高二上学期期末数学试卷(理科)

高二（上）期末测试数学试卷（理科）

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 函数：f(x)=3+xlnx 的单调递增区间是( )

A. (0,1

e )

B. .(e,+∞)

C. (1

e ,+∞)

D. (1

e ,e)

【答案】C

【解析】解：由函数f(x)=3+xlnx 得：f(x)=lnx +1，

令f′(x)=lnx +1>0即lnx >−1=ln 1

e ，根据e >1得到此对数函数为增函数， 所以得到x >1

e ，即为函数的单调递增区间．

故选：C ．

求出f(x)的导函数，令导函数大于0列出关于x 的不等式，求出不等式的解集即可得到x 的范围即为函数的单调递增区间．

本题主要考查学生会利用导函数的正负得到函数的单调区间，同时考查了导数的计算，是一道基础题． 2.

函数f(x)=

lnx−2x x

的图象在点(1,−2)处的切线方程为( )

A. 2x −y −4=0

B. 2x +y =0

C. x −y −3=0

D. x +y +1=0

【答案】C

【解析】解：由函数f(x)=

lnx−2x x

知f′(x)=

1−lnx x 2

，

把x =1代入得到切线的斜率k =1， 则切线方程为：y +2=x −1， 即x −y −3=0． 故选：C ．

求出曲线的导函数，把x =1代入即可得到切线的斜率，然后根据(1,2)和斜率写出切线的方程即可． 本题考查学生会利用导数求曲线上过某点的切线方程，考查计算能力，注意正确求导．

3. 已知A(2,−5,1)，B(2,−2,4)，C(1,−4,1)，则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC

⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为( ) A. 30∘ B. 45∘ C. 60∘ D. 90∘

【答案】C

【解析】解：因为A(2,−5,1)，B(2,−2,4)，C(1,−4,1)，

所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3,3),AC

⃗⃗⃗⃗⃗ = (−1,1,0)， 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ═0×(−1)+3×1+3×0=3，并且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3√2，|AC

⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2， 所以cos =AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ||AC |=3√2×√2=1

2

， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC

⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为60∘

故选：C ．

由题意可得：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3,3),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ = (−1,1,0)，进而得到AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，再由cos =AB

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB

||AC |可得答案．

解决此类问题的关键是熟练掌握由空间中点的坐标写出向量的坐标与向量求模，以及由向量的数量积求向量的夹角，属于基础试题 4.

已知椭圆

x 225

+

y 2m =1(m >0)的左焦点为F 1(−4,0)，则m =( )

A. 2

B. 3

C. 4

D. 9

【答案】B 【解析】解：∵椭圆x 225

+y 2

m 2=1(m >0)的左焦点为F 1(−4,0)，

∴25−m 2=16， ∵m >0， ∴m =3， 故选：B ． 利用椭圆

x 2

25+y 2

m

=1(m >0)的左焦点为F 1(−4,0)，可得25−m 2=16，即可求出m ． 本题考查椭圆的性质，考查学生的计算能力，比较基础．

5.

∫(1

0e x +2x)dx 等于( )

A. 1

B. e −1

C. e

D. e +1

【答案】C

【解析】解：∵(e x +x 2)′=e x +2x ，

∴∫(1

0e x +2x)dx═(e x +x 2)|01=(e +1)−(1+0)=e ， 故选：C ．

由(e x +x 2)′=e x +2x ，可得∫(1

0e x +2x)dx =(e x +2x)|01，即可得出． 本题考查了微积分基本定理，属于基础题．

6. 若函数f(x)=x(x −c)2在x =3处有极大值，则c =( )

A. 9

B. 3

C. 3或9

D. 以上都不对

【答案】A

【解析】解：函数f(x)=x(x −c)2的导数为f′(x)=(x −c)2+2x(x −c) =(x −c)(3x −c)，

由f(x)在x =3处有极大值，即有f′(3)=0， 解得c =9或3，

若c =9时，f′(x)=0，解得x =9或x =3，

由f(x)在x =3处导数左正右负，取得极大值， 若c =3，f′(x)=0，可得x =3或1

由f(x)在x =3处导数左负右正，取得极小值． 综上可得c =9． 故选：A ．

由题意可得f′(3)=0，解出c 的值之后必须验证是否符合函数在某一点取得极大值的充分条件． 本题考查导数的运用：求极值，主要考查求极值的方法，注意检验，属于中档题和易错题．

7. 函数y =e x (2x −1)的示意图是( )

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】解：由函数y =e x (2x −1)， 当x =0时，可得y =−1，排除A ；D

当x =−1

2时，可得y =0，∴x <1

2时，y <0．

当x 从12→+∞时，y =e x 越来越大，y =2x −1递增，可得函数y =e x (2x −1)的值变大，排除B ； 故选：C ．

带入特殊点即可选出答案

本题考查了函数图象变换，是基础题． 8.

若AB 过椭圆

x 225

+y 2

16=1中心的弦，F 1为椭圆的焦点，则△F 1AB 面积的最大值为( )

A. 6

B. 12

C. 24

D. 48

【答案】B

【解析】解：设A 的坐标(x,y)则根据对称性得：B(−x,−y)， 则△F 1AB 面积S =1

2OF ×|2y|=c|y|． ∴当|y|最大时，△F 1AB 面积最大，