组合数学在数论中的应用实例_王迪吉
组合数学与图论的应用与研究方法
组合数学与图论的应用与研究方法组合数学和图论是数学中两个重要的领域，它们在解决实际问题和推动科学发展方面起着至关重要的作用。
本文将探讨组合数学和图论在实际应用中的具体场景，并介绍一些相关的研究方法。
一、组合数学的应用场景1. 计算机科学中的应用组合数学在计算机科学中发挥着关键作用。
例如，在密码学中，组合数学中的排列、组合和置换等方法被用于设计和分析各种密码算法。
此外，组合数学被广泛应用于图像处理、网络优化、算法设计等领域，通过对实际问题进行抽象，我们可以利用组合数学的工具和方法来解决许多计算机科学中的难题。
2. 通信和网络领域中的应用组合数学在通信和网络领域中也扮演着重要角色。
在通信领域，组合数学的方法可以用于设计和分析编码理论、信号传输等问题。
而在网络领域，图论的概念和方法被广泛应用于网络拓扑结构、路由算法等方面，通过对网络进行图论建模，我们可以更好地理解和优化网络的性能。
3. 组合优化问题的求解组合数学在组合优化问题的求解中发挥着重要作用。
组合优化问题是指在如何选择一个集合或排列的情况下，达到最优目标的问题。
例如，旅行商问题（TSP）是一个经典的组合优化问题，通过应用组合数学中的图论和排列组合知识，我们可以寻找到最短路径的解决方案。
二、图论的应用场景1. 社交网络分析图论在社交网络分析中具有广泛的应用。
社交网络可以用图的形式表示，其中节点表示个体，边表示个体之间的关系。
通过图论的方法，我们可以分析社交网络中的社群结构、节点的中心度等信息，以揭示社交网络中的潜在模式和规律。
2. 路网规划图论在路网规划中发挥着重要作用。
通过将道路和交通节点抽象为图模型，我们可以使用图论的算法来计算最短路径、最优流量分配等问题。
这对于城市交通规划、物流配送等领域具有重要意义。
3. 电子电路设计图论在电子电路设计中也扮演着关键角色。
将电子电路抽象为图模型，我们可以使用图论的算法来解决电路布线、电路优化等问题，从而提高电路设计的效率和性能。
应用数学中的组合数学研究
应用数学中的组合数学研究组合数学是数学中的一个重要分支，它研究的是离散对象之间的选择、排列、组合和计数等问题。
在应用数学领域中，组合数学的研究对于解决各种实际问题具有重要的意义。
本文将介绍一些应用数学中的组合数学研究，并探讨组合数学在实际中的应用。
一、图论中的组合数学图论是一门与组合数学紧密相关的学科，它研究的是抽象图的数学理论。
组合数学在图论中有许多重要的应用，例如图的着色问题、路径计数问题等。
其中一个重要的研究方向是计算图中的最短路径或最小生成树。
在实际应用中，最短路径和最小生成树是许多优化问题的基础，例如网络流问题、交通路线规划等。
二、密码学中的组合数学密码学是研究在不安全信道上保证信息安全的学科。
组合数学在密码学中有重要的应用，例如哈希函数的设计、公钥密码体制中的离散对数问题等。
哈希函数是一种用于将任意长度的消息压缩成固定长度的消息摘要的算法。
其设计中涉及到许多组合数学的知识，例如置换群、置换多项式等。
公钥密码体制中的离散对数问题是解决RSA算法等加密算法中的一个重要问题，其研究也离不开组合数学的知识。
三、计算机科学中的组合数学计算机科学中的许多问题可以转化为组合数学的问题，例如计算机网络中的路由问题、图像处理中的纹理合成问题等。
路由问题是指在一定规模的计算机网络中，如何在各节点之间传输数据。
这个问题可以看作是在一个图上找最短路径的问题，因此与图论中的组合数学密切相关。
纹理合成问题是将许多小图像拼接成大图像的问题。
这个问题可以转化为对一定规模的组合数进行计算，因此与组合数学的计算密切相关。
四、概率统计中的组合数学概率统计是一门研究随机事件及其规律性的学科。
组合数学在概率统计中也有重要的应用，例如二项分布、超几何分布等。
二项分布是用于描述伯努利试验的分布，其中涉及到二项式系数等组合数学知识。
超几何分布是指从有限个不同元素中进行不放回抽样所得到的个数分布，其中也涉及到组合数学的知识。
综上所述，组合数学在应用数学中拥有广泛的应用，无论是在图论、密码学、计算机科学还是概率统计领域，都有重要的研究价值和实际应用。
组合数学在计算机中的应用
组合数学在计算机中的应用组合数学，又称为离散数学，但有时人们也把组合数学和图论加在一起算成是离散数学。
组合数学是计算机出现以后迅速发展起来的一门数学分支。
计算机科学就是算法的科学，而计算机所处理的对象是离散的数据，所以离散对象的处理就成了计算机科学的核心，而研究离散对象的科学恰恰就是组合数学。
随着计算机科学的发展,组合数学也在迅猛发展,而组合数学在理论方面的推进也促进计算机科学的发展。
计算机软件空前发展的今天要求有相应的数学基础,组合数学作为大多数计算机软件设计的理论基础,它的重要性也就不言而喻。
就从目前我们在学习c++等语言进行编程解决问题看，组合数学的一些知识就能得到运用。
例如Hannoi塔问题。
用刚刚学的递推关系分析，设h(n)为n个盘子从a柱移到c柱所需移动的盘次。
显然，当n=1时，只需把a柱上的盘子直接移动到c柱就可以了，故h(1)=1。
当n=2时，先将a柱上面的小盘子移动到b柱上去；然后将大盘子从a柱移到c柱；最后，将b柱上的小盘子移到c柱上，共计3个盘次，故h(2)=3。
以此类推，当a柱上有n(n>=2)个盘子时，总是先借助c柱把上面的n-1个盘移动到b柱上，然后把a柱最下面的盘子移动到c柱上；再借助a柱把b柱上的n-1个盘子移动到c柱上；总共移动h(n-1)+1+h(n-1)个盘次。
所以：h(n)=2h(n-1)+1 （边界条件：h1=1）。
而一旦得出了这个递推关系式，就很容易运用递归算法来解决这样一个问题，递归算法因为是运用栈的方式进行加深与回溯，这个栈是系统给出的，故大大减少代码量。
因此利用组合数学中的知识很容易抽象出数学模型再用相应的编程技巧来解决问题。
另外，我们最近数据结构正好学到了图这一章节。
图是一种非常重要的数据存储结构，而在图的建立，遍历，生成树等问题的解决算法上基本都运用了组合数学中的知识。
例如在最小生成树算法中间需要判断是否有环的问题，中间算法思想中就包含了欧拉图判定定理，(1) 无向连通图G是欧拉图=>G不含奇数度的结点(即G的所有结点的度均为偶数(0视为偶数))；(定理1)(2) 非0平凡图G有欧拉通路=>G最多有两个奇数度的结点；(定理1的推论)(3) 有向图D是欧拉图=>D连通且D的所有结点的入度等于出度。
组合数学在奥数中的应用 2021年精选文档
组合数学在奥数中的应用 2021年精选文档组合数学在奥数中的应用-2021年精选文档组合数学在奥数中的应用奥数在数学的自学中，虽然不是其科目的必修课程部分，但是，从提高自身数学能力的角度来看，对其数学逻辑分析能力、良好习惯的培养等具备关键的推动意义。
因此，做为一名学生，在对数学知识展开自学的过程中，必须充份注重其女团数学在奥数中的应用领域，从而更好的推动其奥数问题的存有化解。
目前，数学奥利匹克竞赛越来越被广泛的认识并得到了充分的重视，在这种情况之下，为了更好的对其奥数问题进行有效的解决，积极对其组合数学进行系统的应用是非常重要的。
而从我国目前的发展状况来看，当前我国奥林匹克数学竞赛的知识面越来越广，其题目的种类也越来越丰富。
但是，相关的参考资料等却严重的不足。
因此，本文主要以一个学生的视角为基本点，从组合数学入手，对组合数学在奥数中的应用进行系统的分析，从而更好的促进自身对组合数学知识的吸收，推进我国教育事业的进一步发展。
一、女团数学的有关详述在对组合数学在奥数问题解决中的应用进行系统的研究之前，首先要做的就是对其组合数学的基本概念进行细致的了解，其不仅可以更加有效的加深我们对组合数学这一类题目有更加深入的理解，从另一个角度来看，对其组合数学在奥数题目中的应用的理解也有很大的帮助作用。
具体来讲，组合数学又分为广义的女团数学与狭义的女团数学。
（一）广义的女团数学从广义的角度来看，其主要指的是离散类型的数学，也就是说只要涉及到一离散为对象的基本题目，并且可以利用一定的离散数据信息对其进行问题进行有效的解决，都可以称之为广义上的组合数学。
（二）狭义的女团数学从狭义的角度来看，其主要指的是一些具有代数结构、数形逻辑等等方面知识的数学类型，其对一些数据的存在以及存在的形式、组合设计等都有一定的要求。
因此，在具体进行题目解决的过程中，要从其基本框架入手，根据组合性的数据等对题目进行解答。
二、从奥数竞赛启程，明确提出问题奥利匹克竞赛题目的设置对于学生数学思维能力、知识掌握程度、自身知识应用能力等都有很高的要求，从这个角度来看，为了更加全面的准备奥林匹克竞赛，做到更加精准的掌握其解决问题的能力，积极对其组合数学进行系统的研究与分析是非常有必要的。
组合数论的应用研究
组合数论的应用研究组合数论是一个庞大的数学分支，它的应用也十分广泛。
在生物、经济、计算机和物理等领域中，都能看到组合数学的身影。
本文将从数学角度分别探讨其在图论、密码学和多元统计学上的应用。
一、图论在图论中，组合数学的应用非常常见。
例如，在计算图G中有多少条路径经过给定的点集S，组合数学能够提供递归维数减小、利用叠加原理以及逆向思维来解决问题的方法。
具体来说，我们可以利用容斥定理来求解。
对于图G的任意一个点集S，令SP(i)表示经过点集S且以i为终点的路径的条数，则SP(i)能表示为：SP(i)=ΣT个大小为t的子集S’的交集点i的路径个数的交（-1）^（t+1）其中ΣT表示对所有大小为t的S’求和。
这个公式看起来可能有些抽象，但只需要理解其中的思想，即通过容斥原理巧妙地计算出问题的解。
同样地，这个方法也能用于计算从S到T的路径经过一个给定点的条数。
二、密码学在密码学中，一些经典的加密算法，如RSA加密算法、Diffie-Hellman密钥协商和ElGamal加密算法，都涉及到了组合数学。
其中最常见的应用是在RSA加密算法中，它需要用到欧拉函数、费马小定理和扩展欧几里得算法。
首先，我们需要选取两个大质数p和q，它们的乘积n=q*p就是著名的“RSA 加密算法中的大数”。
接着，我们选择一个加密密钥e，它应该满足1<e<φ(n)并且e 与φ(n)互质。
这里的φ(n)表示小于n且与n互质的数的个数。
因为φ(n)=（p-1）（q-1），我们可以用扩展欧几里得算法求解加密密钥e和φ(n)的最大公约数，并得出一个解d，它是e关于φ(n)的逆元。
最终，我们需要保护的信息m将被加密为密文c，计算公式为：c=m^e mod n只需知道私钥d，密文可以轻松解密：m=c^d mod n通过使用组合数学中的这些概念和算法，RSA加密算法变得十分可靠并保护信息的安全性。
三、多元统计学在多元统计学中，组合数学可用于计算协方差矩阵的非线性组合。
组合数学中的计数原理应用方法探讨
组合数学中的计数原理应用方法探讨组合数学是数学中的一个重要分支，研究的是离散数量之间的组合和排列规律。
在实际应用中，计数原理是组合数学中的一个重要概念，它为解决一系列计数问题提供了有效的方法。
本文将探讨组合数学中计数原理的应用方法以及相关例子。
一、基本计数原理基本计数原理是组合数学中的基础概念，它指出：如果事件A能够分解为若干个互不相容的子事件A₁，A₂，...，Aₙ，其中A₁发生的方式有m₁种，A₂发生的方式有m₂种，...，Aₙ发生的方式有mₙ种，那么事件A发生的方式总数为 m₁ * m₂ * ... * mₙ。
举例来说，假设在一个餐厅的菜单中，有3种主食可选，包括米饭、面条和饺子；有2种汤品可选，包括酸辣汤和番茄汤；另外，有4种饮料可选，包括红茶、绿茶、奶茶和咖啡。
那么在这个餐厅中，顾客可以有3 * 2 * 4 = 24种不同的就餐组合方式。
二、排列与组合在组合数学中，排列和组合是常见的计数问题。
排列是指从给定的元素集合中选取若干个元素按照一定的顺序排列。
组合是指从给定的元素集合中选取若干个元素，不考虑顺序。
1. 排列对于一个有n个元素的集合，要选取r个元素进行排列，共有n * (n-1) * (n-2) * ... * (n-r+1)种排列方式，记作P(n, r)。
2. 组合对于一个有n个元素的集合，要选取r个元素进行组合，共有C(n, r)种组合方式。
其中，C(n, r)表示从n个元素中选取r个元素的组合数，计算公式为C(n, r) = n! / (r!(n-r)!)。
三、应用实例计数原理在实际问题中具有广泛的应用。
以下将介绍一些常见的实例，展示计数原理在解决问题时的实际应用方法。
1. 队伍编排假设有7名学生参加一个表演比赛，其中包括3名男生和4名女生。
现在要求从这7名学生中选出3名参赛者组成一个小组，并按照一定的顺序进行编排。
根据计数原理，可以得出解决该问题的方法数为P(7, 3) = 7 * 6 * 5 = 210。
数论与组合数学中的问题
数论与组合数学中的问题数论和组合数学是现代数学中的两个重要分支，二者相互渗透，有许多相通之处。
在这篇文章中，我们将会探讨数论与组合数学中涉及到的一些问题。
一、素数和质因数分解素数是数论研究的重要对象之一。
素数指除1和本身以外，不能再被其他正整数整除的自然数。
例如，2、3、5、7、11、13、17、19等都是素数。
素数有许多神奇的性质，例如，一个大于1的自然数，如果它的因子都是素数，那么它一定是一个素数。
另外，任何一个自然数都可以唯一地拆分为若干个素数的乘积，这就是质因数分解定理。
二、排列组合问题排列组合是组合数学中的重要分支，也常常涉及到计数问题。
在组合数学中，我们常常需要算出将n个元素分成k组的方案数，这就是组合问题。
另一方面，当我们需要给n个元素排列时，也需要考虑元素的顺序，这就是排列问题。
排列组合的性质非常复杂，许多问题需要借助计算机进行求解。
三、数位问题数位问题是数学中的一个非常有趣的领域。
例如，我们经常需要判断一个数是几位数，或者将一个数的所有位数加起来得到一个新的数。
除此之外，数位问题还能衍生出一些难题，例如同余问题。
同余问题指的是两个数在模意义下是否相等，例如，对于任意正整数n，如果n的各位数字之和可以被9整除，那么n模9的余数就是0。
四、图论中的问题图论是数学的一个重要分支，常常用于描述网络和关系。
例如，社交网络中的好友关系可以用图论来表示。
在图论中，我们常常需要计算各个节点之间的距离和路径。
这些问题可以被转化为计数问题，例如，最短路径问题和最长路径问题。
五、数学中的小定理数学中有一些小定理，虽然看似简单却非常有用。
例如，费马小定理指的是如果p是一个质数，那么对于任意正整数a，a^p-a 模p的余数必定为0。
另外，欧拉定理指的是对于任意正整数a和m，如果a和m互质，那么a^φ(m)-1模m的余数必定为1，其中φ(m)表示与m互质的小于等于m的正整数个数。
六、组合数学中的难题组合数学是一门非常具有挑战性的学科，有许多不为人知的难题。
[VIP专享]同余式的简单介绍
![[VIP专享]同余式的简单介绍](https://img.taocdn.com/s3/m/3615b6f1284ac850ac024226.png)
②对 b/a 的分子，分母乘以不为零的整数 or 约去一个与模 m 互素的数，否则所得出的结果可能不是原同余式的解。
<下面仔细介绍> 代数/数论/组合理论/《.黑龙江科技信息》2008 年 19 期》摘要一 次同余式解法的特点及其分析——作者：李婷只讨论（a,m）=1 时，同余式 ax b(modm)有以下七种解法 （一）（1）观察法：在模 m 的完全剩余系 0,1，、、、，m-1 中考虑 同余式的解
1.，当 m 较小时，可用观察法，直接快速的得出方程的解 eg 2x 1(mod3) 因为（2,3）=1 所以有一个解，x 2(mod3)为 其解 2．当系数较大时，可用同余性质 ，将同余式系数减小，而 且用带余除法定理，保证系数在一个固定范围内作为模 m 的 系数，进而用观察法，可快速得到方程的解。 （二）Euler 定理;设 m 是大于 1 的整数，（a,,m）=1，则 a （m） 1（modm）由 Euler 定理，有 a（m） 1（modm）,而 ax≡b(m0dm)可得 a x （m） ba（（m））1（modm） x ba（（m））1(modm)为所求的解。 eg:8x 9(mod11)
43m1m“-”J520Gm01m24“492k-Z(1)g2L3-”3060@k%3-g“/1”7mD2%BJ/Tg0d1-ZP318¬-A_2"o70)Xc0?y258z6n”217 NE)
然后同与 m 互素的数陆续的乘右端的分子与分母，目的在于把分母
的绝对值变小，直到变为。
组合数学在数论中的应用实例
组合数学在数论中的应用实例摘要：本文将组合数学中的容斥原理和递归关系应用到数论中,讨论了数组整除性的判定和整除的计数;Euler函数的计数和质数个数的计数问题。
关键词：容斥原理;递归关系;整除;Euler函数;质数我们知道,在组合数学中,容斥原理(又称包含排斥原理)和递归关系是解决组合计数问题的一个重要工具和方法。
将这一重要工具和方法应用到数论中,对于数组整除性的判定和整除的计数;Euler函数的计数和质数个数的计数,都会带来很大方便。
下面,首先简要介绍容斥原理、常系数线性齐次递归关系的建立和迭代解法,然后给出几个应用实例。
1容斥原理与常系数线性齐次递归关系简介1.1容斥原理设S是有限集合,Ai S(i=1,2,…,n,n≥2)则∪ni=1Ai =( A1 + A2 +…+ An )-( A1∩A2 + A1∩A3 +…+ An-1∩An )+…+(-1)n-1 A1∩A2∩…∩An=∑nk=1(-1)k-1∑1≤i1<i2<…<ik≤n Ai1∩Ai2∩…∩Aik 这就是容斥原理。
显然,容斥原理也可以写成S-∪ni=1Ai = S +∑n k=1(-1)k∑1≤i1<i2<…<ik≤n Ai1∩Ai2∩…∩Aik 容斥原理还有另一种叙述形式,即设S是有限集合,P1,P2,…,Pn是n个性质,Ai是S中具有性质Pi的元素的集合,A-i是S 中不具有性质Pi的元素的集合(以上i=1,2,…,n)。
对于任意k(1≤k≤n)个正整数i1,i2,…,ik(1≤i1<i2<…<ik≤n), Ai1∩Ai2∩…∩Aik 表示S中同时具有性质Pi1,Pi2,…,Pik的元素个数, A-1∩A-2∩…∩A-n 表示S中不具有性质P1,P2,…,Pn中任何一个性质的元素个数,即A-1∩A-2∩…∩A-n = S +∑nk=1(-1)k∑1≤i1<i2<…<ik≤n Ai1∩Ai2∩…∩Aik 1.2常系数线性齐次递归关系的解法设{an}n≥0是一数列,通项an与其前面若干项的关系式通常称为关于该数列通项的一个递归关系。
组合数学在计算机科学中的应用
组合数学在计算机科学中的应用组合数学作为数学中的重要分支，与计算机科学的结合有着密不可分的联系。
组合数学可以用来解决一系列计算机科学中的问题，包括算法的设计与分析、编码理论、网络安全等。
本文将从这些方面探讨组合数学在计算机科学中的应用。
算法设计组合数学在算法设计中有着非常重要的作用。
比如，在搜索问题中，可以利用组合数学中的排列和组合的知识，来设计高效的算法。
例如，在字符串匹配中，可以使用KMP算法，其核心思想就是利用一种称为“前缀数组”的数据结构，避免了重复的比较，其本质就是利用了排列的知识。
同样，在图算法中，Dijkstra算法和Floyd算法的实现中都需要用到排列和组合的思想。
编码理论编码理论是研究如何有效地使用信息传输的一门学科，它是组合数学在计算机科学中的一个重要应用领域。
在编码理论中，一个常用的概念是哈密顿码或者叫哈密顿循环码。
哈密顿码是一种特殊的循环码，它可以有效地纠错，同时也可以用来加密数据。
哈密顿码的设计和构建涉及到混合图、哈密顿回路等组合数学中的知识。
网络安全网络安全是计算机科学中的一个基础性问题，组合数学在网络安全中也有着重要的应用。
以密码学为例，几乎所有的加密算法都与组合数学有关，包括对称加密算法、非对称加密算法以及哈希算法。
RSA加密算法是一种重要的非对称加密算法，其设计和分析都离不开组合数学中的数论知识。
同样，产生随机数的过程也会用到组合数学的概率知识。
总结组合数学与计算机科学的结合，不断推动着计算机科学的发展。
本文只是介绍了组合数学在计算机科学中的一些应用领域，还有很多未涉及到的领域，包括图形学、计算机网络等。
因此，学习组合数学对于计算机科学爱好者来说是非常重要的。
只有深入了解组合数学，才能在计算机科学中发挥其最大的作用，帮助我们更好地解决各种计算机科学中的问题。
1.3组合(4)
例题讲解
例 8． 10 只不同的试验产品， 有 其中有 4 只次品，6 只正品，现每次取一只测试，直到 4 只次品全测出 为止，求最后一只次品正好在第五次测试时被发现 的不同情形有多少种？
例 9.在某次数学考试中， 学号为 i(i 1,2,3,4) 的同学的考 试成绩 f (i) {85,87,88,90,93}，且满足 f (1) f (2) f (3) f (4) ， 则这四位同学的考试成绩的所有可能情况有 种
例题讲解
例 6．如图是由 12 个小正方形组成的 3 4 矩形网格， 一质点沿网格线从点 A 到点 B 的不同路径之中，最短 路径有 条。
例 7．圆周上有 12 个不同的点，过其中任意两点作弦，这 些弦在圆内的交点个数最多是多少？ 变式： 本题构造了四边形以求得满足条件的交点， 类似的， 前面讲过一个问题：以一个正方体的 8 个顶点连成的异面 直线共有 对。
§1.3.2
组合(4)
2008-2-22
例题讲解
1．解决有关计数的应用题时，要仔细分析事件的发生、发 展过程，弄清问题究竟是排列问题还是组合问题，还是应 直接利用分类计数原理或分步计数原理解决 一个较复杂的
王新敞
奎屯 新疆
问题往往是分类与分步交织在一起，要准确分清，容易产 生的错误是遗漏和重复计数； 2．解决计数问题的常用策略有： （1）特殊元素优先安排； （2）排列组合混合题要先选（组合）后排； （3）相邻问题 捆绑处理（先整体后局部）（4）不相邻问题插空处理； ； （5） 顺序一定问题除法处理； （6）正难则反，合理转化
例题讲解
例 2．身高互不相同的 7 名运动员站成一排， （1）其中甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列的 排法有多少种？ （2）其中甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列且 互不相邻的排法有多少种？
应用组合数学思想解数论问题
只需 证 明 ： 每个 Ｊ ｓ （ ｒ ） 不 空． 解决 问题 的基本 思路是 通过 两种不 同方
计算∑ ｓ （ 口 ） （ ｍ ｏ ｄ ｎ ！ ） 有两 种 方式 ．
首先 ， 假定结论是错误的 ， 这样， 对每一
法， 求得四元组的个数．
一
个ａ ， ｓ （ ａ ） 模ｎ ！ 均有不同的余数． 因此， 这些 余数是数字 ０ ， １ ， …， ｎ ！ 一 １ ． 则
２ 【
由容斥 原理 得
】 ．
对每个 ￡ ， 满足 ｍ＝ ｔ 的 至多 １ ０个 ， 故
．
而在矩形 区域内， 曲线上恰有 ｎ 个整点．
墨 ± Ｊ Ｉ
当 Ｐ＞ ３ １ 时， ≥４ ， 至少有 ４ 个Ｓ （ ｒ ） ＝ ．
喜【 台 【 ２ Ｊ 】 ＋ 奢 台 【 ２ 】 ｊ ＿ ｎ ‘
∑
ａ
） ＝ ∑
ａ ｉ ＝ｌ
叩 ＝ （ ｉ ＝ １ ｃ ） （ ２ ａ ｉ ） ．
ｂ －ｄ ＿ ５ ， 由 ａ 三ｃ ， 相应 的（ ａ ， ｃ ） 有
对每 一个ｉ ， 在和 式∑ 口 中， １ ， ２ ， …， ｎ
收稿 日期 ： ２ ０ １ ３—０ ９—１ ６
ｚ ． 故本题结论 的可能例外值 只有 Ｐ＝ １ ｌ 和 ３ １ ． 当Ｐ＝ １ １ 时， 由ａ 集｛ ０ ， ｌ ， ３ ， ４ ， ５ ， ９ ｝ 和ｂ 集｛ ０ ， １ ， １ ０ ｝ 直接得 Ｓ （ ７ ） ＝ 。 当 Ｐ＝ ３ １时，
—
。
！ ： ± ！ ）
， ， －ｌ ， ｙ＝ 如图 １所示．
，
每个 口一ｃ ≠０确 定 唯 一 的 ａ＋ｃ ， 可 确 定 （ 口 ， ｃ ） ， 故 每组 （ ｂ ， ｄ ） 给出 Ｐ一１ 组（ ａ ， ｃ ） ．
组合数学中的问题求解
组合数学中的问题求解组合数学是一门研究组合对象的数学学科，其中包括了许多有趣的问题。
通过运用组合数学的方法，可以解决许多实际问题，甚至在信息科学、统计学、经济学等领域也有广泛的应用。
在这篇文章中，我们将探讨组合数学中的一些常见问题，并讲述如何利用数学技巧解决这些问题。
一、组合问题的基本定义组合数学中最基本的问题就是组合问题。
从一群对象中选取出若干个对象，这些选取的对象的个数叫做组合数。
比如，在5个人中选取2个人，可以得到如下组合：C(5,2) = 5! / (2! * 3!) = 10这说明在5个人中选取2个人一共有10种不同的组合方式。
在组合数学中，通常用以下的公式来计算组合数：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)其中，n表示总数，k表示选取的数量。
这个公式可以帮助我们快速计算组合数。
二、排列问题与组合问题相似的是排列问题。
排列是指从一堆对象中取出若干个对象，按照一定规律排列起来，求得不同排列的个数。
与组合不同的是，排列是考虑对象出现的顺序。
台阶问题是典型的排列问题。
比如说，有10个人排队上楼梯，从第一级楼梯开始，每步只能上1级或2级，问到达第10级楼梯有多少种不同的走法？为了解决这个问题，我们可以使用递归来求解。
设f(n)表示上n级台阶有多少种不同的走法，那么：f(1) = 1f(2) = 2f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n >= 3)这个公式将原问题分解为求解子问题，可以有效地解决问题。
我们可以使用同样的递推公式来求解更复杂的排列问题，比如小球问题。
假设有一个盒子，里面有3个红球，2个绿球和1个蓝球。
现在要从盒子中取出4个球，问有多少种不同的取法？我们可以依然使用递推公式，设f(i,j,k)表示从i个红球、j个绿球、k个蓝球中取出n个球的不同取法。
那么有：f(i,j,k) = f(i-1,j,k) + f(i,j-1,k) + f(i,j,k-1) (i+j+k=n)该公式将原问题分解为子问题，通过递推求解即可。
数学竞赛中的组合数论问题
数学竞赛中的组合数论问题代数、几何、数论轮、组合是奥林匹克数学的主要内容，数学竞赛中常常遇到这样一些题目，这些题目把组合知识和数论知识交汇在一起，使得竞赛题目更有活力．我们姑且把这类题目叫做“组合数论”问题．组合数论问题大致有两类，一类是用组合数学的原理解决数论问题，另一类是用数论知识解决组合问题． ．从两道经典的数论问题谈起．1．狄利克雷（Dirichlet 1805-1859）定理．设θ为无理数，则对任意的正整数n ，存在整数,p q ，其中q n ≤，并且1q p nθ-<． 证明 将区间[]0,1分成n 等份，每份长为1n． 考虑1n +个数{}j θ，0,1,2,,j n =．这里{}j θ是j θ的小数部分，即{}[]j j j θθθ=-．因而{}()0,1j θ∈．由于把1n +个数{}j θ，放入n 个长为1n的区间，由抽屉原理，必有两个数在同一区间， 设为{}h θ和{}k θ，{},0,1,2,,h k n ∈，且h k ≠． 则有 {}{}1h k nθθ-≤． 从而()[][]()1h k h k nθθθ---≤， 令q h k =-，[][]p h k θθ=-，则上式化为1q p nθ-≤， 因为θ为无理数，所以等号不可能成立． 因而1q p nθ-<． 狄利克雷应用抽屉原理导出了他的有理数逼近定理，这是历史上第一次应用抽屉原理获得的不平凡结果，是一项很好的原创性工作，所以抽屉原理又称狄利克雷原理．2．证明不定方程442x y z +=没有正整数解．证明 假设不定方程442x y z +=有正整数解(),,x y z ，在所有的解中一定有一组解，它的z 值比其余组解的z 值小．（这是极端原理的体现，极端原理的一种形式是在一个有限正整数集合中，必有一个最小数．）因而，存在一个最小的正整数u ，使得442x y u +=，0,0,0x y u >>>． ① 有解．这时(),1x y =，不然的话，就有(),1x y >，且()()()2442,,,x y u x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 但()20,uu x y <<，与u 的假定矛盾．由222x y u +=的正整数解的结果可知，①中的2x 和2y 必定一为奇数，一为偶数，不妨假定2x 为偶数，则有2222222,,x ab y a b u a b ==-=+ ② 其中0a b >>，(),1a b =，且a 和b 一为奇数，一为偶数．因此2|x ，2|y /，且2|a /，2|b ．这时因为，若2|a ，2|b /，则()2221mod4y a b =-≡-，此时不可能为平方数．于是由 222y b a +=，有 2222,2,y p q b pq a p q =-==+，这里(),1,0p q p q =>>，且p 和q 一为奇数，一为偶数． 由22x ab =，有()2224x pq p q =+，因为22,,p q p q +两两互质，则它们都是某个整数的平方．即 22222,,p r q s p q t ==+=， 所以 442r s t +=． 于是(),,r s t 是①的一组解．这时，22222u a b a p q t t =+>=+=>．与u 的最小性矛盾．这个证明方法叫无穷递降法，是从极端原理出发的一种证法．这一命题是Fermat 大定理的一个组成部分，1637年法国数学家费马（Pierre de Fermat ，1601～1665）提出了下面的猜想：当2n >时，方程nnnx y z +=没有正整数解．因为大于2的整数必能被4或奇质数整除，因此，如果对于4n =或n 等于任意奇质数，方程都没有正整数解，那么费马问题就全部解决。
关于一次同余式的解法
如 （６ ）ｄ １ （式 化 为 ｚ 手ｍｄ ）因 对 一 一 同 式总 以 满 果ｎ， 一 ， １ 可 简 三 （ 孑 。 此 于 个 次 余 ，可 对 足 ， ＞则 ） ａ 。
（ ， ， 一１的同余式 进行 求解 。 ｎ ６ ） 引理 ２ 同余 具有 等价 性质 ， 即满足 自反性 、 对称 性 和传递 性 。
Ｖｏ ． ６ Ｎｏ ４ １２ ， ．
Ｄｅ ．２ ｃ ００７
２０ ０ ７年 １ ２月
关于一次 同余 式的解法
王 迪 吉 ， 张 维 娟
（ 疆 师 范 大 学 数 理 信 息 学 院 ， 疆 乌 鲁 木 齐 ８ ０ ５ ）。 新 新 ３０４
摘 要 ： 文章 给出了 一次同 余式的 几种不同 解法， 学习 可为 数论课的 数学专业学生及接受继续教育的 高中数学教师提供
１ 预 备 知 识
引理 １ 一 次 同余 式
ａ ｘ￣ ｂ ｍｏ ） ≠ ０ ｍｏ ） （ ｄ ，ａ （ ｄ （） １
有解 的充 分 必要条 件 是 （ ， Ｉ。 ｎ ） ６
设（ ， ） ｎ 一ｄ， 如果 （ ） １ 式有 解则 有 ｄ个 解 ： 三 。 ｍ￡ ｍｏ ， ，＝０ １ ２ … ， 一 １。其 中 — 。 （ ） ＋ （ ｄ，） ｔ ， ， ， ｄ ｚ 是 １
“
简 捷方 法 。如果 在 同余式 （ ） ｎ ｂ 但能 找 到 ｃ 得 ｂ ｃｍｏ ） ａｌ， １中 ， 使 － （ ｄ 且 则根 据 同余 的传 递性 质有 ｎ 三 ６ ｃ ｚ
－ ｃｍｏ ） 可解 出 ｘ － ｍｏ ） （ ｄ ， －－ Ｃ（ ｄ 。或者 找 到 ｃ 得 ａ － ｂ ｃｍｏ ） 且 ａ ｃ 公 因数 ｄ，ｄ， ） １则 ￣ 使 ｘ ＝ （ ｄ ， ，有 （ 一 ，
组合计数方法在数论中的应用
若 （ ，Ｙ）与 （Ｏ，０）模 Ｐ不 同余 ，则 ＋ｙ２－０（ｒｏｏｄ Ｐ）
§ 兰 一ｙ２（ｒｏｏｄ Ｐ）
对 （ 一０）（ ＋０）三ｂ 一ｙ３（ｒｏｏｄ Ｐ）分类 讨 论 ．
（ｉ）ｂ 三 （ｒ ｏｏｄ Ｐ）． 由题 １分析 ，知每一组 （ｂ，Ｙ）对 应 一１ 组 （ 一口）． （ｉｉ）ｂ ≠ｙ （ｒ ｏｏｄＰ）．
对 ｂ－０（ｒ ｏｏｄＰ），只有一个 ｙ－ ＝Ｏ（ｒ ｏｏｄＰ） 与 之 对 应 ．
Ｉ （ｍ＋ｎ）＋１：ｐ ．
故有 ３（Ｐ一１）＋１＝３ｐ一２组解． 而 （ｂ， ）共 Ｐ 个 ，于是 ，与 ６。不 同余 的
解得 ，ｎ＝ｐ＋１，ｎ＝ｐ＋１．
有 Ｐ 一３ｐ＋２个．
故 ＋Ｙ 三口（ｒ ｏｏｄ Ｐ）有 Ｐ＋１组解．
式 得
－ １
２≥
＝
６
＞ｐ ＋２ｐ 一２ｐ（Ｐ≥１１）， 矛 盾 ．
＋ 三０（ｍｏｄ Ｐ）的解数 与 ＋ 三 一 １（ｒｏｏｄ Ｐ）的解数一样 多． 下面求 ＋ｙ 三口 ＋ｂ （ｒ ｏｏｄ Ｐ）的解 的 组 数 ． 对 于 （ 一口）（ ＋口）三（６一，，）（６＋），）（ｍｏｄＰ）， 有 （ｐ一１）（Ｐ一２）＋ｐ一１个 （６，），）（ｂ ￣ｙ２（ｍｏｄ Ｐ））， 每一个 对 应 （ ，口）中 Ｐ一１组 解 ；有 ２ｐ一１ 个 （ｂ，Ｙ）（６ 兰ｙ２（ｒｏｏｄ Ｐ）），对 应 （ ， ）中
北京大学数学夏令 营中也 出过类似 的题 目．
题 ２ 设 Ｐ为素数．证 明 ：对任 意整数 口，
＋ｙ３三 （ｒｏｏｄ Ｐ）
①
均有解 ．
【分析 ｌｐ≤７时容易验证 结论成 立．
以下讨论 ｐ１＞１１时的情况．
组合数学在编码理论中的应用
组合数学在编码理论中的应用编码理论是一门研究如何将信息转化为特定形式以便于传输和存储的学科。
在现代通信和计算机科学中，编码理论起着重要的作用。
而组合数学作为一门研究离散结构和组合对象的学科，也为编码理论的发展提供了重要的数学工具和方法。
本文将探讨组合数学在编码理论中的应用。
首先，组合数学在编码理论中的一个重要应用是在纠错码的设计中。
纠错码是一种能够检测和纠正传输过程中出现的错误的编码方式。
在数字通信中，由于噪声和干扰等原因，信息传输过程中很容易出现错误。
纠错码的设计就是为了增加传输的可靠性。
组合数学中的排列组合和图论等概念和方法可以用来构造具有纠错能力的编码方案。
例如，通过组合数学中的排列组合方法，可以设计出一种具有高纠错能力的海明码。
海明码是一种能够在传输过程中检测和纠正多个错误的编码方式，它利用了组合数学中的二进制线性码和校验矩阵的概念，通过对信息进行编码和解码，可以实现高效的错误检测和纠正。
其次，组合数学在编码理论中的另一个重要应用是在密码学中的应用。
密码学是一门研究信息保密和安全通信的学科。
在现代社会中，信息的安全性至关重要，因此密码学的研究也变得越来越重要。
组合数学中的排列组合和离散数学等概念和方法可以用来设计和分析密码算法。
例如，组合数学中的置换和置换群可以用来设计置换密码算法，通过对明文进行置换和逆置换操作，可以实现信息的加密和解密。
此外，组合数学中的离散数学和图论等概念和方法还可以用来设计和分析公钥密码算法，如RSA算法和椭圆曲线密码算法等。
这些密码算法利用了组合数学中的数论和代数结构的概念和方法，通过对大素数的运算和椭圆曲线上的点的运算，实现了信息的加密和解密。
最后，组合数学在编码理论中的另一个重要应用是在网络编码中的应用。
网络编码是一种新兴的编码理论，它研究如何在网络中进行信息传输和处理。
传统的网络通信中，信息的传输是通过点对点的方式进行的，而网络编码则是通过将多个信息进行编码和混合，然后在网络中进行传输和解码。
组合数学中的计数原理应用研究进展
组合数学中的计数原理应用研究进展组合数学是数学的一个分支，主要研究离散对象的排列、组合和选择等问题。
其中，计数原理是组合数学的基础和核心之一，广泛应用于各个领域。
本文将对组合数学中计数原理的应用研究进展进行探讨。
一、排列和组合的计数原理应用排列和组合是组合数学中的基本概念，计数原理被广泛应用于解决排列和组合的计数问题。
其主要应用包括集合的幂集计数、集合的划分计数、多重集合的计数等。
在集合的幂集计数中，计数原理帮助我们计算一个集合的幂集中子集的数量。
具体地，如果一个集合有n个元素，则其幂集中共有2^n个子集。
这个问题可以通过计数原理中的乘法法则得到解决。
在集合的划分计数中，计数原理帮助我们计算将一个集合划分成若干个不相交子集的划分数。
这个问题可以通过计数原理中的加法法则得到解决。
值得注意的是，在计算划分数时，常常会使用到生成函数的方法来简化计算过程。
在多重集合的计数中，计数原理帮助我们计算多重集合中元素的排列和组合的数量。
在这个问题中，元素可以重复出现，并且顺序不重要。
这个问题可以通过计数原理中的除法法则得到解决。
具体地，如果一个集合有n个元素，其中元素a出现k次，元素b出现l次，...，元素z出现m次，那么该多重集合的排列数为n!/(k! * l! * ... * m!)。
二、计数原理在图论中的应用计数原理在图论中也有许多重要的应用。
其中，最为典型的是计算图的路径数和回路数。
对于无向图而言，路径是指由顶点v到顶点w沿着边的方向依次经过一系列不同顶点的序列。
计数图的路径数是图论中的重要问题之一，许多实际问题都可以转化为计算图的路径数。
计数原理在这个问题中起到了重要作用。
对于有向图而言，回路是指从某个顶点v出发，沿着边的方向经过一系列不同顶点，最后回到v的路径。
计数图的回路数是有向图中的一个经典问题，计数原理的应用使得计算回路数成为可能。
三、计数原理在组合优化问题中的应用组合优化是组合数学的一个重要分支，其研究的核心问题是在给定限制条件下，找到最优的组合方案。
关于在格(L,≤)上的同余关系的讨论
关于在格(L,≤)上的同余关系的讨论
王迪吉
【期刊名称】《新疆师范大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】2000(000)004
【摘要】本文讨论了在格（Ｌ，≤）上的同余关系，给出了一些在格（Ｌ，≤）上的同余关系的性质．
【总页数】3页(P)
【作者】王迪吉
【作者单位】新疆师范大学数理信息学院;830054
【正文语种】中文
【中图分类】O153
【相关文献】
1.格上的Fuzzy理想与Fuzzy同余关系 [J], 张桂生
2.剩余格上的模糊滤子和模糊同余关系 [J], 陈娟娟;李生刚
3.模糊完备格上的模糊同余关系 [J], 刘敏;赵彬
4.S-格上的同余关系 [J], 齐彩霞;阳城;郭兰坤;刘丽
5.正交模格OML上的同余关系 [J], 吴妙玲;木仁
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|Ai1∩ Ai2∩ …∩ Aik|=
N l cm ( ai1 , ai 2 ,… , aik )
上式中
N l cm ( ai1 , ai2 ,… , aik )
表示其值为不大于
lcm
(ai1
N , ai2
,…
,
aik
)的最大整数。
由容斥原理可得出
n
∑ ∑ |-Ak= 1
1) |A ∩ k - 1
1≤ i1 < i 2 <… < ik≤ n
i1
Ai2∩ …∩
Ai k |
这就是容斥原理。 显然 ,容斥原理也可以写成
n
∑ ∑ n
|S - ∪ Ai|= |S|+ i= 1
(-
k= 1
1) |A ∩ k
1≤ i1
<
i2 <…
<
i
≤ k
m
∑ ∑ n+
( - 1)k
k= 1
1≤ i1 < i 2 <… < ik≤ m
n pi1 pi2… pik
其中 1是适合上述条件的一个数 ,但 1不是质数 ,因此要减去 1。 p1 , p2,… , pm 这 m 个数不适合上述条 件。 但它们又都是不大于 n 的质数 ,因此还要加上 m。 这样一来就可求出 c( n )的值。
|Ai
∩
1
Ai
∩
2
…
∩
A ik |表 示
S 中同时具有性质
Pi1 , Pi2 ,… , Pik的元素个数 ,|A- 1∩
A-2∩ …∩
A-n|表示
S 中不具有
性质 P1 , P2 ,… , Pn 中任何一个性质的元素个数 ,即
① [收稿日期 ] 2002. 8. 24 ② [作者简介 ] 王迪吉 ( 1944- ) ,男 ,汉族 ,教 授 , 研究方向: 基础 数学与计算机 ; 方剑英 ( 1974- ) ,女 ,汉 族 , 在读硕士研 究生 , 研究方
· 9·
设 n 是自然数 ,以 c( n)表示不大于 n的质数的个数。虽然目前尚未找到 c( n )的计数公式 ,但是利用容斥 原理我们可以得到一种求 c( n )的方法。
设 p1, p2 ,… , pm 是不大于 n 的全部质数。 令 S= { 1, 2,… , n} ,任取 s∈ S ,由数论知识可知 , s是质数当 且仅当要么 s是 p1 , p2 ,… , pm 中之一 ; 要么 s≠ 1且不能被 p1 , p2 ,… , pm 中的任一个整除。 由容斥原理 , S 中 不能被 p1 , p2 ,… , pm 中的任一个整除的整数个数是
n
i1
Ai
∩
2
…
∩
Aik |
容斥原理还有另一种叙述形式 ,即
设 S 是有限集合 , P1 , P2 ,… , Pn 是 n个性质 , Ai 是 S中具有性质 Pi 的元素的集合 , A-i 是 S中不具有性
质 Pi 的元素的集合 (以上 i= 1, 2,… , n )。对于任意 k ( 1≤k≤ n )个正整数 i1 , i2 ,… , ik ( 1≤ i 1 < i 2 <… < ik≤ n) ,
an = (b11+ b12n+ …+ b n 1r1 r1- 1 ) qn1+ (b21+ b22n+ …+ b n 2r2 r2- 1 ) qn2+ …+ ( bt 1+ bt2n+ …+ btrt nrt - 1 ) qnt 其中诸 bi j (共有 k 个 )是待定系数 ,只需将数列 {an }开始的 k 项初值代入即可确定出这些系数 ,从而最终
= n-
pn1+
pn2+ …+
n pm
+
p
n 1p
+
2
p
n 1p
+
3
…+
n pm- 1 pm
+
…+
(-
1)m
n p1 p2… pm
=n
1-
1 p1
1-
1 p2
…
1-
1 pm
利用这一结果 ,可以很容易验证 h( 12) = 4,h( 13) = 12,h( 36)= 12。
第 4期 王迪吉等 组合数学在数论中的应用实例
的任一个整除的整数个数。 由容斥原理可直接得到
m
∑ ∑ h(n )= n+
( - 1)k
k= 1
1≤ i1 < i 2 <… < ik≤ m
n l cm ( pi1 , pi2 ,… , pik )
m
∑ ∑ = n+
(-
k= 1
1)k 1≤ i1 < i 2 <… < ik≤ m
n p i1 pi2… pik
例 1: 证明数列 {an }n≥ 0= { 11n+ 2+ 122n+ 1 }的各项能被 133整除。 证法 1: 利用数论中的同余理论证明 由于 133等于两个质数 7和 19的乘积 ,因此只要 11n+ 2+ 122n+ 1能被 7和 19整除 ,则一定能被 133整除。 通项 an 可写成为 an = 11n+ 2+ 122n+ 1= 121× 11n+ 12× 144n。 因 为 121≡ 7, 144≡ 11 (mod 19) ,所以 11n+ 2+ 122n+ 1≡ 7× 11n+ 12× 11n≡ 19× 11n≡ 0 (mod 19) ,即 19|11n+ 2+ 122n+ 1。 而 121≡ 2, 11≡ 4, 12≡ 5, 144≡ 4 ( mod 7) ,所以 11n+ 2+ 122n+ 1≡ 2× 4n+ 5× 4n≡ 7× 4n≡ 0 ( mod 7) , 即 7|11n+ 2+ 122n+ 1。 从而得到 133|11n+ 2+ 122n+ 1。 证毕 证法 2: 利用递归关系的解法证明 因为 an = 11n+ 2+ 122n+ 1= 121× 11n+ 12× 144n ,而 11+ 144= 155, 11× 144= 1584 所以 x 1= 11, x 2= 144是方程 x 2- 155x+ 1584= 0的两个根 ,从而有递归关系 an = 155an - 1 - 1584an - 2 ( n≥ 2) 又因为 a0= 121+ 12= 133 a1= 121× 11+ 12× 144= 3059= 133× 23 a0和 a1 都能被 133整除 ,由递归关系式可知 an ( n= 0, 1, 2,… )均能被 133整除。 证毕
这个问题的解答。
令 S= { 1, 2,… , N } ,设 s∈ S。若 ai|s,则称 s具有性质 pi ,又设 Ai 是 S中具有性质 Pi 的元素集合 , -Ai 是
S 中不具有性质 Pi 的元素集合 (以上 i=
1,
2,…
,
n
)。
显然
,|Ai
∩
1
Ai2… ∩
Aik|就是 S 中同时具有性质 Pi1 ,
Pi 2 ,… , Pik的元素个数 , (以上 1≤ i1 < i 2 <… < ik≤ n, 1≤ k≤ n ) ,而|A- 1∩ A- 2∩ … ∩ A-n|就是 S 中不具有性质
P1 , P2… , Pn 中任何一个性质的元素个数。
由于一个整数能同时被 ai1 , ai 2 ,… , aik整除当且仅当这个整数能被它们的最小公倍数 l cm ( ai1 , ai2 ,… , aik ) 整除 ,所以
设 {an }n≥ 0是一数列 ,通项 an 与其前面若干项的关系式通常称为关于该数列通项的一个递归关系。设 c1 ,
c2 ,… , ck 是 k 个常数 ,且 ck≠ 0,则递归关系
an = c1an- 1+ c2an- 2+ …+ ckan - k ( n≥ k )
称为 k 阶常系数线性齐次递归关系。 称方程
得到数列 {an }的通项公式。 反之 ,由数列 {an }的通项公式也可求出关于 an 的递归关系式。
2 数列 { an }n≥ 0的整除性的判定和整除的计数
整除性的判定是数论中经常遇到的问题。在数论中利用同余理论去解答此类问题是常用的方法之一。本 文主要讨论数列 {an }n≥ 0的各项可被某一整数整除的判定问题。利用递归关系的解法 ,可以给出上述问题的解 答。 读者可以通过下面的例题举一返三总结出解答此类问题的方法。
h( n )的计数就不那么容易了。 然而 ,利用容斥原理 h( n)的计数问题就可以很快得到解决。
设 n( n≥ 2)为自然数 , P1 , P2 ,… , Pm 是 n的全部质因数 , r是任一不大于 n 的自然数。 r 与 n 互质当且仅
当 r不能被 P1 , P2 ,… , Pm 中的任一个整除。 因此 ,h( n)等于由 1到 n 的 n 个整数中不能被 P1 , P2 ,… , Pm 中
xk = c1xk - 1+ c2 xk- 2+ …+ ck- 1 x+ ck
为此递归关系的特征方程。由代数基本定理 ,这个 k 次方程在复数域内有 k 个根。设 q1 , q2 ,… , qt 为其全
部不同的根 ,重数分别是 r1 , r2 ,… , rt (显然 r1+ r2+ …+ rt = k ) ,则此数列的通项为: