平上重复称量一重为的物品，a，各次结果相互独立且服从正为，，…，XXX12n，各次称量结果的算术平均值记为态分布2).N2(a,0 为使，，则的值最小应取自然数nX95.?1)0XP(?a?0.nn16 .的容是来自正态总体，2．设，…，2?XX),N(4X12n为样本方差，已知量为10的简单随机样本，2= 1 .，则2a1?a)?P(s0.分布，则随机的．设随机变量服从自由度为3ntY 服从自由度为变，2Y.分布F25抽取容量为服从正态分布，4．设总体2?)12,N(X，则样的简单随机样本，测得样本方差为257S.?5 4/25 . 小于12.5的概率为本均值X的随．从正态分布中随机抽取容量为1652),N(2S 则，概率机样本，且未知041?2.P,21 .a，? x1(?) ，0x?1其中．6设总体的密度函数为，x(f)X?，其他，0?，，，…，是取自总体的随机样本，?1XXXX12n.的极大似然估计值为则参数?7．设总体服从正态分布，其中未知而22?)，(NX已知，为使总体均值的置信度为的置信区间1?的长度等于，则需抽取的样本容量最少为 n .u0)×sqrt(n)/σu=(x-8．设某种零件的直径（mm）服从正态分布，2)，N(从这批零件中随机地抽取16个零件，测得样本均值为，样本方差，则均值的置2075X?12.?00244S.?0信度为0.95的置信区间为：（1025.75-21.315，1025.75+21.315） .（1004.435，1047.065）．9．在假设检验中，若未知，原假设，2?H ：00备择假设时，检验的拒绝域为： H01 .10．一大企业雇用的员工人数非常多，为了探讨员工的工龄（年）对员工的月薪（百元）的YX影响，随机抽访了25名员工，并由记录结果得对则，，，，?29650Y?510XX100?Y2000XYXiiiii1i?1i?1?i?1i线性回归方程为 . y2.62x＋ = 11.47分）20分，共2二、选择题（每小题．的1．设，，…，是来自正态总体2?XX)0,~XN(X12n令值，样本机样本均，为其随一个简单Xn?2)?(XXi D ），则～（1?i?YY2? 22?）（（（A）DC（B））)1(n?)n()(,N2? ?)N(,n的，…，是来自正态总体2．设，2XX),~N(XX12n ）简单随机样本，为样本均值，记（Xnn11 ，，2222)X?XS?()?XS?X(2i1i1?nn1?i1i?nn11 ，，2222)SS?(X?()Xii43n1n?1i1i是变量的度为分布的随机从则服自由1?ntB ）（XX?XX? ）（））D（AC）（（B?T?TT?T?1?S?S/n1/nn/nS/S2143的，，是来自正态总体3．设，2?XXX)N(,2X~X4123，则当简单随机样本，若令222)?(X2X)(?3X?4X?Ya4123 ）服从分布时，必有（ D 22?Y1111 ）；）；（（BA?bb?a?a?914491441111 ）；）；（CD （?a?a?b?b10020xx0204．设简单随机样本，，…，来自于正态总XXX12nn1的数学，体则样本的二阶原点矩?22)(,X~NXA?i2n1i? ）期望为（ D11 222）（A））（（BC24 2?）（D2分布，的）．5设随机变量服从自由度为（，nnFX1为件值，则的满已知足条)?P(X05?0.P(X?)? （C ）0.975）））（A0.025 （B）0.05 （C0.95 （D…，设总体6．服从正态分布，，，2XX)(，NXX12n未知，，是从中抽取的简单随机样本，其中2X A ）的置信区间（则的)%(1001?SSS，），）（（A）B（（)Xz?z1nX?t?(X?nnn222S ）)(tX?n?1?n2SS，）（（C）D）（，（)((tn?X)XzX?zXtn?nnnn2222未知，服从正态分布，其中．7设总体22?)N(，Xn1，未知，是简单随机样本，记…，，，?XXXXX?1n2in1i）时，其则当的置信区间为（，?zX?z?X050.050.nn ） C 置信水平为（）C（0.95 ）B（0.90 ）A（．D）（0.975，易，8．从总体中抽取简单随机样本，XXX123 证估计量，111111?XXXXX?X?31312221422643 ，212111?XXXX?XX41223313536553的无偏估计量，则其中最有效的均是总体均值? 估计量是（ B ））B （）（C）（A213 ）（D4件测量其直径，从一批零件中随机地抽取1009．，现想1.6cm测得平均直径为5.2cm，标准差为检5cm知道这批零件的直径是否符合标准，采用t2.?X5，则在显著性水平验法，并取统计量为t10.6/1 下，其接受域为（ D ）（））C）（AB）（ D （)t(100?t)99()t?t?tt(99222 )?tt(100?2方差已知， B （）10．在假设检验中，2? H：00为则，其绝拒择A（）若备假设域H： 01X 0)(?T?t1?n2n/S．为（B）若备择假设域其则拒绝， H：01X 0uUn/2为，）若备择假设则其拒绝域（C：H01X 0uUn/为其设备择假，则拒绝域（D）若H ：01X 0u?U?n/1粒，从中任选6000，分）现有一批种子，其中良种数占10三、（6的概率保证其中良种所占的比例与问能从0.991 相差多少？这时相应的良种数在哪一个范围？6 解答：μ=E(X)=np=6000x1/6=1000, D(X)=σ2＝这个问题属于“二项分布”，且n=6000, p=1/6。
高中数学 章末综合测评3 概率作业(含解析)新人教A版必修3
学习资料章末综合测评（三) 概 率（满分：150分 时间:120分钟)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列事件中，随机事件的个数为( ）①在学校明年召开的田径运动会上，学生张涛获得100米短跑冠军；②在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯；③从标有1,2，3，4的4张号签中任取一张,恰为1号签;④在标准大气压下，水在4℃时结冰．A ．1B ．2C ．3D ．4C ［①在明年运动会上，可能获冠军，也可能不获冠军．②李凯不一定被抽到．③任取一张不一定为1号签．④在标准大气压下水在4℃时不可能结冰,故①②③是随机事件，④是不可能事件．］2．若干个人站成一排,其中为互斥事件的是（ )A ．“甲站排头”与“乙站排头”B ．“甲站排头"与“乙不站排尾”C ．“甲站排头"与“乙站排尾"D ．“甲不站排头”与“乙不站排尾”A ［由互斥事件的定义知，“甲站在排头”与“乙站在排头”不能同时发生，是互斥事件．]3．给甲、乙、丙三人打电话,若打电话的顺序是任意的，则第一个打电话给甲的概率是( )A 。
错误!B 。
错误!C 。
12D 。
错误!B [给三人打电话的不同顺序有6种可能，其中第一个给甲打电话的可能有2种， 故所求概率为P ＝错误!＝错误!。
]4．在两根相距6 m 的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2 m 的概率为( )A.错误!B.错误!C.错误! D 。
错误!B ［所求事件构成的区域长度为2 m ，试验的全部结果所构成的区域长度为6 m ，故灯与两端距离都大于2 m 的概率为错误!＝错误!.]5．掷一枚均匀的硬币两次,事件M ：“一次正面朝上，一次反面朝上"；事件N ：“至少一次正面朝上”，则下列结果正确的是（ )A ．P (M ）＝错误!，P （N ）＝错误!B ．P （M ）＝错误!，P （N ）＝错误!C ．P (M ）＝13,P （N )＝错误!D ．P （M )＝错误!，P （N ）＝错误!D ［掷一枚硬币两次，所有基本事件为(正，正)，(正，反）,（反，正)，（反，反）四种情况，事件M 包含2种情况,事件N 包含3种情况，故P (M ）＝错误!，P （N )＝错误!.]6．某人从甲地去乙地共走了500 m,途中要过一条宽为x m 的河流,他不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能找到的概率为错误!，则河宽为（ ）A ．100 mB ．80 mC ．50 mD ．40 mA ［设河宽为x m,则1－错误!＝错误!,∴x ＝100。
小学综合算式专项测题概率与统计的应用
小学综合算式专项测题概率与统计的应用在小学综合算式专项测题中，概率与统计是一项重要的概念和技能。
了解和应用概率与统计的知识，可以帮助学生更好地解决与算式相关的问题。
本文将从实际例题出发，探讨小学综合算式专项测题中概率与统计的应用。
问题1：小明有一组有5个不同颜色的球，分别是红、黄、蓝、绿和紫色。
小红随机从中抽取2个球，求她抽到同一颜色的概率。
解答：首先我们需要计算一共有多少种可能的抽球方式。
根据组合的计算公式C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)，其中n表示总的球数，m表示抽取的球数，"!"表示阶乘。
在本题中，n=5，m=2。
所以，小红一共有C(5, 2) = 5! / (2!(5-2)!) = 10种不同的抽球方式。
接下来，我们需要计算抽到同一颜色的方式。
小红可以抽到两个红球、两个黄球、两个蓝球、两个绿球和两个紫球。
所以，一共有5种抽到同一颜色的方式。
那么，小红抽到同一颜色的概率就是抽到同一颜色的方式数除以总的抽球方式数。
所以，概率为5/10=1/2。
问题2：小明有一个有8个数字的数列：1，2，3，4，4，5，5，6。
小红随机从中抽取3个数字，求她抽到3个连续数字的概率。
解答：首先我们需要计算一共有多少种可能的抽取方式。
根据组合的计算公式C(n, m)，在本题中，n=8，m=3。
所以，小红一共有C(8, 3) = 8! / (3!(8-3)!) = 56种不同的抽取方式。
接下来，我们需要计算抽取3个连续数字的方式。
小红可以抽取1、2、3或者2、3、4或者4、5、6。
所以，有3种抽取3个连续数字的方式。
那么，小红抽取3个连续数字的概率就是抽取3个连续数字的方式数除以总的抽取方式数。
所以，概率为3/56。
通过以上两个例题，我们可以看到在小学综合算式专项测题中，概率与统计的应用是解决问题的有效方法。
通过对概率与统计的理解和应用，学生可以更好地分析和解决与算式相关的问题。
概率论与数理统计习题三及答案
概率论与数理统计习题三及答案一、选择题1. 某知名品牌电脑作为一个整体并假设其故障率为 6%。
取出一批该品牌的 12 台电脑，求其中有且仅有一台电脑故障的概率。
A. 0.0433B. 0.0502C. 0.0572D. 0.0639答案：B解析：p = 0.06, q = 0.94，n = 12，m = 1，P =C12^1×(0.06)^1×(0.94)^11 = 0.0502。
2. 某工厂生产某产品，且每个产品的质量要么良品，要么次品。
现有 200 个产品，随机从中抽取 10 个检查，已知其中有 6 个次品，请问这批产品的次品率的 95% 置信区间为（）。
A. (0.28, 0.36)B. (0.31, 0.33)C. (0.23, 0.42)D. (0.24, 0.41)答案：D解析：假设该批产品的次品率为 p，由于样本容量较大，因此我们可以使用正态分布。
样本均值为X = 0.6，样本方差为 s^2 = 0.6×0.4/10 = 0.024，置信水平为 0.95，故Zα/2 = 1.96。
则样本比例的置信区间为X±Zα/2(√(p(1-p)/n)) = 0.6±1.96(√(p(1-p)/10))。
当 p = 0.41 时，上式的结果为 0.24，当 p = 0.24 时，上式的结果为 0.41，故该批产品的次品率的 95% 置信区间为 (0.24,0.41)。
3. 下面各组数据的中位数是：A. 51B. 52C. 52.5D. 5422 43 56 78 89答案：B解析：中位数是将一组数据从小到大排列后中间的那个数。
将上述数据升序排列为：22，43，56，78，89。
中间的两个数是56 和 78，取平均值为 (56+78)/2 = 67，故中位数为 52。
4. 在数量固定的骰子中，色子每个面分别用 1,2,3,4,5,6 标号，某人投该色子10次，恰好投出 5 次小于 3 的点数，对于小于3 的点数出现的概率的 95% 置信区间，正确的是：A. (0.202, 0.498)B. (0.234, 0.478)C. (0.207, 0.493)D. (0.236, 0.465)答案：C解析：这是一个二项分布，公式为：P(X=k)=C10^k(1/3)^k(2/3)^(10-k)。
几何概率与统计的综合练习题
几何概率与统计的综合练习题1. 设某班级有40名学生，其中有20名男生和20名女生。
如果从班级中随机抽取3名学生，问其中至少有1名男生的概率是多少？2. 一枚公正的骰子被投掷4次，每次记录骰子的点数。
求投掷的结果中至少有两次出现偶数点数的概率。
3. 一筐苹果中有10个红苹果和20个绿苹果，从筐中随机抽取3个苹果。
求至少有2个红苹果的概率。
4. 一箱中有12只白球和8只黑球。
从箱中连续不放回地抽取3只球，求所抽取的球中恰有2只白球的概率。
5. 设一批产品有30个，其中6个有瑕疵，24个无瑕疵。
从中任意抽取5个产品进行检查，求被抽到的产品中有2个瑕疵的概率。
解答：1. 首先计算没有男生的概率，即全是女生的概率：选择3名女生的概率为C(20, 3) / C(40, 3) = 1140 / 9880 ≈ 0.1153故至少有1名男生的概率为 1 - 0.1153 = 0.88472. 计算至少有两次出现偶数点数的概率：全是奇数点数的概率为(C(3, 0) × 3^4) / 6^4 = 27 / 1296 ≈ 0.0208只有一次出现偶数点数的概率为 (C(3, 1) × 3^4) / 6^4 = 243 / 1296 ≈ 0.1875故至少有两次出现偶数点数的概率为 1 - 0.0208 - 0.1875 = 0.79173. 首先计算没有红苹果的概率，即全是绿苹果的概率：选择3个绿苹果的概率为C(20, 3) / C(30, 3) ≈ 0.4531故至少有2个红苹果的概率为 1 - 0.4531 = 0.54694. 计算恰有2只白球的概率：选择2只白球和1只黑球的概率为(C(12,2) × C(8,1)) / C(20,3) ≈ 0.4348故所抽取的球中恰有2只白球的概率为 0.43485. 计算被抽到的产品中有2个瑕疵的概率：选择2个瑕疵产品和3个无瑕疵产品的概率为 (C(6,2) × C(24,3)) / C(30,5) ≈ 0.3346故被抽到的产品中有2个瑕疵的概率为 0.3346以上是几何概率与统计的综合练习题的解答。
数学综合算式专项练习题概率与统计的应用
数学综合算式专项练习题概率与统计的应用数学综合算式专项练习题：概率与统计的应用在日常生活中，概率与统计的应用无处不在。
无论是做出决策、制定政策、还是进行科学研究，概率与统计都是重要的工具。
本文将通过数学综合算式专项练习题，探讨概率与统计在实际问题中的应用。
练习题1：某学校的某班级有40名学生，其中20名是女生。
现从该班级中随机抽取2名学生，请计算以下概率：a) 两名学生都是女生；b) 一名学生是女生，一名学生是男生；c) 两名学生都是男生。
解答：a) 两名学生都是女生的概率：P(两名学生都是女生) = (20/40) * (19/39) = 1/2 * 19/39 = 19/78；b) 一名学生是女生，一名学生是男生的概率：P(一名学生是女生，一名学生是男生) = (20/40) * (20/39) + (20/40) * (20/39) = 1/2 * 20/39 + 1/2 * 20/39 = 20/39；c) 两名学生都是男生的概率：P(两名学生都是男生) = (20/40) * (19/39) = 1/2 * 19/39 = 19/78。
练习题2：某超市购买某品牌产品的顾客满意度调查结果显示，60%的顾客对该产品表示满意。
现从该超市连续抽取4名购买该产品的顾客，请计算以下概率：a) 四名顾客都对该产品表示满意；b) 至少有一名顾客对该产品不满意。
解答：a) 四名顾客都对该产品表示满意的概率：P(四名顾客都对该产品表示满意) = (0.6)^4 = 0.1296；b) 至少有一名顾客对该产品不满意的概率 = 1 - P(四名顾客都对该产品表示满意) = 1 - 0.1296 = 0.8704。
练习题3：某医院收集到某种疾病的患者体温数据，经过统计发现体温服从正态分布，平均体温为36.8摄氏度，标准差为0.5摄氏度。
现随机选择一名患者，请计算该患者体温在36.6摄氏度至37.0摄氏度之间的概率。
经济概率统计作业参考答案(第三章)
p{X
k} a , p{Y k} b , (k 1,2 ,3), 且
k
k2
X
与Y
相互独立，则
（ D ）。
( A) a 1, b 1；
(B) 11a 49 b 1 ； 6 36
(C) a, b 为任意实数 ；
(D) a 6 , b 36 。 11 49
三、计算
1、一盒子中装有 3 个黑球、2 个白球、2 个红球。在其中任意取四球，以 X 表示取到黑球 的个数，以Y 表示取到红球的个数，求（ X ， Y ）的联合分布列。
1 0 x 1
f
X
(x)
0
其他
fY ( y)
f (x, y)dx
当0
y
2
时，
f Y
( y)
11
0 2
dx
1 2
当 y 0 或 y 2 时， fY ( y) 0
1 / 2
f Y
( y)
0
0 y2 其他
5、已知随机变量 X 和 Y 的联合分布为：
（x , y） （0，0） （0，1） （1，0） （1，1） （2，0） （2，1）
答案： F(b, c) F(a, c) ， F(, a) F(,0) ， F(,b) F(a,b)
2、设二维随机变量的密度函数为
p(x)
4xy
0
,0 x 1, 0 y 1
,
其他
，
则 p(0 X 0.5)
。
答案： 1 4
3、随机变量 (X ,Y ) 的分布率如下表，则, 应满足的条件是
1/ 6
3
1/12 1/ 6
0
2. 二维随机变量（ X ,Y ）的联合密度函数为：
应用概率统计课后习题答案详解共25页文档
习 题 一 解 答１. 设Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个随机事件，试将下列事件用Ａ、Ｂ、Ｃ及其运算符号表示出来： (1) Ａ发生，Ｂ、Ｃ不发生； (2) Ａ、Ｂ不都发生，Ｃ发生；(3) Ａ、Ｂ中至少有一个事件发生，但Ｃ不发生； (4) 三个事件中至少有两个事件发生； (5) 三个事件中最多有两个事件发生； (6) 三个事件中只有一个事件发生．解：（1）C B A (2)C AB (3)()C B A ⋃ (4)BC A C AB ABC ⋃⋃ (5)ABC (6)C B A C B A C B A ⋃⋃２. 袋中有15只白球 5 只黑球，从中有放回地抽取四次，每次一只．设Ａi 表示“第i 次取到白球”（i ＝1，2，3，4 ），Ｂ表示“至少有 3 次取到白球”． 试用文字叙述下列事件： (1) 41==i i A A ， (2) A ,(3) B ， (4) 32A A．解：（1）至少有一次取得白球 （2）没有一次取得白球 （3）最多有2次取得白球（4）第2次和第3次至少有一次取得白球３. 设Ａ、Ｂ为随机事件，说明以下式子中Ａ、Ｂ之间的关系． (1) Ａ Ｂ＝Ａ （2）ＡＢ＝Ａ 解：（1）A B ⊇ (2)A B ⊆４. 设Ａ表示粮食产量不超过500公斤，Ｂ表示产量为200-400公斤 ，Ｃ表示产量低于300公斤，Ｄ表示产量为250-500公斤，用区间表示下列事 件： (1) AB ， (2) BC ，(3) C B ，(4)C D B )( ，(5)C B A ．解：(1)[]450,200; (2)[]300,200 (3)[]450,0 (4)[]300,200 (5)[]200,0 ５. 在图书馆中任选一本书，设事件Ａ表示“数学书”，Ｂ表示“中文版”， Ｃ表示“ 1970 年后出版”．问：(1) ＡＢＣ表示什么事件？(2) 在什么条件下，有ＡＢＣ＝Ａ成立？ (3) C ⊂Ｂ表示什么意思？(4) 如果A ＝Ｂ，说明什么问题？ 解：（1）选了一本1970年或以前出版的中文版数学书 （2）图书馆的数学书都是1970年后出版的中文书 （3）表示1970年或以前出版的书都是中文版的书（4）说明所有的非数学书都是中文版的，而且所有的中文版的书都不是数学书 ６. 互斥事件与对立事件有什么区别？试比较下列事件间的关系．(1) X ＜ 20 与X ≥ 20 ； (2) X ＞ 20与X ＜ 18 ； (3) X ＞ 20与X ≤ 25 ；(4) 5 粒种子都出苗与5粒种子只有一粒不出苗； (5) 5 粒种子都出苗与5粒种子至少有一粒不出苗． 解：（1）对立; (2)互斥；（3）相容；（4）互斥；（5）对立 (古)７. 抛掷三枚均匀的硬币，求出现“三个正面”的概率．解：125.081213===p （古）８. 在一本英汉词典中，由两个不同的字母组成的单词共有 55 个，现从•26个英文字母中随机抽取两个排在一起，求能排成上述单词的概率．解：252655⨯=p ≈0.0846 （古）９. 把 10 本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率是多少？ 解：首先将指定的三本书放在一起，共!3种放法，然后将8)1(7=+进行排列，共有!8种不同排列方法。
数学下册综合算式专项练习概率与统计的应用
数学下册综合算式专项练习概率与统计的应用概率与统计是数学中的重要分支，它们在日常生活中有着广泛的应用。
在数学下册综合算式专项练习中，我们将学习如何应用概率与统计的知识解决实际问题。
下面将介绍几个与概率与统计相关的实际问题，并用数学的方法来求解。
问题一：假设某班有30名学生，其中有12名男生和18名女生。
如果从中随机选取3名学生，求选出的3名学生中至少有1名女生的概率。
解析：首先计算全部的可能性，即从30名学生中选取3名学生的组合数。
根据组合数公式，可以得到C(30, 3) = 30! / (3! * (30-3)!) = 4060。
接下来计算没有女生的情况，即选取3名男生的组合数。
根据组合数公式，可以得到C(12, 3) = 12! / (3! * (12-3)!) = 220。
所以，选出的3名学生中至少有1名女生的概率为 P = (4060 - 220) / 4060 ≈ 0.945。
问题二：某电商平台上销售某款手机，根据历史销售数据，该手机的故障率为2%。
现在购买该手机的用户有1000人，计算购买者中出现至少一人故障的概率。
解析：首先计算购买者中无人故障的概率。
假设购买者中每个人的故障情况是相互独立的，那么无人故障的概率为(1-0.02)^1000 ≈ 0.135。
所以，购买者中出现至少一人故障的概率为 P = 1 - 0.135 ≈ 0.865。
问题三：某个小组参加一场10题的数学竞赛，已知小组成员的正确率为80%。
如果小组成员在每道题上独立作答，求小组中至少有8题回答正确的概率。
解析：首先计算小组成员全部回答正确的概率。
由于小组成员在每道题上作答的正确率为80%，所以全部回答正确的概率为0.8^10 ≈ 0.107。
接下来计算小组中回答正确题数为8、9、10的情况概率，可以使用二项式分布来计算。
以回答正确题数为8的情况为例，根据二项式分布公式，可以得到C(10, 8) * (0.8^8) * (0.2^2) ≈ 0.302。
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应用概率统计综合作业三《应用概率统计》综合作业三一、填空题（每小题2分，共20分） 1．在天平上重复称量一重为a 的物品，测量结果为1X ，2X ，…，nX ，各次结果相互独立且服从正态分布)2.0,(2a N ，各次称量结果的算术平均值记为nX ，为使95.0)1.0(≥<-a X P n，则n 的值最小应取自然数16 .2．设1X ，2X ，…，nX 是来自正态总体)4,(2μN 的容量为10的简单随机样本，2S 为样本方差，已知1.0)(2=>a s P ，则a = 1 .3．设随机变量Y 服从自由度为n 的t 分布，则随机变量2Y 服从自由度为 （1，n ） 的F 分布.4．设总体X 服从正态分布),12(2σN ，抽取容量为25的简单随机样本，测得样本方差为57.52=S，则样本均值X 小于12.5的概率为 4/25 . 5．从正态分布),(2σμN 中随机抽取容量为16的随机样本，且σμ,未知，则概率=⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤041.222σS P1 .6．设总体X 的密度函数为⎩⎨⎧<<+=，其他，0，10 ， )1()，(x x x f a αα其中1->α，1X ，2X ，…，n X 是取自总体X 的随机样本，则参数α的极大似然估计值为.7．设总体X 服从正态分布)，(2σμN ，其中μ未知而2σ已知，为使总体均值μ的置信度为α-1的置信区间的长度等于L ，则需抽取的样本容量n 最少为u=(x-u0)×sqrt(n)/σ.8．设某种零件的直径（mm ）服从正态分布)，(2σμN ，从这批零件中随机地抽取16个零件，测得样本均值为075.12=X ，样本方差00244.02=S，则均值μ的置信度为0.95的置信区间为 ：（1025.75-21.315，1025.75+21.315）=（1004.435，1047.065）．.9．在假设检验中，若2σ未知，原假设0： μμ=H ，备择假设1： μμ>H 时，检验的拒绝域为.10．一大企业雇用的员工人数非常多，为了探讨员工的工龄X （年）对员工的月薪Y （百元）的影响，随机抽访了25名员工，并由记录结果得：∑==251100i iX，∑==2512000i i Y ，∑==2512510i iX，∑==2519650i ii Y X ，则Y 对X 的线性回归方程为 y = 11.47＋2.62x .二、选择题（每小题2分，共20分）1．设1X ，2X ，…，nX 是来自正态总体),0(~2σN X 的一个简单随机样本，X为其样本均值，令212)(σ∑=-=ni iX XY ，则Y ～（ D ）（A ）)1(2-n χ （B ）)(2n χ（C ）),(σμN （D ）),(2nN σμ2．设1X ，2X ，…，nX 是来自正态总体),(~2σμN X 的简单随机样本，X 为样本均值，记（ ）∑=--=ni i X X n S 1221)(11，∑=-=ni i X X n S 1222)(1，∑=--=ni i X n S 1223)(11μ，∑=-=ni i X n S 1224)(1μ，则服从自由度为1-n 的t 分布的随机变量是（ B ）（A ）1/1--=n S X T μ （B ）1/2--=n S X T μ （C ）nS X T /3μ-=（D ）nS X T /4μ-=3．设1X ，2X ，3X ，4X 是来自正态总体)2,(~2μN X 的简单随机样本，若令2432212)43()2(X X X X a Y-+-=，则当2Y 服从2χ分布时，必有（ D ）（A ）91=a ；1441=b （B ）1441=a ；91=b（C ）1001=a ；201=b （D ）201=a ；1001=b4．设简单随机样本1X ，2X ，…，nX 来自于正态总体),(~2σμN X ，则样本的二阶原点矩∑==n i iX n A 1221的数学期望为（ D ）（A ）241σ （B ）221σ （C ）2σ （D ）22σ5．设随机变量X 服从自由度为（n ，n ）的F 分布，已知α满足条件05.0)(=>αX P ，则)1(α>X P 的值为（C ）（A ）0.025 （B ）0.05 （C ）0.95 （D ）0.9756．设总体X 服从正态分布)，(2σμN ，1X ，2X ，…，nX是从X 中抽取的简单随机样本，其中μ，2σ未知，则μ的)%1(100α-的置信区间（A ） （A ）（nSzX 2α-，nS zX 2α+） （B ）（nSn tX )1(2--α，nS n t X )1(2-+α）（C ）（nzX σα2-，nz X σα2+） （D ）（nS n tX )(2α-，nSn t X )(2α+）7．设总体X 服从正态分布)，(2σμN ，其中μ未知，2σ未知，1X ，2X ，…，nX 是简单随机样本，记∑==ni iX n X 11，则当μ的置信区间为（nz X σ05.0-，nzX σ05.0+）时，其置信水平为（ C ）（A ）0.90 （B ）0.95 （C ）0.975 （D ）0.058．从总体中抽取简单随机样本1X ，2X ，3X ，易证估计量3211613121ˆX X X ++=μ，3212414121ˆX X X ++=μ 3213613131ˆX X X ++=μ，3214525251ˆX X X ++=μ均是总体均值μ的无偏估计量，则其中最有效的估计量是（ B ）（A ）1ˆμ（B ）2ˆμ （C ）3ˆμ （D ）4ˆμ9．从一批零件中随机地抽取100件测量其直径，测得平均直径为5.2cm ，标准差为1.6cm ，现想知道这批零件的直径是否符合标准5cm ，采用t 检验法，并取统计量为10/6.12.5-=X t ，则在显著性水平α下，其接受域为（ D ） （A ）)99(2αtt < （B ）)100(2αtt < （C ） )99(2αtt ≥ （D ）)100(2αt t ≥10．在假设检验中，方差2σ已知，0： μμ=H （ B ）（A ）若备择假设1： μμ≠H ，则其拒绝域为)2(/10αμ-≥-=n t nS X T（B ）若备择假设1： μμ≠H ，则其拒绝域为2/ασμu n X U ≥-=（C ）若备择假设1： μμ>H ，则其拒绝域为ασμu nX U ≥-=/0（D ）若备择假设1： μμ>H ，则其拒绝域为ασμu nX U -≤-=/0三、（10分）现有一批种子，其中良种数占61，从中任选6000粒，问能从0.99的概率保证其中良种所占的比例与61相差多少？这时相应的良种数在哪一个范围？解答：这个问题属于“二项分布”，且n=6000, p=1/6。
故μ=E(X)=np=6000x1/6=1000, D(X)=σ²＝np(1-p)=6000x(1/6)x(1-1/6)=833.33。
切比雪夫不等式为P{|X-μ|<ε}≥1-σ²/ε²。
我们取 ε=6000 x (1/100)=60粒。
所以，P{|X-μ|<ε}≥1－833.33/60² = 1-833.33/3600 = 0.7685。
换句话说，“任意选出6000粒种子的良种比例与1/6相比上下不超过1/100的概率”大于等于0.7685。
这个概率（0.7685）不算很低，也就是说，良种比例与1/6相比很可能不超过1／100。
四、（10分）设总体X服从正态分布),(2σμN ，假如要以99%的概率保证偏差1.0<-μX ，试问：在2.02=σ时，样本容量n 应取多大？五、（10分）设总体X服从0-1分布：xx q p x X P -==1)(，1.0=x ；其中10<<p ，p q -=1，从总体X 中抽取样本1X ，2X ，…，nX ，求样本均值X 的期望和方差、样本方差2S 的期望.解答：E （ΣXi)=ΣE(Xi)=nE(X)=np E[（ΣXi)/n]=[ΣE(Xi)]/n=E(X)=pD[（ΣXi)/n]=[ΣD(Xi)]/n 2=D(X)/n=p(1-p)/n六、（10分）某商店为了解居民对某种商品的需求，调查了100家住户，得出每户每月平均需要量为10kg ，方差为9.设居民对某种商品的需求量服从正态分布，如果此种商品供应该地区10 000户居民，在01.0=α下，试求居民对该种商品的平均需求量进行区间估计；并依此考虑最少要准备多少商品才能以0.99的概率满足需要？七、（10分）某种零件的长度服从正态分布，它过去的均值为20.0现换了新材料，为此从产品中随机抽取8个样品，测量长度为：20.0 20. 0 20.1 20.0 20.2 20.3 19.8 20.2问用新材料做的零件的平均长度是否起了变化（05.0=α）？解答：(1)因为样本数据在20.0上下波动，所以x 甲˙¯¯¯¯¯¯=0.210+20.0=20.02，x 乙˙¯¯¯¯¯¯=0.210+20.0=20.02，S 2甲=110[0.34−10×(0.210)2]=0.0336(mm 2)S 2乙=110[0.52−10×(0.210)2]=0.0516(mm 2)八、（10分）设总体X 服从正态分布)，(2σμN ，1X ，2X ，…，nX 是从X 中抽取的简单随机样本，其中μ，2σ未知，选择常数c ，使统计量∑-=+-=1121)(n i i i X Xc T 是2σ的无偏估计量.。