全国I卷近十年(2010-2019)高考文科数学真题分类汇编合集
十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题06平面向量文(含解析)
专题06平面向量历年考题细目表历年高考真题汇编1．【2019年新课标1文科08】已知非零向量，满足||＝2||，且（）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．【解答】解：∵（）⊥，∴，∴，∵，∴．故选：B．2．【2018年新课标1文科07】在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则（）A．B．C．D．【解答】解：在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，（），故选：A．3．【2015年新课标1文科02】已知点A（0，1），B（3，2），向量（﹣4，﹣3），则向量（）A．（﹣7，﹣4）B．（7，4）C．（﹣1，4）D．（1，4）【解答】解：由已知点A（0，1），B（3，2），得到（3，1），向量（﹣4，﹣3），则向量（﹣7，﹣4）；故选：A．4．【2014年新课标1文科06】设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则（）A．B．C．D．【解答】解：∵D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，∴（）+（）（），故选：A．5．【2010年新课标1文科02】平面向量，已知（4，3），（3，18），则夹角的余弦值等于（）A．B．C．D．【解答】解：设（x，y），∵a＝（4，3），2a+b＝（3，18），∴∴cosθ，故选：C．6．【2017年新课标1文科13】已知向量（﹣1，2），（m，1），若向量与垂直，则m＝．【解答】解：∵向量（﹣1，2），（m，1），∴（﹣1+m，3），∵向量与垂直，∴（）•（﹣1+m）×（﹣1）+3×2＝0，解得m＝7．故答案为：7．7．【2016年新课标1文科13】设向量（x，x+1），（1，2），且⊥，则x＝．【解答】解：∵；∴；即x+2（x+1）＝0；∴．故答案为：．8．【2013年新课标1文科13】已知两个单位向量，的夹角为60°，t（1﹣t）．若•0，则t＝．【解答】解：∵，，∴0，∴t cos60°+1﹣t＝0，∴10，解得t＝2．故答案为2．9．【2012年新课标1文科15】已知向量夹角为45°，且，则．【解答】解：∵， 1∴∴|2|解得故答案为：310．【2011年新课标1文科13】已知a与b为两个垂直的单位向量，k为实数，若向量与向量k垂直，则k＝．【解答】解：∵∴∵垂直∴即∴k＝1故答案为：1考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：平面向量的线性运算，平面向量基本定理及坐标表示，平面向量的数量积，平面向量的综合应用等.历年考题主要以选择填空题型出现，重点考查的知识点为：平面向量的线性运算，平面向量基本定理及坐标表示，平面向量的数量积等，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点平面向量的线性运算，平面向量的数量积，平面向量的综合应用等为重点较佳.最新高考模拟试题1．在ABC ∆中，，，若，则（ ）A ．3y x =B ．3x y =C ．3y x =-D ．3x y =-【答案】D 【解析】 因为，所以点D 是BC 的中点，又因为，所以点E 是AD 的中点，所以有：，因此，故本题选D.2．已知非零向量a ,b 的夹角为60,且满足22a b -=,则a b ⋅的最大值为( ) A ．12B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】因为非零向量a ,b 的夹角为60,且满足22a b -=, 所以，即，即，又因为，当且仅当2a b =时，取等号；所以，即2a b ≤；因此，.即a b ⋅的最大值为1. 故选B3．设a ，b 均为单位向量，则“a 与b 夹角为2π3”是“||3a b +=”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】因为a ，b 均为单位向量， 若a 与b 夹角为2π3，则；因此，由“a 与b 夹角为2π3”不能推出“||3a b +=”； 若||3a b +=，则，解得1cos ,2a b =，即a 与b 夹角为π3， 所以，由“||3a b +=”不能推出“a 与b 夹角为2π3” 因此，“a 与b 夹角为2π3”是“||3a b +=”的既不充分也不必要条件. 故选D4．在矩形ABCD 中，4AB =uu u r,2AD =．若点M ，N 分别是CD ，BC 的中点，则AM MN ⋅=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C 【解析】由题意作出图形，如图所示：由图及题意，可得：，.∴.故选：C ．5．已知P 为等边三角形ABC 所在平面内的一个动点，满足，若2AB =，则（ ）A ．B ．3C ．6D ．与λ有关的数值【答案】C 【解析】如图：以BC 中点为坐标原点O ，以BC 方向为x 轴正方向，OA 方向为y 轴正方向，建立平面直角坐标系，因为2AB =，则3AO =，因为P 为等边三角形ABC 所在平面内的一个动点，满足，所以点P 在直线BC ，所以AP uu u r在AO 方向上的投影为AO ， 因此.故选C6．已知向量，且()a a b ⊥-，则m 的值为（ ）A ．1B ．3C ．1或3D ．4【答案】B 【解析】 因为，所以，因为()a a b ⊥-，则，解得3m =所以答案选B.7．已知向量a 、b 为单位向量，且a b +在a 1，则向量a 与b 的夹角为（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】A 【解析】设向量a 与b 的夹角为θ， 因为向量a 、b 为单位向量，且a b +在a 1+， 则有，变形可得：，即，又由0θπ≤≤，则6πθ=，故选A ．8．在矩形ABCD 中，与BD 相交于点O ，过点A 作AE BD ⊥，垂足为E ，则AE EC ⋅=（ ）A ．725B ．14425C ．125D ．1225【答案】B 【解析】 如图：由3AB =，4=AD 得：，又AE BD ⊥又本题正确选项：B9．已知直线y=x+m 和圆x 2+y 2=1交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若，则实数m=（ ）A ．1±B ．2±C ．2±D ．12±【解析】联立221y x m x y =+⎧⎨+=⎩ ，得2x 2+2mx+m 2-1=0， ∵直线y=x+m 和圆x 2+y 2=1交于A 、B 两点，O 为坐标原点，∴△=4m 2+8m 2-8=12m 2-8＞0，解得m 或m ＜，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=-m ，，y 1y 2=（x 1+m ）（x 2+m ）=x 1x 2+m （x 1+x 2）+m 2，AO =（-x 1，-y 1），AB =（x 2-x 1，y 2-y 1），∵+y 12-y 1y 2=1+m 2-m 2=2-m 2=32，解得m= 故选：C ．10．已知菱形ABCD 的边长为2，，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，3BC BE =，DC DF λ=，若1AE AF ⋅=，则λ的值为（ ）A ．3B ．2C ．23 D ．52【答案】B 【解析】 由题意可得：，且：，故，解得：2λ=.11．已知正ABC ∆的边长为4，点D 为边BC 的中点，点E 满足AE ED =，那么EB EC ⋅的值为（ ） A ．83- B ．1-C ．1D ．3【答案】B 【解析】由已知可得：，又所以所以故选：B ．12．在ABC ∆中，3AC =，向量AB 在AC 上的投影的数量为，则BC =( )A ．5B ．C ．29D ．【答案】C 【解析】∵向量AB 在AC 上的投影的数量为2-，∴．① ∵3ABC S ∆=，∴，∴．②由①②得tan1A=-，∵A为ABC∆的内角，∴34Aπ=，∴．在ABC∆中，由余弦定理得，∴BC=故选C．13．在△ABC中，，则λμ+=（）A．1-3B．13C．1-2D．12【答案】A【解析】因为所以P为ABC∆的重心，所以, 所以,所以因为，所以故选：A14．在ABC∆中，，则（）A．9:7:8B．C．6:8:7D．【答案】B【解析】设所以，所以，所以，得所以故选：B15．在平行四边形ABCD中，若则ADC∠=( )A．56πB．34πC．23πD．2π【答案】C【解析】如图所示,平行四边形ABCD中, ,，，,因为,所以, ，所以，故选C.16．已知△ABC中，．点P为BC边上的动点，则的最小值为（）A．2 B．34-C．2-D．2512-【答案】D【解析】以BC的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，可得，设，由，可得，即，则，当16a =时，的最小值为2512-． 故选：D ．17．如图Rt ABC ∆中，2ABC π∠=，2AC AB =，BAC ∠平分线交△ABC 的外接圆于点D ，设AB a =，AC b =，则向量AD =（ ）A ．a b +B ．12a b +C ．12a b +D ．23a b +【答案】C 【解析】解：设圆的半径为r ，在Rt ABC ∆中，2ABC π∠=，2AC AB =， 所以3BAC π∠=，6ACB π∠=，BAC ∠平分线交ABC ∆的外接圆于点D ，所以， 则根据圆的性质，又因为在Rt ABC ∆中，，所以四边形ABDO 为菱形，所以．故选：C ．18．在ABC ∆中，90A ∠=︒，1AB =，2AC =，设点D 、E 满足AD AB λ=， ()AC R λ∈，若5BE CD ⋅=，则λ=（ ） A ．13- B ．2 C ．95D ．3【答案】D 【解析】因为90A ∠=︒，则，所以.由已知，345λ-=，则3λ=. 选D .19．已知点C 为扇形AOB 的弧AB 上任意一点，且，若，则λμ+的取值范围为（ ）A ．[2,2]-B ．C ．D ．[1,2]【答案】D 【解析】解：设半径为1，由已知可设OB 为x 轴的正半轴，O 为坐标原点，建立直角坐标系，其中A （12-，B （1，0），C （cos θ，sin θ）（其中∠BOC ＝θ有（λ，μ∈R ）即：（cos θ，sin θ）＝λ（12-+μ（1，0）；整理得：12-λ+μ＝cos θ；2λ＝sin θ，解得：λ=，μ＝cos θ，则λ+μ=cos θsin θ+cos θ＝2sin （θ6π+），其中；易知λ+μ=+cos θsin θ+cos θ＝2sin （θ6π+），由图像易得其值域为[1，2]20．在同一平面内，已知A 为动点，B ，C 为定点，且∠BAC=3π，2ACB π∠≠，BC=1，P 为BC 中点．过点P 作PQ⊥BC 交AC 所在直线于Q ，则AQ 在BC 方向上投影的最大值是（ ） A ．13B ．12CD ．23【答案】C 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则B （-12，0），C （12，0），P （0，0）， 由BAC 3π∠=可知，ABC 三点在一个定圆上，且弦BC 所对的圆周角为3π，所以圆心角为23π.圆心在BC 的中垂线即y 轴上，且圆心到直线BC的距离为12tan 3BCπ=即圆心为(0,6，半径为.所以点A 的轨迹方程为：，则213x ≤，则，由AQ 在BC 方向上投影的几何意义可得：AQ 在BC 方向上投影为|DP|=|x|， 则AQ 在BC方向上投影的最大值是3， 故选：C ． 21．已知圆的弦AB 的中点为(1,1)-，直线AB 交x 轴于点P ，则PA PB ⋅的值为______．【解析】设(1,1)M -，圆心(2,0)C -，∵，根据圆的性质可知，1AB k =-， ∴AB 所在直线方程为，即22gR r，联立方程可得，，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则，令0y =可得(0,0)P ，，故答案为：-5． 22．已知向量，若，则λ=______．【答案】12【解析】 解：；；；；解得12λ=．故答案为：12． 23．向量()1,2a =-，()1,0b =-，若，则λ=_________.【答案】13【解析】向量()1,2a =-，()1,0b =-， 所以，又因为， 所以，即，解得13λ=，故答案为13. 24．设向量12,e e 的模分别为1,2，它们的夹角为3π，则向量21e e -与2e 的夹角为_____． 【答案】6π 【解析】又∴向量21e e -与2e 的夹角为：6π 本题正确结果：6π 25．已知平面向量a ，m ，n ，满足4a =r，，则当m n -=_____，则m 与n 的夹角最大．【解析】设a ，m ，n 的起点均为O ，以O 为原点建立平面坐标系，不妨设(4,0)a =，(,)m x y =，则，4a m x ⋅=，由可得，即，∴m 的终点M 在以(2,0)为半径的圆上，同理n 的终点N 在以(2,0)显然当OM ，ON 为圆的两条切线时，MON ∠最大，即m ，n 的夹角最大．设圆心为A ，则AM =，，∴， 设MN 与x 轴交于点B ，由对称性可知MN x ⊥轴，且2MN MB =，∴.26．如图，已知P 是半径为2，圆心角为3π的一段圆弧AB 上一点，2A B B C =，则P C P A ⋅的最小值为_______．【答案】5﹣【解析】设圆心为O,AB 中点为D,由题得.取AC 中点M ，由题得, 两方程平方相减得，要使PC PA ⋅取最小值，就是PM 最小，当圆弧AB 的圆心与点P 、M 共线时，PM 最小.此时DM=,所以PM 有最小值为2，代入求得PC PA ⋅的最小值为5﹣故答案为：5﹣27．如图，在边长为2的正三角形ABC 中，D 、E 分别为边BC 、CA 上的动点，且满足CE mBD =（m 为定常数，且(0,1]m ∈），若AD DE ⋅的最大值为34-，则m =________.【答案】12【解析】以BC 中点为坐标原点O ，OC 方向为x 轴正方向，OA 方向为y 轴正方向，建立如图所示平面直角坐标系，因为正三角形ABC 边长为2，所以(1,0)B -，(1,0)C ，A ，则(2,0)BC =，，因为D 为边BC 上的动点，所以设BD tBC =，其中01t ≤≤，则，所以(21,0)D t -；又，所以，因此， 所以，，故，因为(0,1]m ∈，所以，又01t ≤≤， 所以当且仅当324m t m -=+时，AD DE ⋅取得最大值，即，整理得，解得12m =或8m =（舍） 故答案为1228．在ABC ∆中，已知AB 边上的中线1CM =，且1tan A ，1tan C ，1tan B 成等差数列，则AB 的长为________.【答案】3【解析】因为1tan A ，1tan C ，1tan B成等差数列， 所以，即， 所以，由正弦定理可得， 又由余弦定理可得，所以，故， 又因为AB 边上的中线1CM =，所以1CM =，因为， 所以，即，解c =.即AB29．如图，在平面四边形ABCD 中，，30ACD ∠=︒，AB BC =，点E 为线段BC 的中点．若 (,R λμ∈)，则λμ的值为_______．【解析】以A 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设AB ＝BC ＝2，则有A （0,0），B （2,0），C （2,2），E （2,1），AC ＝，AD ＝×tan30°＝3，过D 作DF⊥x 轴于F ，∠DAF＝180°－90°－45°＝45°， DF＝3sin45°＝，所以D（3-，3）， AC ＝（2,2），AD＝（3-），AE ＝（2,1），因为， 所以，（2,2）＝λ（）+μ（2,1）， 所以，，解得：343λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩λμ30．在平面直角坐标系xOy 中，已知()11,A x y ，()22,B x y 为圆221x y +=上两点，且．若C 为圆上的任意一点，则CA CB 的最大值为______． 【答案】32【解析】因为C 为圆x 2+y 2＝1上一点，设C （sin θ，cos θ），则，∵()11,A x y ，()22,B x y 为圆221x y +=上两点，∴，又，∴，其中，∵sin()θϕ+∈[﹣1，1]， ∴当sin()θϕ+＝1时，CA CB ⋅的最大值为32． 故答案为：32．。
十年真题(2010-2019)高考数学(文)分类汇编专题07 数列(新课标Ⅰ卷)(原卷版)
专题07数列历年考题细目表历年高考真题汇编1．【2015年新课标1文科07】已知{a n}是公差为1的等差数列，S n为{a n}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝（）A．B．C．10 D．122．【2013年新课标1文科06】设首项为1，公比为的等比数列{a n}的前n项和为S n，则（）A．S n＝2a n﹣1 B．S n＝3a n﹣2 C．S n＝4﹣3a n D．S n＝3﹣2a n3．【2012年新课标1文科12】数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣1，则{a n}的前60项和为（）A．3690 B．3660 C．1845 D．18304．【2019年新课标1文科14】记S n为等比数列{a n}的前n项和．若a1＝1，S3，则S4＝．5．【2015年新课标1文科13】在数列{a n}中，a1＝2，a n+1＝2a n，S n为{a n}的前n项和，若S n＝126，则n ＝．6．【2012年新课标1文科14】等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3+3S2＝0，则公比q＝．7．【2019年新课标1文科18】记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S9＝﹣a5．（1）若a3＝4，求{a n}的通项公式；（2）若a1＞0，求使得S n≥a n的n的取值范围．8．【2018年新课标1文科17】已知数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝2（n+1）a n，设b n．（1）求b1，b2，b3；（2）判断数列{b n}是否为等比数列，并说明理由；（3）求{a n}的通项公式．9．【2017年新课标1文科17】记S n为等比数列{a n}的前n项和．已知S2＝2，S3＝﹣6．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并判断S n+1，S n，S n+2是否成等差数列．10．【2016年新课标1文科17】已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1＝1，b2，a n b n+1+b n+1＝nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．11．【2014年新课标1文科17】已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程2﹣5+6＝0的根．（1）求{a n }的通项公式； （2）求数列{}的前n 项和．12．【2013年新课标1文科17】已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝﹣5． （Ⅰ）求{a n }的通项公式； （Ⅱ）求数列{}的前n 项和．13．【2011年新课标1文科17】已知等比数列{a n }中，a 1，公比q ．（Ⅰ）S n 为{a n }的前n 项和，证明：S n（Ⅱ）设b n ＝log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a n ，求数列{b n }的通项公式． 14．【2010年新课标1文科17】设等差数列{a n }满足a 3＝5，a 10＝﹣9． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 最大的序号n 的值． 考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：数列的概念与简单表示法，等差数列及其前n 项和，等比数列及其前n 项和，数列求和，数列求通项等.历年考题主要以选择填空或解答题题型出现.重点考查的知识点为：等差数列及其前n 项和，等比数列及其前n 项和，数列求和，数列求通项等.预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点等差数列及其前n 项和，等比数列及其前n 项和，数列求和，数列求通项为重点较佳.最新高考模拟试题1．等差数列{}n a ，等比数列{}n b ，满足111a b ==，53a b =，则9a 能取到的最小整数是（ ） A ．1-B ．0C ．2D ．32．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问題今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰“我羊食半马、“马主曰“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说“我马所吃的禾苗只有牛的一半，“打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还( )升粟？ A ．253B ．503C ．507D ．10073．我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，…，9填入33⨯的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15.一般地，将连续的正整数21,2,3,,n L 填入n n ⨯个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做n 阶幻方.记n 阶幻方的对角线上的数字之和为n N ，如图三阶幻方的315N =，那么 9N 的值为（ ）A ．41B ．45C ．369D ．3214．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a = 2(1)()n n S a n n N n *=+-∈，则数列13n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项的和是（ ） A ．290B ．920C ．511D ．10115．意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,L L ，即()()()()()121,12F F F n F n F n ===-+-()3,n n N*≥∈，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等都有着广泛的应用．若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{}n a ，则数列{}n a 的前2019项的和为（ ） A ．672B ．673C ．1346D ．20196．已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，若261033a a a ⋅⋅=16117b b b π++=，则21039tan1b b a a +-⋅的值是（ ）A ．1B．2C．2-D．7．已知数列{}n a 满足2*123111()23n a a a a n n n N n ++++=+∈L ，设数列{}n b 满足：121n n n n b a a ++=，数列{}n b 的前n 项和为n T，若*()1n n N T n nλ<∈+恒成立，则实数λ的取值范围为（ ） A ．1[,)4+∞B ．1(,)4+∞C ．3[,)8+∞D ．3(,)8+∞8．已知函数()y f x =的定义域为R ，当0x <时()1f x >，且对任意的实数,x y R ∈，等式()()()f x f y f x y =+成立，若数列{}n a 满足()()1111n n f a f n N a *+⎛⎫=∈ ⎪+⎝⎭，且()10a f =，则下列结论成立的是（ ） A ．()()20162018f a f a > B ．()()20172020f a f a > C ．()()20182019f a f a > D ．()()20162019f a f a >9．在数列{}n a 中，1111,,(*)2019(1)n n a a a n N n n +==+∈+，则2019a 的值为______． 10．已知正项等比数列{}n a 满足5432a a a +=，若存在两项m a ，n a，使得1a =，则91m n+的最小值为__________． 11．已知数列{}n a 满足对*,m n N ∀∈，都有m n m n a a a ++=成立，72a π=，函数()f x =2sin 24cos2xx +，记()n n y f a =，则数列{}n y 的前13项和为______．12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足22()n n S a n n N *=+∈，则n a =_____．13．等差数列{}n a 中，410a =且3a ，6a ，10a 成等比数列，数列{}n a 前20项的和20S =____ 14．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若9362S S S =+，则631S S +取得最小值时，9S 的值为_______．15．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11222n n a a a n -++⋯+=，则5S =____．16．已知数列{}n a 满足112(1)0,4n n n a na a ++-==，则数列(1)(2)na n n ⎧⎫⎨⎬++⎩⎭的前n 项和为___________.17．定义：从数列{}n a 中抽取(,3)m m N m ∈≥项按其在{}n a 中的次序排列形成一个新数列{}n b ，则称{}n b 为{}n a 的子数列；若{}n b 成等差（或等比），则称{}n b 为{}n a 的等差（或等比）子数列. （1）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知21n n S =-. ①求数列{}n a 的通项公式；②数列{}n a 是否存在等差子数列，若存在，求出等差子数列；若不存在，请说明理由. （2）已知数列{}n a 的通项公式为()n a n a a Q +=+∈，证明：{}n a 存在等比子数列. 18．在等差数列{}n a 中，已知公差2d =，2a 是1a 与4a 的等比中项 （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足3122331313131n n n b b b ba =++++++++L ，求数列{}nb 的通项公式； （3）令()*4n nn a b c n N =∈，数列{}n c 的前n 项和为n T . 19．已知等差数列{}n a 满足32421,7a a a =-=，等比数列{}n b 满足()35242b b b b +=+，且()2*22n n b b n =∈N .（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列{}n c 满足()*1212n n nc c c S n b b b ++⋯+=∈N ，求{}n c 的前n 项和为n T .20．等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且432S =，13221S =． （1）求{}n a 的通项公式n a ；（2）数列{}n b 满足()*1n n n b b a n N+-=∈且13b =，求1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 21．设{}n a 是单调递增的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知313S =，且13a +，23a ，35a +构成等差数列． （1）求n a 及n S ；（2）是否存在常数λ．使得数列{}n S λ+是等比数列?若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由． 22．对于无穷数列{}n a ，{}n b ，若{}{}1212max ,,,min ,,,k k k b a a a a a a =-L L ，1,2,3,k =L ，则称{}n b 是{}n a 的“收缩数列”.其中{}12max ,,,k a a a L ，{}12min ,,,k a a a L 分别表示12,,,k a a a L 中的最大数和最小数.已知{}n a 为无穷数列，其前n 项和为n S ，数列{}n b 是{}n a 的“收缩数列”. （1）若21n a n =+，求{}n b 的前n 项和； （2）证明：{}n b 的“收缩数列”仍是{}n b ；（3）若121(1)(1)(1,2,3,)22n n n n n n S S S a b n +-+++=+=L L 且11a =，22a =，求所有满足该条件的{}n a .。
十年真题(2010-2019)高考数学(文)分类汇编专题07 数列(新课标Ⅰ卷)(原卷版)
专题07数列历年考题细目表历年高考真题汇编1．【2015年新课标1文科07】已知{a n}是公差为1的等差数列，S n为{a n}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝（）A．B．C．10 D．122．【2013年新课标1文科06】设首项为1，公比为的等比数列{a n}的前n项和为S n，则（）A．S n＝2a n﹣1 B．S n＝3a n﹣2 C．S n＝4﹣3a n D．S n＝3﹣2a n3．【2012年新课标1文科12】数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣1，则{a n}的前60项和为（）A．3690 B．3660 C．1845 D．18304．【2019年新课标1文科14】记S n为等比数列{a n}的前n项和．若a1＝1，S3，则S4＝．5．【2015年新课标1文科13】在数列{a n}中，a1＝2，a n+1＝2a n，S n为{a n}的前n项和，若S n＝126，则n ＝．6．【2012年新课标1文科14】等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3+3S2＝0，则公比q＝．7．【2019年新课标1文科18】记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S9＝﹣a5．（1）若a3＝4，求{a n}的通项公式；（2）若a1＞0，求使得S n≥a n的n的取值范围．8．【2018年新课标1文科17】已知数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝2（n+1）a n，设b n．（1）求b1，b2，b3；（2）判断数列{b n}是否为等比数列，并说明理由；（3）求{a n}的通项公式．9．【2017年新课标1文科17】记S n为等比数列{a n}的前n项和．已知S2＝2，S3＝﹣6．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并判断S n+1，S n，S n+2是否成等差数列．10．【2016年新课标1文科17】已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1＝1，b2，a n b n+1+b n+1＝nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．11．【2014年新课标1文科17】已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程2﹣5+6＝0的根．（1）求{a n }的通项公式； （2）求数列{}的前n 项和．12．【2013年新课标1文科17】已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝﹣5． （Ⅰ）求{a n }的通项公式； （Ⅱ）求数列{}的前n 项和．13．【2011年新课标1文科17】已知等比数列{a n }中，a 1，公比q ．（Ⅰ）S n 为{a n }的前n 项和，证明：S n（Ⅱ）设b n ＝log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a n ，求数列{b n }的通项公式． 14．【2010年新课标1文科17】设等差数列{a n }满足a 3＝5，a 10＝﹣9． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 最大的序号n 的值． 考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：数列的概念与简单表示法，等差数列及其前n 项和，等比数列及其前n 项和，数列求和，数列求通项等.历年考题主要以选择填空或解答题题型出现.重点考查的知识点为：等差数列及其前n 项和，等比数列及其前n 项和，数列求和，数列求通项等.预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点等差数列及其前n 项和，等比数列及其前n 项和，数列求和，数列求通项为重点较佳.最新高考模拟试题1．等差数列{}n a ，等比数列{}n b ，满足111a b ==，53a b =，则9a 能取到的最小整数是（ ） A ．1-B ．0C ．2D ．32．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问題今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰“我羊食半马、“马主曰“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说“我马所吃的禾苗只有牛的一半，“打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还( )升粟？ A ．253B ．503C ．507D ．10073．我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，…，9填入33⨯的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15.一般地，将连续的正整数21,2,3,,n L 填入n n ⨯个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做n 阶幻方.记n 阶幻方的对角线上的数字之和为n N ，如图三阶幻方的315N =，那么 9N 的值为（ ）A ．41B ．45C ．369D ．3214．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a = 2(1)()n n S a n n N n *=+-∈，则数列13n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项的和是（ ） A ．290B ．920C ．511D ．10115．意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,L L ，即()()()()()121,12F F F n F n F n ===-+-()3,n n N*≥∈，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等都有着广泛的应用．若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{}n a ，则数列{}n a 的前2019项的和为（ ） A ．672B ．673C ．1346D ．20196．已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，若261033a a a ⋅⋅=16117b b b π++=，则21039tan1b b a a +-⋅的值是（ ）A ．1B．2C．2-D．7．已知数列{}n a 满足2*123111()23n a a a a n n n N n ++++=+∈L ，设数列{}n b 满足：121n n n n b a a ++=，数列{}n b 的前n 项和为n T，若*()1n n N T n nλ<∈+恒成立，则实数λ的取值范围为（ ） A ．1[,)4+∞B ．1(,)4+∞C ．3[,)8+∞D ．3(,)8+∞8．已知函数()y f x =的定义域为R ，当0x <时()1f x >，且对任意的实数,x y R ∈，等式()()()f x f y f x y =+成立，若数列{}n a 满足()()1111n n f a f n N a *+⎛⎫=∈ ⎪+⎝⎭，且()10a f =，则下列结论成立的是（ ） A ．()()20162018f a f a > B ．()()20172020f a f a > C ．()()20182019f a f a > D ．()()20162019f a f a >9．在数列{}n a 中，1111,,(*)2019(1)n n a a a n N n n +==+∈+，则2019a 的值为______． 10．已知正项等比数列{}n a 满足5432a a a +=，若存在两项m a ，n a，使得1a =，则91m n+的最小值为__________． 11．已知数列{}n a 满足对*,m n N ∀∈，都有m n m n a a a ++=成立，72a π=，函数()f x =2sin 24cos2xx +，记()n n y f a =，则数列{}n y 的前13项和为______．12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足22()n n S a n n N *=+∈，则n a =_____．13．等差数列{}n a 中，410a =且3a ，6a ，10a 成等比数列，数列{}n a 前20项的和20S =____ 14．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若9362S S S =+，则631S S +取得最小值时，9S 的值为_______．15．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11222n n a a a n -++⋯+=，则5S =____．16．已知数列{}n a 满足112(1)0,4n n n a na a ++-==，则数列(1)(2)na n n ⎧⎫⎨⎬++⎩⎭的前n 项和为___________.17．定义：从数列{}n a 中抽取(,3)m m N m ∈≥项按其在{}n a 中的次序排列形成一个新数列{}n b ，则称{}n b 为{}n a 的子数列；若{}n b 成等差（或等比），则称{}n b 为{}n a 的等差（或等比）子数列. （1）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知21n n S =-. ①求数列{}n a 的通项公式；②数列{}n a 是否存在等差子数列，若存在，求出等差子数列；若不存在，请说明理由. （2）已知数列{}n a 的通项公式为()n a n a a Q +=+∈，证明：{}n a 存在等比子数列. 18．在等差数列{}n a 中，已知公差2d =，2a 是1a 与4a 的等比中项 （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足3122331313131n n n b b b ba =++++++++L ，求数列{}nb 的通项公式； （3）令()*4n nn a b c n N =∈，数列{}n c 的前n 项和为n T . 19．已知等差数列{}n a 满足32421,7a a a =-=，等比数列{}n b 满足()35242b b b b +=+，且()2*22n n b b n =∈N .（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列{}n c 满足()*1212n n nc c c S n b b b ++⋯+=∈N ，求{}n c 的前n 项和为n T .20．等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且432S =，13221S =． （1）求{}n a 的通项公式n a ；（2）数列{}n b 满足()*1n n n b b a n N+-=∈且13b =，求1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 21．设{}n a 是单调递增的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知313S =，且13a +，23a ，35a +构成等差数列． （1）求n a 及n S ；（2）是否存在常数λ．使得数列{}n S λ+是等比数列?若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由． 22．对于无穷数列{}n a ，{}n b ，若{}{}1212max ,,,min ,,,k k k b a a a a a a =-L L ，1,2,3,k =L ，则称{}n b 是{}n a 的“收缩数列”.其中{}12max ,,,k a a a L ，{}12min ,,,k a a a L 分别表示12,,,k a a a L 中的最大数和最小数.已知{}n a 为无穷数列，其前n 项和为n S ，数列{}n b 是{}n a 的“收缩数列”. （1）若21n a n =+，求{}n b 的前n 项和； （2）证明：{}n b 的“收缩数列”仍是{}n b ；（3）若121(1)(1)(1,2,3,)22n n n n n n S S S a b n +-+++=+=L L 且11a =，22a =，求所有满足该条件的{}n a .。
十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题01 集合
十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题01 集合1.(2019•全国1•理T1)已知集合M={x|-4<x<2},N={x|x2-x-6<0},则M∩N=( )A.{x|-4<x<3}B.{x|-4<x<-2}C.{x|-2<x<2}D.{x|2<x<3}【答案】C【解析】由题意得N={x|-2<x<3},则M∩N={x|-2<x<2},故选C.2.(2019•全国1•文T2)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},则B∩∁U A=( )A.{1,6}B.{1,7}C.{6,7}D.{1,6,7}【答案】C【解析】由已知得∁U A={1,6,7},∴B∩∁U A={6,7}.故选C.3.(2019•全国2•理T1)设集合A={x|x2-5x+6>0},B={x|x-1<0},则A∩B=( )A.(-∞,1)B.(-2,1)C.(-3,-1)D.(3,+∞)【答案】A【解析】由题意,得A={x|x<2,或x>3},B={x|x<1},所以A∩B={x|x<1},故选A.4.(2019•全国2•文T1)已知集合A={x|x>-1},B={x|x<2},则A∩B=( )A.(-1,+∞)B.(-∞,2)C.(-1,2)D.⌀【答案】C【解析】由题意,得A∩B=(-1,2),故选C.5.(2019•全国3•T1)已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x2≤1},则A∩B=( )A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-1,1}D.{0,1,2}【答案】A【解析】A={-1,0,1,2},B={x|-1≤x≤1},则A∩B={-1,0,1}.故选A.6.(2019•北京•文T1)已知集合A={x|-1<x<2},B={x|x>1},则A∪B=( )A.(-1,1)B.(1,2)C.(-1,+∞)D.(1,+∞)【答案】C【解析】∵A={x|-1<x<2},B={x|x>1},∴A∪B=(-1,+∞),故选C.7.(2019•天津•T1)设集合A={-1,1,2,3,5},B={2,3,4},C={x∈R|1≤x<3},则(A∩C)∪B=( )A.{2}B.{2,3}C.{-1,2,3}D.{1,2,3,4}【答案】D【解析】A∩C={1,2},(A∩C)∪B={1,2,3,4},故选D.8.(2019•浙江•T1)已知全集U={-1,0,1,2,3},集合A={0,1,2},B={-1,0,1},则(∁U A)∩B=( )A.{-1}B.{0,1}C.{-1,2,3}D.{-1,0,1,3}【答案】A【解析】∁U A={-1,3},则(∁U A)∩B={-1}.9.(2018•全国1•理T2)已知集合A={x|x2-x-2>0},则∁R A=( )A.{x|-1<x<2}B.{x|-1≤x≤2}C.{x|x<-1}∪{x|x>2}D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}【答案】B【解析】A={x|x<-1或x>2},所以∁R A={x|-1≤x≤2}.10.(2018•全国1•文T1)已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B=( )A.{0,2}B.{1,2}C.{0}D.{-2,-1,0,1,2}【答案】A【解析】由交集定义知A∩B={0,2}.11.(2018•全国2•文T2,)已知集合A={1,3,5,7},B={2,3,4,5},则A∩B=( )A.{3}B.{5}C.{3,5}D.{1,2,3,4,5,7}【答案】C【解析】集合A、B的公共元素为3,5,故A∩B={3,5}.12.(2018•全国3•T1)已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},则A∩B=( )A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}【答案】C【解析】由题意得A={x|x≥1},B={0,1,2},∴A∩B={1,2}.13.(2018•北京•T1)已知集合A={x||x|<2},B={-2,0,1,2},则A∩B=( )A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{-2,0,1,2}D.{-1,0,1,2}【答案】A【解析】∵A={x|-2<x<2},B={-2,0,1,2},∴A∩B={0,1}.14.(2018•天津•理T1)设全集为R,集合A={x|0<x<2},B={x|x≥1},则A∩(∁R B)=( )A.{x|0<x≤1}B.{x|0<x<1}C.{x|1≤x<2}D.{x|0<x<2}【答案】B【解析】∁R B={x|x<1},A∩(∁R B)={x|0<x<1}.故选B.15.(2018•天津•文T1)设集合A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},C={x∈R|-1≤x<2},则(A∪B)∩C=( )A.{-1,1}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{2,3,4}【答案】C【解析】A∪B={-1,0,1,2,3,4}.又C={x∈R|-1≤x<2},∴(A∪B)∩C={-1,0,1}.16.(2018•浙江•T1)已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,3},则∁U A=( )A.⌀B.{1,3}C.{2,4,5}D.{1,2,3,4,5}【答案】C【解析】∵A={1,3},U={1,2,3,4,5},∴∁U A={2,4,5},故选C.17.(2018•全国2•理T2,)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为( )A.9B.8C.5D.4【答案】A【解析】满足条件的元素有(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,1),(0,0),(0,-1),(1,-1),(1,0),(1,1),共9个。
十年真题(2010-2019)高考数学(文)分类汇编专题03函数概念与基本初等函数 (新课标Ⅰ卷)(解析版)
专题03函数概念与基本初等函数历年考题细目表历年高考真题汇编1．【2019年新课标1文科03】已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a【解答】解：a＝log20.2＜log21＝0，b＝20.2＞20＝1，∵0＜0.20.3＜0.20＝1，∴c＝0.20.3∈（0，1），∴a＜c＜b，故选：B．2．【2018年新课标1文科12】设函数f（），则满足f（+1）＜f（2）的的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1] B．（0，+∞）C．（﹣1，0）D．（﹣∞，0）【解答】解：函数f（），的图象如图：满足f（+1）＜f（2），可得：2＜0＜+1或2＜+1≤0，解得∈（﹣∞，0）．故选：D．3．【2016年新课标1文科08】若a＞b＞0，0＜c＜1，则（）A．log a c＜log b c B．log c a＜log c bC．a c＜b c D．c a＞c b【解答】解：∵a＞b＞0，0＜c＜1，∴log c a＜log c b，故B正确；∴当a＞b＞1时，0＞log a c＞log b c，故A错误；a c＞b c，故C错误；c a＜c b，故D错误；故选：B．4．【2015年新课标1文科10】已知函数f（），且f（a）＝﹣3，则f（6﹣a）＝（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，a≤1时，2α﹣1﹣2＝﹣3，无解；a＞1时，﹣log2（a+1）＝﹣3，∴α＝7，∴f（6﹣a）＝f（﹣1）＝2﹣1﹣1﹣2．故选：A．5．【2015年新课标1文科12】设函数y＝f（）的图象与y＝2+a的图象关于y＝﹣对称，且f（﹣2）+f（﹣4）＝1，则a＝（）A．﹣1 B．1 C．2 D．4【解答】解：∵与y＝2+a的图象关于y＝对称的图象是y＝2+a的反函数，y＝log2﹣a（＞0），即g（）＝log2﹣a，（＞0）．∵函数y＝f（）的图象与y＝2+a的图象关于y＝﹣对称，∴f（）＝﹣g（﹣）＝﹣log2（﹣）+a，＜0，∵f（﹣2）+f（﹣4）＝1，∴﹣log22+a﹣log24+a＝1，解得，a＝2，故选：C．6．【2014年新课标1文科05】设函数f（），g（）的定义域都为R，且f（）是奇函数，g（）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（）•g（）是偶函数B．|f（）|•g（）是奇函数C．f（）•|g（）|是奇函数D．|f（）•g（）|是奇函数【解答】解：∵f（）是奇函数，g（）是偶函数，∴f（﹣）＝﹣f（），g（﹣）＝g（），f（﹣）•g（﹣）＝﹣f（）•g（），故函数是奇函数，故A错误，|f（﹣）|•g（﹣）＝|f（）|•g（）为偶函数，故B错误，f（﹣）•|g（﹣）|＝﹣f（）•|g（）|是奇函数，故C正确．|f（﹣）•g（﹣）|＝|f（）•g（）|为偶函数，故D错误，故选：C．7．【2013年新课标1文科12】已知函数f（），若|f（）|≥a，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，1] C．[﹣2，1] D．[﹣2，0]【解答】解：由题意可作出函数y＝|f（）|的图象，和函数y＝a的图象，由图象可知：函数y＝a的图象为过原点的直线，当直线介于l和轴之间符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数y＝|f（）|在第二象限的部分解析式为y＝2﹣2，求其导数可得y′＝2﹣2，因为≤0，故y′≤﹣2，故直线l的斜率为﹣2，故只需直线y＝a的斜率a介于﹣2与0之间即可，即a∈[﹣2，0]故选：D．8．【2012年新课标1文科11】当0＜时，4＜log a，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，）D．（，2）【解答】解：∵0＜时，1＜4≤2要使4＜log a，由对数函数的性质可得0＜a＜1，数形结合可知只需2＜log a，∴即对0＜时恒成立∴解得a＜1故选：B．9．【2011年新课标1文科10】在下列区间中，函数f（）＝e+4﹣3的零点所在的区间为（）A．（，）B．（，0）C．（0，）D．（，）【解答】解：∵函数f（）＝e+4﹣3∴f′（）＝e+4当＞0时，f′（）＝e+4＞0∴函数f（）＝e+4﹣3在（﹣∞，+∞）上为f（0）＝e0﹣3＝﹣2＜0f（）1＞0f（）20∵f（）•f（）＜0，∴函数f（）＝e+4﹣3的零点所在的区间为（，）故选：A．10．【2011年新课标1文科12】已知函数y＝f（）的周期为2，当∈[﹣1，1]时f（）＝2，那么函数y＝f（）的图象与函数y＝|lg|的图象的交点共有（）A．10个B．9个C．8个D．1个【解答】解：作出两个函数的图象如上∵函数y＝f（）的周期为2，在[﹣1，0]上为减函数，在[0，1]上为增函数∴函数y＝f（）在区间[0，10]上有5次周期性变化，在[0，1]、[2，3]、[4，5]、[6，7]、[8，9]上为增函数，在[1，2]、[3，4]、[5，6]、[7，8]、[9，10]上为减函数，且函数在每个单调区间的取值都为[0，1]，再看函数y＝|lg|，在区间（0，1]上为减函数，在区间[1，+∞）上为增函数，且当＝1时y＝0；＝10时y＝1，再结合两个函数的草图，可得两图象的交点一共有10个，故选：A．11．【2011年新课标1文科03】下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y＝23B．y＝||+1 C．y＝﹣2+4 D．y＝2﹣||【解答】解：对于A．y＝23，由f（﹣）＝﹣23＝﹣f（），为奇函数，故排除A；对于B．y＝||+1，由f（﹣）＝|﹣|+1＝f（），为偶函数，当＞0时，y＝+1，是增函数，故B正确；对于C．y＝﹣2+4，有f（﹣）＝f（），是偶函数，但＞0时为减函数，故排除C；对于D．y＝2﹣||，有f（﹣）＝f（），是偶函数，当＞0时，y＝2﹣，为减函数，故排除D．故选：B．12．【2010年新课标1文科06】如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，），角速度为1，那么点P到轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：通过分析可知当t＝0时，点P到轴距离d为，于是可以排除答案A，D，再根据当时，可知点P在轴上此时点P到轴距离d为0，排除答案B，故选：C．13．【2010年新课标1文科09】设偶函数f（）满足f（）＝2﹣4（≥0），则{|f（﹣2）＞0}＝（）A．{|＜﹣2或＞4} B．{|＜0或＞4} C．{|＜0或＞6} D．{|＜﹣2或＞2}【解答】解：由偶函数f（）满足f（）＝2﹣4（≥0），可得f（）＝f（||）＝2||﹣4，则f（﹣2）＝f（|﹣2|）＝2|﹣2|﹣4，要使f（|﹣2|）＞0，只需2|﹣2|﹣4＞0，|﹣2|＞2解得＞4，或＜0．应选：B．14．【2010年新课标1文科12】已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）＝f （b）＝f（c），则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）【解答】解：作出函数f（）的图象如图，不妨设a＜b＜c，则ab＝1，则abc＝c∈（10，12）．故选：C．15．【2018年新课标1文科13】已知函数f（）＝log2（2+a），若f（3）＝1，则a＝．【解答】解：函数f（）＝log2（2+a），若f（3）＝1，可得：log2（9+a）＝1，可得a＝﹣7．故答案为：﹣7．16．【2014年新课标1文科15】设函数f（），则使得f（）≤2成立的的取值范围是．【解答】解：＜1时，e﹣1≤2，∴≤ln2+1，∴＜1；≥1时，2，∴≤8，∴1≤≤8，综上，使得f（）≤2成立的的取值范围是≤8．故答案为：≤8．17．【2012年新课标1文科16】设函数f （）的最大值为M ，最小值为m ，则M +m ＝ ．【解答】解：函数可化为f （），令，则为奇函数，∴的最大值与最小值的和为0．∴函数f （）的最大值与最小值的和为1+1+0＝2．即M +m ＝2． 故答案为：2． 考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：函数，函数的单调性与最值，函数的奇偶性与周期性，幂函数与二次函数，指数函数，对数函数，分段函数，函数的图象，函数与方程等.历年考题主要以选择填空题型出现，重点考查的知识点为：函数的单调性与最值，函数的奇偶性与周期性，指数函数，对数函数，分段函数，函数的图象，函数与方程等.预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点函数的单调性与最值，函数的奇偶性与周期性，指数函数，对数函数，分段函数，函数的图象，函数与方程等为重点较佳.最新高考模拟试题1．已知()21f x ax bx =-+是定义域为[a ，a +1]的偶函数，则2b a a -＝（ ）A ．0B ．34C 2D ．4【答案】B 【解析】∵f （）在[a ，a +1]上是偶函数， ∴﹣a ＝a +1⇒a 12=-， 所以f （）的定义域为[12-，12]， 故：f （）12=-2﹣b +1， ∵f （）在区间[12-，12]上是偶函数，有f （12-）＝f （12），代入解析式可解得：b ＝0；∴2b a a -13144=-=．故选：B ．2．已知函数()y f x =的定义域为R ,)1(+x f 为偶函数,且对121x x ∀<≤,满足()()01212<--x x x f x f .若(3)1f =,则不等式()2log 1f x <的解集为（ ）A ．1,82⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．)8,1(C ．10,(8,)2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．(,1)(8,)-∞⋃+∞【答案】A 【解析】因为对121x x ∀<≤,满足()()01212<--x x x f x f ，所以()y f x =当1≤x 时，是单调递减函数，又因为)1(+x f 为偶函数，所以()y f x =关于1x =对称，所以函数()y f x =当1>x 时，是增函数，又因为(3)1f =，所以有1)1(=-f ，当2log 1x ≤时，即当02x <≤时，()()222log 1log (11log 2221)1f x f x x x x f <⇒<-⇒>-⇒>∴<≤当2log 1x >时，即当2x >时，()()222log 1log (3)log 3828x x f x f x f x <⇒<⇒∴<<⇒<<，综上所述：不等式()2log 1f x <的解集为1,82⎛⎫ ⎪⎝⎭，故本题选A.3．函数22()log (34)f x x x =--的单调减区间为（ ）A ．(,1)-∞-B ．3(,)2-∞-C ．3(,)2+∞D ．(4,)+∞【答案】A 【解析】函数()()22log 34f x x x =--,所以 2340(4)(1)04x x x x x -->⇒-+>⇒>或1x <-，所以函数()f x 的定义域为4x >或1x <-，234y x x =--当3(,)2-∞时，函数是单调递减，而1x <-，所以函数()()22log 34f x x x =--的单调减区间为(),1-∞-，故本题选A 。
十年真题(2010-2019)高考数学(文)分类汇编专题01 集合(新课标Ⅰ卷)(解析版)
专题01集合历年考题细目表历年高考真题汇编1．【2019年新课标1文科02】已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩∁U A＝（）A．{1，6} B．{1，7} C．{6，7} D．{1，6，7}【解答】解：∵U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，∴∁U A＝{1，6，7}，则B∩∁U A＝{6，7}故选：C．2．【2018年新课标1文科01】已知集合A＝{0，2}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．{0，2} B．{1，2}C．{0} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}【解答】解：集合A＝{0，2}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝{0，2}．故选：A．3．【2017年新课标1文科01】已知集合A＝{|＜2}，B＝{|3﹣2＞0}，则（）A．A∩B＝{|} B．A∩B＝∅C．A∪B＝{|} D．A∪B＝R【解答】解：∵集合A＝{|＜2}，B＝{|3﹣2＞0}＝{|}，∴A∩B＝{|}，故A正确，B错误；A∪B＝{||＜2}，故C，D错误；故选：A．4．【2016年新课标1文科01】设集合A＝{1，3，5，7}，B＝{|2≤≤5}，则A∩B＝（）A．{1，3} B．{3，5} C．{5，7} D．{1，7}【解答】解：集合A＝{1，3，5，7}，B＝{|2≤≤5}，则A∩B＝{3，5}．故选：B．5．【2015年新课标1文科01】已知集合A＝{|＝3n+2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为（）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：A＝{|＝3n+2，n∈N}＝{2，5，8，11，14，17，…}，则A∩B＝{8，14}，故集合A∩B中元素的个数为2个，故选：D．6．【2014年新课标1文科01】已知集合M＝{|﹣1＜＜3}，N＝{|﹣2＜＜1}，则M∩N＝（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，3）D．（﹣2，3）【解答】解：M＝{|﹣1＜＜3}，N＝{|﹣2＜＜1}，则M∩N＝{|﹣1＜＜1}，故选：B．7．【2013年新课标1文科01】已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{|＝n2，n∈A}，则A∩B＝（）A．{1，4} B．{2，3} C．{9，16} D．{1，2}【解答】解：根据题意得：＝1，4，9，16，即B＝{1，4，9，16}，∵A＝{1，2，3，4}，∴A∩B＝{1，4}．故选：A．8．【2012年新课标1文科01】已知集合A＝{|2﹣﹣2＜0}，B＝{|﹣1＜＜1}，则（）A．A⊊B B．B⊊A C．A＝B D．A∩B＝∅【解答】解：由题意可得，A＝{|﹣1＜＜2}，∵B＝{|﹣1＜＜1}，在集合B中的元素都属于集合A，但是在集合A中的元素不一定在集合B中，例如∴B⊊A．故选：B．9．【2011年新课标1文科01】已知集合M＝{0，1，2，3，4}，N＝{1，3，5}，P＝M∩N，则P的子集共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个【解答】解：∵M＝{0，1，2，3，4}，N＝{1，3，5}，∴P＝M∩N＝{1，3}∴P的子集共有22＝4故选：B．10．【2010年新课标1文科01】已知集合A＝{|||≤2，∈R}，B＝{|4，∈}，则A∩B＝（）A．（0，2）B．[0，2] C．{0，2} D．{0，1，2}【解答】解：∵A＝{|||≤2}＝{|﹣2≤≤2}B＝{|4，∈}＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}则A∩B＝{0，1，2}故选：D．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：集合关系及其运算，历年考题主要以选择填空题型出现， 重点考查的知识点为：交并补运算，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点交并补运算为重点较佳.最新高考模拟试题1．若集合{}5|2A x x =-<<，{}|||3B x x =<，则A B =I （ ）A ．{}|32x x -<<B ．{}|52x x -<<C ．{}|33x x -<<D ．{}|53x x -<<【答案】A【解析】解：{}{}333||B x x x x =<=-<<，则{}|32A B x x ⋂=-<<，故选：A ．2．已知集合2{|560}A x x x =-+≤，{|15}B x Z x =∈<<，则A B =I （ ）A ．[2,3]B ．(1,5)C ．{}2,3D ．{2,3,4}【答案】C【解析】2560(2)(3)023x x x x x -+≤⇒--≤⇒≤≤Q ，{}23A x x ∴=≤≤，又{}{|15}2,3,4B x Z x =∈<<=，所以{}2,3A B ⋂=，故本题选C.3．已知集合{3,2,1,0,1,2,3}A =---，{}2|450B x x x =∈--≤R ，则A B =I （ ）A ．{3,2,1,0}---B ．{}1,0,1,2,3-C ．{}3,2--D ．{}3,2,1,0,1,2,3---【答案】B【解析】 因为{}2|450B x x x =∈--≤R {|15}x x =-≤≤， {3,2,1,0,1,2,3}A =---∴{}1,0,1,2,3A B ⋂=-．故选B ．4．已知全集U =R ，集合{}|24,{|(1)(3)0}x A x B x x x =>=--<，则()U A B =I ð（ ） A ．(1,2)B ．(]1,2C ．(1,3)D ．(,2]-∞ 【答案】B【解析】由24x >可得2x >， (1)(3)0x x --<可得13x <<，所以集合(2,),(1,3)A B =+∞=,(,2]U A =-∞ð，所以()U A B =I ð(]1,2，故选B.5．已知集合{}(,)|1,A x y y x x R ==+∈，集合{}2(,)|,B x y y x x R ==∈，则集合A B ⋂的子集个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】D【解析】由题意得，直线1y x =+与抛物线2y x =有2个交点，故A B ⋂的子集有4个.6．已知集合{}2log (1)2M x x =+＜，{1,0,1,2,3}N =-，则()R M N ⋂ð=（ ）A ．{-1，0，1，2，3}B ．{-1，0，1，2}C ．{-1，0，1}D ．{-1，3} 【答案】D【解析】 由题意，集合{}2log (1)2{|13}M x x x x =+<=-<<，则{|1R M x x =≤-ð或3}x ≥又由{1,0,1,2,3}N =-，所以(){1,3}R M N ⋂=-ð，故选D.7．已知集合{}lg(1)A x y x ==-，{}1,0,1,2,3B =-，则()R A B I ð=( )A ．{}1,0-B ．{}1,0,1-C ．{}1,2,3D ．{}2,3【答案】B【解析】 因为{}{}lg(1)1A x y x x x ==-=>，所以{}1R C A x x =≤，又{}1,0,1,2,3B =-，所以{}()1,0,1R C A B =-I .故选B8．已知R 是实数集，集合{}1,0,1A =-，{}210B x x =-≥，则()A B =R I ð（）A ．{}1,0-B ．{}1C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】1|2B x x 禳镲=?睚镲铪Q1|2R C B x x 禳镲\=<睚镲铪即(){1,0}R A C B ?-故选A 。
十年真题(2010-2019)高考数学(文)分类汇编专题13 算法(新课标Ⅰ卷)(原卷版)
专题13算法历年考题细目表题型年份考点试题位置单选题2019 程序框图2019年新课标1文科09单选题2017 程序框图2017年新课标1文科10单选题2016 程序框图2016年新课标1文科10单选题2015 程序框图2015年新课标1文科09单选题2014 程序框图2014年新课标1文科09单选题2013 程序框图2013年新课标1文科07单选题2012 程序框图2012年新课标1文科06单选题2011 程序框图2011年新课标1文科05单选题2010 程序框图2010年新课标1文科08历年高考真题汇编1．【2019年新课标1文科09】如图是求的程序框图，图中空白框中应填入（）A．A B．A＝2 C．A D．A＝12．【2017年新课标1文科10】如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（）A．A＞1000和n＝n+1 B．A＞1000和n＝n+2C．A≤1000和n＝n+1 D．A≤1000和n＝n+23．【2016年新课标1文科10】执行下面的程序框图，如果输入的＝0，y＝1，n＝1，则输出，y的值满足（）A．y＝2 B．y＝3 C．y＝4 D．y＝54．【2015年新课标1文科09】执行如图所示的程序框图，如果输入的t＝0.01，则输出的n＝（）A．5 B．6 C．7 D．85．【2014年新课标1文科09】执行如图的程序框图，若输入的a，b，分别为1，2，3，则输出的M＝（）A．B．C．D．6．【2013年新课标1文科07】执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）A．[﹣3，4] B．[﹣5，2] C．[﹣4，3] D．[﹣2，5]7．【2012年新课标1文科06】如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（）A．A+B为a1，a2，…，a n的和B．为a1，a2，…，a n的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数8．【2011年新课标1文科05】执行如图的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（）A．120 B．720 C．1440 D．50409．【2010年新课标1文科08】如果执行如图的框图，输入N＝5，则输出的数等于（）A．B．C．D．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：算法的逻辑结构，顺序结构、条件结构、循环结构，程序框图和算法思想，求程序框图中的执行结果和确定控制条件.历年考题主要以选择题型出现，重点考查的知识点为：算法的循环结构，程序框图和算法思想.预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以算法的循环结构，程序框图和算法思想为重点较佳.最新高考模拟试题1．我国古代数学专著《九章算术》中有一个“两鼠穿墙题”，其内容为：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半．问何日相逢？各穿几何？”如图的程序框图于这个题目，执行该程序框图，若输入=20，则输出的结果为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．62．如图所示的程序框图，若=5,则运算多少次停止( )A ．2B ．3C ．4D ．53．正整数n 除以m 后的余数为，记为r n MOD m =，如4195MOD =.执行如图的程序框图，则输出的数n 是( )A．19B．22C．27D．47 4．执行如图所示的程序框图，输出n的值为（）A．6B．7C．8D．95．为了计算11111123420192020S=-+-++-L，设计如图所示的程序框图，则在空白框中应填入（）A ．1i i =+B ．2i i =+C ．3i i =+D ．4i i =+6．如图程序框图的算法思路于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为16，20，则输出的a =（ ）A ．14B ．4C ．2D ．07．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为( )A．4B．5 C．8D．98．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则a的值是（）A．7B．6C．5D．4 9．执行如图的程序框图，如果输出的S=3，则输入的t=（）A ．1? -B ．3?- C ．1或3 D ．1或3-10．如图是一个算法流程图，则输出的结果是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．611．《九章算术》中有如下问题“今有牛、羊、马食人苗，苗主责之粟五斗，主日‘我羊食半马.’马主日‘ 我马食半牛.’今欲衰偿之，问各出几何?”翻译为今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说“我马吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比率偿还，问牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟?已知1斗=10升，针对这一问题，设计程序框图如图所示，若输出k 的值为2，则m =（ ）A ．503B ．507．C ．103D ．100712．在如图所示的计算1592017++++L 程序框图中，判断框内应填入的条件是（ ）A ．2017?i ≤B ．2017?i <C ．2013?i <D ．2021?i ≤ 13．如图所示的程序框图所实现的功能是（ ）A ．输入a 的值，计算()2021131a -⨯+ B ．输入a 的值，计算()2020131a -⨯+ C ．输入a 的值，计算()2019131a -⨯+D ．输入a 的值，计算()2018131a -⨯+ 14．执行如图所示的程序框图，如果输入的]2,0[∈x ，那么输出的y 值不可能为A．1 B．0C．1D．215．阅读如图所示的程序框图，则输出的（）A．30B．29C．90D．5416．执行如图所示的程序框图，若输出的，则判断框内应填入的条件是（）A．B．C．D．17．执行如图所示的程序框图，则输出的（）A．3B．4C．5D．618．执行下面程序框图，若输入的的值分别为0和44，则输出的值为（）A．4B．7C．10D．1319．执行如图所示的程序框图，若输出结果为1，则可输入的实数值的个数为（）A．1B．2C．3D．420．运行程序框图，如果输入某个正数后，输出的，那么的值为（）A．3B．4C．5D．6。
十年真题(2010-2019)高考数学(文)分类汇编专题08 不等式(新课标Ⅰ卷)(原卷版)
专题08不等式历年考题细目表题型年份考点试题位置单选题2017 线性规划2017年新课标1文科07单选题2014 线性规划2014年新课标1文科11单选题2012 线性规划2012年新课标1文科05单选题2010 线性规划2010年新课标1文科11填空题2018 线性规划2018年新课标1文科14填空题2016 线性规划2016年新课标1文科16填空题2015 线性规划2015年新课标1文科15填空题2013 线性规划2013年新课标1文科14填空题2011 线性规划2011年新课标1文科14历年高考真题汇编1．【2017年新课标1文科07】设，y满足约束条件，则＝+y的最大值为（）A．0 B．1 C．2 D．32．【2014年新课标1文科11】设，y满足约束条件且＝+ay的最小值为7，则a＝（）A．﹣5 B．3 C．﹣5或3 D．5或﹣33．【2012年新课标1文科05】已知正三角形ABC的顶点A（1，1），B（1，3），顶点C在第一象限，若点（，y）在△ABC内部，则＝﹣+y的取值范围是（）A ．（1，2）B ．（0，2）C ．（1，2）D ．（0，1）4．【2010年新课标1文科11】已知▱ABCD 的三个顶点为A （﹣1，2），B （3，4），C （4，﹣2），点（，y ）在▱ABCD 的内部，则＝2﹣5y 的取值范围是（ ）A ．（﹣14，16）B ．（﹣14，20）C ．（﹣12，18）D ．（﹣12，20） 5．【2018年新课标1文科14】若，y 满足约束条件，则＝3+2y 的最大值为 ．6．【2016年新课标1文科16】某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5g ，乙材料1g ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5g ，乙材料0.3g ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150g ，乙材料90g ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元． 7．【2015年新课标1文科15】若，y 满足约束条件，则＝3+y 的最大值为 ．8．【2013年新课标1文科14】设，y 满足约束条件，则＝2﹣y 的最大值为 ．9．【2011年新课标1文科14】若变量，y 满足约束条件，则＝+2y 的最小值为 ．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：不等关系与不等式，一元二次不等式及其解法，二元一次不等式组与简单的线性规划问题，基本不等式及其应用等.历年考题主要以选择填空题型出现，重点考查的知识点为：一元二次不等式及其解法，二元一次不等式组与简单的线性规划问题，基本不等式及其应用等，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点一元二次不等式及其解法，二元一次不等式组与简单的线性规划问题，基本不等式及其应用等为重点较佳.最新高考模拟试题1．已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则182yx⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭的取值范围是（ ） A ．82,2⎡⎤⎣⎦B ．81,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．72,2⎡⎤⎣⎦D ．71,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．已知点()2,1A ，动点(),B x y 的坐标满足不等式组2023603260x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，设为向量OB uuu v 在向量OA u u u v 方向上的投影，则的取值范围为（ ） A．55⎡⎢⎣⎦ B．55⎡⎢⎣⎦ C ．[]2,18D ．[]4,183．已知实数x ，y ，满足约束条件13260x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，若2z x y =-+的最大值为（ ）A ．-6B ．-4C ．2D ．34．若直线()1y k x =+与不等式组243322y x x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩表示的平面区域有公共点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(],1-∞B ．[]0,2C ．[]2,1-D ．(]2,2-5．已知,x y 满足约束条件20,20,20,x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =+ 的最大值与最小值之和为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．106．设0.231log 0.6,log 20.6m n ==，则（ ） A ．m n mn m n ->>+ B ．m n m n mn ->+> C ．mn m n m n >->+D ．m n m n mn +>->7．若x ，y 满足约束条件42y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A ．8B ．4C ．2D ．68．“2a =”是“0x ∀>，1x a x+≥成立”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知函数()ln(1)f x x =-，若f （a ）＝f （b ），则a+2b 的取值范围为（ ） A ．（4，+∞）B．[3)++∞C ．[6，+∞）D．(4,3+10．已知正项等比数列{a n }满足：a 7=a 6+2a 5，若存在两项a m 、a n ，使得a m a n =16a 12，则1m +9n的最小值为（ ） A ．32B ．83C ．114D ．不存在11．若正数,m n 满足21m n +=，则11m n+的最小值为（ ） A ．322+ B ．32+C ．222+D ．312．若实数满足，则的最大值是（ ）A ．-4B ．-2C ．2D ．4 13．已知，则取到最小值时（ ） A ．B ．C ．D ． 14．已知函数，若，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．15．在平面直角坐标系中，分别是轴正半轴和图像上的两个动点，且，则的最大值是A ．B ．C ．4D ．16．定义：区间的长度均为，若不等式的解集是互不相交区间的并集，设该不等式的解集中所有区间的长度之和为，则（ ）A ．当时，B ．当时，C ．当时，D ．当时，17．关于的不等式的解集为，则的取值范围为 （ ）A ．B ．C ．D ．18．若关于的不等式上恒成立，则实数a 的取值范围是A ．B ．C ．D ．19．已知函数的导函数为的解集为,若的极小值等于-98,则a 的值是（ ） A ．- B ． C ．2 D ．520．在R 上定义运算⊗：(1)x y x y ⊗=-，若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．11a -<<B ．1322a -<< C ．3122a -<< D ．02a <<21．在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对边的长，S 为ABC ∆的面积．若不等式22233kS b c a ≤+-恒成立，则实数k 的最大值为______．22．已知实数,x y 满足约束条件2020x y x y x a +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，若2(0)z ax y a =->的最大值为1-，则实数a 的值是______23．已知实数,x y 满足不等式组201030y x y x y -≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则yx 的取值范围为__________．24．若x ，y 均为正实数，则221(2)x y x y+++的最小值为_______.25．点(),M x y 在曲线C ：224210x x y -+-=上运动，22+1212150t x y x y a =+---，且t 的最大值为b ，若,a b R +∈，则111a b++的最小值为_____. 26．已知实数,x y 满足约束条件222020x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩，则3xz y =-+的最大值为_____27．已知实数x ，y 满足342y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则3z x y =+的最大值是__________．28．设x ,y 满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的值是最大值为12,则23a b+的最小值为______． 29．若,x y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩则2z x y =+的最小值为__________．30．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若222a b ab c ++=，且ABC ∆，则ab最小值为_______．。
十年真题(2010-2019)高考数学(文)分类汇编专题01 集合(新课标Ⅰ卷)(解析版)
专题01集合历年考题细目表历年高考真题汇编1．【2019年新课标1文科02】已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩∁U A＝（）A．{1，6} B．{1，7} C．{6，7} D．{1，6，7}【解答】解：∵U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，∴∁U A＝{1，6，7}，则B∩∁U A＝{6，7}故选：C．2．【2018年新课标1文科01】已知集合A＝{0，2}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．{0，2} B．{1，2}C．{0} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}【解答】解：集合A＝{0，2}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝{0，2}．故选：A．3．【2017年新课标1文科01】已知集合A＝{|＜2}，B＝{|3﹣2＞0}，则（）A．A∩B＝{|} B．A∩B＝∅C．A∪B＝{|} D．A∪B＝R【解答】解：∵集合A＝{|＜2}，B＝{|3﹣2＞0}＝{|}，∴A∩B＝{|}，故A正确，B错误；A∪B＝{||＜2}，故C，D错误；故选：A．4．【2016年新课标1文科01】设集合A＝{1，3，5，7}，B＝{|2≤≤5}，则A∩B＝（）A．{1，3} B．{3，5} C．{5，7} D．{1，7}【解答】解：集合A＝{1，3，5，7}，B＝{|2≤≤5}，则A∩B＝{3，5}．故选：B．5．【2015年新课标1文科01】已知集合A＝{|＝3n+2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为（）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：A＝{|＝3n+2，n∈N}＝{2，5，8，11，14，17，…}，则A∩B＝{8，14}，故集合A∩B中元素的个数为2个，故选：D．6．【2014年新课标1文科01】已知集合M＝{|﹣1＜＜3}，N＝{|﹣2＜＜1}，则M∩N＝（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，3）D．（﹣2，3）【解答】解：M＝{|﹣1＜＜3}，N＝{|﹣2＜＜1}，则M∩N＝{|﹣1＜＜1}，故选：B．7．【2013年新课标1文科01】已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{|＝n2，n∈A}，则A∩B＝（）A．{1，4} B．{2，3} C．{9，16} D．{1，2}【解答】解：根据题意得：＝1，4，9，16，即B＝{1，4，9，16}，∵A＝{1，2，3，4}，∴A∩B＝{1，4}．故选：A．8．【2012年新课标1文科01】已知集合A＝{|2﹣﹣2＜0}，B＝{|﹣1＜＜1}，则（）A．A⊊B B．B⊊A C．A＝B D．A∩B＝∅【解答】解：由题意可得，A＝{|﹣1＜＜2}，∵B＝{|﹣1＜＜1}，在集合B中的元素都属于集合A，但是在集合A中的元素不一定在集合B中，例如∴B⊊A．故选：B．9．【2011年新课标1文科01】已知集合M＝{0，1，2，3，4}，N＝{1，3，5}，P＝M∩N，则P的子集共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个【解答】解：∵M＝{0，1，2，3，4}，N＝{1，3，5}，∴P＝M∩N＝{1，3}∴P的子集共有22＝4故选：B．10．【2010年新课标1文科01】已知集合A＝{|||≤2，∈R}，B＝{|4，∈}，则A∩B＝（）A．（0，2）B．[0，2] C．{0，2} D．{0，1，2}【解答】解：∵A＝{|||≤2}＝{|﹣2≤≤2}B＝{|4，∈}＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}则A∩B＝{0，1，2}故选：D．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：集合关系及其运算，历年考题主要以选择填空题型出现， 重点考查的知识点为：交并补运算，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点交并补运算为重点较佳.最新高考模拟试题1．若集合{}5|2A x x =-<<，{}|||3B x x =<，则A B =I （ ）A ．{}|32x x -<<B ．{}|52x x -<<C ．{}|33x x -<<D ．{}|53x x -<<【答案】A【解析】解：{}{}333||B x x x x =<=-<<，则{}|32A B x x ⋂=-<<，故选：A ．2．已知集合2{|560}A x x x =-+≤，{|15}B x Z x =∈<<，则A B =I （ ）A ．[2,3]B ．(1,5)C ．{}2,3D ．{2,3,4}【答案】C【解析】2560(2)(3)023x x x x x -+≤⇒--≤⇒≤≤Q ，{}23A x x ∴=≤≤，又{}{|15}2,3,4B x Z x =∈<<=，所以{}2,3A B ⋂=，故本题选C.3．已知集合{3,2,1,0,1,2,3}A =---，{}2|450B x x x =∈--≤R ，则A B =I （ ）A ．{3,2,1,0}---B ．{}1,0,1,2,3-C ．{}3,2--D ．{}3,2,1,0,1,2,3---【答案】B【解析】 因为{}2|450B x x x =∈--≤R {|15}x x =-≤≤， {3,2,1,0,1,2,3}A =---∴{}1,0,1,2,3A B ⋂=-．故选B ．4．已知全集U =R ，集合{}|24,{|(1)(3)0}x A x B x x x =>=--<，则()U A B =I ð（ ） A ．(1,2)B ．(]1,2C ．(1,3)D ．(,2]-∞ 【答案】B【解析】由24x >可得2x >， (1)(3)0x x --<可得13x <<，所以集合(2,),(1,3)A B =+∞=,(,2]U A =-∞ð，所以()U A B =I ð(]1,2，故选B.5．已知集合{}(,)|1,A x y y x x R ==+∈，集合{}2(,)|,B x y y x x R ==∈，则集合A B ⋂的子集个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】D【解析】由题意得，直线1y x =+与抛物线2y x =有2个交点，故A B ⋂的子集有4个.6．已知集合{}2log (1)2M x x =+＜，{1,0,1,2,3}N =-，则()R M N ⋂ð=（ ）A ．{-1，0，1，2，3}B ．{-1，0，1，2}C ．{-1，0，1}D ．{-1，3} 【答案】D【解析】 由题意，集合{}2log (1)2{|13}M x x x x =+<=-<<，则{|1R M x x =≤-ð或3}x ≥又由{1,0,1,2,3}N =-，所以(){1,3}R M N ⋂=-ð，故选D.7．已知集合{}lg(1)A x y x ==-，{}1,0,1,2,3B =-，则()R A B I ð=( )A ．{}1,0-B ．{}1,0,1-C ．{}1,2,3D ．{}2,3【答案】B【解析】 因为{}{}lg(1)1A x y x x x ==-=>，所以{}1R C A x x =≤，又{}1,0,1,2,3B =-，所以{}()1,0,1R C A B =-I .故选B8．已知R 是实数集，集合{}1,0,1A =-，{}210B x x =-≥，则()A B =R I ð（）A ．{}1,0-B ．{}1C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】1|2B x x 禳镲=?睚镲铪Q1|2R C B x x 禳镲\=<睚镲铪即(){1,0}R A C B ?-故选A 。
十年真题(2010-2019)高考数学(文)分类汇编专题02 复数(新课标Ⅰ卷)(原卷版)
专题02复数历年考题细目表题型年份考点试题位置单选题2019 复数的四则运算2019年新课标1文科01单选题2018 复数的四则运算2018年新课标1文科02单选题2017 复数的四则运算2017年新课标1文科03单选题2016数系的扩充与复数的定义2016年新课标1文科02单选题2015 复数的四则运算2015年新课标1文科03单选题2014 复数的四则运算2014年新课标1文科03单选题2013 复数的四则运算2013年新课标1文科02单选题2012 复数的四则运算2012年新课标1文科02单选题2011 复数的四则运算2011年新课标1文科02单选题2010 复数的四则运算2010年新课标1文科03历年高考真题汇编1．【2019年新课标1文科01】设，则||＝（）A．2 B．C．D．12．【2018年新课标1文科02】设2i，则||＝（）A．0 B．C．1 D．3．【2017年新课标1文科03】下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A．i（1+i）2 B．i2（1﹣i）C．（1+i）2D．i（1+i）4．【2016年新课标1文科02】设（1+2i）（a+i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则a等于（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．35．【2015年新课标1文科03】已知复数满足（﹣1）i＝1+i，则＝（）A．﹣2﹣i B．﹣2+i C．2﹣i D．2+i6．【2014年新课标1文科03】设i，则||＝（）A．B．C．D．27．【2013年新课标1文科02】（）A．﹣1i B．﹣1i C．1i D．1i8．【2012年新课标1文科02】复数的共轭复数是（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i9．【2011年新课标1文科02】复数（）A．2﹣i B．1﹣2i C．﹣2+i D．﹣1+2i10．【2010年新课标1文科03】已知复数，则||＝（）A．B．C．1 D．2考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等)，复数相等的充要条件，考查复数的代数形式的四则运算，重点考查复数的除法运算，与向量结合考查复数及其加法、减法的几何意义等，历年考题主要以选择题题型出现，重点考查的知识点为复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等)，复数相等的充要条件，考查复数的代数形式的四则运算，重点考查复数的除法运算等，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等)，复数相等的充要条件，考查复数的代数形式的四则运算为重点较佳.最新高考模拟试题1．复数52iz =-在复平面上的对应点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设i z a b =+（a ，b ∈R ，i 是虚数单位），且22i z =-，则有（ ） A ．1a b +=- B ．1a b -=- C ．0a b -= D ．0a b +=3．若复数1i1ia z +=+为纯虚数，则实数a 的值为( ) A ．1B ．1-C ．0D ．24．复数i （1+i ）的虚部为（ ）AB ．1C ．0D ．1-5．已知复数11z i =-+，复数2z 满足122z z =-，则2z = ( )A ．2B CD ．106．已知复数312i z i=+，则复数的实部为（ ）A ．25-B ．25i -C ．15-D ．15i -7．复数122ii-=+（ ）A ．1i -B ．i -C ．iD ．1i +8．已知i 为虚数单位,复数满足：()z 12i i +=-，则在复平面上复数对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．设复数z a i =+，z 是其共轭复数，若3455z i z =+，则实数a =（ ） A ．4B ．3C ．2D ．110．已知i 是虚数单位，复数满足2(1)1i i z-=+，则z =（ ）AB ．2C ．1D 11．复数()()21z i i =+-，其中i 为虚数单位，则的实部是（ ） A ．-1B ．1C ．2D ．312．已知复数(1)1z i i -=+，则复数z =（ ） A ．2i +B ．2i -C ．iD ．i -13．已知i 为虚数单位，若1(,)1a bi a b R i=+∈-，则b a =（ ）A ．1B C D ．214．已知复数满足2(1i)(3i)z +=+，则||z =（ ）A BC ．D ．815．已知i 是虚数单位，则复数11i i -+在复平面上所对应的点的坐标为（ ） A ．()0,1B ．()1,0-C ．()1,0D ．()0,1-16．若复数满足(1i)|1|z +=+，则在复平面内的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限17．已知复数满足12iz i =+，则的虚部是（ ） A ．1-B ．i -C ．2D ．2i18．已知31iz i-=-（其中i 为虚数单位），则z 的虚部为( ) A ．i -B ．1-C ．1D ．219．复数2(1)41i z i -+=+的虚部为( )A ．1-B ．3-C ．1D ．220．已知复数()11z ai a R =+∈，212z i =+（i 为虚数单位），若12z z 为纯虚数，则a =（ ）A ．2-B ．2C ．12-D ．1221．设复数满足2ii z+=，则z =（ ） A ．1BC ．3D ．522．已知复数1i z i=-，则z +在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限23．复数满足(1)2z i i -=，则复数z =（ ） A ．1i -B ．12i +C ．1i +D ．1i --24．若复数2(1)z m m m i =+++是纯虚数，其中m 是实数，则1z=（ ） A ．iB ．i -C ．2iD ．2i -25．设i 为虚数单位，则复数22iz i-=+的共扼复数z =（ ） A ．3455i + B ．3455i - C ．3455i -+ D ．3455i -- 26．已知复数1z 、2z在复平面内对应的点关于虚轴对称，11z =，则12z z =( ) A ．2BCD ．127．已知复数1＝1+2i ，2＝l ﹣i ，则12z z =（ ） A ．13i 22-- B ．13i 22-+ C ．13i 22- D ．13i 22+ 28．在复平面内，复数(2i)z -对应的点位于第二象限，则复数可取（ ） A ．2B ．-1C ．iD ．2i +29．已知i 为虚数单位，则复数3(1)iz i i+=-的虚部为（ ）A ．1B ．2C ．1-D ．2-30．已知复数(i)(1i)z a =+-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点在直线2y x =上，则实数a 的值为（ ）A ．0B ．1-C ．1D ．13-。
十年真题(2010-2019)高考数学(文)分类汇编专题15 不等式选讲(新课标Ⅰ卷)(原卷版)
专题15不等式选讲历年考题细目表题型年份考点试题位置解答题2019 不等式选讲2019年新课标1文科23解答题2018 综合测试题2018年新课标1文科23解答题2017 综合测试题2017年新课标1文科23解答题2016 综合测试题2016年新课标1文科24解答题2015 综合测试题2015年新课标1文科24解答题2014 综合测试题2014年新课标1文科24解答题2013 综合测试题2013年新课标1文科24解答题2012 综合测试题2012年新课标1文科24解答题2011 综合测试题2011年新课标1文科24解答题2010 综合测试题2010年新课标1文科24历年高考真题汇编1．【2019年新课标1文科23】已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．证明：（1）a2+b2+c2；（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．2．【2018年新课标1文科23】已知f（）＝|+1|﹣|a﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f（）＞1的解集；（2）若∈（0，1）时不等式f（）＞成立，求a的取值范围．3．【2017年新课标1文科23】已知函数f（）＝﹣2+a+4，g（）＝|+1|+|﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f（）≥g（）的解集；（2）若不等式f（）≥g（）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．4．【2016年新课标1文科24】已知函数f（）＝|+1|﹣|2﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y＝f（）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（）|＞1的解集．5．【2015年新课标1文科24】已知函数f（）＝|+1|﹣2|﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（）＞1的解集；（Ⅱ）若f（）的图象与轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．6．【2014年新课标1文科24】若a＞0，b＞0，且．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b＝6？并说明理由．7．【2013年新课标1文科24】已知函数f（）＝|2﹣1|+|2+a|，g（）＝+3．（Ⅰ）当a＝﹣2时，求不等式f（）＜g（）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当∈[，]时，f（）≤g（），求a的取值范围．8．【2012年新课标1文科24】已知函数f（）＝|+a|+|﹣2|①当a＝﹣3时，求不等式f（）≥3的解集；②f（）≤|﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．9．【2011年新课标1文科24】设函数f （）＝|﹣a |+3，其中a ＞0．（Ⅰ）当a ＝1时，求不等式f （）≥3+2的解集（Ⅱ）若不等式f （）≤0的解集为{|≤﹣1}，求a 的值．10．【2010年新课标1文科24】设函数f （）＝|2﹣4|+1．（Ⅰ）画出函数y ＝f （）的图象：（Ⅱ）若不等式f （）≤a 的解集非空，求a 的取值范围． 考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：解绝对值不等式、证明不等式、利用不等式恒成立求参数的值或范围，求含有绝对值的函数最值也是考查的热点．求解的一般方法是去掉绝对值，也可以借助数形结合求解.历年考题主要以解答题题型出现，重点考查的知识点为解绝对值不等式、证明不等式、利用不等式恒成立求参数的值或范围，求含有绝对值的函数最值也是考查的热点．预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点解绝对值不等式、利用不等式恒成立求参数的值或范围，证明不等式为重点较佳. 最新高考模拟试题 1．已知函数()22()f x x a x a R =-+-∈.（1）当2a =时，求不等式()2f x >的解集；（2）若[2,1]x ∈-时不等式()32f x x ≤-成立，求实数a 的取值范围． 2．已知()221f x x x =-++．（1）求不等式()6f x <的解集；（2）设m 、n 、p 为正实数，且()3m n p f ++=，求证：12mn np pm ++≤．3．[选修4—5：不等式选讲]已知函数()|||2|(0)f x x m x m m =--+>.（1）当1m =，求不等式()1f x ≥的解集；（2）对于任意实数,x t ，不等式()21f x t t <++-恒成立，求实数m 的取值范围.4．选修4-5不等式选讲已知关于x 的不等式20x m x -+≤的解集为{|2}x x ≤-，其中0m >.（1）求m 的值；（2）若正数a ，b ，c 满足a b c m ++=，求证：2222b c a a b c++≥. 5．选修4-5：不等式选讲 已知函数()13f x x x a =+++（1）当1a =-时，解不等式()2f x ≥；（2）若存在0x 满足00()211f x x ++<，求实数a 的取值范围.6．已知函数()|2|f x ax =-.（Ⅰ）当4a =时，求不等式()|42|8f x x ++≥的解集；（Ⅱ）若[2,4]x ∈时，不等式()|3|3f x x x +-≤+成立，求a 的取值范围.7．已知函数()21f x x x a =-++，()2g x x =+．（1）当1a =-时，求不等式()()f x g x <的解集；（2）设12a >-，且当1,2x a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，()()f x g x ≤，求a 的取值范围． 8．已知函数()|2|f x x =-．（Ⅰ）求不等式()|1|f x x x <++的解集；（Ⅱ）若函数5log [(3)()3]y f x f x a =++-的定义域为R ，求实数a 的取值范围．9．已知函数()123f x x x =-+-．（Ⅰ）解关于x 的不等式()4f x ≤；（Ⅱ）若()20f x m m -->恒成立，求实数m 的取值范围．10．已知函数()211f x x x =-++.（Ⅰ）解不等式()3f x ≥；（Ⅱ）记函数()f x 的最小值为m ，若,,a b c 均为正实数，且232a b c m ++=，求222a b c ++的最小值. 11．已知函数()12f x x a x =+++.（Ⅰ）求1a =时，()3f x ≤的解集；（Ⅱ）若()f x 有最小值，求a 的取值范围，并写出相应的最小值.12．选修4-5：不等式选讲已知函数()|23||1|f x x x =--+.（1）求不等式()6f x ≤的解集；（2）设集合M 满足：当且仅当x M ∈时，()|32|f x x =-，若,a b M ∈，求证：228223a b a b -++≤. 13．[选修4—5：不等式选讲]已知函数()31f x x m x m =----（1）若1m =，求不等式()1f x <的解集.（2）对任意的x R ∈，有()(2)f x f ≤，求实数m 的取值范围.14．已知()21f x x x =+-．（1）证明()1f x x +≥；（2）若,,a b c +∈R ，记33311134abc a b c +++的最小值为m ，解关于x 的不等式()f x m <． 15．选修4—5：不等式选讲已知函数()11f x x mx =++-，m R ∈。
十年真题(2010-2019)高考数学真题分类汇编专题09立体几何文(含解析)
专题09立体几何历年考题细目表质17解答题2013垂直关系的判定与性质2013年北京文科17解答题2012垂直关系的判定与性质2012年北京文科16解答题2011空间角与空间距离2011年北京文科17解答题2010垂直关系的判定与性质2010年北京文科17历年高考真题汇编1．【2018年北京文科06】某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( ）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解:四棱锥的三视图对应的直观图为：PA⊥底面ABCD，AC,CD，PC＝3，PD＝2,可得三角形PCD不是直角三角形．所以侧面中有3个直角三角形，分别为：△PAB，△PBC，△PAD．故选：C．2．【2017年北京文科06】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．60 B．30 C．20 D．10【解答】解：由三视图可知:该几何体为三棱锥，该三棱锥的体积10．故选：D．3．【2015年北京文科07】某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A．1 B．C．D．2【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直,底面为正方形如图：其中PB⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形∴PB＝1，AB＝1，AD＝1，∴BD,PD．PC═该几何体最长棱的棱长为：故选：C．4．【2013年北京文科08】如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,P为对角线BD1的三等分点,P到各顶点的距离的不同取值有（)A．3个B．4个C．5个D．6个【解答】解:建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长｜AB｜＝3,则A（3,0，0），B（3，3，0），C（0,3,0），D（0,0，0），A1（3，0，3），B1（3，3,3）,C1（0,3,3）,D1（0，0,3)，∴（﹣3，﹣3，3），设P（x,y,z)，∵(﹣1，﹣1,1）,∴（2，2,1）．∴｜PA|＝｜PC|＝|PB1|，｜PD｜＝｜PA1|＝｜PC1｜，|PB｜，|PD1｜．故P到各顶点的距离的不同取值有,3,，共4个．故选：B．5．【2012年北京文科07】某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A．28+6B．30+6C．56+12D．60+12【解答】解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形，一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4,底边长为5，如图，所以S底10，S后,S右10，S左6．几何体的表面积为：S＝S底+S后+S右+S左＝30+6．故选：B．6．【2011年北京文科05】某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（）A．16B．16+16C．32D．16+32【解答】解：由已知中的三视力可得该几何体是一个四棱锥，棱锥的底面边长为4，故底面面积为16,棱锥的高为2,故侧面的高为：2，则每个侧面的面积为：4,故棱锥的表面积为：16+16,故选：B．7．【2010年北京文科05】一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧(左）视图分别如图所，则该几何体的俯视图为( )A．B．C．D．【解答】解：由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向，从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的左侧，由以上各视图的描述可知其俯视图符合C选项．故选:C．8．【2010年北京文科08】如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2,动点E、F在棱A1B1上．点Q是CD的中点,动点P在棱AD上，若EF＝1，DP＝x，A1E＝y（x，y大于零）,则三棱锥P﹣EFQ的体积（）A．与x，y都有关B．与x，y都无关C．与x有关，与y无关D．与y有关,与x无关【解答】解：三棱锥P﹣EFQ的体积与点P到平面EFQ的距离和三角形EFQ的面积有关，由图形可知，平面EFQ与平面CDA1B1是同一平面，故点P到平面EFQ的距离是P到平面CDA1B1的距离，且该距离就是P到线段A1D 的距离,此距离只与x有关，因为EF＝1，点Q到EF的距离为线段B1C的长度，为定值，综上可知所求三棱锥的体积只与x有关，与y无关．故选：C．9．【2019年北京文科12】某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得,其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为l,那么该几何体的体积为．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体是把棱长为4的正方体去掉一个四棱柱，则该几何体的体积V．故答案为：40．10．【2019年北京文科13】已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α．以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：．【解答】解：由l，m是平面α外的两条不同直线，知：由线面平行的判定定理得：若l⊥α,l⊥m，则m∥α．故答案为：若l⊥α，l⊥m，则m∥α．11．【2016年北京文科11】某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为．【解答】解:由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，棱柱的底面面积S(1+2）×1，棱柱的高为1，故棱柱的体积V，故答案为：12．【2014年北京文科11】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为．【解答】解：由主视图知CD⊥平面ABC，设AC中点为E，则BE ⊥AC，且AE＝CE＝1；由主视图知CD＝2，由左视图知BE＝1，在Rt△BCE中，BC，在Rt△BCD中,BD，在Rt△ACD中，AD＝2．则三棱锥中最长棱的长为2．故答案为：2．13．【2013年北京文科10】某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为．【解答】解：几何体为底面边长为3的正方形，高为1的四棱锥，所以体积．故答案为：3．14．【2019年北京文科18】如图，在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若∠ABC＝60°,求证:平面PAB⊥平面PAE；（Ⅲ）棱PB上是否存在点F,使得CF∥平面PAE?说明理由．【解答】证明：（Ⅰ）∵四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形,∴BD⊥PA,BD⊥AC，∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC．(Ⅱ）∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点，∠ABC＝60°,∴AB⊥AE，PA⊥AE,∵PA∩AB＝A，∴AE⊥平面PAB，∵AE⊂平面PAE，∴平面PAB⊥平面PAE．解:（Ⅲ)棱PB上是存在中点F，使得CF∥平面PAE．理由如下:取AB中点G,连结GF，CG，∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点，∴CG∥AE，FG∥PA，∵CG∩FG＝G,AE∩PA＝A，∴平面CFG∥平面PAE，∵CF⊂平面CFG，∴CF∥平面PAE．15．【2018年北京文科18】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD 为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E,F分别为AD，PB的中点．（Ⅰ）求证：PE⊥BC；（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PCD；(Ⅲ）求证：EF∥平面PCD．【解答】证明：（Ⅰ）PA＝PD,E为AD的中点，可得PE⊥AD，底面ABCD为矩形，可得BC∥AD，则PE⊥BC；（Ⅱ）由于平面PAB和平面PCD有一个公共点P，且AB∥CD,在平面PAB内过P作直线PG∥AB，可得PG∥CD，即有平面PAB∩平面PCD＝PG，由平面PAD⊥平面ABCD，又AB⊥AD，可得AB⊥平面PAD,即有AB⊥PA,PA⊥PG;同理可得CD⊥PD，即有PD⊥PG，可得∠APD为平面PAB和平面PCD的平面角，由PA⊥PD，可得平面PAB⊥平面PCD；（Ⅲ）取PC的中点H，连接DH，FH，在三角形PCD中，FH为中位线，可得FH∥BC，FH BC,由DE∥BC，DE BC,可得DE＝FH,DE∥FH，四边形EFHD为平行四边形,EF⊄平面PCD,DH⊂平面PCD,即有EF∥平面PCD．16．【2017年北京文科18】如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．(1)求证：PA⊥BD;（2)求证：平面BDE⊥平面PAC；（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E﹣BCD的体积．【解答】解：（1）证明：由PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，且AB∩BC＝B，可得PA⊥平面ABC，由BD⊂平面ABC，可得PA⊥BD；（2)证明：由AB＝BC,D为线段AC的中点,由PA⊥平面ABC，PA⊂平面PAC，可得平面PAC⊥平面ABC，又平面PAC∩平面ABC＝AC，BD⊂平面ABC，且BD⊥AC，即有BD⊥平面PAC，BD⊂平面BDE，可得平面BDE⊥平面PAC；（3）PA∥平面BDE，PA⊂平面PAC，且平面PAC∩平面BDE＝DE，可得PA∥DE，又D为AC的中点,可得E为PC的中点，且DE PA＝1,由PA⊥平面ABC,可得DE⊥平面ABC,可得S△BDC S△ABC2×2＝1，则三棱锥E﹣BCD的体积为DE•S△BDC1×1．17．【2016年北京文科18】如图,在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC．（1）求证：DC⊥平面PAC；（2）求证：平面PAB⊥平面PAC；（3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．【解答】（1）证明:∵PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，∴PC⊥DC,∵DC⊥AC，PC∩AC＝C，∴DC⊥平面PAC;（2）证明：∵AB∥DC，DC⊥AC，∴AB⊥AC，∵PC⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD，∴PC⊥AB，∵PC∩AC＝C,∴AB⊥平面PAC，∵AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAC；（3）解：在棱PB上存在中点F,使得PA∥平面CEF．∵点E为AB的中点，∴EF∥PA，∵PA⊄平面CEF,EF⊂平面CEF，∴PA∥平面CEF．18．【2015年北京文科18】如图，在三棱锥V﹣ABC中,平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC，O,M分别为AB，VA的中点．（1）求证：VB∥平面MOC；（2）求证:平面MOC⊥平面VAB（3）求三棱锥V﹣ABC的体积．【解答】（1）证明：∵O,M分别为AB,VA的中点，∴OM∥VB，∵VB⊄平面MOC,OM⊂平面MOC，∴VB∥平面MOC;（2)∵AC＝BC，O为AB的中点，∴OC⊥AB，∵平面VAB⊥平面ABC,OC⊂平面ABC，∴OC⊥平面VAB，∵OC⊂平面MOC，∴平面MOC⊥平面VAB（3)在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC,∴AB＝2，OC＝1，∴S△VAB，∵OC⊥平面VAB,∴V C﹣VAB•S△VAB，∴V V﹣ABC＝V C﹣VAB．19．【2014年北京文科17】如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面,AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1,E、F分别为A1C1、BC 的中点．（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE；（3）求三棱锥E﹣ABC的体积．【解答】解：(1）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面,∴BB1⊥AB，∵AB⊥BC，BB1∩BC＝B，BB1，BC⊂平面B1BCC1,∴AB⊥平面B1BCC1，∵AB⊂平面ABE,∴平面ABE⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）证明：取AB中点G，连接EG，FG，则∵F是BC的中点，∴FG∥AC，FG AC，∵E是A1C1的中点，∴FG∥EC1，FG＝EC1，∴四边形FGEC1为平行四边形，∴C1F∥EG，∵C1F⊄平面ABE,EG⊂平面ABE，∴C1F∥平面ABE；（3）解：∵AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC,∴AB，∴V E﹣ABC S△ABC•AA1（1)×2．20．【2013年北京文科17】如图，在四棱锥P﹣ABCD中,AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD．E和F 分别是CD和PC的中点,求证：(Ⅰ）PA⊥底面ABCD;(Ⅱ)BE∥平面PAD；（Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD．【解答】解：（Ⅰ)∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD ∩平面ABCD＝AD，由平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD．（Ⅱ）∵AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，E和F分别是CD和PC 的中点，故四边形ABED为平行四边形,故有BE∥AD．又AD⊂平面PAD，BE不在平面PAD内,故有BE∥平面PAD．(Ⅲ）平行四边形ABED中，由AB⊥AD可得，ABED为矩形，故有BE⊥CD①．由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD，∴CD⊥平面PAD，故有CD⊥PD．再由E、F分别为CD和PC的中点，可得EF∥PD，∴CD⊥EF②．而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线，故有CD⊥平面BEF．由于CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD．21．【2012年北京文科16】如图1，在Rt△ABC中,∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD,如图2．（1）求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q,使A1C⊥平面DEQ？说明理由．【解答】解：（1）∵D,E分别为AC，AB的中点，∴DE∥BC,又DE⊄平面A1CB，∴DE∥平面A1CB．(2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC，∴DE⊥AC,∴DE⊥A1D，又DE⊥CD，∴DE⊥平面A1DC,而A1F⊂平面A1DC,∴DE⊥A1F，又A1F⊥CD，∴A1F⊥平面BCDE，∴A1F⊥BE．（3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ．理由如下：如图,分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC．∵DE∥BC,∴DE∥PQ．∴平面DEQ即为平面DEP．由（Ⅱ)知DE⊥平面A1DC，∴DE⊥A1C,又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，∴A1C⊥DP，∴A1C⊥平面DEP,从而A1C⊥平面DEQ，故线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ．22．【2011年北京文科17】如图,在四面体PABC中,PC⊥AB,PA⊥BC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC,BC,PB的中点．(Ⅰ）求证:DE∥平面BCP；（Ⅱ）求证：四边形DEFG为矩形;(Ⅲ)是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由．【解答】证明：(Ⅰ）∵D,E分别为AP,AC的中点，∴DE∥PC,∵DE⊄平面BCP，∴DE∥平面BCP．（Ⅱ）∵D，E,F,G分别为AP，AC，BC,PB的中点，∴DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF∴四边形DEFG为平行四边形,∵PC⊥AB，∴DE⊥DG，∴四边形DEFG为矩形．(Ⅲ）存在点Q满足条件，理由如下：连接DF，EG，设Q为EG的中点，由（Ⅱ）知DF∩EG＝Q,且QD＝QE＝QF＝QG EG，分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN，与（Ⅱ）同理，可证四边形MENG为矩形,其对角线交点为EG的中点Q，且QM＝QN EG，∴Q为满足条件的点．23．【2010年北京文科17】如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直．EF∥AC，AB，CE＝EF＝1．（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE;(Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE．【解答】证明：（Ⅰ）设AC于BD交于点G．因为EF∥AG，且EF＝1,AG AC＝1，所以四边形AGEF为平行四边形,所以AF∥EG，因为EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，所以AF∥平面BDE．(Ⅱ）连接FG．因为EF∥CG,EF＝CG＝1，且CE＝1，所以平行四边形CEFG为菱形．所以CF⊥EG．因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC．又因为平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC,所以BD⊥平面ACEF．所以CF⊥BD．又BD∩EG＝G，所以CF⊥平面BDE．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：空间几何体的结构、三视图和直观图，空间几何体的表面积与体积,空间点、直线、平面之间的位置关系，直线、平面平行、垂直的判定与性质，空间向量及其运算，立体几何中的向量方法(证明平行与垂直、求空间角和距离）等.历年考题主要以选择填空或解答题题型出现，重点考查的知识点为：三视图和直观图，空间几何体的表面积与体积，直线、平面平行、垂直的判定与性质,立体几何中的向量方法（证明平行与垂直、求空间角和距离)等.预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点三视图和直观图,空间几何体的表面积与体积，直线、平面平行、垂直的判定与性质，立体几何中的向量方法(证明平行与垂直、求空间角和距离)等为重点较佳.最新高考模拟试题1．在正方体中, 1AD与BD所成的角为( ）A．45?B．90C．60D．120【答案】C【解析】如图,连结BC1、BD和DC1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中，由AB=D1C1，AB∥D1C1，可知AD1∥BC1，所以∠DBC1就是异面直线AD1与BD所成角，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，BC1、BD和DC1是其三个面上的对角线，它们相等．所以△DBC1是正三角形，∠DBC1=60°故异面直线AD1与BD所成角的大小为60°．故选：C．2．在正方体中，用空间中与该正方体所有棱成角都相等的平面 去截正方体,在截面边数最多时的所有多边形中,多边形截面的面积为S，周长为l，则( ）A．S为定值，l不为定值B．S不为定值，l为定值C．S与l均为定值D．S与l均不为定值【答案】C【解析】正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，如图：与面1A BD平行的面且截面是六边形时满足条件，不失一般性设正方体边长为1，即六边形EFGHMN，其中分别为其所在棱的中点，由正方体的性质可得2EF=，2∴六边形的周长l为定值32．∴六边形的面积为，由正方体的对称性可得其余位置时也为正六边形,周长与面积不变，故S与l均为定值，故选C.3．在四面体P ABC-中，ABCPA=,4∆为等边三角形，边长为3，3PC=，PB=，5则四面体P ABC-的体积为（）A．3B．23C．11D．10【答案】C【解析】如图,延长CA至D，使得3AD=，连接,DB PD，因为，故ADB∆为等腰三角形，又，故，所以即,故CB DB⊥，因为，所以，所以CB PB⊥，因，DB⊂平面PBD,PB⊂平面PBD，所以CB⊥平面PBD,所以，因A为DC的中点，所以，因为，故PDC∆为直角三角形,所以,又，而4∆为直角三角形，PB=,故即PBD所以,所以，故选C。
十年(2010-2019)高考数学真题分类汇编(试卷版+解析版)： 复数
A.1+2i
B.-1+2i
C.1-2i
D.-1-2i
1
42.(2014·全国 1·文 T3)设 z=1+ +i,则|z|=( )
1
√2
√3
A.2
B. 2
C. 2
D.2
43.(2013·全国 1·理 T2)若复数 z 满足(3-4i)z=|4+3i|,则 z 的虚部为( )
A.-4
4
B.-5
4
C.4
D.√2
1+2i
8.(2018·全国 2·理 T1) =( )
1-2i
4
A.-5
−
3
5i
4
B.-5
+
3
5i
3
C.-5
−
4
5i
3
D.-5
+
4
5i
9.(2018·全国 2·文 T1)i(2+3i)=( )
A.3-2i
B.3+2i
1
C.-3-2i
D.-3+2i
10.(2018·全国 3·理 T2 文 T2)(1+i)(2-i)=( )
A.√3
B.√5
C.3
D.5
4.(2019·全国 2·文 T2)设 z=i(2+i),则 =( )
A.1+2i
B.-1+2i
C.1-2i
D.-1-2i
5.(2019·全国 1·理 T2)设复数 z 满足|z-i|=1,z 在复平面内对应的点为(x,y),则( )
A.(x+1)2+y2=1
B.(x-1)2+y2=1
十年真题(2010-2019)高考数学(文)分类汇编专题15 不等式选讲(新课标Ⅰ卷)(原卷版)
专题15不等式选讲历年考题细目表题型年份考点试题位置解答题2019 不等式选讲2019年新课标1文科23解答题2018 综合测试题2018年新课标1文科23解答题2017 综合测试题2017年新课标1文科23解答题2016 综合测试题2016年新课标1文科24解答题2015 综合测试题2015年新课标1文科24解答题2014 综合测试题2014年新课标1文科24解答题2013 综合测试题2013年新课标1文科24解答题2012 综合测试题2012年新课标1文科24解答题2011 综合测试题2011年新课标1文科24解答题2010 综合测试题2010年新课标1文科24历年高考真题汇编1．【2019年新课标1文科23】已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．证明：（1）a2+b2+c2；（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．2．【2018年新课标1文科23】已知f（）＝|+1|﹣|a﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f（）＞1的解集；（2）若∈（0，1）时不等式f（）＞成立，求a的取值范围．3．【2017年新课标1文科23】已知函数f（）＝﹣2+a+4，g（）＝|+1|+|﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f（）≥g（）的解集；（2）若不等式f（）≥g（）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．4．【2016年新课标1文科24】已知函数f（）＝|+1|﹣|2﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y＝f（）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（）|＞1的解集．5．【2015年新课标1文科24】已知函数f（）＝|+1|﹣2|﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（）＞1的解集；（Ⅱ）若f（）的图象与轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．6．【2014年新课标1文科24】若a＞0，b＞0，且．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b＝6？并说明理由．7．【2013年新课标1文科24】已知函数f（）＝|2﹣1|+|2+a|，g（）＝+3．（Ⅰ）当a＝﹣2时，求不等式f（）＜g（）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当∈[，]时，f（）≤g（），求a的取值范围．8．【2012年新课标1文科24】已知函数f（）＝|+a|+|﹣2|①当a＝﹣3时，求不等式f（）≥3的解集；②f（）≤|﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．9．【2011年新课标1文科24】设函数f （）＝|﹣a |+3，其中a ＞0．（Ⅰ）当a ＝1时，求不等式f （）≥3+2的解集（Ⅱ）若不等式f （）≤0的解集为{|≤﹣1}，求a 的值．10．【2010年新课标1文科24】设函数f （）＝|2﹣4|+1．（Ⅰ）画出函数y ＝f （）的图象：（Ⅱ）若不等式f （）≤a 的解集非空，求a 的取值范围． 考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：解绝对值不等式、证明不等式、利用不等式恒成立求参数的值或范围，求含有绝对值的函数最值也是考查的热点．求解的一般方法是去掉绝对值，也可以借助数形结合求解.历年考题主要以解答题题型出现，重点考查的知识点为解绝对值不等式、证明不等式、利用不等式恒成立求参数的值或范围，求含有绝对值的函数最值也是考查的热点．预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点解绝对值不等式、利用不等式恒成立求参数的值或范围，证明不等式为重点较佳. 最新高考模拟试题 1．已知函数()22()f x x a x a R =-+-∈.（1）当2a =时，求不等式()2f x >的解集；（2）若[2,1]x ∈-时不等式()32f x x ≤-成立，求实数a 的取值范围． 2．已知()221f x x x =-++．（1）求不等式()6f x <的解集；（2）设m 、n 、p 为正实数，且()3m n p f ++=，求证：12mn np pm ++≤．3．[选修4—5：不等式选讲]已知函数()|||2|(0)f x x m x m m =--+>.（1）当1m =，求不等式()1f x ≥的解集；（2）对于任意实数,x t ，不等式()21f x t t <++-恒成立，求实数m 的取值范围.4．选修4-5不等式选讲已知关于x 的不等式20x m x -+≤的解集为{|2}x x ≤-，其中0m >.（1）求m 的值；（2）若正数a ，b ，c 满足a b c m ++=，求证：2222b c a a b c++≥. 5．选修4-5：不等式选讲 已知函数()13f x x x a =+++（1）当1a =-时，解不等式()2f x ≥；（2）若存在0x 满足00()211f x x ++<，求实数a 的取值范围.6．已知函数()|2|f x ax =-.（Ⅰ）当4a =时，求不等式()|42|8f x x ++≥的解集；（Ⅱ）若[2,4]x ∈时，不等式()|3|3f x x x +-≤+成立，求a 的取值范围.7．已知函数()21f x x x a =-++，()2g x x =+．（1）当1a =-时，求不等式()()f x g x <的解集；（2）设12a >-，且当1,2x a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，()()f x g x ≤，求a 的取值范围． 8．已知函数()|2|f x x =-．（Ⅰ）求不等式()|1|f x x x <++的解集；（Ⅱ）若函数5log [(3)()3]y f x f x a =++-的定义域为R ，求实数a 的取值范围．9．已知函数()123f x x x =-+-．（Ⅰ）解关于x 的不等式()4f x ≤；（Ⅱ）若()20f x m m -->恒成立，求实数m 的取值范围．10．已知函数()211f x x x =-++.（Ⅰ）解不等式()3f x ≥；（Ⅱ）记函数()f x 的最小值为m ，若,,a b c 均为正实数，且232a b c m ++=，求222a b c ++的最小值. 11．已知函数()12f x x a x =+++.（Ⅰ）求1a =时，()3f x ≤的解集；（Ⅱ）若()f x 有最小值，求a 的取值范围，并写出相应的最小值.12．选修4-5：不等式选讲已知函数()|23||1|f x x x =--+.（1）求不等式()6f x ≤的解集；（2）设集合M 满足：当且仅当x M ∈时，()|32|f x x =-，若,a b M ∈，求证：228223a b a b -++≤. 13．[选修4—5：不等式选讲]已知函数()31f x x m x m =----（1）若1m =，求不等式()1f x <的解集.（2）对任意的x R ∈，有()(2)f x f ≤，求实数m 的取值范围.14．已知()21f x x x =+-．（1）证明()1f x x +≥；（2）若,,a b c +∈R ，记33311134abc a b c +++的最小值为m ，解关于x 的不等式()f x m <． 15．选修4—5：不等式选讲已知函数()11f x x mx =++-，m R ∈。
2010-2019十年高考真题分类汇编数学专题01集合
十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题01 集合1.(2019•全国1•理T1)已知集合M={x|-4<x<2},N={x|x2-x-6<0},则M∩N=( )A.{x|-4<x<3}B.{x|-4<x<-2}C.{x|-2<x<2}D.{x|2<x<3}【答案】C由题意得N={x|-2<x<3},则M∩N={x|-2<x<2},故选C.2.(2019•全国1•文T2)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},则B∩∁U A=( )A.{1,6}B.{1,7}C.{6,7}D.{1,6,7}【答案】C由已知得∁U A={1,6,7},∴B∩∁U A={6,7}.故选C.3.(2019•全国2•理T1)设集合A={x|x2-5x+6>0},B={x|x-1<0},则A∩B=( )A.(-∞,1)B.(-2,1)C.(-3,-1)D.(3,+∞)【答案】A由题意,得A={x|x<2,或x>3},B={x|x<1},所以A∩B={x|x<1},故选A.4.(2019•全国2•文T1)已知集合A={x|x>-1},B={x|x<2},则A∩B=( )A.(-1,+∞)B.(-∞,2)C.(-1,2)D.⌀【答案】C由题意,得A∩B=(-1,2),故选C.5.(2019•全国3•T1)已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x2≤1},则A∩B=( )A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-1,1}D.{0,1,2}【答案】AA={-1,0,1,2},B={x|-1≤x≤1},则A∩B={-1,0,1}.故选A.6.(2019•北京•文T1)已知集合A={x|-1<x<2},B={x|x>1},则A∪B=( )A.(-1,1)B.(1,2)C.(-1,+∞)D.(1,+∞)【答案】C∵A={x|-1<x<2},B={x|x>1},∴A∪B=(-1,+∞),故选C.7.(2019•天津•T1)设集合A={-1,1,2,3,5},B={2,3,4},C={x∈R|1≤x<3},则(A∩C)∪B=( )A.{2}B.{2,3}C.{-1,2,3}D.{1,2,3,4}【答案】DA∩C={1,2},(A∩C)∪B={1,2,3,4},故选D.8.(2019•浙江•T1)已知全集U={-1,0,1,2,3},集合A={0,1,2},B={-1,0,1},则(∁U A)∩B=( )A.{-1}B.{0,1}C.{-1,2,3}D.{-1,0,1,3}【答案】A∁U A={-1,3},则(∁U A)∩B={-1}.9.(2018•全国1•理T2)已知集合A={x|x2-x-2>0},则∁R A=( )A.{x|-1<x<2}B.{x|-1≤x≤2}C.{x|x<-1}∪{x|x>2}D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}【答案】BA={x|x<-1或x>2},所以∁R A={x|-1≤x≤2}.10.(2018•全国1•文T1)已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B=( )A.{0,2}B.{1,2}C.{0}D.{-2,-1,0,1,2}【答案】A由交集定义知A∩B={0,2}.11.(2018•全国2•文T2,)已知集合A={1,3,5,7},B={2,3,4,5},则A∩B=( )A.{3}B.{5}C.{3,5}D.{1,2,3,4,5,7}【答案】C集合A、B的公共元素为3,5,故A∩B={3,5}.12.(2018•全国3•T1)已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},则A∩B=( )A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}【答案】C由题意得A={x|x≥1},B={0,1,2},∴A∩B={1,2}.13.(2018•北京•T1)已知集合A={x||x|<2},B={-2,0,1,2},则A∩B=( )A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{-2,0,1,2}D.{-1,0,1,2}【答案】A∵A={x|-2<x<2},B={-2,0,1,2},∴A∩B={0,1}.14.(2018•天津•理T1)设全集为R,集合A={x|0<x<2},B={x|x≥1},则A∩(∁R B)=( )A.{x|0<x≤1}B.{x|0<x<1}C.{x|1≤x<2}D.{x|0<x<2}【答案】B∁R B={x|x<1},A∩(∁R B)={x|0<x<1}.故选B.15.(2018•天津•文T1)设集合A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},C={x∈R|-1≤x<2},则(A∪B)∩C=( )A.{-1,1}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{2,3,4}【答案】CA∪B={-1,0,1,2,3,4}.又C={x∈R|-1≤x<2},∴(A∪B)∩C={-1,0,1}.16.(2018•浙江•T1)已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,3},则∁U A=( )A.⌀B.{1,3}C.{2,4,5}D.{1,2,3,4,5}【答案】C∵A={1,3},U={1,2,3,4,5},∴∁U A={2,4,5},故选C.17.(2018•全国2•理T2,)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为( )A.9B.8C.5D.4【答案】A满足条件的元素有(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,1),(0,0),(0,-1),(1,-1),(1,0),(1,1),共9个。
2010-2019年十年高考数学真题分类汇编.docx
A．1
B．2
C．3
D．4
31（. 2017Ⅲ理 1）已知集合 A = (x, y) x2 + y2 = 1 ，B = (x, y) y = x ，则 A I B 中元素的个数为( )
A．3
B．2
C．1
D．0
32.（2018Ⅰ文 1）已知集合 A = 0，2 ， B = -2，-1，0，1，2 ，则 A I B = ( )
A．（-14，16）
B．（-14，20）
C．（-12，18）
D．（-12，20）
x-3 2.（2010Ⅱ文 2）不等式 0 的解集为( )
x+2
A．{x｜-2< x<3} B．{ x｜x<-2}
C．{ x｜x<-2,或 x>3} D．{ x∣x>3}
x -1
3.(2010Ⅱ文
5
理
3）若变量
x，y
1.集合
1.（2010Ⅰ文理 1）已知集合 A = x | x 2，x R，B = x | x 4，x Z ,则 A I B ＝( )
A．（0，2）
B．[0，2]
C．{0，2}
D．{0，1，2}
2.（2010Ⅱ文 1）设全集 U= x N * | x 6 ,集合 A＝{1，3}，B＝{3，5}，则 CU A U B ＝( )
A．{-1，0}
B．{0，1}
C．{-1，0，1}
D．{0，1，2}
20.（2016Ⅰ文 1）设集合 A={1，3，5，7}，B＝{x| 2 x 5}，则 A∩B=( )
A．{1,3}
B．{3,5}
C．{5,7}
D．{1,7}
21.（2016Ⅰ理 1）设集合 A＝{x|x2－4x+3＜0}，B＝{x|2x－3＞0}，则 A I B = ( )
十年高考真题分类汇编(2010—2019)数学(20210417120444)
十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题空间向量1. （2014 •全国2 •理T11）直三棱柱ABC-A6C 、中，N%4R00 ,MN 分别是A £, A6的中 点,则6y 与4V 所成角的余弦值为（） r 同 u.— 102. （2013 •北京•文T8）如图，在正方体被〃中，尸为对角线做的三等分点，尸到各顶点的距离的不同取值有（）3. （2012 •陕西•理T5）如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱板。
1二8与纸则直线与直线必夹角的余弦值为（4. （2010 •大纲全国•文T6）直三棱柱ABC-ABQ 中，若NBAC =90° ,AB=AC=AA1，则异面直线BA ： 与AQ 所成的角等于（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°5. (2019 •天津•理 T17)如图,AE,平面 ABCD, CF 〃AE ， AD 〃BC, AD_LAB, AB=AD=1, AE=BC 二2.(1)求证:BF 〃平面ADE;B -l B. 4个C 5个 D.6个A.3个 C.这⑵求直线CE与平面BDE所成角的正弦值;⑶若二面角E-BD-F的余弦值为京求线段CF的长.EB6.（2019 •浙江• T 19）如图，已知三棱柱ABC-A&C,平面 4月平面ABC, ZABC^0° , Z 区灰＞30° ,4月引。
泡尸分别是〃;43的中点.（1）证明:年J_6C;⑵求直线房与平面46。
所成角的余弦值.7.（2019 •全国1•理T18）如图，直四棱柱极〃的底面是菱形，例=1,止2, N 员切40° ,EM,V分别是比破,4。
的中点.⑴证明：/V〃平面C、DE;（2）求二面角力T4M的正弦值.8.（2019 •全国2 •理T17）如图，长方体力用a-4£4〃的底面月颜是正方形，点£在棱前［上，龙LEG.⑴证明:麻山平面微a；⑵若AE=A^求二面角B-EC-C的正弦值.9.（2019 •全国3 •理T19）图1是由矩形ADEB,Rt^ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1, BE=BF=2, ZFBC=60° .将其沿AB, BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图2.（1）证明：图2中的A, C, G, D四点共面,且平面ABC_L平面BCGE;（2）求图2中的二面角B-CG-A的大小.10.（2018 •浙江• T 8）已知四棱锥S-ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等,E是线段AB 上的点（不含端点）.设SE与BC所成的角为01,SE与平面ABCD所成的角为82,二面角S-AB-C的平面角为83,则（）A.01<02<03B.03<02<61C.01<O3<02D.92<03<0111.（2018 •全国3 •理T19）如图,边长为2的正方形4加9所在的平面与半圆弧曲所在平面垂直,"是曲上异于的点.（1）证明：平面AMD_L平面BMC;⑵当三棱锥M-ABC体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.12.（2018 •北京•理T16）如图，在三棱柱ABC-A瓜&中，CC_L平面ABCM & F, G分别为44：, AQ 4Q 能的中点，AB二BC二遍,AC=AA尸2.⑴求证:AC_L平面BEF;（2）求二面角B-CD-G的余弦值;16.(2018 •浙江• T9)如图，已知多面体ABCA瓜心, 44 £5 均垂直于平面ABC, Z板=120° , A.A^ GC=1, AB=BC=B-.B=^.(1)证明:四_L平面4A4;⑵求直线月a与平面月期所成的角的正弦值.17.(2018 •上海，T17)已知圆锥的顶点为P,底面圆心为0,半径为2.(1)设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积；(2)设P0=4, 0A, 0B是底面半径,且NA0B=90° , M为线段AB的中点，如图,求异面直线PM与0B 所成的角的大小.18.(2017 •北京•理T16)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形,平面PAD,平面ABCD, 点M在线段PB上,PD〃平面MAC, PA=PD二遍,AB=4.⑴求证:M为PB的中点；(2)求二面角B-PD-A的大小；⑶求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.19.（2017 •全国 1 •理 T18）如图，在四棱锥 P-ABCD 中,AB〃CD,且NBAP=NCDP=90。
十年真题(2010-2019)高考数学(文)分类汇编专题04 导数及其应用(新课标Ⅰ卷)(原卷版)
专题04导数及其应用历年考题细目表5解答题2014 导数综合问题2014年新课标1文科21解答题2013 导数综合问题2013年新课标1文科20解答题2012 导数综合问题2012年新课标1文科21解答题2011 导数综合问题2011年新课标1文科21解答题2010 导数综合问题2010年新课标1文科21历年高考真题汇编1．【2019年新课标1文科05】函数f（）在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．2．【2018年新课标1文科06】设函数f（）＝3+（a﹣1）2+a．若f（）为奇函数，则曲线y＝f（）在点（0，0）处的切线方程为（）A．y＝﹣2 B．y＝﹣C．y＝2 D．y＝3．【2017年新课标1文科08】函数y的部分图象大致为（）A．B．C．D．4．【2017年新课标1文科09】已知函数f（）＝ln+ln（2﹣），则（）A．f（）在（0，2）单调递增B．f（）在（0，2）单调递减C．y＝f（）的图象关于直线＝1对称D．y＝f（）的图象关于点（1，0）对称5．【2016年新课标1文科09】函数y＝22﹣e||在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．6．【2016年新课标1文科12】若函数f（）＝sin2+a sin在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（）A．[﹣1，1] B．[﹣1，] C．[，] D．[﹣1，]7．【2014年新课标1文科12】已知函数f（）＝a3﹣32+1，若f（）存在唯一的零点0，且0＞0，则实数a 的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣2）8．【2013年新课标1文科09】函数f（）＝（1﹣cos）sin在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．9．【2010年新课标1文科04】曲线y＝3﹣2+1在点（1，0）处的切线方程为（）A．y＝﹣1 B．y＝﹣+1 C．y＝2﹣2 D．y＝﹣2+210．【2019年新课标1文科13】曲线y＝3（2+）e在点（0，0）处的切线方程为．11．【2017年新课标1文科14】曲线y＝2在点（1，2）处的切线方程为．12．【2015年新课标1文科14】已知函数f（）＝a3++1的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，7），则a＝．13．【2012年新课标1文科13】曲线y＝（3ln+1）在点（1，1）处的切线方程为．14．【2019年新课标1文科20】已知函数f（）＝2sin﹣cos﹣，f′（）为f（）的导数．（1）证明：f′（）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若∈[0，π]时，f（）≥a，求a的取值范围．15．【2018年新课标1文科21】已知函数f（）＝ae﹣ln﹣1．（1）设＝2是f（）的极值点，求a，并求f（）的单调区间；（2）证明：当a时，f（）≥0．16．【2017年新课标1文科21】已知函数f（）＝e（e﹣a）﹣a2．（1）讨论f（）的单调性；（2）若f（）≥0，求a的取值范围．17．【2016年新课标1文科21】已知函数f（）＝（﹣2）e+a（﹣1）2．（Ⅰ）讨论f（）的单调性；（Ⅱ）若f（）有两个零点，求a的取值范围．18．【2015年新课标1文科21】设函数f（）＝e2﹣aln．（Ⅰ）讨论f（）的导函数f′（）零点的个数；（Ⅱ）证明：当a＞0时，f（）≥2a+aln．19．【2014年新课标1文科21】设函数f（）＝aln2﹣b（a≠1），曲线y＝f（）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，（1）求b；（2）若存在0≥1，使得f（0），求a的取值范围．20．【2013年新课标1文科20】已知函数f（）＝e（a+b）﹣2﹣4，曲线y＝f（）在点（0，f（0））处切线方程为y＝4+4．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）讨论f（）的单调性，并求f（）的极大值．21．【2012年新课标1文科21】设函数f（）＝e﹣a﹣2．（Ⅰ）求f（）的单调区间；（Ⅱ）若a＝1，为整数，且当＞0时，（﹣）f′（）++1＞0，求的最大值．22．【2011年新课标1文科21】已知函数f（），曲线y＝f（）在点（1，f（1））处的切线方程为+2y﹣3＝0．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）证明：当＞0，且≠1时，f（）．23．【2010年新课标1文科21】设函数f（）＝（e﹣1）﹣a2（Ⅰ）若a，求f（）的单调区间；（Ⅱ）若当≥0时f（）≥0，求a的取值范围．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：导数的概念及运算，导数与函数的单调性、极值、最值，导数与函数的综合问题.历年考题主要以选择填空或解答题题型出现，重点考查的知识点为：导数的运算，导数与函数的单调性、极值、最值，导数与函数的综合问题，预测明年本考点题目会比较稳定.备考方向以知识点导数的运算，导数与函数的单调性、极值、最值，导数与函数的综合问题，为重点较佳.最新高考模拟试题1．已知函数10()ln ,0x xf x x x x⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，＜＞，若()()F x f x kx =-有3个零点，则k 的取值范围为( )A ．(21e -，0) B ．(12e-，0) C ．(0，12e) D ．(0，21e) 2．已知,(0,)2παβ∈，sin sin 0βααβ->，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．2παβ+<B ．2παβ+=C ．αβ<D ．αβ>3．已知函数()ln 2f x a x x =-+（a 为大于1的整数），若()y f x =与(())y f f x =的值域相同，则a 的最小值是（ ）（参考数据：ln20.6931≈，ln3 1.0986≈，ln5 1.6094≈） A ．5B ．6C ．7D ．84．已知实数a ，b ，c ，d 满足ln 12113a cb d +-==+-，则22()()ac bd -+-的最小值为（ ） A ．8 B ．4C ．2D5．若函数()ln f x x a x =在区间()1,+∞上存在零点，则实数a 的取值范围为( ) A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,2e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．()0,∞+D ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭6．已知函数1()2x a f x e ax x x⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，若对任意(0,)x ∈+∞，都有()()f x xf x '≥-成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3,2e ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦ B ．(,-?C ．3,2e 轹÷-+?ê÷ê滕 D ．)é-+?êë7．已知奇函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '，当0x >时，有()()22f x xf x x '>+，则不等式()()()22018+2018420x f x f +-<＋的解集为( ) A ．(),2016-∞-B ．()2016,2012--C ．(),2018-∞-D ．()2016,0-8．已知函数35791131()135791113x x x x x x f x x =+-+-+-+，则使不等式(1)0f x ->成立的x 的最小整数为（ ） A ．-3B ．-2C ．-1D ．09．直线y ax =是曲线1ln y x =+的切线，则实数a =____．10．函数()2xf x ae x =-与()21g x x x =--的图象上存在关于x 轴的对称点，则实数a 的取值范围为_________．11．已知函数()1xf x e =-，若存在实数,()a b a b <使得()()f a f b =，则2+a b 的最大值为________.12．已知实数a ，b ，c 满足2121a c b c e a b e +--+++≤（e 为自然对数的底数），则22a b +的最小值是_______．13．已知直线x t =与曲线()()()ln 1,xf x xg x e =+=分别交于,M N 两点，则MN 的最小值为________14．曲线cos y a x =在6x π=处的切线l 的斜率为12，则切线l 的方程为_____． 15．已知函数22,0,(),0,x x x f x e x ⎧≤=⎨>⎩若方程2[()]f x a =恰有两个不同的实数根12,x x ，则12x x +的最大值是______．16．已知函数31,0()2,0ax x f x x ax x x -≤⎧=⎨-+->⎩的图象恰好经过三个象限，则实数a 的取值范围______.17．已知函数()||ln (0)f x x a x a =-->. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）比较222222ln 2ln 3ln 23n n++⋯+ 与(1)(21)2(1)n n n -++的大小(n N +∈且)2n >，并证明你的结论.18．已知函数()()21ln 2f x x x ax a =++∈R ． （1）讨论()f x 的单调性； （2）若12,x x 为()f x 的两个极值点，证明：()()21212+44282f x f x a a x x f +++⎛⎫-> ⎪⎝⎭. 19．已知函数()ln(1)1(1)f x ax x a =+-+…. （Ⅰ）当1a =时，求()f x 的最大值； （Ⅱ）若1()e f x e +…对1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭恒成立，求实数a 的取值范围. 20．对于函数()y f x =的定义域D ，如果存在区间[],m n D ⊆，同时满足下列条件：①()f x 在()()f x g x +上是单调函数；②当[],x m n ∈时，()f x 的值域为[]2,2m n ，则称区间()()f x g x +是函数()f x 的“单调倍区间”．已知函数()ln 2,0()02,0a x x x f x a a x ->⎧⎪=>≤ （1）若2a =，求()f x 在点()(),e f e 处的切线方程； （2）若函数()f x 存在“单调倍区间”，求a 的取值范围． 21．已知函数2()(0)4x x a f x e a x ++=⋅≥+. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当[0,1)b ∈时，设函数22(3)()(2)(2)x e b x g x x x +-+=>-+有最小值()h b ，求()h b 的值域. 22．已知函数1()x f x xe alnx -=-（无理数 2.718e =…）． （1）若()f x 在(1,)+∞单调递增，求实数a 的取值范围： （2）当0a =时，设2()()eg x f x x x x=⋅--，证明：当0x >时，ln 2ln 2()122g x ⎛⎫>-- ⎪⎝⎭．。
十年真题(2010-2019)高考数学(文)分类汇编专题09 立体几何(新课标Ⅰ卷)(解析版)
专题09立体几何历年考题细目表1填空题2010 三视图与直观图2010年新课标1文科15解答题2019 空间角与空间距离2019年新课标1文科19解答题2018 表面积与体积2018年新课标1文科18解答题2017 表面积与体积2017年新课标1文科18解答题2016 表面积与体积2016年新课标1文科18解答题2015 表面积与体积2015年新课标1文科18解答题2014 表面积与体积2014年新课标1文科19解答题2013 表面积与体积2013年新课标1文科19解答题2012 表面积与体积2012年新课标1文科19解答题2011 表面积与体积2011年新课标1文科18解答题2010 表面积与体积2010年新课标1文科18历年高考真题汇编1．【2018年新课标1文科05】已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（）A．12πB．12πC．8πD．10π【解答】解：设圆柱的底面直径为2R，则高为2R，圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，可得：4R2＝8，解得R，则该圆柱的表面积为：12π．故选：B．2．【2018年新课标1文科09】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）A．2B．2C．3 D．2【解答】解：由题意可知几何体是圆柱，底面周长16，高为：2，直观图以及侧面展开图如图：圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度：2．故选：B．3．【2018年新课标1文科10】在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为（）A．8 B．6C．8D．8【解答】解：长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，即∠AC1B＝30°，可得BC12．可得BB12．所以该长方体的体积为：28．故选：C．4．【2017年新课标1文科06】如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（）A．B．C．D．【解答】解：对于选项B，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知B不满足题意；对于选项C，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知C不满足题意；对于选项D，由于AB∥NQ，结合线面平行判定定理可知D不满足题意；所以选项A满足题意，故选：A．5．【2016年新课标1文科07】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图：可得：，R＝2．它的表面积是：4π•2217π．故选：A．6．【2016年新课标1文科11】平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD ＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABA1B1＝n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1＝60°．则m、n所成角的正弦值为：．故选：A．7．【2015年新课标1文科06】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则r＝8，解得r，故米堆的体积为π×（）2×5，∵1斛米的体积约为1.62立方，∴ 1.62≈22，故选：B．8．【2015年新课标1文科11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r＝（）A．1 B．2 C．4 D．8【解答】解：由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，截圆柱的平面过圆柱的轴线，该几何体是一个半球拼接半个圆柱，∴其表面积为：4πr2πr22r×2πr+2r×2rπr2＝5πr2+4r2，又∵该几何体的表面积为16+20π，∴5πr2+4r2＝16+20π，解得r＝2，故选：B．9．【2014年新课标1文科08】如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱【解答】解：根据网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，可知几何体如图：几何体是三棱柱．故选：B．10．【2013年新课标1文科11】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16+8πB．8+8πC．16+16πD．8+16π【解答】解：三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图，其中长方体长、宽、高分别是：4，2，2，半个圆柱的底面半径为2，母线长为4．∴长方体的体积＝4×2×2＝16，半个圆柱的体积22×π×4＝8π所以这个几何体的体积是16+8π；故选：A．11．【2012年新课标1文科07】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6 B．9 C．12 D．18【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，此几何体的体积为V6×3×3＝9．故选：B．12．【2012年新课标1文科08】平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为（）A．πB．4πC．4πD．6π【解答】解：因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，所以球的半径为：．所以球的体积为：4π．故选：B．13．【2011年新课标1文科08】在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）A．B．C．D．【解答】解：由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，∴侧视图是一个中间有分界线的三角形，故选：D．14．【2010年新课标1文科07】设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa2【解答】解：根据题意球的半径R满足（2R）2＝6a2，所以S球＝4πR2＝6πa2．故选：B．15．【2019年新课标1文科16】已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为．【解答】解：∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，过点P作PD⊥AC，交AC于D，作PE⊥BC，交BC于E，过P作PO⊥平面ABC，交平面ABC于O，连结OD，OC，则PD＝PE，∴CD＝CE＝OD＝OE1，∴PO．∴P到平面ABC的距离为．故答案为：．16．【2017年新课标1文科16】已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S﹣ABC的体积为9，则球O的表面积为．【解答】解：三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径，若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S﹣ABC的体积为9，可知三角形SBC与三角形SAC都是等腰直角三角形，设球的半径为r，可得，解得r＝3．球O的表面积为：4πr2＝36π．故答案为：36π．17．【2013年新课标1文科15】已知H是球O的直径AB上一点，AH：HB＝1：2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为．【解答】解：设球的半径为R，∵AH：HB＝1：2，∴平面α与球心的距离为R，∵α截球O所得截面的面积为π，∴d R时，r＝1，故由R2＝r2+d2得R2＝12+（R）2，∴R2∴球的表面积S＝4πR2．故答案为：．18．【2011年新课标1文科16】已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为．【解答】解：不妨设球的半径为：4；球的表面积为：64π，圆锥的底面积为：12π，圆锥的底面半径为：2；由几何体的特征知球心到圆锥底面的距离，求的半径以及圆锥底面的半径三者可以构成一个直角三角形由此可以求得球心到圆锥底面的距离是，所以圆锥体积较小者的高为：4﹣2＝2，同理可得圆锥体积较大者的高为：4+2＝6；所以这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为：．故答案为：19．【2010年新课标1文科15】一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的（填入所有可能的几何体前的编号）①三棱锥②四棱锥③三棱柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱．【解答】解：一个几何体的正视图为一个三角形，显然①②⑤正确；③是三棱柱放倒时也正确；④⑥不论怎样放置正视图都不会是三角形；故答案为：①②③⑤20．【2019年新课标1文科19】如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD ＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求点C到平面C1DE的距离．【解答】解法一：证明：（1）连结B1C，ME，∵M，E分别是BB1，BC的中点，∴ME∥B1C，又N为A1D的中点，∴ND A1D，由题设知A 1B1DC，∴B1C A1D，∴ME ND，∴四边形MNDE是平行四边形，MN∥ED，又MN⊄平面C1DE，∴MN∥平面C1DE．解：（2）过C作C1E的垂线，垂足为H，由已知可得DE⊥BC，DE⊥C1C，∴DE⊥平面C1CE，故DE⊥CH，∴CH⊥平面C1DE，故CH的长即为C到时平面C1DE的距离，由已知可得CE＝1，CC1＝4，∴C1E，故CH，∴点C到平面C1DE的距离为．解法二：证明：（1）∵直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．∴DD1⊥平面ABCD，DE⊥AD，以D为原点，DA为轴，DE为y轴，DD1为轴，建立空间直角坐标系，M（1，，2），N（1，0，2），D（0，0，0），E（0，，0），C1（﹣1，，4），（0，，0），（﹣1，），（0，），设平面C1DE的法向量（，y，），则，取＝1，得（4，0，1），∵•0，MN⊄平面C1DE，∴MN∥平面C1DE．解：（2）C（﹣1，，0），（﹣1，，0），平面C1DE的法向量（4，0，1），∴点C到平面C1DE的距离：d．21．【2018年新课标1文科18】如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°，以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ DA，求三棱锥Q﹣ABP的体积．【解答】解：（1）证明：∵在平行四边形ABCM中，∠ACM＝90°，∴AB⊥AC，又AB⊥DA．且AD∩AC＝A，∴AB⊥面ADC，∵AB⊂面ABC，∴平面ACD⊥平面ABC；（2）∵AB＝AC＝3，∠ACM＝90°，∴AD＝AM＝3，∴BP＝DQ DA＝2，由（1）得DC⊥AB，又DC⊥CA，∴DC⊥面ABC，∴三棱锥Q﹣ABP的体积V1．22．【2017年新课标1文科18】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°．（1）证明：平面P AB⊥平面P AD；（2）若P A＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥P﹣ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，∠BAP＝∠CDP＝90°，∴AB⊥P A，CD⊥PD，又AB∥CD，∴AB⊥PD，∵P A∩PD＝P，∴AB⊥平面P AD，∵AB⊂平面P AB，∴平面P AB⊥平面P AD．解：（2）设P A＝PD＝AB＝DC＝a，取AD中点O，连结PO，∵P A＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，平面P AB⊥平面P AD，∴PO⊥底面ABCD，且AD，PO，∵四棱锥P﹣ABCD的体积为，由AB⊥平面P AD，得AB⊥AD，∴V P﹣ABCD，解得a＝2，∴P A＝PD＝AB＝DC＝2，AD＝BC＝2，PO，∴PB＝PC2，∴该四棱锥的侧面积：S侧＝S△P AD+S△P AB+S△PDC+S△PBC＝6+2．23．【2016年新课标1文科18】如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，P A＝6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面P AB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．（Ⅰ）证明：G是AB的中点；（Ⅱ）在图中作出点E在平面P AC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵P﹣ABC为正三棱锥，且D为顶点P在平面ABC内的正投影，∴PD⊥平面ABC，则PD⊥AB，又E为D在平面P AB内的正投影，∴DE⊥面P AB，则DE⊥AB，∵PD∩DE＝D，∴AB⊥平面PDE，连接PE并延长交AB于点G，则AB⊥PG，又P A＝PB，∴G是AB的中点；（Ⅱ）在平面P AB内，过点E作PB的平行线交P A于点F，F即为E在平面P AC内的正投影．∵正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，∴PB⊥P A，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥P A，EF⊥PC，因此EF⊥平面P AC，即点F为E在平面P AC内的正投影．连结CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心．由（Ⅰ）知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD CG．由题设可得PC⊥平面P AB，DE⊥平面P AB，所以DE∥PC，因此PE PG，DE PC．由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且P A＝6，可得DE＝2，PG＝3，PE＝2．在等腰直角三角形EFP中，可得EF＝PF＝2．所以四面体PDEF的体积V DE×S△PEF22×2．24．【2015年新课标1文科18】如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED；（Ⅱ）若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E﹣ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积．【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∵BE⊥平面ABCD，∴AC⊥BE，则AC⊥平面BED，∵AC⊂平面AEC，∴平面AEC⊥平面BED；解：（Ⅱ）设AB＝，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，得AG＝GC，GB＝GD，∵BE⊥平面ABCD，∴BE⊥BG，则△EBG为直角三角形，∴EG AC＝AG，则BE，∵三棱锥E﹣ACD的体积V，解得＝2，即AB＝2，∵∠ABC＝120°，∴AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC cos ABC＝4+4﹣212，即AC，在三个直角三角形EBA，EBD，EBC中，斜边AE＝EC＝ED，∵AE⊥EC，∴△EAC为等腰三角形，则AE2+EC2＝AC2＝12，即2AE2＝12，∴AE2＝6，则AE，∴从而得AE＝EC＝ED，∴△EAC的面积S3，在等腰三角形EAD中，过E作EF⊥AD于F，则AE，AF，则EF，∴△EAD的面积和△ECD的面积均为S，故该三棱锥的侧面积为3+2．25．【2014年新课标1文科19】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C．（1）证明：B1C⊥AB；（2）若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．【解答】（1）证明：连接BC1，则O为B1C与BC1的交点，∵侧面BB1C1C为菱形，∴BC1⊥B1C，∵AO⊥平面BB1C1C，∴AO⊥B1C，∵AO∩BC1＝O，∴B1C⊥平面ABO，∵AB⊂平面ABO，∴B1C⊥AB；（2）解：作OD⊥BC，垂足为D，连接AD，作OH⊥AD，垂足为H，∵BC⊥AO，BC⊥OD，AO∩OD＝O，∴BC⊥平面AOD，∴OH⊥BC，∵OH⊥AD，BC∩AD＝D，∴OH⊥平面ABC，∵∠CBB1＝60°，∴△CBB1为等边三角形，∵BC＝1，∴OD，∵AC⊥AB1，∴OA B1C，由OH•AD＝OD•OA，可得AD，∴OH，∵O为B1C的中点，∴B1到平面ABC的距离为，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．26．【2013年新课标1文科19】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；（Ⅱ）若AB＝CB＝2，A1C，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．【解答】（Ⅰ）证明：如图，取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B．因为CA＝CB，所以OC⊥AB．由于AB＝AA1，，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB．因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C．又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C；（Ⅱ）解：由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，所以．又，则，故OA1⊥OC．因为OC∩AB＝O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．又△ABC的面积，故三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．27．【2012年新课标1文科19】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝BC AA1，D是棱AA1的中点．（Ⅰ）证明：平面BDC1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．【解答】证明：（1）由题意知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，∴BC⊥平面ACC1A1，又DC1⊂平面ACC1A1，∴DC1⊥BC．由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，∴∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC，又DC∩BC＝C，∴DC1⊥平面BDC，又DC1⊂平面BDC1，∴平面BDC1⊥平面BDC；（2）设棱锥B﹣DACC1的体积为V1，AC＝1，由题意得V11×1，又三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V＝1，∴（V﹣V1）：V1＝1：1，∴平面BDC1分此棱柱两部分体积的比为1：1．28．【2011年新课标1文科18】如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形．∠DAB＝60°，AB ＝2AD，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：P A⊥BD（Ⅱ）设PD＝AD＝1，求棱锥D﹣PBC的高．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD，从而BD2+AD2＝AB2，故BD⊥AD又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD所以BD⊥平面P AD．故P A⊥BD．（II）解：作DE⊥PB于E，已知PD⊥底面ABCD，则PD⊥BC，由（I）知，BD⊥AD，又BC∥AD，∴BC⊥BD．故BC⊥平面PBD，BC⊥DE，则DE⊥平面PBC．由题设知PD＝1，则BD，PB＝2．根据DE•PB＝PD•BD，得DE，即棱锥D﹣PBC的高为．29．【2010年新课标1文科18】如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高．（Ⅰ）证明：平面P AC⊥平面PBD；（Ⅱ）若AB，∠APB＝∠ADB＝60°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．【解答】解：（1）因为PH是四棱锥P﹣ABCD的高．所以AC⊥PH，又AC⊥BD，PH，BD都在平PHD内，且PH∩BD＝H．所以AC⊥平面PBD．故平面P AC⊥平面PBD（2）因为ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AB．所以HA＝HB．因为∠APB＝∠ADB＝60°所以P A＝PB，HD＝HC＝1．可得PH．等腰梯形ABCD的面积为S ACBD＝2所以四棱锥的体积为V（2）．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：空间几何体的结构、三视图和直观图，空间几何体的表面积与体积，空间点、直线、平面之间的位置关系，直线、平面平行、垂直的判定与性质等.历年考题主要以选择填空或解答题题型出现，重点考查的知识点为：三视图和直观图，空间几何体的表面积与体积，直线、平面平行、垂直的判定与性质等.预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点三视图和直观图，空间几何体的表面积与体积，直线、平面平行、垂直的判定与性质等为重点较佳. 最新高考模拟试题1．在正方体1111ABCD A B C D -中, 1AD 与BD 所成的角为（ ）A ．45?oB ．90oC ．60oD ．120o【答案】C【解析】如图，连结BC 1、BD 和DC 1，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，由AB=D 1C 1，AB ∥D 1C 1，可知AD 1∥BC 1，所以∠DBC 1就是异面直线AD 1与BD 所成角，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，BC 1、BD 和DC 1是其三个面上的对角线，它们相等．所以△DBC 1是正三角形，∠DBC 1=60°故异面直线AD 1与BD 所成角的大小为60°．故选：C ．2．在正方体1111ABCD A B C D -中，用空间中与该正方体所有棱成角都相等的平面α去截正方体，在截面边数最多时的所有多边形中，多边形截面的面积为S ，周长为l ，则( )A ．S 为定值，l 不为定值B ．S 不为定值，l 为定值C ．S 与l 均为定值D ．S 与l 均不为定值【答案】C【解析】正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，如图：与面1A BD 平行的面且截面是六边形时满足条件，不失一般性设正方体边长为1，即六边形EFGHMN ，其中,,,,,E F G H M N 分别为其所在棱的中点， 由正方体的性质可得22EF = ∴六边形的周长l 为定值32 ∴六边形的面积为23233 (6⨯= 由正方体的对称性可得其余位置时也为正六边形，周长与面积不变，故S 与l 均为定值，故选C.3．在四面体P ABC -中，ABC ∆为等边三角形，边长为3，3PA =，4PB =，5PC =，则四面体P ABC -的体积为（ ）A ．3B ．3C 11D 10 【答案】C【解析】如图，延长CA 至D ，使得3AD =，连接,DB PD ，因为3AD AB ==，故ADB ∆为等腰三角形，又180120DAB CAB ∠=︒-∠=︒，故()1180120302ADB ∠=︒-︒=︒， 所以90ADB DCB ∠+∠=︒即90DBC ∠=︒，故CB DB ⊥，因为4,5,3PB PC BC ===，所以222PC PB BC =+，所以CB PB ⊥，因DB PB B =I ，DB ⊂平面PBD ，PB ⊂平面PBD ，所以CB ⊥平面PBD ， 所以13PBD P CBD C PBD V V CB S ∆--==⨯⨯三棱锥三棱锥，因A 为DC 的中点，所以1113262PBD PBD P ABC P CBD V V S S ∆∆--==⨯⨯=三棱锥三棱锥， 因为3DA AC AP ===，故PDC ∆为直角三角形，所以22362511PD CD PC =-=-=，又333DB AD ==，而4PB =，故222DB PD PB =+即PBD ∆为直角三角形，所以14112112PBD S ∆=⨯⨯=，所以11P ABC V -=三棱锥，故选C.4．若,a b 是不同的直线，,αβ是不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A ．若,,ab a b αβ⊥‖‖，则αβ⊥ B ．若,,ab a b αβ‖‖‖，则αβ‖ C ．若,,a b ab αβ⊥⊥‖，则αβ‖ D ．若,,ab a b αβ⊥⊥‖，则αβ‖ 【答案】C【解析】A 中，若,,ab a b αβ⊥‖‖，平面,αβ可能垂直也可能平行或斜交，不正确； B 中，若,,ab a b αβ‖‖‖，平面,αβ可能平行也可能相交，不正确； C 中，若,a b αβ⊥⊥，则,a b 分别是平面,αβ的法线，a b ‖必有αβ‖，正确； D 中，若,,ab a b αβ⊥⊥‖，平面,αβ可能平行也可能相交，不正确.故选C. 5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积是（ ）A ．2πB ．3π C ．3πD ．43π【答案】B【解析】解：根据几何体的三视图，该几何体是由一个正方体切去一个正方体的一角得到的．故：该几何体的外接球为正方体的外接球，所以：球的半径2221113r ++==， 则：34333V ππ⎛⎫=⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：B ．6．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1BB 的中点，用过点A 、E 、1C 的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视图（也称主视图）是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】解：正方体1111ABCD A B C D 中，过点1,,A E C 的平面截去该正方体的上半部分后，剩余部分的直观图如图：则该几何体的正视图为图中粗线部分．故选：A ．7．下列说法错误的是（ ）A ．垂直于同一个平面的两条直线平行B ．若两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面垂直C ．一个平面内的两条相交直线均与另一个平面平行，则这两个平面平行D ．一条直线与一个平面内的无数条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直【答案】D【解析】由线面垂直的性质定理知，垂直于同一个平面的两条直线平行,A 正确；由面面垂直的性质定理知，若两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面垂直,B 正确；由面面平行的判定定理知，一个平面内的两条相交直线均与另一个平面平行，则这两个平面平行，C 正确； 当一条直线与平面内无数条相互平行的直线垂直时，该直线与平面不一定垂直，D 错误，故选D. 8．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”.在如图所示的四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且PD CD =，点E ，F 分别为PC ，PD 的中点，则图中的鳖臑有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C【解析】 由题意，因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD DC ^，PD BC ⊥，又四边形ABCD 为正方形，所以BC CD ⊥，所以BC ⊥平面PCD ，BC PC ⊥，所以四面体PDBC 是一个鳖臑，因为DE ⊂平面PCD ，所以BC DE ⊥，因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥，因为PC BC C =I ，所以DE ⊥平面PBC ，可知四面体EBCD 的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD 是一个鳖臑，同理可得，四面体PABD 和FABD 都是鳖臑，故选C.9．在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，ABC △是边长为6的等边三角形，PAB △是以AB 为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_______．【答案】48π【解析】如图，在等边三角形ABC 中，取AB 的中点F ，设其中心为O ，由6AB =， 得2233AO BO CO CF ====， PAB ∆Q 是以AB 为斜边的等腰角三角形，PF AB ∴⊥,又因为平面PAB ⊥平面ABC ，PF ∴⊥平面 ABC ，PF OF ∴⊥，2223OP OF PF =+=则O 为棱锥P ABC -的外接球球心， 外接球半径23R OC == 该三棱锥外接球的表面积为(24348ππ⨯=， 故答案为48π.10．若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为3，圆心角为23π的扇形，则该圆锥的体积为_______. 【答案】23 【解析】因为展开图是半径为3，圆心角为23π的扇形，所以圆锥的母线3l =，圆锥的底面的周长为2323ππ⨯=，因此底面的半径1r =，根据勾股定理，可知圆锥的高2222h l r =-= 所以圆锥的体积为212212233π⋅⨯=. 11．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列正确命题序号是_____．（1）若m αP ，n α∥，则m n ∥（2）若m α⊥，m n ⊥则n α∥（3）若m α⊥，n β⊥且m n ⊥，则αβ⊥；（4）若m β⊂，αβP ，则m αP【答案】（3）（4）【解析】若m n αα，∥∥，则m 与n 可能平行，相交或异面，故（1）错误；若m m n α⊥⊥，则n α∥或n α⊂，故（2）错误；若m n αβ⊥⊥，且m n ⊥，则αβ⊥，故（3）正确；若m βαβ⊂P ，，由面面平行的性质可得m αP ，故（4）正确；故答案为：（3）（4）12．长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是边长为1的正方形，若在侧棱1AA 上存在点E ，使得190C EB ∠=︒，则侧棱1AA 的长的最小值为_______．【答案】2【解析】设侧棱AA 1的长为，A 1E ＝t ，则AE ＝﹣t ，∵长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面是边长为1的正方形，∠C 1EB ＝90°，∴22211C E BE BC +=，∴2+t 2+1+（﹣t ）2＝1+2，整理，得：t 2﹣t+1＝0，∵在侧棱AA 1上至少存在一点E ，使得∠C 1EB ＝90°，∴△＝（﹣）2﹣4≥0，解得≥2．∴侧棱AA 1的长的最小值为2．故答案为2．13．如图，在Rt ABC ∆中，1AB BC ==，D 和E 分别是边BC 和AC 上一点，DE BC ⊥，将CDE ∆沿DE 折起到点P 位置，则该四棱锥P ABDE -体积的最大值为_______．【答案】3 【解析】 在Rt ABC ∆中，由已知，1AB BC ==，DE BC ⊥，所以设()01CD DE x x ==<<，四边形ABDE 的面积为()()()21111122=S x x x +-=-, 当CDE ∆⊥平面ABDE 时，四棱锥P ABDE -体积最大,此时PD ABDE ⊥平面，且PD CD x ==,故四棱锥P ABDE -体积为()31136=V S PD x x =⋅- ， ()21136V x '=-，30,x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭ 时，0V '> ；3332x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，时，0V '<, 所以，当33x =时，max 327V =. 故答案为3 14．三棱锥P ABC -的4个顶点在半径为2的球面上，PA ⊥平面ABC ，V ABC 是边长为3的正三角形，则点A 到平面PBC 的距离为______．【答案】65【解析】△ABC 是边长为3的正三角形，可得外接圆的半径2r a sin60==︒2，即r ＝1． ∵PA ⊥平面ABC ，PA ＝h ，球心到底面的距离d 等于三棱锥的高PA 的一半即h 2， 那么球的半径R 22h r 2（）=+=2,解得h=2,又534PBC S ∆= 由P ABC A PBC V V --= 知'13153××3?2=?3434d ，得'65d = 故点A 到平面PBC 的距离为65 故答案为65． 15．如图，该几何体由底面半径相同的圆柱与圆锥两部分组成，且圆柱的高与底面半径相等．若圆柱与圆锥的侧面积相等，则圆锥与圆柱的高之比为_______．3【解析】设圆柱和圆锥的底面半径为R ，则圆柱的高1h ＝R ，圆锥的母线长为L ，因为圆柱与圆锥的侧面积相等， 所以，1222R R R L ππ⨯=⨯⨯，解得：L ＝2R ，得圆锥的高为2h 3，所以，圆锥与圆柱的高之比为33R R=. 故答案为：3 16．直三棱柱111ABC A B C -中，190,2BC A A A ︒∠==，设其外接球的球心为O ，已知三棱锥O ABC -的体积为1，则球O 表面积的最小值为__________． 【答案】16π.【解析】如图，在Rt ABC ∆中，设,AB c BC a ==，则22AC a c =+．分别取11,AC A C 的中点12,O O ，则12,O O 分别为111Rt A B C ∆和Rt ABC ∆外接圆的圆心，连12,O O ，取12O O 的中点O ，则O 为三棱柱外接球的球心．连OA ，则OA 为外接球的半径，设半径为R ．∵三棱锥O ABC -的体积为1，即1()1132O ABC ac V -=⨯⨯=， ∴6ac =．在2Rt OO C ∆中，可得2222222212()()112224O O AC a c a c R ++=+=+=+， ∴222244(1)4(1)1644a c ac S R ππππ+==+≥+=球表，当且仅当a c =时等号成立， ∴O 球表面积的最小值为16π．故答案为：16π．17．在三棱锥P ABC -中，ABC ∆是边长为4的等边三角形，23PA PB ==25PC =（1）求证：平面PAB ⊥平面ABC ；（2）若点M ，N 分别为棱BC ，PC 的中点，求三棱锥N AMC -的体积V .【答案】(1)见证明；(2) 26=V 【解析】 （1）取AB 中点H ，连结PH ，HC .∵23PA PB ==，4AB =，∴PH AB ⊥，22PH =∵等边ABC ∆的边长为4∴23HC =，又25PC =∴22220PH HC PC +==∴90PHC ∠=o ，即PH HC ⊥又∵HC AB H =I ，AB Ì平面ABC ，CH ⊂平面ABC∴PH ⊥平面ABC ，又PH ⊂平面PAB∴平面PAB ⊥平面ABC（2）∵点M ，N 分别为棱BC ，PC 的中点 ∴点N 到平面ABC 的距离为122PH 且21134=2322AMC ABC S S ∆∆==∴三棱锥N AMC -的体积126=223=3V ⨯⨯ 18．如图所示，三棱柱111ABC A B C -中，90BCA ∠=°，1AC ⊥平面1A BC ．（1）证明：平面ABC ⊥平面11ACC A ；（2）若2BC AC ==，11A A A C =，求点1B 到平面1A BC 的距离．【答案】（1）见解析；（23【解析】（1）证明：1AC ⊥Q 平面1A BC ，1AC BC ∴⊥．90BCA ∠︒Q ＝，BC AC ∴⊥，BC ∴⊥平面11ACC A ．又BC ⊂平面ABC ，平面ABC ⊥平面11ACC A ．（2）解：取AC 的中点D ，连接1A D ．11A A A C =Q ，1A D AC ∴⊥．又平面ABC ⊥平面11ACC A ，且交线为AC ，则1A D ⊥平面ABC ．1AC ⊥Q 平面1A BC ，11AC AC ∴⊥，四边形11ACC A 为菱形，1AA AC ∴=． 又11A A A C =，1A AC ∴V 是边长为2正三角形，13A D ∴=1111223232ABC A B C V -∴=⨯⨯=． 111,AA BB AA ⊄Q P 面11BB C C ,1BB ⊂面11BB C C1AA ∴P 面11BB C C1111A B BC A B BC B ABC V V V ---∴==11112333ABC A B C V -==设点1B 到平面1A BC 的距离为h ．则11113B A BC A BC V h S -∆=⋅． 1AC BC ⊥Q ，12A C AC BC ===11122A BC S BC AC ∆∴=⋅=，3h ∴=． 所以点1B 到平面1A BC 的距离为3．19．在边长为3的正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，BC 上（如左图），且=BE BF ，将AED V ，DCF V 分别沿DE ，DF 折起，使A ，C 两点重合于点A ¢（如右图）．（1）求证：A D EF '⊥；（2）当13BF BC =时，求点A ¢到平面DEF 的距离． 【答案】（1）见解析；（237 【解析】（1）由ABCD 是正方形及折叠方式，得：A E A D '⊥'，A F A D '⊥'，A E A F A '⋂''Q ＝，A D ∴'⊥平面A EF '，-1? { 2?x y ==平面A EF '，A D EF ∴'⊥．（2）113BE BF BC ===Q 2,2,3A E A F EF A D '''∴====， EF 72A S '∆∴=，13DE DF ∴==，52DEF S ∴=V 设点A ¢到平面DEF 的距离为d ，A DEF D A EF V V '--'Q ＝，1133DEF A EF d S A D S ''∴⨯⨯=⨯⨯V V ，解得375d =． 点A ¢到平面DEF 的距离为37． 20．如图，四棱锥S ABCD -中，SD ⊥平面ABCD ，//AB CD ，AD CD ⊥，SD CD =，AB AD =，2CD AD =，M 是BC 中点，N 是SA 上的点.（1）求证：//MN 平面SDC ；（2）求A 点到平面MDN 的距离.【答案】（1）见证明；（2）127d =【解析】（1）取AD 中点为E ，连结ME ，NE ，则//ME DC ，因为ME ⊄平面SDC ，所以//ME 平面SDC ，同理//NE 平面SDC .所以平面//MNE 平面SDC ，从而因此//MN 平面SDC .（2）因为CD AD ⊥，所以ME AD ⊥.因为SD ⊥平面ABCD ，所以SD CD ⊥，ME SD ⊥.所以ME ⊥平面SAD .设2DA =，则3ME =，2NE =，2213MN NE ME +=，10MD =，5ND =.在MDN ∆中，由余弦定理2cos MDN ∠=， 从而2sin 10MDN ∠=，所以MDN ∆面积为72. 又ADM ∆面积为12332⨯⨯=. 设A 点到平面MDN 的距离为d ，由A MDN N AMD V V --=得732d NE =， 因为2NE =，所以A 点到平面MDN 的距离127d =. 21．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，3PA =//AB CD ，AB AD ⊥，1AD DC ==，2AB =，E 为侧棱PA 上一点. （Ⅰ）若13PE PA =，求证：PC //平面EBD ； （Ⅱ）求证：平面EBC ⊥平面PAC ；（Ⅲ）在侧棱PD 上是否存在点F ，使得AF ⊥平面PCD ？若存在，求出线段PF 的长；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）存在，线段PF 长32. 【解析】（Ⅰ）设AC BD G ⋂=，连结EG ，由已知AB//CD ，DC 1=，AB 2=,得AG AB 2GC DC==. 由1PE PA 3=,得AE 2EP=. 在ΔPAC 中，由AE AG EP GC=，得EG //PC . 因为EG ⊂平面EBD ，PC ⊄平面EBD ，所以PC //平面EBD .（Ⅱ）因为PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC PA ⊥.由已知得AC 2=BC 2=，AB 2=，所以222AC BC AB +=.所以BC AC ⊥.又PA AC A ⋂=，所以BC ⊥平面PAC .因为BC ⊂平面EBC ，所以平面EBC ⊥平面PAC .（Ⅲ）在平面PAD 内作AF PD ⊥于点F ，由DC PA ⊥，DC AD ⊥，PA AD A ⋂=，得DC ⊥平面PAD .因为AF ⊂平面PAD ，所以CD AF ⊥.又PD CD D ⋂=，所以AF ⊥平面PCD . 由PA 3=，AD 1=，PA AD ⊥，得3PF 2=. 22．已知三棱柱ABC A B C '''-的底面ABC 是等边三角形，侧面AA C C ''⊥底面ABC ，D 是棱BB '的中点.（1）求证：平面DA C '⊥平面ACC A ''；（2）求平面DA C '将该三棱柱分成上下两部分的体积比.【答案】(1)见证明；(2)1：1【解析】（1）取,AC A C ''的中点,O F ,连接OF 与C A '交于点E ，连接DE ，,OB B F ',则E 为OF 的中点，OF AA BB ''P P , 且OF AA BB ''==，所以BB FO '是平行四边形.又D 是棱BB '的中点，所以DE OB P .侧面AA C C ''⊥底面ABC ,且OB AC ⊥ ，所以OB ⊥平面ACC A '' . 所以DE ⊥平面ACC A ''，又DE Ì平面DA C '，所以平面DA C '⊥平面ACC A ''.（2）连接A B '， 设三棱柱ABC A B C '''-的体积为V .故四棱锥A BCC B -'''的体积1233A BCCB V V V V '''-=-= 又D 是棱BB '的中点，BCD ∆的面积是BCC B ''面积的14 ， 故四棱锥A B C CD '''-的体积33214432A B C CD A BCC B V V V V ''''''--==⨯= 故平面DA C '将该三棱柱分成上下两部分的体积比为11.。