二次函数的值域
高中函数值域
高中函数值域
高中函数值域是指函数的所有可能的输出值的集合。
通过分析函数的图像、定义域、性质等方面，可以推导出函数的值域。
对于一些简单的函数，如一次函数、二次函数、指数函数等，其值域可以通过简单的方法求得。
例如，对于一次函数y = kx + b，其值域为全体实数；对于二次函数y = ax^2 + bx + c，如果a>0，则值域为[y0，+∞)，其中y0为顶点的纵坐标；如果a<0，则值域为(-∞，y0]；对于指数函数y = a^x，如果a>1，则值域为(0，+∞)；如果0<a<1，则值域为(0，1]。
对于复杂的函数，如三角函数、对数函数、反三角函数等，其值域的求解需要借助函数的性质和图像来进行分析。
例如，对于正弦函数y = sin x，其值域为[-1，1]；对于对数函数y = loga x，其中a>0且a≠1，则值域为全体实数；对于反三角函数y = arcsin x，其定义域为[-1，1]，值域为[-π/2，π/2]。
在解决函数的值域问题时，需要注意函数的定义域和性质对值域的影响，并注意边界情况和特殊情况的处理。
通过对函数值域的深入理解和分析，可以帮助我们更好地理解函数的本质和应用。
- 1 -。
求函数值域的方法
函数值域求法基本初等函数的值域：1、一次函数y=kx+b （k ≠0）的值域为R ；2、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的值域：当a ＞0时，值域为[ab ac 442-，﹢∞）；当a ＜0时，值域为（-∞，ab ac 442-]。
3、反比列函数y=xk（k ≠0，x ≠0）的值域为：{y|y ≠0，y ∈R} 4、指数函数y=a x（a ＞0且a ≠1）的值域为：R +5、对数函数y=㏒a x （a ＞0，且a ≠1）的值域R6、正、余弦函数的值域为：[-1，+1]，正、余切函数的值域为R函数值域求法观察法对于一些比较简单的函数，其值域可结合不等式的性质、图象通过观察得到。
如利用|x|≥0，2x ≥0，x ≥0等，直接得出它的值域．例1、 求下列函数的值域⑴ y ＝1x ． ⑵ y ＝25x +． 解：⑴ 由x ∈R ，且x ≠0，易知y ∈R 且x ≠0．所以函数的值域为{ y|y ∈R 且y ≠0}．⑵ ∵ x2≥0，∴25x +≥5．∴ 函数的值域为{ y| y ≥5}．例2、求函数x3y -=的值域。
解：∵x≥0 ∴- x ≤0 3—x ≤3。
故函数的值域是：（ —∞，3 ]例3、求函数[]2,1,211∈-=x xy 的值域。
解：由21≤≤x 得1213-≤-≤-x ，312111-≤-≤-x ，故函数的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡--31,1.例4、求函数111y x =++的值域。
分析：首先由1x +≥0，得1x ++1≥1，然后在求其倒数即得答案。
解：1x +≥0∴1x ++1≥1，∴０＜111x ++≤１，∴函数的值域为（０，１]．例5、求242-+-=x y 的值域。
由绝对值函数知识及二次函数值域的求法易得：)[)[∞+-∈∞+∈-+-=,2,,024)(2y x x g 所以 例6、求函数y =211x +的值域 解：Θ 22111,011x x +≥∴<≤+ 显然函数的值域是：(]0,1配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求值域 例1、求下列函数的值域：⑴ y ＝－2x －4x ＋1，x ∈[－3，3]；⑵y ＝4x ＋41x －1．解：⑴配方，得y ＝－(x ＋2)2＋5，又x ∈[－3，3]，结合图象，知 函数的值域是{ y │－20≤y ＜5}⑵ ∵y ＝4x ＋41x －1＝2221x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋1≥1， 当且仅当221x x -＝0，即x ＝±1时取等号，∴ 函数y ＝x4＋41x －1的值域为[1，＋∞)．例2、求函数y=2x —2x+5，x ∈[-1，2]的值域。
函数求值域的方法
不同函数类型值域求解方法归纳题型一：二次函数的值域: 配方法(图象对称轴) 例1． 求6a )(2+-=x x x f 的值域解答：配方法：4a 64a 62a 6a )(2222-≥-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=x x x x f 所以值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞+-，4a 62例2． 求6)(2+-=x x x f 在[]11，-上的值域解答：函数图像法：423216)(22+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=x x x x f画出函数的图像可知，6)(2+-=x x x f 在21=x 时取到最小值423，而在1-=x 时取到最大值8，可得值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡8423，。
例3． 求6a )(2+-=x x x f 在[]11，-上的值域解答：由函数的图像可知，函数的最值跟a 的取值有关，所以进行分类讨论： ① 当2a-≤时，对称轴在1-=x 的左侧，所以根据图像可知，a 7)1(max -==f f ，a 7)1(min +=-=f f , 此时值域为[]a 7a 7-+，.② 当0a2≤≤-时，对称轴在1-=x 与y 轴之间，所以根据图像可知，a 7)1(max -==f f ，4a 6)2a (2min-==f f ,此时值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--a 74a 62，. ③ 当2a0≤≤时，对称轴在y 轴与1=x 之间，所以根据图像可知，a 7)1(max +=-=f f ，4a 6)2a (2min-==f f ,所以此时值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-a 74a 62，④ 当a 2≤时，对称轴在1=x 的右侧，所以根据图像可知，a 7)1(max +==f f ，a 7)1(min -=-=f f所以此时的值域为[]a 7a 7+-，题型二：指数、对数函数的值域: 采用换元法例4． 求()62log )(22+-=x x x f 的值域解答：复合形式用换元：令622+-=x x t，则由例1可知，[)+∞∈,5t根据单调性，可求出t 2log 的值域为[)+∞,5log 2例5． 求624)(1++=+x x x f 的值域解答：因为()224x x=，所以，采用换元法，令xt 2=，则()+∞∈,0t则原函数变为622++t t，可以根据二次函数值域的求法得到值域为()+∞,6题型三：分式函数的值域分式函数的值域方法：(1) 分离变量(常数)法;(2) 反函数法(中间变量有界法);(3) 数形结合(解析几何法：求斜率);(4) 判别式法（定义域无限制为R ）; 例6． 求函数132)(++=x x x f 的值域 解法一：分离变量法。
二次函数知识点归纳
二次函数知识点归纳二次函数是一个一元二次方程的图像，其一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c 为实数且a不等于0。
1. 顶点：二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线。
抛物线的最高点或最低点称为顶点。
顶点的横坐标为x = -b / (2a)，纵坐标为y = f(-b / (2a))。
2. 对称轴：二次函数的图像关于一条直线对称。
这条直线称为对称轴，公式为x = -b / (2a)。
3. 开口方向：当a大于0时，二次函数图像开口向上；当a小于0时，二次函数图像开口向下。
4. 零点：二次函数的图像与x轴交点的横坐标称为零点，即使y = 0的解，可以通过求根公式得到。
5. 判别式：二次函数的判别式为Δ = b^2 - 4ac，用于判断二次函数的根的情况。
当Δ大于0时，有两个不相等的实根；当Δ等于0时，有两个相等的实根；当Δ小于0时，没有实根。
6. 特殊情况：当a大于0时，二次函数的图像开口向上，且顶点处为最小值。
函数的值随着x的增大而增加。
当a小于0时，二次函数的图像开口向下，且顶点处为最大值。
函数的值随着x的增大而减小。
当c等于0时，二次函数经过原点(0, 0)，称为原点对称的二次函数。
7. 平移变换：纵向平移：对二次函数y = ax^2 + bx + c进行纵向平移为y = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为平移的向量。
横向平移：对二次函数y = ax^2 + bx + c进行横向平移为y = a(x - p)^2 + q，其中(p, q)为平移的向量。
8. 最值问题：在一定条件下，通过二次函数的最值可以求解一些实际问题。
求抛物线的最大值或最小值，可以通过求顶点来解决。
求某一变量取得最值的情况下，可以通过二次函数的顶点坐标和判别式来判断。
9. 范围：二次函数的值域根据开口方向有所不同。
当a大于0时，值域为[y₀, +∞)，其中y₀为顶点的纵坐标。
当a小于0时，值域为(-∞, y₀]。
高中数学必修一函数专题：二次函数值域
高一数学必修一函数专题：二次函数值域第一部分：计算二次函数的值域题型一：计算二次函数c bx ax x f ++=2)(在定义域R x ∈上的值域。
解法设计：第一步：计算二次函数的对称轴ab x 2-=。
第二步：第一种情况：当0>a 时：二次函数c bx ax x f ++=2)(开口向上。
二次函数)(x f 在对称轴abx 2-=处取得最小值。
最大值为∞+。
第二种情况：当0<a 时：二次函数c bx ax x f ++=2)(开口向下。
二次函数)(x f 在对称轴abx 2-=处取得最大值。
最小值为∞-。
例题一：已知：二次函数121)(2+-=x x x f 。
计算：二次函数)(x f 在定义域R x ∈上的值域。
本题解析：第一步：计算二次函数的对称轴12121=⇒⨯--=x x 。
第二步：二次函数121)(2+-=x x x f 图像开口向上。
2111121)1()(2min =+-⨯==f x f 。
+∞=max )(x f 。
所以：二次函数)(x f 在定义域R x ∈上的值域：),21[)(+∞∈x f 。
例题二：已知：二次函数2)(2+--=x x x f 。
计算：二次函数)(x f 在定义域R x ∈上的值域。
本题解析：第一步：计算二次函数的对称轴21)1(21-=⇒-⨯--=x x 。
第二步：二次函数2)(2+--=x x x f 图像开口向下。
49221412)21()21()21()(2max =++-=+----=-=f x f 。
-∞=min )(x f 。
所以：二次函数)(x f 在定义域R x ∈上的值域：]49,()(-∞∈x f 。
跟踪训练一：已知：二次函数x x x f 32)(2+=。
计算：二次函数)(x f 在定义域R x ∈上的值域。
跟踪训练二：已知：二次函数2)(2++-=x x x f 。
计算：二次函数)(x f 在定义域R x ∈上的值域。
二次函数值域
”；此后十年间，航空事业获得较快发展。
筹办航空事宜
处
三、从驿传到邮政 1．邮政
(1)初办邮政： 1896年成立“大清邮政局”，此后又设
邮传部 邮传正式脱离海关。
，
(2)进一步发展：1913年，北洋政府宣布裁撤全部驿站； 1920年，中国首次参加 万国邮联大会 。
2．电讯 (1)开端：1877年，福建巡抚在 办电报的开端。 (2)特点：进程曲折，发展缓慢，直到20世纪30年代情况才发生变 化。 3．交通通讯变化的影响
台湾 架设第一条电报线，成为中国自
出行 (1)新式交通促进了经济发展，改变了人们的通讯手段和 ， 方式 转变了人们的思想观念。
(2)交通近代化使中国同世界的联系大大增强，使异地传输更为便 捷。 (3)促进了中国的经济与社会发展，也使人们的生活
多姿多彩 。
[合作探究· 提认知]
电视剧《闯关东》讲述了济南章丘朱家峪人朱开山一家， 从清末到九一八事变爆发闯关东的前尘往事。下图是朱开山 一家从山东辗转逃亡到东北途中可能用到的四种交通工具。
铁路是
交通运输 建设的重点，便于国计民生，成为国民经济
发展的动脉。 2．出现 1881年，中国自建的第一条铁路——唐山 路建成通车。 1888年，宫廷专用铁路落成。 至胥各庄铁 开平
3．发展
(1)原因：
①甲午战争以后列强激烈争夺在华铁路的 ②修路成为中国人 (2)成果：1909年 权收归国有。 4．制约因素 政潮迭起，军阀混战，社会经济凋敝，铁路建设始终未入 修筑权 。
思考： 已知f(x）=x2-2x+3在[0，a]上 最大值3,最小值2，求a的范围。
y
3 2 o
1
2
x
练习：f ( x) x 2 4x 2且x 1, a ，求f ( x)的最值
二次函数三角形面积定值问题
二次函数三角形面积定值问题二次函数三角形面积定值问题是高中数学中的一个重要概念，也是考试中常考的难点之一。
本文将从三个方面进行探讨，分别是二次函数的定义和性质、三角形面积公式以及如何利用二次函数求解三角形面积定值问题。
一、二次函数的定义和性质二次函数是一种以 x 的平方为自变量的函数，通常的表达式为y=ax²+bx+c。
其中，a、b、c 分别是常数，a 不等于零。
二次函数的图像是一个开口朝上或朝下的抛物线，其中顶点坐标为(-b/2a, c-b²/4a)。
二次函数具有以下性质：1. 对称轴：二次函数的对称轴是过顶点的直线，方程为 x=-b/2a。
2. 零点：二次函数的零点是函数图像与 x 轴交点的横坐标，方程为 ax²+bx+c=0。
3. 单调性：当 a 大于零时，二次函数开口朝上，图像在顶点处取得最小值；当 a 小于零时，二次函数开口朝下，图像在顶点处取得最大值。
4. 范围：当 a 大于零时，二次函数的值域为 [c-b²/4a, +∞)；当a 小于零时，二次函数的值域为 (-∞, c-b²/4a]。
二、三角形面积公式三角形面积公式是计算三角形面积的基本公式，其表达式为S=1/2bh，其中S 表示三角形面积，b 和h 分别表示底边和高。
此外，还有两个重要的推论：1. 海伦公式：当已知三角形的三边长 a、b、c 时，可以利用海伦公式求出三角形面积 S=sqrt[s(s-a)(s-b)(s-c)]，其中s=(a+b+c)/2。
2. 正弦定理：当已知三角形的一个角度和两边长时，可以利用正弦定理求出第三边长，从而进一步计算出三角形面积。
正弦定理的表达式为 a/sinA=b/sinB=c/sinC。
三、利用二次函数求解三角形面积定值问题在高中数学中，经常会遇到给定三角形底边和两条高的长度，求解三角形面积的问题。
此类问题通常可以通过构建二次函数来解决。
以一个例子来说明：已知三角形底边长为 8，两条高分别为 6 和 10，求解该三角形的面积。
【数学公式】二次函数的值域公式
【数学公式】二次函数的值域公式二次函数的值域是当a＞0时，值域为[(4ac-b²)/4a，+∞)。
二次函数的值域可以通过图像法，配方法，换元法，反函数法等方法求出。
顶点坐标(-b/2a，(4αc-b²)/4α)二次函数的基本形式为y=ax²+bx+c（a≠0）a＞0时，抛物线开口向上，图象在顶点上方，所以值域y≥(4ac-b²)/4a，即[(4ac-b²)/4a，+∞)。
a＜0时，抛物线开口向下，函数的值域是（-∞，(4ac-b²)/4a]当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax²+c(a≠0)。
1.图像法根据函数图象，观察最高点和最低点的纵坐标。
2.配方法利用二次函数的配方法求值域，需注意自变量的取值范围。
3.单调性法利用二次函数的顶点式或对称轴，再根据单调性来求值域。
4.反函数法若函数存在反函数，可以通过求其反函数，确定其定义域就是原函数的值域。
5.换元法包含代数换元、三角换元两种方法，换元后要特别注意新变量的范围。
6.判别式法判别式法即利用二次函数的判别式求值域。
7.复合函数法设复合函数为f[g(x)，]g(x) 为内层函数, 为了求出f的值域，先求出g(x)的值域, 然后把g(x) 看成一个整体，相当于f(x)的自变量x，所以g(x)的值域也就是f[g(x)]的定义域，然后根据 f(x)函数的性质求出其值域；8.不等式法基本不等式法：利用a+b≥2√ab(其中a,b∈R+)求函数值域时，要时刻注意不等式成立的条件，即“一正，二定，三相等”。
9.化归法用函数和他的反函数定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。
10.分离常数法把分子分母中都有的未知数变成只有分子或者只有分母的情况，由于分子分母中都有未知数与常数的和，所以一般来说我们分拆分子，这样把分子中的未知数变成分母的倍数，然后就只剩下常数除以一个含有未知数的式子。
函数的值域
课题：函数值域与最值（复习教案）一、知识点：（一）确定函数值域的因素：函数的值域是由函数的定义域和对应法则确定的。
注意：求函数的值域不要忽视了函数的定义域，一般，求函数值域先求函数的定义域。
（二）基本初等函数的值域：1、一次函数y=kx+b （k ≠0）的值域为R ；2、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的值域：当a ＞0时，值域为[ab ac 442-，﹢∞）；当a ＜0时，值域为（-∞，ab ac 442-]。
3、反比列函数y=xk（k ≠0，x ≠0）的值域为：{y|y ≠0，y ∈R}4、指数函数y=a x （a ＞0且a ≠1）的值域为：R +5、对数函数y=㏒a x （a ＞0，且a ≠1）的值域R6、正、余弦函数的值域为：[-1，+1]，正、余切函数的值域为R 二、求函数值域的常用方法：1、利用基本初等函数值域求一些简单的复合函数的值域例1、求函数y=log 21（x 2-6x+17）的值域。
解法1：设u= x 2-6x+17，则y=log 21u 由x 2-6x+17＞0得函数y 的定义域为R函数u 的在（-∞，3）上是减函数，在（3，+∞）上是增函数，当8≥u 时函数y=log 21u 在R 上是关于u 的减函数 所以函数y=log 21（x 2-6x+17），在（-∞，3）上是关于x 的增函数，在（3，+∞）上是关于x 的减函数。
y max =f （3）=log 218=-3 所以函数的值域为（-∞，-3]解法2：设u= x 2-6x+178≥，则y=log 21u （8≥u ） 求复合函数的值域等价于求外层函数的值域，由于y=log 21u （8≥u ）为减函数，因此8=u 时函数取得最大值3max -=y ，故函数y=log 21u （8≥u ）的值域为（-∞，-3]，即所求函数的值域为（-∞，-3]2、配方法----常用于二次函数或准二次函数 例2、求函数y=3x 2-6x+5（x ＜-2）的值域。
二次函数17个必背题型
二次函数17个必背题型二次函数是高中数学中的重要知识点，也是考试中经常出现的题型之一。
掌握二次函数的相关题型对于提高数学成绩非常重要。
下面将介绍17个必背题型，希望对大家的学习有所帮助。
1. 求二次函数的解析式。
解析式一般为y = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
2. 求二次函数的顶点坐标。
二次函数的顶点坐标为（-b/2a , f(-b/2a)），其中f(x)为二次函数的解析式。
3. 求二次函数的对称轴方程。
对称轴方程一般为x = -b/2a，即二次函数关于x = -b/2a对称。
4. 求二次函数的平移变换。
平移变换会改变二次函数的顶点坐标和对称轴方程，根据平移的方向和距离来确定变换后的函数。
5. 求二次函数的图像开口方向。
判断二次函数开口方向的关键是二次函数的系数a的正负情况，如果a > 0，则开口向上；如果a < 0，则开口向下。
6. 求二次函数的零点。
零点即为二次函数与x轴相交的点，可以通过解一元二次方程来求得。
7. 求二次函数的值域。
值域是指二次函数取得的所有y值的集合，根据开口方向和顶点坐标来确定值域。
8. 求二次函数与坐标轴的交点。
交点是指二次函数与x、y轴相交的点，可以通过求解方程组来求得交点坐标。
9. 求二次函数的最大值或最小值。
最大值或最小值即为二次函数的顶点的纵坐标，可以利用顶点坐标来求得。
10. 求二次函数的增减性和极值点。
利用导数的概念可以判断二次函数的增减性，极值点即为函数的最大值或最小值点。
11. 求二次函数的对称性。
二次函数关于对称轴具有对称性，可利用这一特点来求得函数的其他性质。
12. 求二次函数与直线的交点。
二次函数与直线相交的点可以通过求解方程组来求得交点坐标。
13. 求二次函数的导数。
计算二次函数的导数可以应用导数的基本公式和求导法则，导数表达式为f'(x) = 2ax + b。
14. 求二次函数的弦长。
求函数值域的几种常见方法详解
求函数值域的几种常见方法1.直接法:利用常见函数的值域来求。
一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R,值域为R; 反比例函数)0(≠=k xky 的定义域为{x|x ≠0},值域为{y|y ≠0}; 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R,当a>0时,值域为{a y y 4|2≥};当a<0时,值域为{ay y 4|2}、 例1.求下列函数的值域① y=3x+2 (-1≤x ≤1) ②x x f -+=42)( ③1+=x xy 解:①∵-1≤x ≤1,∴-3≤3x ≤3,∴-1≤3x+2≤5,即-1≤y ≤5,∴值域就是[-1,5] ②∵),0[4+∞∈-x ∴),2[)(+∞∈x f即函数x x f -+=42)(的值域就是 { y| y ≥2}③1111111+-=+-+=+=x x x x x y ∵011≠+x ∴1≠y 即函数的值域就是 { y| y ∈R 且y ≠1}(此法亦称分离常数法)(思考:如何使用口算法？) 2.二次函数在给定区间上的值域(最值)。
例2. 求下列函数的最大值、最小值与值域:①142+-=x x y ; ②]4,3[,142∈+-=x x x y ; ③]1,0[,142∈+-=x x x y ; ④]5,0[,142∈+-=x x x y ; 解:①∵抛物线的开口向上,对称轴2x =,函数的定义域R, ∴x=2时,y min =-3 ,∴函数的值域就是{y|y ≥-3 }、②∵抛物线的开口向上,对称轴2x =∉ [3,4],此时142+-=x x y 在[3,4]Z∴当x=3时,min y =-2 当x=4时,m ax y =1 ∴值域为[-2,1]、③∵抛物线的开口向上,对称轴2x =∉ [0,1], 此时142+-=x x y 在[0,1] ]∴当x=0时,m ax y =1 当x =1时,min y =-2 ∴值域为[-2,1]、④∵抛物线的开口向上,对称轴2x =∈ [0,5],∴当x=2时,m in y =-3 当 x=5时,m ax y =6(思考:为什么这里直接就说当 x=5时,m ax y =6,而不去考虑x=0对应的函数值情况？答:因为观察图像可知x=5离对称轴较远,其函数值比x=0对应的函数值大)∴值域为[-3,6]、注:对于二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f , ⑴若定义域为R 时, ①当a>0时,则当a bx 2-=时,其最小值ab ac y 442min -=; ②当a<0时,则当a b x 2-=时,其最大值ab ac y 442max -=、 ⑵若定义域为x ∈ [a,b],则应首先判定其对称轴abx 2-=就是否属于区间[a,b]、 ①若2b a -∈[a,b],则()2bf a -就是函数的最小值(a>0)时或最大值(a<0)时,再比较)(),(b f a f 的大小决定函数的最大(小)值、②若2ba-∉[a,b],则[a,b]就是在)(x f 的单调区间内,只需比较)(),(b f a f 的大小即可决定函数的最大(小)值、注:①若给定区间不就是闭区间,则可能得不到最大(小)值;②当顶点横坐标就是字母时,则应根据其对应区间特别就是区间两端点的位置关系进行讨论、 3.有解判别法:有解判别法一般用于分式函数,其分子或分母只能为二次式,并且分子、分母,没有公因式,解题中要注意二次项系数就是否为0的讨论例3.求函数y=1122+++-x x x x 值域解:原式可化为1)1(22+-=++x x x x y , 整理得2(1)(1)10y x y x y -+++-=, 若y=1,即2x=0,则x=0; 若y ≠1,由题∆≥0, 即0)14(-)1(22≥+y-y , 解得331≤≤y 且 y ≠1、 综上:值域{y|331≤≤y }、 例4.求函数66522-++-=x x x x y 的值域(注意此题分子、分母有公因式,怎么求解呢？)解:把已知函数化为(2)(3)361(2)(3)33x x x y x x x x ---===--+++ (x ≠2且 x ≠-3) 由此可得 y ≠1∵ x=2时 51-=y ∴ 51-≠y ∴函数66522-++-=x x x x y 的值域为 { y| y ≠1且 y ≠51-}说明:此法就是利用方程思想来处理函数问题,一般称有解判别法、一般用于分式函数,其分子或分母只能为二次式并且分子、分母,没有公因式、解题中要注意二次项系数就是否为0的讨论、 4.换元法例5.求函数x x y -+=142的值域解:设 x t -=1 则 t ≥0 x=1-2t代入得 t t t f y 4)1(2)(2+-⋅==2242t t =-++开口向下,对称轴1t =[0,)∈+∞ ∴1t =时,max (1)4y f == ∴值域为(,4]-∞ 5.分段函数例6.求函数y=|x+1|+|x-2|的值域、解:将函数化为分段函数形式:21(2)3(12)21(1)x x y x x x ⎧-≥⎪=-≤<⎨⎪-+<-⎩,画出它的图象(下图),由图象可知,函数的值域就是{y|y ≥3}、说明:以上就是求函数值域常用的一些方法(观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等),随着知识的不断学习与经验的不断积累,还有如不等式法、三角代换法等、有的题可以用多种方法求解,有的题用某种方法求解比较简捷,同学们要通过不断实践,熟悉与掌握各种解法,并在解题中尽量采用简捷解法、 ★练习:1、34252+-=x x y答案:值域就是{05}y y <≤、 2、求函数的值域①x x y -+=2;②y x =+答案:值域就是(-∞,49]、 答案:值域就是{2}y y ≥- 小结:求函数值域的基本方法(直接法、换元法、判别式法);二次函数值域(最值)或二次函数在某一给定区间上的值域(最值)的求法、。
二次函数的值域问题
([-3，32])
(2). f(x)=-x2+4x+5(x∈[1,4]); ([5,9])
2、 函数y x2 4x 2在区间3,5上的最小值为 -2
3.函数f(x)=x2-2x+3在闭区间[0,m]上有最大 值3,最小值2,求m的取值范围. ([1,2])
五、布置作业：
1.求f(x)=x2-4x+6,-2x-3,求x在下列范围内函数的值域.
(1)x∈R (2)0<x<3 (3)-2≤x≤0
解:配方得: y=(x-1)2-4
(1) ∵x∈R
(4)3<x<4
y
∴y≥-4
∴值域为[-4,+∞)
(2) ∵0<x<3
∴值域为[-4,0) (3) ∵-2≤x≤0
-1 O 1 3
x
∴值域为[-3,5]
,
＋∞)单调递减
最值
最小值为 4ac-b2
4a
最大值为 4ac-b2
4a
例1.在下列条件下求函数y x2 2x 3的值域
(1)x R (2)x (2, 3]
(3)x [0, 3) (4)x (1, 0]
从图象上观察得到当x R 时,值域为（-，4]
x (2, 3] 时,值域为0, 3
当x [0, 3)时,值域为(0, 4] 当x (1, 0]时,值域为(0, 3]
2.已知二次函数f(x)的图象的对称轴为x=x0,它在 ［a,b］上的值域为[f(b),f(a)],则( )
A. x0 b
B. x0 a
C.x0∈[a,b]
D.x0 [a,b]
3.函数y=x2+2(a-1)x+2的最小值为2,求a的值.
二次函数的值域
当 a 0 ，即 a 0时， 2 ymax f (1) a 4 ymin f (0) 3
例3、求 f (x) x2 ax 3
0 x 1
在
xa 2
01 1 2
图（3）
3、由图（3）得：
当 0 a 1 ，即 1 a 时0，
22
ymax f (1) a 4
设计意图：利用简单的原理解决复杂的问题
三、定函数动区间的二次函数的值域
例2 求函数y=x2-2x+3在区间[0，a]上的最 值，并求此时x的值。
解:函数图象的对称轴为直线x=1,抛物线开口向 上1.当0<a≤1时，函数在[0，a]上单调递减，
y
∴当x=0时，ymax=3 当x=a时，ymin=a2-2a+3 3
值域为 , 4
另外也可以从函数的图象上去理解。
2 1
-1 0 -1
123
A(
b
4ac b2
,
)
2a 4a
2
A(
b
4ac b2
,
)
2a 4a
1
-1 0 -1
123
二、定义域不为R的二次函数的值域
例1、 当x∈(2,3] 时, 求函数 y x2 2 x 3 的值域
从图象上观察得到当x (2, 3] 时y [0, 3 4 y (1,4)
递增,
∴当x=1时,ymin=2 当x=0时，ymax=3
3 2
o 1 2x a
例2 求函数y=x2-2x+3在区间[0，a]上的最 值，并求此时x的值。
解:函数图象的对称轴为直线x=1,抛物线开口向上
1.当a≤1时，函数在[0，a]上单调递减，
二次函数知识点
二次函数知识点一、二次函数的定义。
二次函数是一种特殊的多项式函数，其一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a不等于0。
二次函数的图像是一个抛物线，开口方向由a的正负决定，当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。
二、二次函数的图像特点。
1. 抛物线的开口方向由二次项的系数a决定，a大于0时开口向上，a小于0时开口向下。
2. 抛物线的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
3. 抛物线的对称轴方程为x = -b/2a。
4. 抛物线的轴与y轴的交点为(0, c)。
5. 当a大于0时，抛物线在顶点处取得最小值；当a小于0时，抛物线在顶点处取得最大值。
6. 当a等于0时，函数变成一次函数，其图像为一条直线。
三、二次函数的性质。
1. 对称性，二次函数的图像关于其对称轴对称。
2. 单调性，当a大于0时，二次函数在对称轴左侧单调递减，在对称轴右侧单调递增；当a小于0时，二次函数在对称轴左侧单调递增，在对称轴右侧单调递减。
3. 零点，二次函数的零点即为方程f(x) = 0的解，其判别式Δ = b^2 4ac决定了二次函数的零点个数和位置。
4. 最值，当a大于0时，二次函数在对称轴上取得最小值；当a小于0时，二次函数在对称轴上取得最大值。
5. 范围，当a大于0时，二次函数的值域为[f(-b/2a), +∞)；当a小于0时，二次函数的值域为(-∞, f(-b/2a)]。
四、二次函数的应用。
1. 物理学，二次函数可以描述抛体运动的轨迹。
2. 经济学，二次函数可以描述成本、收益、利润等经济指标随产量变化的关系。
3. 工程学，二次函数可以描述建筑物、桥梁等结构的受力情况。
4. 生活中，二次函数可以描述物体的运动轨迹、声音的传播等现象。
五、解二次函数的方法。
1. 因式分解法，当二次函数可以因式分解为两个一次因式的乘积时，可以通过因式分解的方法求解。
2. 公式法，利用二次函数的根的求解公式x = (-b±√Δ)/2a求解二次函数的零点。
二次函数比二次函数求值域
二次函数比二次函数求值域二次函数是高中数学中的重要内容之一，它在数学和实际问题中都有广泛的应用。
而求解二次函数的值域是我们在解题过程中常常遇到的问题之一。
本文将从二次函数的定义、图像以及求值域的方法等方面进行探讨。
首先，我们来回顾一下二次函数的定义。
二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数，且a≠0。
二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由a的正负决定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
接下来，我们来讨论如何求解二次函数的值域。
对于二次函数y=ax^2+bx+c，我们可以通过以下几个步骤来求解其值域：第一步，确定二次函数的开口方向。
根据二次函数的定义，我们可以通过判断a的正负来确定抛物线的开口方向。
如果a>0，则抛物线开口向上；如果a<0，则抛物线开口向下。
第二步，找出二次函数的顶点。
二次函数的顶点是抛物线的最高点（开口向下）或最低点（开口向上）。
顶点的横坐标可以通过求解二次函数的一阶导数为0的方程来得到，即x=-b/2a。
将x的值代入二次函数的表达式中，即可求得顶点的纵坐标。
第三步，确定二次函数的值域。
根据二次函数的开口方向和顶点的纵坐标，我们可以得出二次函数的值域。
如果抛物线开口向上，则值域为顶点的纵坐标到正无穷；如果抛物线开口向下，则值域为负无穷到顶点的纵坐标。
最后，我们来举一个具体的例子来说明求解二次函数的值域的方法。
假设有一个二次函数y=x^2+2x+1，我们来求解其值域。
首先，根据二次函数的定义，我们可以得知该二次函数的开口方向是向上的。
然后，我们来求解二次函数的顶点。
根据公式x=-b/2a，我们可以得到x=-2/2= -1。
将x=-1代入二次函数的表达式中，我们可以得到y=(-1)^2+2*(-1)+1=1。
最后，根据二次函数的开口方向和顶点的纵坐标，我们可以得出该二次函数的值域为1到正无穷。
综上所述，求解二次函数的值域需要确定开口方向、找出顶点，并根据这些信息来确定值域的范围。
二次比二次求值域
二次比二次求值域二次函数在数学中是一种重要的函数形式，它的一般形式可以表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是常数，且a不等于0。
二次函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线。
求二次函数的值域是指找出所有可能的y值的范围。
对于二次函数y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是已知的常数，我们需要找到y的所有可能值。
我们可以观察二次函数的图像形状来推测它的值域。
如果a大于0，那么抛物线开口向上，最低点为顶点，此时值域为该顶点的y值到正无穷；如果a小于0，那么抛物线开口向下，最高点为顶点，此时值域为负无穷到该顶点的y值。
然而，为了准确地求出二次函数的值域，我们需要使用一些数学方法。
以下是几种常用的方法：1. 完成平方法：通过将二次函数表示为完全平方的形式，可以得到二次函数的最小值（或最大值），从而确定值域的范围。
完成平方法的基本思想是将二次函数表示为一个平方加上一个常数的形式。
例如，对于函数y=ax^2+bx+c，我们可以将其表示为y=a(x-h)^2+k的形式，其中(h,k)是抛物线的顶点。
通过找到顶点的坐标，我们可以确定值域的范围。
2. 导数法：对于二次函数，我们可以求其导数来找到极值点。
通过求导并令导数等于零，我们可以找到极值点的横坐标，然后将其代入二次函数中求得相应的纵坐标。
这样，我们可以确定值域的范围。
3. 定义域法：对于二次函数y=ax^2+bx+c，我们可以先确定其定义域的范围，然后通过分析函数的图像形状来确定值域。
例如，如果定义域是实数集，且a大于0，那么值域是从抛物线的顶点（最小值）到正无穷；如果a小于0，那么值域是负无穷到顶点（最大值）。
通过以上几种方法，我们可以求得二次函数的值域。
需要注意的是，求值域时要考虑到函数的定义域、图像形状以及可能的极值点等因素，以确保结果的准确性。
总结起来，求二次函数的值域是一个重要的数学问题。
通过使用完成平方法、导数法和定义域法等方法，我们可以确定二次函数的值域的范围。
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二次函数的值域及应用
教学内容：二次函数值域及应用
教学目标：
1、知识与能力目标：理解并掌握二次函数用配方法求值域，能够熟练求出含有字母参数的二次函数值域求法及应用。
2、过程与方法目标：培养学生观察、比较、分析、推理的能力。
让学生体会由特殊到一般和数形结合的思想方法。
3、情感与价值观目标：在交流讨论过程中体验探究的方法、乐趣和价值。
获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力。
培养学生科学的探究精神。
教学重点：
二次函数在给定区间上的值域的求法
教学难点：
对称轴含参数时二次函数定区间值域的求法
教学方法：
启发、讨论、引导式
教学过程：
（一）复习回顾
我们知道，二次函数()02≠++=a c bx ax y 当R x ∈时的值域是先把它配方为
a b ac a b x a y 44222
-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 则当0>a 时，值域为⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-∈,442a b ac y ；当0<a 时，值域为⎥⎦⎤ ⎝
⎛-∞-∈a b ac y 44,2 如：322++-=x x y ()412
+--=x ∴值域为(]4,∞-∈y （二）启发诱导、探索求知
如果二次函数()02≠++=a c bx ax y 的定义域在某一区间内时，则不仅要考虑图象顶点的函数值，而且必须考虑这一区间端点的函数值（一般可结合函数图
象进行分析），注意函数在这一区间内的单调性。
举例：已知函数322--=x x y 求函数)(x f y =在下列区间上的值域。
（1）[]2,0x ∈-（2）[]2,4x ∈（3）]3,0[∈x （4）]2,1[-∈x
过程：
1）对称轴为[]12,0x =∉-，且[]2,0x ∈-在对称轴x=1左侧
故函数f(x)在区间[0,2]上为减函数。
所以函数)(x f y = 的值域是：[-3,5](指出对称轴与区间位置特征)
2）对称轴[]12,4x =∉，且[]2,4x ∈在对称轴x=1右侧
故函数f(x)在区间[2，4]上为增函数。
所以函数)(x f y = 的值域是：[-3,5] (指出对称轴与区间位置特征)
3）对称轴]3,0[1∈=x ，且顶点的纵坐标为函数的最小值，
所以函数)(x f y = 的值域是：[-4,0] (指出对称轴与区间位置特征)
4）同上。
函数值域为[-4,0]
引导学生的得出规律-----二次函数的值域与区间之间存在着什么样关系？(教师引导、学生讨论)
求二次函数值域时，要紧紧抓住对称轴和区间的位置关系。
分为四种情况：
（1）对称轴在区间右边
（2）对称轴在区间左边
（3）对称轴在区间内，且靠近左端点
（4）对称轴在区间内，且靠近右端点
针对不同的位置，二次函数的值域的求法使学生体验从特殊到一般的学习规律，认识事物之间的普遍联系与相互转化，培养学生用运动的观点看问题。
（三）巩固新知、举一反三
例：已知函数2223,y x ax a =-+-若[]1,2,x ∈-求函数最小值()m a 。
学生分析：讨论对称轴x=a 与区间[-1，2]的位置关系。
当 时， 22)1()()(2
min -+=-==a a f a m x f
当 时，
当 时， 14)2()()(2
min +-===a a f a m x f
(,1)a ∈-∞-[]1,2a ∈-min ()()()3f x m a f a ===-(2,)a ∈+∞
本环节的目的是实现学生知识的应用，完成“实践―――认识―――再实践”过程，力求通过例题的讲授、规范的板书养成学生良好地解题习惯，起到教师的示范作用。
（四）归纳小结、深化目标
1、对于二次函数()02≠++=a c bx ax y 在R x ∈时的值域，只要配方得到顶点，顶点处即为最大值或最小值，从而得到函数的值域。
2、对于二次函数()02≠++=a c bx ax y ，且定义域为某一区间，这时的值域不仅要考虑顶点，而且要考虑区间端点处的函数值；
3、对于二次函数()02≠++=a c bx ax y 中含有待定系数时，要注意待定系数所取的值决定的顶点是否在定义域范围内，必要时进行分类讨论。
当顶点不在区间内时，注意函数的单调性。
（动轴定区间）
（五）作业练习
1、函数y x x =-+-242在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。
2、已知x 21≤，求函数32)(2++=ax x x f 的最小值。
（六）课堂教学设计说明
1、本节课的要点是在学生掌握二次函数值域的基础上，深入研究其在某一给定区间上的最值。
根据这类问题的主要题型，为此设计了“轴变区间定”的题型，并着重介绍此类问题的研究方法，比如例题。
2、通过例题的设计着重体现了数形结合和分类讨论两种重要的思想方法，使学生体会到图象和参数在数学学习中的重要地位，体现出运动、变化的特征。
3、通过由易到难的学习，帮助学生更好地理解问题，提高学习数学的兴趣，提高课堂教学效率。