平面向量中的最值问题浅析

平面向量中的最值问题浅析

耿素兰 山西平定二中（045200）

平面向量中的最值问题多以考查向量的基本概念、基本运算和性质为主，解决此类问题要注意正确运用相关知识，合理转化。

一、利用函数思想方法求解 例1、给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120o

.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动.若,OC xOA yOB =+其中

,x y R ∈,则x y +的最大值是________.

分析：寻求刻画C 点变化的变量，建立目标x y +

与此变量的函数关系是解决最值问题的常用途径。

解：设AOC θ∠=，以点O 为原点，OA 为x 轴建立直角坐标系，则(1,0)A ，13

(,

)22

B -，(cos ,sin )

C θθ。

,OC xOA yOB =+

13

(cos ,sin )(1,0)(,)22

x y θθ∴=+-即

cos 23sin 2

y x y θθ⎧-=⎪⎪

⎨

⎪=⎪⎩ cos 3sin 2sin()6x y πθθθ∴+=+=+2(0)3

π

θ≤≤。

因此，当3

πθ=

时，x y +取最大值2。

例2、已知(1,7),(5,1),(2,1),OA OB OP ===点Q 为射线OP 上的一个动点，当

QA QB 取最小值时，求.OQ

分析：因为点Q 在射线OP 上，向量OQ 与OP 同向，故可以得到关于OQ 坐标的一个关系式，再根据QA QB 取最小值求.OQ

解：设(2,),(0)OQ xOP x x x ==≥，则(12,7),(52,1)QA x x QB x x =--=--

图 1

2

2

(12)(52)(7)(1)520125(2)8

QA QB x x x x x x x ∴=--+--=-+=--

∴当2x =时，QA QB 取最小值-8，此时(4,2).OQ =

二、利用向量的数量积n m n m

⋅≤⋅求最值

例3、ABC ∆三边长为a 、b 、c ，以A 为圆心,r 为半径作圆,PQ 为直径，试判断P 、Q 在什么位置时，BP CQ 有最大值。

分析：用已知向量表示未知向量，然后用数量积的性质求解。 解：

,AB BP AP AC CQ AQ AP +=+==-

2

22

()()()BP CQ AP AB AP AC r AB AC AP AB AC r AB AC AP CB AB AC AP CB r ∴=---=-++-=-++≤+-

当且仅当AP 与CB 同向时，BP CQ 有最大值。 三、利用向量模的性质a b a b a b -≤+≤+求解

例4：已知2,(cos ,sin ),a b b θθ-==求a 的最大值与最小值。 分析：注意到()a a b b =-+，考虑用向量模的性质求解。 解：由条件知1b =。 设a b c -=，则a =b c +，

c b c b c b -≤+≤+， ∴13a ≤≤。

所以当b 与c 同向时，a 取最大值3；当b 与c 反向时，a 取最小值1。 四、利用几何意义，数形结合求解

例5、如图，已知正六边形123456PP P P P P ，下列向量的数量积中最大的是 （A ）1213PP PP ⋅ （B ）1214PP PP ⋅ （C ）1215PP PP ⋅ （D ）1216PP PP ⋅

分析：平面向量数量积121(1,2,3,4,5,6)i PP PP i =的几何意义为121i PP PP 等于12PP 的长度与

P

A

Q

B

C

图 2

图3

1i PP 在12PP

方向上的投影1121cos ,i i PP PP PP 的乘积。显然，由图可知，13PP 在12PP 方向上的投影最大，故选（A ）。

例6、a b 与是两个夹角为1200的单位向量，且p+q=1（p 、q ∈R ），则pa qb +的最小值是

分析: 如图3，设,,OA a OB b OC ===pa qb +则(1)OC pOA p OB

=+-即

BC pBA = 因此点C 在直线AB 上，显然当OC ⊥AB 时，pa qb +最小，其最小值为12

。

O

A

图4 C