量子力学-第四版-卷一-(曾谨言-著)习题答案第4章-2

4.29——6.1

4.29证明在z

L ˆ的本征态下，0==y x L L 。（提示：利用x y z z y L i L L L L =-，求平均。） 证：设ψ是z L 的本征态，本征值为 m ，即ψψ m L z

=

[]

x L i =-=y z z y z y L L L L L ,L ，[]y L i =-=z x x z x z L L L L L ,L ，

(

)(

)

(

)

011

1 =-=-=-=

∴ψψψψψψψψψψψψy y y z z y y z z y x L m L m i L L L L i L L L L i L

同理有：0=y L 。

附带指出，虽然x l ˆ，y l ˆ在x l ˆ本征态中平均值是零，但乘积x l ˆy

l ˆ的平均值不为零，能够证明：,2

1

2y x y x l l i m l l -==

说明y x l l ˆˆ不是厄密的。2ˆx l ，2ˆy l 的平均值见下题。

4.30 设粒子处于()ϕθ,lm Y 状态下，求()2

x L ∆和()

2

y

L ∆

解：记本征态lm Y 为lm ，满足本征方程

()lm l l lm L 221 +=，lm m lm L z =，lm m L lm z =，

利用基本对易式 L i L L =⨯，

可得算符关系 ()

()x y z x z y x y z z y x x x L L L L L L L L L L L L L i L i -=-== 2

()

x y z z x y y x y z y z x y L L L L L L L i L L L L i L L L -+=-+=2

将上式在lm 态下求平均，

使得后两项对平均值的贡献互相抵消，因此 2

2

y

x

L

L =

又()[]

222

2

2

1 m l l L L L z

y x -+=-=+

()[]

222

2

12

1

m l l L L y

x

-+=

=

∴ 上题已证 0==y x L L 。

()()

()[]

222

2

2

2

2

12

1

m l l L L L L L L x x x x

x x -+=

=-=-=∆∴

同理 ()

()[]

222

12

1

m l l L y

-+=

∆。 （补白）若需要严格论证2

x l 与2

y l 的相等关系，可设

y

x l i l l ˆˆˆ+≡+ y x l i l l ˆˆˆ-≡- 于是有)ˆˆ(21ˆ-++=l l l x

)ˆˆ(2

ˆ+--=l l i

l y 求其符2ˆx l 的平方，用-+l l ˆˆ来表示：

)ˆˆˆˆˆˆˆˆ(4

1ˆ2-

-+--++++++=l l l l l l l l l x )ˆˆˆˆˆˆˆˆ(4

1ˆ2--+++--+--+=l l l l l l l l l y

再求它们在态im Y 中的平均值，在表示式中用标乘积符号时是

))ˆˆˆˆˆˆˆˆ(4

1,(ˆ2im

im x Y l l l l l l l l Y l --+--++++++= （1） ))ˆˆˆˆˆˆˆˆ(4

1,(ˆ2im

im y Y l l l l l l l l Y l --+++--+--+= （2） 或都改写成积分形式如下，积分是对空间立体角取范围的： Ω+++=

⎰⎰Ω

--+--+++*d Y l l l l l l l l Y l im im x )ˆˆˆˆˆˆˆˆ((41

2

（3） Ω--+=

⎰⎰Ω

--+++--+*d Y l l l l l l l l Y l im im y )ˆˆˆˆˆˆˆˆ((412

（4） 按角动量理论：1,)1)((ˆ++++-=m i im

Y m l m l Y l

1,)1)((ˆ--+-+=m i im Y m l m l Y l （5）

和正交归一化条件：

m m i i im m i d Y Y ,,,'''''*

=Ω⎰⎰δ （6）

将运算公式（5）使用于（3）式的各项，得结果如下：

0ˆˆ2,=Ω⨯=Ω⎰⎰⎰⎰+*

++*d Y Y d Y l l Y m i im im im 常数 0ˆˆ2,=Ω⨯=Ω⎰⎰⎰⎰-*--*d Y Y d Y l l Y m i im im im 常数

2)1)((ˆˆ +-+=Ω⎰⎰-+*

m l m l d Y l l Y im

im 2)1)((ˆˆ ++-=Ω⎰⎰+-*

m l m l d Y l l Y

im

im

注意上述每一个积分的被积函数都要使用（5）的两个式子作重复运算，

再代进积分式中，如：