pdf1.6多项式的根(线性代数)
线性代数公式必背完整归纳清晰版
线性代数必背公式(完全整理版)2010.41、行列式1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式；2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=-4. 设n 行列式D ：将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)21(1)n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D ，则(1)22(1)n n D D -=-；将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =；将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；⑤、拉普拉斯展开式：A O A C AB CB O B==、(1)m n CA OA AB B OB C==-⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)nnk n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式；7. 证明0A =的方法：①、A A =-； ②、反证法；③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值；2、矩阵1.A 是n 阶可逆矩阵：⇔0A ≠（是非奇异矩阵）；⇔()r A n =（是满秩矩阵） ⇔A 的行（列）向量组线性无关；⇔齐次方程组0Ax =有非零解； ⇔n b R ∀∈，Ax b =总有唯一解；⇔A 与E 等价；⇔A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； ⇔A 的特征值全不为0； ⇔T A A 是正定矩阵；⇔A 的行（列）向量组是n R 的一组基； ⇔A 是n R 中某两组基的过渡矩阵；2. 对于n 阶矩阵A ：**AA A A A E == 无条件恒成立；3.1**111**()()()()()()T T T T A A A A A A ----=== ***111()()()T T TAB B A AB B A AB B A ---===4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆：若12s A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则： Ⅰ、12s A A A A =；Ⅱ、111121s A A A A ----⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； ②、111A O A O O B O B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（主对角分块） ③、111O A O B B O A O ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（副对角分块） ④、11111A C A A CB O B OB -----⎛⎫-⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯） ⑤、11111A O A O C B B CA B -----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯） 3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个m n ⨯矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：rm nEO F OO ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭； 等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A 、B ，若()()r A r B A B = ⇔ ； 2. 行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）①、若(,)(,)rA E E X ，则A 可逆，且1X A -=；②、对矩阵(,)A B 做初等行变化，当A 变为E 时，B 就变成1A B -，即：1(,)(,)cA B E A B - ~ ；③、求解线形方程组：对于n 个未知数n 个方程Ax b =，如果(,)(,)rA b E x ，则A 可逆，且1x A b -=； 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；②、12n ⎛⎫⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭λλλ，左乘矩阵A ，i λ乘A 的各行元素；右乘，iλ乘A 的各列元素；③、对调两行或两列，符号(,)E i j ，且1(,)(,)E i j E i j -=，例如：1111111-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④、倍乘某行或某列，符号(())E i k ，且11(())(())E i k E i k -=，例如：1111(0)11k k k -⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ⑤、倍加某行或某列，符号(())E ij k ,且1(())(())E ij k E ij k -=-，如：11111(0)11k k k --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；5. 矩阵秩的基本性质：①、0()min(,)m n r A m n ⨯≤≤；②、()()T r A r A =； ③、若AB ，则()()r A r B =；④、若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+；（※） ⑥、()()()r A B r A r B +≤+；（※） ⑦、()min((),())r AB r A r B ≤；（※）⑧、如果A 是m n ⨯矩阵，B 是n s ⨯矩阵，且0AB =，则：（※） Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解（转置运算后的结论）；Ⅱ、()()r A r B n +≤⑨、若A 、B 均为n 阶方阵，则()()()r AB r A r B n ≥+-；6. 三种特殊矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）⨯行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；②、型如101001a c b ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭的矩阵：利用二项展开式；二项展开式：01111110()nnnn m n mmn n n nm m n mnnnnnn m a b C a C a b C ab Ca bC b C a b -----=+=++++++=∑；注：Ⅰ、()n a b +展开后有1n +项；Ⅱ、0(1)(1)!1123!()!--+====-m n n n n n n n m n C C C m m n mⅢ、组合的性质：111102---+-===+==∑nmn m mm m r nr r nnn n nnn n r C C CC CCrC nC ；③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵：①、伴随矩阵的秩：*()()1()10()1nr A n r A r A n r A n = ⎧⎪==-⎨⎪<-⎩； ②、伴随矩阵的特征值：*1*(,)AAAX X A A A A X X λλλ- == ⇒ =；③、*1A A A -=、1*n A A-=8. 关于A 矩阵秩的描述：①、()r A n =，A 中有n 阶子式不为0，1n +阶子式全部为0；（两句话）②、()r A n <，A 中有n 阶子式全部为0； ③、()r A n ≥，A 中有n 阶子式不为0；9. 线性方程组：Ax b =，其中A 为m n ⨯矩阵，则：①、m 与方程的个数相同，即方程组Ax b =有m 个方程；②、n 与方程组得未知数个数相同，方程组Ax b =为n 元方程； 10. 线性方程组Ax b =的求解：①、对增广矩阵B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；11. 由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程：①、11112211211222221122n n n n m m nm n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++= ⎧⎪+++= ⎪⎨⎪⎪+++=⎩；②、1112111212222212n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax b a a a x b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⇔= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（向量方程，A 为m n ⨯矩阵，m 个方程，n 个未知数） ③、()1212n n x x a a a x β⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭（全部按列分块，其中12n b b b β⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭）；④、1122n n a x a x a x β+++=（线性表出）⑤、有解的充要条件：()(,)r A r A n β=≤（n 为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1.m 个n 维列向量所组成的向量组A ：12,,,m ααα构成n m ⨯矩阵12(,,,)m A =ααα；m 个n 维行向量所组成的向量组B ：12,,,T TTmβββ构成m n ⨯矩阵12T T T m B βββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； 含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2. ①、向量组的线性相关、无关 0Ax ⇔=有、无非零解；（齐次线性方程组）②、向量的线性表出 Ax b ⇔=是否有解；（线性方程组） ③、向量组的相互线性表示 AX B ⇔=是否有解；（矩阵方程） 3. 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax =和0Bx =同解；(101P 例14) 4. ()()T r A A r A =；(101P 例15) 5.n 维向量线性相关的几何意义：①、α线性相关⇔0α=； ②、,αβ线性相关 ⇔,αβ坐标成比例或共线（平行）；③、,,αβγ线性相关 ⇔,,αβγ共面；6. 线性相关与无关的两套定理：若12,,,s ααα线性相关，则121,,,,s s αααα+必线性相关；若12,,,s ααα线性无关，则121,,,s ααα-必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r 维向量组A 的每个向量上添上n r -个分量，构成n 维向量组B ：若A 线性无关，则B 也线性无关；反之若B 线性相关，则A 也线性相关；（向量组的维数加加减减） 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组A （个数为r ）能由向量组B （个数为s ）线性表示，且A 线性无关，则r s ≤(二版74P 定理7)；向量组A 能由向量组B 线性表示，则()()r A r B ≤；（86P 定理3） 向量组A 能由向量组B 线性表示AX B ⇔=有解； ()(,)r A r A B ⇔=（85P 定理2）向量组A 能由向量组B 等价()()(,)r A r B r A B ⇔ ==（85P 定理2推论）8. 方阵A 可逆⇔存在有限个初等矩阵12,,,l P P P ，使12l A P P P =；①、矩阵行等价：~rA B PA B ⇔=（左乘，P 可逆）0Ax ⇔=与0Bx =同解②、矩阵列等价：~cA B AQ B ⇔=（右乘，Q 可逆）； ③、矩阵等价：~A B PAQ B ⇔=（P 、Q 可逆）； 9.对于矩阵m n A ⨯与l n B ⨯：①、若A 与B 行等价，则A 与B 的行秩相等；②、若A 与B 行等价，则0Ax =与0Bx =同解，且A 与B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性； ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵A 的行秩等于列秩； 10.若m s s n m n A B C ⨯⨯⨯=，则：①、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示，B 为系数矩阵； ②、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示，T A 为系数矩阵；（转置）11.齐次方程组0Bx =的解一定是0ABx =的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明； ①、0ABx = 只有零解0Bx ⇒ =只有零解；②、0Bx = 有非零解0ABx ⇒ =一定存在非零解；12. 设向量组12:,,,n r r B b b b ⨯可由向量组12:,,,n s s A a a a ⨯线性表示为：（110P 题19结论）1212(,,,)(,,,)r s b b b a a a K =（B AK =）其中K 为s r ⨯，且A 线性无关，则B 组线性无关()r K r ⇔=；（B 与K 的列向量组具有相同线性相关性） （必要性：()()(),(),()r r B r AK r K r K r r K r ==≤≤∴=；充分性：反证法）注：当r s =时，K 为方阵，可当作定理使用；13. ①、对矩阵m n A ⨯，存在n m Q ⨯，m AQ E = ()r A m ⇔=、Q 的列向量线性无关；（87P ） ②、对矩阵m n A ⨯，存在n m P ⨯，n PA E = ()r A n ⇔=、P 的行向量线性无关； 14. 12,,,s ααα线性相关⇔存在一组不全为0的数12,,,s k k k ，使得11220s s k k k ααα+++=成立；（定义）⇔1212(,,,)0s s x xx ααα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭有非零解，即0Ax =有非零解；⇔12(,,,)s r s ααα<，系数矩阵的秩小于未知数的个数；15. 设m n ⨯的矩阵A 的秩为r ，则n 元齐次线性方程组0Ax =的解集S 的秩为：()r S n r =-；16. 若*η为Ax b =的一个解，12,,,n r ξξξ-为0Ax =的一个基础解系，则*12,,,,n r ηξξξ-线性无关；（111P 题33结论）5、相似矩阵和二次型1. 正交矩阵T A A E ⇔=或1T A A -=（定义），性质：①、A 的列向量都是单位向量，且两两正交，即1(,1,2,)0T i j i j a a i j n i j=⎧==⎨≠⎩；②、若A 为正交矩阵，则1T A A -=也为正交阵，且1A =±；③、若A 、B 正交阵，则AB 也是正交阵； 注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 2. 施密特正交化：12(,,,)r a a a11b a =；1222111[,][,]b a b a b b b =-121121112211[,][,][,][,][,][,]r r r r r r r r r b a b a b a b a b b b b b b b b b ----=----;3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交； 4. ①、A 与B 等价 ⇔A 经过初等变换得到B ；⇔=PAQ B ，P 、Q 可逆； ()()⇔=r A r B ，A 、B 同型；②、A 与B 合同 ⇔=T C AC B ，其中可逆； ⇔T x Ax 与T x Bx 有相同的正、负惯性指数； ③、A 与B 相似 1-⇔=P AP B ； 5. 相似一定合同、合同未必相似；若C 为正交矩阵，则T C AC B =⇒A B ，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）； 6. A 为对称阵，则A 为二次型矩阵； 7. n 元二次型T x Ax 为正定：A ⇔的正惯性指数为n ；A ⇔与E 合同，即存在可逆矩阵C ，使T C AC E =； A ⇔的所有特征值均为正数； A ⇔的各阶顺序主子式均大于0；0,0ii a A ⇒>>；(必要条件)。
数学中的根与因子多项式的解法
数学中的根与因子多项式的解法在数学领域中，根与因子多项式是一类常见的多项式函数。
它们在代数学和数论等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍根与因子多项式的解法，并探讨其相关性质和应用。
一、根与因子多项式的定义根与因子多项式是指具有特定根与因子的多项式函数。
根指的是多项式方程中使方程等于零的数值。
而因子指的是能够整除多项式的因式。
根与因子多项式是根与因子之间相互关联的一种表达方式。
一个多项式的根与因子可以用来确定该多项式的特征和性质。
二、根的解法根是一个多项式方程等于零的数值。
要求解根，我们需要根据多项式的特征来进行求解。
以下介绍几种常见的根的解法。
1. 代入法代入法是一种直观的求解根的方法。
我们可以将已知的数值代入给定的多项式中，看是否能够使方程成立。
如果能够找到合适的数值使得方程等于零，那么该数值就是方程的一个根。
2. 根与系数的关系多项式方程的根与其系数之间存在一定的关系。
以一元二次方程为例，设方程为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，x为未知数。
根据求根公式可知，方程的根与系数a、b、c之间存在一定的关系。
利用这种关系，我们可以通过已知的根来推导出方程的系数，或通过已知的系数来求解方程的根。
3. 因式分解法对于已知的多项式，我们可以通过因式分解的方法来求解根。
通过将多项式进行因式分解，我们可以得到各个因子，并将其与零进行比较，从而求得方程的根。
因式分解的过程需要运用到取因式公式等相关知识。
三、因子多项式的解法对于一个多项式，其因子是指能够整除该多项式的因式。
因子多项式的解法与根的解法有一定的相似性。
1. 整除法整除法是一种常见的求解因子的方法。
通过将多项式进行除法运算，我们可以求得多项式的因子。
具体求解过程中，我们将多项式除以其一个可能的因子，若商为另一个多项式，则说明该多项式为原多项式f(x) 的因子。
2. 根与因子的关系多项式的根与因子有着紧密的联系。
对于一个多项式方程，如果 x= a 是该方程的一个根，那么 (x - a) 就是该方程的一个因子。
多项式的根
的根.如果2是f ( x)的根，试确定其重数k,并把f ( x) 表示成f ( x) ( x - 2)k g( x)的形式.
2.6.3 多项式的根的个数
定理2.12 设f (x) F[x].如果0 f (x) n n 0，
若
f x g x,
则 f (c) g (c).
2.6.2 余式定理和因式定理
定理2.10（余式定理） 一次多项式x c
除多项式f x所得余式为f (c).
定义2.1 设f (x) F[x], c F . 如果 f (c) 0, 则称c是f (x)在F中的一个根.
定理2.11(因式定理) 设f ( x) F[x], c F . c是f ( x)的根当且仅当x - c是f ( x)的因式.
定义 设f ( x) F[x], c F .如果(x c)是f ( x)
的k重因式,则称c是f ( x)的k重根. 当k 1时，c称为 f ( x)的一个单根; k 1时，c 称为f ( x)的重根, k称为 c 的重数.
那么f (x)在F中最多有n个根(k重根按k个计).
推论2.12.1设f ( x) F[ x]. f ( x) 0当且仅当f ( x)在 F中有无穷多个根.
推论2.12.2 设f ( x), g( x) F[ x]. f ( x) g( x)当且 仅当它们确定的两个多项式函数相等.
推论2.12.3 设f ( x), g( x)是数域F上两个次数 n 的多项式. 如果对于F中n 1个不同的数c1,L ,cn1,有
说明：由. 推论2.12.3，数域F上满足以上条 件的多项式至多存在一个.事实上，利用拉格朗 日插值公式或待定系数法可以确定一个多项式.
§1.7 多项式函数与多项式的根
, an
是F中n个不同的数，
, bn 是F中任意n个数，能否确定一个n-1次多项
式 f x ，使
f ai bi , i 1,2,
,n
利用定理1.7.4可求一个n-1次多项式 f x , 使
f ai bi , i 1,2,
第一章 多项式
§1.7 多项式函数与多项式的根
一、多项式函数 1. 定义：设 f x a0 a1x
an xn F x , 对
c F , 数
x c 时 f x 的值，若 f c 0, 则称c为 f x 在
F中的根或零点。 2. 定义（多项式函数）：设 f x F x , 对
第一章 多项式
证：由带余除法：设 f x x c q x r,
有没有确定带余除法： 问题1、
f x x c q x r
中 q x 和 r 的简单方法？ 设 f x a0 xn a1xn1 an1x an
4a 2b c 7 a bc 2 4a 2b c 1
解之得
7 a6 3 b 2 2 c 3
解二（利用Lagrange公式）：
第一章 多项式
利用Lagrange插值公式可得：
7 x 1 x 2 2 x 2 x 2 x 2 x 1 f x 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 7 2 1 x 2 x 2 x 2 4 x 2 3x 2 4 3 12 7 2 3 2 x x 6 2 3
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多项式的根的分布问题-毕业论文
---文档均为word文档，下载后可直接编辑使用亦可打印---摘要本文主要考虑多项式的正根、负根的个数问题，通过介绍多项式的相关定理及符号原则，并举出实例，总结整理多项式的根的分布问题，把多项式的根的分布问题进行细致归纳．关键字：多项式；存在性；二分法；根ABSTRACTThis paper mainly considers the number of positive and negative roots of polynomials．By introducing the relatrd theorems and sign principles of polynomials，and gives examples．Summarizes and sorts out the root distribution of polynomials，and sums up the root distribution of polynomials in detail．Keywords：polynomial；exist；dichotomy；root目录摘要 (I)ABSTRACT............................................................................................................. I I 第1章绪论 (1)第2章多项式根的存在性 (2)2．1相关定理介绍 (2)2．2例题总结 (2)第3章多项式的根的确定性 (4)3．1奇次多项式的根的确定性 (4)3．2偶次多项式的根的确定性 (4)第4章笛卡尔符号原则 (8)4．1多项式的正根 (9)4．2多项式的负根 (9)第5章总结 (11)参考文献 (12)致谢 (13)第1章绪论在数论、代数的组成和数值代数等多个学科里面，都会将多项式作为它们知识网络的基础之一．多项式作为一个可以孤立的体系，也可以与其他的学科体系相联系，并与它们形成一个复杂而又明了的知识网络．在理论和实际应用方面，多项式有着多种多样的内容和作用，一般情况下，它在实际应用研究方面通常会对于某类特定情形下的多项式在一些概括的概念或特定的问题中帮助其求出答案；而在理论方面，就显得有较强的针对性，究其原因，还是取决于多项式它的封闭性、齐次性、可分解性、可约性等其它推导的各种性质．另外，在一些线性或非线性微分方程、常系数微分方程乃至其它微分动力系统中，我们可以利用多项式已知的各种性质来求得问题的近似解或者说是解的取值范围，得到它们特定式子根的实部情况，使所联系的系统达到稳定即可，而不用一定要得出所列多项式的精确解和它们的一切根．本文首先介绍多项式的相关理论基础（罗尔定理和零点定理），然后根据相关定理得到多项式的根的存在性以及根的确定性，其次介绍由笛卡尔符号原则得到多项式的正根、负根的个数的方法，并举出实例，解决多项式的正根、负根的个数的问题．通过总结整理多项式的根的分布问题，可以帮助我们快速准确的选解决多项式的根的问题，从而进一步加深我们对多项式的根的分布的掌握，把多项式的根的分布问题进行细致归纳．第2章多项式根的存在性2.1相关定理介绍罗尔定理和零点定理是高等数学微积分理论中的两个重要定理．在实际问题里，罗尔定理讨论多项式根中的应用非常多，主要取决于多项式的连续求导、次数随求导次数依次降级的性质．零点定理反映了闭区间上连续函数的一个性质，在有关方程根的存在性方面有着重要的应用．罗尔定理如果函数f(x)满足：（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)内可导；（3）f(a)=f(b)，那么在开区间(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使得f′(ξ)=0．[1]运用点一：如果想要讨论一个函数它的导数根是否存在，或当根存在时其取值范围和具体有哪几个，那么这个函数在定义域内是连续可导的，由罗尔定理不难看出，其导数方程至少有一个根会存在于多项式方程两个根之间．运用点二：若是将罗尔定理反过来看的话，我们可以发现：如果多项式方程f(x)=0没有解出来根，则方程f(x)=0最多有一个根．可以根据已知函数方程的根来求其它函数方程的跟，然后再根据零点定理，就可以得到“如果方程f′(x)=0没有根，则方程f(x)=0只有一个根．”这样的结论．零点定理设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号（即f(a)∙f(b)<0），则在开区间(a,b)内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点ζ(a<ζ<b)，使f(ζ)=0．[2]应用根据所给方程作辅助函数，再寻找闭区间，是辅助函数在该区间端点处的函数值异号．2.2例题总结例2.1 设函数f(x)=(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)，讨论方程f′(x)=0有几个实根，并分别指出他们所在的区间．分析：令f(x)=0，则 x=1、2、3、4，可得f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=0，再利用罗尔定理，即可得出结论．解：函数f(x)在（−∞,+∞）内处处可导，并且满足f(1)=f(2)=f(3)= f(4)=0，f(x)在区间[1,2]，[2,3]，[3,4]上分别满足罗尔定理的三个条件因此至少存在一点ξ1∈(1,2)，ξ2∈(2,3)，ξ3∈(3,4)使得f′(ξ1)=f′(ξ2)=f′(ξ3)=0即ξ1，ξ2，ξ3是f′(x)=0的三个实根，又因为f′(x)=0是三次方程，至多有三个实根，故f′(x)=0只有三个实根，分别在区间(1,2)，(2,3)，(3,4)内．例2.2 证明方程6x7+2x+a=0至多有一个根，其中a为任意常数．分析：用反证法，假设方程有两个不同的实根，再由罗尔定理可知其导数方程至少有一个根，从而产生矛盾，即可得出结论．证明：方程6x7+2x+a=0的导数方程42x6+2=0没有根假设方程6x7+2x+a=0有两个根，由罗尔定理可知其导数方程42x6+2=0至少有一个根．产生矛盾．所以方程6x7+2x+a=0有一个根．例2.3 证明方程2x3−5x2+1=0在区间(0,1)内至少有一个根．分析：在解决此类问题时，要牢记方程的根=函数的零点．通过区间端点值的正负来判断是否存在零点，即方程的根．证明：函数f(x)=2x3−5x2+1在闭区间[0,1]上连续又f(0)=1>0，f(1)=−2<0根据零点定理，在(0,1)内至少有一点ζ，使得f(ζ)=0即2ζ3−5ζ2+1=0(0<ζ<1)因此方程2x3−5x2+1=0在区间(0,1)内至少有一个根．第3章多项式的根的确定性3.1奇次多项式的根的确定性例3.1 奇次多项式必至少有一个实根．证明：设f(x)=a n x n+a n−1x n−1+⋯+a1x+a0(其中n为奇数)明显有f(x)为连续函数，当a n<0时有：lim(x→−∞)，f(x)=−∞lim(x→+∞)，f(x)=+∞由于f(x)是连续函数，所以f(x)至少有一个零点即f(x)至少有一个实数根．当a n<0时有：lim(x→−∞)，f(x)=+∞lim(x→+∞)，f(x)=−∞由于f(x)是连续函数，所以f(x)至少有一个零点即f(x)至少有一个实数根．综上所述：奇次多项式必至少有一个实根．3.2偶次多项式的根的确定性定理3.1 任何实系数四次方程ax4+bx3+cx2+dx+e=0如果满足下列两个条件之一：（1）a>0，e>0，c−14a b2−14ed2>0；（2）a<0，e<0，c−14a b2−14ed2<0；则方程无实根．[3]定理3.2 任意实系数六次方程a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0=0如果满足下列两个条件之一：（1）a6>0，a0>0，a4−14a6a52>0，a2−14(a4−14a6a5)a32−14a0a12>0；（2）a6>0，a0>0，a4−14a6a52>0，a2−1a4−14a6a52a32−14a0a12>0；则方程无实根．[3]定理3.3 任意实系数2 n次（n≥3为正整数）方程a2n x2n+a2n−1x2n−2+⋯+a1x+a0=0如果满足下列两个条件之一：（1）a2n>0，a0>0，a′2n−2=a2n−2−14a2n a2n−12>0，a′2n−4=a2n−4−14a′2n−2a2n−32>0，a′2n−6=a2n−6−14a′2n−4a2n−52>0，……，a′4=a4−14a′6a52>0 ，a′2=a2−14a′4a32−1(4a0)a12>0 ；（2）a2n<0，a0<0，a′2n−2<0，a′2n−4<0，a′2n−6<0，……，a′4<0，a′2<0，则方程无实根．[3]除定理3.1，定理3.2，定理3.3所述的情况方程无实根外，其他情况均有实根．当多项式的根的精确解得不到时，则用二分法得到近似解并估计误差．在数学分析中，若函数f在区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号（即f(a)∙f(b)<0），则至少存在一点x∗∈(a,b)，使得f(x∗)=0，即方程f(x)=0在(a,b)内至少有一个根，这就是根的存在定理．二分法求方程的近似实根基于根的存在定理的第一个方法称作二分法(或逐次分半法)．假设f是定义在区间[a,b]上的连续函数，且f(a)与f(b)反号．根据根的存在定理，在(a,b)内至少存在一个数x∗使得f(x∗)=0．为了简单起见设在这个区间内的根是唯一的．这种方法要求将[a,b]的子区间反复减半，在每一步找出含有x∗的那一半，直到区间长度不大于预设进度ε．二分法求方程根的步骤：第一步：输入有根区间端点a，b和计算精度ε；第二步：取区间[a,b]的中点x0；第三步：计算函数值f(a)，f(x0)，若f(x0)=0，则x0就为所求实根，输出x0结束算法，否则转第四步；第四步：若f(a)∙f(x0)<0，记a=a，b=x0；否则记a=x0，b=b，转第五步；第五步：若|b−a|≤ε，则输出x0=a+b，结束算法，否则转第二步．2二分法求方程根的MATLAB程序：function x=agui_bisect(fname,a,b, );fa=feval(fname,a);fb=feval(fname,b);if fa*fb>0 error(‘两端函数值为同号’)；endk=0;x0=(a+b)/2;while |b−a|≤εfx=feval(fname,x);if fa*fx<0;b=x;fb=fx;elsea=x;fa=fx;endk=k+1;x=(a+b)/2end例3.2 利用计算器，求方程lgx=3−x的一个近似解（精确到0.1）．分析：分别画函数y=lgx和y=3−x的图像，在两个函数图像的交点处，函数值相等．这个点的横坐标就是方程lgx=3−x的解．有函数y=lgx与y= 3−x的图像可发现，方程lgx=3−x有唯一解，记为x1，并且这个解在区间(2,3)内．解：图1设f(x)=lgx+x−3，利用计算器计算得f(2)<0，f(3)>0⇒x1∈(2,3)；f(2.5)<0，f(3)>0⇒x1∈(2.5,3)；f(2.5)<0，f(2.75)>0⇒x1∈(2.5,2.75)；f(2.5)<0，f(2.625)>0⇒x1∈(2.5,2.625)；f(2.5626)<0，f(2.625)>0⇒x1∈(2.5626,2.625)因为2.5625与2.625精确到0.1的近似值都为2.6，所以此方程的近似解为x1≈2.6．第4章笛卡尔符号原则设实系数多项式函数f(x)=a0x n+a1x n−1+⋯+a i x n−i+⋯+a n(a0≠0) (1)定理4.1 n次多项式f(x)至多有n个不同的根．[5]定理4.2（笛卡尔符号原则）对于多项式函数f(x)，它的正实根个数等于f(x)的非零系数的符号变化个数，或者等于比该变化个数小一个偶数的，数；f(x)的负实根个数等于f(−x)的非零系数的符号变化个数，或者等于比该变化个数小一个偶数的数．[6]定理4.3 设f(x)为实系数多项式，D(f)为f(x)的根的判别式，则当D(f)=0时，方程f(x)=0有重根；当D(f)<0时，方程f(x)=0无重根，且有奇数对虚根；当D(f)>0时，方程f(x)=0无重根，且有偶数对虚根．[6]对（1）式中的f(x)，D(f)定义为:D(f)=(−1)n(n−1)2a0−1R(f,f′)，其中f′为f(x)的导函数，R(f,f′)称为f和f′的结式,是由f(x)的各项系数确定的一个2n−1阶方阵R的行列式．如果当k>0或k<0时记a k=0，则R的第i行第j列的元素为r ij={a j−i, 当 1≤i≤n−1,(i−j+1)a j+n−i−1,当 n≤i≤2n−1.定理4.4(根的上下界定理) 设(1)式中a0>0，（1）若存在正实数M，当用x−M去对f(x)作综合除法时第三行数字仅出现正数或0，那么M就是f(x)的根的一个上界；（2）若存在不大于0的实数m，当用x−m去对f(x)作综合除法时第三行数字交替地出现正数（或0）和负数（或0）时，那么m就是f(x)的根的一个下界．定理4.5（判断根上下界的牛顿法）设有实数k，使f(k)，f′(k)，⋯，f m(k)，⋯，f n(k)均为非负数，或均为非正数，则方程f(x)=0的实根都小于k，这里f m(k)表示f(x)的m阶导数．[6]4.1多项式的正根想要求一个多项式的根，并且是正根，那么该怎样求呢？（1）通过定理4.1先求有多少个解；（2）通过定理4.2知道其中有几个可能是对的正实数根；（3）通过定理4.3计算该多项式的判别式，判别它有没有重根；若无重根，则根据定理4.3，当判别式大于零时，方程的根的个数与n相差4的倍数；反之，方程的根的个数与n−2相差4的倍数．（4）若判别式等于零，用辗转相除法求出f(x)和f′(x)的最大公因式(f(x),f′(x))，该公因式的根即为f(x)的重根，用带余除法将多项式将次．（5）利用定理4.4、定理4.5或用改写方程的方法找出多项式的根的上下界．例4.1 求多项式函数f(x)=x5−5x4+14x3−34x2+48x−24的实数根．分析：根据寻找多项式函数正根的方法及步骤，分步计算，即可求得该多项式函数的实根．解：由定理4.1知f(x)至多有5个实根；由定理4.2知f(x)有5个或3个或1个正根；计算D(f)，算出R(f,f′)≈4×10−8，因其绝对值远小于1，用矩阵的初等变换求出(f(x),f′(x))=x−2，知2为多项式的一个重根．用(x−2)2除原多项式，将多项式将次，得g(x)=x3−x2+6x−6；=x2+6．显然x2+6计算g(1)=0，知1为多项式的一个根，计算g(x)x−1无实根，故原多项式的实根为1和二重根2．4.2多项式的负根想要求一个多项式的根，并且是负根，那么该怎样求呢？（1）通过定理4.1先求有多少个解；（2）通过定理4.2知道其中有几个可能是对的负实数根；（3）通过定理4.3计算该多项式的判别式，判别它有没有重根；若无重根，则根据定理4.3，当判别式大于零时，方程的根的个数与n相差4的倍数；反之，方程的根的个数与n−2相差4的倍数．（4）若判别式等于零，用辗转相除法求出f(x)和f′(x)的最大公因式(f(x),f′(x))，该公因式的根即为f(x)的重根，用带余除法将多项式将次．（5）利用定理4.4、定理4.5或用改写方程的方法找出多项式的根的上下界．例4.2 求多项式函数f(x)=3x5−2x4−15x3+10x2+12x−8的实数根．分析：根据寻找多项式函数负根的方法及步骤，分步计算，即可求得该多项式函数的实根．解：由定理4.1知f(x)至多有5个实数根；由定理4.2知f(x)有3个或1个正根，有2个或0个负根；计算D(f)，算出R(f,f′)≈4×10−8，从而知D(f)>0，方程有1个或5个实根；因为f(x)=x3(3x2−2x−15)+(10x2+12x−8)，所以(1+√46)是f(x)的一个上界．3又因为f(x)=3x(x4−5x2+4)−2(x4−5x2+4)，所以-2是f(x)的一个下界；又f(x)=(3x−2)(x4−5x2+4)=(3x−2)(x2−1)(x2−4)即得到f(x)的所有实根有2、1、-1、2、-2．3图2第5章总结本文通过相关资料的收集与整理，对多项式的根的分布问题的相关理论和方法的介绍以及这些理论和方法在例题中的应用进行阐述．对于多项式的根的分布问题，先根据罗尔定理及零点定理判断根是否存在，并讨论根的确定性，当精确解得不到时，则用二分法得到多项式的近似解并估计误差，最后由笛卡尔原则得到多项式根的个数（多项式正实根个数等于f(x)的非零系数的符号变化个数，或者等于比该变化个数小一个偶数的数；多项式负实根个数等于f(−x)的非零系数的符号变化个数，或者等于比该变化个数小一个偶数的数．），由此解决多项式的根的分布问题．具体在求多项式函数实根的问题中，应根据题意选择具体简洁的步骤求解．学习数学的时候，数学思维是非常重要的，不断地学习数学理论和讨论数学实际问题，不但能锻炼思维能力，还能培养我们学习数学的兴趣．知识会越用越活，我们的大脑也越用越聪明．参考文献[1]李娟，关晓红．罗尔定理在讨论多项式方程的根中的应用[J]．牡丹江教育学院学报，2010(04)．114-114[2]闫广霞．零点定理的推广及其应用[J]．河北工业大学成人教育学院学报．2002年6月．17（2）1-2[3]杨宗培．实系数一元偶次代数方程无实根的判别法则[J]．南昌大学学报（工科版）．1982（1）：56-61[4]鲍克元．基于MATLAB中随机函数的求方程实根的方法探析[J]．数学之友．2016(24):3-3[5]张禾瑞，郝鈵新．高等代数[M]．第4版．北京：高等教育出版社，1999[6]黄永，康道坤．求多项式函数实数根的方法[J]．邵通学院学报．2007年．29（5）：8-11[7]周伯壎．高等代数[M]．第4版．北京：人民教育出版社，1966致谢随着本课题的完成，我心中不免涌出诸多情感，对我的指导老师xxx老师的感激之情也不禁踊跃到字里行间．自从成为老师的学生，我始终认为，王老师将是我终生学习的榜样．恩师不仅治学严谨，兢兢业业，教书育人方面更是极具耐心，言传身教、诲人不倦，而且做学问方面也是态度认真、思维敏捷，实乃我等榜样．论文上诸多信息和知识，都是老师平日里直接或间接所讲的内容，可以说，没有恩师孜孜不倦的教导，这篇论文我可能写不出来一半．感谢恩师在这次论文中，从选题，结构设计，编排样式等诸多方面给予的指导和帮助，这给了我有力的理论支撑和信息来源，才使得我的拙作更趋于完善．另外，感谢所有在我完成毕业论过程中帮助我所有朋友和同学们．。
线性代数：第一章多项式2
线性代数：第⼀章多项式2§6 重因式⼀、重因式的定义定义9 不可约多项式称为多项式的重因式,如果,但.如果，那么根本不是的因式；如果，那么称为的单因式；如果，那么称为的重因式.注意. 重因式和重因式是两个不同的概念,不要混淆.显然，如果的标准分解式为,那么分别是的重，重，… ,重因式.指数的那些不可约因式是单因式；指数的那些不可约因式是重因式.不可约多项式是多项式的重因式的充要条件是存在多项式,使得,且.⼆、重因式的判别设有多项式,规定它的微商（也称导数或⼀阶导数）是.通过直接验证,可以得出关于多项式微商的基本公式:同样可以定义⾼阶微商的概念.微商称为的⼀阶微商；的微商称为的⼆阶微商；等等. 的阶微商记为.⼀个次多项式的微商是⼀个次多项式；它的阶微商是⼀个常数；它的阶微商等于0.定理6 如果不可约多项式是多项式的⼀个重因式,那么是微商的重因式.分析: 要证是微商的重因式,须证,但.注意:定理6的逆定理不成⽴.如, ,是的2重因式,但根本不是是因式.当然更不是三重因式.推论1 如果不可约多项式是多项式的⼀个重因式,那么是，,…,的因式,但不是的因式.推论2 不可约多项式是多项式的重因式的充要条件是是与的公因式.推论3 多项式没有重因式这个推论表明，判别⼀个多项式有⽆重因式可以通过代数运算——辗转相除法来解决，这个⽅法甚⾄是机械的.由于多项式的导数以及两个多项式互素与否的事实在由数域过渡到含的数域时都⽆改变,所以由定理6有以下结论:若多项式在中没有重因式,那么把看成含的某⼀数域上的多项式时, 也没有重因式.例1 判断多项式有⽆重因式三、去掉重因式的⽅法设有重因式,其标准分解式为.那么由定理5此处不能被任何整除.于是⽤去除所得的商为这样得到⼀个没有重因式的多项式.且若不计重数, 与含有完全相同的不可约因式.把由找的⽅法叫做去掉重因式⽅法.例2 求多项式的标准分解式.§7 多项式函数到⽬前为⽌，我们始终是纯形式地讨论多项式，也就是把多项式看作形式表达式.在这⼀节，将从另⼀个观点，即函数的观点来考察多项式.⼀、多项式函数设(1)是中的多项式，是中的数，在(1)中⽤代所得的数称为当时的值,记为.这样，多项式就定义了⼀个数域上的函数.可以由⼀个多项式来定义的函数就称为数域上的多项式函数.因为在与数域中的数进⾏运算时适合与数的运算相同的运算规律，所以不难看出，如果那么定理7(余数定理)⽤⼀次多项式去除多项式，所得的余式是⼀个常数，这个常数等于函数值.如果在时函数值，那么就称为的⼀个根或零点.由余数定理得到根与⼀次因式的关系.推论是的根的充要条件是.由这个关系，可以定义重根的概念. 称为的重根，如果是的重因式.当时，称为单根；当时，称为重根.定理8 中次多项式在数域中的根不可能多于个，重根按重数计算.⼆、多项式相等与多项式函数相等的关系在上⾯看到，每个多项式函数都可以由⼀个多项式来定义.不同的多项式会不会定义出相同的函数呢？这就是问，是否可能有,⽽对于中所有的数都有由定理8不难对这个问题给出⼀个否定的回答.定理9 如果多项式,的次数都不超过,⽽它们对n+1个不同的数有相同的值即,,那么=.因为数域中有⽆穷多个数，所以定理9说明了，不同的多项式定义的函数也不相同.如果两个多项式定义相同的函数，就称为恒等，上⾯结论表明，多项式的恒等与多项式相等实际上是⼀致的.换句话说，数域上的多项式既可以作为形式表达式来处理，也可以作为函数来处理.但是应该指出，考虑到今后的应⽤与推⼴，多项式看成形式表达式要⽅便些.三、综合除法根据余数定理,要求当时的值,只需⽤带余除法求出⽤除所得的余式.但是还有⼀个更简便的⽅法,叫做综合除法.设并且设. (2)其中⽐较等式(2)中两端同次项的系数.得到这样,欲求系数,只要把前⼀系数乘以再加上对应系数,⽽余式也可以按照类似的规律求出.因此按照下表所指出的算法就可以很快地陆续求出商式的系数和余式:表中的加号通常略去不写.例1 ⽤除.例2 求使能被整除注意 :若缺少某⼀项,在作综合除法时该项系数的位置要补上零.四、拉格朗⽇插值公式已知次数的多项式在的值.设依次令代⼊,得这个公式叫做拉格朗⽇(Lagrange)插值公式.例3 求次数⼩于3的多项式,使.下⾯介绍将⼀个多项式表成⼀次多项式的⽅幂和的⽅法.所谓次多项式表成的⽅幂和，就是把表⽰成的形式.如何求系数，把上式改写成,就可看出就是被除所得的余数，⽽就是被除所得的商式.⼜因为.⼜可看出是商式被除所得的余式，⽽.就是被除所得商式.这样逐次⽤除所得的商式，那么所得的余数就是.例4 将展开成的多项式.解令，则.于是.问题变为把多项式表成（即）的⽅幂和,-2 | 1 2 -3 1 5+) -2 0 6 -14--------------------------------------------------------2 | 1 0 -3 7 | -9+) -2 4 -2-------------------------------------------------------2 | 1 -2 1 | 5+) -2 8------------------------------------------------2 | 1 -4 | 9+) -2----------------------------------1 | -6所以.注意：将表成的⽅幂和，把写在综合除法的左边，将的⽅幂和展开成的多项式，那么相当于将表成的⽅幂和，要把写在综合除法的左边.§8 复系数和实系数多项式的因式分解⼀、复系数多项式因式分解定理代数基本定理每个次数的复系数多项式在复数域中有⼀个根.利⽤根与⼀次因式的关系，代数基本定理可以等价地叙述为：每个次数的复系数多项式在复数域上⼀定有⼀个⼀次因式.由此可知，在复数域上所有次数⼤于1的多项式都是可约的.换句话说，不可约多项式只有⼀次多项式.于是，因式分解定理在复数域上可以叙述成：复系数多项式因式分解定理每个次数的复系数多项式在复数域上都可以唯⼀地分解成⼀次因式的乘积.因此，复系数多项式具有标准分解式其中是不同的复数，是正整数.标准分解式说明了每个次复系数多项式恰有个复根（重根按重数计算）.⼆、实系数多项式因式分解定理对于实系数多项式，以下事实是基本的：如果是实系数多项式的复根，那么的共轭数也是的根,并且与有同⼀重数.即实系数多项式的⾮实的复数根两两成对.实系数多项式因式分解定理每个次数的实系数多项式在实数域上都可以唯⼀地分解成⼀次因式与含⼀对⾮实共轭复数根的⼆次因式的乘积.实数域上不可约多项式,除⼀次多项式外,只有含⾮实共轭复数根的⼆次多项式.因此，实系数多项式具有标准分解式其中全是实数，,是正整数，并且是不可约的，也就是适合条件..代数基本定理虽然肯定了次⽅程有个复根，但是并没有给出根的⼀个具体的求法.⾼次⽅程求根的问题还远远没有解决.特别是应⽤⽅⾯，⽅程求根是⼀个重要的问题，这个问题是相当复杂的，它构成了计算数学的⼀个分⽀.三、次多项式的根与系数的关系.令(1)是⼀个(>0)次多项式,那么在复数域中有个根因⽽在中完全分解为⼀次因式的乘积:展开这⼀等式右端的括号,合并同次项,然后⽐较所得出的系数与(1)式右端的系数,得到根与系数的关系.其中第个等式的右端是⼀切可能的个根的乘积之和,乘以.若多项式的⾸项系数那么应⽤根与系数的关系时须先⽤除所有的系数,这样做多项式的根并⽆改变.这时根与系数的关系取以下形式:利⽤根与系数的关系容易求出有已知根的多项式.例1 求出有单根5与-2,有⼆重根3的四次多项式.例2. 分别在复数域和实数域上分解为标准分解式.§9 有理系数多项式作为因式分解定理的⼀个特殊情形，有每个次数≥1的有理系数多项式都能分解成不可约的有理系数多项式的乘积.但是对于任何⼀个给定的多项式，要具体地作出它的分解式却是⼀个很复杂的问题，即使要判别⼀个有理系数多项式是否可约也不是⼀个容易解决的问题，这⼀点是有理数域与复数域、实数域不同的.在这⼀节主要是指出有理系数多项式的两个重要事实：第⼀，有理系数多项式的因式分解的问题，可以归结为整（数）系数多项式的因式分解问题，并进⽽解决求有理系数多项式的有理根的问题.第⼆，在有理系数多项式环中有任意次数的不可约多项式.⼀、有理系数多项式的有理根设是⼀个有理系数多项式.选取适当的整数乘，总可以使是⼀个整系数多项式.如果的各项系数有公因⼦，就可以提出来，得到,也就是其中是整系数多项式，且各项系数没有异于±1的公因⼦.如果⼀个⾮零的整系数多项式的系数没有异于±1的公因⼦,也就是说它们是互素的,它就称为⼀个本原多项式.上⾯的分析表明，任何⼀个⾮零的有理系数多项式都可以表⽰成⼀个有理数与⼀个本原多项式的乘积，即.可以证明，这种表⽰法除了差⼀个正负号是唯⼀的.亦即，如果,其中都是本原多项式，那么必有因为与只差⼀个常数倍，所以的因式分解问题，可以归结为本原多项式的因式分解问题.下⾯进⼀步指出，⼀个本原多项式能否分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积与它能否分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积的问题是⼀致的.定理10(Gauss 引理) 两个本原多项式的乘积还是本原多项式.定理11 如果⼀⾮零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它⼀定可以分解两个次数较低的整系数多项式的乘积.以上定理把有理系数多项式在有理数域上是否可约的问题归结到整系数多项式能否分解成次数较低的整系数多项式的乘积的问题.推论设，是整系数多项式，且是本原多项式，如果，其中是有理系数多项式，那么⼀定是整系数多项式.这个推论提供了⼀个求整系数多项式的全部有理根的⽅法.定理12 设是⼀个整系数多项式.⽽是它的⼀个有理根,其中互素,那么(1) ;特别如果的⾸项系数，那么的有理根都是整根，⽽且是的因⼦.(2)其中是⼀个整系数多项式.给了⼀个整系数多项式,设它的最⾼次项系数的因数是,常数项的因数是那么根据定理12,欲求的有理根,只需对有限个有理数⽤综合除法来进⾏试验.当有理数的个数很多时,对它们逐个进⾏试验还是⽐较⿇烦的.下⾯的讨论能够简化计算.⾸先,1和-1永远在有理数中出现,⽽计算与并不困难.另⼀⽅⾯,若有理数是的根,那么由定理12,⽽也是⼀个整系数多项式.因此商都应该是整数.这样只需对那些使商都是整数的来进⾏试验.(我们可以假定与都不等于零.否则可以⽤或除⽽考虑所得的商.)例1 求多项式的有理根.例2 证明在有理数域上不可约.⼆、有理数域上多项式的可约性定理13 (艾森斯坦(Eisenstein)判别法) 设是⼀个整系数多项式.若有⼀个素数,使得1. ;2. ;3. .则多项式在有理数域上不可约.由艾森斯坦判断法得到:有理数域上存在任意次的不可约多项式.例如.,其中是任意正整数.艾森斯坦判别法的条件只是⼀个充分条件.有时对于某⼀个多项式,艾森斯坦判断法不能直接应⽤,但把适当变形后,就可以应⽤这个判断法.例3 设是⼀个素数,多项式叫做⼀个分圆多项式,证明在中不可约.证明：令，则由于,,令，于是,由艾森斯坦判断法，在有理数域上不可约，也在有理数域上不可约.第⼀章多项式(⼩结)⼀元多项式理论,主要讨论了三个问题:整除性理论(整除,最⼤公因式,互素);因式分解理论(不可约多项式,典型分解式,重因式);根的理论(多项式函数,根的个数).其中整除性是基础,因式分解是核⼼.⼀、基本概念.1.⼀元多项式(零多项式),多项式的次数.多项式的相等,多项式的运算,⼀元多项式环.2．基本结论:(1) 多项式的加法,减法和乘法满⾜⼀些运算规律.(2)(3) 多项式乘积的常数项(最⾼次项系数)等于因⼦的常数项(最⾼次项系数)的乘积.⼆、整除性理论1.整除的概念及其基本性质.2.带余除法.(1) 带余除法定理.(2) 设.因此多项式的整除性不因数域的扩⼤⽽改变.3. 最⼤公因式和互素.(1) 最⼤公因式,互素的概念.(2) 最⼤公因式的存在性和求法------辗转相除法.(3) 设是与的最⼤公因式,则.反之不然.(4) .(5)三、因式分解理论1.不可约多项式(1) 不可约多项式的概念.(2) 不可约多项式p(x)有下列性质:(3) 整系数多项式在有理数域上可约它在整数环上可约.(4) 艾森斯坦判断法.2.因式分解的有关结果:(1) 因式分解及唯⼀性定理.(2) 次数⼤于零的复系数多项式都可以分解成⼀次因式的乘积.(3) 次数⼤于零的实系数多项式都可以分解成⼀次因式和⼆次不可约因式的乘积.3.重因式(1) 重因式的概念.(2) 若不可约多项式是的重因式,则是的重因式.(3) 没有重因式.(4) 消去重因式的⽅法:是⼀个没有重因式的多项式,它与具有完全相同的不可约因式.四、多项式根的理论1.多项式函数,根和重根的概念.2.余数定理.去除所得的余式为,则3.有理系数多项式的有理根的求法.4.实系数多项式虚根成对定理.5.代数基本定理.每个次复系数多项式在复数域中⾄少有⼀个根.因⽽次复系数多项式恰有个复根(重根按重数计算).6.韦达定理.7.根的个数定理.F[x]中次多项式在数域F中⾄多有个根.8.多项式函数相等与多项式相等是⼀致的.重点:⼀元多项式的因式分解理论.难点:最⼤公因式的概念,多项式的整除,互素和不可约多项式等概念之间的联系与区别.本章主要内容之间的内在联系可⽤下列图表表⽰:。
多项式根的定位与估计
那么由 引 理 圆 ， 矩 阵 粤 的 特 征 值 必 定 位 于 圆 盘 Ω员 越｛ 曾： 曾 ≤ 员 ｝ 或 圆 盘 Ω圆 越｛ 曾： 曾 原 （ 原 遭员 ） ≤
灶
原 遭灶 园 园 。 园
曾 ∈ Ω圆 ， 但 曾 Ω员 ， 那么它将导出矛盾。因为 曾Ω员 ， 因此有 曾 跃 员 ， 从而下列不等式成立： （ 曾 原 员） 早 （ 曾） ≥ 曾
阅藻糟援 圆园员员 灾燥造援 圆苑摇 晕燥援 源
多项式根的定位与估计
（ 重庆大学 数学与统计学院， 摇 重庆 源园员猿猿员 ）
曹海松， 摇 伍俊良
［摘摇 要］ 摇 将多项式的根的估计与定位和矩阵特征值的估计与定位联系起来， 讨论数论命题 ［ 关摇 键摇 词］ 摇 多项式； 摇 根； 摇 友矩阵； 摇 估计与定位 中几类特殊的多项式特征根的估计方法， 得到一般多项式的特征根的估计方法。 ［ 中图分类号］ 摇 韵员苑源援 员源摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 ［ 文献标识码］ 摇 粤
栽
员 员 栽 月 越 员 员
Байду номын сангаас
员 园 园 ， 园 … … … …
园
园
园
员
园 园 。 员 园
｛ 曾： 曾 原 员 ≤员 ｝ 和 Ω圆 越 ｛ 曾： 曾 ≤圆 ｝ 以及 Ω猿 越 ｛ 曾： 曾 ≤员 ｝ 的几何意义 （ 理论上也是一致的） 可直接 Ω员 越 得到定理的第二部分。
灶 躁 越员 躁≠ 蚤 灶
早 （ 曾 ） 越 曾 垣 遭员 曾 灶 原 员 垣 … 垣 遭 灶 原 员 曾 垣 遭 灶 。
原 遭灶 园 园 的特征多项式为 园
猿摇 主要结果
线性代数(同济六版)知识点总结
1. 二阶行列式--------对角线法则:2. 三阶行列式 ①对角线法则②按行（列）展开法则3. 全排列：n 个不同的元素排成一列。
所有排列的种数用 表示，= n ！ 逆序数：对于排列…，如果排在元素前面，且比大的元素个数有个，则这个元素的逆序数为。
整个排列的逆序数就是所有元素的逆序数之和。
奇排列：逆序数为奇数的排列。
偶排列：逆序数为偶数的排列。
n 个元素的所有排列中，奇偶各占一半，即 对换：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性. 4.其中： 是1,2,3的一个排列，t()是排列的逆序数5.下三角行列式: 副三角跟副对角相识对角行列式： 副对角行列式：6. 行列式的性质： ①行列式与它的转置行列式相等. （转置：行变列，列变行）。
D= ②互换行列式的两行（列），行列式变号。
推论 ：两行（列）相同的行列式值为零。
互换两行： ③行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个数k ，等于用数 k 乘此行列式。
第i 行乘k ： x k 推论 ：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面 ④行列式中如果有两行（列）元素成比例 ，则此行列式等于0⑤若行列式的某一列（行）的元素都是两个元素和，则此行列式等于两个行列式之和。
如：⑥把行列式的某行（列）的各元素同一倍数后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变。
如第j 列的k 倍加到第i 列上：333231232221131211a a a a a a a a a 3221312312332211a a a a a a a a a 13++=312213332112322311a a a a a a a a a ---32132123312322211312113j 2j 1j )j jt (j 33a a a a a a a a a a a a 1)(∑-=n n 2211n n n 2n 1222111...a a a a ...a a 0a a a = n...λλλλλλ21n 21= n21λλλn 2121)n(n λλλ1)( --=n n n j n jn 2n 12n 2j 2j 22211n 1j 1j 1211a )c (b a a a )c (b a a a )c (b a a+++n n n j n 2n 12n2j 22211n 1j 1211n n n j n 2n 12n 2j 22211n 1j 1211a c a a a c a a a c a a a b a a a b a a a b a a +=n n n j n j n in 12n 2j 2j 2i 211n 1j 1j 1i 11a a ka a a a a ka a a a a ka a a+++n nn j n i n 12n2j 2i 211n 1j 1i 11a a a a a a a a a a a a =7. 重要性质：利用行列式的性质或，可以把行列式化为上（下）三角行列式，从而计算n 阶 行列式的值。
物理学中的群论第一章线性代数
物理学中的群论第⼀章线性代数物理学中的群论第⼀章线性代数声明：这是我根据黄飞⽼师上课内容记的笔记（易懂）。
教材：马中骐的物理学中的群论书（不好懂，所以我没看）。
希望对学群论的⼈有所帮助。
这两章线性代数考试不会考，但⾮常重要，后⾯都在⽤。
1.1节线性空间和⽮量基1.⽮量基有加法和数乘、⼀组线性⽆关的客体2.⽮量3.m维线性空间：就是定义了加法和数乘m个基⽮量对应m维简单来说，线性空间就是⽮量空间，线性空间中只有加法和数乘（即只有两个⽮量相加、数乘），但是没有⽮量乘法，也没有长度这样的概念。
如果在线性空间中引⼊点乘，长度、垂直的概念，此时称为内积空间。
线性空间性质：4.实线性空间：5.⽮量、基⽮量的矩阵表⽰⽮量矩阵表⽰：列矩阵基⽮量矩阵表⽰：、、按基⽮量展开，其第个分量为基⽮量矩阵表⽰是只有⼀个分量为1，其他分量为零的列矩阵。
6.线性空间的维数1）线性相关、线性⽆关2）线性空间的维数线性空间的维数：线性空间中线性⽆关的⽮量的最⼤个数。
m 维线性空间中，线性⽆关的⽮量数⽬不能⼤于m 。
⽮量基是线性⽆关的，m 维线性空间中任何 m 个线性⽆关的⽮量都可以作为⼀组⽮量基。
7.线性空间的⼦空间⼦空间就是在m 维线性空间中，有⽐m 维数⼩的个数的线性⽆关⽮量的所有的线性组合，构成⼀个n 维线性空间。
⽐如三维空间中，两个基⽮量的所有线性组合构成x-y 平⾯，是⼆维线性空间，是⼦空间。
我们通常说的⼦空间是⾮平庸的⼦空间，不包括零空间和全空间。
8.两个⼦空间的和两个⼦空间的和：两个⼦空间和的所有⽮量及这些⽮量的线性组合的集合， 记作；注意并⾮和的所有⽮量的集合，因为除了将这些⽮量放在⼀块以外，还需要将它们线性组合。
例如，构成的⼦空间和构成的⼦空间的和是整个三维空间。
9.两个⼦空间的交两个⼦空间的交：，例如，构成的⼆维⼦空间和构成的⼀维⼦空间的交是零空间（零⽮量构成的空间）。
10.两个⼦空间的直和两个⼦空间的直和：若是、的和（即），且下⾯三个等价的条件中任意⼀条成⽴：则称为两个⼦空间和的直和，记作 ，此时与称为中互补的⼦空间。
线性代数知识点归纳
线性代数知识点归纳线性代数是一门研究向量、向量空间、线性变换以及有限维线性方程组的数学分支。
它广泛应用于各个领域，如物理、计算机科学、工程学等。
线性代数的核心概念和工具包括行列式、矩阵、向量组以及线性方程组等。
下面将详细介绍线性代数的相关知识点。
一、行列式1.1 行列式的概念：行列式是一个函数，它从n×n阶方阵到实数（或复数）的映射。
行列式记作|A|，其中A是一个n×n的方阵。
1.2 逆序数：在n×n阶方阵A中，将行列式中元素a_ij与a_ji互换，所得到的新的行列式称为原行列式的逆序数。
1.3 余子式：在n×n阶方阵A中，将第i行第j列的元素a_ij删去，剩下的(n-1)×(n-1)阶方阵的行列式称为原行列式的余子式，记作M_ij。
1.4 代数余子式：在n×n阶方阵A中，将第i行第j列的元素a_ij替换为它的相反数，然后计算得到的新的行列式，称为原行列式的代数余子式，记作A_ij。
1.5 行列式的性质：行列式具有以下性质：（1）交换行列式中任意两个元素的位置，行列式的值变号。
（2）行列式中某一行（列）的元素乘以常数k，行列式的值也乘以k。
（3）行列式中某一行（列）的元素与另一行（列）的元素相加，行列式的值不变。
（4）行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的元素相减，行列式的值变号。
1.6 行列式的计算方法：行列式的计算方法有：降阶法、按行（列）展开法、克拉默法则等。
二、矩阵2.1 矩阵的概念：矩阵是一个由数组元素构成的矩形阵列，矩阵中的元素称为矩阵的项。
矩阵记作A，其中A是一个m×n的矩阵，A_ij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
2.2 矩阵的线性运算：矩阵的线性运算包括加法、减法、数乘等。
2.3 矩阵的乘法：两个矩阵A和B的乘法，记作A×B，要求A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵。
矩阵的乘法满足交换律、结合律和分配律。
多项式的根与代数基本定理
多项式的根与代数基本定理在高中阶段学习数学时，我们都会接触到多项式及其根的概念。
多项式是数学中非常重要，应用广泛且深入的一个概念。
代数基本定理则是多项式的根与复数之间极为紧密的关系之一。
本文将会探究代数基本定理以及多项式的根。
一、多项式的根多项式指的是这样一个函数：$$f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_0$$其中，$a_n$ 不为 $0$，$n$ 为非负整数，$a_0, a_1, ..., a_n$ 为常数，$x$ 是变量。
这里的 $x$ 是变量，而 $a_0, a_1, ..., a_n$ 为常数，因此，当给$x$ 赋一个特定的数时，$f(x)$ 就会成为一个数。
我们将这个数称作多项式在 $x$ 处的取值，而 $x$ 称作多项式的根（或零点、解）。
例如，多项式 $f(x) = x^2 - 1$，它的根是 $x = 1$ 和 $x = -1$。
因为当 $x$ 等于 $1$ 或 $-1$ 时，$f(x)$ 的值都等于 $0$。
二、代数基本定理代数基本定理是一个非常重要的定理，它建立了多项式的根与复数之间极为紧密的关系。
代数基本定理的陈述如下：每一个复系数多项式 $f(x)$ 都可以表示为：$$f(x) = a(x - z_1)(x - z_2)...(x - z_n)$$其中，$a$ 是一个常数，$z_1, z_2, ..., z_n$ 是 $n$ 个复数（可能重复），且 $n$ 等于多项式 $f(x)$ 的次数。
换句话说，对于任意一个复系数多项式 $f(x)$，它的根总是可以写成 $z_1, z_2, ..., z_n$ 这 $n$ 个复数的形式。
例如，多项式 $f(x) = x^2 - 1$ 可以表示为 $(x - 1)(x + 1)$，其中根为 $z_1 = 1, z_2 = -1$。
代数基本定理的证明比较复杂，这里不进行详细讲解。
感兴趣的读者可以参考相关教材或资料。
线性代数下有理系数多项式
p r2 2
(
x
)
prs s
(
x
)
中:
n
p r1 1
pr2 2
p rs s
4、 [x]中的因式分解：
完全分解为一次项 f ( x) c( x c1 )r1 ( x c2 )r2 ( x cs )rs
韦达公式
,⋯,
, 其中 k=1,2,···,n
5、 [x]中的因式分解：
实根孤独虚根成对 f ( x) c( x c1 )r1 ( x c2 )r2 ( x ck )rk
分解为1、2次项
( x2 p1x q1 )m1 ( x2 pl x ql )ml
本讲提要
有理系数多项式 & 线性映射复习
一、 [x]与 [x], 及Gauss引理 二、整系数多项式的有理零点 三、Eisenstein判则 四、复习：线性映射与矩阵
《线性代数2》
杨晶
2012年 3月5日
第三讲
有理系数多项式 & 线性映射复习
1
上
特性
整数环
讲 乘法交换(交换环)
√
乘法消去律(无零因子)
√
复 可比大小(全序关系)
数值
习 带余除法(欧氏环)
√
整除关系+可约性
√，素数合数
公约数
最大公因子,最小公倍数
唯一分解定理(UFD)
√
1、最大公因式:
公因式+最大 条件， d(x)=gcd(f(x),g(x))
5
更具体地，有以下两个Claims:
Claim 1：ℚ[x]中多项式总可写为一个有理数及一个本原多 项的乘积, 即 f ( x) rf1( x) (r , f1 [x] primitive)
高等代数第三讲 多项式的根
其中 r , s Z , 且 ( r , s ) 1,
则
r a0 ,
s an .
若
an =3,
a0 2
an 1 ; 3 a0 1 2
r s
?
r s
1;
2;
1 3
;
2 3
.
12
III Linear Space §1 线性空间的定义及性质 (1 1)( )
1
.
B 的方法 A
1
: ) B ).
19
I ) (I B) (I
A
1
由 于 1 , , s线 性 无 关 ， 故 ( 1 , , s )( A x ) 0 A x 0 成 立
17
过度距阵是可逆的.
proof
记 C ( c1 , , c n )
: det C 0 C 的列向量线性无关。
k1 则 k 1 1 k n n ( 1 , , n ) k n k1 k1 (( 1 , , n ) C ) ( 1 , , n ) C k k n n k1 k 1 1 k n n 0 C 0. k n
若 deg f n , f ( X ) 有根 a C 由零点定理 f ( X a ) f1 ( X ) 以此续行，知
定理 8：复系数多项式 上总可以唯一分解为一
n1
其中 deg f 1 n 1, .
f ( X ) 恰有 n 个复数根
f ( X )(deg f 1) 在复数域 C 次因式的乘积
3 2
线性代数 (6)
注 #! #! " #! #! " 称 为 点运 算 % 或 称数 组运 算 # 又 称元素 群运算 & #点运 ) %" )$ )$ " ) O 算是前后矩阵对应元素之间的运算) "量的存储与调用 5 # "存储 4
!!! ! ! 3"R5 /">" " & , ! ! 4 ? 6 ! I 将变量 "’ &’ , 存到 /">" )<"> 文件中
"矩阵的运算 6
!!! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 9 N% /5> 698 % C"2Q 698% 12R 698% 51F 698% &S ’ T ’ # 51F 698% >C",5 698% (L 9% 9J U% 9K U% 9L U% 9MU% 9$ U% 9P.% I 9 的转置 I 9 的行列式 $ 9 必须是方阵 I 9 的秩 I 9 的逆 I 9 的特征值 I 9 的特征向量矩阵 S 及特征值矩阵 T I 9 的迹 $ 等于 9 的对角线元素之和 I 常数与矩阵相乘 I 9$ U 必须是同型矩阵 $ 和 (J 9 比较 I 9$ U 必须是同型矩阵 $ 和 (K 9 进行比较 I 和 9) L U 进行比较 I 和 9) MU 进行比较 I 和 9)$ U 进行比较 I 9P. 相当于 9L 9 6和 9)P. 进行比较 8
! )"! #$%&$’ 软件
" 的缩写 # 意思为 ! 矩阵实 验室 " # 是 当今 很流行 的科 $ % & ’ % (是 ! $ % & * + ,% ( . * % & . * / 学软件 # 它 是 $ % & 01 . * 2 3公 司 的 产 品#$ % & 01 . * 2 3公 司 在 4 5 6 7年发行了 $ % & ’ % (的 8 9 : 版本 # 至 今 已 形 成 了 ; 种 主 要 的 版 本 # 分 别 是 1 + < = . > 35 ? 版# 1 + < = . > 3@A 版 # $ % B + < & . 3 0 版 #$ % & ’ % (C ) D 是一种交互式 $ 面向对象的程 序 设 计 语 言 # 广 泛 应 用 于 工 业 界 与学术界 # 主要用于矩阵处理 # 同时在数值分析 $ 自动控制模拟 $ 数字信号处理 $ 动态分 析 $ 绘图等方面也具有强大的功能 # ! )" )"! #$%&$’ 的基本操作 为了能够更快地理解和掌握 $ % & ’ % ( 执行 命 令 的 方 式 # 以 例 子 形 式 使 学 生 尽 快 体 会 到 用$ % & ’ % ( 对矩阵进行计算和操作的方便快捷 # 4 ) 矩阵的建立和基本运算 %启动与退出 4 双击 $ % & ’ % ( 图标 # 进入 $ % & ’ % ( 命令窗口 # 即可输入命令 # 开始运算 # 单击 E + ’ F菜单 G , + &命令 # 或使用 $ % & ’ % (的 G , + &命令退出 # %数 $ 数组 $ 矩阵的输入 7 & %数的输入 4
线性代数(同济六版珍藏版)
c2 c 1 c3
d2 d 1 d3
性质 2 的证明 设行列式 D = det (aij ) 互换第 i , j ( i＜ j ) 两行,得行列式
b11 b21 D1
b12 b1 n b22 b2 n ,
bn 1 bn 2 bnn
其中，当 k≠ i , j 时, bkp = akp ;当 k = i , j 时，bip = ajp,, bjp = aip , 于是 t( p p p p ) (1) 1 i j n b1 p1 bipi b jp j bnp n D1
例4 四阶行列式
1 2 3 4
例5 n 阶行列式
12 34
1 2
(1)
n( n 1 ) 2
12 n
n
§4
对换
对换 相邻对换 定理 1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性. 证 先证相邻对换的情形. 设排列
a1 ak abb1 bm ,
1
a1 ak bb1 bmac1 cn
2
事实上，排列（1）经过 2m + 1 次相邻对换变为排列（2）.
根据相邻对换的情形及 2m + 1 是奇数， 所以这两个排列的奇偶 性相反.
定理 2 n 阶行列式也可以定义为
D (1)
t ( p1 p2 pn )
a p1 1a p2 2 a pnn
例4 若D 3 1 0 ， 1 2 1 1 0 2 2 0 4 则 3 1 0 ( 2 ) 3 1 0 ( 2 ) D 1 2 1 1 2 1
例5
1 1 2 0 1 5 =0 2 2 4
奇排列 逆序数为奇数的排列. 例 1 排列 1 2 …… n 称为自然排列，它的逆序数为0 ，
(828)高等代数
目录
• 线性代数基础 • 矩阵理论和方法 • 多项式代数 • 高等代数的应用
01
线性代数基础
向量空间
定义
向量空间是一个由向量构成的集合， 其中满足加法和数量乘法封闭性、加 法和数量乘法的结合律和分配律。
例子
例如，所有三维实数向量构成的集合 是一个三维向量空间。
ห้องสมุดไป่ตู้ 线性变换
定义
线性变换是在向量空间上定义的操作 ，它可以用一个矩阵来表示。
03
多项式代数
多项式的概念和运算
01
多项式的概念
由若干个单项式组成的代数式， 称为多项式。
03
系数和变量的概念
多项式中的每个单项式中的数字 因数称为系数，而字母则称为变
量。
02
多项式的运算
多项式加减法、乘除法、乘方、 因式分解等。
04
次数和项数的概念
多项式的最高次幂的次数称为多 项式的次数，多项式中包含的单
多项式的一些应用
多项式在求解方程中的应用
多项式是求解方程的重要工具之一，通过因式分解可以将方程转化 为容易求解的方程组。
多项式在几何学中的应用
多项式在几何学中有着广泛的应用，例如在计算面积、体积、角度 等方面都可以使用多项式来进行计算。
多项式在物理学中的应用
多项式在物理学中也有着广泛的应用，例如在计算力学、电磁学、 量子力学等领域都可以使用多项式来进行计算和分析。
04
高等代数的应用
行列式在几何学中的应用
求解几何形状的交点和轨 迹
判断几何形状的形状和大 小
计算几何形状的面积和体 积
01
03 02
线性变换在几何学中的应用
• 矩阵变换 • 平移变换 • 旋转变换 • 缩放变换 • 投影变换 • 正交投影变换 • 透视投影变换
(新)整系数多项式地有理根定理及求解方法
整系数多项式的有理根的定理与求解方法系别 & 专业： 数学系-数学与应用数学专业 某某 & 学号： X 玉丽 0934118 年级 & 班别： 2009级1班 教师 & 职称： X 洪刚某某师X 大学博达学院 毕业论文〔设计〕 论文分类号 密 级：无2012年 9月 1日摘要：整系数多项式在多项式的研究中占有重要的地位，其应用价值也越来越被人们所认识。
本文是关于整系数多项式有理根的求解的一个综述，希望能够给对整系数多项式感兴趣的朋友提供一定的参考。
本文根据相关文献资料，给出了关于整系数多项式有理根的较f x是否存在有为系统的求法。
求解整系数多项式的有理根时，首先要判定整系数多项式()理根。
假如存在，如此可利用求解有理根的方法法将所有可能的有理根求出。
为了简化求解过程，可以先运用本文中的相关定理，将可能的有理根的X围尽量缩小，然后再用综合除法f x的全部有理根。
进展检验，进而求出整系数多项式()关键词：整系数多项式；有理根的求法；有理根的判定Abstract：Integral coefficients polynomial plays an important role in the research of polynomial, and its application value will be known by more and more people. This article is about solving of rational root of integral coefficients polynomial, and I hope this can provide some references to people interested in this. There are some systematic methods of rational root of integral coefficients polynomial in some related document literature. And by which, we know we must make sure integral coefficients polynomial f(x) has rational root when we want to solve the rational root of integral coefficients.If it exists, we can get all the possible rational roots. However, in order to make the procedure easier, we can apply the related theorem in this article and narrow down the extent. And then we can testify them and get all the rational roots.Keywords: Integral coefficients polynomial method to solve rational roots judgment of rational roots第一章 整系数多项式的根本内容【1】本节给出了整系数多项式的根本定理----高斯(Gauss)引理。
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代数学基本定理 每个次数大于 0的多项式在 复数域中都有根.
引理6.1 设 p ( x)是数域上的既约多项式,若 p ( x) 在中有根,则 p ( x)必为一次式.
即有复系数多项式 q使得 p = ( x c)( x c )q. 取共轭可得,p = ( x c )( x c)q，其中q 表示 将 q的系数取共轭.于是必有,q = q , 即 q是一 个实系数多项式.注意到是g = ( x c)( x c ) = x 2 (c + c ) x + cc 实系数多项式.故 p在实数 域上有分解p = gq.因 p是既约多项式,故 q 必为一个二次式,且无实根,即判别式小于零.
定理6.2 实数域上n (n > 0)次多项式的标准分解为 f ( x) = a ( x a1 ) m1 ( x as ) ms ( x 2 + b1 x + c1 ) n1 + ms + 2n1 + ( x 2 + bt x + ct ) nt , 其中a, ai , b j , c j ∈ R, b 2 4c j < 0, m j , n j为自然数, j 1 ≤ i ≤ s,1 ≤ j ≤ t , 且m1 + + 2nt = n.
下面考虑实数域上多项式的标准分解.
推论6.2 任意n次多项式在复数域中恰有n个根.
引理6.3 实数域上的既约多项式恰为一次式和判别式 小于零的二次式.
证明 显然, 一次式是既约多项式.设 f 是一个判别式 小于零的实二次式.假如 f 有一个真因式 g ,则g必为 一次式,从而有实根,故 f 有实根,这与 f 的判别式 小于0矛盾.于是 f 是既约多项式.
由余式定理立即可得
推论6.1 c是 f ( x)的根当且仅当x c | f ( x).
定义6.1 若x c是f ( x)的 k重因式,则称 c是 f ( x)的 一个 k重根,此时,k 称为 c的重数.1重根称为单根; 当 k > 1时,k重根统称为重根.
显然,c是 f 的 k重根当且仅当有多项式 g ( x)使得 f ( x) = ( x c) k g ( x)且 g (c) ≠ 0, 在计根的个数时,一个 k重根应算成 k 个根.
另一方面, 设p ∈ R[ x]是既约多项式.若 p有 实根, 则由引理6.1可知, p是一次式.设 p无实根, 并将其视为复数域上的多项式, 则由代数学 基本定理可设 p在C中有一个根c.因此 p (c) = 0, 取共轭可得, p (c ) = p (c ) = p (c) = 0, 故c 也是p 的根因此,由推论6.1可知, x c, x c 都是 p的 . 因式.因c ∈ R, 故x c和x c 互质,从而由推论 / 3.2可知,它们的积也是 p的因式.
命题6.1 数域若 f 在中没有根, 则结论成立.
否则,设c1 ,… , ct 是 f 在中的所有互不相同 的根.由推论6.1可得,x ci | f , i = 1, 2… , t. 因为x c1 ,… , x ct 两两互质,故由推论3.2 ( 可知, x c1 ) ( x ct ) | f , 从而t ≤ deg f .
§1.6 多项式的根
余式定理 f ( x)除以x c所得的余式等于f (c).
证明 因为x c是一次多项式, 故由带余除法可知, 它除f ( x)所得的余式为常数r ,而且,有q ( x) ∈ [ x] 使得f ( x) = ( x c)q ( x) + r.令x = c,即得,f (c) = r.
引理6.2 复数域上的既约多项式恰为一次式.
定理6.1 复数域上n (n > 0)的次多项式的标准分解为 f ( x) = a ( x a1 ) n1 ( x a2 ) n2 其中n1 , n2 ,… , nt为自然数, n1 + n2 + 为互异的复数. ( x at ) nt , + nt = n, a1 , a2 ,… , at