辛普森法则

辛普森法則 - 數值積分(二)

在許多的實際問題中，常會遇到無法由積分方法求出的定積分。此類的定積分，我們可借由數值方法去求它的近似值，在此僅介紹二種較常用的方法，有興趣的讀者可閱讀數值分析(Numerical analysis)之書籍。

。

辛普森法則(Simpson’s Rule)

若()f x 在[,]a b 上有定義，將區間[,]a b 分割為n 等分(取n 為偶數)，既012n a x x x x b =<<<<= ，其中,0,1,,i x a i x i n =+∆∀= ，b a

x n

-∆=。 這裡我們想用過001122(,()),(,()),(,())x f x x f x x f x 三點的拋物線

2()g x x x αβγ=++來取代()f x 在02[,]x x 的定義，進而求出它的近似積分值1A (如圖6-3)，最後用連加的方式求得()f x 在[,]a b 上的近似積分。由假設我們有

20000220202111122222()()()()22()()f x g x x x x x x x f x g x x x f x g x x x αβγαβγαβγαβγ

⎧==++⎪⎪++⎛⎫⎛⎫

==++=++⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪

⎪==++⎩

圖6-3

令

220

0()()x x x x f x dx g x dx ≈⎰

⎰

20

2x x x x dx αβγ=++⎰

2

323

2

x x x x x α

β

γ=

+

+

3322202020()()()3

2

x x x x x x α

β

γ=

-+

-+-

222

02020022()4()322x x x x x x x x x αβγαβγαβγ⎡⎤⎛⎫++∆⎛⎫⎛⎫=++++++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦

012[()4()()]3

x

f x f x f x ∆=

++

所以

240

2

2

()()n n b x x x a

x x x f x dx f x dx -=+++⎰

⎰⎰⎰

012234[()4()()][()4()()]33

x x

f x f x f x f x f x f x ∆∆≈

++++++ 21[()4()()]3

n n n x

f x f x f x --∆+++ 01234[()4()2()4()2()3

x

f x f x f x f x f x ∆=

+++++ 212()4()()]n n n f x f x f x --+++ 若令01221[()4()2()2()4()()]3

n n n n x

S f x f x f x f x f x f x --∆=

++++++ ，且(4)()f x 在[,]a b 上連續，則我們可估計出辛普森法則的誤差值為 5

(4)4()()max |()|180b n n a

a x b

b a E f x dx S f x n

≤≤-=-≤⎰

例題1. 試用辛普森法則估計2

10

x e

dx -⎰，取6n =。

解：令2()x f x e -=，1

6

x ∆=，則

所以

2

10

1

[140.972620.894840.778820.641240.49940.3679]18

x e dx -≈

+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⎰

0.7468=