chapter 3-3中心极限定理

i

～
k 1 则16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率为
Xk
16
～
近似
N (1600 ,400 )
2
P ( X i 1920) P ( i 1
i1
16
X i 1600
400
16

1920 1600 ) 400
1 ( 0 .8 )
1 0.7 881 0.2119
P {70 X 86 }
P{ 70 100 0.8 100 0.8 0.2
P{2.5

X 100 0.8 100 0.8 0.2

86 100 0.8 100 0.8 0.2
}
X 100 0.8 100 0.8 0.2
X P 1 2 3 4 5 6
1 6
1 6
1 6
1 6
1 6
1 6
P
1 6
1
2
3
4
5
6
x
掷两颗骰子，出现点数和X=X1+X2的分布律为：
X=X1+X2
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
P
1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36

～
近似
N (0,1)
定理3.3.1（独立同分布中心极限定理）
设随机变量 { Xk}，k = 1,2,…相互独立，且同分布，有限 数学期望E(Xk)=µ 和方差D(Xk)=² . 若随机变量序列
Yn
k 1
X k E ( X k ) X k n
k 1 k 1
n
n
n
D( X k )
1920 1600 1 ( ) 400
例2.设某学校有1000名住校生，每人每天都以80%
的概率去图书馆上自习，问图书馆至少设多少个座位，才 能以99%的概率保证去上自习的同学都有座位？ 解：设每天去图书馆上自习的同学有X
X ~ B (1000 ,0 .8 )
E ( X ) 1000 0.8 800 D( X ) 1000 0.8 0.2 160
定理3.3.2（棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理）
设随机变量序列{ Yn }，Yn ~ B( n, p ) ，
n =1,2…， 对于任意的实数 x ，有
Y n np lim P x n np(1 p )
Φ( x )
中心极限定理的应用
对于独立的随机变量序列 { X n } ，不管
P
27 25 21 15 10 6 3 1 216 216 216 216 216 216 216 216
掷三颗骰子，出现点数和X=X1+X2+X3的分布律为： X近似服从正态分布
P 27 / 216 25 / 216 21 / 216 15 / 216 10 / 216 6 / 216 3 / 216 1 / 216 0
上服从均匀分布.记V Vk，求P V 105的近似值 .
n k 1
解
易知E (Vk ) 5, D(Vk ) 100 12
20 近似地
( k 1, 2, 20).
100 由定理知，V Vk ~ N ( 20 5, 20) 12 k 1 V 20 5 105 20 5 于是 P V 105 p 100 12 20 100 12 20
k 1
n
若随机变量序列{ Yn }，Yn ~ B( n, p ) ， n =1,2…，
Yn = X1＋ X2＋…＋ Xn Xi ~ B( 1, p )，相互独立，并且
E( Xi ) = p , D( Xi ) = p(1－p)
Y n np lim P x ( x ) n np(1 p )
3.在次品率为的一大批残品中，任意 抽取360件产品，利用中心极限定理 计算抽取的产品中次品件数在50与 70之间的概率
10 1 2 50
0 .8428
1 若 X ~ B(6000, ) 6 X 1 比较 P 6000 6 0.01 的几个近似值 1 二项分布 0 . 9590 (精确结果） 2 中心极限定理 0.9624
10 P { 1 1} 3

2 (1 ) 1 0 .683
2.某工厂有100台车床彼此独立地工作着， 每台车床的实际工作时间占全部工作时间 的80%。利用中心极限定理计算任意时刻 有70至86台车床在工作的概率。 解: 设任意时刻有X台车床在工作 X ~ B (100 ,0 .8 )
n
近似地
N ( n , n ) ;
2
1 n 2.当 X X k n k 1
近似地 X 近似地 2 定理的另一种形式为 N ( 0 , 1 ) 或 X N ( , n) ~ ~ n
3、虽然在一般情况下，我们很难求出 X k 的分 布的确切形式，但当n很大时，可以求出近似分布.
3 4 泊松分布 切比雪夫不等式
0.9379
0.7685
例：某车间有200台车床，工作时每台有60%的时间 在开动，每台开动时耗电1千瓦，问应供给这个车间 多少千瓦的电力才能以99.9%的把握保证正常生产？ 解：令应供电m千瓦，X为同时开动的车床数， X ~B(200, 0.6)， 则 P0 X m 99.9% 由中心极限定理

n 800 ( ) 12.65
0.99
n 829
1.设射击命中率为0.1，连续独立射击100次，
X表示命中的次数，则用中心极限定理估算
P{7 X 13}
解：设Xk表示第k次命中的次数，则
Xk pk
0
1
E ( X k ) 0.1 D( X ) 0.09
k
0.9 0.1
P

6 5 4 3 2 1
36 36 36 36 36
36
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
x
掷三颗骰子，出现点数和X=X1+X2+X3的分布律为：
X
P X
3
4
5
6
7
8
9
10
1 3 6 10 15 21 25 27 216 216 216 216 216 216 216 216
11 12 13 14 15 16 17 18
(k 1,2,,100)
X
100 k 1
Xk
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
～
近似
N (10, 3 )
2
E ( X k ) 0 . 1, D( X k ) 0.09 X
100
i 则由中心极限定理：
Xi
近似
~ N (10, 3 )
2
P {7 X
7 10 10 13 10 } 13} P{ 3 3 3
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
x
中心极限定理的客观背景
例:20个0-1分布的和的分布
X i ~ B(1, p) i 1,2,,20
X X 1 X 2 X 20 ~ B ( 20, p )
X近似服从正态分布
概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布 是正态分布的一系列定理称为中心极限定理。 由于无穷个随机变量之和可能趋于∞，故我们 不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随 机变量，即：
0 120 X 120 m 120 P{0 X m} P 48 48 48 m 120 120 m 120 ( ) ( ) ( ) 48 48 48 m 120 3.08 n 142 48
例 一加法器同时收到20个噪声电压Vk ( k 1,2, n), 设它们是相互独立的随机变量，且都在区间(0, 10)
1.5}
( 1.5 ) ( 2 .5 ) 0 .9332 ( 1 0 .9938 ) 0 .927
用机器包装味精,每袋味精净重为随机变 量,期望值为100克,标准差为10克,一箱内装 200袋味精,求一箱味精净重大于20500克的概 率? 解 设一箱味精净重为X, 箱中第i袋味精净重为 Xi,(i=1,2,…,200) 则 X1,X2,…,X200独立同分布, EXi=100, DXi=102=100,
X i ( i 1,2, , n ) 服从什么分布，只要它们
是同分布，且有有限的数学期望E(Xi)=μ
和方差D(Xi)=σ²，
那么，当n充分大时，
近似 X i
i 1
n
~
N ( n , n )
2
近似计算公式
P ( x1
k 1
X k n
n
n
x2 )

( x 2 ) ( x1 )
又设图书馆至少设n个座位才能以99%的概率保证 去上自习的同学都有座位。
P{ X n}
0.99
E ( X ) 800 , D ( X ) 160
∴由棣莫夫 — 拉普拉斯中心极限定理，有
P { X n } P{
X 800 160

n 800 160
}
n 800 查表 2.33 12.65
n

k 1
n
X 的标准化变量
k k 1
n
则 lim FY n ( x ) lim P {Y n x }
n n
( x )
1、定理表明，独立同分布的随机变量之和 X k , 当n充分大时，
k 1
n
X
k 1
n
k
n
近似地
n
~
N (0,1).
X ~
k 1 k
特别地：
若X ~ B( n, p )，对于足够大的n，有
P{x1 X x2 }
x 1 np P np(1 p ) X np np(1 p ) x 2 np np(1 p )

x 2 np x 1 np Φ Φ np(1 p ) np(1 p )
1 解：设抽取的产品中次品件数为X ~ B ( 360, ) 6 P { 50 X 70}
1 1 1 50 360 X 360 7 0 360 6 6 6} P{ 1 5 1 5 1 5 360 360 360 6 6 6 6 6 6
Yn
k 1
X k E( X k )
k 1
n
n
D( X k )
k 1
n
讨论Yn的极限分布是否为标准 正态分布
中心极限定理的意义与作用
它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似 概率的简单方法， 而且有助于解释为什么很多自然群体的经验 频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实.
讨论2种简单情形.
X Xi
i 1 200
且由独立同分布的中心极限定理得:
所求为
P{ X 20500 } 1 P{ X 20500 }
20500 20000 1 ( ) 1 ( 3.54 ) 0.002 20000
故 一箱味精净重大于20500的概率为0.0002.
§3.3 中心极限定理
正态分布是最常见的分布。 如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因 素的综合影响所造成，而每一个别因素对这种综合 影响中所起的作用不大. 则这种随机变量一般都服 从或近似服从正态分布. 现在研究独立随机变量之和所特有的规律性问 题.
中心极限定理的客观背景
掷一颗骰子，出现点数X的分布律为：
例1：设某种电器元件的寿命服从均值为100小时的
指数分布，现随机地抽取16只，设它们的寿命是相
互独立的，求这16只元件的寿命的总和大于1920小
时的概率。 解：设各电器元件的寿命为X1,X2, …X16 E ( X ) 100,
2 100 D( X i ) 16 近似 Xk 2 N (1600 ,400 ) k 1
1.独立同分布下的中心极限定理
2.德莫佛-拉普拉斯定理(二项分布的正态近似)
独立同分布中心极限定理
若随机变量 { Xk}，k = 1,2,…相互独立， 且同分布，有有限数学期望E(Xk)=µ 和方差D(Xk)=² . n 近似 Xk 2

k 1
Yn
k 1
X k n
n
n
～
N n , n