线段图解复杂和差倍关系

线段的相等与和、差、倍

第16讲线段的相等与和、差、倍知识框架线段的相等与和、差、倍是初中数学六年级下学期第3章第1节的内容．重点是学会用数学符号表示两条线段的大小关系，能用等式表示两条线段的和、差、倍的关系，掌握两点之间距离的概念，理解“两点之间，线段最短”的意义及线段的中点的意义．另外，需学会用直尺、圆规等工具画线段，及其和、差、倍，并学会用作图语言描述画法．16.1 线段的大小的比较1.线段的表示（1）可以用两个大写英文字母表示一条线段的两个端点．如图所示：线段可以用表示端点的两个字母A、B表示，记作线段AB．（2）也可以用一个小写英文字母，如图所示：线段可以用小写英文字母a表示，记作线段a．2.线段的大小比较通常，把比较两条线段的长短称作两条“线段的大小的比较”．线段的大小比较有两种方法：度量法和叠合法．叠合法如下：将线段AB移到线段CD的位置，使端点A与端点C重合，线段AB与线段CD叠合．这时端点B可能的位置情况如下表：图形点B的位置符号表示情况一点B在线段CD上（C、D之间）记作：AB < CD（或CD > AB）A BC D(B)(A)知识精讲情况二点B与点D重合记作：AB = CD 情况三点B在线段CD的延长线上记作：AB > CD（或CD < AB）3.如图，已知线段a，用圆规、直尺画出线段AB，使AB = a．（1）画射线AC；（2）在射线AC上截取线段AB = a．（以点A为圆心，a为半径画弧，交射线AC于点B）线段AB就是所要画的线段．4.两点之间的距离：联结两点的线段的长度叫做两点之间的距离．两点之间，线段最短．【例1】判断题：（1）在“线段AB”中，A、B分别表示这条线段的两个端点．（）（2）“线段AB”与“线段BA”指的是同一条线段．（）（3）“射线AB”与“射线BA”也指同一条射线．（）（4）射线AB的端点是点A和点B．（）（5）线段AB和线段CD，如果点A和点B落在线段CD内，则AB < CD．（）【例2】过一点可做______条直线，过两点可作_____条直线．【例3】线段有______个端点，射线有______个端点，直线有______个端点．【例4】如图所示，图中共有______条线段，共有______条射线．A BC D(B)(A)A BC D(B)(A)例题分析如图所示，图中最短的线段是______，最长的线段是______，点B 与线段CD 的位置关系是__________．【例6】下列画图画法的语句正确的是（）（A ）画直线AB 、CD 相交于点M ；（B ）直线AB 、CD 相交于点M ；（C ）在射线OC 上截取线段PC = 3厘米；（D ）延长线段AB 到点C ，使BC = AB . 【例7】如图，已知AB < CD ，则AC 与BD 的大小关系是（）（A ）AC > BD ；（B ）AC = BD ；（C ）AC < BD ；（D ）不能确定.【例8】如图，已知ABC 中，边AB 的长大于边AC 的长，试用圆规、直尺在线段AB 上画出线段AD ，使AD = AC ．【例9】图中共有几条线段？几条射线？【例10】如图，已知线段AB 、线段CD ．利用圆规和无刻度的直尺比较这两条线段的大小．ABCD ABCD ABCAB C DAB CD已知平面上有4个点，无三点共线，请问，这4个点可以构成多少条线段？若有5个点呢（其他条件不变）？若有6个点呢（其他条件不变）？若有n个点呢（其他条件不变）？【例12】已知一条直线上有4个点，则以这4个点为端点的线段有多少条？若有5个点呢（其他条件不变）？若有6个点呢（其他条件不变）？若有n个点呢（其他条件不变）？【例13】图中共有多少条线段？16.2 画线段的和、差、倍1.线段的和（或差）两条线段可以相加（或相减），它们的和（或差）也是一条线段，其长度等于这两条线段的长度的和（或差）． 2. 线段的中点将一条线段分成两条相等的线段的点叫做这条线段的中点．【例1】如图，已知线段a 、b ．（1）画出一条线段，使它等于a b +；（2）画出一条线段，使它等于b a -．【例2】如图，已知线段a 、b ．（1）画出一条线段，使它等于2a ；（2）画出一条线段，使它等于2a b -．【例3】根据图形填空：（1）AD =______+ BC +______= AC + ______= AB + ______；（2）AB = AD -______；（3）AC = AD -______= BC +______．知识精讲例题分析a ba bAB C D如图，已知点C 是线段AB 的中点，则AC =______AB ，AB = 2________= 2_______，12AB =______=______．【例5】如图，已知点C 是线段AB 的中点，AC = 20，BD = 29，则AB =______，DC = ______．【例6】线段AB = 2厘米，延长线段AB 至点C ，使得BC = 2AB ，则AC =_____厘米．【例7】线段AB = 2厘米，反向延长线段AB 至点C ，使得BC = 3AB ，则AC =_____厘米．【例8】线段AB = 2005厘米，P 、Q 是线段AB 上的两个点，线段AQ = 1200厘米，线段BP = 1050厘米，那么线段PQ =______厘米．【例9】如图，线段AD = 90厘米，B 、C 是这条线段上的两点，AC = 70 厘米，且13CD BC =，则AB 的长为______．【例10】如图，已知D 为线段AB 的中点，E 为线段BC 的中点，若AC = 12，EC = 4，求线段AD 的长度．【例11】如图点A 、B 、C 、D 、E 在同一条直线上，已知AB = a ，AD = b ，CD = c ，CE = d ，用含a 、b 、c 、d 的式子表示BC 、DE 的长．A BC AB CD A B C DABC DEABCDE两条长度不等的线段，它们的长度和为a，一条线段的2倍等于另一条线段的3倍，求这两条线段的长度差．（结果用a表示）【例13】已知线段AB，用直尺、圆规作出它的中点C．【例14】两条线段的长度分别为6和8，使这两条线段在同一直线上，并有一个端点重合，求这两条线段的中点所确定的线段的长度．【例15】如图，点A、B、C、D 在同一条直线上，已知12ACCD=，35ABBD=，求AB : BC : CD．【例16】在直线上顺次排列的四个点A、B、C、D满足AB : BC : CD = 2 : 3 : 4，AB的中点M点与CD的中点N点的距离是3厘米，求BC的长．A B如图，线段AB = BC = CD = DE = 1厘米，那么图中所有线段的长度之和等于多少？16.3 随堂检测1.用叠合法比较线段AB与线段CD的大小，把点A与点C重合，当点B在线段CD上，则AB______CD；若点B在线段CD的延长线上，则AB______CD；如点B与点D重合，则AB______CD．2.把一段弯曲的公路改为直路，可以缩短路程，其理由是_________________．3.判断下列语句是否正确：（1）点A与点B的距离就是线段AB；（）（2）若线段AM与线段BM相等，则M是线段AB的中点．（）4.下列各式中不能表达M为线段AB中点的语句是（）（A）12AM AB=；（B）2AB BM=；（C）AM BM=；（D）AM MB AB+=．5.找出图中的所有线段，并将它们表示出来．6.已知M是线段AB上的一点，点C是线段AM的中点，点D是线段MB的中点，AM =8厘米，MD = 2厘米，则BC =______厘米．7.已知线段AB = 6 cm，延长AB到C，使12BC AB=，反向延长AB到D，使14AD BD=，则线段CD = ______cm．8.已知线段a、b、c，画出线段AB使122AB a b c=+-．A B C D EA B C D E Facb9. 已知在平面上有10个点，无三点共线，请问这10个点可以构成多少条线段？10. 在直线上有两点A 、B ，它们的距离等于10，在该直线上另有一点P ，P 到A 、B 的距离之和为12，请判断点P 与点A 的位置关系．16.4 课后作业1.下列语句错误的是（）（A ）线段AB 和线段BA 是同一条线段；（B ）射线AB 和射线BA 不是同一条射线；（C ）“延长线段AB 到点C ”与“延长线段BA 到点C ”意义相同；（D ）直线不能比较大小.2. 比较下列各图中线段AB 与CD 的大小．3. 如图，直线上有A 、B 、C 三点，图中共有______条射线，______条线段．4. 线段AB =182厘米，点C 是线段AB 的中点，则线段BC =______厘米． 5.延长线段AB 至点C ，使13BC AB ，D 是AC 的中点，若DC = 2厘米，则AB =___厘米．6.已知线段AB ，点D 为线段AB 的中点，延长线段AB 到C ，使点B 为线段AC 的中点，反向延长线段AB 到E ，使得点A 为线段DE 的中点，则BC =______AE ．ABCDABCD7.延长线段AB到C，使AC = 3AB，在AB反向延长线上取一点D，使AD = AB，若E是AB的中点，DE = 7.2 cm，求CD的长．8.如图，已知AE = 14 cm，B为AE上一点，且AB : BE = 3 : 4，C为AE中点，D为BE中点，求线段CD的长．9.已知A、B、C为一直线上三点，且AB = 10 cm，BC = 20 cm，则AC的长度为多少？10.在直线l上有100个点，以这100个点为端点的线段有多少条？。

线段的和差倍分问题的证明

ABE DC线段的和差倍分问题的证明证明线段的倍分问题：一、运用定理法即直接或间接运用某些涉及线段和差倍分关系的定理或推论进行证明。

此类定理和推论有：三角形中位线定理；梯形中位线定理；直角三角形30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

例1 如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 中点. 求证：DM =21AB 二、比例线段法即找出与所证明有关的比例式，通过对比例式进行变形或重新组合，从而得出线段之间的和差倍分关系。

例2 如图，在△ABC 中，BD 是∠B 的平分线，△ABD 的外接园交BC 于E ，若AB =21AC ，求证：CE =2AD 。

对应练习1、已知：如图所示，点D 、E 分别是等边ABC ∆的边AC 、BC 上的点，AD=CE ，BD 、AE 交于点P ，AE BQ ⊥于Q ．求证：PB PQ 21=．2、如图所示，在ABC ∆中，AB=AC ，︒=∠90BAC ，BE 平分ABC ∠，交AC 于D ，BE CE ⊥于E 点，求证：BD CE 21=． Q A DP C B E AEADF3、已知：如图所示，锐角ABC ∆中，C B ∠=∠2，BE 是角平分线，BE AD ⊥，垂足是D ．求证：AC=2BD ．4、如图，在ABC ∆中，延长BC 到D ，使CD=2BC ，E 在AC 上，且ＡＥ＝2EC ，D 的延长线交AB 于F ，求证：EF DE 27=二、割补法证明线段的和差问题：这是证明线段的和差倍分问题的一种重要方法。

即通过“分割”或“添补”的形式，在相关线段或其延长线上构造一线段，使之能够表示几条线段的和差倍分关系，从而将多线段问题转化为两线段问题。

在证明线段的和差倍分关系时，往往通过添辅助线，构造出能表示线段的和差倍分关系的线段，促使问题的转化。

但在添加辅助线之前一定要结合题意和图形深入分析，想一想，图形中是否已经存在能表示有关线段和差倍分关系的线段，否则乱添加辅助线只能把图形复杂化，使思路步人歧途。

《线段的和与差》PPT课件

AE B
C
F
D
解：设AB=3x，BC=2x，CD=5x，
因为E、F分别是AB、CD的中点，
所以 BE 1 AB 3 x,
2
2
CF 1 CD 5 x,
2
2
所以EF=BE+BC+CF=
3 2
x
2x
5 2
x
6 x.
因为EF=24，所以6x=24,解得x=4.
所以AB=3x=12，BC=2x=8，CD=5x=20.
∴ MN＝CM+CN＝4+2＝6（cm）.
(2)猜测MN
＝
1 2
a
cm.
∵ M,N分别是AC,BC的中点,∴ CM＝
1AC,CN＝ 1BC,
2
2
∴
MN＝CM+CN＝
12(AC+BC)＝
1 2
a
cm.
随堂训练
1. A，B，C三点在同一直线上，线段AB=5cm，BC=4cm，那么
A，C两点的距离是（C）
B
几何语言：∵ M 是线段 AB 的中点，
∴ AM = MB = 1 AB ， ( 或 AB = 2 AM = 2 MB ).
2
反之也成立：∵
AM
=
MB
=
1 2
AB(
或
AB
=
2
AM
=
2
AB
)，
∴ M 是线段 AB 的中点.
点 M , N 是线段 AB 的三等分点： A
M
N
B
1
AM = MN = NB = _3__ AB (或 AB = _3__AM = __3_ MN = __3_NB)

和倍差倍和差问题

和倍、差倍、和差问题一、熟练掌握线段图画法二、熟练掌握解答倍数问题※线段图画法画线段图非常非常非常重要，是解决中常用的一种思考策略，它能将题中抽象关系以形象的方式表达出，更清楚地反映数量关系。

画线段图不会浪费时间，越复杂的题目越需要画图，可以说，会不会画图决定着你的解题能力，决定分数！!※和倍、差倍、和差问题公式和倍问题：两数之和÷（倍数+ 1）=小数差倍问题：两数之差÷（倍数- 1）=小数和差问题：（和+ 差）÷ 2 =大数（和- 差）÷ 2 =小数稍复杂的倍数问题可能包含两个状态，我们一般抓住倍数的那个状态。

和倍问题线段图1.甲班和乙班共有图书160本。

甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本（和倍）~2.甲班和乙班共有图书210本。

甲班的图书本数是乙班的3倍多10本，甲班和乙班各有图书多少本（和倍）( 3.甲班和乙班共有图书150本。

甲班的图书本数是乙班的3倍少10本，甲班和乙班各有图书多少本（和倍）4.甲班和乙班共有图书150本。

甲班的图书给乙班20本后，两班就一样多，甲班和乙班原来各有图书多少本（和倍），差倍问题线段图1.甲班的图书比乙班多160本。

甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本（差倍）2.甲班的图书比乙班多160本。

甲班的图书本数是乙班的3倍多10本，甲班和乙班各有图书多少本（差倍）—3.甲班的图书比乙班多160本。

甲班的图书本数是乙班的3倍少10本，甲班和乙班各有图书多少本（差倍）\和差问题线段图甲班和乙班共有图书160本。

甲班的图书本数比乙班的多20本，甲班和乙班各有图书多少本（和差）和倍问题习题（一）1．小红和妈妈的年龄加在一起是40岁,妈妈年龄是小红年龄的4倍,小红和妈妈各几岁"2．小红和妈妈的年龄加在一起是49岁,妈妈年龄是小红年龄的4倍多4岁,小红和妈妈各几岁3．小红和妈妈的年龄加在一起是49岁,妈妈年龄是小红年龄的4倍少1岁,小红和妈妈各几岁*4．小明买大书和小书共25本,其中大书的本数比小书的本数的2倍多4本,大书的本数有几本,小单线的书有几本5．小明买大书和小书共25本,其中大书的本数比小书的本数的2倍少5本,大书的本数有几本,小单线的书有几本&6．师傅和徒弟共生产零件190个,师傅生产的个数比徒弟的3倍少10个;师、徒各生产几个\7．一块长方形木板,长是宽的2倍,周长是54厘米.这个长方形木板的面积是多少平方厘米8．一块长方形木板,长是宽的3倍少1厘米,周长是54厘米.这个长方形木板的面积是多少平方厘米：9．甲乙两个冷藏库原来共存肉92吨,从甲库运出28吨后,乙库存肉比甲库的4倍少6吨,甲库原来存肉几吨,乙库原来存肉几吨-10．甲乙两个冷藏库原来共存肉92吨,从甲库运出10吨给乙后,乙库存肉比甲库的4倍少3吨,甲库原来存肉几吨,乙库原来存肉几吨11．小红有30支铅笔,小兰有45支铅笔,小兰给小红几支后,小红的支数是小兰的2倍12．姐姐有320元钱,弟弟有180元钱,弟弟给姐姐多少元钱后,姐姐的钱比弟弟的钱多3倍&13．姐姐有320元钱,弟弟有180元钱,弟弟花掉多少元钱后,姐姐的钱比弟弟的钱多3倍14．姐姐有320元钱,弟弟有180元钱,姐姐再得到多少元钱后,姐姐的钱比弟弟的钱多3倍—15．三个饲养场共养140头牛,第二饲养场养牛的头数是第一饲养场的2倍,第三饲养场养的头数是第二饲养场的2倍,三个饲养场各养牛多少头16．;17．三个饲养场共养160头牛,第二饲养场养牛的头数是第一饲养场的2倍,第三饲养场养的头数是第二饲养场的2倍多6头,三个饲养场各养牛多少头18．三个饲养场共养180头牛,第二饲养场养牛的头数是第一饲养场的2倍,第三饲养场养的头数是第一饲养场的3倍,三个饲养场各养牛多少头19．有两筐苹果共重78千克，如果从甲筐中取出14千克放入乙筐，则此时甲筐重量和乙筐相等，求两筐原来各有多少千克】20．有两筐苹果共重78千克，如果从甲筐中取出14千克放入乙筐，则此时甲筐重量比乙筐的2倍少12千克，求两筐原来各有多少千克21．甲桶里有油470千克，乙桶里有油190千克，甲桶的油倒入乙桶多少千克，才能使甲桶油是乙桶油的2倍'22．已知甲、乙、丙三个数的和是135，乙是甲的2倍，丙是乙的3倍，求甲、乙、丙三个数分别是多少23．甲乙两个粮库原来共存粮170吨，后来从甲库运出30吨，给乙库运进10吨，这时甲库存粮是乙库存粮的2倍，两个粮库原来各存粮多少吨!24．甲、乙、丙三数之和是183，乙比丙的2倍少4，甲比丙的3倍多7，求甲、乙、丙三数各是多少和倍问题习题（二）25．两个数相除商是8，被除数、除数与商的和是170，求被除数、除数是多少《26．两个数相除商是6余数是7，被除数、除数、商与余数的和是125，求被除数、除数是多少27．两数相除，商是3，余数是1，被除数、除数、商与余数的和是89。

小学奥数解题技巧——线段图解题(含有练习题)

线段图解题主要内容：1、线段图解题的方法和技巧；2、常见的可以用线段图来表示的数量关系；3、用线段图解题。

重难点：1、常见的可以用线段图来表示的数量关系；2、较复杂的线段图问题。

意义：利用线段图解决应用题是数学中常见的一种解题方法。

相比于传统的文字分析方法，线段图可以直观清晰地将题中的复杂数量关系展现在我们的眼前，对于理解题意和解决问题有十分重要的作用。

一、线段图解题方法和技巧：什么是线段？那就是一条直线上的两个点和它们之间的部分就叫做线段，线段的长度是有限的，所以我们常用来表示有限的量，帮助我们分析题目中隐藏的数量关系，达到轻松解题的目的。

1、用线段的长短来表示量的大小，并对应的标上数据；2、根据题意，有的可能只需要一条线段，有的可能需要多条线段；3、画多条线段时，要一端对齐，方便比较大小；4、画多条线段时，一般先画最小的量。

5、虚实结合。

“比……多”时，多的部分画实线；“比……少”时，少的部分画虚线，且立即标上数据；二、常见的可以用线段图来表示的数量关系1、和的关系：用一条较长线段来表示“和”，将组成“和”的各分量依次标在该线段上。

当出现多种数量关系时，和关系还可以用大括号来表示。

例如：甲的文具数量为5个，乙的文具数量为2个，那么甲乙的和是多少？2、差的关系：从小到大依次画出各个量，并保持一端对齐后，另一端多出的部分线段即可表示量与量之间的差。

例如：数学考试后小明的得分为100分，小强的得分为95分，那么小强比甲的5个乙的2个7个文具小明少几分？小强的得分：小明的得分：3、倍的关系：先画出最小的量，再画跟它成倍数关系的量，是它的几倍就画几段线段。

可将最小的量看作1份，则其它的量是它的几倍，就是几份。

例如：甲的年龄为5岁，乙的年龄为甲的3倍，那么乙的年龄为几岁？甲的年龄：乙的年龄：注意：在同一个问题中，一条线段只能代表一个数量（若两个数量相等，则可用等长的线段来表示），与这个数量有大小或倍数关系的其它数量应该在这条线段的长度上分别延长（或缩短或等长延长）来表示。

小学奥数解题技巧——线段图解题(含有练习题)

线段图解题主要容：1、线段图解题的方法和技巧；2、常见的可以用线段图来表示的数量关系；3、用线段图解题。

重难点：1、常见的可以用线段图来表示的数量关系；2、较复杂的线段图问题。

意义：利用线段图解决应用题是数学中常见的一种解题方法。

相比于传统的文字分析方法，线段图可以直观清晰地将题中的复杂数量关系展现在我们的眼前，对于理解题意和解决问题有十分重要的作用。

一、线段图解题方法和技巧：什么是线段？那就是一条直线上的两个点和它们之间的部分就叫做线段，线段的长度是有限的，所以我们常用来表示有限的量，帮助我们分析题目中隐藏的数量关系，达到轻松解题的目的。

1、用线段的长短来表示量的大小，并对应的标上数据；2、根据题意，有的可能只需要一条线段，有的可能需要多条线段；3、画多条线段时，要一端对齐，方便比较大小；4、画多条线段时，一般先画最小的量。

5、虚实结合。

“比……多”时，多的部分画实线；“比……少”时，少的部分画虚线，且立即标上数据；二、常见的可以用线段图来表示的数量关系1、和的关系：用一条较长线段来表示“和”，将组成“和”的各分量依次标在该线段上。

当出现多种数量关系时，和关系还可以用大括号来表示。

例如：甲的文具数量为5个，乙的文具数量为2个，那么甲乙的和是多少？2、差的关系：从小到大依次画出各个量，并保持一端对齐后，另一端多出的部分线段即可表示量与量之间的差。

例如：数学考试后小明的得分为100分，小强的得分为95分，那么小强比甲的5个乙的2个7个文具小明少几分？小强的得分：小明的得分：3、倍的关系：先画出最小的量，再画跟它成倍数关系的量，是它的几倍就画几段线段。

可将最小的量看作1份，则其它的量是它的几倍，就是几份。

例如：甲的年龄为5岁，乙的年龄为甲的3倍，那么乙的年龄为几岁？甲的年龄：乙的年龄：注意：在同一个问题中，一条线段只能代表一个数量（若两个数量相等，则可用等长的线段来表示），与这个数量有大小或倍数关系的其它数量应该在这条线段的长度上分别延长（或缩短或等长延长）来表示。

应用题——利用线段图解决及倍差倍问题

应用题——利用线段图解决及倍差倍问题线段图是一种常见的数据可视化工具，可以用来解决各种计量问题。

在实际应用中，我们经常会遇到一种问题，即如何利用线段图解决及倍差倍问题。

通过分析线段图上的长度关系，我们可以得到满足题目要求的解答。

本文将详细介绍如何应用线段图解决及倍差倍问题。

一、线段图的基本概念在开始介绍如何应用线段图解决及倍差倍问题之前，我们先来了解一下线段图的基本概念。

线段图由多个线段组成，每个线段表示一个数值。

线段的长度代表相应数值的大小。

线段图可以用来展示不同类别或不同变量之间的比较关系，使数据更加直观和易于理解。

二、及倍差倍问题的定义及倍差倍问题是一类常见的数学问题，通常涉及到人口增长、物体搬运等领域。

具体而言，及倍差倍问题要求我们在已知某个数值的前提下，求解相对于该数值的倍数增长或倍数减少的另一个数值。

三、利用线段图解决及倍差倍问题的步骤下面我们将具体介绍如何利用线段图解决及倍差倍问题的步骤，以帮助读者更好地理解和应用。

1. 收集已知信息并绘制线段图首先，我们需要收集已知信息，并按照线段的长度进行绘制。

根据题目要求，确定线段的长度代表的数值，并在坐标轴上进行标注。

2. 分析线段长度接下来，我们要分析线段的长度之间的关系。

根据题目要求，判断哪些线段表示及倍差倍关系。

通常，及倍差倍关系的线段长度之间会存在一定的比例关系。

3. 计算未知数值在分析线段长度之间的关系后，我们可以利用已知数值推导出未知数值。

根据线段的比例关系，进行简单的数学计算，求解未知数值。

4. 检验答案最后，我们应该检验所得的答案是否满足题目要求。

将求得的未知数值代入题目中进行验证，确保结果的准确性。

四、应用实例为了更好地理解如何应用线段图解决及倍差倍问题，我们来看一个具体的实例。

假设某城市人口在2000年为500万，按照每年人口增长20%，我们需要求解该城市在2020年的人口。

首先，我们根据已知信息绘制线段图。

将2000年的人口表示为一条线段，长度为500万。

数形结合,以线段图理解两数的和差及倍数关系

数形结合，以线段图理解两数的和差及倍数关系【摘要】本文通过数形结合的方式，以线段图理解两数的和、差和倍数关系。

在数学中，通过图形的方式展示数学概念能够帮助我们更直观地理解抽象的数学概念。

我们将通过线段图展示两个数的相加、相减和倍数关系，使读者能够更容易地理解这些概念。

通过对具体的例子进行分析和展示，本文将帮助读者更好地掌握这些数学概念，并且能够更灵活地运用到实际问题中。

通过本文的学习，读者能够在数学学习中更加游刃有余，提高数学解题的能力。

数学并不是仅限于公式和计算，通过数形结合的方式，我们可以发现数学的美感和逻辑性，提高数学学习的乐趣和理解深度。

结合数形，在数学这个领域中探索更多的可能性。

【关键词】数形结合, 线段图, 两数的和, 两数的差, 倍数关系1. 引言1.1 引言在数学中，数形结合是一种非常抽象但又直观的思维方式。

通过将数和形结合起来，可以更加深入地理解数学概念，特别是对于初学者来说，这种方法往往更容易接受和理解。

在本文中，我们将探讨如何利用线段图来理解两个数的和、差以及倍数关系。

线段图是一种直观的图形表示方式，通过它我们可以更加清晰地看到数之间的关系，从而更好地理解数学概念。

通过本文的学习，读者将能够更加深入地理解数学中的一些基本概念，同时也能够锻炼自己的思维能力和逻辑推理能力。

希望读者在阅读本文时能够认真思考，并尝试自己动手实践，从中获得更多的收获和启发。

希望本文能够帮助读者更好地掌握数学知识，提高自己的学习成绩。

2. 正文2.1 数形结合数形结合是一种将数学概念与几何图形相结合的方法，通过图形化的表达方式来帮助我们理解数学问题。

在数形结合的方法中，我们可以使用线段图来理解两个数之间的关系，如两数的和、差以及倍数关系。

让我们来看两个数的和。

假设我们有两个数a和b，我们可以用线段图来表示这两个数。

假设a的长度为3，b的长度为4，那么我们可以在数轴上用两条线段分别表示a和b，然后将这两条线段连接起来，即得到了一个长度为7的线段，表示a和b的和。

线段的和差(53张PPT)数学

答案
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CD
CB
解析由题图可知：BD＝BC＋CD，AD＝AC＋BD－CB.
(2)如果CD＝4 cm，BD＝7 cm，B是AC的中点，那么AB的长为_____cm.
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3
解析如果CD＝4 cm，BD＝7 cm，B是AC的中点，则BC＝BD－CD＝7－4＝3 cm，∴AB＝BC＝3 cm.
∴点O是线段AB的中点；∵AB＝2OB，∴点O是线段AB的中点.故选C.
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4.如图，C是线段AB上的一点，点D是线段BC的中点，若AB＝10，AC＝6，则AD等于( )A.4 B.6 C.7.5 D.8
D
解析 ∵BC＝AB－AC＝4，点D是线段BC的中点，∴CD＝DB＝ BC＝2，∴AD＝AC＋CD＝6＋2＝8.故选D.
中点
知识点2 与中点有关的计算
答案
自我检测2.点C是线段AB的中点，则下列结论不成立的是( )A.AC＝BC B.AC＝ ABC.AB＝2AC D.BC＝ AB
B
答案
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稍复杂的倍数问题

数，那么红花的朵数就是这样的 4 份数还多 6 朵，然后再在线段图上
“1”
标出问题和条件。黄花:
?朵
张
4份
红花:
6朵张
66 朵
（1）结合线段图，让学生明确：如果从红花中拿走 6 朵，那么红花的朵数正好是 4 份。（2）如果从红花中拿走 6 朵，那么现在红花朵数比黄花多的朵数就变为：
66－6＝60（朵）（3）现在红花比黄花多的份数为： 4－1＝3 （4）3 份也就是 60 朵，用除法求出 1 份数，也就是黄花的朵数。
74＋6＝80（朵）
80÷4＝20（朵）
答：做了 20 朵黄花．练习 4
1.和平小学有 284 名学生，比育英小学的 5 倍少 36 名，育英小学共有学生多少名？（试着画出线段图）
2.银座超市新购进一批文具，新进 176 盒水彩笔，比文具盒的 8 倍少 24 盒，购进的文具盒有多少盒？（试着画出线段图）
倍数问题
专题引导已知两个数的和（差）与两个数的倍数关系，求这两个数的应用
题，就是“和（差）倍问题”。解答倍数问题，可以根据题中所给的已知条件和问题画出线段
图，进行认真分析，这样数量关系就可以一目了然。解答“和（差）倍问题”，要先找出和（差）所对应的倍数，先
求出 1 倍数，再求出几倍数。
求比一个数的几倍多几或少几是多少的应用题
倍多 36 名，和平小学共有学生多少名？（试着画出线段图） 2.银座超市新购进一批文具，新进 226 个文具盒，购进水彩笔的
盒数比文具盒的 8 倍多 24 盒，购进的水彩笔有多少盒？（试着画出线段图） 3.养殖场养公鸡 103 只，养母鸡的只数比公鸡的 5 倍多 5 只，养母鸡多少只？ 4.李大爷家收白菜 276 千克，所收的萝卜比白菜的 6 倍多 16 千克，一共收蔬菜多少千克？

线段的相等与和、差、倍林

线段的相等与和、差、倍林婷娇一、概念辨析：1.线段有两种表示方法：（1）用两个端点的两个大写英文字母表示，如线段AB；（2）用一个小写英文字母表示，如线段a.区别：线段有两个端点，没有延伸方向，所以线段AB与线段BA表示的是同一条线段；射线只有一个端点，向一方延伸，所以射线AB表示端点是点A，向点B的方向无限延伸，而射线BA表示端点是点B，向点A的方向无限延伸；直线没有端点，向两方延伸，所以直线AB与直线BA表示的是同一条直线.2. 线段的大小比较有两种方法：（1）度量比较法，即分别量出线段的长度，根据读数比较大小；（2）叠合比较法，即先把线段的一个端点重合，再把它们相叠合来比较长短.3. 联结两点的线段的长度，叫做两点间的距离.两点之间线段最短.4.两条线段可以相加或相减成一条线段，其长度等于这两条线段的长度的和或差.5.一条线段的n倍，就是把n条这样的线段相加.6.把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点.取线段中点的方法有两种：（1）用刻度尺取中点；（2）用尺规作图取中点.二．例题精选：例1．阅读下列语句，并画出符合题意的图形（1）点A在直线l上，点B在直线l外，点C在线段AB的延长线上；（2）直线a、b交于点O，且与直线l分别交于点A、点B.注意：一些语言的规范使用，如点A在直线l上，也叫做直线l经过点A；线段AB的延长线上是指由点A向点B的方向延伸，也叫做反向延长线段BA.例2. 如图，已知线段a,b,试用直尺和圆规画线段，使线段长分别等于：ba（1）a-2b; (2) 12a+b.例3. 已知点A 、B 、C 在同一直线上，AB=25，BC=15，求AC 的长度.分析：三点在同一直线上，若题目未出示图形或未指明三点的相对位置，第三个点与另两个点的相对位置需分类讨论：若点C 在线段AB 上，如图，AC=AB-BC=25-15=10; 若点C 在线段ＡＢ的延长线上，如图，ＡＣ＝ＡＢ＋ＢＣ＝２５＋１５＝４０；若点Ｃ在线段ＢＡ的延长线上，则ＢＣ＞ＡＢ（不合题意，舍）故ＡＣ的长度为１０或４０．变式：已知AB=25，BC=15，则ＡＣ的长度是不确定的，因为缺了个很重要的条件“Ａ、Ｂ、Ｃ在同一直线上”。

数形结合,以线段图理解两数的和差及倍数关系

数形结合，以线段图理解两数的和差及倍数关系【摘要】数形结合是数学教学中非常重要的一环，通过线段图能够更直观地理解数学概念。

本文首先介绍了数形结合的基本概念，然后详细探讨了线段图在理解两数的和与差关系以及倍数关系中的应用。

还阐述了线段图在解决实际问题中的重要性，并提供了绘制线段图的方法。

数形结合为学生提供了直观的数学概念理解方式，而线段图的应用使数学知识更加具体和易于理解。

通过线段图理解两数的关系，不仅能够提高学生的学习兴趣和学习效果，还能够帮助他们更深入地理解数学原理，从而在数学学习中取得更好的成绩。

【关键词】关键词：数形结合，线段图，数学教学，和差关系，倍数关系，实际问题，绘制方法，直观理解，具体易懂，学习兴趣，学习效果1. 引言1.1 数形结合的重要性数形结合是数学教学中非常重要的一种方法，它通过将抽象的数学概念与具体的图形结合起来，使学生更容易理解和掌握数学知识。

数形结合能够帮助学生将抽象的概念转化为具体的形象，从而提高他们的学习效果。

通过数形结合，学生可以直观地感受到数学的美妙之处，增强对数学的兴趣和信心。

数形结合不仅可以帮助学生理解数学概念，还可以帮助他们在解决问题时更加灵活和有效。

通过将数学问题转化为图形问题，学生可以更清晰地看到问题的本质，从而更容易找到解决问题的方法。

在数形结合的指导下，学生可以更加深入地理解数学知识，发现其中的规律和联系，提高他们的思维能力和解决问题的能力。

1.2 线段图在数学教学中的应用线段图在数学教学中的应用极其广泛，它是一种直观且具体的数学工具，能够帮助学生更加深入地理解抽象的数学概念。

在教学中，线段图常常被用来解释两个数的和与差的关系。

通过绘制线段图，学生可以直观地看到两个数的距离，从而更容易理解它们的和或差的大小。

这种视觉化的方法有助于学生加深对数学概念的理解，提高他们的学习效果。

线段图在数学教学中扮演着重要的角色，它使数学知识更加具体和易于理解。

通过线段图的应用，学生可以更快地掌握数学概念，提高学习效果。

小学奥数解题技巧——线段图解题(含有练习题)

线段图解题主要内容：1、线段图解题的方法和技巧；2、常见的可以用线段图来表示的数量关系；3、用线段图解题。

重难点：1、常见的可以用线段图来表示的数量关系；2、较复杂的线段图问题。

意义：利用线段图解决应用题是数学中常见的一种解题方法。

相比于传统的文字分析方法，线段图可以直观清晰地将题中的复杂数量关系展现在我们的眼前，对于理解题意和解决问题有十分重要的作用。

一、线段图解题方法和技巧：什么是线段？那就是一条直线上的两个点和它们之间的部分就叫做线段，线段的长度是有限的，所以我们常用来表示有限的量，帮助我们分析题目中隐藏的数量关系，达到轻松解题的目的。

1、用线段的长短来表示量的大小，并对应的标上数据；2、根据题意，有的可能只需要一条线段，有的可能需要多条线段；3、画多条线段时，要一端对齐，方便比较大小；4、画多条线段时，一般先画最小的量。

5、虚实结合。

“比……多”时，多的部分画实线；“比……少”时，少的部分画虚线，且立即标上数据；二、常见的可以用线段图来表示的数量关系1、和的关系：用一条较长线段来表示“和”，将组成“和”的各分量依次标在该线段上。

当出现多种数量关系时，和关系还可以用大括号来表示。

例如：甲的文具数量为5个，乙的文具数量为2个，那么甲乙的和是多少？2、差的关系：从小到大依次画出各个量，并保持一端对齐后，另一端多出的部分线段即可表示量与量之间的差。

例如：数学考试后小明的得分为100分，小强的得分为95分，那么小强比甲的5个乙的2个7个文具小明少几分？小强的得分：小明的得分：3、倍的关系：先画出最小的量，再画跟它成倍数关系的量，是它的几倍就画几段线段。

可将最小的量看作1份，则其它的量是它的几倍，就是几份。

例如：甲的年龄为5岁，乙的年龄为甲的3倍，那么乙的年龄为几岁？甲的年龄：乙的年龄：注意：在同一个问题中，一条线段只能代表一个数量（若两个数量相等，则可用等长的线段来表示），与这个数量有大小或倍数关系的其它数量应该在这条线段的长度上分别延长（或缩短或等长延长）来表示。

三年级上册数学试题-第四讲线段图解复杂和差倍关系(无答案)全国通用

第四讲线段图解复杂和差倍关系（一）练一练1. 乐乐有12个苹果，亮亮的苹果是乐乐的8倍多14个，他们一共有多少个苹果。

2. 欢欢和盈盈一共有100个苹果，欢欢是盈盈的4倍，他俩各有多少个苹果？3. 丁丁和豆豆一共有204个苹果，丁丁比豆豆的9倍还多4个，他们各有多少个苹果？4. 大毛和小毛一共有195个香蕉，大毛比小毛的4倍少5个，问他们各有多少个香蕉？5. 乐乐和丁丁都有10个苹果，如果丁丁给豆豆1个苹果，那么豆豆比丁丁多几个苹果？如果给2个，多几个？给5个，多几个？6. 亮亮和明明的铅笔一样多，如果亮亮给明明3支，明明比亮亮多几支？如果给5支，多几支？如果给10支，多几支？例一甲、乙两筐苹果重量相等，如果从甲筐拿出20千克放入乙筐，那么乙筐的苹果就比甲筐的3倍少2千克。

两筐苹果原来各有多少千克？1.甲、乙两筐苹果重量相等，如果从甲筐拿出31千克放入乙筐，那么乙筐的苹果就比甲筐的3倍多2千克。

两筐苹果原来各有多少千克？2.甲、乙两筐苹果重量相等，如果从甲筐拿出15千克放入乙筐，那么乙筐的苹果就比甲筐的3倍多2千克。

两筐苹果原来各有多少千克？例二甲、乙、丙三个物体的总重量是93千克，甲物体比乙、丙两个物体的重量之和轻1千克，乙物体比丙物体重量的2倍还重2千克。

那么甲、乙、丙各重多少千克？1.甲、乙、丙三个物体的总重量是94千克，丙物体比甲、乙两个物体的重量之和轻4千克，乙物体比甲物体重量的3倍还重1千克。

那么甲、乙、丙各重多少千克？2. 苹果、梨和桃子一共有100个，苹果比梨、桃子的总和多4个，苹果比梨的2倍少8个，问苹果、梨、桃子各有几个？例三乐乐所有的数学书、语文书和英语书一共70本，其中数学书和语文书的数量之和是英语书的4倍，数学书和英语书的数量之和比语文书的3倍少2本，那么乐乐有几本数学书？1。

萱萱折了大、中、小三种纸鹤共576 只，其中大纸鹤与中纸鹤的总数要比小纸鹤多24只，那么萱萱折了多少只小纸鹤？2. 妈妈买了苹果、梨和香蕉一共28个，其中苹果和梨的数量之和是香蕉的6倍，苹果和香蕉的数量之和比梨的2倍少2个，那么妈妈买的香蕉、梨、苹果各多少个？例四四个人年龄和等于77，其中年龄最小的是10岁，他与年龄最大的人的年龄之和比另外两人的年龄之和大7岁，那么年龄最大的人是多少岁？1. 有四块不同的蛋糕，一共重2000克，其中最重的两块重量之和比轻的两块多1000克，最轻的的那块蛋糕只有100克重，那么第三重的蛋糕有多重？2. 有四个不同的苹果，一共重3000克，其中最轻的两个重量之和比重的两个少1000克，最重的的那个只有1100克重，那么第二重的苹果有多重？例五超市运来的西瓜个数是哈密瓜个数的4倍，如果每天卖掉120个西瓜和40个哈密瓜，那么哈密瓜卖完后还剩下600个西瓜。

数形结合,以线段图理解两数的和差及倍数关系

数形结合，以线段图理解两数的和差及倍数关系1. 引言1.1 引言数限制、格式要求等。

以下是根据您的要求编辑后的内容：线段图是数学中常见的几何图形，它由两个端点和连接这两个端点的线段组成。

通过线段图，我们可以直观地理解数学概念，比如数学运算、几何关系和数形结合。

本文将探讨线段图在数形结合中的应用，特别是如何利用线段图理解两数的和差及倍数关系。

通过对线段图的分析和理解，我们可以更好地掌握数学知识，提高解决问题的能力。

线段图不仅可以帮助我们理解两数的和差及倍数关系，还可以帮助我们发现更多数学规律和性质。

在接下来的内容中，我们将详细探讨线段图在数形结合中的重要性和应用价值。

通过深入研究线段图，我们可以对数学知识有更深刻的理解，为以后的学习打下坚实的基础。

2. 正文2.1 线段图的基本概念线段图是一种用线段表示数值关系的图形工具，通常用于帮助学生理解数学概念。

在线段图中，每条线段代表一个特定的数值，可以根据线段的长度和位置来进行数学运算和比较。

在线段图中，每条线段都有一个起点和一个终点，起点表示数值的起始位置，终点表示数值的结束位置。

线段的长度代表数值的大小，两个线段的距离可以表示两个数值之间的差值。

通过比较线段的长度和位置，可以直观地理解数值之间的关系。

除了表示数值大小和差值外，线段图还可以用来表示数值之间的倍数关系。

通过将多个相同长度的线段排列在一起，可以形成一个整体的线段，这个整体线段的长度就代表了这些线段的数量与长度的乘积关系。

线段图可以帮助学生直观地理解数值之间的关系，提高他们对数学概念的理解和运用能力。

在数形结合的学习中，线段图的应用将更加深入，帮助学生更好地掌握数学知识。

2.2 线段图中的数学运算线段图中的数学运算主要涉及到对线段长度的加减和倍数运算。

通过线段图的形式可以直观地理解数学运算的规律和结果。

我们可以用线段图表示两个数的加法。

假设有两条线段分别代表两个数，那么将这两条线段放在一起，就可以得到它们的和。

线段和差倍分

（3）方程思想的运用。
课堂检测
1．如果线段AB＝13厘米，MA+MB＝17厘米，那么下面说法正确的是（ D ）
A．M点在线段AB上 B．M点在直线AB上 C．M点在直线AB外 D．M点可能在直线AB上，也可能在直线AB外
2．如图，点C是线段AB上一点，点M是AC的中点，点N是BC的中点，
如果MC比NC长2cm，AC比BC长（B ）
思路1：算数法
思路2：设未知数
∵AB：BC：CD=2：3：4
4 ∴CD= 9 AD=8，
∴AD=18
由AB：BC：CD=2：3：4，设 AB=2x，BC=3x，CD=4x，则 AD=9x
∵CD=8，即4x=8，解得：x=2
又∵M是AD的中点 1
∴MD= 2AD=9 ∴MC=MD-CD=1
∴AD=9x=18 又∵M是AD的中点 ∴MD= 12AD=9
1 2
AB
类似的可以这样处理三等分点、四等分点等。
3、线段比例关系的处理
若AB：BC：CD=1：2：3，有以下两种处理方式：
【方式1】算数法
AD被分成了1+2+3=6份，所以AB=
1 6
AD，BC= 13
AD，
1
CD= 2AD 【方式2】设未知数
由AB：BC：CD=1：2：3，设AB=x，BC=2x，CD=3x
专题学习
线段的和差倍分计算
学习目标
• 理解线段的和、差，以及线段中点的意义，并能解决相关的问题。
1、线段的和差
AC=AB+BC AB=AC-BC BC=AC-AB
2、线段的倍分
知识梳理
若点C为线段AB的中点，则：
相等关系：AC=BC

线段图解复杂和差倍关系

线段的相等与和、差、倍

线段的和差倍分问题的证明

《线段的和与差》PPT课件

和倍差倍和差问题

小学奥数解题技巧——线段图解题(含有练习题)

小学奥数解题技巧——线段图解题(含有练习题)

应用题——利用线段图解决及倍差倍问题

数形结合,以线段图理解两数的和差及倍数关系

线段的和差(53张PPT)数学

稍复杂的倍数问题

线段的相等与和、差、倍林

数形结合,以线段图理解两数的和差及倍数关系

小学奥数解题技巧——线段图解题(含有练习题)

三年级上册数学试题-第四讲 线段图解复杂和差倍关系(无答案)全国通用

数形结合,以线段图理解两数的和差及倍数关系

线段和差倍分

三年级上册数学试题-第四讲线段图解复杂和差倍关系(无答案)全国通用