正、余弦函数的图像
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正弦函数、余弦函数图像与性质
x
0
sinx 0
1 1+sinx y
2
1
o
2
-1
2
1 2
2
3
2
2
0
-1
0
1
0
1
步骤：
y=1+sinx，x[0, 2]
1.列表 2.描点 3.连线
3
2
x
2 y=sinx，x[0, 2]
正弦、余弦函数的图象
例2 画出函数y= - cosx，x[0, 2]的简图：
x
0
2
3
2
2
cosx 1
0
-1
0
1
- cosx -1
(
((((((,,0,00),)0,),(003)2))(32,(-312,(1)32,)1((3,)3(21(23(323)2,2,1-,1,-),-1-)11)))
2 ,0) x
2 ,0)
( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0)
正弦、余弦函数的图象
y
五点画图法
1
(
2
,1)
( 2 ,1)
( ,0)
( 2 ,0)
五点法——
2
(
(0,0)o
(0,0)
2
(0,0)
-1
(0,0)
(0,0) (0,0) (0,0) (0,0) (0,0)
2 ,1)
(
( 2 ,1)
(
2
,1)
( 2 ,1)
( 2 ,1)
( (
2
2
,1) ,1)
,0) 3
(
正弦余弦正切函数图象
2
1-
643 34 6
y 3 1 3 3 1 3 0
3
3
o
1 -
2
-
3
2
x
2
(2) 描点
2-
(3) 连线
正切函数图像： ytanx,
y
xxR,且 xk2,kZ
思考：
2
正切函数 ytanx
1
图像是否有渐近线？
3 2
2
o
1 2
3 2
x
渐近线方程：
2
xk,(kZ)
2
二、三角函数图象的性质
上平移一个
单位得到的
.●
2
x
y=sinx
(2)按五个关键点列表
x
0
2
3 2
2
cosx 1 0 -1 0 1
-cosx
.y
1
o
-1 ●
-1 0 1 0 -y1= -cosx和
y=cosx 关
. y= cosx x [0,2 ] 于X轴对称 ●
.●
2
.
.3●
2
2
●
x
y= - cosx x [0, 2]
y=cosx
左移
2
y=cosx y=sinx
余弦曲线
返回目录
二、正弦函数的“五点画图法”
(0,0)、( , 1)、( ,0)、( 3 ,-1)、 (2 ,0)
2
2
y
1
●
●
0Hale Waihona Puke 2-1●3
2
●
●
2
x
y
●
1
●
0
2
-1
1-
643 34 6
y 3 1 3 3 1 3 0
3
3
o
1 -
2
-
3
2
x
2
(2) 描点
2-
(3) 连线
正切函数图像： ytanx,
y
xxR,且 xk2,kZ
思考：
2
正切函数 ytanx
1
图像是否有渐近线？
3 2
2
o
1 2
3 2
x
渐近线方程：
2
xk,(kZ)
2
二、三角函数图象的性质
上平移一个
单位得到的
.●
2
x
y=sinx
(2)按五个关键点列表
x
0
2
3 2
2
cosx 1 0 -1 0 1
-cosx
.y
1
o
-1 ●
-1 0 1 0 -y1= -cosx和
y=cosx 关
. y= cosx x [0,2 ] 于X轴对称 ●
.●
2
.
.3●
2
2
●
x
y= - cosx x [0, 2]
y=cosx
左移
2
y=cosx y=sinx
余弦曲线
返回目录
二、正弦函数的“五点画图法”
(0,0)、( , 1)、( ,0)、( 3 ,-1)、 (2 ,0)
2
2
y
1
●
●
0Hale Waihona Puke 2-1●3
2
●
●
2
x
y
●
1
●
0
2
-1
正余弦函数的图象
-4 -3
-2
(0,11)
3
( 2 ,1)
-
(-o12 ,0)
( 2 ,0)
2
( ,-1)
3
线
4
5 6 x
正弦、余弦函数的图象
练习：在同一坐标系内，用五点法分别画出函数
y= sinx，x[0, 2] 和 y= cosx，x[ , 3 ]的简图：
22
x
02
20
csionsx
10
01
向左平y 移 个单位长度 22
2 ,0) x
2 ,0)
( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0)
正弦、余弦函数的图象
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
正弦函数的图象 y=cosx=sin(x+ ), xR
2
正弦曲 线
形状完全一样 只是位置不同
余弦函数的图象
y
余弦曲
1.列表 2.描点 3.连线
3
2
x
2
2 y=sinx，x[0, 2]
正弦、余弦函数的图象
例2 画出函数y= - cosx，x[0, 2]的简图：
x
0
2
3
2
2
cosx
1
0
-1
0
1
- cosx -1
0
1
0
-1
y 1
o
2
2
-1
y=cosx，x[0, 2]
3
2
2
x
y= - cosx，x[0, 2]
正弦函数、余弦函数的图像(完整)
(
3 2
,1)
(1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标)
(2) 描点(定出五个关键点)
(3) 连y线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
图象的最高点
1-
-
(0,1) (2 ,1)
与x轴的交点
-
-1
o
6
2
3
2 3
5
7
6
6
4 3
3 5
2
3
11 6
2
x
(
2
,0)
(
3 2
,0)
-1 -
图象的最低点 ( ,1)
三角函数
三角函数线
正弦函数 余弦函数 正切函数
sin=MP
正弦线MP cos=OM 余弦线OM tan=AT 正切线AT
y PT
-1
O
M A(1,0) x
正弦函数的图象
问题：如何作出正弦函数的图象？
途径：利用单位圆中正弦线来解决。
描图：用光滑曲线
y
B
1
将这些正弦线的 终点连结起来
A
O1
O
2
4
5
2
x
4
5 6 x
正弦、余弦函数的图象
如何由正弦函数图像得y 到余弦函数图像？
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
正弦函数的图象
y=cosx=sin(x+ ), xR
2
余弦函数的图象
y
1
正弦曲 线
形状完全一样 只是位置不同
余弦曲 线
-4 -3
-2
- o
-1
正弦函数和余弦函数的图像与性质
y=sinx
y
1 2 3 4
y= cosx
y
1
图 象 定义域 值 域
-2
-
o
-1
x
-2
-
o
-1
2 3
4
x
R [1,1]
x 2k
R [1,1]
x 2k ( k Z )
最 值
ymax=1
x 2k
2
(k Z ) 时
其值从-1增至1 其值从 1减至-1
y=sinx
y
1 2 3 4
y= cosx
y
1
图 象 定义域 值 域
-2
-
o
-1
x
-2
-
o
-1
2 3
4
x
R [1,1]
x 2k
R [1,1]
x 2k ( k Z )
最 值
ymax=1
x 2k
2
(k Z ) 时
对于一个周期函数，如果在它的所有周期中
存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 它的最小正周期．
(2) 正弦函数的周期性
由公式 sin (x＋k · 2 )＝sin x (kZ) 可知：
正弦函数是一个周期函数，2 ，4 ，„ ，－2 ，
－4 ，„ ， 2k (kZ 且 k≠0)都是正弦函数的周期． 2 是其最小正周期 .
时
2
ymax=1
(k Z ) 时
x 2k (k Z ) 时
ymin= 1
ymin= 1
x k
y= 0
x k ( k Z )
正弦函数、余弦函数的图象 课件
〔跟踪练习1〕用“五点法”画出下列函数在区间[0,2π]上的简图． (1)y＝2－sinx；(2)y＝cosx－1．
[解析] (1)按五个关键点列表：
x
0
π 2
π
3π 2
2π
sinx
0
1
0
－1
0
2－sinx
2
1
2
3
2
描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图(1))．
(2)按五个关键点列表：
x
0
π 2
利用正、余弦函数的图象解三角不等式
典例 3 画出正弦函数 y＝sinx(x∈R)的简图，并根据图象写出 y≥12时 x 的 集合．
[思路分析] (1)作出 y＝sinx，与 y＝12的图象．(2)确定 sinx＝12的 x 值．(3)确 定 sinx>12的解集．
[解析] 用“五点法”作出 y＝sinx 的简图．
〔跟踪练习2〕关于三角函数的图象，有下列说法： ①y＝sin|x|与y＝sinx的图象关于y轴对称； ②y＝cos(－x)与y＝cos|x|的图象相同； ③y＝|sinx|与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称； ④y＝cosx与y＝cos(－x)的图象关于y轴对称； 其中正确说法的序号是__②__④____．
〔跟踪练习 4〕函数 y＝sinx 与 y＝12x 的图象在(－π2，π2)上的交点有
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
( D)
π
3π 2
2π
cosx
1
0
－1
0
1
cosx－1
0
－1
－2
－1Βιβλιοθήκη 0描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图(2))．
正弦函数、余弦函数的图像和性质
-
图象的最高点 图象的最高点 与x轴的交点 轴的交点
x
1-
( 0 ,1 ) (2π ,1)
-1
o
-1 -
π
6
π
3
π
2
2π 3
5π 6
π
7π 6
4π 3
3π 2
5π 3
11 π 6
π ( π ,0 ) (32 ,0) 2π 2 图象的最低点 (π ,−1) 图象的最低点
-
应用“ 例1.应用“五点法”作图。 应用 五点法”作图。
π
π
例2.分别利用函数的图像和三角函数 先两种方法，求下列不等式的解集：
1 (1) sin x ≥ ; 2 1 5π (2) cos x ≤ (0 < x ≤ ); 2 2
例3.判断y = cos x + 1, x ∈ [0,2π ]与下列 直线交点的个数： 3 （ ）y = 2; (2) y = ; (3) y = 0. 1 2
图
y
1-
数、 图
数
图象的最高点 ( ,1) 图象的最高点 2 与x轴的交点 轴的交点
( 0 , 0 ) (π , 0 ) (2π ,0)
x
π
-
-1
o
-1 -
π
6
π
3
π
2
2π 3
5π 6
π
7π 6
4π 3
3π 2
5π 3
11 π 6
2π
图象的最低点 (32 ,−1 图象的最低点 π )
简图作法 (1) 列表 列出对图象形状起关键作用的五点坐标) 列表( (2) 描点 定出五个关键点) 描点( y (3) 连线 用光滑的曲线顺次连结五个点) 连线(
图象的最高点 图象的最高点 与x轴的交点 轴的交点
x
1-
( 0 ,1 ) (2π ,1)
-1
o
-1 -
π
6
π
3
π
2
2π 3
5π 6
π
7π 6
4π 3
3π 2
5π 3
11 π 6
π ( π ,0 ) (32 ,0) 2π 2 图象的最低点 (π ,−1) 图象的最低点
-
应用“ 例1.应用“五点法”作图。 应用 五点法”作图。
π
π
例2.分别利用函数的图像和三角函数 先两种方法，求下列不等式的解集：
1 (1) sin x ≥ ; 2 1 5π (2) cos x ≤ (0 < x ≤ ); 2 2
例3.判断y = cos x + 1, x ∈ [0,2π ]与下列 直线交点的个数： 3 （ ）y = 2; (2) y = ; (3) y = 0. 1 2
图
y
1-
数、 图
数
图象的最高点 ( ,1) 图象的最高点 2 与x轴的交点 轴的交点
( 0 , 0 ) (π , 0 ) (2π ,0)
x
π
-
-1
o
-1 -
π
6
π
3
π
2
2π 3
5π 6
π
7π 6
4π 3
3π 2
5π 3
11 π 6
2π
图象的最低点 (32 ,−1 图象的最低点 π )
简图作法 (1) 列表 列出对图象形状起关键作用的五点坐标) 列表( (2) 描点 定出五个关键点) 描点( y (3) 连线 用光滑的曲线顺次连结五个点) 连线(
正余弦函数图像1
2π
0 1
o
π
2
π
主页
3π 2
2π
x
§1. 4. 1 正弦函数余弦函数的图象
函数y=1+sinx, x∈[0, 2π]与函数 y=sinx, 函数 ∈ 与函数 x∈[0, 2π]的图象之间有何联系？ 的图象之间有何联系？ ∈ 的图象之间有何联系 y=1+sinx, x∈[0, 2π ∈ 2π] y
余弦函数的“五点画图法” 余弦函数的“五点画图法” π x π 0 2 1 0 cosx -1 y
1
π
2
3π 2
2π
0
1
o
-1
π
3π 2
2π
x
主页
§1. 4. 1 正弦函数余弦函数的图象
∈[0,2π] 例1.作函数 =1+sinx,x∈[0, ]的简图 1.作函数y= + 作函数 , ∈[0, π 3π π 解:列表 列表 x 0 2 2 sinx 0 1 0 -1 sinx+1 1 2 1 0 用五点法描点做出简图 y
§1. 4. 1 正弦函数余弦函数的图象
1.正弦线、 1.正弦线、余弦线的概念 正弦线
y 设任意角α的 终边与单位圆交于 点P.过点P做x轴的 .过点 做 轴的 垂线,垂足为M. 垂线,垂足为 .
α
α 的终边
P(x,y)
o
M
x
有向线段MP叫做角 α 的正弦线. 则 有向线段 叫做角 的正弦线. 有向线段OM叫做角α的余弦线. 叫做角α的余弦线. 有向线段 叫做角
主页
§1. 4. 1 正弦函数余弦函数的图象
一、正弦函数 y =sinx(x∈R)的图象 ∈ 的图象 1.用描点法作图 在精确度要求不太高时 在精确度要求不太高时)？ 1.用描点法作图(在精确度要求不太高时 ？
正余弦函数的图象
将函数图像沿y轴方向折叠，得到关于 x轴对称的新函数图像。
水平翻折
将函数图像沿x轴方向折叠，得到关于 y轴对称的新函数图像。
05
三角函数图象的应用
在物理学中的应用
01
描述周期性运动
正余弦函数可以用来描述许多周 期性运动，如简谐振动、交流电 等。
02
03
电磁波传播
波动现象
电磁波的传播可以用正余弦函数 来描述，例如在研究无线电波、 光波等传播规律时。
正余弦函数的图象
目录
• 正弦函数的图象 • 余弦函数的图象 • 正余弦函数图象的对比 • 正余弦函数图象的变换 • 三角函数图象的应用
01
正弦函数的图象
正弦函数的定义
总结词
正弦函数是三角函数的一种，它描述 了直角三角形中锐角对应的对边与斜 边的比值。
详细描述
正弦函数定义为 $sin x = frac{y}{r}$， 其中 $x$ 是角度，$y$ 是直角三角形中 锐角的对边长度，$r$ 是斜边长度。
正弦函数的周期性
总结词
正弦函数具有周期性，这意味着函数 值会重复出现。
详细描述
正弦函数的周期为 $360^circ$ 或 $2pi$ 弧度。这意味着在角度增加 $360^circ$ 或 $2pi$ 的过程中，函 数值会重复。
正弦函数的奇偶性
总结词
正弦函数是奇函数，因为对于任何角度 $x$，都有 $sin(-x) = sin x$。
VS
形状
正弦函数的图像在y轴两侧是对称的，而 余弦函数的图像在y轴两侧是不对称的。
正余弦函数在实际问题中的应用
01
02
03
振动与波动
正余弦函数在描述振动和 波动现象中有着广泛的应 用，如机械振动、电磁波 等。
【数学课件】正弦、余弦函数的图象
x
-2 -
o -1
2
3
4
y = cos x, x∈R
正弦曲线
1
y
y sinx , x R
x
2 3
4
-2
-
o
பைடு நூலகம்-1
余弦曲线
y 1 o -1
y cosx , x R
2 3
-2
-
x
π 2 ]的简图 三.用五点法作y=sinx , x∈[0，
x
0 0
π 2
2π 3
O1
M
O
π
X
[引入]能否借助上面作点C的方法，在直角坐标系 中作出正弦函数y=sinx（x R)的图象呢？
2] 一. 用几何方法作正弦函数y=sinx，x[0， 的图象：
5 6
7 6 4 3 5 3
6
11 6
1
● ●
● ●
● ●
7 4 3 5 11 6 6 3 2 3
2
2
x
y sinx, x [0,2π]
π 2]的简图 例2：画出y=-cosx , x∈[0，
x 0 π 2 π 3π 2 2π
cosx 1
0
-1
0
1
- c o s x- 1
y 1
0
1
0
-1
y cosx , x [0,2π]
π 2 3π 2
O
π
2π x
-1
y cosx , x [0,2π]
思考：如何将余弦函数用诱导公式写成正弦函数？ π y cosx cos(x) sin[ ( x)] 2 π sin( x) 2 注：余弦曲线的图象可以通过将正弦曲线 π 向左平移 2个单位长度而得到。余弦函数 的图象叫做余弦曲线。
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y
-
2
1
•o
•
•
3
2 •2
x
-1 2 •
x
0
2
3
2
2
sinx 0
1
0
-1
0
五点 : 0 , 0 , 1 , 0 3 , 1 2 , 0
2
2
五点：最高点、最低点、与 x 轴的交点
正弦函数图象
y
1-
6
4
2
o
2
-1-
正弦曲线
4
6
x
-
-
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图象在……，
y
2
2
1 22
2
2
x
2
O
2
2-1
2
2
2
理论迁移
例1 用“五点法”画出下列函数的 简图：
(1)y=1+sinx，x∈[0，2π]； (2)y=-cosx，x∈[0，2π] .
x0 sinx 0 1+sinx 1
2
3
2 2
1 0 -1 0
21 0 1
y
2
y=1+sinx
1
3
π
4,2 , 2 ,0, 0,2 , 2 ,4 , ……与y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同
作出下列函数的图象
y 3 sin x x [0 , 2 ]
x
0 2
3 2
2
sinx
01
0
-1
0
3Sinx y
0
3
0 -3 0
3•
•
1•
o 3 2
X
•2
2
y sinx, x [0,2]
思考2：由诱导公式可知，y=cosx与 y sin( x) 是同一个函数，如何作函
MO
π
3
2π π
X
3
[引入]能否借助上面作点C的方法，在直角坐标系
中作出正弦函数y=sinx（xR)的图象呢？
用几何方法作正弦函数y=sinx，X 0,2 的图象：
2
32
5
6
7
6
4
3
3
2
y
3
y=sinx ( x [0, 2] )
1
●
●
●
●
●
7 4 3 5 11
6
6 3 2 3 6 2
●
●
●
2 0 2 5
数 y sin2( x) 在[0，2π]内的图象？
2
y
1
y=sinx
2
O -1
2
π
2π x
思考3：函数y=cosx，x∈[0，2π]的图 象如何？其中起关键作用的点有哪几个？
y 1
O
π
2π x
-1
2
2
思考4：函数y=cosx，x∈R的图象叫做余 弦曲线，怎样画出余弦曲线，余弦曲线 的分布有什么特点？
2
2π
O
x
-1
2
x
02
cosx 1 0
-cosx -1 0
3
2
2
-1 0 1
1 0 -1
y
y=-cosx
1
3p
2 2π
O
pπ
x
-1
2
x
11
5
6
-1
632
36
●
●
●
●
●
3
正弦函数的图象叫做正弦曲线
当x∈[2π，4π], [-2π，0],…时，
y=正si弦nx曲的线图象如何？
y
1
-2
-
o
2
-1
3
x
4
y sinx,x R
思考1：在函数y=sinx，x∈[0，2π]的 图象上，起关键作用的点有哪几个？
y 1
-1
2
3
π
2
2π x
五点法
1.4.1 正、余弦函数的图像
复习：三角函数线
作出 135 o 的三角函数线: y
135 o P
Mo
A(1,0) x
T
135°角的 正弦线为 MP； 余弦线为 OM； 正切线为 AT。
思考：如何用几何方法在直角坐标系中作出点
C(π,sinπ) ? 33
PY
.C (π,s i nπ) 33
π
3
O1