数学物理方法课件：1-复变函数

z x iy
代数式
y
z(x, y) cos i sin (三角式)
ei
（指数式）
O
x
x2 y2 z
Argz,
tg y
x
,模 ，辐角（多值）
Argz arg z 2k. k 0,1,2,
辐角主值：0 arg z 2
注意：在三角表示和指数表示下，两个复数相等当 且仅当模相等且辐角相差2kπ。 零点与无穷远点：复平面上有些个点比较特殊,比如:
零点和无穷远点. (1)复数零的辐角无意义,模为0。 (2)无穷远点的模为∞,辐角没有意义.关于无穷远点 的定义需要借助测地投影法。
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复球面：复数平面上任意一点与复数球上(除N点外)的 一点对应；当球面上的点离北极 N 越近,它所表示的 复数的模越大，北极 N 点代表无穷远点。
无穷远点
3.复数的运算：
技术出版社，1982年 ➢ 姚端正、梁家宝，《数学物理方法》，武汉大学出版社，
1997年 ➢ 姚端正，《数学物理方法学习指导》，科学出版社，
2001年 ➢ 胡嗣柱、倪光炯，《数学物理方法》，高等教育出版社，
2002年 ➢ 胡嗣柱、徐建军，《数学物理方法解题指导》，高等教育
出版社，1997年
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第一章 复变函数
复数共轭：复数z= x+ i y与z*= x- i y互为共轭（实 部相等，虚部差一负号）
z*z x2 y2
复数不能比较大小。 4
2.复数的三种表示：
复平面：由实轴(x轴) 、虚轴( y轴)按直角坐标系构 成的平面( z平面) ，复数z= x+ iy与复平面上点z(x,y) 一一对应。复数与(x,y)平面中的矢量可以类比。
x1x2 x22
y1 y2 y22
i
x2 y1 x1 y2 x22 y22
e 1 ii(12 ) 2
2 0
距离不等式: z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 8
对给定的复数z, 方程wn =z (n为整数) 的解w 称为z
的n 次方根, 记做 n z
或
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1
zn
.
共有n个不同的解。
边界
区域
z0
邻域
z1
z2
P
边界点
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区域：满足下列两个条件的点集
开集性：全部由内点组成； 具有连通性：点集中任何两点都可以用一条折线连接， 且折线上的点属于该点集。
本章首先引入复数的概念及其运算、 平面点集的概念。然后讨论复变函数的连 续性，重点研究解析函数。
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§1.1 复数与复数运算
（一）复数的概念 1.复数：形如 z= x+ i y 的数被称为复数，其中x ,
y∈R。x=Rez，y=Imz分别为 z 的实部和虚部，i为
虚数单位，其意义为i2=-1
复数相等：z1=z2当且仅当Rez1= Rez2且Imz1= Imz1
两边的实部虚部分别相等，有
cos 3 =cos33cos sin2 sin 3 =3cos2 sinsin3
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本节作业：第6页 1（ 2，3，8 ）画出图即可； 2（3，7）； 3（2，3）。
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§1.2 复变函数
（一）复变函数的定义
若在复数平面（或球面）上存在一个点集E（复数 的集合），对于E的每一点（每一个z值），按照 一定的规律，有一个或多个复数值w与之相对应， 则称w为z的函数——复变函数。z 称为w的宗量 （自变量），定义域为E，记作
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i sin 17
16
w1
8
2 cos 9
16
i sin 9
16
w3
8
2cos 25
16
i sin
25
16
1
一般情况下, n z z n n个根就是以原点为中心、
1
半径为 n的圆的内接正多边 形的n个顶点所表示的复数.
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例:试将cos3和sin3展开为cos 和sin 的多项式
w f (z) u(x, y) iv(x, y) z E z x iy
一个复变函数只不过是两个二元实变函数的有序 组合。因此复变函数的许多性质都是实变函数相 应性质的直接推广。
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说明：如果z的一个值对应着ω的唯一一个值，
那么我们称f(z)是单值的；如果z的一个值对应着 多个ω的值，那么我们称f(z)是多值函数。
n
z
n
ei / n
n
i argz2k
e n ,
k 0,1,2n 1
例： 4 1 i
1 i
2 cos i sin
i
2e 4
4
4
2k
2k
4 1 i 8 2cos 4
i sin 4
,
4
4
(k 0,1,2,3)
9
w0
8
2 cos
16
i sin
16
w2
8
2 cos17
设 z1 x1 iy1 1ei1
z2 x2 iy2 2ei2
z1 z2 (x1 x2 ) i( y1 y2 )
z1
z2
( x1 x2
y1 y2 ) i(x1 y2
x2 y1)
ei(12 ) 12
12cos(1 2 ) i sin(1 2 )
z1 z2
x1 iy1 x2 iy2
绪论
“数学物理方法”研究物理问题中遇到的数学方 程的求解方法。本课程在高等数学和普通物理 学的基础上论述数学物理中的常用方法，为后 续的理论物理课和专业课做准备。
课程的主要内容有：复变函数论和数学物理方程 两大部分。
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绪论
教材与参考书： ➢ 梁昆淼，《数学物理方法》（第四版），高等教育出版社，
2010年 ➢ 斯颂乐，徐世良等《数学物理方法习题解答》，天津科学
说明：复变函数ω=f(z)可以看作是z平面到ω平
面上的一个映射。
z平面
ω=f(z)
ω平面
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（二）区域的概念
邻域 以z0为圆心，以任意小正数ε为半径作一圆， 则圆内所有点的集合称为z0的邻域。
内点 z0及其邻域均属于点集E，z0叫作E的内点。
外点 z0及其邻域均不属于点集E， z0叫作E的外点。
境界线 若z0及其邻域内既 有属于E的点，也有不属于 E的点， z0为境界点，境界 点的全体称为境界线。 沿境界线的正方向行走时， 区域始终在左侧。
解：根据 e i=cos+i sin，有 ei n =cos n+isin n 另一方面 ei n=(cos+isinn 故有： (cos+isinn =cos n+isin n 狄莫夫公式
令 n=3，可得
cos 3+isin 3 =(cos+isin3 =cos33icos2 sin3cos sin2isin3