第五章 稳恒磁场典型例题

第五章 稳恒磁场设0x <的半空间充满磁导率为μ的均匀介质，0x >的半空间为真空，今有线电流沿z 轴方向流动，求磁感应强度和磁化电流分布。

解：如图所示令 110A I H e r = 220A IH e r= 由稳恒磁场的边界条件知，12t t H H = 12n n B B = 又 B μ= 且 n H H =所以 1122H H μμ= (1) 再根据安培环路定律H dl I ⋅=⎰得 12IH H rπ+= (2) 联立(1),(2)两式便解得，21120I I H r rμμμμπμμπ=⋅=⋅++012120I I H r rμμμμπμμπ=⋅=⋅++ 故， 01110IB H e r θμμμμμπ==⋅+ 02220IB H e rθμμμμμπ==⋅+ 212()M a n M M n M =⨯-=⨯ 220()B n H μ=⨯-00()0In e rθμμμμπ-=⋅⋅⨯=+ 222()M M M J M H H χχ=∇⨯=∇⨯=∇⨯0000(0,0,)zJ Ie z μμμμδμμμμ--=⋅=⋅++ 半径为a 的无限长圆柱导体上有恒定电流J 均匀分布于截面上，试解矢势A 的微分方程，设导体的磁导率为0μ，导体外的磁导率为μ。

？解： 由电流分布的对称性可知，导体内矢势1A 和导体外矢势2A 均只有z e 分量，而与φ，z 无关。

由2A ∇的柱坐标系中的表达式可知，只有一个分量，即 210A J μ∇=- 220A ∇= 此即101()A r J r r r μ∂∂=-∂∂21()0A r r r r∂∂=∂∂ 通解为 21121ln 4A Jr b r b μ=-++212ln A c r c =+ 当0r =时，1A 有限，有10b =由于无限长圆柱导体上有恒定电流J 均匀分布于截面上，设r a =时， 120A A ==,得202121ln 04Ja b c a c μ-+=+=)又r a =时，12011e A e A ρρμμ⨯∇⨯=⨯∇⨯，得 112c Ja a μ-=所以 2221220111,,224c Ja c Ja b Ja μμμ=-=-=所以， 22101()4A J r a μ=--221ln 2a A Ja rμ=写成矢量形式为 22101()4A J r a μ=--221ln 2a A Ja rμ=设无限长圆柱体内电流分布，0()z J a rJ r a =-≤求矢量磁位A 和磁感应B 。

解：建立坐标系如图所示，电流分布为 0,z J a rJ =- r a ≤ 0= ， r a > 从电流分布可以知道磁矢位仅有z 分量，即 z z A A a = 且满足方程 20A J μ∇=-~设在圆柱体内磁位是1A 圆柱体外磁位是2A ，则 当r a ≤时，1001()A r rJ r r rμ∂∂=+∂∂ 当r a ≥时，21()0A r r r r∂∂=∂∂ 所以 3100121ln 9A J r C r C μ=++234ln A C r C =+ 其中1234,,,C C C C 是待定常数。

由于0r =处磁矢位不应是无穷大，所以10C =。

利用边界条件，有 320019C J a μ=-；330013C J a μ=；34001ln 3C J a a μ=-最后得： 3311000011()99z z A a A J r J a a μμ==-33001()9z J r a a μ=-—322001ln 3z z rA a A J a a aμ==由B A =∇⨯得： 21110013A B A a J r a r ϕϕμ∂=∇⨯=-=-∂ 32220013z A B A a J a a r rϕμ∂=∇⨯=-=-∂载有电流的细导线，右侧为半径的半圆弧，上下导线相互平行，并近似为向左侧延伸至无穷远。

试求圆弧中心点处的磁感应强度。

解： 对圆弧中心点O 的磁感应强度，可认为是半圆弧电流与两条半直线电流，分别在O 点产生的磁感应强度的叠加。

：对于半圆弧在O 点产生的磁感应强度1B ，可用毕奥-萨伐定律求得为014IB Rμ=方向沿垂直纸面向外。

同样一根半长直线在O 点产生的磁感应强度'2B 为 '024IB Rμπ= 方向沿垂直纸面向外。

故O 点处的磁感应强度'122B B B =+⨯ 00244I IB R Rμμππ=+⨯ 代入数值得】55.110()B T -=⨯ 方向沿垂直纸面向外。

两根无限长直导线，布置于1,0x y =±=处，并与z 轴平行，分别通过电流I 及I -，求空间任意一点处的磁感应强度B 。

解：无限长直导线产生的矢量磁位为 00ln 2z I r A a rμπ=0r 为有限值。

对于本题，可利用叠加原理，p 点的矢量磁位可看做是位于1x =-处的长直导线产生的矢量磁位和位于1x =+处的长直导线产生的矢量磁位的叠加，即 00012(ln ln )2z I r rA a r r μπ=- 021ln 2zI r a r μπ= <20212cos ln()212cos zI r r a r r μϕπϕ++=+- 根据1()z zz z r A A B A a A a a r r φφ∂∂=∇⨯=∇⨯=-+∂∂ 有202212(1)sin r I r B r r μφπ+=-202212(1)cos I r B r r ϕμφπ-=0z B =半径的磁介质球，具有磁化强度为2()z M a Az B =+ 求磁化电流和磁荷。

解: 球内：等效磁化电流体密度为@等效磁荷体密度为m J M =∇⨯221()()0r a Az B a Az B r rϕϕ∂∂=+-+=∂∂ 等效磁荷密度为2m z M M Az zρ∂=-∇⋅=-=-∂ 球表面：磁化面电流密度为sm z r J M n a M a =⨯=⨯ 因球面上 cos z a θ=故 2[(cos )]sin sm J a A a B ϕθθ=+ 其磁荷面密度为 2[(cos )]cos m n M a A a B ϕσθθ=⋅=+已知两个相互平行，相隔距离为d ，共轴圆线圈，其中一个线圈的半径为a ()a d <，另一个线圈的半径为b ，试求两线圈之间的互感系数。

】解：如图所示，设1C 中电流为1I ，在轴线上产生的磁场为 21132222()z I b B b d μ=+因da ，可认为B 在包围的面积2S 上是均匀的，所以2201211232222()I b B S a b d μϕπ==+根据互感系数的定义，得/22021322212()a b M I b d μπϕ==+两平行无限长直线电流1I 和2I ，相距为d ，求每根导线单位长度受到的安培力m F 。

解： 一根无限长直导线电流的磁场 0112I B a rϕμπ= 另一根直导线电流的电流元22I dl 受到磁场力 221dF I dl B =⨯ 01222I I dl a ϕμπ=⨯01222x I I a dl dμπ=- 故单位长受力 0122m xI I F a dμπ=- "一个薄铁圆盘，半径为a ，厚度为b ()b a ，如题图所示。

在平行于z 轴方向均匀磁化，磁化强度为M 。

试求沿圆铁盘轴线上、铁盘内、外的磁感应强度和磁场强度。

解 由于铁盘均匀磁化，且磁化方向沿z 正向，故令z M Me =，其中M 为常数。

由此可知磁化电流面密度0m J M =∇⨯=铁盘上、下底面的磁化电流线密度()10m n z z K M e Me e =⨯=⨯±=题图铁盘侧面周边边缘上的磁化电流线密度m n z K M e Me e Me ρφ=⨯=⨯=这样可将圆盘视为相当于m I K b =的圆形磁化电流，求此电流在各处产生的磁场。

又由于ba ，可视为圆环电流产生的磁场。

在铁盘轴线上产生的磁场为()()22003232222222Ia Mba B z az aμμ==++()2322202BMba H z aμ==+B 、H 的方向沿z 方向。

铁盘内由于0μμ，可得001B M μμμ⎛⎫-= ⎪⎝⎭0B M μ≈ 在铁盘内是均匀分布的磁场。

均匀磁化的无限大导磁媒质的磁导率为μ，磁感应强度为B ，若在该媒质内有两个空腔，，空腔1形状为一薄盘，空腔2像一长针，腔内都充有空气。

试求两空腔中心处磁场强度的比值。

解 此题由于空腔的形状可以利用边界条件确定空腔内的场分布。

对空腔1其中心处的场强与侧边界的场强相同。

由于B 在其法线方向，由分界面上的边界条件12n n B B =，可得到中心点的磁感应强度1B B =，10H H μμ=。

题 图对空腔2侧面是沿B 的方向，由分界面上的边界条件12t t H H =，可得中心点处的磁场强度2H H =，02B B μμ=。

两空腔中心处磁场强度的比值为120H H H Hμμμμ==两个无限大且平行的等磁位面D 、N ，相距h ，10mD ϕ=A ，0mN ϕ=。

其间充以两种不同的导磁媒质，其磁导率分别为10μμ=，202μμ=，分界面与等磁位面垂直，求媒质分界面单位面积受力的大小和方向。

解 根据m H ϕ=-∇则10mD mNH hhϕϕ-==，方向沿分界面切线方向。

利用分界面上的边界条件，1210t t H H h==，则 010110B H h μμ==202202B H hμμ==利用磁感应线管，沿分界面法向受到侧压力，故单位面积受力的大小为0012112251122f f f B H B H hμ=-=-=- 00f <，说明作用力沿媒质2指向媒质1，即从磁导率大的媒质指向磁导率小的媒质。

题图长直导线附近有一矩形回路，回路与导线不共面，如题图()a 所示。

证明：直导线与矩形回路间的互感为()012122222ln 22aRM b R C b R μπ=-⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦题图()a题图()b解 设长直导线中的电流为I ，则其产生的磁场为 02I B rμπ=由题图()b 可知，与矩形回路交链的磁通ψ为1000121ln 222R SRI aI aI RB dS dr r R μμμψπππ===⎰⎰其中 (12122212R C b R b ⎡⎤⎡=++=++⎢⎥⎣⎣⎦故直导线与矩形回路间的互感为12200122ln ln 22R b a a R M I R R μμψππ⎡++⎣⎦===()012122222ln 22aRb R C b R μπ=-⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦一环形螺线管的平均半径015r cm =，其圆形截面的半径2a cm =，铁芯的相对磁导率1400r μ=，环上绕1000N =匝线圈，通过电流0.7I A =。