高考数学复习专题 等比数列性质(含等差等比数列综合题)

第50炼 等比数列性质

一、基础知识

1、定义：数列{}n a 从第二项开始，后项与前一项的比值为同一个常数()0q q ≠，则称{}n a 为等比数列，这个常数q 称为数列的公比

注：非零常数列既可视为等差数列，也可视为1q =的等比数列，而常数列0,0,0,L 只是等差数列

2、等比数列通项公式：11n n a a q -=⋅，也可以为：n m n m a a q -=⋅

3、等比中项：若,,a b c 成等比数列，则b 称为,a c 的等比中项 （1）若b 为,a c 的等比中项，则有

2a b

b a

c b c

=⇒= （2）若{}n a 为等比数列，则n N *

∀∈，1n a +均为2,n n a a +的等比中项 （3）若{}n a 为等比数列，则有m n p q m n p q a a a a +=+⇔= 4、等比数列前n 项和公式：设数列{}n a 的前n 项和为n S 当1q =时，则{}n a 为常数列，所以1n S na = 当1q ≠时，则()111n n a q S q

-=

-

可变形为：()1111111

n n n a q a a

S q q

q q -=

=

----，设11a k q =-，可得：n n S k q k =⋅-

5、由等比数列生成的新等比数列

（1）在等比数列{}n a 中，等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列 （2）已知等比数列{}{},n n a b ，则有 ① 数列{}n ka （k 为常数）为等比数列

② 数列{}n a λ

（λ为常数）为等比数列，特别的，当1λ=-时，即1n a ⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

为等比数列

③ 数列{}n n a b 为等比数列 ④ 数列{}

n a 为等比数列

6、相邻k 项和的比值与公比q 相关：

设1212,m m m k n n n k S a a a T a a a ++++++=+++=+++L L ，则有：

()()212212k

m n m

m m m k m k n n n k n

n a q q q S a a a a q T a a a a a q q q -++++++++++++====++++++L L L L 特别的：若121222,,k k k k k k k a a a S a a a S S +++++=+++=-L L

2122332,k k k k k a a a S S +++++=-L L ，则232,,,k k k k k S S S S S --L 成等比数列

7、等比数列的判定：（假设{}n a 不是常数列） （1）定义法（递推公式）：

()1

n n

a q n N a *+=∈ （2）通项公式：n

n a k q =⋅（指数类函数） （3）前n 项和公式：n

n S kq k =-

注：若()n

n S kq m m k =-≠，则{}n a 是从第二项开始成等比关系

（4）等比中项：对于n N *

∀∈，均有212n n n a a a ++=

8、非常数等比数列{}n a 的前n 项和n S 与1n a ⎧⎫

⎨

⎬⎩⎭

前n 项和n T 的关系 ()111n n a q S q

-=

-，因为1n a ⎧⎫⎨

⎬

⎩⎭

是首项为11a ，公比为1

q 的等比数列，所以有()1111111

111

111n

n n n

n n q a q q q T q a q q a q

q

-⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥-⎣⎦

=

==

---

⋅ ()()1

112111111

n n n n n n a q a q q S a q T q q ----=⋅=-- 例1：已知等比数列{}n a 的公比为正数，且2

23951,2a a a a ==，则10a =________

思路：因为2396a a a =，代入条件可得：22

652a a =，因为0q >

，所以65a =

，q =

所以8

10216a a q ==

例2：已知{}n a 为等比数列，且374,16a a =-=-，则5a =（ ） A. 64 B. 64- C. 8 D. 8- 思路一：由37,a a 可求出公比：4

7

3

4a q a =

=，可得22q =，所以253428a a q ==-⋅=- 思路二：可联想到等比中项性质，可得2

53764a a a ==，则58a =±，由等比数列特征可得奇

数项的符号相同，所以58a =- 答案：D

小炼有话说：思路二的解法尽管简单，但是要注意双解时要验证项是否符合等比数列特征。

例3：已知等比数列n a 的前n 项和为1

21n n S t -=⋅+，则实数t 的值为（ ）

A. 2-

B. 1-

C. 2

D. 0.5

思路：由等比数列的结论可知：非常数列的等比数列，其前n 项和为n

n S kq k =-的形式，所

以1

21212n n n t S t -=⋅+=

⋅+，即122

t

t =-⇒=- 答案：A

例4：设等比数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若105:1:2S S =，则155:S S =（ ） A.

34 B. 23 C. 12 D. 1

3

思路：由()111n n a q S q

-=

-可得：()()1051110511,11a q a q S S q

q

--=

=

--，可发现只有分子中q 的

指数幂不同，所以作商消去1a 后即可解出q ，进而可计算出155:S S 的值 解：()()1051110511,11a q a q S S q

q

--=

=

--Q

105

105

511112

S q q S q -∴==+=-，解得：512q =- 所以()()3

15151155

55119111132831114112

2a q S q q S q q a q ⎛⎫-- ⎪---⎝⎭=⋅====--⎛⎫--- ⎪

⎝⎭