北师大版数学九年级下册《第三章圆 ※3 垂径定理第2课时垂径定理(2)》教学课件

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9年级数学北师大版下册教案第 3章《垂径定理》

教学设计垂径定理难点：垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线．教学策略：类比引入，猜想探索，知识应用，归纳小结。

本节课的另一个难点是如何添加辅助线，这在最后的归纳反思中应该要有足够的时间让学生交流讨论，但是限于本节课的时间，这是一个客观限制，不应该勉强在课堂上完成，效果并不理想，应该留作课后作业，让学生能通过更充分的讨论才得出结论，这样才能起到更好地交流和反思的作用。

教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图一、类比引入二、猜想探索活动内容：1.等腰三角形是轴对称图形吗？2.如果将一等腰三角形沿底边上的高对折，可以发现什么结论？3.如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心，腰长为半径画圆，得到的图形是否是轴对称图形呢？1．如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M。

（1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能找出图中有哪些等量关系？说一说你的理由．条件：①CD是直径；②CD⊥AB结论（等量关系）：③AM=BM；④⌒AC=⌒BC；⑤⌒AD=⌒BD。

学生思考并回答通过等腰三角形的轴对称性向圆的轴对称性过渡，引导学生思考，培养学生类比分析的能力。

证明：连接OA ,OB ,则OA =OB在Rt △OAM 和Rt △OBM 中,∵OA =OB ，OM =OM ，∴Rt △OAM ≌Rt △OBM . ∴AM =BM .∴点A 和点B 关于CD 对称. ∵⊙O 关于直径CD 对称,∴当圆沿着直径CD 对折时, 点A 与点B 重合,⌒AC 和⌒BC 重合, ⌒AD 和⌒BD 重合. ∴ ⌒AC =⌒BC ，⌒AD =⌒BD .2．辨析：判断下列图形，能否使用垂径定理？注意：定理中的两个条件缺一不可——直径（半径），垂直于弦。

通过以上辨析，让学生对垂径定理的两证明完毕后，让学生自行用文字语言表述这一结论，最后提炼出垂径定理的内容——垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

【精品】2018数学九年级下北师大版3.3垂径定理同步课件(20张)

的直径CD，交AB于点M.
D
（1）上图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
上图是轴对称图形，对称轴是CD.
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
AM＝BM AC＝BC AD＝BD
证明：连接OA，OB，
A
则OA＝OB，
∵ AM＝BM ，
∴ CD⊥AB ，∠AOC＝∠BOC，
∴ ¼AC ＝B»C ，
A
点拨：
O B
本例为垂径定理的应用。利用圆中常规辅助线“过圆心作弦的垂线”，与圆半径、弦，构成直角三角形，再利用解直角三角形的知识求解.
1.如图，⊙O的半径为
5cm，弦 AB为 6cm。求圆心
O 到弦 AB 的距离.
O
解：连接OA，过圆心O作 OE⊥AB于E，则：
A
E
B
AE＝EB ＝ 1 AB＝ 1 ×6 ＝ 3（cm）
C
A
B
M
O
（1）右图是轴对称图形吗？若是， D 其对称轴是什么？
右图是轴对称图形，对称轴是CD.
（2）你能发现图中有哪些等量关系吗？说一说你的理由.
AM＝BM AC＝BC AD＝BD
证明：连接OA，OB，则OA ＝ OB，
∵CD⊥AB，
C
A
B
M
O
∴AM ＝ BM，∠AOC ＝ ∠BOC， D
2.垂径定理的逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂
直于弦，并且平分弦所对的弧.
布置作业
课本第76～77页：作业：习题3.3
垂径定理
知识回顾，引入新课
问题：
同学们想一想：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？圆是中心对称图形吗？它的对圆既是轴对称图形也是中心对称图形，它有无数多条对称轴，其对称轴是任意一条过圆心的直线，它的对称中心是圆的圆心.

北师大版九年级下册数学3.3垂径定理(教案)

3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了垂径定理的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对垂径定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决与圆相关的几何问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
在小组讨论环节，学生们对于垂径定理在实际生活中的应用提出了很多有趣的见解。这让我感到很高兴，因为他们能够将所学知识应用到实际问题中。但同时，我也发现部分学生在讨论中较为拘谨，不敢大胆地表达自己的观点。为了鼓励学生们更加积极地参与讨论，我将在今后的教学中多给予他们肯定和鼓励，营造一个轻松、自由的学习氛围。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解垂径定理的基本概念。垂径定理指的是直径垂直于弦且平分弦的定理。它在解决与圆相关的几何问题中起着关键作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个体的案例。这个案例展示了如何运用垂径定理来求解一个圆的半径，以及它如何帮助我们解决实际问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调垂径定理的证明和运用这两个重点。对于难点部分，如证明过程中辅助线的构造，我会通过举例和步骤分解来帮助大家理解。
-理解垂径定理与圆的其他性质（如圆心角、弧、弦的关系）之间的联系。
举例解释：
-证明过程：解释为何需要通过构造辅助线，如何利用全等三角形或相似三角形的性质来完成证明。
-灵活运用：通过设置不同难度的练习题，引导学生掌握垂径定理在不同情境下的应用，如非直径垂直弦、圆内接四边形等。
-性质联系：强调垂径定理与圆的其他基本性质（如圆心角定理、弧弦定理等）之间的关系，通过对比和联系加深理解。

九年级数学北师大版初三下册--第三单元3.3《垂径定理》课件

⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （√ ）
挑战自我找一找
2.已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD, 直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F. 图中相等的线段有 :
. 图中相等的劣弧有:
.
挑战自我算一算
3、已知：如图，⊙O 中， AB为弦，C 为
⌒ AB
的中点，OC交AB
于D
例题解析
例1：如图，已知在圆O中，弦AB的长为8
㎝，圆心O到AB的距离为3 ㎝，求圆O的
半径。
A
E
B
O
练习1:在半径为50㎜的圆O中，有长50㎜的弦AB，计算：⑴点O与AB的距离；
⑵∠AOB的度数。
E
例2：如图，圆O的弦AB＝8 ㎝，
DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D，
求半径OC的长。
O
D
A
B
练习2:在圆O中，直径CE⊥AB于 D，OD=4 ㎝，弦AC= 10 ㎝，求圆O的半径。
挑战自我画一画
如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB, 使AB过点M.并且AM=BM.
●M ●O
挑战自我填一填
1、判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条
弧.
（）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另
一条弧.
（√ ）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（）
⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （）
C
A M└ B 你可以写出相应的命题吗?
●O
相信自己是最棒的!
D
C
A M└
B
垂径定理及逆定理
●O
条件 ①② ①③ ①④ ①⑤

北师大版九年级下册3.3垂径定理优秀教学案例

在教学过程中，我注重引导学生从实际问题出发，通过观察和操作，发现垂径定理的内在规律。我设计了一系列的教学活动，包括直观演示、小组讨论、几何画板软件操作等，旨在激发学生的学习兴趣，提高学生的参与度。
同时，我还注重培养学生的逻辑思维能力，引导学生从特殊到一般，从具体到抽象的思考问题，让学生在理解垂径定理的同时，能够灵活运用该定理解决实际问题。
（三）学生小组讨论
1.设计具有挑战性和综合性的小组合作任务，让学生在合作中思考、交流、探究，提高学生的学习效果。
2.组织学生进行小组讨论，鼓励学生提出问题、分享思路、互相启发、互相学习，培养学生的批判性思维和问题解决能力。
3.教师在小组讨论过程中给予及时的反馈和指导，帮助学生更好地理解和掌握垂径定理。
（四）反思与评价
1.引导学生对学习过程进行反思，培养学生自我评价和自我调整的能力。
2.设计具有针对性和全面性的评价指标体系，对学生的知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观进行全面评价。
3.利用自评、互评、师评等多种评价方式，给予学生客观、公正的评价，提高学生的自信心和积极性。
4.根据评价结果，调整教学策略和教学方法，为下一阶段的教学提供有益的参考。
北师大版九年级下册3.3垂径定理优秀教学案例
一、案例背景
北师大版九年级下册3.3垂径定理是圆的知识点中的一个重要定理，它揭示了圆中关于垂直于弦的直径的一系列性质。在本节课中，学生需要理解和掌握垂径定理的内容，并能够运用该定理解决相关问题。
在进行本节课的教学设计时，我充分考虑了学生的年龄特点和学习需求，以提高学生的几何思维能力和解决问题的能力为目标，力求通过丰富的教学活动和合理的教学设计，帮助学生理解和掌握垂径定理。
2.要求学生对自己的作业进行自我评价，培养学生的自我反思和自我调整能力。

北师大版九年级下册3.3垂径定理教学设计

1.概念讲解：明确垂径定理的定义，即圆的直径垂直于弦，并且平分弦。
2.证明过程：引导学生通过几何画板或实际操作，观察并思考如何证明垂径定理。在此基础上，给出严格的证明过程，强调证明方法与逻辑推理。
3.推论介绍：介绍垂径定理的两个重要推论，即弦的一半、弦心距和圆半径构成直角三角形，以及圆的弦垂直平分线相交于圆心。
4.通过对垂径定理及其推论的学习，使学生体会几何知识之间的联系，培养他们运用几何知识解决实际问题的能力。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对几何学的兴趣，培养他们主动探究、积极思考的学习态度。
2.通过对垂径定理的学习，使学生体会数学的简洁美和逻辑美，提高他们对数学的审美能力。
3.培养学生的团队合作精神，使他们学会在合作中交流、分享和互助，共同解决问题。
3.情感态度培养：鼓励学生勇于提出问题、发表见解，培养他们的自信心和批判性思维。
4.课后作业布置：布置适量的课后作业，让学生巩固所学知识，为下一节课的学习打下基础。
五、作业布置
为了巩固学生对垂径定理的理解和应用，以及培养学生的独立思考能力，特布置以下作业：
1.基础巩固题：请同学们完成课本第63页的练习题1、2、3，这些题目主要考察对垂径定理基本概念的理解和简单应用。
5.请同学们按时提交作业，教师将及时批改、反馈，帮助大家查漏补缺，提高学习效果。
2.教学难点：垂径定理的证明过程，以及在实际问题中的应用。
-证明过程涉及严密的逻辑推理，对于部分学生来说可能存在理解上的困难。
-在实际应用中，学生需要能够灵活运用定理，结合其他几何知识，解决更为复杂的问题。
（二）教学设想
1.采定理及其推论。
-教师应以鼓励和表扬为主，营造积极向上的课堂氛围，让学生在轻松的环境中学习。

3-3 垂径定理 -2022-2023学年九年级数学下册同步精品课件(北师大版)

∴AC=AE﹣CE=8﹣2 7．
随堂测试
7.已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则
AC的长为（
A．2 5cm
）
B．4 5 cm
C．2 5cm或4 5cm
D．2 3cm或4 3cm
【解析】
连接AC，AO，
1
1
∵O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，∴AM=2AB=2×8=4cm,OD=OC=5cm,
O
⌒
⌒
BC =BD.
E
B
D
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
符号语言：
C
∵ CD是直径， CD⊥AB
·
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
∴ AE=BE，AC=BC，AD=BD.
O
E
B
A
D
概念理解
平分弦的直径垂直于这条弦吗？
情况一：弦是直径
不一定
情况二：弦不是直径
C
A
C
·
O
D
O
B
E
A
B
课堂基础练
⌒
ＡＣ＝ AD
⌒
⌒
， BC＝ＢＤ
A
已知：线段CD是⊙O的一条弦，直径AB⊥CD，
垂足为E。
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
求证：CE=DE, AC = AD, BC =BD.
C
证明：连接OC、OD,在△OCD中，
∵OC=OD，且OE⊥CD,
∴CE=DE，∠COB=∠BOD,
⌒ =AD,
⌒
∴ ∠AOC=∠AOD, ∴AC
则OE=
3
，AB=
8
?
.

3.3+垂径定理++课件++2023—2024学年北师大版数学九年级下册

弦，观察一下，还有与刚才类似的结论吗？
C
AE=BE， AC=BC，AD=BD
A
O E
B
D
探索新知——垂径定理及其逆定理
活动：
在圆纸片上画出图形，并沿CD折叠，实验后提出
猜想.
C
猜想：垂直于弦的直径
平分这条弦，并且平分弦所
O
对的弧.
E
A
B
D
你能写出已知求证，并证明吗？
探索新知——垂径定理及其逆定理
别相等.
A M
B
O
B′ M′ A′
探索新知——垂径定理及其逆定理
（1）在探索圆的轴对称性的过程中，若沿两条直径折叠可以是哪些位置关系呢？斜交，垂直
垂直是特殊情况，你能得出哪些等量关系？
C
A
B
O
D
AO=BO，CO=DO，AC=BC，AD=BD
探索新知——垂径定理及其逆定理
（2）若把AB向下平移到任意位置，变成非直径的
直径，并且CD⊥AB ，垂足为M.
C
求证：AE=BE， AC=BC， AD=BD.
若只证明AE=BE，还有什么方
A
法？
O E
B D
探索新知——垂径定理及其逆定理
猜想得以证明，命题是真命题，我们把真命题叫做____定___理____.
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.
垂径定理的推理格式
弓形CED.
弓形的高：从圆心向弦作垂线,垂线被弦和弧所截的线段的长,
称为弓形的高.如EF .
C E
FD
O
应用实际
例2.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点.

3.3 垂径定理课件 2023-2024学年北师大版数学九年级下册

*3.3 垂径定理
续表
（1）定理中的“垂径”可以是直径、半径或过圆心的直线（线段），其本质是“过圆心”；特别提醒（2）“平分弦所对的两条弧”是指既平分弦所对的优弧（如图中的
），又平分弦所对的劣弧（如图中的）
-2-
*3.3 垂径定理
2. 垂径定理的推论
文字描述平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧如图，直径 CD 与非直径的弦 AB
的是（）
A. CM=DM B.
C. ∠ACD=∠ADC D. OM=MB
（第 1 题图）
（第 2 题图）
2. 如图所示，⊙O 的半径为 13，弦 AB 的长度是 24，ON⊥AB，垂足为 N，
则 ON= （）
A． 5
B． 7
C． 9
D． 11
-1-
*3.3 垂径定理
3.（教材 P76，习题 T2 变式）如图，AE 是⊙O 的直径，半径 OD 垂直于弦 AB，垂足为 C，AB=8 cm，CD=2 cm，求 BE 的长．
∴AN= AB=12，在 Rt△AON 中， ∵AO=13，∴ON=
=5．
3. 解：∵ 半径 OD 垂直于弦 AB，垂足为 C， AB=8 cm，∴AC= AB=4 cm，
设 CO=x cm，则 AO=DO=（x+2）cm，在 Rt△AOC 中，AO2=CO2+AC2， ∴（x+2）2=x2+42，解得 x=3，即 CO=3 cm. ∵AO=EO，AC=CB，OC 为△ABE 的中位线，∴BE=2CO=6 cm． 4. D 提示：一条直线经过圆心，平分弦所对的劣弧，根据垂径定理及其推论可知，它垂直平分这条弦，并且平分弦所对的优弧． 5. 120 提示：∵ 弦 AC 与半径 OB 互相平分，∴OA=AB，∵OA=OB，∴△OAB 是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠AOC=2∠AOB=120°.

9下-§3.3 垂径定理(2)

3. 垂径定理逆定理的三种语言：
文字语言
图形语言
几何语言
2
深度学习离不开归纳，没有归纳的学习一定是低效的，甚者是无效的。
1.回顾（补充）学习：轴对称图形：一个图形沿一条直线对折，两部分能够完全重合.
2. 垂径定理逆定理证明方法:构造等腰三角形,由平分弦得出垂直于弦;由圆心角相等得出弧相等.
3.有关圆的常用辅助线: 连接圆心与弦一端点(半径),过圆心作弦的垂线段(弦心距),再由半径、弦心距、半弦构造直角三角形，利用勾股定理解答.
长，与条件有关的半径为 OP,OQ ,所以
若 MP NQ 14 ， AC BC 18 ，
连接 OP,OQ ,由垂径定理及有关知识说
则直径 AB 的长.
明 OPM,OQN 三点共线，再由条件中的
HK
两个与线段有关的等式求出 OP,OQ 长.
6
学习抓关键，思维抓核心，学必须学的。
答案：连接OP 交 AC 于 H ，连接OQ 交 BC 于 K
在正方形 ACDE 中， AC// DE，AC DE
,BC ，的中点分别是 M，N，P，Q .若
在正方形 BCFG中， BC// FG，BC FG OP DE,OP 平分 DE ，OQ FG,OQ平分 FG
MP NQ 14 AC BC 18，则直径 AB 的长.
M，N 是 DE ， FG 的中点， OPM,OQN 三点共线.
二平分弦（非直径）联的直径垂直于弦.
重要方法：
三渗垂透用径代定数理方逆法定理解（应列方用程，法构）造解直决角
三角形.进而用勾
几股何问解题决的问思题想..
四悟
4
学习抓关键，思维抓核心，学必须学的。

北师大版九年级数学下册第三章3垂径定理

知识点二垂径定理的推论 3.下列说法: ①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦; ②平分弦的直径平分弦所对的弧; ③垂直于弦的直线必过圆心; ④垂直于弦的直径平分弦所对的弧. 其中正确的是 ( ) A.②③ B.①③ C.②④ D.①④
答案 D 平分弦(不是直径)的直径平分弦所对的弧,故②错误;垂直于弦且平分弦的直线必过圆心,故③错误.①④正 m,过点E作ME⊥AB,交 AB 于点M,过点F作NF⊥AB,交 AB 于点N.设
︵
AB 所在圆的圆心为点O,连接OA,ON,OD,MN,设MN交CD于点H,可知O,D,C
三点在同一条直线上,MN∥AB,AD= 1 AB=3.6 m.
2
图3-3-7 设OA=r m,则OD=OC-CD=(r-2.4)m. 在Rt△OAD中,由勾股定理,得OA2=AD2+OD2, 即r2=3.62+(r-2.4)2,∴r=3.9,
知识点二垂径定理的推论
内容详解
应用格式推论
垂径定理的推论
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧
①推论的条件:直径平分弦,弦不
能是直径;
推论的结论:直径垂直于弦,且平分弦所对的弧. ②一定不能忽略“被平分的弦不是直径”这个条件,因为圆中任意两条直径都是互相平分的, 但它们未必垂直
∵CD平分AB,且CD是直径, ∴CD⊥AB, A︵C= B︵C, A︵D= B︵D
平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧
例2 如图3-3-2,在☉O中,点C是 A︵B 的中点,弦AB与半径OC相交于点D,AB= 12,CD=2.求☉O的半径长.
图3-3-2 分析连接OA,根据垂径定理的推论得出AD=6,∠ADO=90°,根据勾股定理列出方程,求出方程的解即可.

北师大版九年级数学下册：3.3《垂径定理》教学设计

北师大版九年级数学下册：3.3《垂径定理》教学设计一. 教材分析《垂径定理》是北师大版九年级数学下册第3章第3节的内容。

本节主要介绍圆中的垂径定理及其应用。

垂径定理是圆的基本性质之一，对于解决与圆相关的问题具有重要意义。

通过学习垂径定理，学生能够更深入地理解圆的性质，提高解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了圆的基本概念和性质，具备了一定的观察、分析和推理能力。

但在学习垂径定理时，学生可能对定理的理解和应用还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，引导学生逐步理解并掌握垂径定理。

三. 教学目标1.理解垂径定理的内容及证明过程。

2.能够运用垂径定理解决与圆相关的问题。

3.培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：垂径定理的理解和应用。

2.难点：垂径定理的证明过程。

五. 教学方法1.引导发现法：教师引导学生观察、分析、推理，发现垂径定理。

2.实例讲解法：教师通过具体例子，讲解垂径定理的应用。

3.合作交流法：学生分组讨论，分享学习心得和解决问题的方法。

六. 教学准备1.教学PPT：包含垂径定理的定义、证明和应用。

2.实例图片：用于讲解垂径定理的应用。

3.练习题：巩固所学内容。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾圆的基本性质，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师展示PPT，介绍垂径定理的定义、证明和应用。

引导学生观察、分析，理解垂径定理的意义。

3.操练（10分钟）教师提出几个与垂径定理相关的问题，让学生分组讨论，共同解决问题。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）学生独立完成几道练习题，巩固所学内容。

教师选取部分题目进行讲解，分析解题思路。

5.拓展（10分钟）教师提出一些拓展问题，引导学生运用垂径定理解决实际问题。

学生分组讨论，分享解题方法。

6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课所学内容，回顾学习过程，分享学习心得。

北师大版数学九年级下册3.3《垂径定理》说课稿

北师大版数学九年级下册3.3《垂径定理》说课稿一. 教材分析北师大版数学九年级下册3.3《垂径定理》是本节课的主要内容。

这一节内容是在学生已经学习了直线、圆的基本概念和性质的基础上进行教学的。

教材通过引入垂径定理的概念，让学生了解并掌握圆中的一些重要性质，为学生后续学习圆的其它性质和解决与圆相关的问题打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识基础，对直线、圆的基本概念和性质有一定的了解。

但是，对于垂径定理的理解和运用还需要通过本节课的学习来提高。

此外，学生的空间想象能力和逻辑思维能力还需要进一步培养。

三. 说教学目标1.知识与技能：让学生理解和掌握垂径定理，并能够运用垂径定理解决一些与圆相关的问题。

2.过程与方法：通过观察、分析、推理等方法，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。

四. 说教学重难点1.教学重点：理解和掌握垂径定理。

2.教学难点：如何引导学生运用垂径定理解决实际问题。

五. 说教学方法与手段在本节课的教学中，我将采用问题驱动法、合作交流法和直观演示法等教学方法。

问题驱动法能够激发学生的思考，培养学生的逻辑思维能力；合作交流法能够培养学生的团队合作意识；直观演示法能够帮助学生更好地理解垂径定理。

六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引导学生思考圆中的一些性质，激发学生的学习兴趣。

2.新课导入：介绍垂径定理的定义和性质，让学生通过观察和分析来理解垂径定理。

3.案例分析：通过一些具体的例子，让学生学会如何运用垂径定理解决实际问题。

4.巩固练习：设计一些练习题，让学生进一步巩固对垂径定理的理解和运用。

5.课堂小结：引导学生总结本节课的学习内容，加深对垂径定理的理解。

6.课后作业：布置一些相关的作业，让学生在课后继续巩固和提高。

七. 说板书设计板书设计主要包括垂径定理的定义、性质和运用。

通过板书，让学生一目了然地了解垂径定理的主要内容。

北师大版垂径定理 (2)

精练108页例2
如图，在圆O中，已知直径CD平分弦AB， AB=8，DE=2，求圆O的半径。
精练109页当堂检测 1题 2题
1、如图，已知圆O的半径为4cm，则垂直平分半径的弦长AB为（）。
2、在直径为10cm的圆柱形油槽中装入一些油后，如图所示，若油面宽AB=8cm，则油的最大深度为（）
如果圆的两条弦平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么?
E
A
N ●O
B
└
M
C└
D
F
C
A
B
●O
C
D
D
精练 108页拓展提升
圆O的半径为5，弦AB平行CD，AB=6，CD=8，求 AB和CD之间的距离。
检测题
精练109页当堂检测 3题 4题 5题
1、如图，AB为半圆直径，O为圆心，C为半圆上一点，E是弧AC的中点，OE交弦AC于点D，若AC=8cm， DE=2cm，则OD的长为（）．
2、已知：如图，⊙O的半径为3，弦AB的长为4．求 sinA的值为（）．
3、如图，已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D．求证：AC=BD
3 垂径定理
通过探索、推理，理解垂径定理;并运用垂径定称图形吗？
是
2.它的对称轴是什么?
圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线
3.你能找到多少条对称轴？
它有无数条对称轴.
●
O
自学
阅读书中74页，回答：垂径定理的内容
试一试
1、在圆O中，有一条直径和一条弦，怎样操作才能使直径平分弦？
O
┏
A
C
B
C
O
A
E

3.3垂径定理(课件)九年级数学下册(北师大版)

C
➢特别说明：圆的两条直径是互相平分的.
A
·O
B
D
二、自主合作，探究新知
典型例题
C
例2：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,
点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,
且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
E
●
解:连接OC. 设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.
股定理计算或建立方程.
五、当堂达标检测
1.已知☉O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心到
弦AB的距离为( D )
A.8cm
B.5cm
·O
C.9cm
D.12cm
2.坐标网格中一段圆弧经过点A，B，C，其中点B
的坐标为（4，3），点C坐标为（6，1），则该圆
弧所在圆的圆心坐标为（ B ）A.（0，0） B.

六、布置作业
教材习题3.3；
圆心的直线 .对称中心为圆心。
2.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
3.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相
等，那么它们所对应的其余各组量都分别
相等．
一、创设情境，引入新知
问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)
O
F
D
三、即学即练，应用知识
1.如图，CD是☉O的直径，弦AB⊥CD于点E，连接OA，
OB，下列结论中不一定正确的是( C )
⌒ ⌒
A.AE＝BE
B.AD＝BD
C.OE＝DE
D.∠AOD＝∠BOD
2.如图，在☉O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB

(版)北师版九年级下册第三章圆知识点及习题

九年级下册第三章圆【知识梳理】一、圆的认识1. 圆的定义：描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点的圆形叫做圆；固定的端点O叫做圆心；线段．．．O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成OA叫做半径；以点O为圆心的圆，记作⊙．．O，读作“圆O〞集合性定义：圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。

其中定点叫做圆心，定长叫做圆的半径，圆．．．．．．心定圆的位置，半径定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆．．。

对圆的定义的理解：①圆是一条封闭曲线，不是圆面；②圆由两个条件唯一确定：一是圆心〔即定点〕，二是半径〔即定长〕。

2、与圆相关的概念①弦和直径：弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．。

直径：经过圆心的弦叫做直径。

．．②弧、半圆、优弧、劣弧：弧：圆上任意两点间的局部叫做圆弧．．，简称弧．，用符号“⌒〞表示，以CD为端点的弧记为“〞，读作“圆弧CD〞或“弧CD〞。

半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆．．。

优弧：大于半圆的弧叫做优弧。

．．劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。

(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。

)．．③弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形．．。

④同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆．．．。

⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。

⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．．。

⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.．．．⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.．．．3、点与圆的位置关系及其数量特征：如果圆的半径为r，点到圆心的距离为 d，那么①点在圆上<===>d=r;②点在圆内<===>d<r;③点在圆外<===>d>r.其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明假设干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。

二. 圆的对称性:1、圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。

北师大版数学九年级下册第三章 3.3 垂径定理

#北师大版数学九年级下册第三章 3.3 垂径定理1. 引言垂径定理是数学中的一个重要定理，它涉及到直角三角形的性质和垂线的特点。

通过研究垂径定理，我们可以更好地理解直角三角形的性质，并且在解题过程中可以运用这个定理来简化问题。

本文将详细介绍北师大版数学九年级下册第三章中的3.3节垂径定理。

2. 垂径定理的表述垂径定理是指：在直角三角形中，如果一条垂线分别与两个直角边相交，那么这条垂线与两个直角边的交点分别构成的两条线段的乘积相等。

具体地说，设直角三角形ABC中，∠B是直角，BD是BC边上的高，垂足为D，AD称为锐角边上的垂线，CD称为直角边上的垂线。

根据垂径定理可知：AD * CD = BD^2（即锐角边上的垂线与直角边上的垂线之积等于高的平方）。

3. 垂径定理的证明为了证明垂径定理，我们可以利用几何图形中的相似三角形性质来进行推导。

首先，我们假设直角三角形ABC中∠B是直角，BD是BC边上的高，垂足为D，AD为锐角边上的垂线，CD为直角边上的垂线。

由于∠B是直角，所以四边形ABCD是一个矩形，即∠A = ∠C = 90°。

根据几何图形中的相似三角形性质，我们可以得到三个相似三角形：△ADB与△CDB相似，△ABC与△ADC相似，△ABD与△CBD相似。

由于△ADB与△CDB相似，所以有：AD/BD = BD/CD，即AD * CD = BD^2。

由于△ABC与△ADC相似，所以有：AB/AD = AD/CD，即AB * CD = AD^2。

由于△ABD与△CBD相似，所以有：AB/BD = BD/CD，即AB * CD = BD^2。

通过以上三个等式，我们可以发现：AD * CD = BD^2 = AB * CD = AD^2。

综上所述，根据垂径定理的证明，我们得出结论：在直角三角形中，一条垂线分别与两个直角边相交，那么这条垂线与两个直角边的交点分别构成的两条线段的乘积相等。

4. 垂径定理的应用垂径定理在解题过程中有着广泛的应用。

北师大版九年级下册数学：3 垂径定理

径为R．经过圆心O 作弦AB 的B垂线OC，D为垂足，
OC与AB 相交于点D，根据前面的结论，D是AB的中
点，A⌒CB是的中点，CD就是拱高．
C
在图中 AB=37.4，CD=7.2，
AD
1 2
AB
1 2
37
.
4
1
8பைடு நூலகம்
.7
A
R
D
B
OD = OC－CD = R－
O
7.2 OA2 = AD2 +
垂径定理方法：连半径，向弦作垂线，用勾股定理求解。
AE
1 2
AB
1 2
8
4
在 Rt△ AO 中
A
E
B
O·
OA2 EOE2 AE2
OA OE2 AE2 32 42 5 cm
答：⊙O的半径为5 cm。
练习
3、在直径是20cm的⊙O中，⌒AB 的度数是60°，
那么弦AB的弦心距是 5 3 cm 。
O
D
A
B
思考题
54、将一个两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O,另一边所在直线与半圆交于点D、E, 量出半径 OC = 5cm,弦 DE=8cm。求直尺的宽度。
可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线
都是它的对称轴．
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
（1）圆是轴对称图形，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？
（1）是轴对称图形．直径CD所在
C
的直线是它的对称轴
（2）线段：AE=BE
弧： A⌒C=⌒BC ⌒ ⌒
·O