第六章含耦合电感电路的计算解析
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互感、含有耦合电感电路的计算
互感消去法
互感消去法的概念
互感消去法是指通过一定的数学变换， 将含有耦合电感的电路中的互感消去， 从而得到简化的等效电路。这种方法适 用于求解含有多个耦合电感的复杂电路 。
VS
互感消去法的应用
互感消去法在电路分析和设计中具有重要 的应用价值。它可以用于简化含有多个耦 合电感的复杂电路，降低计算难度。同时 ，互感消去法还可以用于指导实际电路的 设计和调试，提高设计效率和准确性。
互感现象的应用
互感现象在电力系统和电子电路中有 着广泛的应用，如变压器、电感器、 振荡电路等。
互感系数
互感系数的定义
两个线圈之间的互感系数定义为当其中一个线圈中的电流以1安培/秒的速率均 匀变化时，在另一个线圈中所产生的感应电动势的大小。
互感系数的计算
互感系数可以通过实验测量得到，也可以通过计算得到。对于两个共轴放置的 线圈，其互感系数可以通过线圈的匝数、半径、相对位置等参数计算得到。
储能与互感系数的关系
在含有耦合电感的电路中，储能的大小与互感系数密切相关。当互感系数增大时，线圈之间的磁耦合增强，储能 也会相应增加。反之，当互感系数减小时，磁耦合减弱，储能也会减少。因此，在设计含有耦合电感的电路时， 需要根据实际需求选择合适的互感系数以实现所需的储能效果。
06
应用实例分析
实例一：含有耦合电感电路的计算
T型等效电路
T型等效电路的概念
T型等效电路是指将含有耦合电感的电路转化为T型网络形式 的等效电路。T型网络是一种三端网络，具有两个输入端和一 个输出端。
T型等效电路的应用
T型等效电路在电路分析和设计中具有重要的应用价值。它可 以用于简化含有耦合电感的复杂电路，提高计算效率。同时 ，T型等效电路还可以用于指导实际电路的设计和调试。
含耦合电感电路的分析
厶鲁± 鲁ｌ
Ｊ ｄｔ
堕
ｄｔ
（１）
１．１耦合 电感 的串联
当两耦合 电感异名端相接 （即首尾相接 ）、
且流过 同一 电流时，称为耦合电感顺串。当两
耦合 电感 同名端 相接 （即 首首相 接或 尾尾 相
接）、且流过 同一电流 时，称为耦合 电感反 串。
可以证 明，其去耦等 效电感 为：
将表达式中的互感系数 Ｍ 变为 ．Ｍ 即可。
１２６ ·电子技术与软件工程 Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ＆Ｓｏｆｔｗａｒｅ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ
Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ· 电子技术
图 ３：空芯变压 器的相 量模 型
图 ７：考虑绕组 电阻和铁芯损耗的变压器等效电路
Ｚ２：
图 ４：空芯变压器去耦等效 电路
“１＝＋ｎｕ２ Ｊ
ｆ２＝￣－ｎｉ，Ｊ
图 （７）中，变压 器二次侧 电阻损耗和漏
（６） 电感 已折合到一次侧
式 （６）中，当两绕组 电压正极 性端为 同 ５ 结语
名端 （如 图 ５中所 示 ）时， 电压 取 “＋”号，
电流 取 “．”号； 当两绕组 电压 正极性 端为 异
式 （１）中，Ｍ 前 取 “＋”号 。对 正 弦交 流 电路，式 （１）可 以用相量 形式表 示，对应 的受控源去耦等效 电路如图 １（ｂ）所示。
（２）两端 口电流参考方 向从异 名端流入 。 此 时，是将 电路模 型 图 ｌ（ａ）中 Ｌ 的同 名端标记在 下端 。同样可得 基尔霍 夫电压 方程 如式 （１）所 示， 只是 Ｍ 前 取 “一” 号。对 正 弦交流 电路 ，其对应 的受控源去耦等效电路， 只需将 图 １（ｂ）中受控源 的极性反 向标记即可 。 用受 控源 去耦 等效 电路 求解 ，虽然 比较 直观、容易理解，但需列写复杂 电路方程 ，尤 其对于不 同连接形式 的耦合 电感 ，电路方程及 解题过程更加麻烦 。以下分析几种耦合 电感在
互感、含有耦合电感电路的计算
感元件。
互感的计算
03
根据耦合电感的绕向和匝数，可以计算出互感的大小和方向。
耦合电感电路的相量分析法
相量表示
将时域的电压和电流用相量表示，以便进行 复数运算。
相量图的绘制
根据电路元件的电压和电流关系，绘制相量 图。
相量方程的建立
根据相量图，建立耦合电感电路的相量方程。
耦合电感电路的瞬态分析法
初始条件的设定
线圈和磁芯组成。
当交流电压施加在初级线圈上时， 会在磁芯中产生交变磁场，进而 在次级线圈中产生感应电动势。
变压器通过调整初级和次级线圈 的匝数比，可以实现电压的升高
或降低。
计算实例二：滤波器设计中的耦合电感应用
滤波器是用于滤除特定频率信号的电路，耦合电感在滤波器设计中具有重要作用。
通过合理设计耦合电感的匝数、磁芯材料和气隙等参数，可以调整滤波器的传递函 数和通带特性。
互感与含有耦合 电感电路的计算
目录
• 互感与耦合电感的基本概念 • 互感的基本性质与计算 • 耦合电感电路的分析方法 • 含有耦合电感电路的计算实例 • 总结与展望
01
互感与耦合电感的基本概 念
互感的定义
互感现象
当一个线圈中的电流发生变化时 ，在临近的另一个线圈中产生感 应电动势，叫做互感现象。
THANKS
感谢观看
含有耦合电感电路的计算
01
耦合电感的串联与并联
当两个耦合电感串联或并联时，可以通过计算每个电感的磁通量之和或
差来求解总磁通量，进而求得总互感。
02 03
含有耦合电感的电路分析
对于含有耦合电感的电路，可以使用电路分析的方法求解各元件的电压、 电流和功率等参数。在分析时需要注意耦合电感对电路性能的影响，如 传输特性、阻抗匹配等。
第六章 含耦合电感电路的计算
134第六章 含耦合电感电路的计算本章摘要：重点介绍耦合电感和理想变压器两种元件的VCR ，还介绍互感、耦合系数、耦合电感的同名端，以及空心变压器的概念，并讨论含耦合电感电路的分析方法。
6.1 耦合电感耦合电感（Coupled inductor ）是耦合线圈的电路模型。
所谓耦合，在这里是指磁场的耦合。
是载流线圈之间通过彼此的磁场相互联系的一种物理现象。
一般情况下，耦合线圈由多个线圈组成。
不失一般性，这里只讨论一对线圈的耦合情况，它是单个线圈工作原理的引伸。
图6.1即为一对载流耦合线圈。
设耦合线圈的自感分别为L 1、L 2，匝数分别为N 1、N 2。
当各自通有电流i 1和i 2时（称i 1、i 2为施感电流），其产生的磁通和彼此相交链的情况要根据两个线圈的绕向、相对位置和两个电流i 1、i 2的参考方向，按右手螺旋定则来确定。
设线圈1中的电流i 1产生的磁通为φ11，方向如图6.1所示。
在穿过自身的线圈时，所产生的磁通链设为ψ11，并称之为线圈1的自感磁通链。
由于线圈1、2离得较近， φ11中的一部分或全部与线圈2交链产生的磁通链设为ψ21，并称之为互感磁通链。
同样的道理，电流i 2会在线圈2中产生自感磁通链ψ22，并在线圈1产生互感磁通链ψ12。
这样，每个线圈中的磁通链等于自感磁通链和互感磁通链两部分的代数和。
设线圈1、2中的磁通链分别为ψ1、ψ2， 则有12111ψψψ±= （6-1）图6. 1 耦合线圈及其电压、电流和磁通的参考方向13522212ψψψ+±= （6-2） 2111Mi i L ±=ψ (6-3) 2212i L Mi +±=ψ （6-4） 式(6-3)、(6-4)中M 称为互感(mutual inductance)，单位为亨（H ）。
(6-3)，(6-4)式表明，耦合线圈中的磁通链与施感电流成线性关系，是各施感电流独立产生的磁通链的叠加。
含有耦合电感电路的计算
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例2-3
求图示电路的开路电压。
I1 R1 • L1
M12
L2
•
Us +
解法1
_
M31 L3 *
*+
M23 U oc
_
•
I1
R1
U s
j(L1 L3
2M )31
Uoc jM12I1 jM 23I1 jM I 31` 1 jL3I1
j(L3 M12 M 23 M 31)Us R1 j(L1 L3 2M31)
M31 L3+M12 –M23
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L1–M12 +M23 –M13 L2–M12–M23 +M13
Us + I1 R1
_
+
L3+M12–M23 –M13
U
_
oc
I1
R1
U s
j(L1 L3
2M31)
U oc
j(L3 M12 M 23 M 31)Us R1 j(L1 L3 2M31)
C
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解
R1
+ + R2
i1 1uS － －ki12
* L1
M3
* L2
(R1 jL1)I1 CjL1I3 jM (I2 I3) US
(R2 jL2 )I2 jL2I3 jM (I1 I3) kI1
(
jL1
jL2
j1
C
)I3
jL1I1
jL2 I2
jM (I3 I1) jM (I3 I2 ) 0
R1 jL1
I + U 1 *•
+
jM
– *+
互感耦合电路解析
电压与电流的大小以及相位关系如下：
uM2 MI1
uM1 MI2
i uM 2 较 1超前 90
u M 1较 i2 超前 90
用相量表示：
•
U M2
MI190
X M I190
•
U M1
MI290
X M I 290
XM
M
具有电抗的性质，称为互感抗，
单位与自感抗相同，也是
当两个线圈通入电流，所产生的磁通量为相 同方向时，两个线圈的电流流入端（或流出） 为同名端，用符号“• ”或“﹡”标记
互感电压与产生它的电流对同名端的参考方
向一致
u M 1的参考方向
是1正2负
uM 2 的参考方向 是3正4负
互 具有互感的两个线圈串联，有两种连接方
感 式：顺向串联和反向串联 顺向串联: 将两个线圈的异名端连在一起
线
形成一个串联电路，电流均由
两个线圈同名端流入（或流出）
圈
的 串
u LS
其中：
i t
M
、
k
L1L2
其中：L1 L2 分别是线圈1和线圈2中的自感
k 接近于零时——弱耦合
k 近似为1时——强耦合
k =1——两个线圈为全耦合，自感磁通全
部为互感磁通
u M2
21
t
M
i1 t
u M1
12
t
M
i2 t
结论：互感电压与产生它的电流的变化率成正比，与
互感成正比
当两个线圈通过正弦交流电流时，互感
第6章 互感耦合电路
本章内容
3.1 互感 3.2 互感线圈的串联
3.3 变压器
互 感
互感现象：由于一个线圈的电流变化，导致
uM2 MI1
uM1 MI2
i uM 2 较 1超前 90
u M 1较 i2 超前 90
用相量表示：
•
U M2
MI190
X M I190
•
U M1
MI290
X M I 290
XM
M
具有电抗的性质，称为互感抗，
单位与自感抗相同，也是
当两个线圈通入电流，所产生的磁通量为相 同方向时，两个线圈的电流流入端（或流出） 为同名端，用符号“• ”或“﹡”标记
互感电压与产生它的电流对同名端的参考方
向一致
u M 1的参考方向
是1正2负
uM 2 的参考方向 是3正4负
互 具有互感的两个线圈串联，有两种连接方
感 式：顺向串联和反向串联 顺向串联: 将两个线圈的异名端连在一起
线
形成一个串联电路，电流均由
两个线圈同名端流入（或流出）
圈
的 串
u LS
其中：
i t
M
、
k
L1L2
其中：L1 L2 分别是线圈1和线圈2中的自感
k 接近于零时——弱耦合
k 近似为1时——强耦合
k =1——两个线圈为全耦合，自感磁通全
部为互感磁通
u M2
21
t
M
i1 t
u M1
12
t
M
i2 t
结论：互感电压与产生它的电流的变化率成正比，与
互感成正比
当两个线圈通过正弦交流电流时，互感
第6章 互感耦合电路
本章内容
3.1 互感 3.2 互感线圈的串联
3.3 变压器
互 感
互感现象：由于一个线圈的电流变化，导致
6-含耦合电感元件的电路及三相电路
，求电流 I L 。
•
•
Is
R1
& Us
L2
•
IL
L1 + M
& Us
−M
•
•
IL
L2 + M
I
RL
I
R2
RL
R2
空心变压器的去耦等效电路： 空心变压器的去耦等效电路：
• •
1 I1
+
•
jωM jωL1 R1
I2
jωL2 R2
2
+
•
Us
U2
Z L = RL + jX L
1′
2′
& I1 1 jω (L1 − M ) jω (L2 − M ) 2
dW = p ，得 dW = L1i 1 di1 + L2 i 2 di2 ± Μ d(i1i2 ) 由 dt
i 时刻， 设 i1 (0) = 0，2 (0) = 0 ，到t时刻，耦合电感元件储存的能量为 时刻
1 2 1 2 W (t ) = L1 i1 (t ) + L2 i2 (t ) ± Μ i1 (t )i2 (t ) 2 2
U2
U1
-
1′
-
2′
+ jωM I 1′
+ jωM I 1
U2
2′
6-2 含有耦合电感元件的 正弦电流电路的分析
一、空心变压器的电路模型
• •
1 I1
+
•
jωM jωL1 R1
I2
jωL2 R2
2
+
•
1
•
Z11
+
Z in
第六章 磁耦合电路分析
第六章 磁耦合电路分析6-1 学习要求（1）了解耦合电感元件的定义、互感M 的物理意义和耦合电感的电路符号；了解同名端的意义，并会判定同名端；能正确写出耦合电感的伏安关系方程，包括时域微分方程和相量方程； （2）会画耦合电感的去耦等效电路，并会用“去耦法”求解简单电路的等效电感； （3）会用“直接法”和去耦等效电路法，分析计算含耦合电感的正弦稳态电路；（4）了解理想变压器的定义及电路符号；了解变比的定义；能正确写出理想变压器的伏安关系方程，包括时域微分方程和相量方程；（5）了解阻抗变换的意义，并会进行阻抗变换计算； （6）会用“直接法”、阻抗变换法和等效电源定理法分析含理想变压器的简单电路。
6-2 主要内容1、互感与互感元件（1）自磁通与互磁通、自磁链与互磁链和自感与互感设线圈1的电流为1i 、匝数为1N ，线圈2的电流为2i 、匝数为2N ，如图6-44（a ）所示。
则电流为1i 产生的全部穿过线圈1 的磁通，称为线圈1的自磁通，用11Φ表示；由电流为2i 产生的全部穿过线圈2 的磁通，称为线圈2的自磁通，用22Φ。
11Φ中与线圈2相链的磁通21Φ，称为线圈1对线圈2的互磁通；22Φ与线圈1相链的磁通12Φ，称为线圈2对线圈1的互磁通。
11Φ中的一部分1σΦ只与线圈1相链，1σΦ称线圈1的漏磁通，故有11211σΦ=Φ+Φ。
22Φ中的一部分2σΦ只与线圈2相链， 2σΦ称线圈2的漏磁通，故有22122σΦ=Φ+Φ。
()a ()b图6-44 互感元件及其电路符号 （a ）互感元件 （b ）电路符号线圈1的自磁链11ψ和线圈2的自磁链22ψ分别为11111N ψ=Φ， 22222N ψ=Φ 线圈1对线圈2的互磁链21ψ和线圈2对线圈1 的互磁链12ψ分别为21221N ψ=Φ， 12112N ψ=Φ 线圈1自感和线圈2的自感分别为11111111L N i i ψΦ==， 22222222L N i i ψΦ== 线圈1对线圈2的互电感21M 和线圈2对线圈1的互电感12M 为212121211M N i i ψΦ==， 121212122M N i i ψΦ== （2）耦合电感元件与耦合系数彼此靠近的两个或多个线圈，若认为它们本身的电阻均为零，则这样的两个或多个线圈即构成了一个互感元件，也称耦合电感元件。
含有耦合电感的电路计算
通过优化元件参数和拓扑结构，实现了高线 性度、低失真的信号放大器电路。
THANKS
感谢观看
互感系数
定义
互感系数是衡量两个线圈之间磁耦合强度的物理量，用符 号M表示。
计算公式
互感系数M与线圈的匝数、线圈之间的距离、线圈的相对位 置等因素有关，计算公式为M=k*sqrt(L1*L2)。
应用
互感系数在含有耦合电感的电路计算中具有重要意义，是 计算感应电动势和磁能量传递的关键参数。
02
含有耦合电感的电路分析
VS
磁路平衡方程
在含有耦合电感的电路中，磁路平衡方程 是描述磁场能量守恒的方程。对于两个串 联耦合电感，其磁路平衡方程为：$H = NPhi$，其中H是磁场强度，N是线圈匝数， $Phi$是磁通量；对于两个并联耦合电感， 其磁路平衡方程为：$B = mu H$，其中B 是磁感应强度，$mu$是磁导率，H是磁场 强度。
01 总结词
直接计算法是一种基本的电路 计算方法，适用于简单的电路 系统。
02
详细描述
直接计算法是根据电路的基本 定律（如基尔霍夫定律）和元 件的特性方程，直接求解电路 变量的方法。对于含有耦合电 感的电路，可以通过建立和解 决相应的方程组来找到电流和 电压。
03
适用范围
04
适用于耦合系数较小、电路结构 简单的系统。
ERA
在电力系统的应用
用于实现高压输电的变压器
耦合电感在电力系统中主要用于实现高压输电。通过变压器，可以将低电压转换 为高电压，以减少电流的损失，从而降低线路损耗。
在通信系统的应用
用于信号传输和接收的设备
在通信系统中，耦合电感常用于信号传输和接收设备，如无线电和电视接收器。通过调整耦合电感的参数，可以控制信号的 传输和接收质量。
THANKS
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互感系数
定义
互感系数是衡量两个线圈之间磁耦合强度的物理量，用符 号M表示。
计算公式
互感系数M与线圈的匝数、线圈之间的距离、线圈的相对位 置等因素有关，计算公式为M=k*sqrt(L1*L2)。
应用
互感系数在含有耦合电感的电路计算中具有重要意义，是 计算感应电动势和磁能量传递的关键参数。
02
含有耦合电感的电路分析
VS
磁路平衡方程
在含有耦合电感的电路中，磁路平衡方程 是描述磁场能量守恒的方程。对于两个串 联耦合电感，其磁路平衡方程为：$H = NPhi$，其中H是磁场强度，N是线圈匝数， $Phi$是磁通量；对于两个并联耦合电感， 其磁路平衡方程为：$B = mu H$，其中B 是磁感应强度，$mu$是磁导率，H是磁场 强度。
01 总结词
直接计算法是一种基本的电路 计算方法，适用于简单的电路 系统。
02
详细描述
直接计算法是根据电路的基本 定律（如基尔霍夫定律）和元 件的特性方程，直接求解电路 变量的方法。对于含有耦合电 感的电路，可以通过建立和解 决相应的方程组来找到电流和 电压。
03
适用范围
04
适用于耦合系数较小、电路结构 简单的系统。
ERA
在电力系统的应用
用于实现高压输电的变压器
耦合电感在电力系统中主要用于实现高压输电。通过变压器，可以将低电压转换 为高电压，以减少电流的损失，从而降低线路损耗。
在通信系统的应用
用于信号传输和接收的设备
在通信系统中，耦合电感常用于信号传输和接收设备，如无线电和电视接收器。通过调整耦合电感的参数，可以控制信号的 传输和接收质量。
电路基础第6章 耦合电感电路的分析
6.1.3 耦合线圈的同名端和互感电压 实际应用中，有时需要知道耦合线圈产生的互感电压的极
性，为方便分析，引入同名端的概念。 1．同名端
两个具有磁耦合的线圈，当电流分别从两个线圈的对应端 钮同时流入或流出时，若产生的磁通相互增强，则这两个对 应端钮称为两互感线圈的同名端，用小圆点“·”或星号“*” 等符号作标记。
Ψ1＝L1i1±Mi2
Ψ2＝L2i2±Mi1
互感系数M的数值取决于两个耦合线圈的几何尺寸、匝数、相
对位置和媒介质。当媒介质是非铁磁性物质时，M为常数。
2. 耦合因数 耦合因数k定量描述两个耦合线圈的耦合紧密程度，即
k M L1 L2
0≤k≤1。 当k =1时，说明两个线圈耦合得最紧，没有漏磁通，因此产 生的互感最大，这种情况又称为全耦合，如图（a）。 当k = 0时，说明线圈产生的磁通互不交链，因此不存在互感 如图（b）。
无论何时，在同一个变化磁通的作用下，耦合线圈同名端 产生的感应电压的极性总是相同的，即同名端有同极性，因 此同名端也称为同极性端。 2. 互感电压
如果每个线圈的电压、电流为关联参考方向，且每个线圈 的电流与该电流产生的磁通符合右手螺旋法则，则有每个线 圈两端的电压为
u1
d 1
dt
L1
di1 dt
仍可采用前面介绍的相量法进行分析计算，但应注意耦合电
感上的互感电压。
本节主要介绍耦合电感的电路模型和去耦等效法在含有耦
合电感电路分析中的应用，讨论如何将耦合电感用无耦合的
电路来等效替代。
6.2.1 应用耦合电感电路模型的分析计算 耦合电感可用电感元件和电流控制电压源CCVS来模拟，注
意受控电压源的极性。图（b）中，电感L1和L2之间已经没有 耦合关系，称为去耦，则可利用前面介绍的各种电路分析法 进行计算。
第6章含有耦合电感的电路
结束
措施1：直接列写方程法 与一般电路相比，在列写互感电路方程时，必须 考虑互感电压，并注意极性。 对互感电路旳正弦稳态分析，用相量形式。
措施2：互感消去法(去耦等效法) 经过列写、变换互感电路旳VCR方程，能够得到一 种无感等效电路。 分析计算时，用无感等效电路替代互感电路即可。
10/10/2023
10/10/2023
. I
R1
jwL1
.
+ + U1
-
.
jwM
U
jwL2
-
+ 结束 R2 .
U2
-
去耦等效电路为
. I
R1 jw(L1+M)
.
+ + U1 - +
.
R2 .
U
U2
jw(L2+M)
-
-
23
解题指导：电路如图，
. I
R1
L1
M
L2
R2
L1=0.01H，L2=0.02H + +
R1=R2=10W，C=20mF，
用于可控硅中频电源、中频电炉、超音频电源 旳降压、增流或升压隔离旳中频变压器；
整流电源里使用旳电源变压器；电力变压器等；
它们都是耦合电感元件，熟悉此类多端元件旳 特征，掌握包括此类多端元件旳电路问题旳分 析措施非常必要。
10/10/2023
3
结束
中周线圈(中频变压器)、振荡线圈
10/10/2023
1'
i1
1 2'
1 i1
+
i2 2
+
u1
-
L1
L2
u2
措施1：直接列写方程法 与一般电路相比，在列写互感电路方程时，必须 考虑互感电压，并注意极性。 对互感电路旳正弦稳态分析，用相量形式。
措施2：互感消去法(去耦等效法) 经过列写、变换互感电路旳VCR方程，能够得到一 种无感等效电路。 分析计算时，用无感等效电路替代互感电路即可。
10/10/2023
10/10/2023
. I
R1
jwL1
.
+ + U1
-
.
jwM
U
jwL2
-
+ 结束 R2 .
U2
-
去耦等效电路为
. I
R1 jw(L1+M)
.
+ + U1 - +
.
R2 .
U
U2
jw(L2+M)
-
-
23
解题指导：电路如图，
. I
R1
L1
M
L2
R2
L1=0.01H，L2=0.02H + +
R1=R2=10W，C=20mF，
用于可控硅中频电源、中频电炉、超音频电源 旳降压、增流或升压隔离旳中频变压器；
整流电源里使用旳电源变压器；电力变压器等；
它们都是耦合电感元件，熟悉此类多端元件旳 特征，掌握包括此类多端元件旳电路问题旳分 析措施非常必要。
10/10/2023
3
结束
中周线圈(中频变压器)、振荡线圈
10/10/2023
1'
i1
1 2'
1 i1
+
i2 2
+
u1
-
L1
L2
u2
电路基础第6章 含有耦合电感电路的分析
考虑实际绕向，而只画出同名端及u、i参考方向即可。
M
*
*
i1
+ u21 –
u21
M
di1 dt
M
* i1
* – u21 +
u21
M
di1 dt
电路基础
6.1.2耦合电感的电压 当i1为时变电流时，磁通也将随时间变化，从而在线
圈两端产生感应电压。
当i1、u11、u21方向与 符合右手螺旋时，根据电磁
L1L2
L1L2
L1i1L2i2
11 22
当： k=1 称全耦合: 漏磁 s1 =s2=0 满足： 11= 21 ，22 =12
注意：耦合系数 k 与线圈的结构、相互几何位置、空
间磁介质有关。
电路基础
6.1.1耦合电感的同名端 对互感电压，因产生该电压的电流在另一线圈上，
因此，要确定其符号，就必须知道两个线圈的绕向。这在 电路分析中显得很不方便。为解决这个问题引入同名端的 概念。
空心线圈， 与i 成正比。当只有一个线圈时：
1 11 L1i1 L1为自感系数，单位亨(H)。
当两个线圈都有电流时，每一线圈的磁链为自磁链
与互磁链的代数和：
1 11 12 L1i1 M12i2
2 22 21 L2i2 M i21 1
称 M12、M21为互感系数，单位亨(H)。
0 t 1s 1 t 2s 2 t
10t 0 t 1s
i1 20 10t 1 t 2s
0
2 t
u(t)
R1i1
L
di1 dt
10100t0t 0
50 V 150V
M
*
*
i1
+ u21 –
u21
M
di1 dt
M
* i1
* – u21 +
u21
M
di1 dt
电路基础
6.1.2耦合电感的电压 当i1为时变电流时，磁通也将随时间变化，从而在线
圈两端产生感应电压。
当i1、u11、u21方向与 符合右手螺旋时，根据电磁
L1L2
L1L2
L1i1L2i2
11 22
当： k=1 称全耦合: 漏磁 s1 =s2=0 满足： 11= 21 ，22 =12
注意：耦合系数 k 与线圈的结构、相互几何位置、空
间磁介质有关。
电路基础
6.1.1耦合电感的同名端 对互感电压，因产生该电压的电流在另一线圈上，
因此，要确定其符号，就必须知道两个线圈的绕向。这在 电路分析中显得很不方便。为解决这个问题引入同名端的 概念。
空心线圈， 与i 成正比。当只有一个线圈时：
1 11 L1i1 L1为自感系数，单位亨(H)。
当两个线圈都有电流时，每一线圈的磁链为自磁链
与互磁链的代数和：
1 11 12 L1i1 M12i2
2 22 21 L2i2 M i21 1
称 M12、M21为互感系数，单位亨(H)。
0 t 1s 1 t 2s 2 t
10t 0 t 1s
i1 20 10t 1 t 2s
0
2 t
u(t)
R1i1
L
di1 dt
10100t0t 0
50 V 150V
耦合电感的计算
①若两电流均从同名端流入(或流出)，则磁通相助，互感 压降与自感压降同号，即自感压降取正号时互感压降亦取正 号，自感压降取负号时互感压降亦取负号。 ②若一个电流从互感线圈的同名端流入，另一个电流从互 感线圈的同名端流出，磁通相消，互感压降与自感压降异号， 即自感压降取正号时互感压降取负号，自感压降取负号时互 感压降取正号。只要按照上述方法书写，不管互感线圈给出 的是什么样的同名端位置，也不管两线圈上的电压、电流参 考方是否关联，都能正确书写出两线圈的电压、电流之间关 系式。
第6章 耦合电感电路 和理想变压器
（时间：4次课，8学时）
耦合电感和变压器在工程中有着广泛地应用。本
章首先讲述了耦合电感的基本概念，然后介绍了耦合 电感的去耦等效，最后分析了空心变压器电路，重点 讨论理想变压器的特性，从而对变压器有个初步认识。
第6章 耦合电感电路和理想变压器
6.1 耦合电感元件
12
i2
上面一式表明线圈1对线圈2的互感系数M21，等于穿越 线圈2的互感磁链与激发该磁链的线圈1中的电流之比。 二式表明线圈2对线圈1的互感系数M12，等于穿越线圈 1的互感磁链与激发该磁链的线圈2中的电流之比。 可以证明 M21=M12=M
我们以后不再加下标，一律用M表示两线圈的互感系 数，简称互感。互感的单位与自感相同，也是亨利（H）。
2 22 21 L2 i2 Mi1
11 ， 21 分别 22 分别为线圈1、2的自磁链； 12 ， 上式中， 为两线圈的互磁链。
设两线圈上电压电流参考方向关联，即其方向与各自 磁通的方向符合右手螺旋关系，则 d 2 di2 di 1 (6-6a)
u2 dt L2 dt M dt d 1 di1 di 2 u1 L1 M dt dt dt
第6章 耦合电感电路 和理想变压器
（时间：4次课，8学时）
耦合电感和变压器在工程中有着广泛地应用。本
章首先讲述了耦合电感的基本概念，然后介绍了耦合 电感的去耦等效，最后分析了空心变压器电路，重点 讨论理想变压器的特性，从而对变压器有个初步认识。
第6章 耦合电感电路和理想变压器
6.1 耦合电感元件
12
i2
上面一式表明线圈1对线圈2的互感系数M21，等于穿越 线圈2的互感磁链与激发该磁链的线圈1中的电流之比。 二式表明线圈2对线圈1的互感系数M12，等于穿越线圈 1的互感磁链与激发该磁链的线圈2中的电流之比。 可以证明 M21=M12=M
我们以后不再加下标，一律用M表示两线圈的互感系 数，简称互感。互感的单位与自感相同，也是亨利（H）。
2 22 21 L2 i2 Mi1
11 ， 21 分别 22 分别为线圈1、2的自磁链； 12 ， 上式中， 为两线圈的互磁链。
设两线圈上电压电流参考方向关联，即其方向与各自 磁通的方向符合右手螺旋关系，则 d 2 di2 di 1 (6-6a)
u2 dt L2 dt M dt d 1 di1 di 2 u1 L1 M dt dt dt
电路设计--含有耦合电感电路的计算
求内阻：Zi
M
R1 L1 L2
I 0
+ _
I a
R2程
R I jM I 0 ( R1 R2 jL1 ) I a 2 b b
R I jM I U ( R2 jL2 ) I b 2 a a 0
A
3Ω
B
j18.5Ω 5Ω
-
B
I
j13.5Ω
+
U
二、直接采用相量法
思 路：
①在正弦稳态情况下，有互感的电路的计算仍应用 前面介绍的相量分析方法。 ②注意互感线圈上的电压除自感电压外，还应包含 互感电压。 ③一般采用支路法和回路法计算。不推荐使用结点 分析法。
优、缺点 ：
灵活、适用面广，但在复杂的情况下 易出错。
优、缺点 ：
简便、直观，但不够灵活，适用范 围有限。
1、耦合电感的串联电路
耦合电感的串联有两种方式——顺向串连
反向串联
图13－7
（1）顺向串连的等效电路
di di di di u L1 M M L2 dt dt dt dt di ' di ( L1 L2 2 M ) L dt dt
10-2 含有耦合电感电路的计算
主要内容：
1、采用去耦等效电路。
2、直接采用相量法。
复习：
1、每个线圈的电压均 由自感电压和互感电压两 部分组成。
2、互感电压的极性由 电流方向和同名端共同决定。
一、去耦等效电路法
思 路：
先用耦合电感的等效电路（不含耦合） 做等效置换，再对等效后的电路进行分析 计算。
异侧T型
L1 + M
L2 + M -M
关于电感和耦合电感在电路中的计算公式问题
关于电感和耦合电感在电路中的计算公式问题电感是电路常用元件，经常在隔离耦合以及常规电路中用到，其电压、电流的计算式会因电感的使用情况有所不同，虽然只差一个正负号，但是会使人经常在电路分析中不知所措。
本文将详细介绍两个计算式的区别、联系以及使用场合。
首先介绍一下电感的有关参数。
这包括电压、电流、磁势F 、线圈匝数N 、磁场强度H 、磁通Φ、磁密B 、介质磁导率μ、截面积S 、磁阻R 、电感L 、磁路长度L 、磁链ψ。
其关系式如下:2=N*I=H =*BlF l l l R S SIN S d d d N S dI dI l U N N Ldt dt dt l dt dtμμμμψμΦ==Φ=Φ⎛⎫⎪Φ⎝⎭=====上述推导部分不理解不影响阅读下面的内容。
电路分析推导中需要规定正方向，在电工惯例中，电感的正方向是这样规定的：电流方向、螺线管缠绕方向与磁通方向遵守右手定则，电压方向沿电流方向，从正指向负。
需要强调的是，不论磁通是由于螺线管中的电流产生的还是由外磁场施加的，电流与磁通始终遵守右手定则。
如下图所示：下面对螺线管的实际问题进行分析。
① 两个螺线管耦合分析（互感）11Φ：线圈1的自感耦合磁链12Φ：线圈1来自线圈2的耦合磁链 21Φ：线圈2来自线圈1的耦合磁链 22Φ：线圈2自感耦合磁链假使一开始向线圈1通入上图所示方向的电流且是增大的，线圈2不通入电流。
那么线圈1产生的磁链耦合到线圈2，磁通增大。
线圈2的正方向如图所示。
根据电磁感应定律d U NdtΦ=-可以知道，电压是负值。
这就意味着电压与图所示正方向相反，是左负右正的。
感应电流如下图所示：还可以根据楞次定律：感生电流产生的磁场总是阻碍原磁场的变化，可以直接判断电流2i 是如上图所示方向。
电流产生的磁通21Φ22Φ阻碍了原磁场的变化。
② 螺线管通入电流（自感）在图示方向同入电流，假设电流正在增大，正方向如上图所示。
如果根据上面的方法使用楞次定律进行判断，为了阻止磁通增加，会感应出左负右正的电动势。
第六章含耦合电感电路的计算
结论：表示两个线圈相互作用，不再考虑实际绕向和相 对位置，只画出同名端及参考方向即可。
耦合电感的相量模型
i1 + u1 _ M i2 * L2
电路理论基础
* L1
u2 _
（1）施感电流均由同名端流入， 电压在同名端为“+‖，耦合电感的 + VCR时域形式： di1 di 2
M dt dt di 1 di 2 u2 M L2 dt dt u1 L1
L1：线圈1的自感系数；M21：线圈1对线圈2的互感系 数。(self-inductance coefficient) (mutual inductance coefficient) 单位：H 同理，当线圈2中通电流i2时会产生磁通22，12 。 i2 为时变时，线圈2和线圈1两端分别产生感应电压 u22 ， u12 。
可以证明：M12= M21= M。
电路理论基础
当两个线圈同时通以电流时，每个线圈两端的电 压均包含自感电压和互感电压：
di1 di2 u1 u11 u12 L1 M dt dt di1 di2 u2 u21 u22 M L2 dt dt
理想耦合线圈 的伏安关系
上式体现了线圈间的耦合作用，每个线圈的端电压 是自感电压与互感电压的叠加。 互感的性质 ①从能量角度可以证明，对于线性电感 M12=M21=M ②互感系数 M 只与两个线圈的几何尺寸、匝数 、 相 互位置和周围的介质磁导率有关，如其他条件不变时， 有 M N1N2 （L N2）
电路理论基础
第六章 含耦合电感电路的计算
第六章
含耦合电感电路的计算
电路理论基础
6. 1 耦合电感 6. 2 含有耦合电感电路的计算 6. 3 空心变压器 6. 4 理想变压器
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电路理论基础
1和2、1和3 ’为同名端，
i1
N1
1
* + u11
引入同名端可以解决这个问题。
同名端 ：当两个电流分别从两个线圈的对应端子流
入 ，其所产生的磁场相互加强时，则这两个对应端 子称为同名端。
耦合电感的同名端
电路理论基础
同名端的确定不仅与线圈的绕向有关，而且还与 线圈的相对位置有关。 图(a)两个线圈绕向不同，相对位置不同，则同名 端为1 和2’。图(b)两个线圈绕向相同，但相对位置不 同，则同名端为1 和2 。
电路理论基础
第六章 含耦合电感电路的计算
第六章
含耦合电感电路的计算
电路理论基础
6. 1 耦合电感 6. 2 含有耦合电感电路的计算 6. 3 空心变压器 6. 4 理想变压器
1、 互感现象
电路理论基础
自感现象
i1 ↕ →φ11 →ψ11(ψ11 = N1φ11) ↕ →u11(自感电压）
φ21 → ψ21(ψ21 = N2φ21) ↕ →u21(互感电压） 其中：N1 和N2为线圈匝数，为磁 通,ψ为磁通链。 互感现象 线圈2中没有i1 u12 u11 e1
i2
11
同样，在线圈2中有交流电流通 u21 过，在线圈1种也会产生感应电压。 在工作时，多个线圈之间有耦合作用。
21
2、耦合线圈的电流电压关系VCR
（1）单个线圈的VCR（复习） 磁链 是线圈中电流i的函数： = N = f (i) 其中：N为线圈匝数，为磁通
L1：线圈1的自感系数；M21：线圈1对线圈2的互感系 数。(self-inductance coefficient) (mutual inductance coefficient) 单位：H 同理，当线圈2中通电流i2时会产生磁通22，12 。 i2 为时变时，线圈 2 和线圈 1 两端分别产生感应电压 u22 ， u12 。
对互感电压，因产生该电压的电流在另一线圈 上，因此，要确定其符号，还必须知道两个线 圈的绕向。这在电路分析中显得很不方便。
11 s
1 ’和2’、1 ’和3 0 也为同名端 di 1 N N 2 3 i3 u21 M 21 i2 dt * 1’ 2 2’ 3 3’ di 1 – + u21 – + u31 – u31 M 31 dt
N1
i1 + u11 – +
电路理论基础
N2
u21 –
当 线 圈 1 中 通 入 电 流 i1 时 ， 在 线 圈 1 中 产 生 磁 通 (magnetic flux)，同时，有部分磁通穿过临近线圈 2 。当 i1为时变电流时，磁通也将随时间变化，从 而在线圈两端产生感应电压u21 。 当 i1、 u11、 u21方向与 符合右手定则时，根据电 磁感应定律和楞次定律：
耦合线圈的电流电压关系VCR
12
N1
电路理论基础
22
i2 – +
N2
+
u12
u22
–
dΨ12 dΦ12 di 2 u12 N1 M 12 dt dt dt dΨ22 dΦ22 di 2 u22 N2 L2 dt dt dt
Ψ12 ( M 12 ) i2 Ψ22 ( L2 ) i2
可以证明：M12= M21= M。
电路理论基础
当两个线圈同时通以电流时，每个线圈两端的电 压均包含自感电压和互感电压：
di1 di2 u1 u11 u12 L1 M dt dt di1 di2 u2 u21 u22 M L2 dt dt
理想耦合线圈 的伏安关系
上式体现了线圈间的耦合作用，每个线圈的端电压 是自感电压与互感电压的叠加。 互感的性质 ①从能量角度可以证明，对于线性电感 M12=M21=M ②互感系数 M 只与两个线圈的几何尺寸、匝数 、 相 互位置和周围的介质磁导率有关，如其他条件不变时， 有 M N1N2 （L N2）
耦合线圈的电流电压关系VCR
dΨ dΦ11 11 u11 N1 dt dt
电路理论基础
dΨ dΦ21 21 u21 N2 dt dt 互感磁链 u11：自感电压； u21：互感电压。
自 当线圈周围无铁磁物质(空心线圈)时，有 感 di1 di1 磁 Ψ11 L1i1 , Ψ 21 M 21i1 , u11 L1 dt , u21 M 21 dt 链
3、耦合电感的同名端
电路理论基础
具有互感的线圈两端的电压包含自感电压和互感电 压。表达式的符号与参考方向和线圈绕向有关。对 自感电压，当u, i 取关联参考方向，i与 符合右手 螺旋定则，其表达式为
dΨ11 dΦ11 di1 u11 N1 L1 dt dt dt
上式说明，对于自感电压由于电压电流为同一线圈 上的，只要参考方向确定了，其数学描述便可容易 地写出，可不用考虑线圈绕向。对线性电感，用u,i 描述其特性，当u,i取关联方向时，符号为正；当u,i 为非关联方向时，符号为负。
i 1
i
* *
(a)
2
1 1'
*
*
2 2'
1'
2'
(b)
确定同名端的方法： 当已知线圈的绕向和相对位置判断同名端要注意： 1、电流流入端 2、磁场加强 该端为同名端。
例6-1
1
电路理论基础
*
2 2'
*
3 3'
1'
实际中，线圈制好后，很难看出其绕向，用上 述的方法不能判断出同名端，但是同名端是与感应 电压和施感电流有关的。
由上述分析可以看出： 感应电压与施感电流的方向对同名端是一致的， 换句话讲，电流方向（参考方向）由一个线圈同名端 处流入，则在另一线圈的线圈同名端处产生的感应电 压的极性（或参考极性）必然为“+‖极性。
耦合电感(线圈绕向相同)的VCR
N1 N2
1
1
电路理论基础
i u e
电路理论基础
N
理想情况下，可用线性电感L作为线圈的电路模型。 电感元件的磁链 与电流 i 成正比: =L i
根据电磁感应定律与楞次定律， u dψ L di 电感线圈中的电压电流关系为： dt dt u, i 取关联参考方向
(2) 耦合线圈的电流电压关系VCR
11 21