高考数学探究利用高中数学拓展公式巧解高考或模拟试题

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★角平分线定理

如下图所示，若P 为ABC ∆中A ∠的内（外）角平分线与BC 的交点，则

PC

BP

AC AB =

。

【示例1】已知1F 、2F 分别为双曲线C ：127

92

2=-y x 的左、右焦点，点C A ∈，点M 的坐标为)02(，，AM 为21AF F ∠的平分线，则=2AF 。

【简答】：依据题意可得)0,6(1-F ，)0,6(2F ，因为AM 为21AF F ∠的平分线，且点M 的坐标为)02(，，所以由角平分线定理得

24

8

2

12

1==

=

MF M F AF AF ，即212AF AF =。 由双曲线的定义知6221==-a AF AF ，故可得62=AF 。

【示例2】已知I 是ABC ∆的内心，2=AC ，3=BC ，4=AB ，若AC y AB x AI +=，则y x +的值为（ ） （A ）

31 （B ）32 （C ）94 （D ）9

5

【简答】：如上图所示，因为I 是ABC ∆的内心，即AD 平分BAC ∠，BI 平分ABC ∠，所以由角平分线定理得

224===DC BD AC AB ，从而得23

2

==BC BD 224===ID AI BD AB ，AD AI 3

2

= （评注：目的是为了确定I D ,的位置） 所以)32(32)(3232BC AB BD AB AD AI +=+==

BC AB 9

4

32+= 9492)(9432+=-+=

，即3

2

9492=+=+y x ，故选B 。 【示例3】已知双曲线C ：122

22=-b

y a x 的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M ，

交另一条渐近线于N 。若=2，则双曲线的离心率=e 。

【简答】：如上图所示，因为)(2

2

2

b a

c c OF +==，所以依据题意可得b MF =，a OM =，b FN 2=。

注意到，x 轴为MON ∠的平分线，所以由角平分线定理可得到

2

1

==FN MF ON OM ，所以a ON 2= 进而在直角三角形OMN 中，由勾股定理可得2

2

2

)2()2(a b b a =++，即3

1

22=a b

所以3

3

2311122=+=+=a b e

★广义托勒密定理（不等式）

设ABCD 为任意凸四边形，则BD AC AD BC CD AB ⋅≥⋅+⋅，当且仅当D C B A ,,,四点共圆时取等号。

【示例1】在平面四边形ABCD 中，1=AB ，5=AC ，BC BD ⊥，BC BD 2=，则AD 的最小值为 。

【简答】：依据题意可设t BC BD 22==，则t CD 5=。

所以由托勒密定理得，BD AC BC AD CD AB ⋅≥⋅+⋅ 即t t AD t 2551⋅≥⋅+⋅

化简得5≥AD ，故AD 的最小值为5。

【示例2】如图，在凸四边形ABCD 中，1=AB ，3=BC ，CD AC ⊥，CD AC =。当ABC ∠变化时，对角线BD 的最大值为 。

【简答】：依据题意可设t CD AC ==，则t AD 2=

。

所以由托勒密定理得，BD AC BC AD CD AB ⋅≥⋅+⋅ 即BD t t t ⋅≥⋅+⋅231

化简得61+≤BD ，故BD 的最大值为61+。

★阿波罗尼斯圆（轨迹问题）

若平面内一动点C 到两定点B A ,的距离之比等于非1的正常数λ，即

，

0(>=λλCB

CA 且)1≠λ，则此动点C 的轨迹即为阿波罗尼斯圆。

【示例1】满足条件2=AB ，BC AC 2=的三角形ABC 的面积的最大值是 。

【简答】：根据题意有

2=BC

AC

，

若把B A ,看作定点，C 看作动点，则由阿波罗尼斯圆的轨迹定义知点C 的轨迹为圆。不妨设)0,1(-A ，)0,1(B ，),(y x C ，由2

22BC AC =化简得8)3(2

2

=+-y x ，此即为动点

C 的轨迹方程，结合图形易知222222

1

21=⨯⨯=⨯⨯≤∆C ABC r AB S ，故A B C ∆面积的最大值为22。

★重心性质

（Ⅰ）0=++GC GB GA ；（Ⅱ）

2==GE

BG

GD AG （另一条中线亦如此）

； （Ⅲ）若),(11y x A ，),(22y x B ，),(33y x C ，则ABC ∆的重心G 的坐标为)3

,3(3

21321y y y x x x ++++； （Ⅳ）三条中线将ABC ∆分成6个面积相等的小三角形。

【1】ABC ∆中，

=++，且0=⋅，若C

m B A B A t a n t a n t a n t a n t a n =

+，则实数m 的值是 。

【简答】：因为C m B A B A tan tan tan tan tan =+，所以C

C m

B A B A B B A A cos sin cos cos sin sin cos sin cos sin =+

，即C C m B A C sin cos sin sin sin =；

所以2

222

2222222cos sin sin sin c

b a

c c b a ab ab c C B A C m -+=-+⋅== ①