平行四边形的判定(确定)
平行四边形的判定(两组对边相等)
（4）两条对角线互相平分的四边形是平 行四边形。
开心一练:
1.根据下列条件,不能判定一个四边形为平行
四边形的是(C )
(A)两组对边分别相等 (B)两条对角线互相平分 (C)两条对角线相等 (D)两组对边分别平行
练习1：已知：E、F是平行四边形ABCD
B
C （两组对边分别平行的四边形是
平行四边形）
已知:如图,四边形对角线相交于点o, 且OA=OC、OB=OD.
求证:四边形ABCD是平行四边形
证明：在△AOB和△COD中
∴ △ A∠OOOABBA==OOO≌BCD=∠△CCOODD
(SAS)
A O
D
∴AB=CD
B
C
同理 ： AD=CB
∴四 边形ABCD是平行四边形（两组对 边分别相等的四 边形是平行四边形。）
平行四边形的定义： P50（10）
两组对边分别平行的四边形 叫做平行四边形.
A B
D
几何语言： ∵AB∥DC, AD∥BC
C ∴四边形ABCD是平行四边形
填空：在△ABC中，AB=BC,AB=12cm，F 是AB上一点，过点F作FE∥BC交AC于E， 过点E作ED ∥AB交BC于点D，则四边形 BDEF的周长2是4c_m________.
A
F
E
B
D
C
筋开 动 脑
有一天,李老师的儿子从幼儿园放学来到办公室, 看到郑老师办公桌上一块平行四边形纸片,于是就拿 起笔来画画,画了一会儿,对自已的作品不满意撕去了 一些,巧的是刚好从A、C两个顶点撕开。你只有尺 规，你能帮它补好吗？
通过以上活动你
A
D
平行四边形判定PPT课件
四边形中，如果两组对边分别相等，则该四边形为平行四边形。
一组对边平行且相等
四边形中，如果有一组对边既平行又相等，则该四边形为平行四边 形。
角度判定法
两组对角分别相等
四边形中，如果两组对角分别相等，则该四边形为平行四边 形。
一组邻角互补
四边形中，如果有一组邻角互补（即两个角的度数之和为 180度），则该四边形为平行四边形。
在水准测量中，可以利用 平行四边形对角线互相平 分的性质进行高程传递和 计算。
05 误区提示与易错点剖析
常见误区提示
误区一
仅根据两组对边分别平行就判定为平行四边形。实际上， 还需要考虑其他条件，如对角线是否互相平分等。
误区二
忽视平行四边形的性质，仅根据图形外观判断。平行四边 形的性质包括两组对边分别平行且相等、对角线互相平分 等，需要综合考虑。
梯形判定
一组对边平行且不相等的四边形是梯形；只有一组对边平行的四边形是梯形。
其他特殊情况
01
等腰梯形判定
同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；对角线相等的梯形是等腰梯
形。
02
直角梯形判定
有一个角是直角的梯形是直角梯形。
03
平行四边形与特殊四边形的转化
通过添加辅助线或改变条件，可以将平行四边形转化为矩形、正方形、
正方形
既是矩形又是菱形的四边形是正方形。 正方形具有矩形和菱形的所有性质，此 外还具有四个直角和四条相等的边。
菱形
有一组邻边相等的平行四边形是菱形。菱形 具有平行四边形的所有性质，此外还具有四 条相等的边和两条垂直且平分的对角线。
02 平行四边形判定方法
边长判定法
两组对边分别平行
四边形中，如果两组对边分别平行，则该四边形为平行四边形。
九年级数学上册第三章知识点
九年级数学上册第三章知识点九年级数学上册第三章知识点一、平行四边形1、平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等。
平行四边形的对角相等（邻角互补）。
平行四边形的对角线互相平分。
2、平行四边形的判定方法：定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
二、矩形1、矩形的性质定理：矩形的四个角都是直角。
矩形的对角线相等。
2、矩形的判定方法：定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形。
对角线相等的平行四边形是矩形。
（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
）三、菱形1、菱形的性质定理：菱形的四条边都相等。
菱形的对角线相等，并且每条对角线平分一组对角。
2、菱形的判定方法：定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
判定定理：四条边都相等的四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
（对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。
）四、正方形1、正方形的性质定理：正方形的'四个角都是直角，四条边都相等。
正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
2、正方形的判定定理：l 有一个角是直角的菱形是正方形。
l 有一组邻边相等的矩形是正方形。
l 有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形。
l 对角线相等的菱形是正方形。
l 对角线互相垂直的矩形是正方形。
l 对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形。
l 对角线相等且互相垂直、平分的四边形是正方形。
五、等腰梯形1、等腰梯形的性质定理：等腰梯形的两条对角线相等。
等腰梯形在同一底上的两个角相等。
2、等腰梯形的判定方法：定义：两腰相等的梯形是等腰梯形。
判定定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。
六、三角形的中位线1、定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
平行四边形的判定方法 (五种)
在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O。
请从下列所给条件中，任意添加两个条件，使四边形ABCD 是平行四边形。
并说明理由。
（1）AB//CD (2) AD//BC (3) AB=CD (4)AD=BC (5) <A=<C (6) <B=<D (7) OA=OC (8)OB=OD先独立思考，然后小组合作，交流，共同探索，得出结论:(1)(2) , (1)(3) , (1)(5) , (1)(6) , (1)(7) , (1)(8) , (2)(4) , (2)(5) , (2)(6) ,(2)(7) , (2)(8) , (3)(4) ,(5)(6) , (7)(8).其中，（1）（2）是由平行四边形的定义得出的，这一个不用证明。
13如何证明呢?请画图，分析，已知，AB//CD,AB=CD,想证明它是一个平行四边形，只须证明另一组对边平行即可。
证明两条直线平行，就要找角的关系。
那么在这一个图形中有需要的角吗?可以如何构造角呢?这时候只要连接一条对角线即可。
如图所示:连结AC，若想得到AD//BC,只需<ACB=<DAC即可，这两个角相等，利用全等就可以得到，问题得解。
证明过程如下：证明：因为AB//CD 所以<BAC=<ACD,又AB=CD AC=AC所以三角形ABC全等于三角形CDA ，所以<ACB=<CAD所以AD//BC所以四边形ABCD是平行四边形。
那么，(2)(4)和(1)(3)的情况一样吗?由此我们知道了，只要满足这样的两个条件，就可以推出四边形是平行四边形。
谁能够用一句话把这一结论表述出来?有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
我们证明了(1)(3)，(2)(4)的情况，有同学说，满足(3)(4)两个条件的，也是平行四边形.我们来看一下，能否证明出来。
知道AB=CD,AD=BC，如何得到AB//CD,AD//BC呢?由上面证明得出经验，只要三角形ABC和三角形CDA全等，就会出现两组内错角相等，也就有两组对边平行了，问题得解。
平行四边形判定与性质知识总结
平行四边形判定与性质知识总结平行四边形:在同一平面内有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形判定前提：在同一平面内（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（3）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（4）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形;性质（1）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。
（2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。
（ 3）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的邻角互补（4）夹在两条平行线间的平行线段相等。
（5）如果一个四边形是平行四边形,那么这个四边形两条对角线互相平分。
（6）连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。
(推论）（7）平行四边形的面积等于底和高的积。
（可视为矩形）（8）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等两部分图形。
（9）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点.（10）平行四边形不是轴对称图形，矩形和菱形是轴对称图形。
注：正方形，矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形，三者具有平行四边形的性质。
（11）平行四边形ABCD中（如图）E为AB的中点，则AC和DE互相三等分，一般地，若E为AB上靠近A的n等分点，则AC和DE互相(n+1)等分。
（12）平行四边形ABCD中，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，则各四边的平方和等于对角线的平方和。
（13）平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等分。
（14）平行四边形中，两条在不同对边上的高所组成的夹角，较小的角等于平行四边形中较小的角，较大的角等于平行四边形中较大的角。
（15）平行四边形中,一个角的顶点向他对角的两边所做的高，与这个角的两边组成的夹角相等。
平行四边形的判定定理(基础)知识讲解
平行四边形的判定定理（基础）【学习目标】1.平行四边形的四个判定定理及应用，会应用判定定理判断一个四边形是不是平行四边形．2.会综合应用平行四边形的性质定理和判定定理解决简单的几何问题．【要点梳理】要点一、平行四边形的判定1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个行四边形时，应选择较简单的方法.（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据. 【典型例题】类型一、平行四边形的判定1、如图所示，E、F分别为四边形ABCD的边AD、BC上的点，且四边形AECF和DEBF 都是平行四边形，AF和BE相交于点G，DF和CE相交于点H．求证：四边形EGFH为平行四边形．【思路点拨】欲证四边形EGFH为平行四边形，只需证明它的两组对边分别平行，即EG∥FH，FG∥HE可用来证明四边形EGFH为平行四边形．【答案与解析】证明：∵四边形AECF为平行四边形，∴ AF∥CE．∵四边形DEBF为平行四边形，∴ BE∥DF．∴四边形EGFH为平行四边形．【总结升华】平行四边形的定义既包含平行四边形的性质，又可以用来判定一个四边形是平行四边形，即平行四边形的两组对边分别平行，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．举一反三：【变式】（厦门校级一模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F，若CE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．【答案】证明：∵∠BAD的平分线交直线BC于点E，∴∠1=∠2，∵AB∥CD，∴∠1=∠F，∵CE=CF，∴∠F=∠3，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴AD∥BC，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．2、（青海）如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE=CF．求证：（1）DE=BF；（2）四边形DEBF是平行四边形．【思路点拨】（1）根据全等三角形的判定方法，判断出△ADE≌△CBF，即可推得DE=BF．（2）首先判断出DE∥BF；然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，推得四边形DEBF是平行四边形即可．【答案与解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AD=CB，∴∠DAE=∠BCF，在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF，∴DE=BF．（2）由（1），可得△ADE≌△CBF，∴∠ADE=∠CBF，∵∠DEF=∠DAE+∠ADE，∠BFE=∠BCF+∠CBF，∴∠DEF=∠BFE，∴DE∥BF，又∵DE=BF，∴四边形DEBF是平行四边形．【总结升华】此题主要考查了平行四边形的判定和性质的应用，以及全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．3、（张掖校级模拟）已知：如图四边形ABCD是平行四边形，P、Q是直线AC上的点，且AP=CQ．求证：四边形PBQD是平行四边形．【思路点拨】证明四边形是平行四边形有很多种方法，此题可由对角线互相平分来证明．【答案与解析】证明：连接BD交AC与O点，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=DO，又∵AP=CQ，∴AP+AO=CQ+CO，即PO=QO，∴四边形PBQD是平行四边形．【总结升华】本题主要考查平行四边形的判定，利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明．举一反三：【变式】如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=DC，连接CF．试说明：D是BC的中点.【答案】证明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，∵E是AD的中点，∴AE=DE，在△AEF和△DEB中，∵,,,＝＝＝AFE DBEAEF DEB AE DE∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△AEF≌△DEB（AAS），∴AF=BD，∵AF=DC，∴BD=DC，∴D是BC的中点.类型二、平行四边形的性质定理与判定定理的综合运用4、如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的点，且AE=CF．（1）猜想探究：BE与DF之间的关系： ________________.（2）请证明你的猜想．【思路点拨】（1）BE平行且等于DF；（2）连接BD交AC于O，根据平行四边形的性质得出OA=OC，OD=OB，推出OE=OF，得出平行四边形BEDF即可．【答案与解析】（1）解：BE和DF的关系是：BE=DF，BE∥DF，故答案为：平行且相等．（2）证明：连接BD交AC于O，∵ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵AE=CF，∴OE=OF，∴BFDE是平行四边形，∴BE=DF，BE∥DF．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质和判定的应用，能否熟练地运用平行四边形的性质和判定进行推理是你解决本题的关键，题型较好，通过此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，同时培养了学生的观察能力和猜想能力．举一反三：变式：如图，在ABCD中，E、F分别在AD、BC边上，且AE=CF．请你猜想BE与DF的关系，并说明理由．【答案】解：猜想BE与DF的关系是BE=DF，BE∥DF，理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∵AE=CF，∴AD-AE=BC-CF，即DE=BF，∵DE∥BF，∴四边形BFDE是平行四边形，∴BE=DF，BE∥DF．5、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P，过点P作直线交AD于点E，交BC 于点F．若PE=PF，且AP+AE=CP+CF．（1）求证：PA=PC．（2）若AD=12，AB=15，∠DAB=60°，求四边形ABCD的面积．【思路点拨】（1）首先在PA和PC的延长线上分别取点M、N，使AM=AE，CN=CF，可得PN=PM，则易证四边形EMFN是平行四边形，则可得ME=FN，∠EMA=∠CNF，即可证得△EAM≌△FCN，则可得PA=PC；（2）由PA=PC，EP=PF，可证得四边形AFCE为平行四边形，易得△PED≌△PFB，则可得四边形ABCD为平行四边形，由AB=15，AD=12，∠DAB=60°，即可求得四边形ABCD的面积．【答案与解析】（1）证明：在PA和PC的延长线上分别取点M、N，使AM=AE，CN=CF．∵AP+AE=CP+CF，∴PN=PM．∵PE=PF，∴四边形EMFN是平行四边形．∴ME=FN，∠EMA=∠CNF．又∵∠AME=∠AEM，∠CNF=∠CFN，∴△EAM≌△FCN．∴AM=CN．∵PM=PN，∴PA=PC．（2）解：∵PA=PC，EP=PF，∴四边形AFCE为平行四边形．∴AE∥CF．∵∠PED=∠PFB，∠EPD=∠FPB，EP=PF，∴△PED≌△PFB．∴DP=PB．由（1）知PA=PC，∴四边形ABCD为平行四边形．∵AB=15，AD=12，∠DAB=60°，∴四边形ABCD的面积为903．【总结升华】此题考查了平行四边形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质等知识．此题图形比较复杂，难度适中，解题的关键是数形结合思想的应用．【巩固练习】一.选择题1.（雁江区模拟）点P、Q、R是平面内不在同一条直线上的三个定点，点M是平面内任意一点，若P、Q、R、M四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点M有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB＝CD，AD＝BC；③AO＝CO，BO＝DO；④AB∥CD，AD＝BC．其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有( ).A．1组 B．2组 C．3组 D．4组3. 下面给出了四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比, 其中能识别四边形ABCD为平行四边形的是( ).A. 1:2:3:4B. 2:3:2:3C. 2:2:3:3D. 1:2:2:14. 如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接AB、AD、CD，则四边形ABCD一定是（）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形5. 已知一个凸四边形ABCD的四条边的长顺次是a、b、c、d，且a2+ab-ac-bc=0，b2+bc-bd-cd=0，那么四边形ABCD是（）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形6. 如图，图1、图2、图3分别表示甲、乙、丙三人由A地到B地的路线图（箭头表示行进的方向）．其中E为AB的中点，AH＞HB，判断三人行进路线长度的大小关系为（）A．甲＜乙＜丙 B．乙＜丙＜甲 C．丙＜乙＜甲 D．甲=乙=丙二.填空题7. （商水县期末）如图，E、F是ABCD对角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件：，使四边形AECF是平行四边形．8. 如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，直线EF过点O且EF∥AD，直线GH过点O且GH∥AB，则能用图中字母表示的平行四边形共有______________个．9．（龙安区月考）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，点E在AB边上从A向B以1cm/s 的速度移动，同时点F在CD边上从C向D以2cm/s的速度移动，若AB=7cm，CD=9cm，则秒时四边形ADFE是平行四边形．10. 如图，已知等边△ABC的边长为8，P是△ABC内一点，PD∥AC，PE∥AD，PF∥BC，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，则PD+PE+PF=______________.11．已知：如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，则四边形ABCD是______．12．（黎川县期末）如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD的中点．有下列结论：①AD=BC，②△DHG≌△BFE，③BF=HO，④AO=BO，⑤四边形HFEG是平行四边形，其中正确结论的序号是．三.解答题13．（河南模拟）如图，在口ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG．求证：（1）△BEG≌△DFH；（2）四边形GEHF是平行四边形．14.（长春模拟）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别为边AB、BC的中点，点F在边AC的延长线上，∠FEC=∠B，求证：四边形CDEF是平行四边形．15.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC＝2，CE＝4，求四边形ACEB的周长.【答案与解析】一.选择题1.【答案】C；【解析】解：如图，连接PQ、QR、PR，分别过P、Q、R三点作直线l∥QR、m∥PR、n∥PQ，分别交于点D、E、F，∵DP∥QR，DQ∥PR，∴四边形PDQR为平行四边形，同理可知四边形PQRF、四边形PQER也为平行四边形，故D、E、F三点为满足条件的M点，故选C．2.【答案】C；【解析】①②③能判定平行四边形.3.【答案】B；【解析】平行四边形对角相等.∠A与∠C为对角，∠B与∠D为对角.4.【答案】A；【解析】∵分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，∴AD=BC AB=CD∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．故选A．5.【答案】A；【解析】由a2+ab-ac-bc=0，可知（a+b）（a-c）=0，则a-c=0，即a=c；由b2+bc-bd-cd=0，可知（b+c）（b-d）=0；则b-d=0，即b=d．（其中a，b，c，d都是正数，a+b、b+c一定不等于0）由a=c；b=d知四边形ABCD的两组对边分别相等，则四边形ABCD是平行四边形．故选A．6.【答案】D；【解析】图1中，甲走的路线长是AC+BC的长度；延长AD和BF交于C，如图2，∵∠DEA=∠B=60°，∴DE∥CF，同理EF∥CD，∴四边形CDEF是平行四边形，∴EF=CD，DE=CF，即乙走的路线长是AD+DE+EF+FB=AD+CD+CF+BC=AC+BC的长；延长AG和BK交于C，如图3，与以上证明过程类似GH=CK，CG=HK，即丙走的路线长是AG+GH+HK+KB=AG+CG+CK+BK=AC+BC的长；即甲=乙=丙，故选D．二.填空题7.【答案】BE=DF；【解析】添加的条件是BE=DF，理由是：连接AC交BD于O，∵平行四边形ABCD，∴OA=OC，OB=OD，∵BE=DF，∴OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形．故答案为：BE=DF．8.【答案】18；【解析】图中平行四边形有：AEOG，AEFD，ABHG，GOFD，GHCD，EBHO，EBCF，OHCF，ABCD，EHFG，AEHO，AOFG，EODG，BHFO，HCOE，OHFD，OCFG，BOGE．共18个．故答案为：18．9.【答案】3；【解析】解：设t秒时四边形ADFE是平行四边形；理由：当四边形ADFE是平行四边形，则AE=DF，即t=9﹣2t，解得：t=3，故3秒时四边形ADFE是平行四边形．故答案为：3．10．【答案】8；【解析】过E点作EG∥PD，过D点作DH∥PF，∵PD∥AC，PE∥AD，∴PD∥GE，PE∥DG，∴四边形DGEP为平行四边形，∴EG=DP，PE=GD，又∵△ABC是等边三角形，EG∥AC，△BEG为等边三角形，∴EG=PD=GB，同理可证：DH=PF=AD，∴PD+PE+PF=BG+GD+AD=AB=8．．11．【答案】平行四边形；12.【答案】①，②，③，⑤；【解析】解：平行四边形ABCD中，∴AD=BC，故①正确；∵平行四边形ABCD，∴DC∥AB，DC=AB，OD=OB，∴∠CDB=∠DBA，∵E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD的中点，∴DG=BE=AB，DH=BF=OD，∴②△DHG≌△BFE，故②正确；∵HO=DH，DH=BF，∴BF=HO，故③正确；平行四边形ABCD，OA=OC，OB=OD，故④错误；E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD的中点，∴HG∥OC，HG=OC，EF∥OA，EF=OA，∴HG∥EF，HG=EF，HEFG是平行四边形，故⑤正确；故答案为：①，②，③，⑤．三.解答题13.【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥DC，∴∠ABE=∠CDF，∵AG=CH，∴BG=DH，在△BEG和△DFH中，，∴△BEG≌△DFH（SAS）；（2）∵△BEG≌△DFH（SAS），∴∠BEG=∠DFH，EG=FH，∴∠GEF=∠HFB，∴GE∥FH，∴四边形GEHF是平行四边形．14.【解析】证明：∵在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 、E 分别为边AB 、BC 的中点，∴DE ∥AC ，CD=AB=AD=BD ，∴∠B=∠DCE ，∵∠FEC=∠B ，∴∠FEC=∠DCE ，∴DC ∥EF ，∴四边形CDEF 是平行四边形．15.【解析】解：∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，∴AC∥DE．又∵CE∥AD，∴四边形ACED 是平行四边形．∴DE＝AC ＝2在Rt△CDE 中，由勾股定理2223CD CE DE -=∵D 是BC 的中点，∴BC＝2CD ＝3在Rt△ABC 中，由勾股定理22213AB AC BC +=． ∵D 是BC 的中点，DE⊥BC，∴EB＝EC ＝4∴四边形ACEB 的周长＝AC ＋CE ＋BE ＋BA ＝10＋213。
平行四边形的判定与性质
平行四边形的性质与判定一、平行四边形定义及其性质：1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行四边形对边平行且相等。
定义的几何语言表述 ∵ AB ∥CD AD ∥BC ∴四边形ABCD 是平行四边形 。
∵四边形ABCD 是平行四边形（或在 ABCD 中） ∴ AB=CD ，AD=BC 。
例题1、如图5，AD ∥BC ，AE ∥CD ，BD 平分∠ABC ，求证AB=CE2、平行四边形除了对边平行且相等外，其对角也相等。
∵四边形ABCD 是平行四边形（或在ABCD 中） ∴ ∠A=∠C ，∠B=∠D 。
例题2、在平行四边形ABCD 中，若∠A ：∠B=2：3，求∠C 、∠D 的度数。
3、平行四边形的对角线互相平分。
例题3．已知O 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，AC=24cm ，BD=38 cm ，AD= 28cm ，求三角形OBC 的周长。
5．如图，平行四边形ABCD 中，AC 交BD 于O ，AE ⊥BD 于E ，∠EAD=60°，AE=2cm,AC+BD=14cm, 求三角形BOC 的周长。
例题4：已知平行四边形ABCD ，AB=8cm ，BC=10cm,∠B=30°, 求平行四边形平行四边形ABCD 的面积。
对边分别平行 边 对边分别相等 对角线互相平分 平行四边形角 对角相等 邻角互补图（5）DCB AA B C D二、平行四边形的判定 方法一（定义法）：两组对边分别平行的四边形的平边形。
几何语言表达定义法：∵AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
∵AB=CD ，AD=BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形 方法三：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
∵OA=OC ， OB= OD ∴四边形ABCD 是平行四边形 方法四：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵AB=CD ，AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形方法五：两组对角分别相等的四边形是平行四边形∵ ∠A =∠C ，∠B=∠D ，∴四边形ABCD 例1：已知：E 、F 分别为平行四边形ABCD 两边AD 、BC 的中点，连结BE 、DF 求证：2∠1∠=三、三角形中位线：三角形两边的中点连线线段（即中位线）与三角形的第三边平行，并且等于第三边的一半。
平行四边形的概念性质和判定
平行四边形一.知识要点:(一)平行四边形定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
(二)平行四边形的性质: 从它的边,角,对角线三个方面进行研究。
1.由定义知平行四边形的对边平行。
2.两组对边分别相等；3.两组对角分别相等；4.对角线互相平分；5.平行四边形是中心对称图形。
(三)平行四边形的判定。
1.利用定义判定。
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
5.对角线互相平分的四边形是平行四边形。
二.例题:例1.判断正误(我们要判断一个命题是假命题,举一个反例即可)1.一组对边平行,一组对角相等的四边形是平行四边形。
( )2.一组对边平行,一组对边相等的四边形是平行四边形。
( )3.一组对边平行,一组对角互补的四边形是平行四边形。
( )4.一组对边平行,一组邻角相等的四边形是平行四边形。
( )5.四条边都相等的四边形是平行四边形。
( )6.两组邻边相等的四边形是平行四边形。
( )7.两组邻角互补的四边形是平行四边形。
( )8.各组邻角互补的四边形是平行四边形。
( )9.一组对边相等,一组对角相等的四边形是平行四边形。
( )10.一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形。
( )例2.填空题:1. 平行四边形ABCD中,AB⊥AC,∠B=60°,AC=2,则平行四边形ABCD的周长是_______。
2.平行四边形的两边长为3cm和6cm,夹角为60°,则平行四边形的面积为_______cm。
3.在平行四边形ABCD中,如果一边长6cm,一条对角线长是8cm,则另一条对角线x的取值范围是_______。
例3.已知：如图，AB//CD，AD=BC，求证：OD=OC。
例4.已知：如图，平行四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD中点，分别延长BA、DC至G、M，使AG=CM，求证：EM//GF。
平行四边形的判定
C
练习
3、随堂练习 在 ABCD 中，AC、BD 相交于点O ，点E、 F 在对角线AC上，且 OE = OF . （1） OA 与 OC 、OB 与 OD 是否相 等？ （2）四边形BFDE是平行四 A D 边形吗？为什么？ E
O
B
F C
练习
4、在 ABCD 中，O是AC 、BD的 交 点，点E、F、G、H 分别是AO、BO、CO、 DO 的中点，四边形ＥFGH是平行四边 形吗？说说你的理由。
A
B
C
练习2：如图，在 ABCD中， 已知AE、CF分别是∠DAB、∠BCD 的角平分线，试说明四边形AFCE是 平行四边形。
A
F
D
B
E
C
练习3：如图在
ABCD中，E、F、G、H分别 是各边上的点，且AE=CF，BG=DH ， 求证：EF与GH互相平分。
D H
O A E B F
C
G
例1 AC//ED，点 B 在 AC 上，且AB =
总结:
判定1：对角线互相平分的四 边形是平行四边形。
求证：四边形BFDE是平行四边形．
D F E A O B C
学习了平行四边形后，小明回家用细木 棒钉制了一个。第二天，小明拿着自己动手 做的平行四边形向同学们展示。 小辉却问：你凭什么确定这四边形就是 平行四边形呢？ 大家都困惑了……
前面我们学习过平移把直线变成与它平行的 直线。那么，你能不能从一条线段AB出发， 画出一个平行四边形呢?
O
D
扩展第3题
B
F
C
E、F 在AC 上，E、F满足什么条件时， 四边形 BEDF 是平行四边形 吗？（至少写 出两种）
平行四边形的判定说课稿（通用8篇）
平行四边形的判定说课稿平行四边形的判定说课稿（通用8篇）作为一名老师，通常需要用到说课稿来辅助教学，说课稿有助于顺利而有效地开展教学活动。
快来参考说课稿是怎么写的吧！下面是小编整理的平行四边形的判定说课稿范文，仅供参考，欢迎大家阅读。
平行四边形的判定说课稿篇1一、说教材本节课是平行四边形的判定的第一课时，其探究的主要内容是“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，以及“对角线互相平行的四边形是平行四边形”这两种判定方法。
它是在学习了三角形的相关知识、平行四边形的定义、性质的基础上进行学习的，在教学内容上起着承上启下的作用。
二、说学情八年级的学生已经学习了初中阶段包括全等三角形的相关知识、平行四边形的性质在内的绝大多数几何概念及定理。
学生的抽象思维能力、逻辑推理能力有了很大的提高，学生对于新鲜的知识也充满着好奇心和强烈的求知欲望，而平行四边形的判定条件中，又有许多颇有思考价值的问题。
因此，由教师组织教学，让学生自主探索平行四边形的判定定理不仅成为可能，又可以作为初中几何知识综合能力的一次检验、一次再提升！三、教学目标【知识技能目标】1、运用类比的方法，通过学生的合作探究，得出平行四边形的第三个判定方法。
2、理解平行四边形的这两种判定方法，并学会简单运用。
【过程与方法目标】1、通过类比、观察、实验、猜想、验证、推理、交流等教学活动，进一步培养学生的动手能力、合情推理能力。
2、在运用平行四边形的判定方法解决问题的过程中，进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力。
【情感态度与价值观目标】1、使学生学会将平行四边形的问题转化为三角形的问题，渗透化归意识。
2、通过对平行四边形两个判定方法的探究，提高学生解决问题的能力。
3、通过对平行四边形两个判定方法的探究和运用，使学生感受数学思考过程中的合理性、数学证明的严谨性，认识事物的相互联系、相互转化，学会用辨证的观点分析事物。
四、教学重点、难点【重点】平行四边形判定方法的探究、运用以及平行四边形的性质和判定的综合运用。
平行四边形的判定定理
什么结论?
B
C
判定定理1:
A
D
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
几何语言：∵AB＝CD,AD＝BC, ∴四边形ABCD是平行四边形.
大家齐动手
• 将两根细木条AC、BD的中心重叠,用小钉绞
合在一起,用橡皮筋连接木条的顶点,做成
一个四边形ABCD,转动两根木条,它一直是
一个平行四边形吗?为什么?
(2)碰到平行四边形的问题常转化为三角形来解决.
作业布置：
1.课本第91页第5题.
2.继续探一探：你还能想出其他的平行四 边行的判定方法吗？
板书设计
1、定义 2、性质 3、判定定理1 4、判定定理2
定理1的证明
例题
B
C
∴ AD∥BC .（同旁内角互补，两直线平行）
同理可证AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.(两组对边分别平行的
四边形是平行四边形)
请ห้องสมุดไป่ตู้谈一谈
学习了本节课你有哪 些收获？
1.知识：平行四边形的判定方法
从边来判定
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形.(定义) 2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
从对角线来判定 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.
从角来判定 两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
2.方法：
(1)解决一个数学问题,常要通过“动手实践”---“ 猜想”---“验证猜想(证明)”---“得出结论”.
(2)碰到平行四边形的问题常转化为三角形来解决.
2.方法：
(1)解决一个数学问题,常要通过“动手实践”---“ 猜想”---“验证猜想(证明)”---“得出结论”.
互相平行的线段？
八年级数学人教版下册平行四边形的判定
有两组对边平分行别四平边行形的的四边定形义叫做 平行四边形
A B
如果
D
AB∥CD C AD∥BC
四边形ABCD
平行四边形
A
D
A
D
B
CB
ABCD
O C
平行四边形的对边平行 边
平行四边形的对边相等
的性质： 角
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO DA∴AB BOB=DABA =AB∥CCA∥BOD CCDDO CB DC1800
D A
O C
F
∵AE=CF
A
D
∴EO=FO
AE O
D
E
∵BO=DO ∴四边形BFDE是平行四边形
B(对角线互相O平分FCF
B
C
的四边形是平行四边形)
请你谈一谈
∴四边形ABCD是平行四边形
学习了本节课你有哪 AB∥CD AD∥BC
几何语言：∵AB＝CD，AD＝BC 平行四边形的判定（1） 求证：四边形BFDE是平行四边形。
∴四边形BFDE是平行四边形 (对角线互相平分
AB∥CD AD∥BC 求证：四边形BFDE是平行四边形 证明：连结BD，交AC于点O 对角线互相平分的四边形是平行四边形
些收获？
判
文字语言
图形语言 符号语言
定
定 两组对边分别平行的 Ｄ
义 四边形是平行四边形
Ｃ ∵AB∥CD,
AD∥BC
Ａ 定 两组对边分别相等的 Ｄ
2.经历猜想、操作、验证平行四边形的判定方法 的过程，发展合情推理能力和自主探究能力。
大家齐动手
几何语言：∵OA=OC,OB=OD OB=OD 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
平行四边形定义性质以及判定定理
性质（1）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。
（简述为“平行四边形的两组对边分别相等”[2]）（2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。
（简述为“平行四边形的两组对角分别相等”[2]）（3）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的邻角互补。
（简述为“平行四边形的邻角互补”）（4）夹在两条平行线间的平行的高相等。
（简述为“平行线间的高距离处处相等”）（5）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。
（简述为“平行四边形的对角线互相平分”[2]）（6）连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。
（推论）（7）平行四边形的面积等于底和高的积。
（可视为矩形。
）（8）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。
（9）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点.（10）平行四边形不是轴对称图形，但平行四边形是中心对称图形。
矩形和菱形是轴对称图形。
注：正方形，矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形，三者具有平行四边形的性质。
（11）平行四边形ABCD中（如图）E为AB的中点，则AC和DE互相三等分，一般地，若E为AB上靠近A的n等分点，则AC和DE互相(n+1)等分。
（12）平行四边形ABCD中，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，则各四边的平方和等于对角线的平方和。
（13）平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等份。
（14）平行四边形中，两条在分歧对边上的高所组成的夹角，较小的角等于平行四边形中较小的角，较大的角等于平行四边形中较大的角。
（15）平行四边形的面积等于相邻两边与其夹角正弦的乘积平行四边形的判定方法（共6种）1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）；2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；3.对角线互相平分的四边形是平行四边形；4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5.所有邻角（每一组邻角）都互补的四边形是平行四边形；6.两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
平行四边形的判定(确定)
70°
B
⑵
110°
C
A
4.8㎝
7.6㎝
D
4.8㎝
B
⑶ 7.6㎝ C
精品课件
例3 如图：平行四边形ABCD的对角线 AC、BD相交 于点O，E、F是AC上的两点， 并且AE=CF，求证: 四边形BFDE是平 行四边形。
A
D
E
OF
B
C
你还有其他 的证明方法
吗？
精品课件
变式
在上题中，若点E，F 分别在AC 两侧的延长线上，
对角线 平行四边形的对角线互相平
思考
分
你能说出它们的逆命题吗？
我们得到的这些逆命题都成立吗？这就是今天我们要一
起来探讨的问题：
精品课件
活动一： 如图将两组长度分别相等的木条做成一个 四边形，使等长的木条成为对边．转动这 个四边形，使它形状改变，在图形变化的 过程中，它一直是一个平行四边形吗？如 何验证它是平行四边形呢？
在数学的天地里，重要的 不是我们知道什么，而是 我们怎么知道什么。
——毕达哥拉
斯
精品课件
第十八章 平行四边形
18.1.2 平行四边形的判定（1）
布尔津县布尔津镇初级中学
花
精品课件
王春
1、平行四边形的定义是什么?用符号语言表示? 2、平行四边形有哪些性质?
边 平行四边形的对边相等
平行四边形的性质： 角 平行四边形的对角相等
如图，其他条件不变，结论还成立吗？请证明你的结论．
E
A
D
O
B
C
F
精品课件
练习：如图，AB=DC=EF，AD=BC，
DE=CF，图中有哪些互相平行的线段？
判定平行四边形的五种方法
判别平行四边形的基本方法如何判别一个四边形是平行四边形呢?下面举例予以说明.一、运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”判别例1 如图1,在平行四边形ABCD中,E、F 在对角线AC上,且AE=CF,试说明四边形DEBF 是平行四边形.分析:由于已知条件与对角线有关，故考虑运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”进行判别.为此,需连接BD.解：连接BD交AC于点O.因为四边形ABCD是平行四边形,所以AO=CO,BO=DO. 又AE=CF,所以AO-AE=CO-CF,即EO=FO.所以四边形DEBF是平行四边形.二、运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判别例2 如图2，是由九根完全一样的小木棒搭成的图形，请你指出图中所有的平行四边形，图1AB C DEF并说明理由.分析:设每根木棒的长为1个单位长度，则图中各四边形的边长便可求得，故应考虑运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”进行判别.解：设每根木棒的长为1个单位长度，则AF=BC=1,AB=FC=1,所以四边形ABCF是平行四边形.同样可知四边形FCDE、四边形ACDF都是平行四四边形.因为AE=DB=2,AB=DE=1,所以四边形ABDE也是平行四边形.三、运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判别例3 如图3，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF,DF=BE,DF∥BE，试说明四边形ABCD是平行四边形.分析: 题目给出的条件都不能直接判别四边形ABCD是平行四边形，但仔细观察可知，由已知条件可得△ADF≌△CBE，由此就可得到判图3别平行四边形所需的“一组对边平行且相等”的条件.解：因为DF∥BE，所以∠AFD=∠CEB.因为AE=CF,所以AE+EF=CF+EF，即AF=CE.又DF=BE,所以△ADF≌△CBE，所以AD=BC，∠DAF=∠BCE，所以AD∥BC.所以四边形ABCD是平行四边形.四、运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判别例 4 如图4，在平行四边形ABCD中，∠DAB、∠BCD的平分线分别交BC、AD边于点E、F，则四边形AECF是平行四边形吗？为什么？分析：由平行四边形的性质易得AF∥EC，又题目中给出的是有关角的条件，借助角的条件可得到平行线，故本题应考虑运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”进行判别.解：四边形AECF是平行四边形.AB CDEF图41 32理由：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD ∥BC ，∠DAB=∠BCD ，所以AF ∥EC.又因为∠1=21∠DAB ，∠2=21∠BCD ，所以∠1=∠2.因为AD ∥BC ，所以∠2=∠3， 所以∠1=∠3，所以AE ∥CF.所以四边形AECF 是平行四边形.判定平行四边形的五种方法平行四边形的判定方法有：（1）证两组对边分别平行；（2）证两组对边分别相等；（3）证一组对边平行且相等；（4）证对角线互相平分；（5）证两组对角分别相等。
平行四边形的判定
条件：一个四边形的两组对边分别相等 结论：这个四边形是平行四边形. 已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明 连结AC 在△ABC和△CDA中 ∵AB=CD,AD=BC,AC=AC ∴△ABC≌△CDA（SSS） ∴∠1=∠2，∠3=∠4 ∴AD∥BC，AB∥CD ∴四边形ABCD是平行四边形）
归纳 平行四边形的判定定理2： 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
∥ “平行且相等”常用符号“ ＝ A ”来表示 AD∥BC且AD=BC，记作“AD ∥ BC” D
＝
读作：“AD平行且等于BC”
∥ 数学语言： ∵ AD＝ BC
B
C
∴
四边形ABCD是平行四边形
B B
A C
D
A
D C
一组对边平行
+
一组对边相等
平行四边形
一组对边平行 一组对边相等
同一组对边 平行且相等 一组对边平行， 另一组相等
平行四边形
平行四边形
探索2
在已知的两条平行线上，用两张长度相 等的纸片，探索下面的猜想是否正确： 一组对边平行且相等的四边形是平行四边 形 一组对边平行，另一组对边相等的四边形 D 是平行四边形 A
平 行 四 边 形 的 判 定 方 法
定义
判定定理1
两组对边分别平行的四边形 是平行四边形 两组对边分别相等的四边形 是平行四边形 一组对边平行且相等的四边 形是平行四边形
判定定理2
数学思想方法：分类讨论、转化
作业
练习第2题 习题18.2第2题
课本85页 课本90页
例1、如图，在 ABCD中，E、F分别是边BC和AD 上的两点，且AF=CE. 求证：四边形AECF为平行四边形
平行四边形的性质和判定(八年级下才册)
平行四边形的性质和判定（八年级下册）一、知识要点1、平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形2、平行四边形的性质⑴平行四边形的对边相等⑵平行四边形的对角相等⑶平行四边形的对角线平分3、平行四边形的判定⑴两组对边分别相等的四边形是平行四边形⑵两组对角分别相等的四边形是平行四边形⑶对角线互相平分的四边形是平行四边形⑷一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4、中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
二、巩固练习1、能识别四边形ABCD 是平行四边形的题设是（ ）A ．AB ∥CD ，AD=BC B ．∠A=∠B ，∠C=∠DC ．AB=CD ，AD=BC D ．AB=AD ，CB=CD2、点A ，B ，C ，D 在同一平面内，从①AB ∥CD ，②AB=CD ，③BC ∥AD ，④BC=AD 这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD 是平行四边形的选法有（ ）A ．3种B ．4种C ．5种D ．6种3、平行四边行的两条对角线把它分成全等三角形的对数是（ ）A .2B .4C .6D .84、在平行四边形ABCD 中，=∠︒=∠-∠C ，B A 则605、如图，□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，则下列说法一定正确的是（ ）A ．AO=ODB ．AO ⊥ODC ．AO=OCD ．AO ⊥AB6、如图，□ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，点E 是BC 的中点．若OE=3cm ，则AB 的长为（ ）A ．12cmB ．9cmC ．6cmD ．3cm7、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点D ，E ，F 分别为AB ，AC ，BC 的中点．若CD=5，则EF 的长为8、在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，分别添加下列一个条件，①AB ∥CD,②AB=DC,③AD=BC,④∠A=∠C ,⑤∠B=9、若A 、B 、C 是不在同一直线上的三点，则以这三点为顶点画平行四边形，可画（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10、下列说法中错误的是（ ）A ．平行四边形的对角线互相平分B ．有两对邻角互补的四边形为平行四边形C ．对角线互相平分的四边形是平行四边形D ．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形11、如图，△ABC 中，AB=AC=15，D 在BC 边上，DE ∥BA 于点E ，DF ∥CA 交AB 于点F ，那么四边形AFDE 的周长是（ ）A ．30B ．25C ．20D ．1512、如图，已知在□ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 、F 是AC 上两点，点E 、F 的位置只须满足条件（ ）时，四边形DEBF 是平行四边形．A ．点E 、F 分别为OA 、OC 的中点B ．OE=OD ，OF=OBC ．OE=OA ，OF=OCD ．OE ⊥BD ，OF ⊥BD13、如图，已知等边△ABC 的边长为8，P 是△ABC 内一点，PD ∥AC ，PE ∥AD ，PF ∥BC ，点D ，E ，F 分别在AB ，BC ，AC 上，则PD+PE+PF=14、如图所示，在□ABCD 中，E ，F 分别为AB ，DC 的中点，连接DE ，EF ，FB ，则图中共有 个平行四边形．15、如图，在□ABCD 中，E ，F 是对角线AC 上的两点且AE=CF ，在①BE=DF ；②BE ∥DF ；③AB=DE ；④四边形EBFD 为平行四边形；⑤S △ADE =S △ABE ；⑥AF=CE 这些结论中正确的是16、如图，在□ABCD 中，点E 、F 是对角线AC 上两点，且AE =CF ．求证：∠EBF =∠FDE ．17、如图,H 是□ABCD 对角线上的点，且AG ＝CH ，E 、F 分别是AB ，CD 的中点。
平行四边形的判定
第十七课时：平行四边形的判定【知识要点】1．平行四边形的5个判定方法：（1）边：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
////AB CD ABCD AD BC ⎫⇒⎬⎭叫做平行四边形。
（2）边：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
A B C D A B C D A D B C =⎫⇒⎬=⎭叫做平行四边形。
（3）边：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
//AB CD ABCD AB CD ⎫⇒⎬=⎭叫做平行四边形。
（4）角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
A C ABCDB D ∠=∠⎫⇒⎬∠=∠⎭是平行四边形。
（5）对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
O A O C A B C D O B O D =⎫⇒⎬=⎭叫做平行四边形。
2．平行四边形的知识运用包括三个方面：（1）直接运用平行四边形的性质去解决问题，求角、线段，证明角相等，互补，证明线段相等或平分；（2）判定一个四边形是平行四边形，从而判定两直线平行；（3）先判定一个四边形是平行四边形，然后用平行四边形的性质去解决某些问题。
【经典例题】例1 如图，在 ABCD 中，AE=CG ，求证：GF=HE 。
如图，口ABCD 中，点M 、N 是对角线AC 上的点，且AM=CN ，DE=BF 。
求证：四边形MFNE 是平行四边形。
ABCDABCDOABCDEF H AF例3 如图，AB//CD ，∠ABC=∠ADC ，AE=CF ，BE=DF ，求证：EF 与AC 互相平分。
例4 已知：如图，在平行四边形ABCD 中，BE ⊥AC 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，又M 、N 分别是DC 、AB 的中点。
求证：四边形EMFN 是平行四边形。
·例5 已知：如图，分别以△ABC 的三边为边长在BC 边的同侧面作等边△ABD 、△BCE 、△ACF ，连结DE 、EF 。
求证：四边形ADEF 是平行四边形。
例6 如图，△ABC 为等边三角形，D 、F 分别为CB 、BA 上的点，且CD=BF ，以AD 为一边作等边△ADE 。
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你还有其他 的证明方法 吗？
变式
在上题中，若点E，F 分别在AC 两侧的延长线上， 如图，其他条件不变，结论还成立吗？请证明你的结论． E A D
O B
C F
练习：如图，AB=DC=EF，AD=BC， DE=CF，图中有哪些互相平行的线段？ 解：图中互相平行的线段有： AB//DC//EF， AD//BC， DE//CF B 理由如下：
思考 你能说出它们的逆命题吗？
我们得到的这些逆命题都成立吗？这就是今天我们要一起 来探讨的问题：
如图将两组长度分别相等的木条做成一个
四边形，使等长的木条成为对边．转动这 个四边形，使它形状改变，在图形变化的 过程中，它一直是一个平行四边形吗？如 何验证它是平行四边形呢？
能否将你的探索结论 作为平行四边形的一 种判别方法？你能用 文字语言表述出来吗？
在数学的天地里，重要的
不是我们知道什么，而是 我们怎么知道什么。
——毕达哥拉斯
第十八章 平行四边形
布尔津县布尔津镇初级中学 王春花
1、平行四边形的定义是什么?用符号语言表示? 2、平行四边形有哪些性质?
边
平行四边形的对边相等
平行四边形的性质： 角 平行四边形的对角相等 对角线 平行四边形的对角线互相平分
活动二
如图将两根细木条AC、BD的中点 重叠，做成一个四边形ABCD． 转动两 根木条，四边形ABCD一直是一个平行 四边形吗？
试一试
请你识别下列四边形哪些是平行四边形?为什么？
A
O B
A
D
A
7.6㎝
D
4.8㎝
C
⑴
4.8㎝
B D
110°
⑶
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ7.6㎝
C
110°
70°
B
⑵
C
例3 如图：平行四边形ABCD的对角线 AC、BD相交 于点O，E、F是AC上的两点， 并且AE=CF，求证: 四边形BFDE是平 行四边形。
AB=DC AD=BC A
D E
C
F
四边形ABCD 是平行四边形 四边形CDEF 是平行四边形
AD∥BC
AB∥DC DC∥EF
DE∥CF
DC=EF
DE=CF
AB∥ DC∥EF
本课小结
说出你这节课的收获和体验让大 家与你分享！