2020年11月23日泸州市一诊理科数学试卷
四川省泸州市泸县2020届九年级上学期第一次教学质量诊断性检测数学试题 解析版
2020届九年级上学期第一次教学质量诊断性检测数学试题一．选择题（共12小题）1．一元二次方程x2＝x的实数根是（）A．0或1 B．0 C．1 D．±12．若一元二次方程x2﹣2kx+k2＝0的一根为x＝﹣1，则k的值为（）A．﹣1 B．0 C．1或﹣1 D．2或03．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m＝0有两个实数根，那么m的取值范围是（）A．m＞0 B．m≥0 C．m＞0且m≠1 D．m≥0，且m≠1 4．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．小强同学从﹣1，0，1，2，3，4这六个数中任选一个数，满足不等式x+1＜2的概率是（）A．B．C．D．6．在平面直角坐标系中，以原点为旋转中心，把点A（3，4）逆时针旋转90°，得到点B，则点B的坐标为（）A．（4，﹣3）B．（﹣4，3）C．（﹣3，4）D．（﹣3，﹣4）7．抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标为（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（1，2）D．（1，﹣2）8．将抛物线y＝x2向下平移2个单位，再向左平移1个单位，则得到的抛物线解析式是（）A．y＝（x﹣1）2﹣2 B．y＝（x+1）2+2 C．y＝（x﹣1）2+2 D．y＝（x+1）2﹣2 9．75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，则此弧所在圆的半径是（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm10．如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且∠AOC＝126°，则∠CDB＝（）A．54°B．64°C．27°D．37°11．如图，在⊙O中，弦AB＝8，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值是（）A．2 B．4 C．6 D．812．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，对于下列说法：①ac＞0，②2a+b＞0，③4ac＜b2，④a+b+c＜0，⑤当x＞0时，y随x的增大而减小，其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．③④⑤二．填空题（共4小题）13．如果x1，x2分别是一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的两个根，那么x12+x22的值是．14．一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球号之和大于5的概率为．15．当0≤x≤3时，直线y＝a与抛物线y＝（x﹣1）2﹣3有交点，则a的取值范围是．16．如图，已知直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于A，B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA，PB，当△PAB的面积最大时，点P的坐标为．三．解答题（共9小题）17．解方程：x（x﹣3）＝6﹣2x．18．已知：关于x的一元二次方程x2+（4m+1）x+2m﹣1＝0．（1）求证：不论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根大于2，另一个根小于2，求m的取值范围．19．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，弦AD交BC于点E，连接BD．（1）求证：∠ABC＝∠ADB；（2）若AE＝6cm，DE＝2cm，求AB的长．20．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，4），B（1，1），C（3，1）．（1）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后△A1B1C1；（2）在（1）的条件下，求线段BC扫过的图形的面积（结果保留π）．21．某学校准备购买若干台A型电脑和B型打印机．如果购买1台A型电脑，2台B型打印机，一共需要花费6200元；如果购买2台A型电脑，1台B型打印机，一共需要花费7900元．（1）求每台A型电脑和每台B型打印机的价格分别是多少元？（2）如果学校购买A型电脑和B型打印机的预算费用不超过20000元，并且购买B型打印机．的台数要比购买A型电脑的台数多1台，那么该学校至多能购买多少台B型打印机？22．随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：（1）这次活动共调查了多少人；（2）将条形统计图补充完整；（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．23．某中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．（1）若平行于墙的一边长为y米，直接写出y与x的函数关系式及其自变量x的取值范围；（2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值．24．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D 为弧BE的中点，连接AD交BC于F，AC＝FC，连接BD．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知⊙O的半径R＝5cm，AB＝8cm，求△ABD的面积．25．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线AC上方的抛物线上是否存在一点P，使△ACP的面积等于△ACB的面积的一半？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说名理由；（3）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A，C，M，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．一元二次方程x2＝x的实数根是（）A．0或1 B．0 C．1 D．±1【分析】方程利用因式分解法求出解即可．【解答】解：方程整理得：x2﹣x＝0，分解因式得：x（x﹣1）＝0，解得：x＝0或x＝1，故选：A．2．若一元二次方程x2﹣2kx+k2＝0的一根为x＝﹣1，则k的值为（）A．﹣1 B．0 C．1或﹣1 D．2或0【分析】把x＝﹣1代入方程计算即可求出k的值．【解答】解：把x＝﹣1代入方程得：1+2k+k2＝0，解得：k＝﹣1，故选：A．3．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m＝0有两个实数根，那么m的取值范围是（）A．m＞0 B．m≥0 C．m＞0且m≠1 D．m≥0，且m≠1 【分析】令△＝b2﹣4ac≥0，且二次项系数不为0，即可求得m的范围．【解答】解：由题意得：4m2﹣4（m﹣1）m≥0；m﹣1≠0，解得：m≥0，且m≠1，故选：D．4．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；故选：D．5．小强同学从﹣1，0，1，2，3，4这六个数中任选一个数，满足不等式x+1＜2的概率是（）A．B．C．D．【分析】找到满足不等式x+1＜2的结果数，再根据概率公式计算可得．【解答】解：在﹣1，0，1，2，3，4这六个数中，满足不等式x+1＜2的有﹣1、0这两个，所以满足不等式x+1＜2的概率是＝，故选：C．6．在平面直角坐标系中，以原点为旋转中心，把点A（3，4）逆时针旋转90°，得到点B，则点B的坐标为（）A．（4，﹣3）B．（﹣4，3）C．（﹣3，4）D．（﹣3，﹣4）【分析】建立平面直角坐标系，作出图形，然后根据图形写出点B的坐标即可．【解答】解：如图所示，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（﹣4，3）．故选：B．7．抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标为（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（1，2）D．（1，﹣2）【分析】利用二次函数的顶点式直接得出顶点坐标即可．【解答】解：抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标为（1，2）．故选：C．8．将抛物线y＝x2向下平移2个单位，再向左平移1个单位，则得到的抛物线解析式是（）A．y＝（x﹣1）2﹣2 B．y＝（x+1）2+2 C．y＝（x﹣1）2+2 D．y＝（x+1）2﹣2 【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：将抛物线y＝x2向下平移2个单位y＝x2﹣2左平移1个单位所得直线解析式为：y＝（x+1）2﹣2．故选：D．9．75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，则此弧所在圆的半径是（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm【分析】根据弧长公式L＝，将n＝75，L＝2.5π，代入即可求得半径长．【解答】解：∵75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，由L＝，∴2.5π＝，解得：r＝6，故选：A．10．如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且∠AOC＝126°，则∠CDB＝（）A．54°B．64°C．27°D．37°【分析】由∠AOC＝126°，可求得∠BOC的度数，然后由圆周角定理，求得∠CDB的度数．【解答】解：∵∠AOC＝126°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝54°，∵∠CDB＝∠BOC＝27°．故选：C．11．如图，在⊙O中，弦AB＝8，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值是（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】作OH⊥AB于H，连接OA、OD，如图，根据垂径定理得到AH＝BH＝AB＝4，再利用勾股定理得到CD＝，则OC最小时，CD最大，根据垂线段最短得到当OC ＝OH时，CD的值最大，从而得到CD的最大值为4．【解答】解：作OH⊥AB于H，连接OA、OD，如图，∴AH＝BH＝AB＝×8＝4，∵CD⊥OC，∴CD＝，而OD为定值，OC最小时，CD最大，∴当OC＝OH时，CD的值最大，∴CD的最大值为4．故选：B．12．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，对于下列说法：①ac＞0，②2a+b＞0，③4ac＜b2，④a+b+c＜0，⑤当x＞0时，y随x的增大而减小，其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．③④⑤【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，∴ac＜0，故①错误；②由于对称轴可知：＜1，∴2a+b＞0，故②正确；③由于抛物线与x轴有两个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，故③正确；④由图象可知：x＝1时，y＝a+b+c＜0，故④正确；⑤当x＞时，y随着x的增大而增大，故⑤错误；故选：C．二．填空题（共4小题）13．如果x1，x2分别是一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的两个根，那么x12+x22的值是12 ．【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝2，x1•x2＝﹣4，再把x12+x22变形为（x1+x2）2﹣2x1•x2，利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵x1，x2分别是一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的两个根，∴x1+x2＝2，x1•x2＝﹣4，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝4+8＝12．故答案为：12．14．一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球号之和大于5的概率为．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球的标号之和大于5的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：根据题意画图如下：∵共有20种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和大于5的有12种结果，∴摸出的小球号之和大于5的概率为＝．故答案为：．15．当0≤x≤3时，直线y＝a与抛物线y＝（x﹣1）2﹣3有交点，则a的取值范围是﹣3≤a≤1 ．【分析】直线y＝a与抛物线y＝（x﹣1）2﹣3有交点，则可化为一元二次方程组利用根的判别式进行计算．【解答】解：法一：y＝a与抛物线y＝（x﹣1）2﹣3有交点则有a＝（x﹣1）2﹣3，整理得x2﹣2x﹣2﹣a＝0∴△＝b2﹣4ac＝4+4（2+a）≥0解得a≥﹣3，∵0≤x≤3，对称轴x＝1∴y＝（3﹣1）2﹣3＝1∴a≤1法二：由题意可知，∵抛物线的顶点为（1，﹣3），而0≤x≤3∴抛物线y的取值为﹣3≤y≤1∵y＝a，则直线y与x轴平行，∴要使直线y＝a与抛物线y＝（x﹣1）2﹣3有交点，∴抛物线y的取值为﹣3≤y≤1，即为a的取值范围，∴﹣3≤a≤1故答案为：﹣3≤a≤116．如图，已知直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于A，B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA，PB，当△PAB的面积最大时，点P的坐标为．【分析】过C作CM⊥AB于M，交x轴于E，连接AC，MC的延长线交⊙C于D，作DN⊥x 轴于N，则由三角形面积公式得，×AB×CM＝×OA×BC，可知圆C上点到直线y＝x ﹣3的最长距离是DM，当P点在D这个位置时，△PAB的面积最大，先证得△COE∽△CMB，求得OE、CE，再通过证得△COE∽△DNE，求得DN和NE，由此求得答案．【解答】解：过C作CM⊥AB于M，交x轴于E，连接AC，MC的延长线交⊙C于D，作DN ⊥x轴于N，∵直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于A，B两点，∴A（4，0），B（0，﹣3），∴OA＝4，OB＝3，∴AB＝＝5，则由三角形面积公式得，×AB×CM＝×OA×BC，∴5×CM＝×4×（1+3），∴CM＝，∴BM＝＝，∴圆C上点到直线y＝x﹣3的最大距离是DM＝1+＝，当P点在D这个位置时，△PAB的面积最大，∵∠CMB＝∠COE＝90°，∠OCE＝∠MCB，∴△COE∽△CMB，∴＝＝，∴＝＝，∴OE＝，CE＝，∴ED＝1+＝，∵DN⊥x轴，∴DN∥OC，∴△COE∽△DNE，∴＝＝，即，∴DN＝，NE＝，∴ON＝NE﹣OE＝﹣＝，∴D，∴当△PAB的面积最大时，点P的坐标为．三．解答题（共9小题）17．解方程：x（x﹣3）＝6﹣2x．【分析】利用因式分解法求解可得．【解答】解：∵x（x﹣3）＝﹣2（x﹣3），∴（x﹣3）（x+2）＝0，则（x﹣3）＝0或者（x+2）＝0，解得x1＝3，x2＝﹣2．18．已知：关于x的一元二次方程x2+（4m+1）x+2m﹣1＝0．（1）求证：不论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根大于2，另一个根小于2，求m的取值范围．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＝16m2+5＞0，进而即可证出：不论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）当两根一个大于2一个小于2时，得到方程有两个不相等的实数根其两根与2的差的积小于零，列出不等式解之即可．【解答】（1）证明：△＝b2﹣4ac＝（4m+1）2﹣4（2m﹣1）＝16m2+5，∵16m2≥0，∴△≥5＞0，所以，不论m取何实数，方程总有两个实数根．（2）设两个实数根为x1，x2，则x1+x2＝﹣（4m+1），x1x2＝2m﹣1，∵方程的一个根大于2，另一个根小于2，∴（x1﹣2）（x2﹣2）＝x1x2﹣2（x1+x2）+4＜0∴2m﹣1+2（4m+1）+4＜0，解得：m＜﹣，∴方程的一个根大于2，另一个根小于2，m的取值范围是m＜﹣．19．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，弦AD交BC于点E，连接BD．（1）求证：∠ABC＝∠ADB；（2）若AE＝6cm，DE＝2cm，求AB的长．【分析】（1）证得∠C＝∠ABC，∠ADB＝∠C，则结论得证；（2）证明△ABE∽△ADB，可得，则可求出答案．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，又∵∠ADB＝∠C，∴∠ABC＝∠ADB；（2）解：由（1）得：∠ABC＝∠ADB，又∵∠BAE＝∠DAB，∴△ABE∽△ADB，∴，∴AB2＝AE•AD＝6×8．又∵AB＞0，∴．20．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，4），B（1，1），C（3，1）．（1）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后△A1B1C1；（2）在（1）的条件下，求线段BC扫过的图形的面积（结果保留π）．【分析】（1）依据旋转变换的性质画出图形即可；（2）依据图形面积的和差关系，可得BC扫过的面积＝扇形OCC1的面积﹣扇形OBB1的面积，由此计算即可．【解答】解：（1）△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2如图所示；（2）∵，，∴线段BC扫过的图形的面积＝＝2π．21．某学校准备购买若干台A型电脑和B型打印机．如果购买1台A型电脑，2台B型打印机，一共需要花费6200元；如果购买2台A型电脑，1台B型打印机，一共需要花费7900元．（1）求每台A型电脑和每台B型打印机的价格分别是多少元？（2）如果学校购买A型电脑和B型打印机的预算费用不超过20000元，并且购买B型打印机．的台数要比购买A型电脑的台数多1台，那么该学校至多能购买多少台B型打印机？【分析】（1）设A型电脑每台x元，B型打印机每台y元，根据题意可得等量关系：1台A型电脑的花费+2台B型打印机的花费＝6200元；2台A型电脑的花费+1台B型打印机的花费＝7900元，根据等量关系列出方程组，再解即可；（2）设A型电脑购买a台，则B型打印机购买（a+1）台，根据“购买A型电脑和B型打印机的预算费用不超过20000元”列出不等式，再解即可．【解答】解：（1）设A型电脑每台x元，B型打印机每台y元，则，解得：，答：A型电脑每台3200元，B型打印机每台1500元．（2）设A型电脑购买a台，则B型打印机购买（a+1）台，则3200a+1500（a+1）≤20000，47a+15≤200，47a≤185，，∵a为正整数，∴a≤3，答：学校最多能购买4台B型打印机．22．随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：（1）这次活动共调查了多少人；（2）将条形统计图补充完整；（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．【分析】（1）用支付宝、现金及其他的人数和除以这三者的百分比之和可得总人数；（2）用总人数乘以对应百分比可得微信、银行卡的人数，从而补全图形；（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人恰好选择同一种支付方式的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）本次活动调查的总人数为（45+50+15）÷（1﹣15%﹣30%）＝200人，故答案为：200；（2）微信人数为200×30%＝60人，银行卡人数为200×15%＝30人，补全图形如下：（3）将微信记为A、支付宝记为B、银行卡记为C，画树状图如下：∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为＝．23．某中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．（1）若平行于墙的一边长为y米，直接写出y与x的函数关系式及其自变量x的取值范围；（2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值．【分析】（1）由总长度﹣垂直于墙的两边的长度＝平行于墙的这边的长度，根据墙的长度就可以求出x的取值范围；（2）由长方形的面积公式建立二次函数，利用二次函数性质求出其解即可．【解答】解：（1）y＝30﹣2x，（6≤x＜15）；（2）设矩形苗圃的面积为SS＝xy＝x（30﹣2x）＝﹣2（x﹣7.5）2+112.5，由（1）知，6≤x＜15，∴当x＝7.5时，S有最大值112.5即当垂直于墙的一边的长为7.5米时，这个苗圃园的面积最大，这个最大值为112.5．24．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D 为弧BE的中点，连接AD交BC于F，AC＝FC，连接BD．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知⊙O的半径R＝5cm，AB＝8cm，求△ABD的面积．【分析】（1）连接OA、OD，求出∠D+∠OFD＝90°，推出∠CAF＝∠CFA，∠OAD＝∠D，求出∠OAD+∠CAF＝90°，根据切线的判定推出即可；（2）过点B作BG⊥AD于G，根据勾股定理得到，，又根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OA，OD．∵点D是弧BE的中点，∴∠BOD＝∠EOD＝90°，∴∠ODF+∠OFD＝90°又∵∠OFD＝∠AFC，∴∠ODF+∠AFC＝90°又∵AC＝FC，∴∠AFC＝∠CAF，∵OA＝OD，∴∠ODF＝∠OAF，∴∠OAF+∠CAF＝90°，即∠OAC＝90°，故AC是⊙O的切线；（2）解：过点B作BG⊥AD于G，∵∠BOD＝90°，OB＝OD＝R＝5，∴，∵点D是弧BE的中点，∴∠BAD＝45°，∵∠AGB＝90°，∴∠ABG＝∠BAD＝45°，即BG＝AG．∴2BG2＝AB2＝82，∴又∵，∴＝AD•BG＝＝28（cm2）．故S△ABD25．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线AC上方的抛物线上是否存在一点P，使△ACP的面积等于△ACB的面积的一半？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说名理由；（3）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A，C，M，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），故﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，即可求解；（2）过点B作直线BC的平行线n交y轴于点N，过点P作AC的平行线交y轴于点M，△ACP的面积等于△ACB的面积的一半，则CM＝CN，即可求解；（3）①当MC∥AQ且MC＝AQ时，M与C关于对称轴x＝﹣1对称，AQ＝MC＝2，即可求解；②当AC∥MQ且AC＝MQ时，点M到x轴的距离为3，设M（m，﹣m2﹣2m+3），则﹣m2﹣2m+3＝﹣3，即可求解．【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），故﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3…①；（2）过点B作直线BC的平行线n交y轴于点N，过点P作AC的平行线交y轴于点M，∵△ACP的面积等于△ACB的面积的一半，∴CM ＝CN ，由点A 、C 的坐标得，直线AC 的表达式为：y ＝x +3，则直线n 的表达式为：y ＝x ﹣1，故点N （0，﹣1），即ON ＝1，则CN ＝4，CM ＝CN ＝2，则OM ＝CO +CM ＝2+3＝5，故点M （0，5），则直线m 的表达式为：y ＝x +5…②，联立①②并解得：x ＝﹣1或﹣2，故点P （﹣1，4）或（﹣2，3）；（3）①当MC ∥AQ 且MC ＝AQ 时，M 与C 关于对称轴x ＝﹣1对称， ∴AQ ＝MC ＝2，∴Q 1（﹣1，0），Q 2（﹣5，0），②当AC ∥MQ 且AC ＝MQ 时，点M 到x 轴的距离为3，设M （m ，﹣m 2﹣2m +3），∴﹣m 2﹣2m +3＝﹣3，∴m 2+2m ﹣6＝0， ∴， ∴，；综上：存在点Q 有四个，分别为：Q 1（﹣1，0），Q 2（﹣5，0），，．。
2020年四川省泸州市泸县中考数学一诊试卷
2020 年四川省泸州市泸县中考数学一诊试卷一、选择题（本大题共12 小题，共 36.0 分）一元二次方程2的实数根是1.??=?? ( )A.0或1B. 0C. 1D. ±12. 若一元二次方程 22的一根为 ??= -1 ，则 k 的值为 ( )?? - 2????+ ?? = 0A. -1B. 0C. 1 或-1D.2或03. 关于 x 的一元二次方程 (?? - 1)??2- 2????+ ??= 0有两个实数根，那么m 的取值范围是( )A.C.??> 0?? > 0且??≠1B. D.?? ≥ 0?? ≥ 0，且 ?? ≠14. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )A.B.C.D.5.0 1 23 4这六个数中任选一个数，满足不等式??+1< 2的概小强同学从 -1 ，， ，， ， 率是( )1111A. 5B. 4C. 3D. 26. 在平面直角坐标系中，以原点为旋转中心，把点??(3,4)逆时针旋转 90 °，得到点 B ，则点 B 的坐标为 ( )A. (4, -3)B. (-4,3)C. (-3,4)D. (-3, -4)12+ 2 的顶点坐标为 (7. 抛物线 ??= 2 (??- 1) )A. (-1,2)B. (-1, -2)C. (1,2)D. (1, -2)8. 22 个单位，再向左平移 1 个单位，则得到的抛物线解析式将抛物线 ??= ?? 向下平移 是 ( )A. ??= (??- 1)2- 2B. ??= (??+ 1)2 + 2C. ??= (??- 1)2+ 2D. ??= (??+ 1)2 - 29. 75 °的圆心角所对的弧长是 2.5??????，则此弧所在圆的半径是 ( )A. 6cmB. 7cmC. 8cmD. 9cm10. 如图， AB 是 ⊙ ??的直径， 点 C 、D 是圆上两点， 且 ∠ ??????=126 °，则 ∠ ??????= ( )A. 54°B. 64°C. 27°D. 37°11. 如图，在 ⊙ ??中，弦 ????= 8 ，点 C 在 AB 上移动，连接 OC ，过点 C 作 ????⊥????交 ⊙ ??于点 D ，则 CD 的最大值是 ( )A. 2B. 4C. 6D. 8212.如图是二次函数??= ????+ ????+ ??的图象，对于下列说法：① ????> 0，② 2??+ ??> 0 ，③2，④??+ ??+ ??< 0 ，⑤当 ??> 0时， y 随 x 的增大而减小，其中正确的4????< ??是 ( )A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ③④⑤二、填空题（本大题共 4 小题，共12.0分）， ??分别是一元二次方程222的值是??- 2??- 4 = 0 的两个根，那么13. 如果 ????1+ ??212______．14.一个盒子中装有标号为 1，2，3，4，5 的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球号之和大于 5 的概率为 ______．15.当 0 ≤ ??≤ 3 时，直线 ??= ??与抛物线 ??= (??- 1) 2 - 3有交点，则 a 的取值范围是________．416. 如图，已知直线 ??=3??- 3与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点， P 是以 ??(0,1)为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA PB P的坐标为______，，当△??????的面积最大时，点．三、计算题（本大题共 2 小题，共14.0 分）17.如图，△??????是⊙ ??的内接三角形， ????= ????，弦 AD 交 BC于点 E，连接 BD．(1)求证：∠ ??????= ∠ ??????；(2)若????= 6????，????= 2????，求 AB 的长．18.某中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为 30 米的篱笆围成．已知墙长为 18 米 (如图所示 ) ，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为 x 米．(1) 若平行于墙的一边长为 y 米，直接写出 y 与 x 的函数关系式及其自变量 x 的取值范围；(2)垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值．四、解答题（本大题共 7小题，共58.0 分）19. 解方程： ??(??- 3) = 6 - 2??．20. 已知：关于 x 的一元二次方程2?? + (4?? + 1)??+ 2??- 1 = 0．(1)求证：不论 m 为何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的一个根大于 2，另一个根小于 2，求 m 的取值范围．21.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△??????的三个顶点的坐标分别为??(1,4)， ??(1,1)， ??(3,1)．(1)画出△??????绕点 O 逆时针旋转 90 °后△???? ??；1 1 1(2)在(1) 的条件下，求线段 BC 扫过的图形的面积 ( 结果保留 ??)．22.某学校准备购买若干台 A 型电脑和 B 型打印机．如果购买打印机，一共需要花费 6200 元；如果购买 2 台 A 型电脑，1台 A型电脑， 2台B型1 台 B 型打印机，一共需要花费7900 元．(1)求每台 A 型电脑和每台 B 型打印机的价格分别是多少元？(2) 如果学校购买 A 型电脑和 B 型打印机的预算费用不超过 20000 元，并且购买 B 型打印机．的台数要比购买 A 型电脑的台数多 1 台，那么该学校至多能购买多少台B 型打印机？23.随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：(1)这次活动共调查了多少人；(2)将条形统计图补充完整；(3)在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．24.如图，以△??????的BC边上一点O 为圆心的圆，经过A， B 两点，且与BC 边交于点 E， D 为弧 BE 的中点，连接AD 交 BC 于 F， ????= ????，连接 BD．(1)求证： AC 是⊙ ??的切线；(2)已知⊙ ??的半径 ??= 5????， ????= 8????，求△??????的面积．2??经过 ??(-3,0)， ??(1,0)，??(0,3)三点．25. 如图，抛物线 ??= ????+ ????+(1)求抛物线的解析式；(2)在直线 AC 上方的抛物线上是否存在一点P，使△??????的面积等于△??????的面积的一半？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说名理由；(3)点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q A，C，M，Q为顶点的，使以四边形是平行四边形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】A【解析】解：方程整理得：2?? - ??= 0，分解因式得：??(??- 1) = 0，解得： ??= 0或??= 1，故选： A．方程利用因式分解法求出解即可．此题考查了解一元一次方程- 因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．2.【答案】A2，【解析】解：把 ??= -1 代入方程得： 1 + 2??+ ?? = 0解得： ??= -1 ，故选： A．把 ??= -1 代入方程计算即可求出k 的值．此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．3.【答案】D【解析】解：由题意得： 4??2 - 4(?? -1)?? ≥ 0；??- 1 ≠ 0，解得： ??≥ 0，且 ?? ≠ 1，故选 D．20，即可求得 m 的范围．令△=?? - 4????≥ 0 ，且二次项系数不为一元二次方程有实数根应注意两种情况：△≥0，二次项的系数不为 0．4.【答案】D【解析】解： A、是轴对称图形不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；故选： D．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．5.【答案】C【解析】解：在 -1 ，0， 1，2，3，4 这六个数中，满足不等式??+ 1 < 2的有 -1 、0这两个，所以满足不等式??+ 1 < 2的概率是2=1，63故选： C．找到满足不等式??+ 1 < 2的结果数，再根据概率公式计算可得．本题主要考查概率公式，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．6.【答案】B【解析】 解：如图所示，建立平面直角坐标系，点B 的坐标为 (-4,3) ．故选： B ．建立平面直角坐标系，作出图形，然后根据图形写出点 B 的坐标即可．本题考查了坐标与图形变化- 旋转，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观．7.【答案】 C【解析】 解：抛物线 ??= 12+ 2 的顶点坐标为 (1,2)2(??- 1) ． 故选： C ．利用二次函数的顶点式直接得出顶点坐标即可．此题考查了二次函数的性质， 利用配方法把二次函数化为顶点式是求得对称轴、 顶点坐标的常用方法．8.【答案】 D22【解析】 解：将抛物线 ??= ??向下平移 2个单位 ??= ?? - 2左平移 1 个单位所得直线解析式为： ??= (??+ 1) 2- 2．故选： D ．根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．9.【答案】 A【解析】 解： ∵75°的圆心角所对的弧长是2.5??????，由 ??=??????，18075?? × ??∴2.5??= 180 ， 解得： ??= 6 ， 故选： A ．??????根据弧长公式??=180 ，将 ??= 75 ，??= 2.5??，代入即可求得半径长．?????? 此题主要考查了弧长公式的应用，熟练掌握弧长公式：??=才能准确的解题．18010.【答案】 C【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．由 ∠??????= 126°，可求得 ∠??????的度数，然后由圆周角解：∵∠??????= 126°，∴∠ ??????= 180 °- ∠ ??????= 54 °，1∵∠ ??????=∠ ??????= 27°．2故选： C．11.【答案】B【解析】解：作 ????⊥????于 H，连接 OA、 OD，如图，11∴????= ????=2????= 2×8 = 4，∵????⊥????，22，∴????= √ ????- ????而 OD 为定值， OC 最小时， CD 最大，∴当 ????= ????时， CD 的值最大，∴????的最大值为 4．故选： B．作 ????⊥ ????于 H ，连接 OA 、OD，如图，根据垂径定理得到????= ????=12 ????= 4，再利用勾股定理得到 ????= √????-????，则 OC 最小时， CD 最大，根据垂线段最短得到当22????= ????时， CD 的值最大，从而得到CD 的最大值为4．本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．12.【答案】C【解析】【分析】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【解答】解：①由图象可知： ??> 0 ，??< 0，∴????< 0 ，故①错误；??② 由于对称轴可知：- 2??< 1，∴2??+ ??> 0，故②正确；③ 由于抛物线与x 轴有两个交点，20，故③正确；∴△=?? - 4????>④由图象可知： ??= 1时， ??= ??+ ??+ ??<0 ，故④ 正确；⑤当 ??> - ??时， y随着 x 的增大而增大，故⑤ 错误；2??故选： C．13.【答案】 12【解析】解：∵??， ??分别是一元二次方程2??-2??- 4 = 0 的两个根，12∴??1 + ??2 = 2 ， ??1 ???2 = -4 ，22∴??1+ ??2= (??1 + ??2)2 -2??1 ???2故答案为：12．根据根与系数的关系得到??+ ??2 = 2，??1 ???2 = -422变形为 (??+ ??2)2-1，再把 ?? + ??112，利用整体代入的方法计算．2?? ???12本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关键是掌握方程20的两根为????+ ????+ ??=， ??，则 ??+??=-????，?? ??? = ．??1212??12??314.【答案】5【解析】解：根据题意画图如下：∵共有 20 种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和大于 5 的有 12 种结果，123∴摸出的小球号之和大于 5 的概率为20=5．故答案为：3．5首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球的标号之和大于 5 的情况，再利用概率公式即可求得答案．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率= 所求情况数与总情况数之比．15.≤??≤1【答案】 -3【解析】【解答】解：法一： ??= ??与抛物线 ??= (??-1) 2- 3有交点则有 ??= (??- 1)222??-2- ??= 0- 3，整理得 ?? -24 + 4(2 + ??)≥0∴△=?? - 4????=解得 ??≥ -3 ，∵0 ≤ ??≤ 3，对称轴 ??= 1∴??= (3 -1)2- 3= 1∴??≤ 1法二：由题意可知，∵抛物线的顶点为 (1, -3)，而 0 ≤ ??≤3∴抛物线 y 的取值为 -3≤??≤1∵??= ??，则直线 y 与 x 轴平行，∴要使直线 ??= ??与抛物线 ??= (??-1)2 -3有交点，∴抛物线 y 的取值为 -3≤??≤1，即为 a 的取值范围，∴-3≤ ??≤1故答案为： -3 ≤ ??≤ 1【分析】直线 ??= ??与抛物线 ??= (??- 1) 2 - 3 有交点，则可化为一元二次方程组利用根的判别式进行计算．3 916.【答案】 (- 5 , 5)【解析】 解：过 C 作 ????⊥????于 M ，交 x 轴于 E ，连接 AC ， MC 的延长线交 ⊙ ??于 D ，作 ????⊥ ??轴于 N ，4∵直线 ??= 3 ??- 3 与 x 轴、 y 轴分别交于 A ，B 两点， ∴??(4,0)，??(0,-3) ，∴????= 4 ，????= 3 ，22∴????= √ ????+ ???? = 5 ，则由三角形面积公式得，21 ×????×????= 21×????×????，11∴2 ×5 ×????= 2 ×4 ×(1 + 3) ，16∴????=5，∴????= √ 2212 ，????- ???? =54 1621∴圆 C 上点到直线 ??= 3 ??- 3 的最大距离是 ????= 1 + 5 = 5 ，当 P 点在 D 这个位置时， △??????的面积最大，∵∠ ??????= ∠ ??????= 90 °， ∠ ??????= ∠ ??????，∴△?????? ∽△??????，???? ???? ???? ∴ = = ，???? ???? ???????? ???? 1∴12 =4=16，55∴????= 3 ， ????= 5，4459∴????= 1 + 4 = 4 ， ∵????⊥??轴， ∴????//????，∴△?????? ∽△??????，???? ???????? ???? ∴????= ????=，即 1=????9????35，4 44=∴????=9， ????= 27，520∴????=????-????=27-3=3，204539∴??(- 5,5)，39∴当△??????的面积最大时，点P 的坐标为 (- 5 ,5)．过 C 作????⊥????于 M ，交 x 轴于 E，连接 AC ，MC 的延长线交⊙ ??于 D，作 ????⊥??轴于 N，则由三角形面积公式得，1×????×????=1×????×????C上点到直线 ??=22，可知圆43 ??- 3 的最长距离是DM ，当 P 点在 D 这个位置时，△??????的面积最大，先证得△?????? ∽△??????，求得 OE、 CE，再通过证得△?????? ∽△??????，求得 DN 和 NE，由此求得答案．本题考查了点与圆的位置关系，三角形相似的判定和性质，一次函数图象上点的坐标特征，解此题的关键是求出圆上到直线AB 的最长距离的点，属于中档题目．17.【答案】(1)证明：∵????= ????，∴∠ ??= ∠ ??????，又∵∠??????= ∠??，∴∠ ??????= ∠ ??????；(2) 解：由 (1) 得：∠ ??????= ∠ ??????，又∵∠??????= ∠??????，∴△?????? ∽△??????，???? ????∴=，???? ????2∴???? = ????????= 6 ×8 ．又∵????> 0，∴????= 4 √3(????)．【解析】 (1) 证得∠??= ∠??????，∠??????= ∠??，则结论得证；????????(2) 证明△?????? ∽△??????，可得????=，则可求出答案．????本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握定理的内容是解题的关键．18.【答案】解：(1)?? = 30 - 2??，(6≤??< 15)；(2)设矩形苗圃的面积为 S??= ????= ??(30 - 2??)= -2(?? - 7.5) 2 + 112.5 ，由(1) 知，6 ≤ ??< 15，∴当 ??= 7.5 时， S 有最大值 112.5即当垂直于墙的一边的长为7.5米时，这个苗圃园的面积最大，这个最大值为112.5 ．【解析】 (1) 由总长度 - 垂直于墙的两边的长度 = 平行于墙的这边的长度，根据墙的长度就可以求出 x 的取值范围；(2)由长方形的面积公式建立二次函数，利用二次函数性质求出其解即可．此题考查了二次函数的实际应用问题．解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可．19.【答案】解：∵??(??- 3) = -2(?? - 3)，∴(??- 3)(??+ 2) = 0 ，则 (??- 3) = 0或者 (??+ 2) = 0， 解得 ??= 3，?? = -2 ．1 2【解析】 利用因式分解法求解可得．本题主要考查解一元二次方程的能力， 熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法： 直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解 题的关键．2(4?? + 1) 2- 4(2?? - 1) 220.【答案】 (1) 证明： △=?? - 4????== 16?? + 5，∵16??2≥ 0，∴△≥5 > 0，所以，不论 m 取何实数，方程总有两个实数根．(2) 设两个实数根为 ??，??，12则 ??， ????12 = 2??- 1，1 + ??2 = -(4?? + 1)∵方程的一个根大于 2，另一个根小于 2，∴(?? - 2)(?? - 2) = ???? -2(??+ ??)+4< 01 21 212∴2??- 1 + 2(4?? + 1) + 4 < 0，解得： ??< - 1，21∴方程的一个根大于 2，另一个根小于 2， m 的取值范围是 ?? < - 2．【解析】(1) 根据方程的系数结合根的判别式， 可得出 △=16??2+ 5 > 0 ，进而即可证出： 不论 m 为何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2) 当两根一个大于 2 一个小于 2 时，得到方程有两个不相等的实数根其两根与 2 的差的积小于零，列出不等式解之即可．本题考查了根的判别式及根与系数的关系， 解题的关键是正确的运用判别式及韦达定理． 21.【答案】 解： (1) △??????绕点 O 逆时针旋转 90°后的 △?? ????如图所示；2 2 22+ 12= √10，(2) ∵????= √2 ， ????= √322??∴线段 BC 扫过的图形的面积??=90??(????-???? )= 360．4 ×(10 - 2) = 2??【解析】 (1) 依据旋转变换的性质画出图形即可；(2) 依据图形面积的和差关系，可得 的面积 - 扇形 ??????的面BC 扫过的面积 = 扇形 ??????11积，由此计算即可．本题考查了利用旋转变换作图， 轴对称和扇形面积公式等知识， 熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．【答案】解： (1) 设 A 型电脑每台 x 元， B 型打印机每台y 元，22.则{??+ 2??= 6200 ，2??+ ??= 7900??= 3200解得：{??= 1500，答： A 型电脑每台3200元， B 型打印机每台 1500元．(2) 设 A 型电脑购买 a 台，则 B 型打印机购买 (??+1) 台，则 3200??+ 1500(?? + 1)≤ 20000 ，47??+ 15 ≤ 200 ，47??≤ 185 ，??≤ 3 4745，∵??为正整数，∴??≤ 3 ，答：学校最多能购买 4 台 B 型打印机．【解析】 (1) 设 A 型电脑每台 x 元， B 型打印机每台y 元，根据题意可得等量关系： 1 台A 型电脑的花费 +2 台 B 型打印机的花费 = 6200 元； 2 台 A 型电脑的花费 +1 台 B 型打印机的花费 = 7900 元，根据等量关系列出方程组，再解即可；(2) 设 A 型电脑购买 a 台，则 B 型打印机购买 (??+1) 台，根据“购买 A 型电脑和 B 型打印机的预算费用不超过20000 元”列出不等式，再解即可．此题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系和不等关系，列出方程组和不等式．23.【答案】解：(1)本次活动调查的总人数为(45 +50 + 15) ÷(1 -15% - 30%)= 200人，故答案为： 200；(2)微信人数为 200 ×30% = 60 人，银行卡人数为 200 ×15% = 30 人，补全图形如下：(3)将微信记为 A、支付宝记为 B、银行卡记为 C，画树状图如下：∵共有 9 种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有 3 种，31∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为9= 3．【解析】 (1) 用支付宝、现金及其他的人数和除以这三者的百分比之和可得总人数；(2)用总人数乘以对应百分比可得微信、银行卡的人数，从而补全图形；(3)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人恰好选择同一种支付方式的情况，再利用概率公式即可求得答案．此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率 = 所求情况数与总情况数之比．24.【答案】(1)证明：连接OA，OD．∵点 D 是弧 BE 的中点，∴∠ ??????= ∠ ??????=90 °，∴∠ ??????+ ∠ ??????=90 °又∵∠??????=∠??????，∴∠ ??????+ ∠ ??????=90 °又∵????= ????，∴∠ ??????= ∠ ??????，∵????= ????，∴∠ ??????= ∠ ??????，∴∠ ??????+ ∠ ??????=90 °，即∠??????= 90°，故 AC 是⊙ ??的切线；(2) 解：过点 B 作????⊥????于 G，∵∠ ??????= 90 °， ????=????= ??=5，2222= 5√2，∴????= √ ????+ ???? =√5+ 5∵点 D 是弧 BE 的中点，∴∠ ??????= 45 °，∵∠ ??????= 90 °，∴∠ ??????= ∠ ??????=45 °，即 ????=????．222，∴2???? = ????= 8∴????= ????= 4√2222-(4 √2)2= 3√2，又∵????= √ ????-???? = √(5 √2)∴????= ????+ ????= 4√2+ 3√2= 7√2故 ??112△ ??????=2????????= 2×7√2 ×4√2 = 28(???? ).【解析】 (1) 连接 OA、OD ，求出∠??+ ∠??????= 90°，推出∠??????= ∠??????，∠??????= ∠??，求出∠??????+ ∠??????= 90°，根据切线的判定推出即可；(2) 过点 B 作 ????⊥????于 G，根据勾股定理得到2222= 5√2 ，????= √ ????+ ???? = √5 + 5????= ????= 4 √2，又根据三角形的面积公式即可得到结论．本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质和判定，勾股定理等知识点的应用，主要考查学生的推理和计算的能力．25.【答案】解：(1)抛物线的表达式为：2，??= ??(??+ 3)(?? - 1) = ??(??+ 2??- 3)故 -3?? = 3，解得： ??= -1 ，故抛物线的表达式为： ??= -?? 2 - 2??+ 3 ①；(2)过点 B 作直线 BC 的平行线 n 交 y 轴于点 N，过点 P 作 AC 的平行线交 y 轴于点 M ，∵△??????的面积等于△??????的面积的一半，1∴????= 2 ????，由点 A、 C 的坐标得，直线AC 的表达式为：??= ??+ 3 ，则直线 n 的表达式为： ??= ??- 1 ，故点 ??(0,-1) ，即 ????= 1，则 ????= 4， ????=12 ????= 2，则 ????= ????+ ????= 2 + 3 = 5，故点 ??(0,5) ，则直线 m 的表达式为： ??= ??+ 5 ②，联立①②并解得： ??= -1 或 -2 ，故点 ??(-1,4) 或 (-2,3) ；(3)①当 ????//????且????= ????时， M 与 C 关于对称轴 ??= -1 对称，∴????= ????= 2，∴??1 (-1,0) ， ??2 (-5,0)，②当 ????//????且 ????=????时，点 M 到 x 轴的距离为3，设 ??(??,-?? 2 - 2?? + 3) ，∴-??2- 2??+ 3= -3 ，∴??2+ 2??- 6 = 0，∴?? = -1±√7，∴??3 (2 - √7, 0) ， ??4 (2 + √7, 0) ；综上：存在点Q 有四个，分别为： ??(-1,0)?? (-5,0)，??(2- √7, 0) ，??(2 + √7, 0) ．1，234【解析】 (1) 抛物线的表达式为： ??= ??(??+ 3)(?? -2，故 -3?? = 3，1) = ??(??+ 2??- 3)解得： ??= -1 ，即可求解；(2) 过点 B 作直线 BC 的平行线 n 交 y 轴于点 N，过点 P 作 AC 的平行线交y 轴于点 M ，1△??????的面积等于△??????的面积的一半，则 ????= 2????，即可求解；(3)①当 ????//????且????= ????时， M 与 C 关于对称轴 ??= -1 对称， ????= ????= 2，即可求解；②当 ????//????且 ????= ????时，点 M 到 x轴的距离为 3，设??(??,-?? 2 - 2?? + 3) ，则-??2 - 2?? +3 = -3 ，即可求解．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。
四川省泸州市高三上学期教学质量诊断性考试数学(理)---精校解析.doc
泸州市高高三第一次教学质量诊断性考试数学(理科)第I卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.已知集合A={(x,y)|y = -x + 2}, B = {(x,y)|y = 2X},则A Cl B元素的个数为()A.0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】(y =・ x + 2AAB={ (x, y) |i Y=2X },由此能求出集合AAB的元素个数.【详解】•・•集合A ={(x,y)|y=・x+2}, B = {(x,y)|y = 2X},iy = -x + 2・・・AQB={ (x, y) |l y = 2X } = { (1, 1) }.・・・集合AAB的元素个数是1个.故选：B.【点睛】本题考查两个集合的交集中元索个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用.2.命题“WMR, e x>x+l (e是自然对数的底数)”的否定是()A.不存在xWR,使e x>x+ 1B. y xGR，使e x<x+ 1C. bxGR,使etx+lD. mxGR,使e x<x + 1【答案】D【解析】【分析】根据全称命题的否定为特称命题写出结果即可.【详解】命题““WxWR, e">x+l”的否定是3X GR，使e x<x+l,故选：D.【点睛】本题考查的知识点是全称命题，命题的否定，难度不大，属于基础题.tanx3.已知函数21-tan x,则函数f（x）的最小正周期为7C冗Tt冗A. 6B. 3C. 2D. 4【答案】C【解析】【分析】利用同角三角函数之间的关系，结合二倍角的正弦公式与二倍角的余弦公式，将f（x）化为1—tan。
v2,从而可得结果.sinxtanx cosx sinxcosx1 -tan2x•乍? ・乍siiTx cos~x ・ sin x1 -------cos"x【详解】1~sin2x2 cos2x1= -tan2x2 ,兀・・・f（x）的最小正周期为2,故选c.【点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式的应用，以及正切函数的周期性，属于屮档题.三角函数式的化简，应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用.1 11亍】3 3a = （-）b = （-）**c = ln（-）4.设2 , 3 , 兀，则下列关系正确的是（）A. a> b >cB. b >a >c c. a> c> b D. c > b>a【答案】A【解析】【分析】利用指对函数、幕函数的单调性求解.=lx I【详解】利用旷口）与yf2的单调性可知:c = l又 • a> b>c 故选：A【点睛】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时耍认真审题，注意幕函数、对数 函数和指数函数的性质的合理运用.5. 函数f （x ） = xcosx-sinx 的图象大致为【解析】【详解】分析：用排除法，根据奇偶性可排除选项BC ；由彳自一・ 而可得结果.详解： 因为K - x) = - xcosx + sinx = - (xcosx - sinx) = - f(x)9所以函数f （x ） = XCOSX - Sinx 是奇函数,函数图象关于原点对称，可排除选项BC, 由伊亠°,可排除选项A,故选D.点睛：函数图彖的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图彖的左右位置；从函 数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的 奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象. 6. 若In 是两条不同的直线，m 垂直于平面ct,则“1丄m”是的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不D.1 <0，可排除选项A,从= b>0nl =0 【答案】D必要条件【答案】B【解析】若1丄叫因为m垂直于平面a,则l//ct或luct；若l//a,又m垂直于平面（X,贝|J1丄m,所以“1丄m” 是“l〃a 的必要不充分条件，故选B.考点：空间直线和平血、直线和直线的位置关系.视频口7.正数d b, c满足3a = 4b = 6c，则下列关系正确的是（）1 1 1 —| __2 2 1 __ sx _ | __1 2 2 __ sx _ | _ 2 1 2 __ sx _ |_A. c 3 bB. c 3 bC. c 3 bD. c a b【答案】B【解析】因为d,b,c>0,且3a = 4b = 6C = k a = log3k,b = log4k,c = lo&k2 2 1••. — = — + —cab,则可知选B71乙ABC = _&在梯形ABCD中，2, AD II BC, BC = 2AD = 2AB = 2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲而所禺成的几何体的表而积为（）A. （5 + Q）兀B. （4 + 血）兀c. （5 + 2血加D. G + 為兀【答案】A【解析】【分析】将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是：一个底面半径为AB=1,高为BC 二2的圆柱减去一个底面半径为AB二1,高为BC・AD二2・1二1的圆锥，由此能求出该儿何体的表而积.【详解】•・•在梯形ABCD 中，ZABC=2,AD〃BC, BC=2AD=2AB=2,・・・将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是: 一个底面半径为AB=1,高为BC 二2的圆柱减去一个底面半径为AB=1, 高为BC - AD=2 - 1=1的圆锥,・・・儿何体的表面积为：S= H X r+2 H X 1 X2+兀'1 ：< JF+ 1，=（5+血）兀.故选：A. 【点睛】本题考查旋转体的表面积的求法，考查圆柱、圆锥性质等基础知识，考查运算求解 能力、考查空I'可想象能力，是基础题.【答案】A【解析】【分析】【详解】由最大值为2的，得A = 2启,T 4 7T2 兀得到的函数图彖关于直线 6 6对称，贝阻的最小值为A. 8B. 6C. 4D. 3 由图象求得函数的的解析式 经过周期变换与相位变换可得2可得结果.由2 3 3 ，得 «的横坐标缩短为原来的4,纵坐标不变，再将所得图象上所有点向右平移e （e>0）个单位长度,4x ・ 40 Q 3/,由 6 3—=-7C - ~ = 7C T = 2?C =——,0) = 1兀=0,・肓+…71 兀 v |©| < ― (0 =-— 2屮3f(x) = 2^/3sin(x1将函数y = f(x)的图彖上所有点的横坐标缩短为原来的4,纵坐标不变, 再将所得图象上所有点向右平移e (e > °)个单位长度，2丽sin (4x - 49 - -j5 5 兀 兀 x = - 4 x -ye ■一 = kz + - •••g (x)图象关于 6对称，6 3 2 5兀 40 = -k7c + —— 2 ■兀k = 2时，°最小为故选A. 【点睛】本题考查了三角函数的图彖与性质，重点考查学生对三角函数图彖变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学牛对所学 知识理解的深度. 10.《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼 成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为％卩，且小正方形与大正方形面积之比为 9:25,则cos(a-p)的值为() A. 9 B. 9 c. 16 D. 25【答案】D【解析】【分析】3设大的正方形的边长为1,由已知可求小正方形的边长，可求cos a ・sina=5, sinB -3cos 3 =5,且cos a 二sin 0, sina=C osP ,进而利用两角差的余弦函数公式，同角三角函数基 本关系式即可计算得解.7T1 g(x) = 2p5sin 4(x ・ 0) ■- 得到 丫 [3【详解】设大的正方形的边长为1,由于小正方形与大正方形面积之比为9： 25,3可得：小正方形的边长为5,3 3可得：cos a ・ sin a 二5,①s j n p ・ cos 0 二5,②由图可得：cos a =sin0, sin a 二cos B,9① X ②可得：25 二cos a sin 3 +sin a cos B - cos a cos B - sina sinP=sin'P +cos2 B - cos ( a-S ) =1 - cos ( a - B ),16解得：cos ( a - B ) =25.故选：D.【点睛】本题主要考查了两角差的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式的综合应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题.11•某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()循a16 + 24 兀16 + 16兀8 + 8兀16 + 8兀A. 3B. 3C. 3D. 3【答案】D【解析】1由三视图可知该几何体为一个四棱锥和一个4球体的组合体，其中四棱锥的是以侧视图为底血,1 16 1 14 ,8-X4x2x2 =——・- -X -7T X (2) = -7U其体积为3 3而4球体的体积为4 3 3 .16 + 8 兀故组合体的体积为3故选D12.已知函数f(x) = e x_1-alnx + (a-l)x + a(a>0)的值域与函数f(f(x))的值域相同，则啲取值范围【答案】C【解析】【分析】求出f (x)的单调区间和值域，从而得出f (x)的最大值与单调区间端点的关系，从而得出a的范围.【详解】f (x)的定义域为(0, +8).f(x)=e x_1 -- + a- 1x，在(0, +8)递增.而f' (1) =e° - a+a - 1=0,则f (x)在(0, 1)上单减，在(1, +8)上单增，f (1) =2a.・・.f (x)的值域为［2a, +8).1V —要使y=f［f (x)］与y=f (x)的值域相同，只需2aWl,又a>0,解得02.故选：C.【点睛】木题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程与不等式的解法，考査了推理能力与计算能力，属于难题.第II卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分•把答案填在答题纸上)log^x-2) > 013•使不等式2 成立的x的取值范围是________ .【答案】23)【解析】【分析】利用对数函数的单调性即可得到结杲.log1(x-2)>0 = log1l【详解】•・• 2 2;.0<x-2<l,即2<x<3故答案为：Q，3)【点睛】本题考查了对数不等式的解法，解题关键利用好对数函数的单调性，勿忘真数的限制.14.在△ ABC屮，角A, B, C所对的边分别为％b, c,若asinA = csmC + (a-b)sinB,则角C的大小为_______ .7U【答案】3【解析】【分析】7 2 2由asinA = csinC + (a ・b)sinB,利用正弦定理可得才+ b-c = ab,再根据余弦定理可得结果.［详解］•••跆匚皿=csinC + (a - b)sinB,a c ba x — = c x — + (a-b) x —•••由正弦定理可得2a 2R 2R,化为a2 + b2-c2 = ab,a2 + b2-c2 1cosC = ----------- =-2ab 2,71 71c =——3,故答案为3.【点睛】解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷.如果式子屮含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子屮含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.f(x) = f27U7°15.已知函数______________________________________ 1 -很x>0 ,则f(x+l)-9<0的解集为.【答案】［-4, + s)【解析】【分析】I X<-1 i X>-1原不等式等价于|2_(x + 1)-8<0或(-小?匚1-9三° ,分别求解不等式组，再求并集即可.f(x)fl，x 宇【详解】•••I・&,x>0 ,(X<-1•••当x+l<o时，(2_(x + 1)-8<0 ,解得-4SX—1；( x> -1当x+l> 0时，(-&T1-9S0 ,解得X>—1,综上，x>-4,即f(x+l)-9<0的解集为+ 00),故答案为［-4, + oo).【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数解不等式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定耍层次清塑，思路清晰.16.长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=2AD, E是DR的中点，坯=C】K =，设过点已、F、K的平面与平面AC的交线为1,则直线1与直线A】Di所成角的正切值为__________ .【答案】4【解析】【分析】延长KE, KF找到交线为MN,又CN平行于A i D i,故MN与CN所成角为所求.DE 2【详解】延长KE, CD交于M点，又CK 3MD_2・・・疋亍BF _ 1同样延长KF, CB交于N点，又CK 3NB _ 1•NC 3••即为过点E、F、K的平面与平面AC的交线为1,又CN平行于"Di即MN与CN所成角为所求，记所成角为&MC 3CDtan0 = ----- = ------ = 4NC 3—BC则 2故答案为：4【点睛】本题主要考查异面直线所成的角问题，难度一般.求异面直线所成角的步骤：1平移，将两条异而直线平移成相交直线.2定角，根据异面直线所成角的定义找出所成角.3求角，在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角.4结论.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.1 COS A L=—17.在A ABC 中，角A, B, C 所对的边分别是a, b, c,已知a = 6,* 8.(1)若b = 5,求smC 的值；150⑵AABC 的面积为〒，求b + c 的值.—【答案】(1) 4； (2) b + c=9【解析】 【分析】13^7 5^7 cosA = 一sinA = ---- sinB = ---------------------------- (1) rh 6可得8 ,由正弦定理可得 16, s 哎（2）由zc °,可得be = 20,再利用余弦定理，配方后化 简可得b + c = 9.b . 5帀 sinB = -sinA = -----由正弦定理 a 16,71 0<B <A<-因为所以2,所以=sinAcosB + cosAsinB =— sinC = sin(A + B) 41 1 3^7 15^7S AARP = —besinA = —be x -- = ------ (2) 2 2 8 4, Abe = 20, .7 7 1999 = b + c - 2 x 20 x - = 36犷=・ 2bccosA 8 ,,\b 2+ c 2 = 41, (b + c)2 = b 2 + c 2 + 2bc =41+40 = 81, • b + c =9• •【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形屮的应用，属于屮档题.正弦定理是解1cosA = 一由 6 9 cosB =—求得 16,利用诱导公式及两角和的正眩公式可得结果; 【详解】（1） 7C0 VA V —则 2sxnA 卫89 cosB =—16,三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；(4)求三角形外接圆半径.18.已知函数f(x) = ax-2sinx + xcosx.(1)求曲线y = f(x)在x =兀处的切线在y轴上的截距；兀[0厂](2)若函数Kx)在区间2上是增函数，求实数a的取值范围.71[一,+ 00)【答案】(1) 一2叫(2) 2【解析】【分析】(1)因为f(x) = a - cosx . xsinx^f(7U)= a + 1,又f@) =耐兀求出切线方程即可得到结果;(2)因为兀兀[0-] [0-]f(x)在区间2上是增函数，所以f(x)20在区间2上恒成立.通过分离变量，构造函数，把问题转化为函数的最值问题.【详解】(]) 因为f (x) = a ・ 2cosx + cosx - xsinx = 3 ・ cosx - xsinx, 当x =冗时,f(7t) = a?c ■兀,f(兀)=a+ 1, 所以曲线y = f(x)在x =兀处的切线方程为：y - (a7t - 7c) = (a + l)(x -兀)，所以曲线y = f(x)在x=兀处的切线在y轴上的截距为・2疋7C[0厂] (2)因为f(x)在区间2上是增函数，71[0-]所以Hx)nO在区间2上恒成立，贝爬・cosx ・ xsinx > 0, 即a n cosx + xsinx,令g(x) = cosx + xsinx贝ijg r(x) = - sinx + sinx + xcosx = xcosx > 0,7C[0-]所以g(x)在区间2上单调递增，兀71 所严"护，71[-+ °°)故实数&的取值范围是2 .【点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量, 构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.兀兀19.如图，在平面直角坐标系xOy中，点八区⑷严為血都在单位圆O上，厶xOA = a,且3‘2 .7C 兀Xi = cosa = cos[(a +-)--] “y° = sin(a+-)66 ,结合两角差的余弦公式可得结果；(2)由题知勺-cosa, - 37C乙AOB = — 1 9(2)若 3,求y=x ： + y3的取值范围._ 1 1【答案】(1)勺7； (2)(4,0【解析】 【分析】(1)由三角函数的定义可得X 1=cosa. 兀 13兀sin(a + —)=——cos(a + —)=6 14,可得 6丿利用710 C 0 兀 y = x ； + = cos^a + sin^(a + -) 则’ ■ 3 ,利用降幕公式以及辅助角公式化简为2帀 in(2a + -)+l3,利用三角函数的有界性可得结果.【详解】(1)由三角函数的定义有X 1=cosa兀 sin(a + -) 因为 6丿13~R 7171a G (--)3 2 ,7C7C5兀 兀一va+一v —— cos(a + -)所以26 6,6冗 7CX] = cosa =cos[(a+ -) - -1 所以6 67U 71 兀 71 =cos(a + -)cos - + sin(a + -)sin-6 6 6 6 3$ $ 13 1■ -- • -- + --- •— 14 2 14 2 17. ♦7C(2)由题知『沁,y2 = Sm(a+?3$7C1 ・ cos2(a + -)1+ cos2a 3----------- +------------------- 2 2 3 书. & . 7C=1 + -cos2a + ―in2a =——sin(2a + -) + 144 237所以y 的収值范围是【点睛】以平面图形为载体，三角恒等变换为手段，对三角函数及解三角形进行考查是近几 年高考考查的一类热点问题，i 般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正 余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练学握并灵活应用，特别是二倍角公式的各 种变化形式要熟记于心.兀 乙 BCD= _20.如图，在四棱锥P-ABCD 中，平面PBC 丄平面ABCD,底面ABCD 是平行四边形，且 4,（2）若底面ABCD 是菱形，PA 与平面ABCD 所成角为6,求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角 的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2） 2. 【解析】 【分析】（1）过P 作PE 丄BC,垂足为E,连接DE,只需证明DE = EC 即可；⑵厶DPE 是平面PAD 与平 面PBC所成锐二面角的平而角，在三角形屮求解即可.y=x ； + y ； r . r 兀 =cos^a + sirT(a + -)3 HitaG (?2}兀 4兀 2七珂兀，亍）,sin(2a+-)G(-^,0)PD 丄 BC【详解】（1）过P作PE丄BC,垂足为E,连接DE, 因为平而PBC丄平而ABCD,所以PE丄平而ABCD, 因为PD1BC,所以BC丄平面PDE,所以DE1BC,71乙BCD =-因为％所以DE = EC,因为APED三APEC,所以PD = PC.解法一：（2）因为BC II AD, BCC平面ADP, AD u 平面ADP, 所以BCII平面ADP,设平面PBCA平面PAD =直线1,所以1IIBC,因为BC丄平而PDE,所以1丄PE, 1丄PD,所以乙DPE是平面PAD与平面PBC所成锐二面角的平面角，因为PE丄平面ABCD,兀乙P AE = _故乙PAE是直线PA与平面ABCD所成角，即6,设PE = a,则AE = ^a, PA = 2a,设DE = m,则EC = m, DC=Qm,所以（^a）2 = m2 +（72m）2,所以兀^2乙DPE = - cos 乙DPE =—故4,所以2,即平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为2 .解法二：（2）因为BC丄平面PDE, PE丄平面ABCD,7C乙P AE =-故乙PAE是直线PA与平面ABCD所成角，即6,且DE 丄BC, DE 丄PE,设PE = a,则AE = j3m, PA = 2a t在ADEC 中，设DE = m,则EC = m, DC = Qm, 在AEDA 中，所以(伍)2 = iJ +(Qm )2,所以m =a>以E 为坐标原点，分别以ED 、DB 、EP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系, 则 13(X0,0), A(a,血0), P(0,0,a),则平面PBC 的法向量a = (1,0,0), 设平面PAD 的法向量b =(x,y,z), 因为心=AD = (0, - V2m,0),设平血PBD 与平血PAC 的夹角为平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值为2 .计算。
四川省泸州市高考数学一模试卷(理科)
四川省泸州市高考数学一模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分） (2015高三上·日喀则期末) 若集合A={x|2x＜5}，集合B={﹣1，0，1，3}，则A∩B等于（）A . {0，1}B . {﹣1，0，1}C . {0，1，3}D . {﹣1，0，1，3}2. （2分）(2017·武汉模拟) 设实数x、y满足约束条件，则2x+ 的最小值为（）A . 2B .C .D .3. （2分） (2016高二下·宜春期中) 已知点P的极坐标为（2，），那么过点P且平行于极轴的直线的极坐标方程是（）A . ρsinθ=B . ρsinθ=2C . ρcosθ=D . ρcosθ=24. （2分） (2016高三上·巨野期中) 若“0≤x≤4”是“（x﹣a）[x﹣（a+2）]≤0”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）A . （0，2）B . [0，2]C . [﹣2，0]D . （﹣2，0）5. （2分）执行如图所示的程序框图,若输入n的值为22,则输出的s的值为（）A . 232B . 211C . 210D . 1916. （2分）一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则侧视图的面积为（）A . 8B .C .D . 47. （2分） (2016高一下·岳阳期中) 在△ABC中，D是BC的中点，| |=3，点P在AD上，且满足 =，则•（ + ）=（）A . 4B . 2C . ﹣2D . ﹣48. （2分）(2017·浙江模拟) 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若（b﹣ c）sinB+csinC=asinA，则sinA=（）A .B .C .D .二、填空题 (共6题；共6分)9. （1分）设（，是虚数单位），满足，则 ________.10. （1分）(2017·盐城模拟) 设数列{an}的首项a1=1，且满足a2n+1=2a2n﹣1与a2n=a2n﹣1+1，则S20=________．11. （1分） (2017高二下·淄川开学考) 设抛物线y2=4x上一点P到直线x+2=0的距离是6，则点P到抛物线焦点F的距离为________．12. （1分）将函数y=sinx的图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数解析式是________13. （1分）(2017·河北模拟) 已知一个公园的形状如图所示，现有3种不同的植物要种在此公园的A，B，C，D，E这五个区域内，要求有公共边界的两块相邻区域种不同的植物，则不同的种法共有________种．14. （1分） (2018高一上·江津月考) 已知函数，，则满足的的取值范围是________.三、解答题 (共6题；共60分)15. （5分）(2017·九江模拟) △ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2A=3cos（B+C）+1．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若cosBcosC=﹣，且△ABC的面积为2 ，求a．16. （10分） (2017高一下·伊春期末) 从5名男生和3名女生中任选3人参加奥数训练，设随机变量X表示所选3人中女生的人数（1）求“所选3人中女生人数X>1”的概率.（2）求X的分布列及数学期望.17. （15分） (2015高一上·银川期末) 如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC= ，O，M分别为AB，VA的中点．（1）求证：VB∥平面MOC．（2）求证：平面MOC⊥平面VAB．（3）求二面角C﹣VB﹣A的平面角的余弦值．18. （10分）已知函数与（其中）在上的单调性正好相反，回答下列问题：（1）对于，，不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）令，两正实数、满足，求证： .19. （5分） (2017高二下·嘉兴期末) 如图，已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2 ，焦距为2，过点F2作直线l交椭圆于M、N两点，△F1MN的周长为8．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l分别交直线y= x，y=﹣ x于P，Q两点，求的取值范围．20. （15分）(2020·海安模拟) 已知函数 f（x）＝a（|sinx|+|cosx|）﹣sin2x﹣1，a∈R．（1）写出函数 f（x）的最小正周期（不必写出过程）；（2）求函数 f（x）的最大值；（3）当a＝1时，若函数 f（x）在区间（0，kπ）（k∈N*）上恰有2015个零点，求k的值．参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共6题；共6分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共6题；共60分)15-1、16-1、16-2、17-1、17-2、17-3、18-1、第11 页共14 页18-2、第12 页共14 页第13 页共14 页19-1、20-1、20-2、20-3、第14 页共14 页。
四川省泸州市2024届高三上学期数学(理科)一诊模拟(二)试题含解析
泸州高2021级高三上期一诊模拟(二)数学（理科）（答案在最后）第Ⅰ卷(选择题，共60分）一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2=+28<0A x x x -，{}4,2,0,2,4B =--，则A B ⋂=（）A.{}2,0- B.{}4,2,0,2-- C.{}0,2 D.{}2,0,2,4-【答案】A 【解析】【分析】解出集合A 中的不等式，然后根据集合的交集运算可得答案.【详解】因为{}{}2=+28<0=4<<2A x x x x x --，{}4,2,0,2,4B =--，所以{}2,0A B ⋂=-.故选：A2.已知34a =，2log 3b =，则ab =（）A.2B.9C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】利用指数式和对数式的关系可得a 的值，再根据换底公式可得.【详解】因为34a =，所以3log 4a =，所以322lg 2lg 3log 4log 32lg 3lg 2ab =⨯=⨯=.故选：A3.设l 是直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若//l α，l //β，则//αβB.若//l α，l β⊥，则αβ⊥C.若αβ⊥，l α⊥，则l //βD.若αβ⊥，//l α，则l β⊥【答案】B【解析】【分析】举例说明判断ACD ；利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理判断D.【详解】对于A ，若,αβ相交，令a αβ⋂=，当l a //，且,l l αβ⊄⊄时，满足//l α，l //β，显然,αβ不平行，A 错误；对于B ，//l α，则存在直线b α⊂，使得//l b ，而l β⊥，则b β⊥，因此αβ⊥，B 正确；对于C ，若αβ⊥，令m αβ= ，当l β⊂且l m ⊥时，满足l α⊥，而l 与β不平行，C 错误；对于D ，若αβ⊥，令⋂=c αβ，当//l c ，l α⊄时，有//l α，此时l //β或l β⊂，l 与β不垂直，D 错误．故选：B4.当某种药物的浓度大于100mg/L （有效水平）时才能治疗疾病，且最高浓度不能超过1000mg/L （安全水平）．从实验知道该药物浓度以每小时按现有量14%的速度衰减．若治疗时首次服用后的药物浓度约为600mg/L ，当药物浓度低于有效水平时再次服用，且每次服用剂量相同，在以下给出的服用间隔时间中，最合适的一项为（）（参考数据：lg 20.301≈，lg 30.477≈，lg86 1.935≈）A.4小时 B.6小时C.8小时D.12小时【答案】D 【解析】【分析】设n 小时后药物浓度为()160010.14n y -=⨯-，由题意可得()160010.14100n -⨯-<，两边取常用对数求解即可.【详解】设n 小时后药物浓度为()160010.14n y-=⨯-若n 小时后药物浓度小于100mg/L ，则需再服药.由题意可得()160010.14100n -⨯-<，即110.866n -<所以()1lg 0.86lg 6n -<-，则lg 6lg 2lg30.3010.4770.778111.969lg 0.86lg86lg100 1.93520.065n -++->=-=-=≈--所以12.969n>所以在首次服药后13个小时再次服药最合适，则服用药物的间隔时间12小时最合适故选：D5.已知命题p ：函数()af x x =在()0,∞+上单调递减；命题:q x ∀∈R ，都有220ax x a -+≤．若p q ∨为真命题，p q ∧为假，则实数a 的取值范围为（）．A.()1,0- B.[]0,1C.(]()10,-∞-+∞ , D.(](),11,-∞-⋃+∞【答案】A 【解析】【分析】根据题意求出,p q 为真命题时的范围，进而根据,p q 中一真一假分两类情况讨论即可求解.【详解】若命题p 为真，则a<0，若q 为真，则21440a a a <⎧⇒≤-⎨∆=-≤⎩，由于p q ∨为真命题，p q ∧为假，则,p q 中一真一假若p 真q 假，则满足：0101a a a <⎧⇒-<<⎨>-⎩；若q 真p 假，则满足：01a a ≥⎧⎨≤-⎩，此时a 无解，综上10a -<<故选：A6.已知πsin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2πcos 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.13-B.13C.3-D.3【答案】A 【解析】【分析】以π6α+为整体，结合倍角公式可得πcos 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再利用诱导公式运算求解.【详解】因为22πππ31cos 2=cos212sin 1236633ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-+=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以2πππ1cos 2cos π2cos 23333ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故选：A.7.若1a b >>，01c <<，则A.c c a b < B.c cab ba < C.log log b a a c b c < D.log log a b c c<【答案】C 【解析】【详解】试题分析：用特殊值法，令3a =，2b =，12c =得112232>，选项A 错误，11223223⨯>⨯，选项B 错误，3211log log 22>，选项D 错误，因为lg lg log log lg ()lg (11lg lg lg lg a bb b ab a a b a b ac b c c c a b b a a b a b a --=⋅-=⋅>>∴<<< lg lg 001lg 0log log lg lg a bb a a bc c a c b c b a-∴><<∴<∴< 选项C 正确，故选C ．【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.8.在梯形ABCD 中，//,2,1AB CD AB AD CD CB ====，将ACD 沿AC 折起，连接BD ，得到三棱锥D ABC -，则三棱锥D ABC -体积最大时，其外接球的表面积为（）A.9π4B.5π2C.9π2D.5π【答案】D 【解析】【分析】如图所示，过点C 作CE AB ⊥，由余弦定理得AC =ACD ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -体积最大，记O 为外接球球心，半径为R ，其中ACD 的外接圆的圆心为1O ，结合球的截面的性质，求得外接球的半径254R =，结合球的表面积公式，即可求解.【详解】如图所示，过点C 作CE AB ⊥，垂足为E ，因为ABCD 为等腰梯形，且2,1AB CD ==，所以12BE =，且π3B =，由余弦定理得2222cos 33AC AB BC AB BC π=+-⋅=，可得AC =因为222AB BC AC =+，所以BC AC ⊥，当平面ACD ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -体积最大，此时BC ⊥平面ACD ，记O 为外接球球心，半径为R ，其中ACD 的外接圆的圆心为1O ，连接1OO ，则1OO ⊥平面ACD ，所以1//OO BC ，取BC 的中点E ，因为OB OC =，且1BC =，所以O 到平面ACD 的距离12d =，又因为ACD 的外接圆半径12π2sin 3ACr ==，所以22254=+=R r d ，所以球O 的表面积为24π5πS R ==.故选：D.9.将函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()g x 的图象的一条对称轴是直线4x π=-，则ω的最小值为（）A.32B.2C.3D.72【答案】A 【解析】【分析】利用平移变换得出()sin 44g x x ωππω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再由对称轴的性质得出122k ω=--，Z k ∈，结合0ω>得出ω的最小值.【详解】将函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象对应的函数为()sin sin 4444g x x x ππωππωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦因为函数()g x 的图象的一条对称轴是直线4x π=-所以4442k ωπωππππ--+=+，Z k ∈解得122k ω=--，Z k ∈，又0ω>所以当1k =-时，ω取最小值，为32故选：A【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用对称轴的性质结合0ω>得出ω的最小值.10.如图，某景区欲在两山顶A ，C 之间建缆车，需要测量两山顶间的距离.已知山高)km AB =，)km CD =，在水平面上E 处测得山顶A 的仰角为30°，山顶C 的仰角为45°，150BED ∠=︒，则两山顶A 、C 之间的距离为（）A.)kmB.)kmC.)km D.)km 【答案】B 【解析】【分析】过A 作AF CD ⊥，垂足为F ，在BED 中，利用余弦定理求出2BD ，即得2AF ，在直角三角形AFC 中，根据勾股定理可得AC .【详解】过A 作AF CD ⊥，垂足为F ，在直角三角形AEB 中，tan 30AB BE =3333==()km ，在直角三角形CED 中，tan 45CDED CD ===)33km ，在BED 中，2222cos150BD BE ED BE ED =+-⋅⋅ 39272333()2=+-⨯⨯-63=，在直角三角形AFC 中，22222AC AF FC BD FC =+=+263(333)=+75=，所以)53km AC =.故选：B.【点睛】本题考查了方向角，考查了余弦定理的应用，属于基础题.，11.已知点P 是曲线()ln f x x x =上任意一点，点Q 是直线3y x =-上任一点，则PQ 的最小值为（）A.2B.3C.1D.e【答案】A 【解析】【分析】利用导数的几何意义求出曲线的切线，利用数形结合进行求解即可.【详解】函数()ln f x x x =的定义域为全体正实数，()()ln ln 1f x x x f x x '=⇒=+，当1e x >时，()()0,f x f x '>单调递增，当10ex <<时，()()0,f x f x '<单调递减，函数图象如下图：过点()00,P x y 的曲线()ln f x x x =的切线与直线3y x =-平行时，PQ 最小，即有()()000ln 11101,0f x x x y P '=+=⇒=⇒=⇒，所以min PQ==故选：A12.已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则()221k f k ==∑（）A.21- B.22- C.23- D.24-【答案】D 【解析】【分析】根据对称性和已知条件得到()(2)2f x f x +-=-，从而得到()()()352110f f f +++=- ，()()()462210f f f +++=- ，然后根据条件得到(2)f 的值，再由题意得到()36g =从而得到()1f 的值即可求解.【详解】因为()y g x =的图像关于直线2x =对称，所以()()22g x g x -=+，因为()(4)7g x f x --=，所以(2)(2)7g x f x +--=，即(2)7(2)g x f x +=+-，因为()(2)5f x g x +-=，所以()(2)5f x g x ++=，代入得[]()7(2)5f x f x ++-=，即()(2)2f x f x +-=-，所以()()()()35212510f f f +++=-⨯=- ，()()()()46222510f f f +++=-⨯=- .因为()(2)5f x g x +-=，所以(0)(2)5f g +=，即()01f =，所以()(2)203f f =--=-.因为()(4)7g x f x --=，所以(4)()7g x f x +-=，又因为()(2)5f x g x +-=，联立得，()()2412g x g x -++=，所以()y g x =的图像关于点()3,6中心对称，因为函数()g x 的定义域为R ，所以()36g =因为()(2)5f x g x ++=，所以()()1531f g =-=-.所以()()()()()()()()221123521462213101024()k f f f f f f f f f k =+++++++++=----=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∑ .故选：D【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13.曲线[]()sin 0,y x x π=∈与x 轴所围成的图形面积为______．【答案】2【解析】【分析】直接利用定积分0sin S xdx π=⎰求解.【详解】由题得00sin (cos )|cos (cos0)112S xdx x πππ==-=---=+=⎰.所以所求的图形的面积为2.故答案为：2【点睛】方法点睛：求定积分的方法：(1)代数法：利用微积分基本原理求；（2）几何法：数形结合利用面积求.14.如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为______.【答案】23【解析】【详解】试题分析：由三视图知，几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个正方形，边长是2，四棱锥的一条侧棱和底面垂直，且这条侧棱长是2，这样在所有的棱中，连接与底面垂直的侧棱的顶点与相对的底面的顶点的侧棱是最长的长度是，考点：三视图点评：本题考查由三视图还原几何体，所给的是一个典型的四棱锥，注意观察三视图，看出四棱锥的一条侧棱与底面垂直．15.设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=______.【答案】25；【解析】【详解】f(x)＝sin x －2cos x 5525sin cos 55x x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭5sin(x －φ)，其中sin φ＝255，cos φ＝55，当x －φ＝2kπ＋2π(k ∈Z)时，函数f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋2π＋φ时，函数f(x)取到最大值，所以cos θ＝－sin φ＝－255.16.如图，已知在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，H 分别是AB ，1DD ，1BC 的中点，点G 是11A D 上的动点，下列结论中正确的有________________.①11//C D 平面ABH ②1AC ⊥平面1BDA ③直线EF 与1BC 所成的角为30︒④三棱锥1G DBC -的体积最大值为83【答案】②③④【解析】【分析】根据线面平行和线面垂直的判定定理判定①错②对；根据异面直线夹角的求法判定③对；利用三棱锥体积公式判定④对.【详解】对于①：因为1111ABCD A B C D -为正方体，所以11AB C D ∥，则A ，B ，1C ，1D 四点共面，即11C D 在平面ABH 上，故①错；对于②连接BD AC ，，1AB ，1A B ，1AC ，在正方体1111ABCD A B C D -中，AC BD ⊥，1CC ⊥面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴1CC BD ⊥，∵1AC CC C = ，AC ，1CC ⊂面1ACC ，∴BD ⊥面1ACC ，又1AC ⊂面1ACC ，∴1AC BD ⊥，又∵11A B AB ⊥，11B C ⊥面11ABB A ，1A B ⊂平面11ABB A ，∴111B C A B ⊥．∵1111AB B C B ⋂=，1AB ，11B C ⊂面11AB C ，∴1A B ⊥面11AB C ，∵1AC ⊂平面11AB C ，∴11A B AC ⊥，又1AC BD ⊥，1A B BD B ⋂=，1A B ，BD ⊂面1A BD ，∴1AC ⊥面1BDA ，故②正确；对于③：取AD 中点I ，连接FI EF EI ，，，1AD ，在1ADD 中，∵F ，I 分别为1DD ，DA 的中点，∴1FI AD ∥，又11AD BC ∥，∴1FI BC ∥，∴EF 与1BC 所成角为IFE ∠，在IFE △中，IF =，EI =，EF ===∴cos 2IFE =∠，∴EF 与1BC 所成的角为30︒，故③正确；对于④：当G 位于1A 点时，三棱锥1G DBC -的体积最大，故1111111111111G DBC ABCD A B C D A ABD C CBD B A C B D A C DV V V V V V ------=----311822224323=-⨯⨯⨯⨯⨯=，故④正确.故答案为：②③④.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin sin sin sin a b B C c A B ++=-.（1）求角A 的大小；（2）若D 为BC 上一点，BAD CAD ∠=∠，3AD =，求4b c +的最小值.【答案】（1）2π3A =（2）27【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，结合余弦定理求得正确答案.（2）利用三角形的面积公式列方程，结合基本不等式求得4b c +的最小值.【小问1详解】依题意，sin sin sin sin a b B C c A B++=-，由正弦定理得222,a b b c a b bc c c a b ++=-=+-，222c b a bc +-=-，所以2221cos 022b c a A bc +-==-<，所以A 是钝角，所以2π3A =.【小问2详解】1π23BAD CAD A ∠=∠==，ABC ABD ACD S S S =+ ，所以12π1π1πsin 3sin 3sin 232323bc c b =⋅⋅+⋅⋅，即()333,1b c bc c b bc c b +=+=+=，所以()3312344151527b c b c b c c b c b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当()123,293b c c b c b bc c b ⎧=⎪==⎨⎪=+⎩时等号成立.18.已知函数()322f x x ax bx =-++（1）若其图象在点()()1,1f 处的切线方程为10x y -+=，求a ，b 的值；（2）若1是函数()f x 的一个极值点，且函数()f x x在[]2,3上单调递增，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1a =，0b =（2）,(7,332)⎛⎤ ⎥⎝-∞⎦【解析】【分析】（1）由题意()132f a b =-+=，且()1321f a b '=-+=，由此即可得解.（2）一方面：由题意()1320f a b '=-+=，且()232f x x ax b '=-+至少有两个零点（否则()f x 单调递增没有极值点）；另一方面：由题意3222()22220f x x ax x a x x x '--⎛⎫=--=≥ ⎪⎝⎭在[]2,3上恒成立，分离变量即可；结合两方面即可得解.【小问1详解】点()()1,1f 在切线10x y -+=上，()132f a b ∴=-+=，①()232f x x ax b '=-+，()1321f a b '=-+=，②联立①②解得1a =，0b =.【小问2详解】依题意有()232f x x ax b '=-+，()1320f a b '=-+=，23b a =-，且()()22412234690a a a a ∆=--=-+>，3a ∴≠；又2()223f x x ax a x x =-++-，3222()2222f x x ax x a x x x '--⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则[]2,3x ∈时，32220x ax --≥，即3222x a x -≤，令3222()x g x x-=，23x ≤≤，求导得34()20g x x '=+>，所以()g x 单调递增，min 7()(2)2a g x g ∴≤==；又3a ≠，所以a 的取值范围为,(7,332)⎛⎤ ⎥⎝-∞⎦ .19.已知函数()22cos cos (0,)f x x x x a a R ωωωω=++>∈，再从条件①：()f x 的最大值为1；条件②：()f x 的一条对称轴是直线π12x ω=-﹔条件③：()f x 的相邻两条对称轴之间的距离为π2﹐这三个条件中选择能确定函数()f x 解析式的两个合理条件作为已知，求：（1）函数()f x 的解析式；（2）已知()π26g x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若()g x 在区间[]0,m 上的最小值为()0g ，求m 的最大值．【答案】（1）()π2sin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（2）π3【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简()f x ，再由三角函数的性质分别转化三个条件，即可得解；（2）先求出()g x 的解析式，再由正弦函数的性质即可确定m 的取值范围，即可得最大值.【小问1详解】由题意，函数()22cos cos 2cos 21f x x x x a x x aωωωωω=++=+++π2sin 216x a ω⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，若选①：()f x 的最大值为1，则211a ++=，则2a =-，若选②：()f x 的一条对称轴是直线π12x ω=-,则由ππ20126ωω⎛⎫⋅-+= ⎪⎝⎭，不符合正弦函数对称轴的要求，不合题意；若选③：()f x 的相邻两条对称轴之间的距离为π2，则函数()f x 的最小正周期2ππ2T ω==,可得1ω=；所以只能选择条件①③作为已知，此时()π2sin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭；【小问2详解】由题意，()ππππ22sin 2212sin 416666g x f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当[]0,x m ∈，则πππ4,4666x m ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，若()g x 在区间[]0,m 上的最小值为()0g ，则ππ7π4666m -<-≤，所以π03m <≤，所以m 的最大值为π3.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PBC ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是矩形，,O E 分别是,BC PA 的中点，平面α经过点,,O D E 与棱PB 交于点F ．（1）试用所学知识确定F 在棱PB 上的位置；（2）若22PB PC BC AB ====，求EF 与平面PCD 所成角的正弦值．【答案】（1）靠近B 的三等分点处（2）23【解析】【分析】（1）根据矩形的性质，结合平行线的性质进行求解即可；（2）根据面面垂直的性质，建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【小问1详解】过P 作直线l 与BC 平行，延长DE 与l 交于点G ，连接,OG OG 与PB 的交点即为点F ．因为底面ABCD 是矩形，O 是BC 的中点，所以AD BC ∥，且2AD OB =．又l BC ∥，所以l AD ∥，因为E 是PA 的中点，可得PG AD =，则2PG OB =，所以2PF BF =．故F 在棱PB 的靠近B 的三等分点处．【小问2详解】因为,PB PC O =是BC 的中点，所以PO BC ⊥，又平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC ⋂平面ABCD BC =，PO ⊂平面PBC ，所以PO ⊥平面ABCD ．取AD 中点Q ，连接OQ ，易知,,OQ OC OP 两两相互垂直，如图，分别以,,OQ OC OP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()()()()(1,1,0,0,1,0,0,1,0,1,1,0,0,0,A B C D P --，()()(0,2,0,1,0,0,0,1,AD CD CP ===- ．设平面PCD 的法向量为(),,m x y z = ，则0,0,m CD m CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,20,x y =⎧⎪⎨-+=⎪⎩令1z =，则2y =，所以()2,1m = ．((21211120,1,21,1,2,,3232266EF PF PE PB PA ⎛⎫=-=-=-----=--- ⎪⎝⎭ ．设EF 与平面PCD 所成角为θ，则223sin cos ,3333EF m EF m EF m θ⋅=〈〉==⋅⨯ ，所以EF 与平面PCD 所成角的正弦值为23．21.已知函数()()ln ,e ==x f x x g x （7e 2.18x =⋅⋅⋅，e 为自然对数的底数）（1）求函数()()()1F x f x g x =--的单调区间；（2）若不等式()()()110xf x k x g f x ⎡⎤⎣+-⎦-≤在区间[)1,+∞上恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞；（2）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）对函数求导，利用导函数的单调性及零点确定导函数大于0、小于0的解集，即可得解；（2）转化不等式为()2ln 10x x k x --≤在区间[)1,+∞上恒成立，构造函数，利用端点处的函数值及导数，分类讨论即可得解.【小问1详解】由题意，()()()()10ln 1,ex F x x f x g x x -=---=>，则()()101e ,x F xx x -'-=>，由11,e x y y x --==在()0,∞+上均单调递减，所以()F x '在()0,∞+上单调递减，又()1101F =-='，所以当()0,1x ∈时，()0F x '>，当()1,x ∈+∞时，()0F x '<，所以函数()F x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞；【小问2详解】不等式()()()110xf x k x g f x ⎡⎤⎣+-⎦-≤即()()12ln 1ln 10ln ex x x k x x x k x --+=--≤在区间[)1,+∞上恒成立，令()()()2ln 1,1p x x x k x x =--≥，则()()ln 21,1p x x kx x '=-+≥，()10p =，所以()112p k '=-，若()1120p k '=->，即12k <时，此时存在01x >使得当()01,x x ∈时，()0p x '>，函数()p x 在()01,x 上单调递增，()()10p x p >=，不合题意；若12k ≥时，()()ln 21ln 1,1p x x kx x x x '=-+≤-+≥，令()()ln 1,1t x x x x =-+≥，则()110t x x'=-≤，所以()t x 单调递减，()()10t x t ≤=，所以()0p x '≤，当且仅当121k x ⎧=⎪⎨⎪=⎩时等号成立，所以()p x 在[)1,+∞上单调递减，所以()()10p x p ≤=，符合题意；综上，实数k 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是端点效应及多次求导的应用，在进行多次求导时，要清楚每次求导的作用.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.选修4-4：坐标系与参数方程22.如图，在极坐标系Ox 中，圆O 的半径为2，半径均为1的两个半圆弧12,C C 所在圆的圆心分别为1π1,2O ⎛⎫ ⎪⎝⎭，23π1,2O ⎛⎫ ⎪⎝⎭，M 是半圆弧1C 上的一个动点，N 是半圆弧2C 上的一个动点.（1）若2π3O ON ∠=，求点N 的极坐标；（2）若点K 是射线()π03θρ=≥与圆O 的交点，求MOK 面积的取值范围.【答案】（1）11π1,6⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）根据图形关系可确定1ρ=，极角11π6θ=，由此可得点N 的极坐标；（2）利用θ表示出OM 和MOK ∠，代入三角形面积公式，结合三角恒等变换知识可化简得到1πsin 226MOK S θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ，结合正弦型函数值域可求得结果.【小问1详解】由2π3O ON ∠=知：21O O ON ==，6πAON ∠=，∴点N 的极角为π11π2π66-=，∴点N 的极坐标为11π1,6⎛⎫ ⎪⎝⎭.【小问2详解】由题意知：2OK =，π2sin π2OM θθ⎛⎫=≤< ⎪⎝⎭，π3MOK θ∠=-，1πsin 2sin sin 23MOK S OK OM MOK θθ⎛⎫∴=⋅∠=- ⎪⎝⎭ 2131132sin sin cos sin 3cos cos 2sin 222222θθθθθθθθ⎛⎫=-==-- ⎪ ⎪⎝⎭1πsin 226θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，π,π2θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ ，π7π13π2,666θ⎡⎫∴+∈⎪⎢⎣⎭，π1sin 21,62θ⎛⎫⎡⎫∴+∈- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，30,2MOK S ⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦.选修4-5：不等式选讲23.选修4-5：不等式选讲已知函数()2f x x a =-+，()4g x x =+，a R ∈.（1）解不等式()()f x g x a <+；（2）任意x R ∈，2()()f x g x a +>恒成立，求a 的取值范围.【答案】(1)()1,-+∞(2)()2,3-【解析】【分析】（1）由于不等式可24x x -<+，可平方后求解；（2）不等式()()2f x g x a +>可化为224a a x x -<-++，利用不等式的三角不等式求得24x x -++的最小值，然后解不等式可得a 的范围．【详解】（1）不等式()()f x g x a <+即24x x -<+，两边平方得2244816x x x x -+<++，解得1x >-，所以原不等式的解集为()1,-+∞.（2）不等式()()2f x g x a +>可化为224a a x x -<-++，又()()24246x x x x -++≥--+=，所以26a a -<，解得23a -<<，所以a 的取值范围为()2,3-.【点睛】本题考查绝对值不等式的问题，解绝对值不等式常用方法是根据绝对值的定义去绝对值符号后再求解，如果对两边均非负的不等式可平方去绝对值符号．绝对值三角不等式在求含绝对值的最小值时用处较大，而且是常用方法．。
四川省泸州市2020届高三数学上学期第一次教学质量诊断性考试试题 理
四川省泸州市2020届高三数学上学期第一次教学质量诊断性考试试题 理第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知集合A={0，1，2，3}，集合B ＝{x ｜｜x ｜≤ 2}，则A ∩B ＝ A 、{03} B 、{0，1，2} C 、{1，2} D 、{0，1，2，3}2.下列函数()f x 中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，+∞)，且x 1＜x 2都有f(x 1)＞f(x 2)”的是A 、()f x ＝xB 、()f x ＝2xC 、()f x ＝ln xD 、()f x ＝3x3．“sin α＝0”是“sin 2α＝0”的 A.充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.己知函数y ＝f (x)＋x 是偶函数，且f (2)＝1，则f(－2)的值是 A. 2 B. 3 C. 4 D. 55.一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面交线的位置关系是 A.异面 B.相交 C.不能确定 D.平行6.如右图所示的图象对应的函数解析式可能是7.己知，则下列选项中是假命题的为8．我国古代数学名著《九章算术》中，割圆术有，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”其体现的是一种无限与有限的转化过程，如在中，“…”即代养无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程确定x 的值，类似地的值为A. 3B.1312+ C 、6 D. 22 9.己知函数的图象如图所示，下列关于()f x 的描述中， 正确的是··A ．tan 3ϕ=B.最小正周期为2π C·对任意x R ∈都有()()3f x f x π-=D ·函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度后图象关于坐标原点对称 10.若将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，则xmin 后甲桶中剩余的水量符合衰减函数()nx f x ae =（其中e 是自然对数的底数）。
四川省泸州市数学高三年级理数教学质量统一检测卷
四川省泸州市数学高三年级理数教学质量统一检测卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高二上·浙江期中) 已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）(2019·天河模拟) 若复数是纯虚数，其中m是实数，则 = （）A . iB .C .D .3. （2分）已知，由如右程序框图输出的S=（）B .C .D . -14. （2分）(2016·赤峰模拟) 若函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），且f′（x）=sin2x﹣ cos2x，则下列说法正确的是（）A . y=f（x）的周期为B . y=f（x）在[0， ]上是减函数C . y=f（x）的图象关于直线x= 对称D . y=f（x）是偶函数5. （2分）设为两个平面，l,m为两条直线，且，有如下两个命题：①若；②若l m,则. 那么（）A . ①是真命题，②是假命题B . ①是假命题，②是真命题C . ①、②都是真命题D . ①、②都是假命题6. （2分）(2017·霞浦模拟) 若（3x﹣1）5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5 ，则a1+a2+a3+a4+a5=（）A . ﹣1B . 31C . 327. （2分）如下图，在矩形ABCD中，点E为边CD上任意一点，现有质地均匀的粒子散落在矩形ABCD内，则粒子落在△ABE内的概率等于（）A .B .C .D .9. （2分）(2017·新课标Ⅲ卷文) 函数f（x）= sin（x+ ）+cos（x﹣）的最大值为（）A .B . 1C .D .10. （2分）一动圆过点A（0，1），圆心在抛物线y=x2上，且恒与定直线相切，则直线l的方程为（）A . x=1B . x=C . y=﹣D . y=﹣111. （2分） (2018高二下·遂溪月考) 已知函数是定义在区间上的可导函数，为其导函数，当且时，，若曲线在点处的切线的斜率为-4，则的值为（）A . 4B . 6C . 8D . 1012. （2分） (2018高三上·嘉兴期末) 如图，正方体的棱长为1，分别是棱的中点，过的平面与棱分别交于点 .设，．①四边形一定是菱形；② 平面；③四边形的面积在区间上具有单调性；④四棱锥的体积为定值.以上结论正确的个数是（）A . 4B . 3C . 2D . 1二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一下·扬州期末) 设变量x，y满足约束条件则目标函数z=﹣2x+y的最小值为________．14. （1分）已知，是平面内两个不共线的向量，且=2﹣，=k+，若与是共线向量，则实数k=________15. （1分） (2017高二下·嘉兴期末) 过点（2，2）且与﹣y2=1有相同渐近线的双曲线方程为________．16. （1分）(2016·江苏) 在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是________.三、解答题 (共7题；共60分)17. （10分） (2018高一下·石家庄期末) 已知数列的前项和为， .（1）求数列的通项公式；（2）数列的前项和为，求 .18. （5分） (2018高二上·寻乌期末) 如图，直三棱柱中，分别是的中点，．(Ⅰ)证明：∥平面；(Ⅱ)求锐二面角的余弦值．19. （15分）(2018·陕西模拟) 某高中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间频（单位:分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是，样本数据分组为.（1）求直方图中的值；（2）如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生 1200名请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；（3）从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于40分钟的人数记为，求的分布列和数学期望.（以直方图中的频率作为概率）.20. （10分） (2017高二下·河北开学考) 已知椭圆C：的上顶点M与左、右焦点F1、F2构成三角形MF1F2面积为，又椭圆C的离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）椭圆C的下顶点为N，过点T（t，2）（t≠0）的直线TM，TN分别与椭圆C交于E，F两点．若△TMN的面积是△TEF的面积的k倍，求k的最大值．21. （10分） (2018高二下·张家口期末) 设函数 .（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，且，，证明： .22. （5分） (2017高二下·枣强期末) 在极坐标系中，圆C的方程为ρ＝2 sin ，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为(t为参数)，判断直线l和圆C的位置关系．23. （5分）(2016·深圳模拟) 已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣3|（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥x+8的解集；（Ⅱ）若函数f（x）的最小值为5，求a的值．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共60分)17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、21-1、21-2、22-1、23-1、。
2020届四川省泸州市高三上学期第一次教学质量诊断性考试数学(理)试题(解析版)
2020届四川省泸州市高三上学期第一次教学质量诊断性考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{0,1,2,3}A =，集合{|2}B xx =≤‖，则A B =（ ）A ．{3}B ．{0,1,2}C ．{1,2}D ．{0,1,2,3}【答案】B【解析】可以求出集合B ，然后进行交集的运算即可． 【详解】解：{0,1,2,3},{|22}A B x x ==-≤≤，{0,1,2}A B ∴⋂=．故选：B ． 【点睛】本题考查集合交集的运算，属于基础题．2．下列函数()f x 中，满足“对任意12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <都有()()12f x f x >”的是（ ）A ．()f x =B ．()2x f x -=C ．()ln f x x =D ．3()f x x =【答案】B【解析】对任意12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <都有()()12f x f x >”，可知函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，结合选项即可判断．【详解】解：“对任意12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <都有()()12f x f x >”， ∴函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，结合选项可知，()f x =(0,)+∞单调递增，不符合题意，1()22xxf x -⎛⎫== ⎪⎝⎭在(0,)+∞单调递减，符合题意， ()ln f x x =在(0,)+∞单调递增，不符合题意，3()f x x =在(0,)+∞单调递增，不符合题意，故选：B ． 【点睛】本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础试题． 3．“sin 0α=”是“sin 20α=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】由sin 0α=可得α，由sin20α=也可得α，观察两个α的范围之间的关系即可得结果. 【详解】 解：由sin 0α=可得,k k Z απ=∈，由sin 20α=可得,2kk Z απ=∈， 所以“sin 0α=”是“sin 20α=”的充分不必要条件，故选：A. 【点睛】本题考查条件的充分性和必要性，关键是求出α的取值，本题是基础题. 4．已知函数y =f （x ）+x 是偶函数，且f （2）=1，则f （-2）=（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】∵()y f x x =+是偶函数 ∴()()f x x f x x +=--当2x =时，()()2222f f +=--，又()21f = ∴()25f -= 故选：D5．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线的位置关系是( )A ．异面B ．平行C ．相交D ．不确定 【答案】B【解析】如图所示，直线a ∥α，a ∥β，α∩β=b ，求证a ∥b ．只需考虑线面平行的性质定理及平行公理即可．解：由a ∥α得，经过a 的平面与α相交于直线c ，则a ∥c ，同理，设经过a 的平面与β相交于直线d ， 则a ∥d ，由平行公理得：c ∥d ， 则c ∥β，又c ⊂α，α∩β=b ，所以c ∥b ， 又a ∥c ，所以a ∥b ． 故答案为B ．6．如图所示的图象对应的函数解析式可能是A ．221x y x =-- B ．2sin 41x xy x ⋅=+ C ．ln x y x=D ．()22e xy x x =-【答案】D【解析】对于A ，∵221x y x =--，当x 趋向于-∞时，函数2xy =趋向于0，21y x =+趋向于+∞∴函数221x y x =--的值小于0，故排除A 对于B ，∵sin y x =是周期函数∴函数2sin 41x xy x ⋅=+的图像是以x 轴为中心的波浪线，故排除B对于C ， ∵ln xy x=的定义域是()()0,11,⋃+∞，且在()0,1x ∈时，ln 0x <∴0ln xy x=<，故排除C 对于D ，∵函数()22211y x x x =-=--，当0,1x x <>时，0y >；当01x <<时，0y <；且0x y e =>恒成立∴2()2x y x x e =-的图像在x 趋向于-∞时，0y >；01x <<时，0y <；x 趋向于+∞时，y 趋向于+∞ 故选D点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.7．已知:0,2p πα⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin αα<，0:q x ∃∈N ，200210x x --=，则下列选项中是假命题的为（ ） A ．p q ∨ B ．()p q ∧-C ．p q ∧D ．()p q ∨-【答案】C【解析】命题p ：由三角函数定义，即可判断出真假；命题q ：由求根公式，即可判断出真假，根据复合命题真值表判断结果即可． 【详解】解：命题p ：由三角函数的定义，角α终边与单位圆交于点P ， 过P 作PM x ⊥轴，垂足是M ，单位圆交x 轴于点A ，则sin MP α=，弧长PA 即为角α；显然MP <弧长PA ； ∴:0,2p πα⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin αα<是真命题；命题q ：解方程200210x x --=，则1x =±因此0:q x ∃∈N ，200210x x --=，是假命题．则下列选项中是假命题的为p q ∧．而A ，B ，D 都是真命题． 故选：C ． 【点睛】本题考查了三角函数的定义，方程的求根公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．我国古代数学名著《九章算术》中，割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，如“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过x =确定x ）A ．3B ．12C ．6D ．【答案】A【解析】通过已知得到求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），再运用该方法，注意两边平方，得到方程，解出方程舍去负的即可． 【详解】(0)m m =>，则两边平方得，则23m +=， 即232m m +=，解得，3,1m m ==-舍去． 故选：A ． 【点睛】本题考查类比推理的思想方法，考查从方法上类比，是一道中档题．9．已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的图象如图所示，下列关于()f x 的描述中，正确的是（ ）A ．tan ϕ=B ．最小正周期为2πC ．对任意x ∈R 都有()3f x f x π⎛⎫-=⎪⎝⎭D ．函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度后图象关于坐标原点对称 【答案】D【解析】由三角函数图象得,,A ωϕ的值，得到()f x 的解析式，进而再判断每个命题的真假． 【详解】解：由图知：71,,4123T A T πππ==-∴=， 而2,2,3T x ππωω=∴==时，03f π⎛⎫=⎪⎝⎭又在递减区域， 22,Z 3k k πϕππ∴⋅+=+∈，而0,3πϕπϕ<<∴=，所以()sin 2,tan tan 33f x x ππϕ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，所以A 不正确， 最小正周期222T πππω===，所以B 不正确， sin 2sin(2)sin 2()333f x x x x f x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+=-=-≠ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以C 不正确； 函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得sin 2sin 263x x ππ⎡⎛⎫⎤-+=⎢⎪ ⎥⎭⎦⎝⎣，关于原点对称，所以④正确． 故选：D ． 【点睛】考查三角函数的图象得函数解析式，及三角函数的性质，属于简单题．10．若将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，则x min 后甲桶中剩余的水量符合衰减函数()nxf x ae =（其中e 是自然对数的底数）.假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，再过m min 后，甲桶中的水只有L 4a，则m 的值为（ ） A ．9 B ．7C ．5D ．3【答案】C【解析】由题意，函数()nx y f x ae ==满足1(5)2f a =，解出11ln 52n =．再根据1()4f k a =，建立关于k 的指数方程，由对数恒成立化简整理，即可解出k 的值，由5m k =-即可得到．【详解】解：∵5min 后甲桶和乙桶的水量相等， ∴函数()nt y f t ae ==，满足51(5)2nf ae a ==可得11ln 52n =， 因此，当k min 后甲桶中的水只有4a升， 即1()4f k a =， 即111ln k ln 524⋅=， 即为111ln 2ln 522k ⋅=，解之得10k =，经过了55k -=分钟，即5m =． 故选：C ． 【点睛】本题给出实际应用问题，求经过几分钟后桶内的水量剩余四分之一．着重考查了指数函数的性质、指数恒等式化简，指数方程和对数的运算性质等知识，属于中档题．11．在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，且ABCD 为矩形，2DPA π∠=，AD =2AB =，PA PD =，则四棱锥P ABCD -的外接球的体积为（ ）A ．163π B ．323π C ．643π D ．16π【答案】B【解析】连接AC 交BD 于F ，球心O 在底面的射影必为点F ，取AD 的中点E,在截面PEF 中，利用勾股定理求出球的半径，即可求四棱锥P −ABCD 的外接球的体积． 【详解】连接AC 交BD 于F ，球心O 在底面的射影必为点F ，取AD 的中点E,在截面PEF 中，连结PO在PAD ∆中，2DPA π∠=，PA PD =，AD =PE ∴=又由已知得1EF =， 设OF x =，在Rt OAF ∆中，224OA x =+，在截面PEF 中，221)x OP =+OP OA =2241)x x ∴+=+得0x =， ∴球的半径为2，∴四棱锥P−ABCD 的外接球的体积为3432233ππ⋅=． 故选：B. 【点睛】本题考查平面与平面垂直的性质，考查线面垂直的判定与性质，考查四棱锥P−ABCD 的外接球的体积，属于中档题．12．已知函数3()log f x x =的图象与函数()g x 的图象关于直线y x =对称，函数()h x 是最小正周期为2的偶函数，且当[0,1]x ∈时，()()1h x g x =-，若函数()()y k f x h x =⋅+有3个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．()71,2log 3B ．()52,2log 3--C ．()52log 3,1--D ．71log 3,2⎛⎫--⎪⎝⎭【答案】B【解析】把函数()()y k f x h x =⋅+有3个零点，转化为3log ()k x h x =-有3个不同根，画出函数3log y k x =与()y h x =-的图象，转化为关于k 的不等式组求解． 【详解】解：由函数3()log f x x =的图象与函数()g x 的图象关于直线y x =对称，得()3xg x =，函数()h x 是最小正周期为2的偶函数，当[0,1]x ∈时，()()131xh x g x =-=-，函数()()y k f x h x =⋅+有3个零点，即3log ()k x h x =-有3个不同根， 画出函数3log y k x =与()y h x =-的图象如图：要使函数3log y k x =与()y h x =-的图象有3个交点，则k 0<，且33log 32log 52k k >-⎧⎨<-⎩，即522log 3k -<<-． ∴实数k 的取值范围是()52,2log 3--． 故选：B ． 【点睛】本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．二、填空题 13．函数y =的定义域是 ．【答案】]4,0( 分析:由得40≤<x . 【解析】试题【考点】函数的定义域.⎩⎨⎧≥->0log 202x x14．设函数2,05()(5),5x x f x f x x ⎧≤<=⎨-≥⎩，那么(18)f 的值为________.【答案】9【解析】推导出(18)(353)(3)f f f =⨯+=，由此能求出结果． 【详解】解：∵函数2,05()(5),5x x f x f x x ⎧≤<=⎨-≥⎩，∴2(18)(353)(3)39f f f =⨯+===． 故答案为：9． 【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 15．当0x x =时，函数()cos 22sin 2f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭有最小值，则0sin x 的值为________.【答案】 【解析】利用诱导公式对已知函数进行化简，然后结合二次函数的性质即可求解． 【详解】解：函数2()cos 22sin cos 22cos 2cos 2cos 12f x x x x x x x π⎛⎫=++=+=+-⎪⎝⎭， 根据二次函数的性质可知，当01cos 2x =-时，函数取得最小值，则0sin x =故答案为：． 【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系及二次函数的性质的简单应用，属于基础试题． 16．已知正方体有8个不同顶点，现任意选择其中4个不同顶点，然后将它们两两相连，可组成平面图形成空间几何体.在组成的空间几何体中，可以是下列空间几何体中的________.（写出所有正确结论的编号） ①每个面都是直角三角形的四面体；②每个面都是等边三角形的四面体； ③每个面都是全等的直角三角形的四面体；④有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体. 【答案】①②④【解析】画出正方体的图形，在几何体中找出满足结论的图形即可． 【详解】 解：①每个面都是直角三角形的四面体；如：E −ABC ，所以①正确； ②每个面都是等边三角形的四面体；如E −BGD ，所以②正确； ③每个面都是全等的直角三角形的四面体：这是不可能的，③错误；④有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体．如：A −BDE ，所以④正确；故答案为：①②④． 【点睛】本题考查命题的真假的判断，空间几何体的与三棱锥的关系，是基本知识的考查，易错题．三、解答题17．已知函数321()3f x x x ax =-+（其中a 为实数）. （1）若1x =-是()f x 的极值点，求函数()f x 的减区间； （2）若()f x 在(2,)-+∞上是增函数，求a 的取值范围. 【答案】（1）(1,3)- （2）[1,)+∞【解析】（1）对()f x 求导，代入1x =-使导函数为零，求出a 的值，进而利用导数可求出()f x 的减区间.（2）()f x 在(2,)-+∞上是增函数转化为'()f x 在(2,)-+∞上大于等于零恒成立，进而转化为最值问题，即可求得a 的取值范围.【详解】解：（1）因为321()3f x x x ax =-+，所以2()2f x x x a '=-+， 因1x =-是()f x 的极值点，所以(1)0f '-=，即120a ++=，所以3a =-， 故2()23f x x x '=--，当1x <-或3x >时，()0f x '>，当13x -<<时，()0f x '<， 所以3a =-符合题意， 且()f x 的减区间为(1,3)-；（2）因为()f x 在(2,)-+∞上为增函数，所以2()20f x x x a '=-+≥在(2,)-+∞上恒成立， 所以22a x x ≥-+在(2,)-+∞上恒成立，因为2()2g x x x =-+在(2,1)-上是增函数，在(1,)+∞上是减函数， 所以()(1)1g x g ≤=，所以1a ≥，即a 的取值范围为[1,)+∞， 【点睛】本题考查函数的极值及单调性，其中关键是将单调性问题转化为最值问题，是中档题. 18．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 2A Cb Cc +=. （1）求B ；（2）已知2c =，AC 边上的高BD =a 的值. 【答案】（1）3B π=（2）3a =或6a =【解析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理的应用求出结果． （2）利用（1）的结论和余弦定理及三角形的面积的应用求出结果． 【详解】解:（1）由sin sin 2A Cb Cc +=， 所以sin sin 22B b C c π⎛⎫=-⎪⎝⎭，即sin cos 2B b C c =，由正弦定理得sin sin sin cos2B BC C =， 由于C 为ABC ∆的内角，所以sin 0C ≠， 所以sin cos2B B =，即2sin cos cos 222B B B = 由于B 为ABC ∆的内角，∴cos02B≠， 所以1sin22B =， 又因为(0,)B π∈，所以3B π=；（2）因为11sin 22S ac B BD b ==⋅，代入2c =，7BD =，sin B =，得b =，由余弦定理得22222cos 42b a c ac B a a =+-=+-，代入b ，得29180a a -+=， 所以3a =或6a =.【点睛】本题考查三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19．如图，已知BD 为圆锥AO 底面的直径，若4AB BD ==，C 是圆锥底面所在平面内一点，CD =，且AC 与圆锥底面所成角的正弦值为7.（1）求证：平面AOC ⊥平面ACD ； （2）求二面角B AD C --的平面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）cos 7OFH ∠=【解析】（1）首先找到AC 与圆锥底面所成角ACO ∠，求出,AC OC ，可得CD OC ⊥，结合圆锥的性质，可证明CD ⊥平面AOC ，进而可得平面AOC ⊥平面ACD ； （2）解法一：建立空间直角坐标系，求出平面ACD 的一个法向量和平面ABD 的一个法向量，通过夹角公式，可求得两法向量的夹角，进而得到二面角B AD C --的平面角的余弦值；解法二：过点O 作OF AD ⊥交于F .过F 作FH AD ⊥交DC 于H ，连接HO ，得OFH ∠为二面角B AD C --的平面角，通过三角形的边角关系求出OFH ∠的余弦. 【详解】（1）证明：由4AB BD ==及圆锥的性质， 所以ABD ∆为等边三角形，AO ⊥圆O 所在平面，所以AO =ACO ∠是AC 与底面所成角，又AC与底面所成的角的正弦值为7， 在Rt AOC ∆中，7AC ==OC =由CD =，2OD =，在OCD ∆中，222OC CD OD +=， 所以CD OC ⊥，圆锥的性质可知：AO ⊥圆O 所在平面，因为CD ⊂圆O 所在平面，所以AO CD ⊥， 又AO ，OC ⊂平面AOC ，所以CD ⊥平面AOC ， 又DC ⊂平面ACD ， 故平面AOC ⊥平面ACD ；（2）解法一：在圆O 所在平面过点O 作BD 的垂线交圆O 于点E ，以O 为坐标原点，OE 为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴，建立如图空间直角坐标系，由题可知，(0,2,0)B -，(0,2,0)D，A ，由OC =4DOC π∠=，所以(1,1,0)C ，设平面ACD 的一个法向量为(,,)m x y z =，因为(1,1,AC =-，(0,2,AD =-，所以020x y y ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩ 取1z =，则(3,=m ，平面ABD 的一个法向量为(1,0,0)n =， 所以21cos ,7||||m n m n m n ⋅〈〉==，二面角B AD C --. 解法二：过点O 作OF AD ⊥交于F .过F 作FH AD ⊥交DC 于H ，连接HO ，所以OFH ∠为二面角B AD C --的平面角，在Rt OFD ∆中，因为4=AD ，6FOD π∠=，所以1FD =，OF =，因为Rt Rt HFD ACD ∆∆，所以HF ACDF CD=，即HF =则HD = 故C 是HD 的中点， 所以2OH =，在OFH ∆中，2222cos OH OF FH OF FH OFH =+-⨯∠，即224OFH =+-∠，所以cos 7OFH ∠=【点睛】本题考查面面垂直的证明以及向量法求面面角，考查学生的计算能力，是中档题. 20．已知函数()2cos (sin cos )()f x x x x x R =+∈. （1）求函数()f x 的最小值及取最小值时x 取值的集合；（2）若将函数()f x 的图象上所有点的横坐标扩大为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，且3()3g α+=，3,22ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，求2g πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）()f x 的最小值是1x 的集合为3|,8x x k k ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z（2【解析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数()f x 得解析式，再根据正弦函数的最值求得函数()f x 的最小值及取最小值时x 取值的集合．（2）由题意利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，求得()g x 的解析式，再利用两角和的正弦公式求得2g πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【详解】解：（1）2()2cos sin 2cos f x x x x =+，sin2cos21x x =++214x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，当2242x k πππ+=-+，即3()8x k k ππ=-∈Z 时， sin 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭取得最小值是-1，所以函数()f x 的最小值是1 此时x 的集合为3|,8x x k k ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z ； （2）()f x 的图像上所有点的横坐标扩大为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()g x 所以()g x 的最小正周期为4π，故1()124g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭因为1()11243g παα⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，所以11sin 243πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭又3,22ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以1,242ππαπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以1cos 243πα⎛⎫+=-⎪⎝⎭， 111122244g πππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+=+⋅+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦11sin cos cos sin 1244244ππππαα⎤⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦113232⎛=⨯--⨯+ ⎥⎝⎭⎣⎦43+=.【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的最值，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，两角和的正弦公式，属于中档题． 21．已知函数()ln f x x =，1()g x a x=+（其中a 是常数）. （1）求过点(0,1)P -与曲线()f x 相切的直线方程；（2）是否存在1k ≠的实数，使得只有唯一的正数a ，当0x >时不等式11()f x g x k x a a ⎛⎫⎛⎫+≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，若这样的实数k 存在，试求k ，a 的值；若不存在.请说明理由.【答案】（1）1y x =-（2）存在,2k e =, a =【解析】（1）根据导数的几何意义先求出切线斜率，进而可求切线方程， （2）假设存在1k ≠的正实数，使得只有唯一的正数a ，当0x >时不等式11()f x g x k x a a ⎛⎫⎛⎫+≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，转化为1ln 0kx x a a ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，分类讨论求1ln kx x a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的最小值，令其大于等于零，利用导数求出k ，a 的值即可． 【详解】解：（1）设过点(0,1)P -的直线与曲线()f x 相切于点()00,ln x x ， 因()ln f x x =，则1()f x x'=， 所以在()00,ln x x 处切线斜率为()001f x x '=， 则在()00,ln x x 处切线方程为()0001ln y x x x x -=-， 将(0,1)P -代入切线方程得0ln 0x =，所以01x =， 所以切线方程为1y x =-；（2）假设存在实数1k ≠，使得只有唯一的正数a ，当0x >时不等式11()f x g x k x a a ⎛⎫⎛⎫+≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，即111ln a x k x x a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++≤+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭恒成立，取1x =，可知0k >， 因为0x >，0a >，所以1ln 0kx x a a ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，令1()ln (0)kx m x x x a a ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭， 则2()1(1)k a akx a k m x a ax a ax '-+=-=++，由()00m x '=得20a kx ak-=. （1）当20k a <<时，()00,x x ∈时，()00m x '<，则()m x 在01,x a ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，()0,x x ∈+∞时，()00m x '>，则()m x 在()0,x +∞上为增函数，则()min 02()1ln 0k am x m x a k==--≥，即2ln 1k a a k +≤，令2()ln (k ah a a a k=+>，则233122()k a k h a a a a'-=-=，由()00h a '=，得0a a =>， )0a a ∈时，()0h a '<，则()h a 在区间)0a 上为减函数，()0,a a ∈+∞时，()0'>h a ，则()h a 在区间()0,a +∞上为增函数，因此存在唯一的正数a >，使得()1h a ≤，故只能min ()1h a =.所以()min 01()12h a h a ==+=，所以2k e =，此时a 只有唯一值e. （2）当2k a ≥时，()00m x '>，所以()m x 在(0,)+∞上为增函数，所以0lim ()ln 0x m x a →=≥，则1a ≥， 故1k >.所以满足1a ≤≤a 不唯一综上，存在实数2k e =，a ，当0x >时，恒有原式成立. 【点睛】本题考查函数的导数应用，函数的单调性以及分类讨论思想的应用，考查计算能力． 22．如图，在极坐标系Ox 中，过极点的直线l 与以点(2,0)A 为圆心、半径为2的圆的一个交点为2,3B π⎛⎫⎪⎝⎭，曲线1M 是劣弧OB ，曲线2M 是优弧OB .（1）求曲线1M 的极坐标方程；（2）设点()1,P ρθ为曲线1M 上任意一点，点2,3Q πρθ⎛⎫-⎪⎝⎭在曲线2M 上，若||||6OP OQ +=，求θ的值.【答案】（1）4cos 32ππρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭（2）3πθ=【解析】（1）利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，求出结果． （2）利用极径和三角函数关系式的变换的应用求出结果． 【详解】解：（1）设以点(2,0)A 为圆心、半径为2的圆上任意一点(,)ρθ， 所以该圆的极坐标方程为4cos ρθ=， 则1M 的方程为4cos 32ππρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭；（2）由点()1,P ρθ为曲线1M 上任意一点，则114cos 32ππρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，点2,3Q πρθ⎛⎫-⎪⎝⎭在曲线2M 上，则24cos 3233ππππρθθ⎛⎫⎛⎫=--≤-≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 即224cos 363πππρθθ⎛⎫⎛⎫=--≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，因为12||,||OP OQ ρρ==，所以12||||OP OQ ρρ+=+， 即||||4cos 4cos 3OP OQ πθθ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭3πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 因为32ππθ≤≤，且263ππθ-≤≤，所以32ππθ≤≤，因为||||6OP OQ +=，所以63πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即sin 32πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以3πθ=.【点睛】本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题．23．设()|-3||4|f x x x =+-.（1）解不等式()2f x ≤；（2）已知x ，y 实数满足2223(0)x y a a +=>，且x y +的最大值为1，求a 的值. 【答案】（1）[2.5,4.5]（2）65a = 【解析】（1）讨论x 的取值范围，去掉绝对值求出不等式()2f x ≤的解集；（2）结合题意，利用柯西不等式求得2()x y +的最大值，列方程求出a 的值．【详解】解：（1）当3x <时，不等式化为342x x -+-+≤，此时2.53x ≤<， 当34x ≤≤时，不等式化为342x x --+≤，成立，当4x >时，不等式化为342x x -+-≤，此时4 4.5x <≤，综上所述，原不等式的解集为[2.5,4.5]；（2）柯西不等式得22222))()x y ⎡⎤⎡⎤++≥+⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，因为2223(0)x y a a +=>，所以25()6x y a +≤，（当23x y =时，取等号）， 又因为x y +的最大值为1，所以65a =. 【点睛】本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了柯西不等式的应用问题，是中档题．。
2020年11月23日泸州市一诊理科数学试卷答案
泸州市高2018级第一次教学质量诊断性考试数 学（理科）参考答案及评分意见评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度．可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题二、填空题13．314．215．3416．①②④三、解答题17．解：（Ⅰ）因为2()2cos 12x f x x =-+cos x x - ·················································································· 1分 2sin()6x π=-， ··················································································· 2分因为()()6f παα=+，所以sin()6παα-=， ······························· 3分1cos 2ααα-=， ························································· 4分即cos αα-=， ·········································································· 5分所以tan α=； ·············································································· 6分 （Ⅱ）()f x 图象上所有点横坐标变为原来的12倍得到函数()g x 的图象，所以函数()g x 的解析式为()(2)2sin(2)6g x f x x π==-， ······························ 8分因02x π≤≤，所以52666x πππ--≤≤， ··············································· 10分所以1()2g x -≤≤， 故m 的取值范围为[1,2]-. ········································ 12分18．解：（Ⅰ）因为()sin cos f x k x kx x '=+， ··································································· 2分所以()sin cos 2222f k k k ππππ'=+⨯=， ·························································· 3分又因为()sin 2222kf k b b ππππ=⨯+=+， ························································ 4分点(,())22f ππ处的切线方程为230x y --=．所以2k =， ··························································································· 5分3b =-. ·································································································· 6分 （Ⅱ）()f x 在(0,)2π上有且只有一个零点， ························································ 7分因为()2sin 2cos f x x x x '=+， ··································································· 8分当(0,)2x π∈时，()0f x '>，······································································ 9分所以()f x 在(0,)2x π∈上为单调递增函数且图象连续不断， ····························· 10分因为(0)30f =-<，()302f ππ=->， ······················································· 11分所以()f x 在(0,)2π上有且只有一个零点． ···················································· 12分（Ⅱ）因为()2sin 2cos f x x x x '=+,设()sin cos ,g x x x x =+当(,)2x ππ∈时，()2cos sin 0g x x x x '=-<恒成立． ······································· 7分所以()g x 在(,)2ππ上单调递减， ································································ 8分又()0,()02g g ππ><，所以(,)2t ππ∃∈使得()0g t =， ····································· 9分所以()f x 在(,]2t π为单调递增函数，在[,)t π为单调递减函数， ························ 10分因为()0,()02f f ππ><， ········································································ 11分所以()f x 在(,)ππ上有且只有一个零点． ··················································· 12分19（Ⅱ）解法一：设ABD ∆的AB 边上的高为1h ，ADC ∆的AC 边上的高为2h ,因3,3,1ADC S S c b ∆===,12132h b h ⋅=⨯⋅,2h =，AD 是ABC ∆角A 的内角平分线， ········································· 8分 30=，因3ABD ADC S S ∆∆=，可知34ABD ABC S S ∆∆=， ·················································· 10分31sin 30sin 6042AB AD AB AC ⨯⨯=⨯⨯⨯， =. ················································································· 12分解法二：设=(0)3BAD παα∠<<，则=3DAC πα∠-, ················································ 7分 因3,3,1ADC S S c b ∆=== 1sin 3sin()23ADb AD παα⨯⨯=⨯⨯⨯-，sin()3παα=-， ········································································ 8分 1sin 2ααα=-，所以tanα， 因0α<<30BAD =，因3ABD ADC S S ∆∆=可知34ABD ABC S S ∆∆=························································ 10分31sin 30sin 6042AB AD AB AC ⨯⨯=⨯⨯⨯， ················································································ 12分,=x BDA α=∠，则=ADC πα∠-,在ABC ∆中由3,1c b ==及余弦定理可得：2222cos a b c bc A =+-因a = ························································································ 7分 因3ABD ADC S S ∆∆=可知3BD DC =， ········································································· 8分 在ABD ∆中2222cos AB BD AD BD AD α=+-⋅⋅，即2639cos 16AD AD α=+⋅，··························································10分 在ADC ∆中，271cos()16AD AD πα=+⋅-， 即271cos 16AD AD α=+⋅， ···························································· 11分 所以AD ． ················································································ 12分 h 2h 1DC BA20.解：（Ⅰ）第一步：在平面ABCD 内作GH ‖BC 交CD 于点H ； ······································· 2分 第二步：在平面SCD 内作HP ‖SC 交SD 于P ； ············································· 4分 第三步：连接GP ，点P 、GP 即为所求． ······················································ 5分 （Ⅱ）解法一:因P 是SD 的中点，HP //SC ，所以H 是CD 的中点， ··························· 6分 而GH//BC ，所以G 是AB 的中点. ····················································· 7分 连,AC GD 交于O ，连SO ，设S 在底面ABCD 的射影为M ，因为SA SB SD ==，所以MA MB MD ==，即M 为ABD ∆的外心，所以M 与O 重合， ········································································· 8分因OD =，2SD =，所以SO =，23OC AC ==， 过O 作OE //GB 交BC 于E ，以,,OG OE OS 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则(S B C ， ······················· 9分 所以326(,1,),(3,1,0)SB BC =-=-，设平面SBC 的法向量为(,,)n x y z =，则3030n SB xy n BC y ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩，取2z =，则1,x y ==所以(1,3,n =． ···················· 10分 又GB ⊥平面SGD ，故(0,1,0)GB =为平面SGD 的法向量， ··············································· 11分 设平面SBC 与平面SGD 所成锐二面角的大小为θ，则||3cos ||||6n GB n GB θ⋅===， 因为(0,)2πθ∈，所以4πθ=. ···························································· 12分 故平面SBC 与平面SGD 所成锐二面角的大小为4π．解法二：延长,DG CB 交与I ，连接SI ，取SI 的中点K ，连接,GK BK ，因为GP //平面SBC ，平面SBC ⋂平面SGD SI =，GP ⊂平面SGD ，所以GP //SI ， ·············································································· 7分 又P 是SD 的中点，则G 是DI 的中点，故GI GD GS ==，················································ 8分 所以GK SI ⊥， 又GB ⊥平面SID ，所以BKG ∠为二面角C SID --的平面角. ··········································· 10分 在SGI ∆中，SG GI =SI =则SK =,从而1GK =， 又1GE =，BG GK ⊥，故4BKG π∠=，故平面SBC 与平面SGD 所成锐二面角的大小为4π． ·····························12分21.解：（Ⅰ）因为()[]()1ln 0,1,e f x x m x m x m x=--->∈，所以()222111m x mx f x x x x-+'=+-=,因0x >,[]1,e m ∈ ······································ 1分 所以①当240m ∆=-≤即12m ≤≤时,()f x 的增区间为()0,+∞ ， ······················ 2分 ②当240m ∆=->即2e m <≤时,方程210x mx -+=的两根为1x =，2x =，()f x 的增区间为()()120,,,x x +∞， ····························································· 4分综上① 当12m ≤≤时，()f x 的增区间为()0,∞+，②当2e m <≤时，()f x 的增区间为,⎛⎫⎪+∞ ⎪⎝⎭⎝⎭， ········································································································ 5分（Ⅱ）原不等式()1ln ln m x x x x nk x+-++⇔≤. ····················································· 6分 因[]1,e m ∈,[],e 1x ∈,所以()1ln ln 1ln ln m x x x x nx x x x nxx+-+++-++≥,令()1ln ln x x x x ng x x+-++=, ··································································· 7分 即()2ln x x n g x x -+-'=，令()ln p x x x n =-+-，即()11p x x '=-+， 所以()p x 在[],e 1x ∈上递增； ···································································· 8分 ① 当()10p ≥即1n ≤时,因为[]1,e n ∈,所以1n =，当[],e 1x ∈,()0p x ≥,即()0g x '≥，所以()g x 在[]1,e 上递增，所以()()min 1c g x g n ===，故22n c n +==， ··············································································· 9分 ② 当()e 0p ≤即[]e 1,e n ∈-时，因为[],e 1x ∈,()0p x ≤,即()0g x '≤，所以()g x 在[]1,e 上递减，所以()()min 2e en c g x g +===， 故212e ,e 1e ee n n c n +⎡⎤+=+∈+++⎢⎥⎣⎦ ························································ 10分 ③当()()1e 0p p <即()1,1n e ∈-时,又()ln p x x x n =-+-在[]1,e 上递增，所以存在唯一实数()01,e x ∈,使得()00p x =,即00ln n x x =-，则当()01,x x ∈时()0p x <，即()0g x '<，当()0,e x x ∈时()0p x >即()0g x '>， 故()g x 在()01,x x ∈上减，()0,e x x ∈上增， 所以()()00000mi 000n 1ln ln 1ln x x x x n x x x c g x g x +-++=+===. ························ 11分所以00000011ln ln n c x x x x x x +=++-=+， 设()001x x x u =+（()01,e x ∈），则()2'02001110x u x x x -=-=>， 所以()u x 在[]1,e 上递增,所以12,e e n c ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭.综上所述22,e 1e n c ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦.··································································· 12分 22.解： (Ⅰ) 解法一：设曲线1C 与过极点且垂直于极轴的直线相交于异于极点的点E ，且曲线1C 上任意点F (,)ρθ，边接OF ，EF ，则OF ⊥EF ， ····································· 2分在△OEF 中，4cos()4sin 2πρθθ=-=，······················································ 4分解法二：曲线1C 的直角坐标方程为22(2)4x y +-=， ······································ 2分即2240x y y +-=，所以曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=； ······················································ 4分（Ⅱ）因曲线2C的参数方程为)4x ty t π⎧=⎪⎨=-⎪⎩与两坐标轴相交，所以点(2,0),(0,2)A B ， ············································································ 6分所以线段AB 极坐标方程为cos sin 20(0)2πρθρθθ+-=≤≤， ·························· 7分12||sin cos OP ρθθ==+，2||4sin OM ρθ==,sin cos 4sin 2OM OP θθθ+=⨯22sin 2sin cos θθθ=+ ··························· 8分 1cos2sin2θθ=-+)14πθ=-+， ···························· 9分 当38πθ=时取得最大值为1． ···························································· 10分23.解：(Ⅰ)由3222,ab a b =++≥ ······································································· 2分220-≥，（舍去）， ··························································· 4分 当且仅当1,2a b ==时取得“=，即k 的最小值为2． ···················································································· 5分（Ⅱ）由2k =，2()(2)2x m x x m x m -+-≥---=-， ········································· 7分因0,x R ∃∈使不等式22x m x -+-≤成立， 所以22,m -≤即222m -≤-≤， ····················································································· 9分即m 的取值范围是[0,4] ············································································· 10分。
四川省泸县第一中学2020届高三数学下学期第一次在线月考试题理含解析
16.三棱锥 S ABC 中，底面 ABC 是边长为 2 的等边三角形， SA 面 ABC ， SA 2 , 则三棱锥 S ABC 外接球的表面积是_____________ .
28 【答案】 3
【解析】
【详解】由题意可知三棱锥外接球，即为以 ABC 为底面以 SA 为高的正三棱柱的外接球
∵ ABC 是边长为 2 的正三角形
a
设
f
0， b
2f
ln2， c
ef
1 ，则 a 、 b
、 c 的大小关系是 ( )
A. c b a
B. a b c
C. c a b
D.
bca
【答案】A
【解析】
【分析】
构造函数 g(x) ex f (x) ，根据 g(x) 的单调性得出结论．
【详解】解：令 g(x) ex f (x) ，则 g(x) ex[ f (x) f (x)] 0 ， g(x) 在 R 上单调递增，
由题意知
43
6 ，然后利用正弦函数的单调性即可得到单
调区间．
T 2
1
【详解】由题意知 2 ，故向右平移 4 个周期，即向右平移 4
f (x) sin[2(x ) ] sin(2x )
43
6，
2k 2x 2k
令
2
6
2
(k Z) ，
个单位，所以
k - £ x £ k +
四川省泸县第一中学 2020 届高三数学下学期第一次在线月考试题 理
（含解析）
一、选择题：
1.已知集合 A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0}，则 A∩B＝（ ）
A. {0，1}
四川省泸县第一中学2020届高三下学期第一次在线月考数学(理)试卷 Word版含答案
2020年春四川省泸县第一中学高三第一学月考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x|（x+1）（x ﹣2）＜0}，则A∩B ＝ A ．{0，1}B ．{﹣1，0}C ．{﹣1，0，1}D ．{0，1，2}2．若a ，b 均为实数，且3i2i 1ia b +=+-，则ab = A ．2-B ．2C ．3-D ．33．已知四边形ABCD 是平行四边形，点E 为边CD 的中点，则BE =u u u rA ．12AB AD -+u u ur u u u rB ．12AB AD -u u ur u u u rC ．12AB AD +u u u r u u u rD ．12AB AD -u u u r u u u r4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2=4，a 4=2，则S 6= A ．0B ．10C ．15D ．305．函数()()22ln x xf x x -=+的图象大致为A ．B ．C ．D ．6．已知向量a r ，b r 满足2a r ||=1b r ||=，且2b a +r r ||=，则向量a r 与b r的夹角的余弦值为A ．2 B ．2 C ．2 D ．2 7．已知角α的终边经过点()1,3P -，则sin 2α=A ．3 B ．3-C ．12-D ．3-8．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为 A ．213log 32+B ．2log 3C ．2D ．39．要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A 、B 、C 三个班级中，要求 每个班级至少分到一人，则甲被分到A 班的分法种数为 A ．6 B ．12 C ．24D ．3610．将函数sin(2)3y x π=+的图像向右平移14个周期后，所得图 像对应的函数为()f x ，则函数()f x 的单调递增区间为 A ．ππππk k k ++∈Z 7[,]()1212B ．[,]()63k k k Z ππππ-+∈C ．5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈ D ．[,]()36k k k Z ππππ-+∈ 11．若直线y ax =是曲线2ln 1y x =+的一条切线，则实数a = A ．12e -B ．122e-C ．12eD ．122e12．已知函数()f x 是定义在R 上的函数，且满足()()0f x f x '+>，其中()f x '为()f x 的导数，设(0)a f =，2(ln 2)b f =，(1)c ef =，则a 、b 、c 的大小关系是 A ．c b a >> B ．a b c >>C ．c a b >>D ．b c a >>二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年四川省泸州市高考数学一诊试卷(理科)
2020年四川省泸州市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{0A =，1，2，3}，集合{|||2}B x x =…，则(A B = )A ．{03}B ．{0，1，2}C ．{1，2}D ．{0，1，2，3}2．（5分）下列函数()f x 中，满足“对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，且12x x <都有12()()f x f x >”的是( )A ．()f x =B ．()2x f x -=C ．()f x lnx =D ．3()f x x =3．（5分）“sin 0α=”是“sin20α=”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．（5分）已知函数()y f x x =+是偶函数，且f （2）1=，则(2)(f -= ) A ．2B ．3C ．4D ．55．（5分）一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是( ) A ．异面B ．相交C ．平行D ．不能确定6．（5分）如图所示的图象对应的函数解析式可能是( )A ．2(2)xy x x e =- B ．2sin 41x xy x =+C ．xy lnx=D ．221x y x =--7．（5分）已知:(0,)2p πα∀∈，sin αα<，0:q x N ∃∈，20210x x --=，则下列选项中是假命题的为( ) A ．p q ∨B ．()p q ∧⌝C ．p q ∧D ．()p q ∨⌝8．（5分）我国古代数学名著《九章算术》中，割圆术有，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”其体现的是一种无限与有限的转化过程，如“⋯”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程x =确定x ( )A ．3BC ．6D ．9．（5分）已知函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，0)ϕπ<<的图象如图所示，下列关于()f x 的描述中，正确的是( )A ．tan ϕ=B ．最小正周期为2πC ．对任意x R ∈都有()()3f x f x π-=D ．函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度后图象关于坐标原点对称 10．（5分）若将甲桶中的aL 水缓慢注入空桶乙中，则xmin 后甲桶中剩余的水量符合衰减函数()nx f x ae =（其中e 是自然对数的底数）．假设过5min 后甲桶和乙桶的水量相等，再过mmin 后，甲桶中的水只有4aL ，则m 的值为( )A ．5B ．8C ．9D ．1011．（5分）在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，且ABCD 为矩形，2DPA π∠=，AD =2AB =，则四棱锥P ABCD -的外接球的体积为( )A ．163π B ．323π C ．643π D ．16π12．（5分）已知函数3()log f x x =的图象与函数()g x 的图象关于直线y x =对称，函数()h x 是最小正周期为2的偶函数，且当[0x ∈，1]时，()()1h x g x =-，若函数()()y k f x h x =+有3个零点，则实数k 的取值范围是( ) A ．7(1,2log 3)B ．5(2,2log 3)--C ．5(2log 3-，1)-D ．7(log 3-，1)2-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13．（5分）函数()f x =的定义域为 ．14．（5分）设函数2,05()(5),5x x f x f x x ⎧<=⎨-⎩……，那么(18)f 的值 ．15．（5分）当0x x =时，函数()cos22sin()2f x x x π=++有最小值，则0sin x 的值为16．（5分）已知正方体有8个不同顶点，现任意选择其中4个不同顶点，然后将它们两两相连，可组成平面图形或空间几何体．在组成的空间几何体中，可以是下列空间几何体中的 ．（写出所有正确结论的编号） ①每个面都是直角三角形的四面体； ②每个面都是等边三角形的四面体； ③每个面都是全等的直角三角形的四面体：④有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知函数321()3f x x x ax =-+（其中a 为常数）．（Ⅰ）若1x =-是()f x 的极值点，求函数()f x 的减区间； （Ⅱ）若()f x 在(2,)-+∞上是增函数，求a 的取值范围．18．（12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 2A Cb Cc +=． （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）已知2c =，AC 边上的高BD =a 的值． 19．（12分）如图，已知BD 为圆锥AO 底面的直径，若4AB BD ==，C 是圆锥底面所在平面内一点，CD =AC （Ⅰ）求证：平面AOC ⊥平面ACD ；（Ⅱ）求二面角B AD C --的平面角的余弦值．20．（12分）已知函数()2cos (sin cos )()f x x x x x R =+∈． （Ⅰ）求函数()f x 的最小值及取最小值时x 取值的集合；（Ⅱ）若将函数()f x 的图象上所有点的横坐标扩大为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，且()g α=，(2πα∈，3)2π，求()2g πα-的值． 21．（12分）已知函数()f x lnx =，1()g x a x=+（其中a 是常数），（Ⅰ）求过点(0,1)P -与曲线()f x 相切的直线方程；（Ⅱ）是否存在1k ≠的实数，使得只有唯一的正数a ，当0x >时，不等式11()()()f x g x k x a a++…恒成立，若这样的实数k 存在，试求k ，a 的值；若不存在，请说明理由．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）如图，在极坐标系Ox 中，过极点的直线l 与以点(2,0)A 为圆心、半径为2的圆的一个交点为(2,)3B π，曲线1M 是劣弧OB ，曲线2M 是优弧OB ．（Ⅰ）求曲线1M 的极坐标方程；（Ⅱ）设点1(P ρ，)θ为曲线1M 上任意一点，点2(Q ρ，)3πθ-在曲线2M 上，若||||6OP OQ +=，求θ的值．[选修4-5：不等式选讲] 23．设()|3||4|f x x x =-+-． （Ⅰ）解不等式()2f x …；（Ⅱ）已知x ，y 实数满足2223(0)x y a a +=>，且x y +的最大值为1，求a 的值．2020年四川省泸州市高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{0A =，1，2，3}，集合{|||2}B x x =…，则(A B = )A ．{03}B ．{0，1，2}C ．{1，2}D ．{0，1，2，3}【解答】解：{0A =，1，2，3}，{|22}B x x =-剟， {0AB ∴=，1，2}．故选：B ．2．（5分）下列函数()f x 中，满足“对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，且12x x <都有12()()f x f x >”的是( )A ．()f x =B ．()2x f x -=C ．()f x lnx =D ．3()f x x =【解答】解：“对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，且12x x <都有12()()f x f x >”，∴函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，结合选项可知，()f x =在(0,)+∞单调递增，不符合题意， 1()2()2x x f x -==在(0,)+∞单调递减，符合题意，()f x lnx =在(0,)+∞单调递增，不符合题意，3()f x x =在(0,)+∞单调递增，不符合题意， 故选：B ．3．（5分）“sin 0α=”是“sin20α=”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：sin20α=，则1{|2A n ααπ==，}k Z ∈，sin 0α=，则1{|22B k k ααππ===，}k Z ∈， B 是A 的真子集，所以前者是后者的充分不必要条件，故选：A ．4．（5分）已知函数()y f x x =+是偶函数，且f （2）1=，则(2)(f -= ) A ．2B ．3C ．4D ．5【解答】解：函数()y f x x =+是偶函数， (2)2f f ∴--=（2）2+， (2)f f ∴-=（2）225++=．故选：D ．5．（5分）一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是( ) A ．异面 B ．相交C ．平行D ．不能确定【解答】解：设l αβ=，//a α，//a β，过直线a 作与α、β都相交的平面γ， 记b αγ=，c βγ=，则//a b 且//a c ， //b c ∴．又b α⊂，l αβ=，//b l ∴． //a l ∴．故选：C ．6．（5分）如图所示的图象对应的函数解析式可能是( )A ．2(2)xy x x e =-B ．2sin 41x xy x =+C ．x y lnx=D ．221x y x =--【解答】解：由图知定义域为R ，故B ，C 错，由特殊值(1)0f ->，但D 选项中3(1)02f -=-<，故D 错；故选：A ．7．（5分）已知:(0,)2p πα∀∈，sin αα<，0:q x N ∃∈，20210x x --=，则下列选项中是假命题的为( ) A ．p q ∨B ．()p q ∧⌝C ．p q ∧D ．()p q ∨⌝【解答】解：命题p ：由三角函数的定义，角α终边与单位圆交于点P ，过P 作PM x ⊥轴，垂足是M ，单位圆交x 轴于点A ，则sin MP α=，弧长PA 即为角α；显然MP <弧长PA ；:(0,)2p πα∴∀∈，sin αα<是真命题；命题q ：解方程200210x x --=，则1x =因此0:q x N ∃∈，200210x x --=，是假命题． 则下列选项中是假命题的为p q ∧．而A ，B ，D 都是真命题． 故选：C ．8．（5分）我国古代数学名著《九章算术》中，割圆术有，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”其体现的是一种无限与有限的转化过程，如“⋯”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程x =确定x ( )A ．3BC ．6D ．【解答】解：由已知代数式的求值方法： 先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），可得要求的式子．(0)m m =>，则两边平方得，则23m +=， 即232m m +=，解得，3m =，1m =-舍去． 故选：A ．9．（5分）已知函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，0)ϕπ<<的图象如图所示，下列关于()f x 的描述中，正确的是( )A ．tan ϕ=B ．最小正周期为2πC ．对任意x R ∈都有()()3f x f x π-=D ．函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度后图象关于坐标原点对称 【解答】解：有图知：1A =，74123T T πππ=-∴=，而2T πω=，2ω∴=，3x π=时，()03f π=又是递减， 23k πϕππ∴+=+，k Z ∈，而0ϕπ<<，3πϕ∴=，所以()sin(2)3f x x π=+．tan tan 3πϕ==A 不正确，最小正周期222T πππω===，所以B 不正确，()sin[2()]sin(2)sin 2()333f x x x x f x ππππ-=-+=-=-≠，所以C 不正确；函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得sin[2()]sin 263x x ππ-+=，关于原点对称，所以④正确． 故选：D ．10．（5分）若将甲桶中的aL 水缓慢注入空桶乙中，则xmin 后甲桶中剩余的水量符合衰减函数()nx f x ae =（其中e 是自然对数的底数）．假设过5min 后甲桶和乙桶的水量相等，再过mmin 后，甲桶中的水只有4aL ，则m 的值为( )A ．5B ．8C ．9D ．10【解答】解：5min 后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数()nt y f t ae ==，满足f （5）512n ae a ==可得1152n ln =，因此，当kmin 后甲桶中的水只有4a升， 即1()4f k a =，即111524ln k ln =， 即为1112522ln k ln =，解之得10k =，经过了55k -=分钟，即5m =． 故选：A ．11．（5分）在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，且ABCD 为矩形，2DPA π∠=，AD =2AB =，则四棱锥P ABCD -的外接球的体积为( )A ．163π B ．323π C ．643π D ．16π【解答】解：因为APD ∆是直角三角形，90DPA ∠=︒， 所以APD ∆外接圆的圆心在AD 中点处，设为O '， 又因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 所以矩形ABCD 经过球心O ，所以对角线AC 即为球的直径，设球的半径为R ，则24AC R ===，所以2R =，所以球的体积为344328333V R πππ===．故选：B ．12．（5分）已知函数3()log f x x =的图象与函数()g x 的图象关于直线y x =对称，函数()h x 是最小正周期为2的偶函数，且当[0x ∈，1]时，()()1h x g x =-，若函数()()y k f x h x =+有3个零点，则实数k 的取值范围是( ) A ．7(1,2log 3)B ．5(2,2log 3)--C ．5(2log 3-，1)-D ．7(log 3-，1)2-【解答】解：由函数3()log f x x =的图象与函数()g x 的图象关于直线y x =对称，得()3x g x =， 函数()h x 是最小正周期为2的偶函数，当[0x ∈，1]时，()()131x h x g x =-=-， 函数()()y k f x h x =+有3个零点，即3log ()k x h x =-有3个不同根， 画出函数3logy k x =与()y h x =-的图象如图：要使函数3log y k x =与()y h x =-的图象有3个交点，则 0k <，且333252klog klog >-⎧⎨<-⎩，即522log 3k -<<-． ∴实数k 的取值范围是5(2,2log 3)--．故选：B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上． 13．（5分）函数()f x =的定义域为 (0，4] ． 【解答】解：由22log 0x -…，得2log 2x …，解得04x <…．∴函数()f x =(0，4]．故答案为：(0，4]．14．（5分）设函数2,05()(5),5x x f x f x x ⎧<=⎨-⎩……，那么(18)f 的值 9 ．【解答】解：函数2,05()(5),5x x f x f x x ⎧<=⎨-⎩……，(18)(353)f f f ∴=⨯+=（3）239==．故答案为：9．15．（5分）当0x x =时，函数()cos22sin()2f x x x π=++有最小值，则0sin x 的值为【解答】解：函数()cos22sin()2f x x x π=++2cos22cos 2cos 2cos 1x x x x =+=+-，根据二次函数的性质可知，当1cos 2x ︒=-时，函数取得最小值，则0sin x =故答案为： 16．（5分）已知正方体有8个不同顶点，现任意选择其中4个不同顶点，然后将它们两两相连，可组成平面图形或空间几何体．在组成的空间几何体中，可以是下列空间几何体中的 ①②④ ．（写出所有正确结论的编号） ①每个面都是直角三角形的四面体； ②每个面都是等边三角形的四面体； ③每个面都是全等的直角三角形的四面体：④有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体．【解答】解：①每个面都是直角三角形的四面体；如：E ABC -，所以①正确； ②每个面都是等边三角形的四面体；如E BGD -，所以②正确； ③每个面都是全等的直角三角形的四面体：这是不可能的，③错误；④有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体．如：A BDE -，所以④正确；故答案为：①②④．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知函数321()3f x x x ax =-+（其中a 为常数）．（Ⅰ）若1x =-是()f x 的极值点，求函数()f x 的减区间； （Ⅱ）若()f x 在(2,)-+∞上是增函数，求a 的取值范围． 【解答】解：321()()3I f x x x ax =-+，2()2f x x x a ∴'=-+， 1x =-是()f x 的极值点，(1)30f a ∴'-=+=，3a ∴=-，2()23f x x x '=--，当1x <-或3x >时，()0f x '>，当13x -<<时，()0f x '<， 即3a =-时符合题意，即()f x 的单调单调递减区间(1,3)-， ()()II f x 在(2,)-+∞上是增函数，2()20f x x x a ∴'=-+…在(2,)-+∞上恒成立， 22a x x ∴-+…在(2,)-+∞上恒成立，令2()2g x x x =-，则()g x 在(2,1)-上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 故()max g x g =（1）1=，1a ∴…，即a 的范围为[1，)+∞．18．（12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 2A Cb Cc +=． （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）已知2c =，AC 边上的高BD =a 的值． 【解答】解：（Ⅰ）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 2A Cb Cc +=．所以sin sin()22B b C c π=-，即sin cos 2Bb Cc =，由正弦定理得：sin sin sin cos 2BB C C =． 所以sin cos2B B =，即2sin cos cos 222B B B =， 由于B 为三角形的内角，所以cos 02B≠， 所以1sin22B =，由于0B π<<， 所以3B π=．（Ⅱ）由于11sin 22ABC S ac B BD b ∆==，代入2c =，BD =，所以sin B ，解得b =． 由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，代入b =，得到29180a a -+=， 解得3a =或6．19．（12分）如图，已知BD 为圆锥AO 底面的直径，若4AB BD ==，C 是圆锥底面所在平面内一点，CD =AC 与圆锥底面所成角的正弦值为7（Ⅰ）求证：平面AOC ⊥平面ACD ；（Ⅱ）求二面角B AD C --的平面角的余弦值．【解答】 解：（Ⅰ）证明：由4AB BD ==及圆锥的性质， 所以ABD ∆为等边三角形，AO ⊥圆O 所在平面，所以AO =ACO ∠是AC 与底面所成的角，又AC ，在Rt AOC ∆中，AC ==，OC =由CD =2OD =，在OCD ∆中，222OC CD OD +=， 所以CD OC ⊥，圆锥的性质可知：AO ⊥圆O 所在平面，因为CD ⊂圆O 所在平面，所以AO CD ⊥，又AO ，OC ⊂平面AOC ，所以CD ⊥平面AOC ， 又DC ⊂平面ACD ，故平面AOC ⊥平面ACD（Ⅱ）过点O 作OF AD ⊥交于F ，过F 作FH AD ⊥交DC 于H ，连接HO ，所以OFH ∠为二面角B AD C --的平面角， 在Rt OFD ∆中，因为4AD =，6FOD π∠=，所以1FD =，OF =，因为Rt HFD Rt ACD ∆∆∽，所以HF ACDF CD=，即HF =，则HD =故C 是HD 的中点，所以2OH =，在OFH ∆中，2222cos OH OF FH OF FH OFH =+-∠，即224cos OFH =+-∠，所以cos OFH ∠=．20．（12分）已知函数()2cos (sin cos )()f x x x x x R =+∈． （Ⅰ）求函数()f x 的最小值及取最小值时x 取值的集合；（Ⅱ）若将函数()f x 的图象上所有点的横坐标扩大为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()g x的图象，且3()3g α=，(2πα∈，3)2π，求()2g πα-的值． 【解答】解：（Ⅰ）函数()2cos (sin cos )f x x x x =+ 22sin cos 2cos x x x =+ sin2cos21x x =++)14x π=++；当2242x k πππ+=-+，即3()8x k k Z ππ=-∈时；sin(2)4x π+取得最小值1-；所以函数()f x 的最小值是1 此时x 取值的集合：3{|()}8x x k k Z ππ=-∈； （Ⅱ）函数()f x 的图象上所有点的横坐标扩大为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象；所以()g x 的最小正周期为4π； 1()sin()124g x x π∴=++，故111()sin()1sin()24243g ππααα=++⇒+=；(2πα∈，3)2π，∴1(242ππα+∈，)π，1cos()24πα∴+== 1()122g παα∴-+1sin[()]1244ππα=+--112[sin()cos cos()sin ]1244244ππππαα=+-++12[(13=-+=． 21．（12分）已知函数()f x lnx =，1()g x a x=+（其中a 是常数）， （Ⅰ）求过点(0,1)P -与曲线()f x 相切的直线方程；（Ⅱ）是否存在1k ≠的实数，使得只有唯一的正数a ，当0x >时，不等式11()()()f x g x k x a a++…恒成立，若这样的实数k 存在，试求k ，a 的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设过点(0,1)P -的直线与曲线()f x 相切于点0(x ，0)lnx ， 因为()f x lnx =，则1()f x x'=，所以在0(x ，0)lnx 处的切线方程为0001()y lnx x x x -=-， 将(0,1)p -代入切线方程得00lnx =，所以01x =， 所以切线方程为1y x =-．（Ⅱ）假设存在实数1k ≠，使得只有唯一的正数a ， 当0x >时，不等式11()()()f x g x k x a a ++…恒成立，即111()())()a ln x k x x a a+++…恒成立，取1x =，可知0k >， 因为0x >，0a >，所以1()0kx ln x a a-+…， 令1()()(0)kx m x ln x x a a =-+>， 则2()1(1)k a akx a km x a ax a ax -+'=-=++ 由0()0m x '=，得20a kx ak-=(1)︒当20k a <<时，0(0,)x x ∈时，0()0m x '<，则()m x 在1(a ，0)x 上为减函数，0(x x ∈，)+∞时，0()0m x '>，则()m x 在0(x ，)+∞上为增函数，则02()()10min k a m x m x ln a k==--…， 即21k a ln a k +…，令h （a）2(k aln a a k=+， 则h '（a ）233122k a k a a a -=-=，由0()0h a '=，得0a a >，a ∈0)a 时，h '（a ）0<，则h （a）在区间0)a 上为减函数， 0(a a ∈，)+∞时，h '（a ）0>，则h （a ）在区间0(a ，)+∞上为增函数，因此存在唯一的正数a h （a ）1…，故只能h （a ）1min =， 所以h （a）01()12min h a ==+， 所以2k e=，此时a(2)︒当2k a …时，0()0m x '>，所以()m x 在(0,)+∞上为增函数， 所以lim ()0x m x lna →∞=…，则1a …，故1k >，所以满足1a 剟的a 不唯一，综上，存在实数2k e=，a ，当0x >时，恒有原式成立．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）如图，在极坐标系Ox 中，过极点的直线l 与以点(2,0)A 为圆心、半径为2的圆的一个交点为(2,)3B π，曲线1M 是劣弧OB ，曲线2M 是优弧OB ．（Ⅰ）求曲线1M 的极坐标方程；（Ⅱ）设点1(P ρ，)θ为曲线1M 上任意一点，点2(Q ρ，)3πθ-在曲线2M 上，若||||6OP OQ +=，求θ的值．【解答】解：（Ⅰ）过极点的直线l 与以点(2,0)A 为圆心、半径为2的圆上任意一点(,)ρθ，整理得4cos ρθ=．由于的圆的一个交点为(2,)3B π，曲线1M 是劣弧OB ，所以1M 的方程为4cos ()32ππρθθ=剟．（Ⅱ）点1(P ρ，)θ为曲线1M 上任意一点， 所以14cos ()32ππρθθ=剟，点2(Q ρ，)3πθ-在曲线2M 上，所以24cos()()3233ππππρθθ=---剟．整理得24cos()()363πππρθθ=--剟．由于||||6OP OQ +=，所以126ρρ+=，整理得4cos 4cos()63πθθ+-=，即：)63πθ+=，由于32ππθ剟且63ππθ-剟，所以32ππθ剟． 解得3πθ=．[选修4-5：不等式选讲] 23．设()|3||4|f x x x =-+-． （Ⅰ）解不等式()2f x …；（Ⅱ）已知x ，y 实数满足2223(0)x y a a +=>，且x y +的最大值为1，求a 的值． 【解答】解：（Ⅰ）由函数()|3||4|f x x x =-+-，当3x <时，不等式()2f x …化为342x x -+-+…，解得2.53x <…；当34x 剟时，不等式()2f x …化为342x x --+…，即12…恒成立，此时34x 剟； 当4x >时，不等式()2f x …化为342x x -+-…，解得4 4.5x <…； 综上知，不等式()2f x …的解集为{|2.4 4.5}x x 剟；（Ⅱ）由柯西不等式得22222))]()x y +++…，又2223(0)x y a a +=>， 所以25()6x y a +…，当且仅当23x y =时取等号； 又因为x y +的最大值为1， 所以516a =，解得a 的值为65．。
四川省泸州市泸县第一中学2020届高三数学上学期第一次月考试题理
四川省泸州市泸县第一中学2020届高三数学上学期第一次月考试题理第I卷(选择题共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）1.设集合，则A. B.C. D.2.复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.函数的大致图像为A. B.C. D.4.若，则A. B. C. D.5.双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为A. B. C. D. 26.若执行下边的程序框图，输出的值为5，则判断框中应填入的条件是A. B. C. D.7.已知偶函数在上单调递增，则对实数，“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.设随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（注：若，则，）A. 7539B. 7028C. 6587D. 60389.平面内的一条直线将平面分成2部分，两条相交直线将平面分成4部分，三条两两相交且不共点的直线将平面分成7部分，…，则平面内六条两两相交且任意三条不共点的直线将平面分成的部分数为A. 16B. 20C. 21D. 2210.设函数，有且仅有一个零点，则实数的值为A. B. C. D.11.已知等差数列，，其前项和为，，则=A. B. C. D.12.定义域为的函数图像的两个端点为、，向量，是图像上任意一点，其中，若不等式恒成立，则称函数在上满足“范围线性近似”，其中最小正实数称为该函数的线性近似阈值.若函数定义在上，则该函数的线性近似阈值是A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.已知实数满足不等式组的最大值为___________．14.的展开式中常数项是 .（用数字作答）15.已知是抛物线：的焦点，点，点是上任意一点，当点在时，取得最大值，当点在时，取得最小值.则__________．16.如图，已知圆锥的顶点为S，底面圆O的两条直径分别为AB和CD，且AB⊥CD，若平面平面．现有以下四个结论：①AD∥平面SBC；②；③若E是底面圆周上的动点，则△SAE的最大面积等于△SAB的面积；④与平面SCD所成的角为45°．其中正确结论的序号是__________．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17.（本大题满分12分）在中，角，，所对的边分别是，，，且. （Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，求.18.（本大题满分12分）2018年12月28日，成雅铁路开通运营，使川西多个市县进入动车时代，融入全国高铁网，这对推动沿线经济社会协调健康发展具有重要意义.在试运行期间，铁道部门计划在成都和雅安两城之间开通高速列车，假设每天7:00-8:00，8:00-9:00两个时间段内各发一趟列车由雅安到成都（两车发车情况互不影响），雅安发车时间及其概率如下表所示：第一趟列车第二趟列车发车时间7:10 7:30 7:50 8:10 8:30 8: 50概率0.2 0.3 0.5 0.2 0.3 0.5若小王、小李二人打算乘动车从雅安到成都游玩，假设他们到达雅安火车站候车的时间分别是周六7:00和7:20（只考虑候车时间，不考虑其它因素）.（Ⅰ）求小王候车10分钟且小李候车30分钟的概率；（Ⅱ）设小李候车所需时间为随机变量，求的分布列和数学期望.19.（本大题满分12分）如图，在三棱柱侧面．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．20.（本大题满分12分）已知点与定点的距离和它到直线：的距离的比是常数，点的轨迹为曲线.（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）若直线：交曲线于，两点，当点不在、两点时，直线，的斜率分别为，，求证：，之积为定值.21.（本大题满分12分）已知函数，其中.（Ⅰ）若函数仅在处取得极值，求实数的取值范围；（Ⅱ）若函数有三个极值点，，，求证：.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数,倾斜角),曲线C的参数方程为(为参数,)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系。
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泸州市高2018级第一次教学质量诊断性考试
数 学（理科）
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 第I 卷1至2页，第II 卷3至4页.共150分.考试时间120分钟. 注意事项：
1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑.
3. 填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
第I 卷 （选择题 共60分）
一、 选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．已知集合2{|40}A x x x =-≤，{}|21,B x x n n ==-∈N ，则A B =
A ． {}3
B ． {}1,3
C ． {}1,3,4
D ．{}1,2,3,4
2．“sin cos αα=”是“cos20α=”的
A ．充分但不必要条件
B ．必要但不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．已知3log 5a =，1
ln 2
b =， 1.11.5
c -=，则a ，b ，c 的大小关系正确的是
A ．b c a <<
B ． b a c <<
C ．a c b <<
D ．a b c <<
4．我国的5G 通信技术领先世界，5G 技术的数学原理之一是著名的香农(Shannon)公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率C 的公式
2log (1)S
C W N
=⋅+”，其中W 是信道带宽（赫兹），S 是信道内所传信号的平均功率（瓦），
N 是信道内部的高斯噪声功率（瓦），其中S
N 叫做信噪比．根据此公
式，在不改变W 的前提下，将信噪比从99提升至λ，使得C 大约增加了60%，则λ的值大约为(参考数据:0.2
10 1.58≈)
A ．1559
B ．3943
C ．1579
D ．2512
5．右图为某旋转体的三视图，则该几何体的侧面积为
A ．10π
B ．8π
C ．9π
D ．
正视图
侧视图
俯视图
6．函数3e e x
x
x
y -=
+（其中e 是自然对数的底数）的图象大致为
A ．
B ．
C ．
D ．
7．已知()1,0A x ，()2,0B x 两点是函数()2sin()(0)6
f x x π
ωω=+>与x 轴的两个交点，且A 、
B 两点间距离的最小值为3
π
，则ω的值为
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
8. 定义在R 上的函数()f x 满足(2)()f x f x +=，(2)()f x f x -=，当[0,1]x ∈时，2
()f x x =，
则函数()f x 的图象与()||g x x =的图象的交点个数为 A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
9．在长方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为11C D ,11B C 的中点，,O M 分别为BD ,EF 的中
点，则下列说法错误的是
A. 四点B 、D 、E 、F 在同一平面内
B. 三条直线BF ，DE ，CC 1有公共点
C. 直线1
AC 与直线OF 不是异面直线 D. 直线1
AC 上存在点N 使,,M N O 三点共线 10．已知方程22log 0x
x --=的两根分别为1x ，2x ，则下列关系正确的是
A ．1212x x <<
B ． 122x x >
C ．1201x x <<
D ． 121x x =
11．已知三棱锥A BCD -中，BAC △和BDC △是边长为2的等边三角形，且平面ABD ⊥平面BCD ，该三棱锥外接球的表面积为
A ．4π
B ．163π
C ．8π
D ．203
π
12．已知函数32
1()(0)3
f x ax x a =+>，若存在实数0(1,0)x ∈-且012x ≠-，使01()()2f x f =-，
则实数a 的取值范围为
A ．2(,5)3
B ．2
(,3)(3,5)3⋃
C ．18(,6)7
D ．18
(,4)(4,6)7
⋃
1
A
第II 卷 （非选择题 共90分）
注意事项：
(1)非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效.
(2)本部分共10个小题，共90分.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上）
13．已知函数23,0
()21,0x x x f x x +⎧=⎨+>⎩≤,则((1))f f -的值___________．
14．曲线sin ([0,])y x x π=∈与x 轴所围图形的面积为 ．
15．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若
1
tan 3α=，则tan()αβ-= ．
16．如图，棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 为线段A 1B 上的动点（不含端点），有
下列结论：
① 平面A 1D 1P ⊥平面A 1AP ; ② 多面体CDPD 1的体积为定值； ③ 直线D 1P 与BC 所成的角可能为3
π； ④ △APD 1能是钝角三角形.
其中结论正确的序号是 （填上所有序号）．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17．（本题满分12分）
已知函数2
()2cos 12
x
f x x =-+．
（Ⅰ）若()()6
f π
αα=+，求tan α的值；
（Ⅱ）将函数()f x 图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的
1
2
倍得函数()g x 的图象，若关于x 的方程()0g x m -=在[0,]2
π
上有解，求m 的取值范围．
18．（本题满分12分）
已知曲线()sin f x kx x b =+在点(,())22
f ππ
处的切线方程为230x y --=．
（Ⅰ）求k ，b 的值；
（Ⅱ）判断函数()f x 在区间(0,)2
π
上零点的个数，并证明．
A
B
C
D
A 1
B 1
C 1
D 1
P
19.（本题满分12分）
在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin()sin 2
B C
a A B c ++=． （Ⅰ）求A ；
（Ⅱ）已知3c =，1b =，边BC 上有一点D 满足3ABD ADC S S =△△，求AD ． 20.（本题满分12分）
如图，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 是菱形，G 是线段AB 上一点(不含,A B ），在平面SGD 内过点G 作GP //平面SBC 交SD 于点P ．
（Ⅰ）写出作点P 、GP 的步骤(不要求证明)； （Ⅱ）若3
BAD π
∠=
，2AB SA SB SD ====，P 是SD 的中
点，求平面SBC 与平面SGD 所成锐二面角的大小． 21．（本题满分12分）
已知函数()1
ln f x x m x m x
=---，其中[]1,e m ∈，e 是自然
对数的底数.
（Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；
（Ⅱ）设关于x 的不等式()1
ln x x k n f x x x
--+≤对∀[]1,e x ∈恒成立时k 的最大值为c
（k ∈R ，[]1,e n ∈），求n c +的取值范围.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22．（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 是圆心在（0，2），半径为2的圆，曲线2C 的参数
方程为)4
x t
y t π⎧=⎪
⎨=-⎪⎩（t 为参数且02t π≤≤）
，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(Ⅰ) 求曲线1C 的极坐标方程；
（Ⅱ）若曲线2C 与两坐标轴分别交于,A B 两点，点P 为线段AB 上任意一点，直线OP 与曲线1C 交于点M （异于原点），求
OM OP
的最大值．
23．（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲
若0,0a b >>且223a b ab ++=，已知ab 有最小值为k . (Ⅰ) 求k 的值；
（Ⅱ）若0x ∃∈R 使不等式2x m x k -+-≤成立，求实数m 的取值范围．
G
D
C
B
A
S。