量子力学中的力学量
量子力学课后习题答案
量子力学习题及解答第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1）以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThce kT hc ehcλλλλλπρ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λnmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
量子力学_第三章3.8力学量期望值随时间的变化__守恒定律
2. 例子（运动恒量举例）
<1>自由粒子的动量
ˆ2 p ˆ 当粒子不受外力，即 H 时 2 ˆ p ˆ, H ˆ ] i [p ˆ ] j[p ˆ ] k[p ˆ]0 ˆ x,H ˆ y,H ˆ z,H 如果 0 ， [p t
dp 0 ，即为量子力学中的动量守恒定律。 则有 dt
ˆ 的本征值 C 1 。 所以 P
Байду номын сангаас
ˆ (x, t) (x, t) ； P ˆ (x, t) (x, t) 即： P 1 1 2 2
ˆ 的本征函数中本征值为 1 的 为有偶宇称态，本征值为 1 称P 1
的 2 为有奇宇称态。
ˆ 在空间反演不变时的宇称守恒： c. H
2 2 ˆ L 2 ˆ 2 , H] ˆ [L ˆ2 , ˆ2 , ˆ 2 , U(r)] 0 [L (r )] [L ] [L 2r 2 r r 2r 2 ˆ ,H ˆ ] 0； ˆ2 ,L ˆ ] 0 , [L ˆ ,H ˆ ] [L ˆ2 , L ˆ ]0， ˆ ,H ˆ ] [L ˆ2 , L ˆ ]0 [L [ L [L z x z
化。因 完全描写态，知道 ( r , t ) 后，即可求得每一个时刻 t 各 dinger 方 程 ， 故 o 力 学 量 的 变 化 。 而 态 ( r , t ) 的 变 化 遵 从 Schr
2 dinger 方程不仅可以直接描写 ( r , t ) 的变化，而且还能间 Schr o
二、守恒定律
ˆ 1 d F F ˆ 不显含时间 t ，即 ˆ,H ˆ ] 中，如果 F 1. 在运动方程 [F dt t i ˆ dF F ˆ ˆ ＝0，即 F 平均值不随 0 ，并且 [F, H] 0 (即对易)，则有 dt t
量子力学中力学量
位置期望值与测量
误差
位置期望值的测量误差取决于粒 子所处的量子态，对于某些特殊 量子态，位置期望值的测量误差 可能非常大。
03 动量算符与动量期望值
动量算符的定义与性质
动量算符
在量子力学中，动量算符是用来描述粒子动量的算符，其定义为-iℏ∂/∂x，其中ℏ是 约化普朗克常数，∂/∂x是偏导数算子。
自旋算符在量子力学中具有重要 的意义，因为粒子的自旋是一种 内禀自由度，与粒子的其他自由
度一样重要。
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02 位置算符与位置期望值
位置算符的定义与性质
位置算符
在量子力学中，位置算符是一个线性算子，用于描述粒子在空间中的位置状态。
位置算符的性质
位置算符具有连续性和对称性，其本征值和本征函数分别表示粒子的位置和概 率幅。
位置期望值的计算与意义
位置期望值
在量子力学中，位置期望值是指粒子在某个时刻 处于空间某点的概率幅的平均值。
04 角动量算符与角动量期望 值
角动量算符的定义与性质
定义
角动量算符是描述粒子角动量的物理量，通常用L表示。
性质
角动量算符具有旋转不变性，即系统绕某轴旋转时，角动量算符的值不会改变。此外，角动量算符还 具有对易关系，即L_x、L_y、L_z三个分量之间相互独立且不对易。
角动量期望值的计算与意义
性质
动量算符是线性算符，具有可对易性、连续性和时间演化等性质，这些性质在量 子力学中具有重要意义。
动量期望值的计算与意义
计算
动量期望值是描述粒子动量的统计平均值，可以通过将粒子态函数代入动量算符进行计算。
意义
动量期望值可以反映粒子在某一时刻的平均动量，对于理解量子力学中的波粒二象性以及测量问题具有重要意义。
量子力学中力学量的测量原理
量子力学中力学量的测量原理量子力学中力学量的测量引言•量子力学是一门研究微观世界的物理学理论，它描述了微观粒子的行为。
•在量子力学中，我们可以通过测量来了解粒子的性质和状态。
力学量•在经典力学中，力学量是描述物体运动状态的量，如速度、质量和位置等。
•在量子力学中，力学量也被称为可观察量，它们对应着物理量的算符。
物理量的算符•物理量的算符是量子力学中描述力学量的数学工具。
•量子力学中的物理量算符通常用大写字母表示，如位置算符为X，动量算符为P。
•利用物理量算符，我们可以对量子态进行测量，得到相应的物理量的数值结果。
测量的过程1.准备态：首先，我们需要准备一个量子态，描述了粒子的状态。
2.选择算符：根据我们想要测量的力学量，选择相应的算符。
3.作用算符：将选定的算符作用在量子态上，得到一组特定的本征态。
4.测量结果：进行实际测量，获取力学量的定量结果。
5.归一化：根据测量结果，归一化量子态，使其表示测量后的状态。
物理量的本征态和本征值•在量子力学中，力学量的本征态是力学量算符的本征方程的解。
•根据本征方程，每个力学量都有一系列对应的本征态，每个本征态对应着一个特定的本征值。
•本征值表示在测量时可能得到的物理量数值。
测量结果的统计性质•在量子力学中，测量结果通常是物理量的本征值，但测量结果是随机的。
•根据测量原理，我们只能预测测量结果出现的概率，无法预测具体的单次测量结果。
测量的不确定性原理•测量的不确定性原理是量子力学中一项重要的原理，它描述了力学量的不确定度之间的关系。
•根据该原理，对于某对不对易力学量（如位置和动量），不能同时精确地测量它们的值。
•不确定性原理对于解释某些现象（如波粒二象性）具有重要意义。
小结•在量子力学中，我们可以通过测量力学量来了解粒子的性质和状态。
•测量的过程涉及准备态、选择算符、作用算符、测量结果和归一化等步骤。
•测量结果是随机的，只能预测出现结果的概率。
•不确定性原理描述了力学量的不确定度之间的关系。
量子力学中的量子力学力学量的期望与方差
量子力学中的量子力学力学量的期望与方差量子力学是研究微观粒子行为的理论体系，它具有独特的物理规律和奇特的现象。
在量子力学中，描述粒子性质的力学量扮演着重要的角色。
而了解力学量的期望与方差对于理解粒子的行为和量子系统的描述起着至关重要的作用。
一、量子力学的基本概念了解量子力学中力学量的期望与方差之前，我们首先需要了解量子力学的基本概念和表述。
量子力学描述的对象是微观粒子，而不同于经典力学中粒子位置和动量的确定，量子力学中的粒子状态由波函数表示。
波函数是一个复数函数，它包含了粒子的全部信息。
在量子力学中，力学量用算符来表示，而这些算符对应着可观测的物理量，比如位置、动量、能量等。
如何计算力学量的期望值和方差，则是我们接下来要讨论的内容。
二、力学量的期望与方差力学量的期望值可以理解为对于同一量子态的多次测量结果的平均值。
在量子力学中，期望值可以通过力学量的算符（对应于力学量的数学表达式）作用于波函数得到。
对于某一力学量A，其期望值的计算公式为：⟨A⟩ = ⟨ψ|A|ψ⟩其中，|ψ⟩表示量子态的波函数。
利用算符作用于波函数后，可以得到一个新的波函数，然后再将其与原波函数进行内积，得到力学量的期望值。
方差则是表示每次测量结果与其期望值之间的偏离程度。
在量子力学中，对于某一力学量A，其方差的计算公式为：σ²(A) = ⟨(A - ⟨A⟩)²⟩其中，A - ⟨A⟩表示每次测量结果与期望值的差值，然后再对这些差值进行平方，再取平均值。
三、力学量的期望与方差的物理意义力学量的期望值和方差与量子系统的本征态（能量的本征态、动量的本征态等）以及不确定性原理密切相关。
首先，期望值作为力学量的平均值，反映了粒子在某一给定状态下的一般性质。
比如，在一个粒子处于能量本征态时，其能量的期望值就等于能级的本征值，这相当于经典力学中的能量。
其次，方差则表示了粒子在某一给定状态下对力学量测量结果的分散程度。
方差越小，说明测量结果越准确，即粒子对于该力学量的测量结果越稳定。
量子力学中的量子力学力学量的表示
量子力学中的量子力学力学量的表示量子力学是描述微观世界的物理学理论，它提供了一种描述粒子性质的数学框架。
在量子力学中，力学量是描述系统状态的物理量。
本文将探讨在量子力学中，如何表示力学量以及不同力学量的物理意义。
一、力学量的表示在经典物理学中，力学量通常可以用数值来表示，例如质量、速度、位移等。
然而，量子力学中的力学量不能简单地用数值表示，而是需要用算符表示。
力学量的算符通常用大写字母表示，比如位置算符X，动量算符P等。
对于某个具体的力学量，它的算符作用在波函数上，得到的结果是该力学量对应的本征值乘以波函数。
这可以用数学表达式表示为：AΨ = aΨ其中A是力学量的算符，Ψ是波函数，a是力学量的本征值。
这个方程称为力学量的本征值方程。
二、不同力学量的表示1. 位置算符在量子力学中，粒子的位置可以用位置算符X来表示。
位置算符的本征态是位置本征态，它表示粒子在某个确定的位置。
对于一维情况，位置本征态的波函数可以写为：Ψ(x) = δ(x - x0)其中x0是位置本征态对应的位置。
2. 动量算符动量算符P描述粒子的运动状态。
动量算符的本征态是动量本征态，它表示粒子具有某个确定的动量。
对于一维情况，动量本征态的波函数可以写为：Ψ(p) = e^(ipx/ħ)其中p为动量本征态对应的动量，ħ为普朗克常数除以2π。
3. 能量算符能量是量子力学中的另一个重要的力学量。
能量算符H描述粒子的能量状态。
能量算符的本征态是能量本征态，它表示粒子具有某个确定的能量。
能量本征态的波函数可以写为：Ψ(E) = e^(-iEt/ħ)其中E为能量本征态对应的能量，t为时间。
三、力学量的测量和物理意义在量子力学中，力学量的测量是通过对算符的作用得到的本征值来实现的。
当对某个力学量进行测量时，系统将处于该力学量的某个本征态上，从而得到相应的本征值。
力学量的本征值对应着可能的测量结果。
例如，对位置算符进行测量，可以得到粒子的位置值；对动量算符进行测量，可以得到粒子的动量值。
量子力学中的量子力学力学量的守恒定律
量子力学中的量子力学力学量的守恒定律量子力学是描述微观粒子行为的物理学理论，它揭示了微观世界中的各种现象和规律。
在量子力学中，存在着一些重要的力学量，它们的守恒定律是研究量子世界中物质运动和相互作用的基础。
本文将就量子力学中的一些重要力学量及其守恒定律展开讨论。
一、动量守恒定律在经典力学中，动量是质量乘以速度，通过质点的质量和速度来描述物体的运动状态。
在量子力学中，动量也是一个十分重要的量子力学力学量。
动量算符的本征值代表了相应粒子的运动状态。
量子力学中的动量守恒定律指出，在一个孤立系统中，粒子在相互作用过程中的总动量保持不变。
这可以通过量子力学中的动量算符对应的守恒定律来描述。
二、能量守恒定律能量是描述物体状态的一个基本物理量，它在物质的变化过程中起着至关重要的作用。
在量子力学中，能量也是一个极为重要的力学量。
根据量子力学的守恒定律，一个孤立系统中的总能量保持不变，这意味着在相互作用过程中，能量可以从一种形式转化为另一种形式，但总能量守恒。
这一定律是量子力学中能量守恒的基础。
三、角动量守恒定律角动量是描述物体围绕某一轴心旋转的运动状态的物理量。
在量子力学中，角动量也是一个非常重要的力学量。
根据量子力学的守恒定律，一个孤立系统中的总角动量保持不变。
这意味着，在相互作用过程中，物体的角动量可以通过转移、转换等方式进行变化，但系统的总角动量保持不变，这是量子力学的一个重要特征。
四、自旋守恒定律自旋是描述微观粒子自身旋转性质的物理量。
在量子力学中，自旋也是一个重要的力学量。
根据量子力学的守恒定律，一个孤立系统中的总自旋保持不变。
这意味着，在相互作用过程中，粒子的自旋可以发生变化，但总自旋守恒。
自旋守恒定律在量子力学的各个领域中都有重要的应用，特别是在粒子物理学中更为明显。
五、电荷守恒定律电荷是描述物质中基本粒子带有电性的特征，是量子力学中的一个重要力学量。
根据量子力学的守恒定律，一个孤立系统中的总电荷保持不变。
第三章-量子力学中的力学量 lt
第三章例题剖析1 一刚性转子转动惯量为I ，它的能量的经典表示式是ILH 22=，L 为角动量，求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数。
（1）转子绕一固定轴转动 （2）转子绕一固定点转动[解]：（1）ϕ∂∂-= i L zˆ 22222ˆˆϕ∂∂-= zL L2222222ˆ2ˆˆϕ∂∂-===I IL IL Hz能量的本征方程： )()(ˆϕψϕψE H =，or )()(2222ϕψϕψϕE I =∂∂- 引入 222IE =λ⇒=+0)()(222ϕψλϕψϕd dλϕϕψi Ae=)(由波函数的单值性 )()2(ϕψϕπψ=+λϕλϕπi i AeAe=+)2( ⇒ 12=πλi eππλn 22= ⇒ n =λ ,2,1,0±±=nIn E n 222 =∴，ϕψin Ae=其中 π21=A（2） IL H2ˆˆ2=，在球极坐标系中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-=22222sin 1sin sin 1ˆϕθθθθθ L 体系的能量算符本征方程：),(),(ˆϕθψϕθψE H= ),(),(sin 1sin sin 122222ϕθψϕθψϕθθθθθE I =⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂- ),(),(sin 1sin sin 1222ϕθλψϕθψϕθθθθθ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂其中22IE =λ，以上方程在πθ≤≤0的区域内存在有限解的条件是λ必须取)1(+l l ，),2,1,0( =l ，即 )1(+=l l λ ,2,1,0=l于是方程的形式又可写成),()1(),(sin 1sin sin 1222ϕθψϕθψϕθθθθθ+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂l l 此方程是球面方程，其解为),(),(ϕθϕθψlm Y =lm l ±±±==,,2,1,0,2,1,0由)1(+=l l λ及IE 2=λ，可解得体系的的能量本征值Il l E l 2)1(2+=,2,1,0=l2 氢原子处于 ()()()32121113,,,,,,44r r r ψθϕψθϕψθϕ=+状态，求：（1）归一化波函数（2）能量有无确定值？如果没有，求其可能值和取这些可能值的概率，并求平均值；（3）角动量平方有无确定值？如果没有，求其可能值和取这些可能值的概率，并求平均值； （4）角动量的z 分量有无确定值？如果有，求其确定值。
量子力学算符和力学量的关系
r[e
r a0
i
pr
e
r a0
i
pr
]dr
0
2i p(2a 0)3 / 2
2i p(2a 0)3 / 2
1i
1i
[
re
( a0
p)r
dr
re ( a0 p)r dr]
0
0
[1
1
]
(1 a0
i
p) 2
(1 a0
i
p) 2
2i p(2a 0)3/ 2
( 1 i p)2 ( 1 i p)2
1
e 2
r a0
i
e prx r 2drdxd
0 1 0
（积分次序是先对 ，再 x ，再对 r ）
2 (2a 0)3/ 2
r
r e
1
2
a0
0 1
i
e
prx
drdx
2 (2a 0)3/ 2
r
r 2ea0 dr
0
1 ipr
/
[e
i
pr
e
i
pr
]dr
2i p(2a 0)3 / 2
其中：Cn n dx ； C dx ；
Cn
2
C
2
d
1
；
n
Cn 为2 在 (态x)中测 得 F 旳几n率；
C 2 为d在 态(中x)测 得 F 在 范围 内d旳 几率；
平均值公式： F
n
Cn
2
； C
2
d
n
阐明：当 Cn 0 时为连续谱情况；C 0 时为分立 谱旳情况；Cn 0 ，C 0 时为一般情况。
量子力学中表示力学量的算符 Fˆ 都是线性厄米算符，它们
什么是量子力学的量子力学力学量和态矢量
什么是量子力学的量子力学力学量和态矢量？量子力学中的量子力学力学量和态矢量是描述量子体系的重要概念。
下面我将详细解释量子力学力学量和态矢量，并介绍它们的特性和相互关系。
1. 量子力学力学量:量子力学力学量是指描述量子体系物理性质的可观测量，例如位置、动量、角动量、能量等。
在量子力学中，每个力学量都对应一个线性厄米算符，称为观察算符。
观察算符是一个作用在波函数上的算符，用于计算量子体系在给定力学量上的测量结果。
观察算符的本征值问题是量子力学中的重要问题，它涉及到观察算符的本征值和本征态。
观察算符的本征值是对应于量子体系在给定力学量上的可能测量结果，而本征态是对应于观察算符的本征值的态。
量子力学力学量具有以下特性：-量子力学力学量的测量结果是离散的，而非连续的。
这是与经典物理的区别之一。
-量子力学力学量的测量结果是随机的，遵循概率分布。
这是与经典物理的另一个区别。
-量子力学力学量的测量会导致波函数的坍缩，即波函数从可能的态坍缩到与测量结果相对应的本征态上。
2. 态矢量:态矢量是量子力学中描述量子体系的数学工具，它是一个复数的矢量，通常用符号|ψ⟩表示。
态矢量包含了量子体系的所有信息，包括位置、动量、自旋等性质的概率分布。
它可以表示量子体系的可能态和相应的概率。
态矢量具有以下特性：-态矢量是在希尔伯特空间中的向量，它可以进行线性组合和叠加。
-态矢量的模长的平方给出了量子体系处于某个状态的概率。
即，对于态矢量|ψ⟩，|⟩ψ|ψ⟩|^2表示量子体系处于态矢量|ψ⟩的概率。
-态矢量的归一化条件要求其模长的平方等于1，即⟩ψ|ψ⟩=1。
态矢量与量子力学力学量之间的关系可以通过观察算符进行描述。
观察算符作用在态矢量上，可以得到观察算符对应的物理量的期望值和本征值的概率分布。
量子力学力学量和态矢量是量子力学中关键的概念，它们帮助我们描述和理解量子体系的物理性质和行为。
它们的研究和应用对于量子信息科学、量子计算和量子通信等领域具有重要意义。
量子力学中力学量的测量原理
量子力学中力学量的测量原理量子力学是研究微观世界的物理学理论，它描述了微观粒子的行为和性质。
而力学量则是用来描述微观粒子的运动状态和性质的物理量。
测量力学量是量子力学中的一个重要概念，它涉及到了测量原理。
在量子力学中，力学量的测量原理是指在对某个力学量进行测量时，所得到的结果是一个特定的数值，而不是一个连续的数值范围。
这是与经典物理学中不同的地方，因为在经典物理学中，力学量的测量结果是一个连续的数值范围。
量子力学中的力学量有很多，比如位置、动量、能量等。
测量一个力学量的过程包括两个步骤：选择合适的测量方法和测量结果的处理。
首先是选择合适的测量方法。
量子力学中的测量方法有很多种，比如位置的测量可以使用光子的散射进行，动量的测量可以使用康普顿散射进行。
不同的测量方法适用于不同的力学量，选择合适的测量方法可以保证测量结果的准确性和可靠性。
其次是测量结果的处理。
在量子力学中，测量结果是一个数值，但这个数值并不是确定的，而是具有一定的概率性。
这是由于量子力学中的不确定性原理所决定的。
不确定性原理指出，对于某个力学量的测量，无法同时确定其精确的数值和动量的精确数值。
因此，测量结果是一个概率分布，而不是一个确定的数值。
测量结果的处理可以使用概率密度函数来描述。
概率密度函数是描述概率分布的一种数学函数，通过它可以计算出测量结果落在某个数值区间内的概率。
在量子力学中，概率密度函数可以通过波函数的模的平方来计算得到。
波函数是描述量子系统状态的数学函数，它包含了关于测量结果的所有信息。
测量原理的重要性在于它揭示了量子力学中的一些基本规律和特性。
例如，测量原理说明了观测者对系统的测量会对系统的状态产生扰动，这是由于测量过程中的相互作用导致的。
另外，测量原理还说明了测量结果的不确定性，即无法同时确定一个力学量的精确数值和动量的精确数值。
总结起来，量子力学中的力学量的测量原理是指在对某个力学量进行测量时，所得到的结果是一个特定的数值，而不是一个连续的数值范围。
第三章 量子力学中的力学量c
第三章 量子力学中的力学量§1.1 学习指导实验表明，微观粒子具有波粒二象性，在传播过程中出现干涉和衍射现象，显示出波动的特性；在相互作用过程中出现碰撞，能量和动量守恒，显示出粒子性。
量子力学理论中用波函数来描述微观粒子的状态，很好地解释了微观粒子波动性的一面，这在上一章中已经作了介绍。
本章主要介绍量子力学中力学量的描述，来处理其粒子性的一面。
在经典力学中，粒子的状态用广义坐标和广义动量来描述，力学量是广义坐标和动量的函数。
在量子力学中，粒子的状态用波函数来描述，坐标和动量成为作用在波函数上的算符。
按照对应原理，量子力学中的力学量应该是坐标算符和动量算符的函数，也是一个作用在波函数上的算符。
根据实验，微观粒子的波函数满足叠加原理，因此力学量算符必须是线性算符；力学量的测量结果为相应算符的本征值，它们都是实数，因此力学量算符必须是厄密算符。
用波函数来描述微观粒子的状态，用线性厄密算符(以下称厄密算符)来描述微观粒子的力学量，两者相互配合，形成了一个可以全面处理微观粒子波粒二象性特点的完整理论。
本章的主要知识点有 1．力学量算符 1）力学量的描述量子力学中的力学量Q 用厄密算符ˆQ 表示，位置算符ˆrr =v v 和动量算符ˆp i =-∇vh 是量子力学中最基本的力学量算符，而能量算符，即哈密顿算符122ˆ()mHp U r =+v是最重要的力学量算符。
厄密算符ˆQ是自共轭的，即ˆˆQ Q +=。
对于任意两个态函数,ψϕ，都有 ˆˆ()Q d Q d ψϕτψϕτ**=⎰⎰ （3-1）厄密算符ˆQ 的本征值nq 为实数，对应的本征函数()n r ϕv满足本征方程 ˆ()()n n nQ r q r ϕϕ=v v ， （3-2） 本征函数之间具有正交性。
归一化的本征函数()n r ϕv满足正交归一性关系,()()m n m n r r d ϕϕτδ*=⎰v v， （3-3）其集合具有完备性(')()(')n n nr r r r ϕϕδ*=-∑v v v v。
1.7-量子力学中的算符和力学量
算符即运算规则算符即运算规则。
它作用在一个函数ψ(x)(x)上即是对上即是对ψ(x)(x)进行某进行某种运算种运算，，得到另一个函数ϕ(x)§1.7 1.7 量子力学中的力学量和算符量子力学中的力学量和算符例：)()(ˆx x Fϕψ=)()(ˆx xf x f x =)()(ˆx f x f I =dxd D =ˆ1、定义2、乘法与对易算符的乘法一般不服从交换律:)ˆ(ˆˆψψB A BA ≡AB B Aˆˆˆˆ≠例如:则算符的对易式可记为则算符的对易式可记为：：若对任意若对任意ΨΨ，都有：则称和对易:引入记号: ψψA B B Aˆˆˆˆ=A ˆB ˆ]ˆ,ˆ[ˆˆˆˆB A A B B A≡−0]ˆ,ˆ[=B AI x Dˆ]ˆ,ˆ[=h i p xx =]ˆ,ˆ[易证:可定义算符的可定义算符的n n 次方为：A A AA n ˆˆˆˆ⋅⋅⋅=可定义算符的多项式和算符的函数可定义算符的多项式和算符的函数。
例如：3、线性算符设C 1, C 2为常数为常数，，若算符满足：则称其为线性算符则称其为线性算符。
量子力学态叠加原理要求力学量算符必须是线性算符例如例如，，下列算符为线性算符下列算符为线性算符：：22112211ˆˆ)(ˆΨ+Ψ=Ψ+ΨF C F C C C F x pH y x x ˆ,ˆ,,2∂∂∂∂∂算符的本征值方程:4、本征函数本征函数、、本征值λ为算符的本征值的本征值，，为算符的本征值为λ的本征函数的本征函数。
例如，e 2x 是微商算符的本征函数：)()(ˆx x Fλψψ=)(x ψFˆF ˆF ˆ定态薛定谔方程：它是哈密顿算符的本征方程它是哈密顿算符的本征方程，，波函数ψ 是哈密顿算符的本征函数征函数，，能量E 是哈密顿算符的本征值是哈密顿算符的本征值。
例如例如：：ψψE H=ˆ2211ˆˆΨ=ΨΨ=ΨλλF F )(ˆˆ)(ˆ221122112211Ψ+Ψ=Ψ+Ψ=Ψ+ΨC C F C F C C C F λ则：狄拉克符号：〉≡ψψ|)(r v |)(*ψψ〈≡r r ∗〉〈=〉〈≡∫ψϕϕψτϕψ||)()(*d r r v v一个算符如果满足如下关系一个算符如果满足如下关系，，则称为厄米算符则称为厄米算符，：，：其中积分遍及整个空间其中积分遍及整个空间，，函数ψ, ϕ是任意的品优函数是任意的品优函数。
第三章量子力学中的力学量5
（一）两算符对易的物理含义 前面我们已经提到了一些常见算符的对易关系，这些对易关系 前面我们已经提到了一些常见算符的对易关系，这些对易关系 到底有什么物理意义 物理意义？ 到底有什么物理意义？这个问题将在这节课得到阐明 下面给出了一些常见力学量算符之间的对易关系。 下面给出了一些常见力学量算符之间的对易关系。这些对易关 系需要牢记并能够证明。 系需要牢记并能够证明。
px , p y , pz
ˆ ˆ ˆ H , L2 , Lz
两两对易
r 具有完备的共同本征函数系： 具有完备的共同本征函数系： ψ nlm (r ) = Rnl (r )Ylm (θ , ϕ )
同时具有确定值
En , l (l + 1)h 2 , mh
例 3：
ˆ L2 ˆ ˆ = z ,L 定轴转子： 定轴转子： H z 2I
由上面的结论可以看出，算符之间的对易关系可分为两种： 由上面的结论可以看出，算符之间的对易关系可分为两种：相 互对易和不对易。下面我们将看到算符间的对易关系关系直接 互对易和不对易。下面我们将看到算符间的对易关系关系直接 关系到算符表示的力学量是否有可能同时具有确定值。 有可能同时具有确定值 关系到算符表示的力学量是否有可能同时具有确定值。 ˆ ˆ 前面我们已经知道如果某波函数 ψ 是算符 F 和算符 G的共同本 征函数， 同时具有确定的观测值。 征函数，那么力学量 F 和 G 同时具有确定的观测值。确定值就 是它们的本征值 λ 和 µ ，即： ˆ ˆψ Fψ = λψ G = µψ 以上说法的逆也是正确的：如果在状态 ψ 中，力学量 F 有确 以上说法的逆也是正确的： 说法的逆也是正确的 ˆ 的本征函数， 定值， 定值，那么 ψ 必为算符 F 的本征函数，如果同时力学量 G 也 ˆ 的本征函数。 有确定值， 是它们的共 有确定值，那么ψ 也是算符 G 的本征函数。即 ψ 是它们的共 同本征函数。 同本征函数。 结论 两个算符具有共同本征函数和两个算符对应的力学量能够同时 取确定值是等价的。但是需要注意的是， 取确定值是等价的。但是需要注意的是，这并不意味着在任何 状态下两个力学量都能取确定值。 状态下两个力学量都能取确定值。
第三章 量子力学中的力学量
以上归一化方法称为箱归一化。 动量本征函数：
再乘上时间因子：
参见：
P23:2.2-4 式。
自由粒子的波函数，其动量有确定值 。
2、角动量算符
3、角动量平方算符
为讨论方便我们要导出上述算符在球坐标下的表示式。 同理可得：
同理可得：
同理可得：
把上述表达式分别代入
4、相应的本征方程和本征值 （1）角动量的 分量
c、分立谱—本征值只能取一系列孤立实数，如粒子 在束缚态下的能谱。
重点讨论连续谱和分立谱。通常连续谱记为 或 ，
分立谱记为
。对应的本征函数分别记
为
及。
（2）、力学量算符的本征态及本征值可能不是一一对 应，而出现若干个（如 个）本征态对应一个本征值， 称这种情况为 度简并。 §3-2 动量算符和角动量算符 1 动量算符
第三章 量子力学中的力学量
经典力学中物质运动的状态总是用坐标、动量、角动 量、自旋、动能、势能、转动能等力学量以决定论的方 式描述。
量子力学的第一个惊人之举就是引入了波函数 这样一个基本概念，以概率的特征全面地描述了微 观粒子的运动状态。
但 并不能作为量子力学中的力学量。于是，又引入 了一个重要的基本概念—算符，用它表示量子力学中 的力学量。
算符和波函数作为量子力学的核心概念相辅相 承、贯穿始终。
本讲内容是量子力学的重要基础理论之一，也是大 家学习的重点。重点掌握以下内容：
一个基本概念：厄米算符（作用及其基本性质）；
两个假设：力学量用线性厄米算符表示，状态用线 性厄米算符的本征态表示；
•三个力学量计算值：确定值、可能值、平均值；
四个本征态及本征值：坐标 或 、动量 或 、 角动量 及 、能量（哈密顿量 ）。
量子力学第三章习题
而 比较上两式,我们得到:
当时，则 此时我们同时求得能量的本征值和本征函数.
(3)角动量分量 的本征值方程为 它是的一个因子。 的值取决于量子数，题给定的状态不是的本征态，而是本征态的线 性叠加。在态中，而在态中，故在所给的态中，的可能值为和，出现和 的几率分别为和，即和。 的平均值
3.10. 一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为 求粒子的能级和定态波函数。
解: 这是一个无限深方势阱的问题,它只存在束缚态解.当,. 设粒子的质量为,因此,系统的哈密顿算符为 考虑到的球对称性,采用球坐标系,此时,有
第三章 量子力学中的力学量
3.1 一维谐振子处在基态 ,求
(1) 势能的平均值 ;
(2) 动量的几率分布函数;
(3) 动能的平均值 .
解: (1) 势能的平均值:
(2) 动量的几率分布函数
所以
(3) 动能的平均值
计算可知,这一状态中的振子的势能和动能的平均值相等,都是零点
能的一半.
以上计算中,用到积分公式: 费曼方法介绍: 设某系统的能量本征值方程为 其中含有一参数, 那么, 便有 于是有 再根据, 得到
(5) 另解：氢原子基态波函数为
， 仅是的函数而
， 所以只考虑径向的“测不准关系”
氢原子的径向能量为 而 所以
因而
取
由上两式得
即
将上式代入氢原子的径向能量表示式中
得
基态能量是上面表达式使取极小值。满足这一条件的由求极值的方法求
量子力学(周世勋)Chap3
0
x0
x
2.性质：
( x ) ( x )
( ax )
1 |a|
( x)
f ( x ) ( x x0 ) f ( x0 ) ( x x0 )
d dx dx
d dx i dx
*
ˆ p * dx
ˆ 若当 x 时 ， 0， 0， 则 p 是厄密算符
。
(8)量子力学中力学量算符的构成
• 量子力学中表示力学量的算符必需是线性,厄密算符,且它 的本征函数构成完备系. • 经典力学中力学量是坐标r和动量p的函数,把坐标保持不 变,动量换为动量算符就构成了量子力学中相应的力学量 ˆ ˆ 算符. F ( r , p ) F ( r , p )
F (x)
n0
F
(n)
(0)
n!
x
n
则可定义算符 Û 的函数 F(Û)为:
ˆ F (U )
n 0
F
(n)
(0)
n!
ˆn U
例如:
i ˆ Ht
e
n 0
1 n!
[
i
ˆ t ]n H
（6）算符的本征值方程
ˆ F x x
是常数
这样形式的方程称为算符的本征值方程。 本征值方程的解： 求得满足方程的一系列本征值： , , , 1 2 n
i
px py pz
量子力学知识点小结
量子力学知识总结认真、努力、坚持、反思、总结…物理111 杨涛量子力学知识点小结一、绪论1.光的粒子性是由黑体辐射、光电效应和康普顿效应（散射）三个实验最终确定的。
2.德布罗意假设是任何物质都具有波粒二象性，其德布罗意关系为E h ν=和h p n κλ==3.波尔的三个基本假设是定态条件假设、n mE E h ν-=频率条件假设、化条件）（索末菲等推广的量子21或量子化条件假设⎰⎰+==h n pdq nh pdq ）（4.自由粒子的波函数()ip r Et Aeψ⋅-=5.戴维孙革末的电子在晶体上衍射实验证明了电子具有波动性。
二、波函数及薛定谔方程（一）波函数的统计解释（物理意义）A.波函数(,)r t ψ的统计解释2(,)r t d t r ψτ表示时刻在点位置处单位体积内找2sin d r drd d τθϕθ=到粒子的几率（注：）。
B. 波函数(,,,)x y z t ψ的统计解释2(,,,),,x y z t dxdydz t x y z ψ表示时刻在点（）位置处单位体积没找到粒子的几率。
例：已知体系处于波函数(,,)x y z ψ所描写的状态，则在区间[,]x x dx +内找到粒子的概率是2(,,)x y z dydz dx ψ+∞+∞-∞-∞⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰. 已知体系处于波函数(,,)r ψθϕ所描写的状态，则在球壳r r dr →+内找到粒子的概率是22200(,,)sin r d d r dr ππψθϕθϕθ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰，在立体角d Ω内找到粒子的概率是220(,,)r r dr d ψθϕ∞⎡⎤Ω⎢⎥⎣⎦⎰.（注：sin d d d θϕθΩ=） （二）态叠加原理：如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性叠加1122c c ψψψ=+（12c c 、为复数）也是这个体系可能的状态。
含义：当体系处于1ψ和2ψ的线性叠加态1122c c ψψψ=+（12c c 、为复数） 时，体系既处于1ψ态又处于态2ψ，对应的概率为21c 和22c .（三）概率密度（分布）函数2()()x x x ψωψ=若波函数为，则其概率密度函数为（）（四）薛定谔方程：22()2i U r t m∂ψ=-∇ψ+ψ∂ 22222222222222222()21cos 1 ()sin sin x y zr r r r r θθθθθϕ∂∂∂∇=+∂∂∂⎛⎫∂∂∂∂∂∇=+++ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭拉普拉斯算符直角坐标球坐标问题：1.描写粒子（如电子）运动状态的波函数对粒子（如电子）的描述是统计性的.2. 薛定谔方程是量子力学的一个基本假设，不是通过严格的数学推导而来的（五）连续性方程：()**0( )2J tiJ mω∂+∇⋅=∂≡ψ∇ψ-ψ∇ψ注：问题：波函数的标准条件单值、连续、有界。
量子力学中的量子力学力学量与对易关系
量子力学中的量子力学力学量与对易关系量子力学是描述微观粒子行为的理论框架，涉及到许多基本概念和量子力学力学量。
量子力学力学量是描述粒子状态的物理量，如位置、动量、能量等。
而对易关系则是指在量子力学中，力学量的相互关系满足的一组重要规律。
本文将探讨量子力学力学量的基本概念以及它们之间的对易关系。
一、量子力学力学量的基本概念量子力学力学量是描述粒子状态的物理量，它们是由算符表示的。
算符是量子力学中用来进行物理量测量的工具，它们对应于物理量的数学表达。
在量子力学中，位置、动量和能量是最基本的力学量。
1. 位置算符位置算符表示粒子在空间中的位置。
在一维情况下，位置算符通常用符号x表示，其算符表示为^x。
位置算符的本征态对应于一维空间中的位置本征态，即波函数的极值点。
2. 动量算符动量算符表示粒子的动量。
在一维情况下，动量算符通常用符号p表示，其算符表示为^p。
动量算符的本征态对应于一维空间中的动量本征态，即平面波。
3. 能量算符能量算符表示粒子的能量。
在量子力学中，能量算符通常用符号H表示，其算符表示为^H。
能量算符的本征态对应于粒子的能量本征态，即定态薛定谔方程的解。
二、量子力学力学量的对易关系在量子力学中，不同力学量之间的相互关系通过对易关系描述。
对易关系是量子力学中最基本的关系之一，它体现了量子力学的离散性、不确定性以及测量过程的干涉效应。
1. 位置与动量的对易关系量子力学中，位置算符与动量算符之间的对易关系是非常重要的。
根据海森堡不确定性原理，位置与动量不能同时被完全确定。
这一不确定性体现在它们的对易关系上，其对易关系可以表示为：^[x, p] = iħ其中^表示算符，[x, p]表示位置算符和动量算符的对易子，i为虚数单位，ħ为约化普朗克常数。
这个对易关系的存在意味着位置和动量的测量结果受到不确定性的限制。
2. 能量与时间的对易关系能量算符与时间算符之间的对易关系也是量子力学中的重要关系之一。
量子力学填空简答证明复习资料 (2)
填空 第一章 绪论6、玻尔的量子化条件为 n L =9德布罗意关系为 k p E==,ω 。
1、 用来解释光电效应的爱因斯坦公式为 221mv A h +=ν 。
2、 戴微孙-革末 实验验证了德布罗意波的存在，德布罗意关系为 k p E==,ω 。
第二章 波函数和薛定谔方程1、波函数的标准条件为 单值，连续，有限 。
4、2),,,(t z y x ψ的物理意义： 发现粒子的几率密度与之成正比 。
5、dr r r 22),,(⎰ϕθψ表示 在r —r+dr 单位立体角的球壳内发现粒子的几率 。
第三章 量子力学中的力学量2如两力学量算符有共同本征函数完全系，则0 。
3、设体系的状态波函数为，如在该状态下测量力学量有确定的值，则力学量算符与态矢量的关系为__ψλψ=Fˆ_______。
5、在量子力学中，微观体系的状态被一个 波函数 完全描述；力学量用 厄密算符 表示。
10坐标和动量的测不准关系是_2≥∆∆x p x ___________________________。
自由粒子体系，_动量_________守恒；中心力场中运动的粒子___角动量________守恒3、 设为归一化的动量表象下的波函数，则的物理意义为___在p —p+dp 范围内发现粒子的几率____________________________________________。
3、厄密算符的本征函数具有 正交，完备性 。
10、=]ˆ,[x p x i ； =]ˆ,ˆ[zy L L x L i ；第四章 态和力学量的表象量子力学中的态是希尔伯特空间的__矢量__________；算符是希尔伯特空间的__算符__________。
力学量算符在自身表象中的矩阵是 对角的第五章 微扰理论第七章 自旋与全同粒子7.为泡利算符，则=2ˆσ 3 ，=]ˆ,ˆ[y xσσz i σˆ28、费米子所组成的全同粒子体系的波函数具有_交换反对称性__ _______, 玻色子所组成的全同粒子体系的波函数具有____交换对称性____ 。
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xpˆx ihx d ˆx x ih x ih ihx p dx
ˆxx ih xpˆx p
算符
ˆxx ih xpˆx p
ˆ, B ˆ ˆ 的对易子 A 引入对易子：Aˆ 和 B
Aˆ, Bˆ AˆBˆ BˆAˆ
对易子有如下性质 ˆ ˆ] [Aˆ, B ] [Bˆ,A
ˆ A 就不行。因 方程 O
ˆ1 A O
A
ˆ 2 A O
ˆ(c11 c 2 2 ) c1Oˆ 1 c2Oˆ 2 A(c 1 c 2 ) O
ˆ A ˆB ˆ 表示，对任意波 B. 算符之和： O 函数进行变换所得的新波函数完全相等，即
ˆ O
c11 c 2 2
E(c11 c 2 2 )
c 1 E 1 c 2 E 2
c1Hˆ 1 c2Hˆ 2
ˆ是线性算符 仅当H
ˆ(c11 c 2 2 ) E(c11 c 2 2 ) H
量子力学不仅要求力学量算符是线性算符， 而且方程是线性齐次，
ˆ ˆ B [A, ]
S0
n1s1 ˆ ˆ ˆ ˆ B [A, B]B
ˆn ] Bˆ[Aˆ, B ˆn 1 ] [Aˆ, B ˆ]Bˆn 1 [Aˆ, B
ˆ]Bˆn1s1 [Aˆ, B ˆ]Bˆn1 Bˆs1[Aˆ, B
S0 n 2
ˆ B ˆ B ˆ s[A, ˆ]Bˆ n s 1 [A, ˆ]Bˆ n 1 B
ˆ B ˆ) A ˆ A B (Aˆ B
ˆA ˆB ˆ 表示，对任意波函 C. 算符之积: O ˆ ，则 数，有 O
ˆB ˆ B ˆ A A
D. 逆算符：算符
ˆ 将任一波函数 O
ˆ O
ˆ 使 若有另一算符 R ˆ R ˆO ˆ1 ， ˆ 为 O ˆ 的逆算符，并表为 R 则称 R
例如:
iapˆ x / h ˆ O e
a d dx (x)
ˆ (x) e O
(x a) (x)
d a e dx (x)
e
ˆx /h iap
(x)
n
n
所以
a
n
d
n0
n! dx
(x) (x a) (x)
1 iapˆ x / h ˆ O e
i (c11 c 2 2 ) t c i
1
c1Hˆ1 c2Hˆ 2
1 t c i
2
2 t
ˆ是线性算符 仅当H
ˆ(c11 c 2 2 ) H
例如 2. 对不显含时间的薛定谔方 程 ˆ H E ˆ ˆ H 2 E 2 ，则 若 H 1 E 1，
Ⅴ . 当 V(x, t) V(x) 时，体系能量平均值 不随 t 变，体系处于某能量状态的概率，也不 随时间改变。力学量的平均值如何随 t 变？
§4.1 表示力学量算符的性质 （1）一般运算规则：一个力学量如以算符 ˆ O 表示。它是一运算
ˆ (x, y, z) (x, y, z) O
量子力学中的力学量
ˆ Ⅰ . 在以坐标表示的波函数中，要计算 p x 的平均值时，我们必须引进算符
ˆ p x ih x
p x (r, t)( ih )(r, t)dr x
*
于是要问，力学量用算符来表示，那它的性质 是什么？从物理上讲， 对算符有那些制约 Ⅱ. 在一些定态中，求一个体系的能量可取 值，是通过在一定条件下，求解不含时间的薛定 谔方程（或能量本征方程）
ˆ] Bˆ[Aˆ, C ˆ] [Aˆ, B ˆC ˆ [Aˆ, B ]Cˆ
ˆ] A ˆ [Bˆ , C ˆ] [Aˆ, C ˆ] B ˆ, C ˆ [Aˆ B
并有
s ˆ ˆ ˆ n s 1 ˆ ˆ ˆ [A, B ] B [A, B]B n
n 1
S0
证：n 1,成立 设： n-1 成立， 即 n1 n 2 s
ˆun Enun H
同样要问，
其他力学量的可测得值是如何确定的？
xˆ和 pˆx 不能同时取确定值 Ⅲ . 在某一时刻， 是否所有力学量都不能同时取确定值，那些
.
可以，那些不可以？ Ⅳ. 在量子力学中，体系的波函数对体系作 了充分的描述，即可以给出体系所有可能的信息 那如何从 (r, t) 得到这些信息？
A. 力学量算符至少是线性算符；量子力学 方程是线性齐次方程。 由于态叠加原理，所以在量子力学中的算 符应是线性算符。所谓线性算符，即
ˆ(c ) cOˆ O
ˆ(c11 c 2 2 ) c1Oˆ 1 c2Oˆ 2 O
例如 1. ˆ i H Fra bibliotek t1
2
c11 c 2 2
x
ˆ A e
1 ˆn A n!
如果函数不能以幂级数表示，则还可以由算 符的自然展开来定义算符的函数。 （2）算符的对易性 一般而言，两算符的乘积和次序有关，
不能彼此对换。
ˆe 若 A
则
ˆ i L y /h 2 ,
ˆ i L z /h ˆe 2 B
，
ˆB ˆ B ˆ ˆ A A
所以
显然，
ˆO ˆ1 O ˆ1Oˆ 1 O
E. 算符的函数： 设：F(x) 在 x=0 处，有各级导数
F(x) F (n) (0) n x n!
n
则定义算符的函数
F (0) ˆ n ˆ A F(A) n!
例如: 于是
x 它有各级导数， x (n) e (e )
0
1。
1 n e x n!
代表一个变换，是将空间分布的概率幅从
(x, y, z) (x, y, z)
Oˆ
例：
iapˆ x / h，于是 ˆ Oe
a d dx (x)
ˆ(x) e O
( a) n d n (x) n n! dx n 0
(x a)
(x)
即将体系的概率密度幅沿 x 方向移动距离 a .