第五章 稳恒磁场典型例题

第五章 稳恒磁场

设0x <的半空间充满磁导率为μ的均匀介质，0x >的半空间为真空，今有线电流沿z 轴方向流动，求磁感应强度和磁化电流分布。

解：如图所示

令 110A I H e r = 220A I

H e r

= 由稳恒磁场的边界条件知，

12t t H H = 12n n B B = 又 B μ= 且 n H H =

所以 1122H H μμ= (1) 再根据安培环路定律

H dl I ⋅=⎰

得 12I

H H r

π+= (2) 联立(1),(2)两式便解得

，

2112

0I I H r r

μμμμπμμπ=⋅

=⋅++

01212

0I I H r r

μμμμπμμπ=

⋅

=⋅++ 故， 01110I

B H e r θμμμμμπ==⋅+ 02220I

B H e r

θμμμμμπ==

⋅+ 212()M a n M M n M =⨯-=⨯ 2

20

(

)B n H μ=⨯-

00()0I

n e r

θμμμμπ-=

⋅⋅⨯=+ 222()M M M J M H H χχ=∇⨯=∇⨯=∇⨯

00

00(0,0,)z

J Ie z μμμμδμμμμ--=⋅=⋅++ 半径为a 的无限长圆柱导体上有恒定电流J 均匀分布于截面上，试解矢势

A 的微分方程，设导体的磁导率为0μ，导体外的磁导率为μ。

？

解： 由电流分布的对称性可知，导体内矢势1A 和导体外矢势2A 均只有z e 分

量，而与φ，z 无关。由2A ∇的柱坐标系中的表达式可知，只有一个分量，即 210A J μ∇=- 220A ∇= 此即

1

01()A r J r r r μ∂∂=-∂∂

2

1()0A r r r r

∂∂=∂∂ 通解为 21121

ln 4

A Jr b r b μ=-++

212ln A c r c =+ 当0r =时，1A 有限，有10b =

由于无限长圆柱导体上有恒定电流J 均匀分布于截面上，设r a =时， 120A A ==,得

202121

ln 04

Ja b c a c μ-+=+=

)

又r a =时，

120

1

1

e A e A ρρμμ⨯∇⨯=

⨯∇⨯，得 11

2c Ja a μ-=

所以 2221220111

,,224c Ja c Ja b Ja μμμ=-=-=

所以， 22101

()4

A J r a μ=--

221ln 2a A Ja r

μ=

写成矢量形式为 22101

()4

A J r a μ=--

221ln 2a A Ja r

μ=

设无限长圆柱体内电流分布，0()z J a rJ r a =-≤求矢量磁位A 和磁感应B 。 解：

建立坐标系如图所示，电流分布为 0,z J a rJ =- r a ≤ 0= ， r a > 从电流分布可以知道磁矢位仅有z 分量，即 z z A A a = 且满足方程 20A J μ∇=-

~

设在圆柱体内磁位是1A 圆柱体外磁位是2A ，则 当r a ≤时，

1

001()A r rJ r r r

μ∂∂=+∂∂ 当r a ≥时，

2

1()0A r r r r

∂∂=∂∂ 所以 3100121

ln 9

A J r C r C μ=++

234ln A C r C =+ 其中1234,,,C C C C 是待定常数。

由于0r =处磁矢位不应是无穷大，所以10C =。

利用边界条件，有 320019C J a μ=-；330013C J a μ=；34001

ln 3C J a a μ=-

最后得： 3311000011

()99z z A a A J r J a a μμ==-

33001

()9

z J r a a μ=-

—

322001ln 3z z r

A a A J a a a

μ==

由B A =∇⨯得： 2111001

3

A B A a J r a r ϕϕμ∂=∇⨯=-=-∂ 3222001

3z A B A a J a a r r

ϕμ∂=∇⨯=-=-∂

载有电流的细导线，右侧为半径的半圆弧，上下导线相互平行，并近似为向左侧延伸至无穷远。试求圆弧中心点处的磁感应强度。

解： 对圆弧中心点O 的磁感应强度，可认为是半圆弧电流与两条半直线电流，分别在O 点产生的磁感应强度的叠加。

：

对于半圆弧在O 点产生的磁感应强度1B ，可用毕奥-萨伐定律求得为

014I

B R

μ=

方向沿垂直纸面向外。

同样一根半长直线在O 点产生的磁感应强度'2B 为 '024I

B R

μπ= 方向沿垂直纸面向外。 故O 点处的磁感应强度

'122B B B =+⨯ 00244I I

B R R

μμππ=+⨯ 代入数值得

】

55.110()B T -=⨯ 方向沿垂直纸面向外。

两根无限长直导线，布置于1,0x y =±=处，并与z 轴平行，分别通过电流I 及I -，求空间任意一点处的磁感应强度B 。