组合数学在数论中的应用实例_王迪吉

xk = c1xk - 1+ c2 xk- 2+ …+ ck- 1 x+ ck
为此递归关系的特征方程。由代数基本定理 ,这个 k 次方程在复数域内有 k 个根。设 q1 , q2 ,… , qt 为其全
部不同的根 ,重数分别是 r1 , r2 ,… , rt (显然 r1+ r2+ …+ rt = k ) ,则此数列的通项为:
第 21卷 第 4期 2002年 12月
《新疆师范大学学报》 (自然科学版 ) Jour na l o f Xinjiang N o rmal U niv ersity
( N atura l Sciences Edition)
V ol. 21, N o. 4 Dec. 2002
组合数学在数论中的应用实例
A- 2∩ … ∩
A-n|= N+
(-
k= 1
1) |A ∩ k
1≤ i1 < i 2 <… < ik≤ n
i1
Ai2∩ …∩
Ai k |
n
∑ ∑ = N+
( - 1)k
k= 1
1≤ i1 < i2 <… < ik≤ n
N lcm ( ai1 , ai 2 ,… , aik )
3 Euler 函数的计数和质数个数的计数
向: 离散数学及其应用。
第 4期 王迪吉等 组合数学在数论中的应用实例
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n
∑ ∑ |A- 1∩
A-2∩ …∩
A-n|= |S|+
(-
k= 1
1) |A ∩ k
1≤ i1 < i2 < … < ik≤ n
i1
Ai
∩
2
…
∩
Aik |
1. 2 常系数线性齐次递归关系的解法
这个问题的解答。
令 S= { 1, 2,… , N } ,设 s∈ S。若 ai|s,则称 s具有性质 pi ,又设 Ai 是 S中具有性质 Pi 的元素集合 , -Ai 是
S 中不具有性质 Pi 的元素集合 (以上 i=
1,
2,…
,
n
)。
显然
,|Ai
∩
1
Ai2… ∩
Aik|就是 S 中同时具有性质 Pi1 ,
h( n )的计数就不那么容易了。 然而 ,利用容斥原理 h( n)的计数问题就可以很快得到解决。
设 n( n≥ 2)为自然数 , P1 , P2 ,… , Pm 是 n的全部质因数 , r是任一不大于 n 的自然数。 r 与 n 互质当且仅
当 r不能被 P1 , P2 ,… , Pm 中的任一个整除。 因此 ,h( n)等于由 1到 n 的 n 个整数中不能被 P1 , P2 ,… , Pm 中
Pi 2 ,… , Pik的元素个数 , (以上 1≤ i1 < i 2 <… < ik≤ n, 1≤ k≤ n ) ,而|A- 1∩ A- 2∩ … ∩ A-n|就是 S 中不具有性质
P1 , P2… , Pn 中任何一个性质的元素个数。
由于一个整数能同时被 ai1 , ai 2 ,… , aik整除当且仅当这个整数能被它们的最小公倍数 l cm ( ai1 , ai2 ,… , aik ) 整除 ,所以
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新疆师范 大学学报 (自然科学版 ) 2002年
我们还可以利用容斥原理去解决一个整除的计数问题。
设 a1 , a2 ,… , an 及 N 都是正整数 ,如何计算出从 1到 N 的 N 个整数中同时能被 a1 , a2 ,… , an 中某几个
指定的数整除的整数个数 ; 以及不能被 a1 , a2 ,… , an 中的任何一个整除的整数个数呢? 容斥原理直接给出了
Euler 函数是数论中的一个重要函数。 设 n为自然数 ,以 h( n)表示不大于 n 且与 n互质的自然数个数 ,
这个 h( n )就称为 Eul er 函数。
例如 h( 12) = 4,h( 13) = 12,h( 36) = 12。若 P 为质数 ,则显然有 h( P ) = P - 1。若 n 是一个较大的合数 ,则
|Ai1∩ Ai2∩ …∩ Aik|=
N l cm ( ai1 , ai 2 ,… , aik )
上式中
N l cm ( ai1 , ai2 ,… , aik )
表示其值为不大于
lcm
(ai1
N , ai2
,…
,
aik
)的最大整数。
由容斥原理可得出
n
∑ ∑ |-A1∩
源自文库
|Ai
∩
1
Ai
∩
2
…
∩
A ik |表 示
S 中同时具有性质
Pi1 , Pi2 ,… , Pik的元素个数 ,|A- 1∩
A-2∩ …∩
A-n|表示
S 中不具有
性质 P1 , P2 ,… , Pn 中任何一个性质的元素个数 ,即
① [收稿日期 ] 2002. 8. 24 ② [作者简介 ] 王迪吉 ( 1944- ) ,男 ,汉族 ,教 授 , 研究方向: 基础 数学与计算机 ; 方剑英 ( 1974- ) ,女 ,汉 族 , 在读硕士研 究生 , 研究方
m
∑ ∑ n+
( - 1)k
k= 1
1≤ i1 < i 2 <… < ik≤ m
n pi1 pi2… pik
其中 1是适合上述条件的一个数 ,但 1不是质数 ,因此要减去 1。 p1 , p2,… , pm 这 m 个数不适合上述条 件。 但它们又都是不大于 n 的质数 ,因此还要加上 m。 这样一来就可求出 c( n )的值。
我们知道 ,在组合数学中 ,容斥原理 (又称包含排斥原理 )和递归关系是解决组合计数问题的一个重要工 具和方法。 将这一重要工具和方法应用到数论中 ,对于数组整除性的判定和整除的计数 ; Euler函数的计数 和质数个数的计数 ,都会带来很大方便。下面 ,首先简要介绍容斥原理、常系数线性齐次递归关系的建立和迭 代解法 ,然后给出几个应用实例。
n
∑ ∑ =
(-
k= 1
1) |A ∩ k - 1
1≤ i1 < i 2 <… < ik≤ n
i1
Ai2∩ …∩
Ai k |
这就是容斥原理。 显然 ,容斥原理也可以写成
n
∑ ∑ n
|S - ∪ Ai|= |S|+ i= 1
(-
k= 1
1) |A ∩ k
1≤ i1
<
i2 <…
<
i
≤ k
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设 n 是自然数 ,以 c( n)表示不大于 n的质数的个数。虽然目前尚未找到 c( n )的计数公式 ,但是利用容斥 原理我们可以得到一种求 c( n )的方法。
设 p1, p2 ,… , pm 是不大于 n 的全部质数。 令 S= { 1, 2,… , n} ,任取 s∈ S ,由数论知识可知 , s是质数当 且仅当要么 s是 p1 , p2 ,… , pm 中之一 ; 要么 s≠ 1且不能被 p1 , p2 ,… , pm 中的任一个整除。 由容斥原理 , S 中 不能被 p1 , p2 ,… , pm 中的任一个整除的整数个数是
的任一个整除的整数个数。 由容斥原理可直接得到
m
∑ ∑ h(n )= n+
( - 1)k
k= 1
1≤ i1 < i 2 <… < ik≤ m
n l cm ( pi1 , pi2 ,… , pik )
m
∑ ∑ = n+
(-
k= 1
1)k 1≤ i1 < i 2 <… < ik≤ m
n p i1 pi2… pik
例 1: 证明数列 {an }n≥ 0= { 11n+ 2+ 122n+ 1 }的各项能被 133整除。 证法 1: 利用数论中的同余理论证明 由于 133等于两个质数 7和 19的乘积 ,因此只要 11n+ 2+ 122n+ 1能被 7和 19整除 ,则一定能被 133整除。 通项 an 可写成为 an = 11n+ 2+ 122n+ 1= 121× 11n+ 12× 144n。 因 为 121≡ 7, 144≡ 11 (mod 19) ,所以 11n+ 2+ 122n+ 1≡ 7× 11n+ 12× 11n≡ 19× 11n≡ 0 (mod 19) ,即 19|11n+ 2+ 122n+ 1。 而 121≡ 2, 11≡ 4, 12≡ 5, 144≡ 4 ( mod 7) ,所以 11n+ 2+ 122n+ 1≡ 2× 4n+ 5× 4n≡ 7× 4n≡ 0 ( mod 7) , 即 7|11n+ 2+ 122n+ 1。 从而得到 133|11n+ 2+ 122n+ 1。 证毕 证法 2: 利用递归关系的解法证明 因为 an = 11n+ 2+ 122n+ 1= 121× 11n+ 12× 144n ,而 11+ 144= 155, 11× 144= 1584 所以 x 1= 11, x 2= 144是方程 x 2- 155x+ 1584= 0的两个根 ,从而有递归关系 an = 155an - 1 - 1584an - 2 ( n≥ 2) 又因为 a0= 121+ 12= 133 a1= 121× 11+ 12× 144= 3059= 133× 23 a0和 a1 都能被 133整除 ,由递归关系式可知 an ( n= 0, 1, 2,… )均能被 133整除。 证毕
= n-
pn1+
pn2+ …+
n pm
+
p
n 1p
+
2
p
n 1p
+
3
…+
n pm- 1 pm
+
…+
(-
1)m
n p1 p2… pm
=n
1-
1 p1
1-
1 p2
…
1-
1 pm
利用这一结果 ,可以很容易验证 h( 12) = 4,h( 13) = 12,h( 36)= 12。
第 4期 王迪吉等 组合数学在数论中的应用实例
王迪吉 方剑英
(新疆师范大学数理信息学院 ,乌鲁木齐 , 830054)
摘 要 本文将组合数 学中的容斥原理和递归关系应用 到数论中 ,讨论了 数组整除性的判 定和整除的计数 ; Euler函数
的计数和质数个数的计数问题。
关键词 容斥原理 递归关系 整除 Eul er函数 质数 中图分类号: [O157 ] 文献标识码: A 文章编号: 1008-9659-( 2002) -04-0006-04
得到数列 {an }的通项公式。 反之 ,由数列 {an }的通项公式也可求出关于 an 的递归关系式。
2 数列 { an }n≥ 0的整除性的判定和整除的计数
整除性的判定是数论中经常遇到的问题。在数论中利用同余理论去解答此类问题是常用的方法之一。本 文主要讨论数列 {an }n≥ 0的各项可被某一整数整除的判定问题。利用递归关系的解法 ,可以给出上述问题的解 答。 读者可以通过下面的例题举一返三总结出解答此类问题的方法。
设 {an }n≥ 0是一数列 ,通项 an 与其前面若干项的关系式通常称为关于该数列通项的一个递归关系。设 c1 ,
c2 ,… , ck 是 k 个常数 ,且 ck≠ 0,则递归关系
an = c1an- 1+ c2an- 2+ …+ ckan - k ( n≥ k )
称为 k 阶常系数线性齐次递归关系。 称方程
1 容斥原理与常系数线性齐次递归关系简介
1. 1 容斥原理
设 S 是有限集合 , Ai S ( i= 1, 2,… , n , n≥ 2)则
n
|∪ Ai|= (|A1|+ |A2|+ … + |An|) - (|A1∩ A2|+ |A1∩ A3|+ i= 1
… + |An- 1∩ An|)+ … + ( - 1)n- 1|A1∩ A2∩ … ∩ An|
an = (b11+ b12n+ …+ b n 1r1 r1- 1 ) qn1+ (b21+ b22n+ …+ b n 2r2 r2- 1 ) qn2+ …+ ( bt 1+ bt2n+ …+ btrt nrt - 1 ) qnt 其中诸 bi j (共有 k 个 )是待定系数 ,只需将数列 {an }开始的 k 项初值代入即可确定出这些系数 ,从而最终
n
i1
Ai
∩
2
…
∩
Aik |
容斥原理还有另一种叙述形式 ,即
设 S 是有限集合 , P1 , P2 ,… , Pn 是 n个性质 , Ai 是 S中具有性质 Pi 的元素的集合 , A-i 是 S中不具有性
质 Pi 的元素的集合 (以上 i= 1, 2,… , n )。对于任意 k ( 1≤k≤ n )个正整数 i1 , i2 ,… , ik ( 1≤ i 1 < i 2 <… < ik≤ n) ,