乘法公式、指数基本运算与多项式

第 一 章

乘法公式、指數基本運算與多項式

§§乘法公式、指數基本運算與多項式

1.乘法公式： (1)(a+b)2=a 2+2ab+b 2 (2)(a -b)2 =a 2-2ab+b 2

(3)(a+b+c)2=a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca (4)(a+b)(a -b)=a 2-b 2 (5)(a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3 (6)(a -b)(a 2+ab+b 2)=a 3-b 3

(7)(a+b)3=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3= a 3+b 3+3ab(a+b) (8)(a -b)3=a 3-3a 2b+3ab 2-b 3= a 3-b 3-3ab(a -b) (9)(x+a)(x+b)=x 2+(a+b)x+ab (10)(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd

(11)(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca)=a 3+b 3+c 3-3abc 2.指數律： (1)a m ×a n =a m+n

(2)a m ÷a n =a m -n ---a ≠0

(3)(a m )n =a m×n

(4)(ab)n =a n b n

(5)n n n

b a b a =⎪⎭

⎫

⎝⎛---b ≠0

(6)a ≠0⇒a 0=1

(7)n n

a

1

a =----a ≠0 (8)n n

1

a a =---a>0 (9)n

m a =n m a ---a>0

3.求值公式：

[型一]已知a+b 和ab 之值：

(1)a 2+b 2=(a+b)2-2ab (2)a 3+b 3=(a+b)3-3ab(a+b) (3)a 4+b 4=(a 2+b 2)2-2a 2b 2 (4)(a -b)2=(a+b)2-4ab

[型二]已知a -b 和ab 之值：

(1)a 2+b 2=(a -b)2+2ab (2)a 3-b 3=(a -b)3+3ab(a -b)

(3)(a+b)2=(a -b)2+4ab

[型三]分式型，已知x

1x +或x

1

x -之值：

(1)2x 1x x 1x 2

22

-⎪⎭⎫

⎝

⎛+=+

(2)2x 1x x 1x 2

22

+⎪⎭⎫

⎝

⎛-=+

(3)4x 1x x 1x 2

2-⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-

(4)4x 1x x 1x 2

2+⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+

(5)⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+x 1x 3x 1x x 1x 3

33 (6)⎪⎭⎫ ⎝

⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-x 1x 3x 1x x 1x 3

33

4.商高定理(畢氏定理)：∆A BC 中，∠C=900

，則2

2AB BC AC =+， 即直角三角形兩股長的平方和等於斜邊的平方。 常見的直角三角形三邊長：

(1)四類型：(3，4，5)、(5，12，13)、(7，24，25)、(8，15，17)。 (2)將五類型的三邊按一定比例放大或縮小也可成為直角三角形。例：(3，4，5)→(6，8，10)→(9，12，15)→……。 5.坐標平面上兩點間的距離及中點坐標求法：

設坐標平面上相異兩點A (x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，O 為原點，則： (1)()()221221y y x x AB -+-= (2)AB 中點M 的坐標為⎪⎭

⎫

⎝⎛++2y y ,2x x 2121

B C

6.多項式的基本概念：

(1)多項式的判別：

多項式為一有限項的代數式之和，且未知數不可在

①分母②根號內③絕對值內④指數上。

(2)多項式的次數：

①單一文字−以最高次項之次數為其次數。

②多文字−以各項次數和最高者為其次數。

例：①x3-2x4-7x+5為x的四次多項式。

②x4-4x2y3-x2y4+3y5-9為x、y的六次多項式。

(3)升羃排列：將文字之次數由左而右，由小而大排列。

降羃排列：將文字之次數由左而右，由大而小排列。

(4)常數多項式：不含文字的多項式。

①零次多項式：除常數項≠0外，其餘各項係數皆為0。

②零多項式：各項係數皆為0。※無次數可言。

(5)多項式的值：

多項式f(x)中，若x以某一數(式)代入，所得結果即為其值。

7.多項式的加減法：

(1)法則：將同類項的係數相加(減)，不是同類項無法合併，以加(減)

號連接。

(2)設A、B表兩多項式，其次數分別為m、n，則：

①若m＞n⇒A±B為m次多項式。

②若m＜n⇒A±B為n次多項式。

③若m=n⇒A±B其次數不大於m或無次數可言。

(3)若ax2+bx+c=px2+qx+r⇒a=p，b=q，c=r。

8.多項式的乘法：

(1)法則：①運用分配律及指數律和乘法公式。

②分離係數法(依降羃排列，缺項補0)

(2)設A 、B 表兩多項式，其次數分別為m 、n ⇒A×B 之次數為m+n 。 (3)設A 、B 、C 三多項式之係數和分別為S 1、S 2、S 3，若A×B=C ，則S 1×S 2=S 3。

(4)第x p 項係數的求法：所有x a ×x b =x p 中之係數乘積之和， 即為x p 項之係數。 9.多項式的除法：

(1)法則：①長除法；②分離係數法(依降羃排列，缺項補0) (2)設A 、B 表兩多項式，其次數分別為m 、n(m ≧n)，則： ①A 除以B 之次數為m -n 。②餘式的次數必小於除式的次數。 (3)除法關係式：設A 、B 表兩多項式且A 除以B ，商為Q ，餘式為R 。則：①A=BQ+R 。②B

R

Q B A +=。 (4)若A=BQ+R ，則： ①aA=B×aQ+ar ；

即被除式變a 倍，而除式不變，則商變a 倍，餘式變a 倍。 ②A=aB×a

Q

+R ；

即被除式不變，而除式變a 倍，則商變a

1倍，餘式不變。 10.餘式定理：

(1)f(x)除以(x -k)的餘式是f(k)；若f(x)能被(x -k)整除，則f(k)=0。 (2)f(x)除以(ax+b)的餘式為f(-a

b )。