不定积分与定积分换元法

dx x + x4 + 1
1 1 令 x = ， dx = − dt . 于是 则 t t2
I=∫ dx x + x4 + 1 = −∫ 1 ( + 4 + 1 )t 2 t t dt 1
= −∫
dt t + t2 +1
= −I
因为 I = − I ，
所以 I = 0 .
这个结论显然是错误的，但是问题发生在哪里？ 这个结论显然是错误的，但是问题发生在哪里？
对于积分 ∫ f ( x )dx 进行换元 x = ϕ ( t ) ，
求出 ∫ f (ϕ ( t ))ϕ ′( t )dt = G ( t ) + c 之后， 必须用反函数 t = ϕ −1 ( x ) 回代 ,
1 . ∫ f ( x )dx = G (ϕ − ( x )) + c 才能得出最后结果
这个例题说明： 这个例题说明：
利用换元法 x = ϕ (t ) 计算定积分时 ，
必须注意新变量 t 的变化范围 , 明确 t 和 x 的取值对应关系 .
这一不仅关系到积分上下限的确定， 这一不仅关系到积分上下限的确定， 还可能涉及到被积函数的形式的确定． 还可能涉及到被积函数的形式的确定．
关于两个换元积分法的小结
积分换元法
不定积分换元法 定积分换元法 联系与区别 实例分析
定理１ （不定积分换元法） 定理１:（不定积分换元法）
假设 f ( x ) 连续 ， 单调，连续， 函数 x−1 ( x ) . 如果 ∫ f (ϕ ( t ))ϕ ′( t )dt = G ( t ) + c , 则有
2 2 a
( a > 0)
详细分析不定积分换元法和定积分换元法的异同. 详细分析不定积分换元法和定积分换元法的异同 计算两种积分都需要作换元 x = a sin t dx = a cos tdt (1)两者的第一个区别是： (1)两者的第一个区别是： 两者的第一个区别是
的变化范围： 0 定积分必须说明变量 t 的变化范围： ≤ t ≤
解: 等式 − ∫
dt t + t2 + 1
= − I 是不成立的 .
虽然在形式上， 虽然在形式上， 1 1 和 是相同的函数关系 , t + t4 + 1 x + x4 + 1 但是他们不相等.因为 x 和 t 不是互相独立的变量 . 但是他们不相等. 注释: 这个例子告诉我们， 注释 这个例子告诉我们，
2 2
才能得到最终结果. 才能得到最终结果.
a 另一方面， 另一方面， 对于定积分 ∫0 a 2 − x 2 dx ，
用换元 : x = a sin t 将其转化为另一个定积 分 ：
=a
2
π /2
0
∫ cos tdt
2
直接计算着个积分就可以了. 直接计算着个积分就可以了.
例题： 例题： = ∫ I
2 2 2 2
a − x = a cos t
2 2
1 + cos 2t a2 1 2 dt = ( t + sin t cos t ) + c =a ∫ 2 2 2
但是对于定积分的换元法， 但是对于定积分的换元法， 由于 x 在 [0,1] 中变化时 ，
t 对应地在 [0 ， ] 中变化 ， 所以 a 2 − x 2 = a cos t . 2
( 2 ) ϕ ′( t ) 在 [α , β ] 连续 ；
( 3) 当 t 在 [α , β ] 变动时 ，ϕ ( t ) 不超出 [a , b] .
则有
b ∫a
β f ( x )dx = ∫α f (ϕ ( t ))ϕ ′( t )dt
定积分元法与不定积分换元法的比较
以 ∫ a − x dx 和 ∫0 a 2 − x 2 dx 为例
∫ f ( x )dx = ∫ f (ϕ (t ))ϕ ′(t )dt
= G (ϕ ( x )) + c
−1
定理2: 定积分的换元积分法） 定理 :（定积分的换元积分法）
x 假设 f ( x ) 在 [a , b] 连续 ， = ϕ ( t ) 在 [α , β ] 连续 .
并且满足下列条件： 并且满足下列条件： (1) ϕ (α ) = a , ϕ ( β ) = b ;
求出 ∫ f (ϕ ( t ))ϕ ′( t )dt = G ( t ) + c 之后 ，
必须用反函数 t = ϕ −1 ( x ) 代入 ，
得到 ∫ f ( x )dx = G (ϕ −1 ( x )) + c .
b 定积分换元法的目的是 计算定积分 ∫a f ( x )dx
b β 方法是将定积分 ∫a f ( x )dx 转化为 ∫α f (ϕ ( t ))ϕ ′( t )dt
π
第三个问题是： 第三个问题是： 求出不定积分
1 + cos 2t a2 1 2 a ∫ dt = ( t + sin t cos t ) + C 2 2 2
以后， 以后，必须将变量 t 还原成 x = ϕ −1 ( t ) ， 进一步得到
1 x 2 2 2 ∫ a − x dx = 2 ( x a − x + a arcsin a ) + c
π
2 对于不定积分得换元法则没有这个必要． 对于不定积分得换元法则没有这个必要．
.
第二个问题是： 第二个问题是：
a − x = a cos t ? 还是 a 2 − x 2 = − a cos t ?
2 2
不定积分重视形式运算,可以取 不定积分重视形式运算 可以取 于是
∫ a − x dx =a ∫ cos tdt
不定积分的换元积分法与定积分的换元积分法， 不定积分的换元积分法与定积分的换元积分法，有 相近的思路和大体相同的过程.但是， 相近的思路和大体相同的过程.但是，两者要解决的 问题不同，因此所需要的条件不同， 问题不同，因此所需要的条件不同，解决问题的过程 也有重大区别. 也有重大区别. 不定积分的换元法目的 是求 f ( x ) 的原函数 F ( x ) ,
− 例题: 计算 ∫ − 2 2 例题
dx x x2 − 1
.
解: 令 x = sec t ， x = sec t tan tdt d 2 3 当 t 在 [ π , π ] 变化时 , x 对应地在 [−2,− 2 ] 变化 . 3 4 3π 2π x 时， = − 2 . 当t = 时 x = −2 , t = 4 3 2 3 tan 当 t ∈ [ π , π ] 时 ， t > 0 , 所以 tan 2 t = − tan t . 3 4 于是 3π 3π π dx sec t tan t − 2 4 dt = − ∫ 2 π d t = − = ∫ 24π ∫ −2 2 3 3 sec t ( − tan t ) 12 x x −1