人教版高中数学必修四_1.2(1、2课时)任意角的三角函数(优秀课件)
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o
解：(1)sin1480o10' = sin(40o10' + 4 360o )
= sin40 10' 0.645;
o
9 2 (2) cos cos( 2 ) cos ; 4 4 4 2
11 3 (3) tan( ) tan( 2 ) tan . 6 6 6 3
2 当角的终边在第三象限时，
在角的终边上取点 1, 2，则r
1 2
2
2
5
2 2 5 1 5 2 sin , cos , tan 2 5 5 1 5 5
探 究
1.根据三角函数的定义，确定它们的定义域 （弧度制）
三个三角函数在各象限的符号
y sin r
y + +
x cos r y
x -o + + x
y tan x
y
+ o + - x
o
-
y
sin 全为+
tan cos
o x
记法：
一全正 二正弦 三正切 四余弦
心得:角定象限,象限定符号.
例3. 求证：当下列不等式组成立时，角
6.已知 在第二象限, 试确定 sin(cos)cos(sin) 的符号.
解: ∵ 在第二象限, ∴-1<cos<0, 0<sin<1.
<-1, 1< , ∴- <cos<0, 0<sin< . ∵- 2 2 2 2
∴sin(cos)<0, cos(sin)>0. ∴sin(cos)cos(sin)<0. 故 sin(cos)cos(sin) 的符号为“ - ”号.
y
﹒Pa, b
MP b tan OM a
o
﹒
M x
诱思
探究
如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？
y
P(a,b)
P
OMP ∽ OM P
MP sin OP
OM cos OP
x
﹒
M
O
M
M P OP OM OP
MP tan OM
或0 360 角的三角函数值 .
例题
例4.确定下列三角函数值的符号,然后用计算器验证: (1)cos250 ;(2)sin(
4
);(3)tan(-672 );(4) tan3 .
解： （1）因为
250 是第三象限角，所以 cos 250 0；
（2）因为 是第四象限角，所以 sin 0; 4 4
三角函数 定义域
cos tan
sin
R
R
k ( k Z ) 2
2.确定三角函数值在各象限的符号
y （ +） + o x （ - ）（ - ）
sin
y （ - ）（ +） o x （ - ）（ + ） cos
y （ -） （ + ） o x （ +） （ - ） tan
任意角 的三角函数值仅与 有关，而与点 P 在角的 终边上的位置无关.
巩固
提高
练习: 1.已知角 的终边过点 P 12,5 ，
求 的三个三角函数值.
解：由已知可得：
r x y
2 2
12
2
5 13
2
y 5 x 12 于是，sin , cos r 13 r 13 y 5 tan x 12
为第三象限角.反之也对．
证明：
sin 0 tan 0
① ②
因为①式sin 0 成立,所以 角的终边可能位于第三 或第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴上； 又因为②式 tan 0 成立，所以角 的终边可能位于 第一或第三象限. 因为①②式都成立，所以角 的终边只能位于第三象限. 于是角 为第三象限角.
y
M0
M
O
Px, y
M 0 P0 4
OM 0 3
MP y OM x
x
OMP ∽ OM 0 P0
P0 3,4
M 0 P0 y | MP | 4 sin y ; 于是， 1 OP OP0 5 OM 0 x OM 3 cos x ; 1 OP OP0 5
的正弦，记作 sin ，即 sin y ； （2）x 叫做 的余弦，记作 cos ，即 cos x ； y 的正切，记作tan ，即 tan y ( x 0) （3） 叫做
x
x
y
Px, y
﹒
O
A1,0 x
所以，正弦，余弦，正切都是以角为 自变量，以单位圆上点的坐标或坐标 的比值为函数值的函数，我们将他们 称为三角函数.
（3）因为 tan(672 )= tan(48 2 360) tan 48, 而48是第一象限角，所以 tan(672) 0;
(4)tan3 tan( 2 ) tan 0.
例5.求下列三角函数值: 9π 11π (1)sin1480 10'; (2)cos ; (3)tan(). 4 6
1 3 ( , ). 2 2
B
7 3 tan 6 3
例2.已知角 的终边经过点P0 (3,4) ，求角
的正弦、余弦和正切值 .
解:由已知可得 设角 的终边与单位圆交于 P( x, y ) ， P 分别过点 P 、 0 作 x 轴的垂线 MP M 0 P0 、
OP0 (3) 2 (4)2 5.
P
x
M
的终边
P
o
M
T P MA
sin y
= MP
P
M
A T
（1,0）
cos x OM
T M P A
MA P T
y MP AT tan AT x OM OA
这几条与单位圆有关的有向线段 MP、OM、AT 分别叫做角 的正弦线、余弦线、正切线．统称为三角函数线.
使比值有意义的角的集合 即为三角函数的定义域.
说 明
（1）正弦就是交点的纵坐标，余弦就是交点
的终边 y
P ( x, y)
o
x
A(1,0)
正切就是 交点的纵坐标与 的横坐标，
横坐标的比值. （2） 正弦、余弦总有意义.当
y 横坐标等于0，tan 无意义，此时 k (k z ). x 2
第二节
下面我们再从图形角度认识一下三角函数．
sin y MP
M
A P
cos x OM
思考: 为了去掉等式中得绝对值符号，能否
给线段OM、MP规定一个适当的方向,
使它们的取值与点P的坐标一致？
我们把带有方向的线段叫有向线段. (规定:与坐标轴相同的方向为正方向).
y
的终边
反过来请同学们自己证明.
如果两个角的终边相同，那么这两 个角的同一三角函数值有何关系？
？
终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）
sin( k 2 ) sin cos( k 2 ) cos tan( k 2 ) tan
其中
kz
利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为 求 0到2
11 练习：求值 cos 3
71 sin 6
19 tan 3
11 解： cos 3
71 sin 6
19 tan 3
3.已知角的终边在直线y 2 x上，求角的sin ,cos , tan 的值.
解： 当角的终边在第一象限时， 1
在角的终边上取点 1, 2 ，则r= 12 22 5
2 2 5 1 5 2 sin , cos , tan 2 5 5 1 5 5
一、学习目标：
1、三角函数的扩展； 2、三角函数线； 3、诱导公式一及其同角三角函数的基本关系式。
二、重点： 任意角的正弦、余弦、正切的定义；同角三角函数的基本关系；
难点：用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数。
复习回顾
1.在初中我们是如何定义锐角三角函数的？
P c a
sin
cos
tan
8a 8 15a 15 8a 8 sin , cos , tan 17a 17 17a 17 15a 15
2 若a 0则r -17a, 于是
8a 8 15a 15 8a 8 sin , cos , tan 17a 17 17a 17 15a 15
2.已知角的终边上一点P 15a,8a a R且a 0 ，
求角的sin ,cos , tan 的值.
解：由于x -15a, y 8a,
所以r
15a 8a 17 a a 0
2 2
1 若a 0则r 17a, 于是
tan y sin 4 . x cos 3
定义推广：
设角 是一个任意角， ( x, y ) 是终边上的任意一点， P 点 P 与原点的距离 r
x 2 y 2 0.
y y sin 那么① 叫做 的正弦，即 r r x x ② r 叫做 的余弦，即 cos r y y tan x 0 ③ x 叫做 的正弦，即 x
o
T
例2.作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线． 2 （1） ；（2） ． 3 3
变式：在0～ 2 内，求使
sin a >
Baidu Nhomakorabea
3 2
成立的α的取值范围.
y
y =
3 2
P2
P P1 M
x
O
p 2p a Î ( , ) 3 3
变式２：利用单位圆寻找适合下列条件的0到360的角.
O b M
a c b c a b
新课
导入
2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？
P
a
y
O
b
M
x
2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？
其中 : OM a MP b OP r a b
2 2
MP b sin OP r
OM a cos OP r
的终边在 y 轴上时，点P 的
（3）由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系， 三角函数可以看成是自变量为实数的函数.
5 例1.求 3 的正弦、余弦和正切值.
实例
剖析
5 ，易知 AOB 解：在直角坐标系中，作 AOB 3
的终边与单位圆的交点坐标为 5 5 3 5 1 3. , cos , tan 所以 sin 3 2 3 2 3 7 5 y 思考：若把角 改为 呢? 3 6 7 1 5 sin , 3 6 2 ﹒ o A x 7 3 cos , 6 2 ﹒
T P M A
P M
A T
T
M
P
A
MA P T
当角 的终边在 x 轴上时，正弦线、正切线分别 变成一个点； 当角 的终边在 y 轴上时，余弦线变成一个点， 正切线不存在．
例1.作出角
例 题 分析 4
3
的正弦线, 余弦线, 正切线.
Py M A x
MP是正弦线 OM是余弦线 AT是正切线
M P OM
1.锐角三角函数（在单位圆中） 若 OP r 1，则
以原点O为圆心，以单位 长度为半径的圆，称为单位圆. y
P(a, b)
1 O M
MP sin OP
x
b
OM cos OP
a b MP tan OM a
2.任意角的三角函数定义
设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P( x, y ) 那么:（1）y 叫做
cos 4 sin 12 tan 6 3 6 3
cos
3 6 3 1 1 3 1 3 2 2
sin
tan
归纳
1. 内容总结：
总结
①三角函数的概念. ②三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号. ③诱导公式一. 2 .方法总结： 运用了定义法、公式法、数形结合法解题. 3 .体现的数学思想： 划归的思想，数形结合的思想.
解：(1)sin1480o10' = sin(40o10' + 4 360o )
= sin40 10' 0.645;
o
9 2 (2) cos cos( 2 ) cos ; 4 4 4 2
11 3 (3) tan( ) tan( 2 ) tan . 6 6 6 3
2 当角的终边在第三象限时，
在角的终边上取点 1, 2，则r
1 2
2
2
5
2 2 5 1 5 2 sin , cos , tan 2 5 5 1 5 5
探 究
1.根据三角函数的定义，确定它们的定义域 （弧度制）
三个三角函数在各象限的符号
y sin r
y + +
x cos r y
x -o + + x
y tan x
y
+ o + - x
o
-
y
sin 全为+
tan cos
o x
记法：
一全正 二正弦 三正切 四余弦
心得:角定象限,象限定符号.
例3. 求证：当下列不等式组成立时，角
6.已知 在第二象限, 试确定 sin(cos)cos(sin) 的符号.
解: ∵ 在第二象限, ∴-1<cos<0, 0<sin<1.
<-1, 1< , ∴- <cos<0, 0<sin< . ∵- 2 2 2 2
∴sin(cos)<0, cos(sin)>0. ∴sin(cos)cos(sin)<0. 故 sin(cos)cos(sin) 的符号为“ - ”号.
y
﹒Pa, b
MP b tan OM a
o
﹒
M x
诱思
探究
如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？
y
P(a,b)
P
OMP ∽ OM P
MP sin OP
OM cos OP
x
﹒
M
O
M
M P OP OM OP
MP tan OM
或0 360 角的三角函数值 .
例题
例4.确定下列三角函数值的符号,然后用计算器验证: (1)cos250 ;(2)sin(
4
);(3)tan(-672 );(4) tan3 .
解： （1）因为
250 是第三象限角，所以 cos 250 0；
（2）因为 是第四象限角，所以 sin 0; 4 4
三角函数 定义域
cos tan
sin
R
R
k ( k Z ) 2
2.确定三角函数值在各象限的符号
y （ +） + o x （ - ）（ - ）
sin
y （ - ）（ +） o x （ - ）（ + ） cos
y （ -） （ + ） o x （ +） （ - ） tan
任意角 的三角函数值仅与 有关，而与点 P 在角的 终边上的位置无关.
巩固
提高
练习: 1.已知角 的终边过点 P 12,5 ，
求 的三个三角函数值.
解：由已知可得：
r x y
2 2
12
2
5 13
2
y 5 x 12 于是，sin , cos r 13 r 13 y 5 tan x 12
为第三象限角.反之也对．
证明：
sin 0 tan 0
① ②
因为①式sin 0 成立,所以 角的终边可能位于第三 或第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴上； 又因为②式 tan 0 成立，所以角 的终边可能位于 第一或第三象限. 因为①②式都成立，所以角 的终边只能位于第三象限. 于是角 为第三象限角.
y
M0
M
O
Px, y
M 0 P0 4
OM 0 3
MP y OM x
x
OMP ∽ OM 0 P0
P0 3,4
M 0 P0 y | MP | 4 sin y ; 于是， 1 OP OP0 5 OM 0 x OM 3 cos x ; 1 OP OP0 5
的正弦，记作 sin ，即 sin y ； （2）x 叫做 的余弦，记作 cos ，即 cos x ； y 的正切，记作tan ，即 tan y ( x 0) （3） 叫做
x
x
y
Px, y
﹒
O
A1,0 x
所以，正弦，余弦，正切都是以角为 自变量，以单位圆上点的坐标或坐标 的比值为函数值的函数，我们将他们 称为三角函数.
（3）因为 tan(672 )= tan(48 2 360) tan 48, 而48是第一象限角，所以 tan(672) 0;
(4)tan3 tan( 2 ) tan 0.
例5.求下列三角函数值: 9π 11π (1)sin1480 10'; (2)cos ; (3)tan(). 4 6
1 3 ( , ). 2 2
B
7 3 tan 6 3
例2.已知角 的终边经过点P0 (3,4) ，求角
的正弦、余弦和正切值 .
解:由已知可得 设角 的终边与单位圆交于 P( x, y ) ， P 分别过点 P 、 0 作 x 轴的垂线 MP M 0 P0 、
OP0 (3) 2 (4)2 5.
P
x
M
的终边
P
o
M
T P MA
sin y
= MP
P
M
A T
（1,0）
cos x OM
T M P A
MA P T
y MP AT tan AT x OM OA
这几条与单位圆有关的有向线段 MP、OM、AT 分别叫做角 的正弦线、余弦线、正切线．统称为三角函数线.
使比值有意义的角的集合 即为三角函数的定义域.
说 明
（1）正弦就是交点的纵坐标，余弦就是交点
的终边 y
P ( x, y)
o
x
A(1,0)
正切就是 交点的纵坐标与 的横坐标，
横坐标的比值. （2） 正弦、余弦总有意义.当
y 横坐标等于0，tan 无意义，此时 k (k z ). x 2
第二节
下面我们再从图形角度认识一下三角函数．
sin y MP
M
A P
cos x OM
思考: 为了去掉等式中得绝对值符号，能否
给线段OM、MP规定一个适当的方向,
使它们的取值与点P的坐标一致？
我们把带有方向的线段叫有向线段. (规定:与坐标轴相同的方向为正方向).
y
的终边
反过来请同学们自己证明.
如果两个角的终边相同，那么这两 个角的同一三角函数值有何关系？
？
终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）
sin( k 2 ) sin cos( k 2 ) cos tan( k 2 ) tan
其中
kz
利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为 求 0到2
11 练习：求值 cos 3
71 sin 6
19 tan 3
11 解： cos 3
71 sin 6
19 tan 3
3.已知角的终边在直线y 2 x上，求角的sin ,cos , tan 的值.
解： 当角的终边在第一象限时， 1
在角的终边上取点 1, 2 ，则r= 12 22 5
2 2 5 1 5 2 sin , cos , tan 2 5 5 1 5 5
一、学习目标：
1、三角函数的扩展； 2、三角函数线； 3、诱导公式一及其同角三角函数的基本关系式。
二、重点： 任意角的正弦、余弦、正切的定义；同角三角函数的基本关系；
难点：用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数。
复习回顾
1.在初中我们是如何定义锐角三角函数的？
P c a
sin
cos
tan
8a 8 15a 15 8a 8 sin , cos , tan 17a 17 17a 17 15a 15
2 若a 0则r -17a, 于是
8a 8 15a 15 8a 8 sin , cos , tan 17a 17 17a 17 15a 15
2.已知角的终边上一点P 15a,8a a R且a 0 ，
求角的sin ,cos , tan 的值.
解：由于x -15a, y 8a,
所以r
15a 8a 17 a a 0
2 2
1 若a 0则r 17a, 于是
tan y sin 4 . x cos 3
定义推广：
设角 是一个任意角， ( x, y ) 是终边上的任意一点， P 点 P 与原点的距离 r
x 2 y 2 0.
y y sin 那么① 叫做 的正弦，即 r r x x ② r 叫做 的余弦，即 cos r y y tan x 0 ③ x 叫做 的正弦，即 x
o
T
例2.作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线． 2 （1） ；（2） ． 3 3
变式：在0～ 2 内，求使
sin a >
Baidu Nhomakorabea
3 2
成立的α的取值范围.
y
y =
3 2
P2
P P1 M
x
O
p 2p a Î ( , ) 3 3
变式２：利用单位圆寻找适合下列条件的0到360的角.
O b M
a c b c a b
新课
导入
2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？
P
a
y
O
b
M
x
2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？
其中 : OM a MP b OP r a b
2 2
MP b sin OP r
OM a cos OP r
的终边在 y 轴上时，点P 的
（3）由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系， 三角函数可以看成是自变量为实数的函数.
5 例1.求 3 的正弦、余弦和正切值.
实例
剖析
5 ，易知 AOB 解：在直角坐标系中，作 AOB 3
的终边与单位圆的交点坐标为 5 5 3 5 1 3. , cos , tan 所以 sin 3 2 3 2 3 7 5 y 思考：若把角 改为 呢? 3 6 7 1 5 sin , 3 6 2 ﹒ o A x 7 3 cos , 6 2 ﹒
T P M A
P M
A T
T
M
P
A
MA P T
当角 的终边在 x 轴上时，正弦线、正切线分别 变成一个点； 当角 的终边在 y 轴上时，余弦线变成一个点， 正切线不存在．
例1.作出角
例 题 分析 4
3
的正弦线, 余弦线, 正切线.
Py M A x
MP是正弦线 OM是余弦线 AT是正切线
M P OM
1.锐角三角函数（在单位圆中） 若 OP r 1，则
以原点O为圆心，以单位 长度为半径的圆，称为单位圆. y
P(a, b)
1 O M
MP sin OP
x
b
OM cos OP
a b MP tan OM a
2.任意角的三角函数定义
设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P( x, y ) 那么:（1）y 叫做
cos 4 sin 12 tan 6 3 6 3
cos
3 6 3 1 1 3 1 3 2 2
sin
tan
归纳
1. 内容总结：
总结
①三角函数的概念. ②三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号. ③诱导公式一. 2 .方法总结： 运用了定义法、公式法、数形结合法解题. 3 .体现的数学思想： 划归的思想，数形结合的思想.