2017 2018高中数学第二章数列24等比数列第1课时等比数列新人教A必修5

等比中项
(1)等比数列{an}中，a1＝18，q＝2，则 a4 与 a8 的等比中项是 (
)
A．±4
B．4
C．±14
1 D.4
(2)已知 b 是 a，c 的等比中项，求证：ab＋bc 是 a2＋b2 与 b2＋c2 的等比中项．
【精彩点拨】 (1)用定义求等比中项． (2)证明(ab＋bc)2＝(a2＋b2)(b2＋c2)即可．
1．在等比数列 {an}中，a1＝4，公比 q＝3，则通项公式 an＝________. 【解析】 an＝a1qn－1＝4·3n－1. 【答案】 4·3n－1
2．已知{an}是等比数列， a2＝2，a5＝14，则公比 q＝________. 【解析】 ∵a2＝a1q＝2，① a5＝a1q4＝14，② ∴② ÷①得： q3＝18，∴ q＝12.
(3)通项公式法：若数列 {an}的通项公式为 an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列
{an}是等比数列．
[ 再练一题 ] 1．已知数பைடு நூலகம் {an}是首项为 2，公差为－ 1 的等差数列，令 bn＝???12???an，求证数 列{bn}是等比数列，并求其通项公式．
【证明】 由已知得， an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n， 故bbn＋n 1＝???12??????123－???3?－n＋n 1?＝???12???3－(n＋1)－3＋n ＝???12???－1＝2， ∴数列 {bn}是等比数列． ∵b1＝???12???3－1＝14， ∴bn＝???14???×2n－1＝2n－3.
判断一个数列 {an}是等比数列的方法：
(1)定义法：若数列
{an}满足aan＋n 1＝q(q
为常数且不为零
)或
an an－1
＝q(n≥2，q
为
常数且不为零 )，则数列 {an}是等比数列． (2)等比中项法：对于数列{an}，若 a2n＋1＝an·an＋2 且 an≠0，则数列{an}是等比
数列．
2．4 等比数列
第1课时 等比数列
学 业 分 层 测 评
1．理解等比数列的定义． (重点) 2．掌握等比数列的通项公式及其应用． (重点、难点 ) 3．熟练掌握等比数列的判定方法． (易错点)
[基础·初探] 教材整理 1 等比数列的定义 阅读教材 P48～P49 倒数第一行，完成下列问题． 1．等比数列的概念 (1)文字语言： 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于 同一常数 ，那么 这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 公比 ，公比通常用字母 q 表示(q≠0)．
(2)符号语言： aan＋n 1＝ q (q 为常数，q≠0，n∈N*)．
2．等比中项 (1)前提：三个数 a，G，b 成等比数列． (2)结论： G 叫做 a，b 的等比中项． (3)满足的关系式： G2＝ ab .
判断(正确的打“√”，错误的打“×” ) (1)常数列一定是等比数列． ( ) (2)存在一个数列既是等差数列，又是等比数列． ( ) (3)等比数列中的项可以为零． ( ) (4)若 a，b，c 三个数满足 b2＝ac，则 a，b，c 一定能构成等比数列． ( )
B．由等比数列定义知该数列为等比数列． C．等比数列各项均不为 0，故该数列不是等比数列． D．当 a＝0 时，该数列不是等比数列；当 a≠0 时，该数列为等比数列． 【答案】 B
(2)证明：∵Sn＝2－an， ∴Sn＋1＝2－an＋1， ∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1，∴an＋1＝12an. 又∵ S1＝ 2－ a1， ∴a1＝1≠0. 又由 an＋1＝12an 知 an≠0， ∴aan＋n 1＝12， ∴{an}是等比数列．
(2)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝2－an，求证：数列 {an}是等比数列 .
【精彩点拨】 (1)利用等比数列的定义判定． (2)先利用 Sn 与 an 的关系，探求 an，然后利用等比数列的定义判定．
【自主解答】 (1)A.从第 2 项起，每一项与前一项的比不是同一常数， 故不 选 A.
【自主解答】 (1)由 an＝18·2n－1＝2n－4 知，a4＝1，a8＝24，所以 a4 与 a8 的等 比中项为 ±4.
【答案】 A
(2)证明：b 是 a，c 的等比中项，则 b2＝ac，且 a，b，c 均不为零， 又(a2＋b2)(b2＋c2)＝a2b2＋a2c2＋b4＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2， (ab ＋ bc)2 ＝ a2b2＋ 2ab2c ＋ b2c2 ＝ a2b2 ＋ 2a2c2 ＋ b2c2 ，所以 (ab ＋ bc)2 ＝ (a2 ＋ b2)·(b2＋c2)，即 ab＋bc 是 a2＋b2 与 b2＋c2 的等比中项．
【答案】
1 2
3．在等比数列 {an}中，已知 a2＝3，a5＝24，则 a8＝__________________.
【解析】
由
??a2＝ ???a5＝
a1q＝3， a1q4＝24，
?? 得?
a1＝32，
??q＝2，
所以 a8＝32×27＝192.
【答案】 192
[小组合作型 ] 等比数列的判断与证明 (1)下列数列是等比数列的是 ( ) A．2,2，－ 2，－ 2,2,2 ，－ 2，－ 2，… B．－ 1,1，－ 1,1 ，－ 1，… C．0,2,4,6,8,10 ，… D．a1，a2，a3，a4，…
教材整理 2 等比数列的通项公式 阅读教材 P49 倒数第 1 行～P51 例 3，完成下列问题． 1．等比数列的通项公式 一般地，对于等比数列 {an}的第 n 项 an，有公式 an＝ a1qn－1 .这就是等比数列 {an}的通项公式，其中 a1 为首项，q 为公比．
2．等比数列与指数函数的关系 等比数列的通项公式可整理为 an＝aq1·qn，而 y＝aq1·qx(q≠1)是一个不为 0 的常 数aq1与指数函数 qx 的乘积，从图象上看，表示数列 aq1·qn 中的各项的点是函数 y＝ aq1·qx 的图象上的 孤立 点．
【解析】 (1)×.因为各项均为 0 的常数列不是等比数列． (2)√.因为任何一个各项不为 0 的常数列既是等差数列，又是等比数列． (3)×.因为等比数列的各项与公比均不能为 0. (4)×.因为等比数列各项不能为 0；若 a，b，c 成等比数列，则 b2＝ac，但是 反之不成立，比如： a＝0，b＝0，c＝1，则 a，b，c 就不是等比数列． 【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)×