数学归纳法经典练习及解答过程

数学归纳法经典练习及

解答过程

文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-

第七节数学归纳法

知识点数学归纳法

证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立．

(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．易误提醒运用数学归纳法应注意：

(1)第一步验证n＝n0时，n0不一定为1，要根据题目要求选择合适的起始值．

(2)由n＝k时命题成立，证明n＝k＋1时命题成立的过程中，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法．

[自测练习]

1．已知f(n)＝1

n

＋

1

n＋1

＋

1

n＋2

＋…＋

1

n2

，则( )

A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝1

2

＋

1

3

B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝1

2

＋

1

3

＋

1

4

C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝1

2

＋

1

3

D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝1

2

＋

1

3

＋

1

4

解析：从n到n2共有n2－n＋1个数，所以f(n)中共有n2－n＋1项，且f(2)＝1

2

＋

1

3

＋

1

4

，故选D.

答案：D

2．(2016·黄山质检)已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋1

n ＋1

＝

2⎝

⎛⎭⎪⎫

1n ＋2＋1n ＋4

＋…＋12n 时，若已假设n ＝k (k ≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证n ＝( )时等式成立( )

A ．k ＋1

B ．k ＋2

C ．2k ＋2

D ．2(k ＋2)

解析：根据数学归纳法的步骤可知，则n ＝k (k ≥2为偶数)下一个偶数为k ＋2，故选B.

答案：B

考点一 用数学归纳法证明等式|

求证：(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·5·…·(2n －1)(n ∈N *)． [证明] (1)当n ＝1时，等式左边＝2，右边＝21·1＝2，∴等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，等式成立，即(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )＝2k ·1·3·5·…·(2k －1)．

当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋2)(k ＋3)·…·2k ·(2k ＋1)(2k ＋2) ＝2·(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )·(2k ＋1) ＝2·2k ·1·3·5·…·(2k －1)·(2k ＋1) ＝2k ＋1·1·3·5·…·(2k －1)(2k ＋1)． 这就是说当n ＝k ＋1时，等式成立． 根据(1)，(2)知，对n ∈N *，原等式成立． 1．用数学归纳法证明下面的等式： 12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1n ?n ＋1?

2

.

证明：(1)当n ＝1时，左边＝12＝1， 右边＝(－1)0

·1×?1＋1?

2

＝1，

∴原等式成立．

(2)假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，等式成立，

即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＝(－1)k－1k?k＋1?

2

.

那么，当n＝k＋1时，则有

12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＋(－1)k·(k＋1)2＝(－1)k－1k?k＋1?

2

＋(－1)k·(k＋

1)2

＝(－1)k·k＋1

2

[－k＋2(k＋1)]

＝(－1)k ?k＋1??k＋2?

2

.

∴n＝k＋1时，等式也成立，由(1)(2)知对任意n∈N*，有

12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1n?n＋1?

2

.考点二用数学归纳法证明不等

式|

设数列{a n}各项均为正数，且满足a n＋1＝a n－a2n.

求证：对一切n≥2，都有a n≤

1

n＋2

.

[证明] ∵数列{a n}各项均为正数，且满足a n＋1＝a n－a2n，∴a2＝a1－a21>0，解得0

当n＝2时，a3＝a2－a22＝1

4

－

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

a2－

1

2

2≤

1

4

，不等式成立，

假设当n＝k(k≥2)时，不等式成立，即a k≤

1

k＋2

，

则当n＝k＋1时，a k＋1＝a k－a2k＝1

4

－

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

a k－

1

2

2≤

1

4

－

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

1

k＋2

－

1

2

2＝

k＋1

?k＋2?2

<

k＋1

?k＋1??k＋3?

＝1

?k＋1?＋2

，

∴当n＝k＋1时，不等式也成立，

由数学归纳法知，对一切n≥2，都有a n≤

1

n＋2

.