不定积分与定积分换元法
不定积分的基本公式和运算法则直接积分法
不定积分的基本公式和运算法则直接积分法一、不定积分的基本公式和运算法则1.基本公式：- 常数公式：$\int c\,dx = cx + C$，其中c为常数，C为常数。
- 幂函数公式：$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$，其中n为非零常数，C为常数。
- 指数函数公式：$\int e^x\,dx = e^x + C$，其中C为常数。
- 对数函数公式：$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln，x， + C$，其中C为常数。
2.基本运算法则：- 常数倍法则：$\int kf(x)\,dx = k\int f(x)\,dx$，其中k为常数。
- 和差法则：$\int (f(x) \pm g(x))\,dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx$。
- 乘法法则：$\int u \cdot v\,dx = \int u\,dv + \int v\,du$。
- 除法法则：$\int \frac{u}{v}\,dx=i\ln，v，+j\int\frac{dv}{v}$。
直接积分法是指根据不定积分的基本公式和运算法则，直接进行积分计算的方法。
下面介绍一些常见的直接积分法：1.用代换法进行积分：-根据被积函数的形式，选择一个合适的代换，使得原函数的形式更简单。
-对原函数进行代换，将积分转化为新的变量的积分。
- 对新的变量进行求导，计算出dx或du。
-将上述结果带入到原函数中，得到最终的积分结果。
2.用分部积分法进行积分：-对于被积函数的乘积形式，选择一个函数进行求导，选择另一个函数进行积分。
- 根据分部积分公式$\int u \,dv = uv - \int v \,du$，进行积分计算。
3.用换元法进行积分：-对于被积函数的形式，选择一个新的变量代替原来的变量，使得积分变得更简单。
-对原函数进行换元，将积分转化为新的变量的积分。
- 对新的变量进行求导，计算出dx或du。
积分的定积分与不定积分
积分的定积分与不定积分积分是微积分中的重要概念之一，用于求解曲线下面积、函数的平均值、变化率等问题。
在积分中，我们常常会遇到定积分和不定积分两种形式。
本文将从定义、性质、计算方法等方面介绍定积分和不定积分的基本知识。
一、定积分的定义与性质定积分是对函数在给定区间上的积分，它的定义如下：设函数f(x)在区间[a, b]上有界，将[a, b]分成n个小区间，其中第i 个小区间为[x_(i-1), x_i]，对于任意一个小区间，取其左端点上的函数值f(x_(i-1))作为近似值，求所有小区间上的近似求和，然后令n趋向于无穷大，即可得到定积分的值。
定积分的性质如下：1. 定积分的值和积分的区间有关，即[a, b]上的积分与[b, a]上的积分相差一个负号，表示积分的方向。
2. 一个区间上的定积分可以分割成多个子区间的积分之和，即[a, b]上的积分等于[a, c]上的积分加上[c, b]上的积分。
3. 函数的常数倍不影响定积分的值，即k∫f(x)dx = ∫(k*f(x))dx。
4. 定积分有加法原理，即∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx。
二、不定积分的定义与性质不定积分是求解函数的原函数的过程，它的定义如下：设函数f(x)在区间I上有原函数F(x)，则F(x)+C称为f(x)在I上的不定积分，其中C为任意常数。
不定积分的性质如下：1. 函数的不定积分是原函数的集合，因为对于任意一个原函数F(x)，都有F(x)+C是f(x)的不定积分，其中C为任意常数。
2. 不定积分具有线性性质，即∫(af(x)+bg(x))dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx，其中a、b为常数。
3. 不定积分有积分微分的逆运算性质，即函数f(x)在[a, b]上可积的充分必要条件是它在[a, b]上有连续的原函数。
三、定积分与不定积分的关系在计算上，定积分和不定积分是相互联系的。
下面是一些常见的关系：1. 定积分可以通过不定积分来求解，即∫(a, b)f(x)dx = F(x)∣_(a, b) = F(b) - F(a)，其中F(x)为f(x)的一个原函数。
不定积分和定积分
第四章 不定积分与定积分4.1 不定积分一、学时：二、教学要求：不定积分的定义：原函数、不定积分、积分基本公式、不定积分加法与数乘。
不定积分的求法； （1）理解原函数、不定积分的定义及关系；（2）熟记不定积分的基本公式，会不定积分的加法数乘运算； （3）会换元积分法：第一换元法、第二换元法；（4）分部积分法：理解分部积分法的推导，能用分部积分法求一些标准型不定积分。
重点：原函数、不定积分的定义及关系，不定积分的基本公式，不定积分的加法数乘运算，第一换元法、第二换元法，分部积分法 难点：第一换元法、第二换元法，分部积分法 三、教学内容：第二章讨论了如何求一个数的函导数（微分）问题，现在来讨论它的逆问题，即要由一个函数的已知导数（微分），求原来的函数问题，即求不定积分.4.1.1 不定积分的概念与性质定义1 设)(x f 是定义在某区间上的已知函数. 若存在一个函数)(x F ,对于该区间上每一点都满足：)()('x f x F =或dx x f x dF )()(=,则称)(x F 是)(x f 在该区间的一个原函数.例如 已知x x f 2)(=,由于2)(x x F =满足x x x F 2)'()('2== ,所以2)(x x F =是x x f 2)(=的一个原函数. 同理，10,1,1222+-+x x x 等也都是x x f 2)(=的原函数.由此可知，已知函数的原函数不止一个. 若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则C x F +)(()为任意常数C 也是)(x f 的原函数.且若)(x F ,)(x G 都是)(x f 的原函数则()0)()()()(')()(=-='-='-x f x f x G x F x G x F ，知C x G x F =-)()(,即它们仅相差一个常数.因此，若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则)(x f 的所有原函数可以表示为C x F +)(()是任意常数C .定义2 函数)(x f 的所有原函数，称为函数)(x f 的不定积分，记作⎰dx x f )(其中)(x f 称为被积函数，dx x f )(称为被积表达式，x 称为积分变量，“⎰”称为积分号.显然，若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则由定义2可知⎰+=C x F dx x f )()(其中C 是任意常数.因此，求函数)(x f 的不定积分，只需求出)(x f 的一个原函数)(x F ,再加上任意常数C 即可. 例如x dx x +=⎰323 ()为任意常数C⎰+-=C x x d x c o s s i n ()为任意常数C C e dx e xx+=⎰ ()为任意常数C例1 求函数xx f 1)(=的不定积分解 （1）当0>x 时，xx 1)'(ln =所以()0ln 1>+=⎰x Cx dx x（2）当0<x 时，0>-x[]xx xx x1).(1)ln(='--='-所以())0(ln 1<+-=⎰x Cx dx x合并（1）（2）两式得到：)0(ln 1≠+=⎰x C x dxx由不定积分的定义即可知不定积分具有如下性质： 1. 求不定积分与求导数或微分互为逆运算（1）[])()(x f dx x f ='⎰或 ()()d f x dx f x dx ⎡⎤=⎣⎦⎰（2）C x F dx x F +='⎰)()( 或 C x F x dF +=⎰)()(2.()()(0)af x dx a f x dx a =≠⎰⎰因为()())()()(x af dx x f a dx x f a ='='⎰⎰，说明⎰dx x f a )(是()af x 的原函数.3.[]()()()()f x g x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰因为()()()()()()()()()f x dx g x dx f x dx g x dx f x g x '''±=±=+⎰⎰⎰⎰故有两个函数代数和的不定积分等于各个函数不定积分的代数和，这个公式可以推广到任意有限多个函数的代数和的情况.4.1.2 基本不定积分公式由导数的基本公式对应地可以得到下面基本不定积分公式.（1）⎰+=C kx kdx（C 为常数）（2）()1111-≠++=+⎰μμμμCxdx x（3）C x dx x+=⎰ln 1（4）C e dx exx+=⎰（5）()10ln ≠>+=⎰a a Caadx a xx且（6）⎰+=C x xdx sin cos （7）⎰+-=C x xdx cos sin（8）C x xdx dx x+==⎰⎰tan sec cos 122（9）C x xdx dx x+-==⎰⎰cot csc sin122（10）sec tan sec x xdx x C ⋅=+⎰（11）csc cot csc x xdx x C ⋅=-+⎰（12）C x dx x+=+⎰arctan 112（13）c x dx x+=-⎰arcsin 112例2 求dx x x )52(2++⎰解 原式C x x x dx xdx dx x +++=++=⎰⎰⎰53152232.注意 这里三个不定积分本来应该有三个任意常数，经过代数和之后，只要用一个任意常数即已足够.下面类似情况就不特别加以说明.例3 求dx x x )3(-⎰解 原式dx x dx x dx x x ⎰⎰⎰-=-=2123233)3(C xx+⋅+⋅-⋅+=++121123121131231C x x +-=2325252例4 求xdx ⎰2tan解 原式⎰⎰⎰-=-=dx xdx dx x 1sec )1(sec 22C x x +-=t a n例5 设某厂生产某种商品的边际收入为 Q Q R 3300)(-='，其中Q 为该商品的产量，如果该产品可在市场上全部售出，求总收入函数.解 因为Q Q R 3300)(-='，两边积分得 ⎰⎰-='=dQQ dQ Q R Q R )3300()()(C Q Q +-=223300又因为当0=Q 时，总收入0)0(=R ，从而0=C . 所以总收入函数为223300)(Q Q Q R -=.4.1.3 不定积分的几何意义若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则曲线)(x F y =称为)(x f 的一条积分曲线，将其沿y 轴方向任意平行移动，就得到积分曲线族. 在每一条积分曲线上横坐标相同的点x 处作切线，这些切线都是相互平行的，如图4.1.x 0yx图 4.1不定积分⎰dxx f )(在几何上就表示全体积分曲线所组成的积分曲线族，它们的方程为C x F y +=)(.例6 求过点()3,1且在点()y x ,处切线斜率为23x 的曲线方程.解 设所求曲线方程为)(x F y =，因为23)(x x F y ='='，由不定积分定义，有C x dx x x F+==⎰323)(因所求的曲线过点()3,1，代入得到2=C . 于是所求的曲线方程为23+=x y.4.1.4 不定积分换元法和分部积分法利用基本不定积分公式及性质只能求一些简单的不定积分，对于比较复杂的不定积分，我们需要进一步方法，下面简单介绍第一类换元积分法、第二类换元积分法和分部积分法，详细可参阅参考书[1]、[2]. 应该指出现在许多数学软件，如Mathematica ，Matlab 等都具有求不定积分功能，读者可以借助数学软件求不定积分，也可以通过查积分表求不定积分.1. 第一类换元积分法例7 求⎰+dx x )13cos(解 选择新变量13+=x u ，则du dx u x 31),1(31=-=原式Cu du u +=⋅=⎰sin 3131cosC x ++=)13sin(31第一类换元积分法主要在于选择新的变量)(x u ϕ=其中()x ϕ为连续可导的, 原不定积分转换为可以使用基本不定积分公式. 为选择好新的变量,往往把原不定积分被积表达式dx x f )(凑成微分的形式，便于使用基本公式，求出积分后，再还原为原积分变量.例8 求dx x ⎰+3)42(解 du u x d x dxx x u ⎰⎰⎰+=++=+3423321)42(4221)42(变量代换凑微分＝）（()C x C u++=++⋅=+413428131121还原例9 求dx xe x⎰2解due dxe dx xeuxu xx⎰⎰⎰==21212222变量代替凑微分＝C eC e xu+=+=22121还原2. 第二类换元积分法第一类换元积分法是选择新变量()x uϕ=，但对某些不定积分，则需要作相反的代换，即令()x t ϕ=，其中()t ϕ是连续可导的，以使积分化为能使用基本公式. 该类变量替换公式由于要求出t 关于x 的表达式，所以()x t ϕ=还须存在反函数.例10 求dx x x ⎰+1解 令1+=x t，则12-=t x ，tdt dx 2=， 原式()dt t t tdt t t)(221242-=⋅⋅-=⎰⎰C x x C t t ++-+=+-=232535)1(32)1(523252例11 求dx x⎰+11解 令x t =，则2t x =, tdt dx 2=原式dt tt tdt t⎰⎰+=⋅+=12211dt tdt tt )111(21112⎰⎰+-=+-+=()C t t ++-=1ln 2()C x x ++-=1ln 23. 分部积分法设函数(),()u u x v v x ==有连续导数，由()uv u v uv '''=+得 ()u v u v u v'''=-两边求不定积分，得⎰⎰'-='vdx u uv dx v u为便于应用，上式可写成⎰⎰-=vduuv udv这就是分部积分公式. 如果求uv dx '⎰有困难，而求u vdx '⎰较容易时，我们就可以利用分部积分公式.例12 求⎰xdx ln解⎰xdxln xv x u ===,ln 令⎰-x xd x x ln ln （利用第二个公式）dx x x x x ⎰⋅-⋅=1lnC x x x +-=ln例13 求dx xe x⎰解dx e xe xdedx xe xx ev x u xx x⎰⎰⎰-====,令 （利用第二公式）C e xe xx+-=例14 求sin xe xdx ⎰解()()s i n s i n s i n s i n xxxxe x d xx de e x e d x==-⎰⎰⎰（分部积分法） sin cos sin cos x xxxe x e xdx e x xde =-=-⎰⎰sin cos cos xxxe x e x e d x =-+⎰ （分部积分法） sin cos sin xxxe x e x e xdx =--⎰由于上式右端的第三项就是所求的积分sin xe xdx ⎰，将它移到等式左端去，两端再同除以2，即得()1sin sin cos 2x x e xdx e x x C =-+⎰ 四、练习1. 求下列不定积分（1）5x dx ⎰（2）6(2)x dx +⎰（3）32x dx -⎰（4）1(3)dx x+⎰（5）)35x dx -⎰； （6）()22x dx -⎰（7）⎰（8）22()3x dx x +⎰2. 求下列不定积分 （1）()353x dx +⎰； （2）2(32)x dx -⎰（3）23xedx +⎰； （4）2xedx -⎰（5）()2sin 2x x dx +⎰； （6）cos ⎰；3. 求下列不定积分 （1）⎰； （2）⎰4. 求下列不定积分 （1）2ln x xdx ⎰； （2）2xxedx ⎰（3）ln 3xdx ⎰； （4）cos xe xdx ⎰5. 若C xedx x f x+=⎰-2)(，求)(x f6. 一曲线位于第一象限并过点()2,e ，且过曲线上任一点的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线方程.7. 设某企业生产某产品，其边际成本C '与日产量x （千克）关系为：5C x '=+（美元/千克），其固定成本为2000美元，试求成本函数.4.2 定积分的概念与性质一、学时：二、教学要求：定积分的概念与性质：定积分概念、几何意义、基本性质（1）解定积分的几何意义，理解其定义。
积分求解的几种方法
积分求解的几种方法
积分求解的几种方法有：
求积分的四种方法是：换元法、对称法、待定系数法、分部积分法。
积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。
通常分为定积分和不定积分两种。
求定积分的方法有换元法、对称法、待定系数法；求不定积分的方法有换元法和分部积分法。
换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量的变量求出结果之后，返回去求原变量的结果。
分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。
它是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。
它的主要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的。
定积分对称性公式：f(x+a)=f(b-x)记住此方程式是对称性的一般形式，只要x有一个正一个负，就有对称性。
至于对称轴可用吃公式求X=a+b/2。
如f(x+3)=f(5_x)X=3+5/2=4等等。
一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。
一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
理学定积分的换元法
例
计算
1
0
1 x2 d x .
令 x sin t
解 先用不定积分求被积函数的一个原函数：
1
x2
dx
cos2
tdt
1 2
(1 cos 2 t)d t
t sin 2 t C 1 arcsin x 1 x 1 x2 C
24
2
2
由牛顿 ——莱布尼兹公式，得
1
0
1 x2 d x 1 arcsin x 1 x
0
3
解 f ( x) sin3 x sin5 x cos x sin x2
sin3 x sin5 xdx
cos
x
sin
x
3
2
dx
0
0
3
2 cos xsin x2 dx
0
cos
xsin
x
3
2
dx
3
2 sin x2 d sin x
0
2
sin
x
3
2
d
sin
x
2
sin
5
x 2
2
F (b) F (a) F[( )] F[( )]
(t) (t)
5
(t) (t)
说明:
1) 当 < , 即区间换为 [ , ]时，定理 1 仍成立 .
2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .
3) 换元公式也可反过来使用 , 即
(t) (t)
b
a f ( x)d x
(令 x (t))
dx
x t
0( d t ) .
0
19
例 A.
cos105
不定积分与定积分
不定积分与定积分积分是数学分析中重要的概念和工具，在微积分中具有广泛的应用。
其中不定积分和定积分是常见的两种类型。
它们分别具有不同的定义和性质，对于解决实际问题和求解函数的面积等概念都有着重要的作用。
一、不定积分1.1 定义不定积分是函数的原函数的集合。
给定一个连续函数f(x)，其不定积分可以表示为∫f(x)dx = F(x) + C，其中F(x)是f(x)的一个原函数，C为常数。
1.2 性质不定积分具有线性性质，即∫[af(x) + bg(x)]dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx，其中a、b为常数。
同时，不定积分满足微积分基本定理，即对于函数f(x)的原函数F(x)，有∫f'(x)dx = F(x) + C。
1.3 计算方法求解不定积分的方法有很多，最常用的方法是换元法和分部积分法。
换元法是通过引入新的变量替代原变量，将原函数转换成更容易积分的形式。
分部积分法则是通过对乘积的两个函数进行积分，得到原函数的表达式。
二、定积分2.1 定义定积分是对函数在一个闭区间上的积分。
给定函数f(x)在[a, b]区间上连续，定积分可以表示为∫[a, b]f(x)dx。
定积分表示函数在该区间上的面积或曲线与x轴所围成的面积。
2.2 性质定积分具有线性性质和可加性质，即对于函数f(x)和g(x)，有∫[a, b][f(x) ± g(x)]dx = ∫[a, b]f(x)dx ± ∫[a, b]g(x)dx。
同时，定积分也满足中值定理，即在区间[a, b]上存在一个点c，使得∫[a, b]f(x)dx = f(c)·(b - a)。
2.3 计算方法计算定积分可以使用几何意义的面积计算法、代数意义的换元法和分段函数积分法等。
其中，面积计算法是将曲线区间划分成若干个小矩形，再对这些小矩形的面积求和。
而换元法和分段函数积分法则是通过转换变量或分别对函数在不同区间求积分。
不定积分的换元法第一篇
解
x2 f (1 x3 )dx 1 f (1 x3 )d(1 x3 ) 3
又 f ( x)dx x C，
x2 f (1 x3 )dx 1 1 x3 +C 3
例12 求 x2(2x 1)50dx
解 令u 2x 1 则 dx 1 du
第三节 不定积分与定积分的运算
一、不定积分的换元法
二、定积分的换元法
三、分部积分法
不定积分的分部积分法 定积分的分部积分法
四、积分的其它例子法
第四章
一、换元积分法
1、第一类换元法 2、第二类换元法
基本思路
设 F(u) f (u),
可导, 则有
f (( x))d(( x)) f (u)du u(x)
一部分凑成d (x),这需要解题经验,如果记熟下列一些微
分式(P197) ,解题中则会给我们以启示．
dx 1 d(ax b)， xdx 1 d(x2 )，
a
2
dx 2d( x)， x
exdx d(ex )，
1 dx d(ln | x |)， sin xdx d(cos x)， x
1 ln x a ln x a C 1 ln x a C
2a
2a xa
例4 求 (1) xe13x2 dx;
(2) x a2 x2 dx.
解 (1) xe13x2dx e13x2 xdx, 且 d(1 3x2 ) 6xdx,
F (u) C u( x) F[ ( x)] C
第一类换元法 第二类换元法
1．第一换元积分法(凑微分法)
问题 1 求 e3xdx .
不定积分的换元法
不定积分的换元法不定积分是微积分的重要内容，其中换元法是计算不定积分的一种常用方法。
换元法是指将被积函数中的变量通过代换，转化为新的自变量的函数形式进行积分求解。
一、基本概念在介绍换元法之前，首先需要了解一些基本概念。
1. 不定积分：指对一个函数进行求导的逆运算，即对于函数f(x)，若F(x)是其导数，则F(x)是函数f(x)的一个不定积分，记为∫f(x)dx。
不定积分中的积分符号∫表示对变量的积分，dx表示被积函数中的自变量。
2. 原函数：指函数f(x)的一个不定积分F(x)，即F(x)是f(x)的原函数。
3. 积分变量：指被积函数中的自变量。
4. 积分限：指积分区间的起点和终点。
5. 积分常数：表示积分时所得到的结果中的常数项，因为不定积分中存在无限个解，所以需要添加积分常数来求得特定的解。
二、换元法的原理假设对于被积函数f(x)，想要将其变为一个与变量t有关的函数g(t)，即f(x) = g(t)，则可通过以下步骤进行换元：1. 选取一个可导函数u(x)，并令t = u(x)，则有t' = u'(x)。
2. 则原式∫f(x)dx = ∫g(t)dt。
3. 将自变量x换成新的自变量t，被积函数中的自变量x的所有出现均用对应的t代替。
4. 将x关于t求导，将t'代入被积函数中dt中，并将dx用du 表示。
5. 对新的函数∫g(t)dt进行求解。
6. 最后将所得解中的t用x表示，并加上积分常数C。
三、实例分析以求解∫2x/(1+x^2)dx为例，借助于换元法进行求解。
1. 令t = 1 + x^2，则有dt/dx = 2x，可以得出dx = dt/2x。
2. 将原式转化为∫2x/(1+x^2)dx = 2∫(1+x^2)/(1+x^2) * 1/(1+x^2) dt = 2∫(1/(t/2))dt。
3. 对新的函数2∫(1/(t/2))dt进行求解，解得结果为2ln|t| + C，其中|t|表示t的绝对值。
高等数学常用不定积分公式
高等数学常用不定积分公式一、基本不定积分公式：1. 常数函数的不定积分：∫k dx = kx + C，其中k为常数，C为任意常数。
2. 幂函数的不定积分：∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中n≠-1，C为任意常数。
3. 对数函数的不定积分：∫1/x dx = ln，x， + C，其中C为任意常数。
4. 指数函数的不定积分：∫e^x dx = e^x + C，其中C为任意常数。
5.三角函数的不定积分：a) ∫sinx dx = -cosx + C，其中C为任意常数。
b) ∫cosx dx = sinx + C，其中C为任意常数。
c) ∫sec^2(x) dx = tanx + C，其中C为任意常数。
d) ∫cosec^2(x) dx = -cotx + C，其中C为任意常数。
e) ∫sec(x)tan(x) dx = secx + C，其中C为任意常数。
f) ∫cosec(x)cot(x) dx = -cosecx + C，其中C为任意常数。
6.反三角函数的不定积分：a) ∫1/√(1-x^2) dx = arcsinx + C，其中C为任意常数。
b) ∫1/√(1+x^2) dx = arctanx + C，其中C为任意常数。
c) ∫1/(x^2+1) dx = arctanx + C，其中C为任意常数。
二、常用不定积分公式：1. ∫sin^2x dx = (1/2)(x - sinx cosx) + C，其中C为任意常数。
2. ∫cos^2x dx = (1/2)(x + sinx cosx) + C，其中C为任意常数。
3. ∫tan^2x dx = tanx - x + C，其中C为任意常数。
4. ∫cot^2x dx = -cotx - x + C，其中C为任意常数。
5. ∫sec^3(x) dx = (1/2)(secx tanx + ln，secx + tanx，) + C，其中C为任意常数。
不定积分的基本积分法与换元法
不定积分的基本积分法与换元法一、不定积分的基本积分法与换元法在微积分学中，积分是求导的逆运算，它具有重要的应用价值。
而不定积分则是对函数进行积分，结果得到的是一个函数族。
不定积分的基本积分法与换元法是常用的解决积分问题的方法。
本文将介绍这两种方法的基本原理和具体应用。
二、基本积分法基本积分法是指一些简单函数的积分表达式，如常函数、幂函数、指数函数、三角函数等，这些函数具有固定的积分形式。
下面我们逐一介绍一些常见函数的不定积分：1. 常数函数的积分常数函数的积分就是关于自变量的函数值乘以自变量的变化量。
例如，对于常数函数$f(x)=C$来说，它的不定积分就是$F(x)=Cx$。
2. 幂函数的积分幂函数的积分形式可以表示为$\int x^n dx$，其中$n$为实数。
具体的积分结果要根据指数$n$的不同情况来确定。
例如：当$n \neq -1$时，$\int x^n dx= \frac{{x^{n+1}}}{{n+1}}+C$；当$n = -1$时，$\int \frac{1}{x}dx = \ln|x|+C$。
3. 指数函数的积分指数函数$e^x$的积分形式为$\int e^x dx=e^x+C$。
它是自然对数函数的导数。
4. 三角函数的积分常见的三角函数，如正弦函数、余弦函数、正切函数等，其积分形式为：$\int \sin x dx = -\cos x +C$；$\int \cos x dx = \sin x + C$；$\int \tan x dx = -\ln|\cos x| + C$。
这些是基本积分法的一些常见形式，掌握它们对于解决一些简单函数的积分问题非常有帮助。
三、换元法换元法又称为凑微分法或替换法，它是通过引入新的变量进行积分运算，以简化被积函数的形式。
换元法的基本思想是：引入一个新的变量，使被积函数在新的变量下的形式更容易积分。
具体的换元法步骤如下：1. 选取适当的变量替换，让被积函数的形式更简单。
定积分的换元法
例12 设 f ( x ) 连续
解
二、小结
定积分的换元法 几个特殊积分、定积分的几个等式
思考题
解令
思考题解答
计算中第二步是错误的.
正确解法是
练习题
练习题答案
由定积分的几何意义，这个结论也是比较明显的
例8 计算 解 原式
偶函数
奇函数
四分之一单位圆的面积
证 （1）设 （2）设
另证 将上式改写为
奇函数
例10 设 f(x) 是以L为周期的连续函数，证明
证明
与 a 的值无关
例11 设 f(x) 连续，常数 a > 0 证明
证明 比较等式两边的被积函数知，
先来看一个例子
例1
换元求不定积分 令
则
故
尝试一下直接换元求定积分
为去掉根号 令
则
当 x 从0连续地增加到4时，t 相 应地从1连续地增加到3
于是
由此可见，定积分也可以象不定积分一 样进行换元，所不同的是不定积分换元时要 回代原积分变量，而对定积分则只需将其上 、下限换成新变量的上、下限即可计算出定 积分，而不必回代原积分变量
将上例一般化就得到定积分的换元积分公式
一、换元公式
证
应用换元公式时应注意:
（1）
（2）
例2 计算 解1 由定积分的几何意义
o 等于圆周的第一象限部分的面积 解2
故
解3 令
解4 令 仍可得到上述结果
例3 计算 解令
注
定积分的换元积分公式也可以反过来使用
为方便计 将换元公式的左、右两边对调
同时把 x 换成 t ， t 换成 xFra bibliotek这说明可用
引入新变量
高数论文浅谈定积分与不定积分的联系与区别
浅谈定积分与不定积分的联系与区别摘要本文主要从概念和性质两方面分别讨论了不定积分、定积分之间的联系与区别.它们“形式”相像，相互之间又存在内在的联系，但如果忽视他们本质上的不同之处，将会导致很多错误.为此，本文就他们之间在定义上和性质上的联系与区别展开讨论，这将会有助于正确理解和掌握这类积分. 关键字 不定积分 定积分 性质 区别本文所涉及的包括不定积分、定积分的内容.主要讨论这两类积分在概念和性质两方面的联系与区别.能够比较系统地分析和总结这两类积分关系，便于解决实际问题.1概念1.1不定积分正如加法有其逆运算减法，乘法有其逆运算除法一样，微分法也有它的逆运算——积分法.我们知道，微分法的基本问题是研究如何从已知函数求出它的导函数，那么与之相反的问题是：求一个未知函数，使其导函数恰好是某一已知函数.定义1 设函数f 与F 在区间I 上都有定义，若()()I x x f x F ∈=',, 则称F 为f 在区间I 上的一个原函数.定义2 函数f 在区间I 上的全体原函数称为f 在I 上的不定积分，记作dx x f ⎰)(，其中⎰称为积分号，)(x f 称为被积函数，dx x f )(称为被积表达式，x 称为被积变量.由定义2可见，不定积分与原函数是总体与个体的关系，即若F 是f 的一个原函数，则f 的不定积分是一个原函数族{}C F +，其中C 是任意常数.为方便起见，通常写作⎰+=C x F dx x f )()(.这时又称C 为积分常数，它可以任取一实数值. 1.2定积分定义1 设闭区间[]b a ,上有1-n 个点，依次为0121-=<<<<<=n n a x x x x x b ，它们把[]b a ,分成个n 小区间[]i i i x x ,1-=∆,n i ,,2,1⋅⋅⋅=.这些分点或这些闭子区间构成对[]b a ,的一个分割，记为 01{,,}=n T x x x 或12{,,}∆∆∆n .小区间∆i 的长度为1i i i x x x -∆=-，并记 {}i ni x T ∆=≤≤1max , 称为分割T 的模.注 由于n i T x i ,,2,1,⋅⋅⋅=≤∆，因此T 可用来反映[]b a ,被分割的细密程度.另外,分割一旦给出，T 就随之而确定；但是，具有同一细度T 的分割T 却又无限多个.定义2 设f 是定义在[]b a ,上的一个函数，J 是一个确定的实数.若对任给的正数ε，总存在某一正数δ，使得对[]b a ,的任何分割T ，以及在其上任意选取的点集{}i ξ，只要δ<T ，就有εξ<-∆∑=ni iiJx f 1)(,则称函数f 在区间[]b a ,上可积；数J 称为f 在区间[]b a ,上的定积分，记作⎰=b adxx f J )(.其中，f 称为被积函数，x 称为积分变量，[]b a ,称为积分区间，a 、b 分别称为这个定积分的上限和下限. 2不定积分与定积分的联系与区别 2.1定义上求定积分⎰badx x f )(，即是在闭区间[]b a ,上对某个量进行分割、累积的过程.英文短语definite integral 恰好反映了这个计算过程的本质.而不定积分⎰dx x f )(表示的是)(x f 的全体原函数，既没有分割，也没有积累，为什么也称为“积分”呢？下面将通过重新定义不定积分，证明把“不定积分”称为“积分”也是合理的.设)(x f 是闭区间[]b a ,上的连续函数,不妨设[]),(0)(b a x x f ∈≥.一方面，变上限定积分[]),()()(b a x dt t f x xa∈=Φ⎰是)(x f 在[]b a ,上的一个原函数.另一方面，把)(x f 连续延拓到()+∞∞-,，得到)(x F ，使)(x F 满足条件：0)(≥x F ，+∞=⎰∞-dt t F a)(，-∞=⎰∞+adt t F )(.让下限变动到s ，得到变动上限与变动下限的定积分⎰xsdt t F )(，()+∞∞-∈,s .则⎰⎰⎰⎰+Φ=+=asxaasxsdt t F x dt t F dt t F dt t F )()()()()(.因为⎰asdt t F )(是s 的连续函数，且+∞=⎰∞-dt t F a )(，-∞=⎰∞+adt t F )(,所以，对于任意常数c ，根据连续函数的介值性定理，存在s '，使得c dt t F a s =⎰')(.以上的分析结果可以总结为：令变动上限x 为自变量，变动下限s 为参数，则形式定积分⎰xsdt t F )(就是)(x f 在[]b a ,上的不定积分.也就是说，不定积分是一种特殊形式的定积分，是上限与下限都不定的定积分.因此可以说明，把不定积分称为积分是合理的.当[]b a x x f ,,0)(∈≤时，或当)(x f 在[]b a ,上不定号时，也可以类似讨论，并得到同样的结果.注：这里说形式定积分⎰xsdt t F )(就是)(x f 在[]b a ,上的不定积分，此时被积函数是)(t F ，而不是原来的函数)(x f .在很多教科书中，对不定积分的定义是强加的，并没有说明为什么能够将⎰+=c x F dx x f )()(称为“积分”，就更谈不上不定了.这里揭示了这两种积分的内在联系：定积分就是积分上、下限都确定的积分，不定积分就是积分上、下限都不定的积分.因此，两种积分在本质上是相似的.虽然，不定积分与定积分本质相似，不定积分是一种特殊形式的定积分，但是，在概念上，两种积分是根本不同的.)(x f 的不定积分就是它的全体原函数，而在区间[]b a ,上的定积分是一个极限值，即为是一个常数，这个常数仅仅依赖于被积函数)(x f 和积分区间[]b a ,，与积分变量的字母表示无关.不定积分与定积分所分别表示的几何意义也是不同的.)(x f 的不定积分的几何意义是以c x F y +=)(为其方程的一簇积分曲线.而)(x f 在区间[]b a ,上的定积分的几何意义是由曲线)(x f y =在直线b x a x ==,以及x 轴所围成的曲边梯形的面积. 2.2性质上定理2.1 若函数f 在[]b a ,上连续，且存在原函数F ，即)()(x f x F ='，[]b a x ,∈，则f 在[]b a ,上可积，且)()()(a F b F dx x f ba-=⎰.则称为牛顿—莱布尼茨公式.定积分⎰badx x f )(，原为求函数的极限，计算复杂.牛顿—莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系起来了，为求定积分提供了一个很有效的方法，实质上是将定积分的求解归结为求不定积分的原函数.只要求出)(x f 的一个原函数，那么定积分⎰badx x f )(就等于)(x f 的原函数)(x F 在区间[]b a ,上的增量)()(a F b F -.牛顿—莱布尼茨公式体现了原函数与定积分的关系，但是原函数存在与函数可积并非充分条件，因此，运用牛顿—莱布尼茨公式时必须注意条件.例 函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,00,1cos 21sin 2)(2x x xx x x x f 存在原函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(22x x x x x F ，但)(x f 在[]1,1-上不可积，因为21cos 2xx 在[]1,1-上无界. 此外，对于定积分的计算，不定积分的换元积分法和分部积分法也适用. 换元积分法定理2.2 设)(u g 在[]βα,上有定义，)(x u ϕ=在[]b a ,上可导，且)()(x x βϕα≤≤，[]b a x ,∈，并记 )())(()(x x g x f ϕϕ'=，[]b a x ,∈.(i)若)(u g 在[]βα,上存在原函数)(u G ，则)(x f 在[]b a ,上也存在原函数)(x F ,c x G x F +=))(()(ϕ，即C x G C u G du u g dx x x g dx x f +=+=='=⎰⎰⎰))(()()()())(()(ϕϕϕ.(ii)又若0)(≠'x ϕ，[]b a x ,∈，则上述命题（i ）可逆，即当)(x f 在[]b a ,上存在原函数)(x F 时，)(u g 在[]βα,上也存在原函数)(u G ，且C u F u G +=-))(()(1ϕ，即⎰⎰⎰+=+=='=-C u F C x F dx x f dx x x g du u g ))(()()()())(()(1ϕϕϕ. 定理2.2' 若函数f 在[]b a ,上连续，ϕ在[]βα,上连续可微，且满足a =)(αϕ，b =)(βϕ，b t a ≤≤)(ϕ，[]βα,∈t ， 则有定积分换元公式：⎰⎰'=βαϕϕdt t t f dx x f ba)())(()(. （1）所以在用还原法计算定积分时，一旦得到了新变量表示的原函数后，不必作变量还原而只要用新的积分限带入并求其差就可以了，这就是定积分换元积分法与不定积分换元法的区别，这一原因在于不定积分所求的是被积函数式的原函数，理应保留与原来相同的自变量；而定积分的计算结果是一个确定的数，如果式一边的定积分计算出来了，那么另一边的定积分自然也求得了. 分部积分法定理2.3 若)(x u 与)(x v 可导，不定积分dx x v x u )()(⎰'存在，则dx x v x u )()('⎰也存在，并有dx x v x u x v x u x v x u )()()()()()(⎰⎰'-='. （2）定理2.3' 若)(x u ，)(x v 为上[]b a ,的连续可微函数，则有定积分分部积分公式：dx x v x u a b x v x u dx x v x u baba ⎰⎰'-=')()()()()()(.不定积分的性质性质1 不为0的常数因子可以移到积分号前.性质2 不定积分的线性性质 []dx x g dx x f dx x g x f ⎰⎰⎰±=±)()()()(.推广：[]⎰⎰⎰±=±dx x g n dx x f m dx x ng x mf )()()()(，其中m 、n 为常数，且022≠+n m.定积分的性质性质1 被积函数的常数因子可以提到定积分符号前,即⎰⎰=babadx x f A dx x Af )()(（A 为常数）.性质2 函数的代数和的定积分等于他们的定积分的代数和，即[]⎰⎰⎰±=±babab a dx x g dx x f dx x g x f )()()()(.这个性质对有限个函数代数和也成立.性质3 积分的上下限对换则定积分变号，即⎰⎰-=abbadx x f dx x f )()(.性质4 如果将区间[]b a ,分成两个子区间[]c a ,及[]b c ,，那这子区间分成有限个的情形也成立. 性质5 如果在区间[]b a ,上，)()(x g x f ≤，则⎰⎰≤babadx x g dx x f )()(，()b a <.通过对比可以看出，不定积分与定积分有相同性质1与性质2.即，不定积分的两个性质对定积分都适用. 4总结本文从积分的定义入手，用定积分的形式来重新定义不定积分，揭示不定积分与定积分的内在联系，同时证明了不定积分也称为积分的合理性.又根据概念和性质上的不同，将不定积分与定积分区分开来. 参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析 (第三版) 上册 [M]，北京：高等教育出版社，2006. [2]陈小平 无穷积分与定积分、瑕积分的区别[J] 北京：中国科技信息2010年第23期. [3]崔信 试论数学积分的几种性质[J] 北京：中国商界2010年第10期.[4]孙宝法用定积分形式定义的不定积分[J] 南京：大学数学第24卷第5期.[5]熊国敏定积分与瑕积分[J] 贵州：安顺师专学报（自然科学版）1994年第2期.[6]范君好Riemann积分和Lebesgue积分的联系和本质区别[J] 广西：桂林师范高等专科学校学报第24卷第3期.。
15第五章定积分(定积分的计算)
[u(x)v(x)] |ba
b
u(x) v(x) dx
a
即
称为定积分分部积分公式.
例1 计算 1 xexdx. 0
解: 设 u(x) x, v(x) ex ,
则 u(x) 1, v(x) ex
原式
xe x
|10
1 exdx
0
e ex |10 1.
例2 计算 解: 原式
3. 广义积分
(3) 当t在区间 [ , ] 上由 变到 时， (t)
单调地从a变到b
b
则 a f (x)dx f [(t)](t)dt.
b
定积分换元法: a f (x)dx f [(t)](t)dt
说明:(1) 当 时，换元公式仍成立 .
(2) 注意换元必换限，且 a ,b ,
同时被积表达式
解
exdx lim
be x dx
lim (ex
b
)
0
b 0
b
0
lim (eb 1) 1. b
dx
例 2 讨论 2 x ln x 的敛散性.
解
dx 2 x ln x
d(ln x) 2 ln x
ln
ln x
,所以
2
dx 2 x ln x
发散.
4.定积分的导数公式
1（ x a
定义１（1） 设函数 f (x) 在[a, ) 上连续.极限
lim b f (x)dx称为 f (x)在[a, )上的广义积分，
b a
记为
b
f (x)dx，即 f (x)dx lim f (x)dx，
a
a
b a
若极限存在，称广义积分收敛；若极限不存在，则
求不定积分的若干方法
求不定积分的若干方法一、换元法换元法是求不定积分常用的一种方法之一、通过引入一个新的变量，使得原积分的形式更加简单化，从而更易求解。
1. 微分换元法：设 u=g(x)，则 du=g'(x)dx，通过替换变量 x 和dx，将原积分转化为对新变量 u 的积分。
例子：求∫(2x+1)²dx。
取 u=2x+1，则 du=2dx，将积分转化为∫u²/2du=u³/6+C=(2x+1)³/6+C。
2.三角换元法：根据三角函数的性质，通过适当的三角函数换元，将积分转化为更简单的形式。
例子：求∫sin²xdx。
利用三角公式sin²x=(1-cos2x)/2，将积分转化为∫(1-cos2x)/2dx=x/2-sin2x/4+C。
3.指数换元法：常用于含有指数、对数函数的积分求解。
通过引入指数函数或对数函数，将积分转化为更易处理的形式。
例子：求∫eˣsinxdx。
利用指数换元 eˣ=sinhx+coshx，将积分转化为∫(sinhxcoshx+cos²hx)dx=(1/2)sinh²x+(1/2)x+C。
二、分部积分法分部积分法是求不定积分的另一种常用方法。
对于积分中的乘积形式，可以通过分部积分来简化积分的形式。
公式：∫u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-∫v(x)u'(x)dx，其中 u(x) 和 v(x) 是可导的函数。
例子：求∫xlnxdx。
取 u=lnx，v'=xdx，则 u'=1/x。
利用分部积分公式，可得∫xlnxdx=(1/2)x²lnx-(1/2)∫xdx=(1/2)x²lnx-(1/4)x²+C。
三、特殊函数的不定积分1.幂函数的不定积分：- 当n≠-1 时，∫xⁿdx=(xⁿ⁺¹)/(n+1)+C；- 当 n=-1 时，∫(1/x)dx=ln，x，+C。
不定积分与定积分的各种计算方法
不定积分与定积分的各种计算方法一、不定积分的计算方法：1.初等函数不定积分法：基于已知的初等函数的不定积分公式，例如导数的逆运算。
例如，对于常数函数、幂函数、指数函数、三角函数、对数函数等，都存在常用的不定积分公式。
例如，对于函数f(x)=x^n(n≠-1)，不定积分的结果为F(x)=(1/(n+1))x^(n+1)+C，其中C为任意常数。
2.换元法：也称为反链式法或u-替换法，通过引入新的变量替换积分变量，以简化积分表达式。
这种方法需要根据被积函数的特点选择适当的替换变量。
例如，对于含有根式的积分，可以通过引入新的变量将积分化为有理函数积分。
3.分部积分法：也称为积化和差减法，将积分运算转换为两个函数的乘积的积分运算，通常用于乘积的积分。
根据乘积法则，可以将积分转化为函数间的和差表达式，从而得到一个更容易求解的积分。
4.特殊函数的不定积分：一些特殊函数的不定积分需要特殊的处理，例如三角函数的不定积分、反三角函数的不定积分等。
这些特殊函数的不定积分可以通过使用特殊的积分公式或者简化技巧进行计算。
5.利用递推关系：在一些情况下，可以通过利用函数的递推关系进行不定积分的计算。
例如，对于多项式函数f(x)=(x-a)^n，可以通过多次使用求导的反向应用从高阶幂递推到低阶幂。
二、定积分的计算方法：1.几何与图形面积法：定积分可以解释为曲线与坐标轴之间的面积或图形的面积。
根据几何图形的特点，可以使用几何图形的面积公式计算定积分的值，例如长方形面积公式、三角形面积公式等。
2.定积分的性质：定积分具有一些重要的性质，例如线性性、区间可加性、区间可减性等。
利用这些性质，可以将复杂的函数表示为若干个简单的函数之和或差，从而进行定积分的计算。
3.换元法：与不定积分类似，定积分也可以通过引入新的变量来简化积分表达式。
需要注意的是，换元法在定积分中还需要考虑积分上下限的转换。
4.分部积分法：与不定积分类似，定积分也可以使用分部积分法进行计算。
换元法在数学解题中的应用[文献综述]
![换元法在数学解题中的应用[文献综述]](https://img.taocdn.com/s3/m/fa00a3e2f5335a8102d220b6.png)
毕业论文文献综述信息与计算科学换元法在数学解题中的应用一、前言部分有些数学问题，由于条件与结论中的变量关系在形式上的隐蔽，它们之间实质性的逻辑联系不易从表面形式上发现，即使看出它们之间的联系，也由于表面形式的复杂而不易直接求解。
但当我们进行适当的变量代换，把问题的条件和结论作形式上的转换，这样就容易揭示出它们之间的内在联系，把问题化难为易，化繁为简。
掌握了换元思想，不但可以比较顺利地解决一些较难的题目，还可以用多种方法解答同一个个问题，提高我们的思维。
数学中这样的例子有很多，无论是对一些具体问题的解决，还是在经典的数学方法中，都无不渗透着这一思想。
解题中常用到的换元法，其实也就是这一思想的具体体现。
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这种方法叫做换元法。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。
通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。
或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
尤其是在积分中应用很是广泛。
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
为了使复杂繁琐的数学问题得到解决，利用换元法应进行有效替换。
在具体问题中，针对替换的有效性，人们做了很多的探讨。
有很多文章探讨了数学问题中的换元技巧，例如积分中的换元技巧、三角换元、无理递推式换元技巧等等。
每一类问题又由于其具体形式的不同，换元的形式也多种多样。
分析各种换元形式的共同规律，可以捡起归纳为以下几类：定积分换元法、不定积分换元法、三角换元、二重积分换元法、含无理递推式的换元法和换元法在其他方面的应用。
当遇到题中含有几个变量或次数较高问题时，我们可以考虑用换元法，能否消去某些变量或降低变量次数，起到减元降次的作用。
换元法在不定积分和定积分中的联系与区别
的反函数存在且连续，并且
。而在定积分的第二换元法则不这样要求，它通
过换元法写出关于新变量的被积函数与新变量 的积分上下限后可以直接求职，不像不定积 分的计算最终需要对变量进行还原。
例 3 用第二换元法求解
解令
，则
这便证明了（2）式。 定积分中第二换元法的定理形式
定理 4 设 在 连续，作代换
，且
，则
，其中 在 构成的区间上有连续导数
证明 设 是 的一个原函数，则
是
的一个原函数。于是
，
定理得证。 第二换元法在不定积分和定积分中的联系与区别 区别：由不定积分中第二换元法的证明过程可知，不定积分中第二换元法要求变换
换元法在不定积分和定积分中的联系与区别
1. 第一换元法在不定积分和定积分中的联系与区别 不定积分中第一换元法的定理形式
定理 1 若 则
，且
的原函数容易求出，记 ，
.
证明 若
，令
，于是有
因而
得证。 定积分中第一换元法的定理形式
定理 2 若 连续， 在 上一阶连续可导，且
成的区间上连续，其中
，则
证明 令
，由于 在
. 构成的区间上连续，记
，在 构 ，则
得证。 第一换元法在不定积分和定积分中的联系与区别 区别：第一换元法在定积分中对未知量 给出了定义范围，要求换元函数 在该定义
域内一阶连续可导即可，对积分要求变弱。 联系：不定积分的实质是求一个函数的原函数组成的集合，部分定积分的计算可以利用
不定积分的第一换元法求出简单函数 的任意一个原函数 ，再用原函数在 求
.
解 因为
即 有一个原函数
，所以
例 2 计算积分
.
定积分与不定积分
定积分与不定积分积分是微积分中的重要概念之一，分为定积分和不定积分。
在数学和物理学等领域中，积分广泛应用于求解曲线下面的面积、求解变化率、求解平衡点等问题。
在本文中，我们将详细讨论定积分和不定积分的概念、性质以及求解方法。
一、定积分定积分是指对于一个函数在给定区间上的积分结果是一个确定的数值。
它常常用于求解曲线下面的面积。
在数学中，定积分可以通过黎曼和牛顿-莱布尼茨公式来进行计算。
黎曼和公式可以用如下形式表示：∫[a,b] f(x)dx = lim(n→∞) Σ f(xi)Δx其中，f(x)是被积函数，[a,b]是积分区间，xi是取自积分区间的一个点，Δx是每一小段区间的长度。
牛顿-莱布尼茨公式表示为：∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a)其中，F(x)是f(x)的一个原函数。
从这两个公式可以看出，定积分的结果是一个数值，并且与所选取的具体积分区间无关。
定积分还具有求解变化率、求解物体质量等方面的应用。
二、不定积分不定积分是指对于一个函数求出它的原函数，也称为不定积分。
不定积分的结果通常表示为∫f(x)dx = F(x) + C，其中C为常数。
不定积分解决的是反导数问题。
不定积分与定积分的关系可以用牛顿-莱布尼茨公式来表示。
定积分就是不定积分的上下限差：∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a) = F(x)|[a,b]这意味着通过求解不定积分，我们可以求出定积分的值。
不定积分可以利用换元法、分部积分法等方法来求解。
其中，换元法是指通过换一种变量的表示方式，来简化积分形式。
分部积分法则是指求导运算和积分运算之间的一个关系，可以将一个复杂的积分转化为一个或多个简单的积分。
三、定积分与不定积分的性质1.线性性质：定积分和不定积分都具有线性性质，即对于任意常数a和b，有∫(af(x) + bg(x))dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx。
2.区间可加性：定积分具有区间可加性，即对于[a,b]和[b,c]，有∫[a,c]f(x)dx = ∫[a,b]f(x)dx + ∫[b,c]f(x)dx。
定积分换元法
0
令x 2sin t , 则dx 2 cos tdt , 4 x 2 2 cos t ;
t=0 ,
x=2 t=/2. 于是
2
2
x 2 4 x 2 dx 2
2
2
0
16sin 2 t cos 2 tdt 8
2 0
2
sin 2 2tdt
0
4
0
1 (1 cos 4t )dt 4(t sin 4t ) 4
2 2
2
0
sin 2tdt 4
2
2
0
1 cos 4t dt 2
1 2 2 (1 cos 4t )dt 2(t sin 4t ) 0 4
2 0
定积分换元积分法
7(5)
1
0
(1 x 2 ) dx 令x tant，则 dx sec tdt
2
3 2
且x 0 t 0； x 1 t
dx a cos tdt , x 0 t 0,
dt
d (sin t cos t ) sin t cos t
0
2
a sin t a 2 (1 sin 2 t )
0
cos t 1 dt 2 sin t cos t
2
0
cos t sin t 1 sin t cos t dt
4
4 4 （ 1 tan2 t） sec 2 tdt （ sec 2 t） sec 2 tdt 0 0
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dx x + x4 + 1
1 1 令 x = ， dx = − dt . 于是 则 t t2
I=∫ dx x + x4 + 1 = −∫ 1 ( + 4 + 1 )t 2 t t dt 1
= −∫
dt t + t2 +1
= −I
因为 I = − I ，
所以 I = 0 .
这个结论显然是错误的，但是问题发生在哪里？ 这个结论显然是错误的，但是问题发生在哪里？
对于积分 ∫ f ( x )dx 进行换元 x = ϕ ( t ) ，
求出 ∫ f (ϕ ( t ))ϕ ′( t )dt = G ( t ) + c 之后， 必须用反函数 t = ϕ −1 ( x ) 回代 ,
1 . ∫ f ( x )dx = G (ϕ − ( x )) + c 才能得出最后结果
这个例题说明： 这个例题说明：
利用换元法 x = ϕ (t ) 计算定积分时 ，
必须注意新变量 t 的变化范围 , 明确 t 和 x 的取值对应关系 .
这一不仅关系到积分上下限的确定， 这一不仅关系到积分上下限的确定， 还可能涉及到被积函数的形式的确定． 还可能涉及到被积函数的形式的确定．
关于两个换元积分法的小结
积分换元法
不定积分换元法 定积分换元法 联系与区别 实例分析
定理１ （不定积分换元法） 定理１:（不定积分换元法）
假设 f ( x ) 连续 ， 单调，连续， 函数 x−1 ( x ) . 如果 ∫ f (ϕ ( t ))ϕ ′( t )dt = G ( t ) + c , 则有
2 2 a
( a > 0)
详细分析不定积分换元法和定积分换元法的异同. 详细分析不定积分换元法和定积分换元法的异同 计算两种积分都需要作换元 x = a sin t dx = a cos tdt (1)两者的第一个区别是： (1)两者的第一个区别是： 两者的第一个区别是
的变化范围： 0 定积分必须说明变量 t 的变化范围： ≤ t ≤
解: 等式 − ∫
dt t + t2 + 1
= − I 是不成立的 .
虽然在形式上， 虽然在形式上， 1 1 和 是相同的函数关系 , t + t4 + 1 x + x4 + 1 但是他们不相等.因为 x 和 t 不是互相独立的变量 . 但是他们不相等. 注释: 这个例子告诉我们， 注释 这个例子告诉我们，
2 2
才能得到最终结果. 才能得到最终结果.
a 另一方面， 另一方面， 对于定积分 ∫0 a 2 − x 2 dx ，
用换元 : x = a sin t 将其转化为另一个定积 分 ：
=a
2
π /2
0
∫ cos tdt
2
直接计算着个积分就可以了. 直接计算着个积分就可以了.
例题： 例题： = ∫ I
2 2 2 2
a − x = a cos t
2 2
1 + cos 2t a2 1 2 dt = ( t + sin t cos t ) + c =a ∫ 2 2 2
但是对于定积分的换元法， 但是对于定积分的换元法， 由于 x 在 [0,1] 中变化时 ，
t 对应地在 [0 ， ] 中变化 ， 所以 a 2 − x 2 = a cos t . 2
( 2 ) ϕ ′( t ) 在 [α , β ] 连续 ；
( 3) 当 t 在 [α , β ] 变动时 ，ϕ ( t ) 不超出 [a , b] .
则有
b ∫a
β f ( x )dx = ∫α f (ϕ ( t ))ϕ ′( t )dt
定积分元法与不定积分换元法的比较
以 ∫ a − x dx 和 ∫0 a 2 − x 2 dx 为例
∫ f ( x )dx = ∫ f (ϕ (t ))ϕ ′(t )dt
= G (ϕ ( x )) + c
−1
定理2: 定积分的换元积分法） 定理 :（定积分的换元积分法）
x 假设 f ( x ) 在 [a , b] 连续 ， = ϕ ( t ) 在 [α , β ] 连续 .
并且满足下列条件： 并且满足下列条件： (1) ϕ (α ) = a , ϕ ( β ) = b ;
求出 ∫ f (ϕ ( t ))ϕ ′( t )dt = G ( t ) + c 之后 ，
必须用反函数 t = ϕ −1 ( x ) 代入 ，
得到 ∫ f ( x )dx = G (ϕ −1 ( x )) + c .
b 定积分换元法的目的是 计算定积分 ∫a f ( x )dx
b β 方法是将定积分 ∫a f ( x )dx 转化为 ∫α f (ϕ ( t ))ϕ ′( t )dt
π
第三个问题是： 第三个问题是： 求出不定积分
1 + cos 2t a2 1 2 a ∫ dt = ( t + sin t cos t ) + C 2 2 2
以后， 以后，必须将变量 t 还原成 x = ϕ −1 ( t ) ， 进一步得到
1 x 2 2 2 ∫ a − x dx = 2 ( x a − x + a arcsin a ) + c
π
2 对于不定积分得换元法则没有这个必要． 对于不定积分得换元法则没有这个必要．
.
第二个问题是： 第二个问题是：
a − x = a cos t ? 还是 a 2 − x 2 = − a cos t ?
2 2
不定积分重视形式运算,可以取 不定积分重视形式运算 可以取 于是
∫ a − x dx =a ∫ cos tdt
不定积分的换元积分法与定积分的换元积分法， 不定积分的换元积分法与定积分的换元积分法，有 相近的思路和大体相同的过程.但是， 相近的思路和大体相同的过程.但是，两者要解决的 问题不同，因此所需要的条件不同， 问题不同，因此所需要的条件不同，解决问题的过程 也有重大区别. 也有重大区别. 不定积分的换元法目的 是求 f ( x ) 的原函数 F ( x ) ,
− 例题: 计算 ∫ − 2 2 例题
dx x x2 − 1
.
解: 令 x = sec t ， x = sec t tan tdt d 2 3 当 t 在 [ π , π ] 变化时 , x 对应地在 [−2,− 2 ] 变化 . 3 4 3π 2π x 时， = − 2 . 当t = 时 x = −2 , t = 4 3 2 3 tan 当 t ∈ [ π , π ] 时 ， t > 0 , 所以 tan 2 t = − tan t . 3 4 于是 3π 3π π dx sec t tan t − 2 4 dt = − ∫ 2 π d t = − = ∫ 24π ∫ −2 2 3 3 sec t ( − tan t ) 12 x x −1